g u4 t a1 d e0 sh ang4 、 x ia4 d i3 m ian4 d e0 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 1 0 c m ， 2 0 c m .
j ie3 ： i3 A uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， A B 、 A D 、 A P f en1 b ie2 uei4 x ， y ， z zh ou2 j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 A x y z ，
j ie3 ： j i2 h e2 A { x | x ( x 1 ) 0 } ，
（ 2 ） r uo4 | t k | | t k | | k | f ( x ) ( k R ， k 0 ) ， d uei4 i1 q ie4 t R h eng2 ch eng2 l i4 ，
C . 3 2 9 ， ( 3 ) 3 2 7 ， 3 2 ( 3 ) 3 ， g u4 c uo4 u4 ；
i2 g e4 üan2 zh uei1 b u4 n eng2 iou2 l iang3 g e4 üan2 zh uei1 p in1 h e2 er2 ch eng2 ， g u4 x üan3 x iang4 C d e0 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 .
A E ， B 1 C 1 uei4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ， zh eng4 q üe4 ；
i2 g e4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， l iang3 zh i2 j iao3 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 3 h e2 4 ， z e2 x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 d e0 sh i4 （ ）
3 B （ d eng3 l iang4 d ai4 h uan4 ） ，
iou3 d e0 zh i4 sh u4 sh i4 ou3 sh u4 ； ü3 t ong2 i1 g e4 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 x iang1 d eng3 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ； iou3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 s an1 g e4 n ei4 j iao3 ch eng2 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ； ü3 üan2 zh i3 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 zh i2 x ian4 sh i4 üan2 d e0 q ie4 x ian4 .
z e2 zh i2 x ian4 ü3 üan2 x iang1 j iao1 ü2 l iang3 d ian3 ， j i2 zh i2 x ian4 ü3 üan2 C d e0 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 g e4 sh u4 uei4 2 .
h an2 sh u4 y f ( x ) sh i4 d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 j ing1 g uo4 d ian3 A （ 0 ， 1 ） h e2 d ian3 B sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x 1 x 2 } ， z e2 d ian3 B d e0 z uo4 b iao1 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 j ia1 、 j ian3 f a3 f a3 z e2 j i2 j i3 h e2 i4 i4 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f 0 ( x ) x ( s i n x c o s x ) ， sh e4 f n ( x ) uei4 f n 1 ( x ) d e0 d ao3 sh u4 ， n N * .
B . d i4 er4 x iang4 x ian4
g u4 d a2 an4 uei4 2 ， （ ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 h u4 b u3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
iou4 M N p ing2 m ian4 A 1 D C ，
（ 2 ） iou2 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d e2 zh i2 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 0 ，
j i2 g e2 i3 sh ang4 （ h an2 j i2 g e2 ） r en2 sh u4 n an2 sh eng1 b i3 n ü3 sh eng1 sh ao3 1 r en2 ；
er4 j ie1 j ü3 zh en4 M d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 j iang1 d ian3 （ 1 ， 1 ） ü3 （ 2 ， 1 ） f en1 b ie2 b ian4 ch eng2 d ian3 （ 1 ， 1 ） ü3 （ 0 ， 2 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
s uo3 i3 2 m 3 1 h uo4 2 m 1 5 ，
j ie3 ： iou2 t u2 x iang4 k e3 zh i1 f ( 0 ) 0 ，
an4 ch eng2 j i4 f en1 z u3 ： d i4 1 z u3 [ 7 5 ，
j ie3 ： iou2 b ai3 x ian4 d e0 k e3 zh i1 üan2 d e0 b an4 j ing4 r 1 ，
A E C F （ n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ） （ ch eng2 l i4 ） ，
A D p ing2 m ian4 P A D ， B C p ing2 m ian4 P A D ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 1 0 i3 n ei4 sh u4 d e0 j ia1 j ian3 f a3 』
j ie3 ： （ 1 ） j iang1 M （ 3 ， 4 ） d e0 z uo4 b iao1 d ai4 r u4 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ， d e2 ，
a b 2 4 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b 2 sh i2 ， y q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 1 6 0 ，
s uo3 i3 i4 m ian4 zh i2 x ian4 A 1 B ü3 C 1 D s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
j ie3 ： iou2 a 3 a 4 a 5 3 ， 3 ， z e2 a 4 3 ，
j ie3 ： （ 1 ） h an2 sh u4 y 1 x （ x Z q ie3 | x | 2 ） d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， 2 } ，
r uo4 j i2 h e2 A { 0 ， 1 } ， B { 1 ， a 2 } ， z e2 “ A B { 1 } ” sh i4 “ a 1 ” d e0 （ ）
d a2 ： l iang3 d i4 x iang1 j ü4 6 5 7 q ian1 m i3 。
i2 x iang4 ， d e2 1 6 x 2 2 5 ，
d e2 ， j i2 ， zh e4 iang4 d e0 j iao3 b u4 c uen2 z ai4 .
（ 2 ） r u2 t u2 3 ， sh e4 d ong4 zh i2 x ian4 l ü3 l iang3 d ing4 zh i2 x ian4 l 1 ： x 2 y 0 h e2 l 2 ： x 2 y 0 f en1 b ie2 j iao1 ü2 P ， Q l iang3 d ian3 . r uo4 zh i2 x ian4 l z ong3 ü3 t uo3 üan2 C iou3 q ie3 zh i3 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， sh i4 t an4 j iou1 ： O P Q d e0 m ian4 j i1 sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 z uei4 x iao3 zh i2 ？ r uo4 c uen2 z ai4 ， q iou2 ch u1 g ai1 z uei4 x iao3 zh i2 ； r uo4 b u4 c uen2 z ai4 ， sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
g en1 j ü4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 .
m ing4 t i2 d e0 f ou3 d ing4 uei4 iou3 d e0 zh eng4 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 b u2 sh i4 t a1 b en3 sh en1 .
s uo3 i3 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 uei4 [ ， ） .
zh eng4 f ang1 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 b u4 i2 d ing4 sh i4 s an1 g e4 q üan2 d eng3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， g en1 b ai3 f ang4 iou3 g uan1 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
zh i2 x ian4 B C d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 ： 4 x y 1 0 0 ；
zh i3 iou3 A B C uei4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
a 3 h e2 2 a 1 5 h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ， j i2 a 3 2 a 1 5 0 ， j ie3 d e2 a 4 ，
（ 4 ） sh i4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 ，
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， d ian3 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） . r uo4 i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 d ian3 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 k e3 i3 sh i4 （ ）
j ie3 ： d ang1 y 1 sh i2 ， t 2 1 ， s uo3 i3 t 1 .
（ 1 ） 3 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 6 ；
iou2 1 ， k e3 d e2 a 2 2 5 ， b 2 1 6 ，
a b c 0 ， g u4 c uo4 u4 ；
üan2 E d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 8 ， z e2 üan2 x in1 E uei4 （ 2 ， 2 ） ， b an4 j ing4 uei4 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) ， z ai4 R sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 ， q iou2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
C . zh eng4 f ang1 x ing2 ie3 k e3 i3 iou3 j ian4 k ai1 x ian4
d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4
zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y 3 2 x ， ü3 x zh ou2 j iao1 d ian3 uei4 （ ， 0 ） .
j ie3 ： d uei4 A ， b u4 j in3 üan2 iou3 j ian4 k ai1 x ian4 ， q i2 t a1 t u2 x ing2 r u2 t uo3 üan2 ， zh eng4 f ang1 x ing2 ie3 iou3 j ian4 k ai1 x ian4 ， g u4 A c uo4 u4 ；
d ang1 ， sh i2 ， q iou2 ch u1 j ian4 k ai1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 d e0 d uei4 ing4 d ian3 A ， B ， b ing4 q iou2 ch u1 A ， B d e0 j ü4 l i2 .
（ 4 ） A B C d e0 d ing3 d ian3 A （ 0 ， 3 ） ， B （ 1 ， 0 ） ， C （ 1 ， 0 ） ， D uei4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， z e2 zh ong1 x ian4 A D d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x 0 .
（ 1 ） f en1 b ie2 sh uo1 m ing2 C 1 ， C 2 sh i4 sh en2 m e0 q ü1 x ian4 ， b ing4 q iou2 ch u1 a ü3 b d e0 zh i2 ；
iou4 （ t i3 s uei4 d an1 uei4 ） ，
D . u2 f a3 q üe4 d ing4
z ai4 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 ， b u2 sh i4 g ong1 l i3 d e0 sh i4 （ ）
j ie3 ： r u2 t u2 j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y ， z ai4 j ian4 l i4 z uo4 b iao1 x i4 x O y ， z ai4 x zh ou2 sh ang4 j ie2 q ü3 O A O A ， O B O B ，
（ 2 ） üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 4 c o s ( ) 3 0 ， k e3 h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： ( x 1 ) 2 ( y ) 2 .
d uei4 ü2 ， l eng2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 sh i4 iou3 g ong1 g ong4 d ing3 d ian3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 ， d an4 g e4 c e4 l eng2 b u4 i2 d ing4 x iang1 d eng3 ， g u4 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
（ 1 ） b iao3 zh ong1 （ ） h e2 （ ） sh i4 l iang3 zh ong3 x iang1 g uan1 l ian2 d e0 l iang4 。
j ie3 ： ( ) 5 zh ong1 ， d i3 sh u4 sh i4 ， zh i3 sh u4 sh i4 5 ， m i4 sh i4 ( ) 5 ， k e3 d u2 z uo4 d e0 5 c i4 f ang1 ，
（ 1 ） q iou2 m d e0 zh i2 ；
（ 2 ） sh e4 A （ ， y 1 ） ， B （ ， y 2 ） ， zh i2 x ian4 A B d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x m ( y 1 ) 1 ， m 0 ，
D . in1 uei4 A B E F ， C D G H ， s uo3 i3 E F G H
1 1 1 ， j i2 m ei3 g e4 d e0 b ian1 zh ang3 sh i4 1 l i2 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 ü3 üan2 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
r uo4 q uei4 zh en1 ， z e2 q i2 d eng3 j ia4 ü2 0 ， j i2 k e3 d e2 1 m 3 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
iou2 l eng2 t ai2 d e0 d ing4 i4 zh i1 ， l eng2 t ai2 sh i4 iou2 l eng2 zh uei1 j ie2 d e2 d e0 ， j ie2 m ian4 sh i4 l eng2 t ai2 d e0 sh ang4 d i3 m ian4 ， g u4 sh ang4 d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 i2 d ing4 x iao3 ü2 x ia4 d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 ， s uo3 i3 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4
r uo4 a 0 ， z e2 f ( x ) 2 x 3 z ai4 R sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， c i3 sh i2 f ( 1 ) f ( 3 ) .
z e2 t u2 1 0 0 0 g e4 zh e4 iang4 d e0 h ua1 p en2 üe1 x ü1 iao4 1 0 0 0 0 h ao2 sh eng1 iou2 q i1 .
l iang3 sh i4 p ing2 f ang1 z uo4 ch a4 d e2 ： y 2 x 2 4 .
h an2 sh u4 f ( x ) x 2 m x 1 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x 1 d uei4 ch en4 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 m 2 .
q i2 zh ong1 ， b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
（ 1 ） q iou2 C 1 ， C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
üan2 x in1 uei4 C （ a ， b ） ， b an4 j ing4 uei4 r d e0 üan2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ü3 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ：
b iao3 sh i4 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 t iao2 j ian4 sh i4 .
j ie3 ： A . 3 8 8 2 5 3 8 ( 8 2 5 ) ， iong4 d ao4 l e0 ch eng2 f a3 j ie2 h e2 l ü4 ；
D . y f ( x ) z ai4 （ 0 . 3 ， 0 . 4 ） sh ang4 iou3 z uei4 x iao3 zh i2
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q iou2 q ü1 x ian4 x 2 y 2 1 x ian1 h ou4 j ing1 g uo4 l iang3 c i4 b ian4 h uan4 h e2 h ou4 d e2 d ao4 d e0 q ü1 x ian4 f ang1 ch eng2 .
sh e4 p ing2 m ian4 D E F d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 （ x ， y ， z ） ， （ 2 ， 1 ， ） ， （ 1 ， 2 ， ） ，
c ong2 er2 j ü3 zh en4 A d e0 t e4 zh eng1 d uo1 x iang4 sh i4 uei4 f ( ) ( 2 ) ( 1 ) ，
i3 zh i1 zh eng4 l iou4 l eng2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 h ， d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 a ， z e2 t a1 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 （ ）
j ie3 ： h an2 sh u4 y s i n 2 x d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 T ， s uo3 i3 m ing4 t i2 p sh i4 i2 g e4 j ia3 m ing4 t i2 ，
（ 2 ） p an4 d uan4 （ 1 ） zh ong1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 j i1 ou3 x ing4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g ai4 l ü4 d e0 ing4 iong4 』
j ie3 ： s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
er4 m ian4 j iao3 d e0 d a4 x iao3 ü3 q i2 p ing2 m ian4 j iao3 d e0 d ing3 d ian3 z ai4 l eng2 sh ang4 d e0 uei4 zh i4 m ei2 iou3 g uan1 x i4 .
i3 zh i1 x ， y uei4 zh eng4 zh eng3 sh u4 ， d ang1 y x 1 sh i2 ， y 3 ， x 2 ；
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： g uan1 ü2 X d e0 f ang1 ch eng2 x 2 2 a x 1 0 iou3 l iang3 g e4 d a4 ü2 1 d e0 sh i2 sh u4 g en1 ， m ing4 t i2 q ： g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 a x 2 a x 1 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 R ， r uo4 p q ü3 q t ong2 sh i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
s uo3 i3 ü3 d e0 j iao1 x ian4 b i4 t ong1 g uo4 d ian3 C h e2 d ian3 D .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 uei4 （ ）
g uo4 d ian3 A 1 ü3 zh i2 x ian4 A D ch eng2 9 0 j iao3 d e0 zh i2 x ian4 b i4 h e2 B C ie3 ch uei2 zh i2 ， g uo4 d ian3 A 1 ü3 C B 1 ch eng2 9 0 j iao3 d e0 zh i2 x ian4 b i4 h e2 C B 1 ch uei2 zh i2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 b a3 zh e4 j ian4 i1 f u2 d e0 üan2 j ia4 k an4 z uo4 d an1 uei4 “ 1 ” ， x ian4 j ia4 b i3 üan2 j ia4 p ian2 i2 l e0 ( 1 『 8 0 』 ) 。 』
z e2 z uei4 zh ang3 d e0 x ian4 d uan4 sh i4 A C .
q i2 zh ong1 t a n ， q ie3 d e0 zh ong1 b ian1 g uo4 d ian3 （ 4 ， 3 ） .
j ie3 ： z uo4 ch u1 k e3 x ing2 ü4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
r u2 t u2 ， z ai4 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， A B 3 ， A A 1 A C 4 ， A A 1 p ing2 m ian4 A B C ， A B A C .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
x üan2 zh uan3 s uo3 d e0 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 V üan2 zh uei1 1 2 ，
j ie3 ： sh e4 c i3 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 uei4
d ang1 a 0 sh i2 ， ( x ) d e0 t u2 x iang4 r u2 t u2 3 s uo3 sh i4 ， c i3 sh i2 ， h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 h e2 zh i2 x ian4 y b zh i1 d uo1 iou3 i2 g e4 j iao1 d ian3 ， b u4 m an3 z u2 t iao2 j ian4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
d a2 ： zh e4 g e4 sh uei3 b ei1 i1 c i4 z uei4 d uo1 n eng2 g ou4 zh uang1 sh uei3 6 4 0 . 8 h ao2 sh eng1 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
B . s i4 l eng2 zh uei1
j ie3 ： iou2 f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( 1 ) 4 ， f ( 2 ) 2 ， d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 l iang3 r uei4 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 s uo3 j iao1 ch eng2 d e0 j iao3 d e0 d u4 sh u4 sh i4 （ ）
a b c （ d ang1 a b c sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ） .
（ t uei4 c an1 sh u4 ） ， j i2 uei4 zh i2 x ian4 2 x y 1 0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
sh ang1 d ian4 ch u1 sh ou4 d e0 ch a2 h u2 m ei3 b a3 2 4 üan2 ， ch a2 b ei1 m ei3 zh i3 5 üan2 。 iou3 l iang3 zh ong3 iou1 h uei4 f ang1 sh i4 ： f ang1 sh i4 A ： m ai3 i1 b a3 ch a2 h u2 s ong4 i1 zh i1 ch a2 b ei1 ； f ang1 sh i4 B ： an4 üan2 j ia4 d a3 9 zh e2 f u4 k uan3 。 i1 uei4 g u4 k e4 m ai3 l e0 5 b a3 ch a2 h u2 h e2 x zh i3 ch a2 b ei1 （ x d a4 ü2 d eng3 ü2 5 ） 。
【 t i2 sh i4 】 『 2 p ing2 f ang1 m i3 d e0 d an1 uei4 h ua4 uei4 p ing2 f ang1 f en1 m i3 ， iong4 2 『 ch eng2 』 p ing2 f ang1 m i3 h e2 p ing2 f ang1 f en1 m i3 zh i1 j ian1 d e0 j in4 l ü4 。 』
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x 0 } .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h uo4 m ing4 t i2 』
j ie3 ： A B C d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 2 0 ， A B 8 ， B C 5 ，
0 . 9 2 q ian1 m i3 9 2 0 m i3
zh eng4 m ing2 ： iao4 zh eng4 2 ，
ü2 sh i4 k e3 d e2
s uo3 i3 d ian3 （ 2 ， 1 ） h e2 d ian3 （ 5 ， 0 ） d e0 j ü4 l i2 uei4 .
z ong1 sh ang4 ， b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
d ang1 t sh i2 ， D E z uei4 x iao3 .
（ 1 ） üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 sh i4 üan2 zh uei1 d e0 3 b ei4 。 （ ）
（ 2 ） m ou3 zh ong1 x üe2 i4 n ian2 j i2 iou3 1 2 g e4 b an1 ， iao4 c ong2 zh ong1 x üan3 ch u1 2 g e4 b an1 d ai4 b iao3 x üe2 x iao4 c an1 j ia1 m ou3 x iang4 h uo2 d ong4 ， iou2 ü2 m ou3 zh ong3 üan2 in1 ， i1 b an1 b i4 x ü1 c an1 j ia1 ， l ing4 uai4 z ai4 c ong2 er4 zh i4 sh i2 er4 b an1 zh ong1 x üan3 1 g e4 b an1 c an1 j ia1 ， iou3 r en2 t i2 i4 iong4 r u2 x ia4 f ang1 f a3 ： t ou2 zh i4 l iang3 g e4 t ou2 z i3 d e2 d ao4 d e0 d ian3 sh u4 h e2 sh i4 j i3 （ j ian4 b iao3 ） ， j iou4 x üan3 j i3 b an1 ， n i3 r en4 uei2 zh e4 zh ong3 f ang1 f a3 g ong1 p ing2 m a0 ？
j i2 a x 2 a b x b 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 [ 1 ， 2 ] ，
i3 zh i1 a 0 ， b 0 ， q iou2 zh eng4 ： a 6 b 6 a b ( a 4 b 4 ) .
i3 zh i1 m i4 h an2 sh u4 f ( x ) x k d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 ( 4 ， 2 ) ， r uo4 f ( m ) 3 ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 x ， j i2 x 2 y 2 4 x 0 .
d ang1 a 2 ， b 1 sh i2 ， ， g u4 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 ch eng2 ch u2 f a3 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
i3 zh i1 d ian3 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ 1 ， ） ， n a4 m e0 g uo4 d ian3 P q ie3 ch uei2 zh i2 ü2 j i2 zh ou2 d e0 zh i2 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
i3 zh i1 P （ x ， y ） sh i4 üan2 x 2 y 2 2 y 0 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 .
zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2
x iao3 uang2 q i2 ch e1 m ei3 f en1 zh ong1 x ing2 3 0 0 m i3 ， 2 9 f en1 zh ong1 d a4 üe1 x ing2 （ ） m i3 ； i2 g e4 g ong1 r en2 3 x iao3 sh i2 f en3 sh ua1 q iang2 b i4 1 2 3 p ing2 f ang1 m i3 ， p ing2 j ün1 m ei3 x iao3 sh i2 d a4 üe1 f en3 sh ua1 q iang2 b i4 （ ） p ing2 f ang1 m i3 。
r u2 g uo3 x iang4 n an2 z ou3 5 m ， j i4 z uo4 5 m ， n a4 m e0 x iang4 b ei3 z ou3 8 m ing1 j i4 z uo4 8 m .
sh e4 s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 d e0 x ie2 l ü4 uei4 k ， iou2 k k 1 1 ， d e2 k ，
s uo3 i3 ch i3 k uo4 x ian4 s uo3 z ai4 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
üan2 t u2 ： g ao1 sh i4 3 ， d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 sh i4 9 . 4 2 。
C . l iang3 t iao2 sh e4 x ian4
A C 1 ü3 B 1 C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 sh i4 9 0 .
h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ，
in1 sh i4 f en1 j ie3 ， d e2
q ie4 x ian4 zh ang3 | P 0 T | 3 .
üan2 m ing4 t i2 d e0 d eng3 j ia4 m ing4 t i2 uei4 “ r uo4 m x 2 2 x 1 0 iou3 sh i2 g en1 ， z e2 m 1 ” .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch u2 f a3 』
d ang1 x 4 sh i2 ， sh i4 z i0 x 3 4 x 2 2 ü3 x 3 5 x 2 3 x 4 d e0 h e2 sh i4 （ ）
j ie3 ： q ü3 C D d e0 zh ong1 d ian3 G ， l ian2 j ie1 M G ， N G . s i4 b ian1 x ing2 A B C D ， D C E F uei4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， q ie3 b ian1 zh ang3 uei4 2 ，
x iao3 l in2 iong4 3 2 g e4 p in1 ch u1 l e0 i1 x ie1 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 。
d ai4 r u4 üan2 C ： 2 4 s i n ( ) 6 0 ， j i2 2 4 s i n 4 c o s 6 0 d e2 x 2 y 2 4 x 4 y 6 0 ，
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 q ü3 d eng3 h ao4 ，
r u2 t u2 ， zh i2 x ian4 A B ， C D x iang1 j iao1 ü2 d ian3 O ， O E C D ， ch uei2 z u2 uei4 d ian3 O . r uo4 B O E 4 0 ， z e2 A O C d e0 d u4 sh u4 uei4 （ ）
j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2
j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 A 4 ， T ，
h an2 sh u4 y s i n x z ai4 [ 1 ， 3 ] sh ang4 sh i4 d an1 f eng1 h an2 sh u4 .
m ou3 d i4 q ü1 d e0 n ian2 j iang4 sh uei3 l iang4 z ai4 x ia4 l ie4 f an4 uei2 n ei4 d e0 g ai4 l ü4 r u2 b iao3 ：
d e2 2 x y 4 ， j i2 x 2 ， iou4 x 2 y 2 ，
sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ， g en1 j ü4 s an1 j iao3 x ing2 q üan2 d eng3 d e0 p an4 d uan4 ， l iang3 b ian1 j i2 q i2 j ia1 j iao3 d uei4 ing4 x iang1 d eng3 k e3 i3 d e2 d ao4 l iang3 s an1 j iao3 x ing2 q üan2 d eng3 .
（ 2 ） t a1 m en0 d e0 c ai3 d ai4 i1 g ong4 zh ang3 d uo1 sh ao3 m i3 ？
ü3 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d eng3 j ia4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 A C ü3 B D d e0 j iao1 d ian3 uei4 O ， A B P A 2 ，
g u4 d a2 an4 uei4 ： .
j ie3 ： d uei4 ü2 A ， sh e4 f ang1 ch eng2 f ( x ， y ) 0 d e0 t u2 x iang4 sh i4 q ü1 x ian4 f ， q ie3 q ü1 x ian4 f sh i4 C d e0 m ou3 i1 b u4 f en4 ， n a4 m e0 q ü1 x ian4 C sh ang4 f b u4 f en4 i3 uai4 d e0 d ian3 j iou4 b u2 sh i4 h e2 f ang1 ch eng2 f ( x ， y ) 0 ， s uo3 i3 A c uo4 ；
r u2 y x 2 h e2 y zh i3 iou3 1 g e4 j iao1 d ian3 ， g u4 c uo4 u4 ；
q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ s uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 zh ou2 d e0 d ing4 i4 』
j ie3 ： 7 . 3 5 1 0 1 5 7 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 uan4 d uen1 .
i3 zh i1 g uan1 ü2 x d e0 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 x 2 2 x 2 m 0 .
r uo4 h an2 sh u4 y ( 1 2 a ) x sh i4 sh i2 sh u4 j i2 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 （ ）
s uo3 i3 0 . 7 üan2 1 üan2 2 j iao3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 j i2 q iou2 f a3 』
（ 1 ） m ei3 t ian1 i1 g ong4 x ün2 l uo2 j i3 c i4 ？
g u4 h ang2 ch uan2 d e0 h ang2 x ing2 s u4 d u4 uei4 2 （ q ian1 m i3 sh i2 ） .
iou2 t u2 k e3 d e2 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 sh i4 [ 1 ， 8 ] .
f en1 b ie2 q ü3 9 h e2 4 d e0 i2 g e4 p ing2 f ang1 g en1 x iang1 j ia1 ， q i2 j ie2 g uo3 k e3 n eng2 iou3 （ ）
j ie3 ： A . d an1 x iang4 sh i4 x d e0 x i4 sh u4 h e2 c i4 sh u4 d ou1 sh i4 1 ， g u4 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
（ 3 ） r u2 g uo3 q ing1 x ie2 sh i2 b u2 sh i4 r ao4 zh e0 d i3 b u4 d e0 i1 t iao2 l eng2 ， er2 sh i4 r ao4 zh e0 d i3 b u4 d e0 i2 g e4 d ing3 d ian3 ， （ 1 ） h e2 （ 2 ） h ai2 d uei4 b u2 d uei4 ？
iou2 x c o s ， y s i n ， k e3 d e2 2 x 2 y 2 .
j ie3 ： sh e4 g ai1 l eng2 t ai2 d e0 sh ang4 、 x ia4 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 b h e2 a ， g ao1 uei4 h ， x ie2 g ao1 uei4 h ， c e4 l eng2 zh ang3 uei4 l ，
zh eng4 m ing2 ： i3 zh i1 ： l 1 l 2 A ， l 2 l 3 B ， l 1 l 3 C ， r u2 t u2 ，
sh i2 sh u4 x ， y m an3 z u2 3 x 2 2 y 2 6 x ， z e2 x 2 y 2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 （ ）
p ao1 u4 x ian4 k ai1 k ou3 x iang4 x ia4 ，
iou2 s an1 sh i4 t u2 q iou2 m ian4 j i1 、 t i3 j i1
（ 2 ） sh eng4 x ia4 b u4 f en4 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
i2 g e4 ch ang2 f ang1 t i3 b o1 l i2 r ong2 q i4 ， c ong2 l i3 m ian4 l iang4 d i3 zh ang3 2 0 c m ， k uan1 1 5 c m ， g ao1 1 2 c m 。 r u2 g uo3 b a3 i1 p ing2 2 2 5 0 m L d e0 sh uei3 zh u4 r u4 r ong2 q i4 n ei4 ， sh uei3 sh en1 d uo1 sh ao3 l i2 m i3 ？
d ang1 k 0 sh i2 ， h an2 sh u4 y x k sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ； r u2 k 2 ， b u4 ch eng2 l i4 ， g u4 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 t i3 、 zh eng4 f ang1 t i3 t i3 j i1 d e0 j i4 s uan4 』
m ing4 t i2 “ r uo4 y k x ， z e2 x ü3 y ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 （ ）
j ie3 ： iou2 x 2 3 x 2 0 ， d e2 x 1 h uo4 x 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ü3 x ing4 zh i4 』
h an2 sh u4 y ， x （ 0 ， ） d e0 t u2 x iang4 sh i4 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 zh i1 ， zh eng4 q üe4 .
iou2 （ 1 ） zh i1 B G C H ， s uo3 i3 E F C H ， g u4 E C ， F H g ong4 m ian4 .
z ai4 b i3 l i4 ch i3 uei4 1 : 4 0 0 0 0 0 0 d e0 d i4 t u2 sh ang4 ， l iang4 d e2 j ia3 ch eng2 ü3 i3 ch eng2 zh i1 j ian1 d e0 t ie3 l u4 zh ang3 4 . 7 5 c m 。 i1 l ie4 h uo3 ch e1 9 : 3 0 c ong2 j ia3 ch eng2 ch u1 f a1 ， m ei3 x iao3 sh i2 h ang2 sh i3 9 5 k m ， d a4 üe1 j i3 d ian3 k e3 i3 d ao4 d a2 i3 ch eng2 ？
S s i4 b ian1 x ing2 E F G H 3 4 s i n 4 5 6 .
j ie3 ： c e4 m ian4 P C D d i3 m ian4 A B C D ， P D C D ，
【 t i2 sh i4 】 『 k a3 ch e1 x ing2 sh i3 4 2 0 q ian1 m i3 iong4 d e0 sh i2 j ian1 uei4 （ 『 1 6 』 9 ） x iao3 sh i2 。 』
d a2 an4 ： d ian3 A .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 zh i1 d ian3 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） ， üan2 E d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 c o s 4 s i n ， sh i4 p an4 d uan4 d ian3 A h e2 üan2 E d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 .
x ie3 ch u1 x ia4 m ian4 l iang3 t i2 d e0 j i4 s uan4 g uo4 ch eng2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ao3 sh u4 d e0 j i3 h e2 i4 i4 』
i3 zh i1 i1 t iao2 zh ang3 uei4 6 d e0 x ian4 d uan4 l iang3 d uan1 d ian3 A ， B f en1 b ie2 z ai4 x zh ou2 、 y zh ou2 sh ang4 h ua2 d ong4 ， d ian3 M z ai4 x ian4 d uan4 A B sh ang4 ， q ie3 A M : M B 1 : 2 ， z e2 d ong4 d ian3 M d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 .
d a2 an4 ： （ 1 ） d ong1 ， 7 ； （ 2 ） x i1 ， 6 ； （ 3 ） 4 。
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) ， r uo4 c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 b ， sh i3 h an2 sh u4 y f ( x ) b iou3 q ie3 zh i3 iou3 2 g e4 l ing2 d ian3 ， z e2 sh i2 sh u4 b d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
2 . 1 2 5 1 6 1 2 5 8 2 ing4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 f en1 p ei4 l ü4 。 （ ）
r uo4 f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 ， z e2 d uei4 r en4 i4 d e0 x R ， d ou1 iou3 f ( x ) f ( x ) ，
ian2 zh e0 zh eng4 s i4 m ian4 t i3 d e0 l eng2 s uei2 j i1 d i4 z ai4 d ing3 d ian3 j ian1 p a2 x ing2 ，
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
d ian3 （ 0 ， 0 ） b iao3 sh i4 j i2 d ian3 ；
A . ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
z ai4 x ia4 l ie4 f ang1 ch eng2 zh ong1 ， i2 d ing4 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 sh i4 （ ）
2 . 4 3 d u2 z uo4 （ ） ； l ing2 d ian3 b a1 i1 x ie3 z uo4 （ ） 。
D . r uo4 a 0 h uo4 b 0 ， z e2 a 2 b 2 0
j ie3 ： q ü4 j üe2 d uei4 zh i2 ， d e2 3 2 x 1 3 ，
z e2 zh e4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 x iang1 h u4 ch uei2 zh i2 ； ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 x iang1 h u4 p ing2 x ing2 ； r uo4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 ，
C . r uo4 0 ， z e2 a b ， g u4 C c uo4 u4 ；
iou2 t u2 x iang4 k e3 zh i1 d ang1 zh i2 x ian4 y x b j ing1 g uo4 üan2 d ian3 sh i2 ， iou3 l iang3 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， c i3 sh i2 b 0 ，
g en1 j ü4 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 j iao1 d ian3 d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 g ai1 d ian3 d ao4 zh uen3 x ian4 d e0 j ü4 l i2 ，
r u2 t u2 ， z ai4 A B C zh ong1 ， B D C D ， A E 2 D E 。 t ian2 k ong4 。
sh i4 sh i2 sh ang4 ， d ang1 i 1 sh i2 ， S i ( 2 i 1 ) S 3 3 ， i ( 2 i 1 ) 3 ， g u4 üan2 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 ；
sh e4 （ k ， m ， n ） uei4 p ing2 m ian4 B D E d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 ，
E A p ing2 m ian4 ， er2 a z ai4 p ing2 m ian4 sh ang4 ，
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 B A C 3 0 、 A B C 1 0 5 .
iou2 y t 2 t 1 ( t ) 2 ， t [ 1 ， 1 ] ， h ua4 ch u1 h an2 sh u4 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
g u4 sh i2 sh u4 k d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ ， ） .
E H B D ， q ie3 E H B D ， F G B D ， q ie3 F G B D ， E F A C ， q ie3 E F A C ， H G A C ， q ie3 H G A C ，
j ie3 f ang1 ch eng2 z u3 d e2 C 1 ü3 C 2 d e0 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， 1 ） .
z ong1 sh ang4 ， k e3 zh i1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
d ang1 P z ai4 d i4 er4 x iang4 x ian4 n ei4 ， z e2 ，
C . d i4 s an1 x iang4 x ian4
z e2 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 sh i4 üan2 x in1 uei4 （ ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 d e0 üan2 .
j ie3 ： j i4 “ x iao3 b ei1 sh uei3 zh ong1 h an2 iou3 zh e4 g e4 x i4 j ün1 ” uei4 sh i4 j ian4 A ， z e2 sh i4 j ian4 A d e0 g ai4 l ü4 zh i3 ü3 q ü3 ch u1 d e0 sh uei3 d e0 t i3 j i1 iou3 g uan1 ， f u2 h e2 j i3 h e2 g ai4 x ing2 t iao2 j ian4 .
d a2 ： x iao3 l iang4 i1 g ong4 z ai4 uai4 uan2 l e0 8 x iao3 sh i2 。
sh e4 f ( x ) sh i4 d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) 2 x 2 x ， z e2 f ( 1 ) .
iou2 ü2 x ian2 d ing4 l i3 k e3 d e2 A B 2 O A 2 O B 2 2 O A O B c o s 9 2 5 1 5 4 9 ，
j ie3 ： üan2 sh i4 a 1 2 9 b 8 6 a 3 b 2 .
iou4 iou2 j ia3 sh e4 f ( k ) 3 k 7 k 2 sh i4 8 d e0 b ei4 sh u4 ， k e3 zh i1 3 ( 3 k 7 k 2 ) sh i4 8 d e0 b ei4 sh u4 ，
A B ， C D q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 .
zh e4 g e4 zh eng4 sh u4 uei4 ( 3 ) 2 9 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s s i n 1 1 0 .
r uo4 zh i2 x ian4 l sh ang4 iou3 u2 sh u4 g e4 d ian3 b u4 z ai4 p ing2 m ian4 n ei4 ， z e2 l ；
m ou3 r en2 q ü4 k ai1 h uei4 ， t a1 ch eng2 h uo3 ch e1 、 l uen2 ch uan2 、 q i4 ch e1 、 f ei1 j i1 q ü4 d e0 g ai4 l ü4 f en1 b ie2 uei4 0 . 3 ， 0 . 2 ， 0 . 1 ， 0 . 4 .
（ 1 ） r uo4 a i i （ i 1 ， 2 ， … ， n ） ， q i2 zh ong1 n 9 ， q iou2 b 3 ， 5 d e0 zh i2 ；
（ 2 ） b en3 ch ang3 g uan1 zh ong4 z uei4 d uo1 iou3 d uo1 sh ao3 r en2 ？
j ie3 ： in1 uei4 a 2 ( a ) 2 ， s uo3 i3 A zh eng4 q üe4 ；
q ing1 x ie2 j iao3 uei4 6 0 .
2 . （ 1 ） s an1 n ian2 j i2 （ 1 ） b an1 h e2 u3 n ian2 j i2 （ 3 ） b an1 d a4 d uo1 sh u4 t ong2 x üe2 n eng2 z ai4 6 0 f en1 zh ong1 i3 x ia4 uan2 ch eng2 z uo4 ie4 。
z ai4 zh ong1 ， iou2 m ， k e3 d e2 l ü3 x iang1 j iao1 h uo4 l ， g u4 c uo4 u4 ；
（ 2 ） d ang1 t ang2 d e0 k e1 sh u4 i2 d ing4 d e0 sh i2 h ou4 ， f en1 t ang2 d e0 r en2 sh u4 ü3 m ei3 r en2 f en1 d e0 d e0 sh u4 l iang4 j ian1 ch eng2 f an3 b i3 l i4 g uan1 x i4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ü2 x ian2 d ing4 l i3 』
b a3 f ei1 f u4 sh u4 a iong4 ( ) 2 d e0 x ing2 sh i4 b iao3 sh u4 ch u1 l ai2 ：
y f ( x ) ü3 y f ( x 1 ) b u4 k e3 n eng2 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 ；
l iang3 g e4 p ing2 m ian4 iou3 g ong1 g ong4 d ian3 ， t a1 m en0 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i1 t iao2 t ong1 g uo4 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 g ong1 g ong4 zh i2 x ian4 ，
h an2 sh u4 y x 2 1 z ai4 （ 0 ， ） uei4 z eng1 h an2 sh u4 ， g u4 z ai4 q ü1 j ian1 （ 0 ， 2 ） sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ；
k e3 zh i1 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 b ei4 k ai1 f ang1 sh u4 x iang1 d eng3 ， k e3 d e2 ： 1 2 x 2 x 1 ，
j ie2 m ian4 B C F E z uo3 c e4 b u4 f en4 ie3 sh i4 l eng2 zh u4 ， t a1 sh i4 s i4 l eng2 zh u4 A B E A D C F D .
r u2 c i3 i4 zh i2 p a2 x ia4 q ü4 ，
l ing4 m ei3 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 uei4 1 g e4 d an1 uei4 ， z e2 A （ 1 ， 1 ） ， B （ 6 ， 2 ） ， C （ 5 ， 1 ） ，
h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 ie3 sh i4 [ s ， t ] ，
d ong4 zh i2 x ian4 m x y m 3 0 j i2 m ( x 1 ) y 3 0 ， j ing1 g uo4 d ian3 d ing4 d ian3 B （ 1 ， 3 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f an3 b i3 l i4 』
iao4 sh i3 sh i4 z i0 iou3 i4 i4 ， x d e0 q ü3 zh i2 x ü1 m an3 z u2 .
A . l iang3 g e4 üan2
M N sh i4 A C D d e0 zh ong1 uei4 x ian4 ，
g u4 t a1 m en0 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ ， 1 ） 、 （ 2 ， 2 ） .
j ie3 ： t u2 1 ： iou2 t u2 k e3 i3 k an4 ch u1 c i3 j i3 h e2 t i3 iou2 l iang3 p ai2 l iang3 l ie4 ， q ian2 p ai2 iou3 i2 g e4 m u4 k uai4 ， h ou4 p ai2 z uo3 m ian4 i1 l ie4 iou3 l iang3 g e4 m u4 k uai4 ， iou4 m ian4 i1 l ie4 iou3 i2 g e4 ， g u4 h ou4 p ai2 iou3 s an1 g e4 ，
A . sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 b u4 k e3 n eng2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2
i3 zh i1 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 x 2 a x b 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ 1 ， 2 ） ， q i2 zh ong1 a ， b R ， q iou2 h an2 sh u4 f ( x ) ( a 1 ) ( b 1 ) d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
j i1 sh u4 ü3 j i1 sh u4 d e0 h e2 sh i4 （ ） ， j i1 sh u4 ü3 j i1 sh u4 d e0 ch a4 sh i4 （ ） ， ou3 sh u4 ü3 j i1 sh u4 d e0 h e2 sh i4 （ ） ， ou3 sh u4 ü3 j i1 sh u4 d e0 j i1 sh i4 （ ） 。
A . g e4 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 s an1 l eng2 zh uei1
k e3 d e2 m l ， g u4 n l ， iou2 x ian4 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 d ing4 l i3 k e3 d e2 n .
q i2 zh ong1 j ia3 x iang1 zh ong1 iou3 s i4 g e4 q iou2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ü3 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
i3 zh i1 sh i2 sh u4 a ， b ， j ü3 zh en4 A d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 j iang1 zh i2 x ian4 x y 1 0 b ian4 h uan4 uei4 z i4 sh en1 ， q iou2 a ， b d e0 zh i2 .
r u2 t u2 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 E F M N ， ch uei2 z u2 uei4 F ， q ie3 1 1 4 0 ， r uo4 iao4 d e0 d ao4 A B C D ， x ü1 iao4 2 d eng3 ü2 .
j iang1 h an2 sh u4 y s i n 2 x d e0 t u2 x iang4 x iang4 z uo3 p ing2 i2 （ 0 ） g e4 d an1 uei4 ， d e2 d ao4 g ( x ) d e0 t u2 x iang4 ， r uo4 g ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 ， z e2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 （ ）
s uo3 i3 m ei2 iou3 f u2 h e2 t iao2 j ian4 d e0 n an2 sh eng1 r en2 sh u4 h e2 n ü3 sh eng1 r en2 sh u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
d uei4 ü2 1 0 d e0 b ei4 sh u4 i2 d ing4 sh i4 5 d e0 b ei4 sh u4 ， m ei2 iou3 l uo2 j i2 l ian2 j ie2 c i2 ；
m ou3 ing3 üan4 iou3 j ia3 p iao4 z uo4 uei4 1 0 0 g e4 ， i3 p iao4 z uo4 uei4 2 0 0 g e4 ， q i2 zh ong1 j ia3 p iao4 m ei3 zh ang1 3 0 üan2 ， i3 p iao4 m ei3 zh ang1 1 0 üan2 。 m ou3 ch ang3 d ian4 ing3 p iao4 f ang1 d e0 sh ou1 r u4 sh i4 4 7 0 0 üan2 。
f ang1 ch eng2 d e0 q ü1 x ian4 b iao3 sh i4 üan2 x in1 uei4 （ 0 ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 2 d e0 üan2 d e0 sh ang4 b an4 b u4 f en4 .
j ie3 ： iou2 ， d e2 .
s uo3 i3 m 1 h uo4 1 ，
g u4 d a2 an4 uei4 x iang1 j iao1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
p an4 d uan4 m ing4 t i2 “ r uo4 a 0 ， z e2 f ang1 ch eng2 x 2 x a 0 iou3 sh i2 g en1 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 d e0 zh en1 j ia3 .
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ian4 r en4 f ang1 x iang4 』
z e2 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 ( x 6 ) 2 y 2 2 5 uei4 2 c o s 2 1 2 c o s 3 6 2 s i n 2 2 5 ，
（ 2 ） zh i4 sh ao3 iou3 1 g e4 b ai2 q iou2 ， zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 h ong2 q iou2 ；
s uo3 i3 zh i2 x ian4 A B h e2 O P i2 d ing4 p ing2 x ing2 .
n a4 m e0 s uo3 iou3 zh e4 iang4 d e0 d ian3 Q z u3 ch eng2 d e0 j i2 h e2 sh i4 l ie4 h u2 （ ）
d a2 an4 ： üan2 ； x iang1 d eng3 ； q ü1 ； zh ang3 f ang1 （ h uo4 zh eng4 f ang1 ） ； zh eng4 f ang1 （ h uo4 zh ang3 f ang1 ） 。
iao4 sh i3 A B z uei4 d uan3 ， z e2 c i3 sh i2 B d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ） ， h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ ， ） .
r u2 t u2 ， x iao3 m ing2 d e0 f u4 q in1 z ai4 x iang1 j ü4 2 m d e0 l iang3 k e1 sh u4 j ian1 sh uan1 l e0 i1 g en1 sh eng2 z i0 ， g ei3 x iao3 m ing2 z uo4 l e0 i2 g e4 j ian3 i4 d e0 q iou1 q ian1 . sh uan1 sh eng2 z i0 d e0 d i4 f ang1 j ü4 d i4 m ian4 g ao1 d ou1 sh i4 2 . 5 m ， sh eng2 z i0 z i4 r an2 x ia4 ch uei2 ch eng2 p ao1 u4 x ian4 zh uang4 ， sh en1 g ao1 1 m d e0 x iao3 m ing2 j ü4 j iao4 j in4 d e0 n a4 k e1 sh u4 0 . 5 m sh i2 ， t ou2 b u4 g ang1 h ao3 j ie1 ch u4 d ao4 sh eng2 z i0 ， z e2 sh eng2 z i0 d e0 z uei4 d i1 d ian3 j ü4 d i4 m ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 m .
j ie3 ： sh e4 g ai1 üan2 zh uei1 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 uei4 a ， j i2 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 uei4 a .
j ie3 ： iou2 c o s 2 s i n 1 d e2 x 2 y 1 ，
d a2 ： s an1 n ian2 j i2 （ 1 ） b an1 b i3 u3 n ian2 j i2 （ 3 ） b an1 uan2 ch eng2 z uo4 ie4 z ai4 6 0 f en1 zh ong1 i3 x ia4 d e0 x üe2 sh eng1 d uo1 7 r en2 。
j ie3 ： t u2 zh ong1 d e0 b i3 l i4 ch i3 b iao3 sh i4 t u2 sh ang4 1 c m d e0 x ian4 d uan4 x iang1 d ang1 ü2 sh i2 j i4 j ü4 l i2 5 0 k m ，
i3 zh i1 g en1 sh i4 ： （ a 0 ， b 0 ） ， （ a 0 ， b 0 ） ， （ a 0 ， b 0 ） . q i2 zh ong1 sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 sh i4 .
i3 zh i1 f ( x ) sh i4 ou3 h an2 sh u4 ， x R ， d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) uei4 z eng1 h an2 sh u4 ， r uo4 x 1 0 ， x 2 0 ， q ie3 | x 1 | | x 2 | ， z e2 （ ）
s uo3 i3 h ong2 h ua1 d uo3 sh u4 ü3 h uang2 h ua1 d uo3 sh u4 d e0 b i3 sh i4 5 : 4 。
r u2 t u2 ， A B sh i4 i1 t iao2 h e2 l iou2 ， iao4 p u1 sh e4 g uan3 d ao4 j iang1 h e2 sh uei3 in3 d ao4 C 、 D l iang3 g e4 iong4 sh uei3 d ian3 ， x ian4 iou3 l iang3 zh ong3 p u1 sh e4 g uan3 d ao4 d e0 f ang1 an4 ：
j ie3 ： iou2 t iao2 j ian4 zh i1 A 2 ， j i2 2 ， j i2 ，
h an2 sh u4 f ( x ) ( x 4 ) 0 d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ ）
s uo3 i3 4 2 p ， j ie3 d e2 p 2 ，
n a4 m e0 zh e4 n g e4 n ei4 j iao3 zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 4 g e4 （ b u4 f ang2 sh e4 uei4 A 1 、 A 2 、 A 3 、 A 4 ） d ou1 sh i4 r uei4 j iao3 ， j i2 A 1 A 2 A 3 A 4 3 6 0
z ai4 p ing2 m ian4 sh ang4 ， r uo4 l iang3 g e4 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 d e0 b i3 uei4 1 : 2 ， z e2 t a1 m en0 d e0 m ian4 j i1 b i3 uei4 1 : 4 . l ei4 s i4 d i4 ， z ai4 k ong1 j ian1 ， r uo4 l iang3 g e4 zh eng4 s i4 m ian4 t i3 d e0 l eng2 zh ang3 d e0 b i3 uei4 1 : 2 ， z e2 t a1 m en0 d e0 t i3 j i1 b i3 uei4 .
g u4 d e0 zh i2 sh i4 .
j ie3 ： in1 uei4 f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， l ing4 f ( x ) x ， s uo3 i3 g ( x ) ( 1 a ) x ， in1 uei4 a 1 ， s uo3 i3 g ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 j ian3 h an2 sh u4 ，
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ： | a b | d e0 zh i2 uei4 1 .
s uo3 i3 P C P 1 C ， j i2 d ian3 P ü3 d ian3 P 1 ch ong2 h e2 ，
üan2 x in1 （ 2 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d ， d e2 3 t 2 1 6 t 5 0 ，
g uo4 d ian3 P q ie3 ch uei2 zh i2 ü2 l d e0 zh i2 x ian4 iou3 k e3 n eng2 ch uei2 zh i2 ü2 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） x iao1 q ü4 t d e2 y 3 x 2 ，
r u2 g uo3 p ing2 m ian4 b u4 ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 ， n a4 m e0 p ing2 m ian4 n ei4 i1 d ing4 b u4 c uen2 z ai4 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 ；
j ie3 ： iou2 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 d e2 | x 2 |
iou2 0 ， zh i1 1 0 h eng2 ch eng2 l i4 ，
g u4 h an2 sh u4 y f ( 2 x ) 2 f 2 ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ] sh ang4 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 2 ， 1 ] .
d uei4 ü2 ， z ai4 p ing2 m ian4 A D 1 zh ong1 ， A D 1 ü3 A 1 D x iang1 j iao1 ， z e2 p ing2 m ian4 A D C 1 ü3 p ing2 m ian4 A D 1 C x iang1 j iao1 ， g u4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
iou2 p ing2 m ian4 j i3 h e2 zh i1 sh i2 k e3 zh i1 D E D F ， D P E E P F D P F 9 0 ，
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， x ia4 l ie4 g e4 d ian3 zh ong1 ü3 （ 2 ， ） b u4 b iao3 sh i4 t ong2 i1 g e4 d ian3 d e0 sh i4 （ ）
j ie3 ： d ang1 t 0 sh i2 ， x 2 ， y 1 ；
i3 zh i1 ( m 2 m ) ( 3 m ) ， q iou2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
g u4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 1 （ a 0 ， b 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 』
q i2 zh ong1 g uei4 zh ong4 l i4 j ia1 s u4 d u4 . r uo4 b u4 j i4 k ong1 q i4 z u3 l i4 ü3 j ian4 g ao1 ，
z ai4 j ü3 x ing2 A B C D zh ong1 ， ， ，
j ie3 ： iou2 2 c o s ， d e2 2 2 c o s ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
r uo4 p j ia3 q zh en1 ， z e2 a 2 .
iong4 j i4 s uan4 q i4 q iou2 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 g en1 : ( j ing1 q üe4 d ao4 0 . 0 1 )
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 d e0 iou3 ü2 sh u4 ch u2 f a3 』
r u2 t u2 ， z ai4 A B C zh ong1 ， A B A C ， B D A C ， C E A B ， ch uei2 z u2 f en1 b ie2 uei4 d ian3 D 、 E ， B D h e2 C E j iao1 ü2 d ian3 F ， l ian2 j ie2 A F . q iou2 zh eng4 ： A F p ing2 f en1 B A C .
j ie3 ： j iang1 q ü1 x ian4 y 3 s i n 2 x b ian4 uei4 q ü1 x ian4 y s i n x j i2 y s i n x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 d e0 g ong1 ch eng2 uen4 t i2 』
d ai4 r u4 C 1 d e2 1 ，
【 t i2 sh i4 】 『 l sh i4 zh i2 er4 m ian4 j iao3 ， z e2 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 『 ch uei2 zh i2 』 ， l sh i4 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 d e0 『 j iao1 x ian4 』 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 iao4 m an3 z u2 h an2 sh u4 z ai4 [ 1 ， 3 ] sh ang4 sh i4 d an1 f eng1 h an2 sh u4 ， j iou4 iao4 q iou2 h an2 sh u4 z ai4 [ 1 ， 3 ] n ei4 zh i3 iou3 uei2 i1 d e0 z uei4 『 d a4 』 zh i2 d ian3 . 』
q ü1 x ian4 g uan1 ü2 j i2 d ian3 d uei4 ch en4 d e0 q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 5 x 5 y
j ie3 ： g ong4 m ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 k e3 n eng2 p ing2 x ing2 ie3 k e3 n eng2 x iang1 j iao1 ， g u4 c uo4 u4 ；
（ 2 ） j iang1 m ing4 t i2 x ie3 ch eng2 “ r uo4 p ， z e2 q ” d e0 x ing2 sh i4 uei4 ： r uo4 i2 g e4 sh u4 n eng2 b ei4 6 zh eng3 ch u2 ， z e2 t a1 j i4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 ， ie3 n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 ；
x iao3 f ang1 d e0 j ie3 d a2 sh i4 ： üan2 sh i4 2 a 2 a ( a 1 ) 3 a 1 2 6 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
i1 g ong4 iou3 5 g e4 b u4 t ong2 d e0 h e2 。 t a1 m en0 sh i4 ： 3 0 、 4 0 、 5 0 、 6 0 、 7 0 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 、 f an3 b i3 l i4 d e0 ing4 iong4 』
S 3 p an4 d uan4 d ian3 sh i4 f ou3 l uo4 z ai4 in1 ing3 b u4 f en4 ， j i2 sh i4 f ou3 m an3 z u2 y l o g 3 x . r u2 g uo3 sh i4 ， z e2 j i4 sh u4 q i4 m d e0 zh i2 j ia1 1 ， j i2 m m 1 ； r u2 g uo3 b u2 sh i4 ， m d e0 zh i2 b ao3 ch i2 b u4 b ian4 ；
r uo4 d e0 zh eng3 sh u4 b u4 f en4 sh i4 a ， x iao3 sh u4 b u4 f en4 sh i4 b ， z e2 a b .
l ian2 j ie2 M R j iao1 B B 1 ü2 d ian3 E ， l ian2 j ie2 P E ， P E uei4 j ie2 m ian4 ü3 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 j iao1 x ian4 ，
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ， 2 ） ， z e2 q i2 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ ）
s uo3 i3 h an2 sh u4 z ai4 zh eng3 g e4 d ing4 i4 ü4 n ei4 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh i4 t iao2 x ing2 t ong3 j i4 t u2 』
b a3 b ian1 zh ang3 uei4 4 、 2 d e0 j ü3 x ing2 j üan3 ch eng2 i2 g e4 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 ， q i2 t i3 j i1 sh i4 .
uei4 l e0 d e2 d ao4 h an2 sh u4 y s i n ( 2 x ) d e0 t u2 x iang4 ， zh i3 x ü1 b a3 h an2 sh u4 y s i n 2 x d e0 t u2 x iang4 sh ang4 s uo3 iou3 d e0 d ian3 x iang4 iou4 p ing2 x ing2 i2 d ong4 g e4 d an1 uei4 ch ang2 d u4 .
d a2 an4 ： a b 0 ， c 0 h uo4 a 0 q ie3 b 2 4 a c 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 n ei4 j ie1 s i4 b ian1 x ing2 d e0 d uei4 j iao3 h u4 b u3 』
（ t uei4 c an1 sh u4 ） ；
n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 “ i3 zh i1 a ， b d ou1 sh i4 sh i2 sh u4 ， r uo4 a ， b q üan2 uei4 0 ， z e2 a b 0 ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 .
【 t i2 sh i4 】 『 sh i2 uei4 sh ang4 d e0 sh u4 sh i4 9 sh i2 ， g e4 uei4 sh ang4 d e0 sh u4 k e3 n eng2 sh i4 『 0 』 h uo4 『 2 』 h uo4 5 。 』
p ing2 m ian4 A D C p ing2 m ian4 B C D .
d ai4 r u4 x 2 ( y 2 ) 2 4 ， d e2 ( a ) 2 ( a 2 ) 2 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d a4 x iao3 d e0 b i3 j iao4 』
j ie3 ： sh e4 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 r en4 i4 i4 d ian3 P （ x ， y ） ， P z ai4 j ü3 zh en4 A d e0 d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 x ia4 d e2 d ao4 d ian3 Q （ x ， y ） ，
iou2 c o s ， k e3 d e2 q ü1 x ian4 C 2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x ，
x ia4 l ie4 er4 c i4 g en1 sh i4 zh ong1 ü3 sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 sh i4 （ ）
i1 t ai2 d ian4 sh i4 j i1 d a3 q i1 zh e2 h ou4 sh ou4 j ia4 2 1 0 0 üan2 。 zh e4 t ai2 d ian4 sh i4 j i1 üan2 j ia4 sh i4 （ ） üan2 。
m ing4 t i2 d e0 f ou3 d ing4 uei4 z ai4 sh i2 sh u4 f an4 uei2 n ei4 ， s uo3 iou3 d e0 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 d ou1 iou3 j ie3 .
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A [ ] .
【 t i2 sh i4 】 『 A H ch uei2 zh i2 ü2 A 1 B D 『 p ing2 x ing2 』 d e0 s uo3 iou3 p ing2 m ian4 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
z ong1 sh ang4 ， zh eng4 q üe4 d e0 zh i3 iou3 （ 1 ） ， g ong4 1 g e4 .
g u4 m d e0 zh i2 uei4 h uo4 .
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： d ang1 n uei4 ou3 sh u4 sh i2 ， a n 0 ； d ang1 n uei4 j i1 sh u4 sh i2 ， a n t a n n ；
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 （ ， ） （ 0 2 ） zh ong1 ， zh i2 x ian4 b ei4 üan2 2 s i n j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 sh i4 .
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ， t 0 ） ， q iou2 q ü1 x ian4 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 .
s uo3 i3 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 x 2 2 y .
zh e4 g e4 t uo3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ： ， （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： iou2 x t 1 d e2 t ( x 1 ) ，
D . c uen2 z ai4 i2 g e4 f u4 sh u4 x ， sh i3 2 uei4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 ， x ian3 r an2 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， D b u4 zh eng4 q üe4 .
j ie3 ： üan2 x 2 y 2 4 y 0 ， y t x （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 b ai3 x ian4 d e0 sh eng1 ch eng2 g uo4 ch eng2 j i2 q i2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
sh i3 d e0 h an2 sh u4 zh i2 uei4 1 9 d e0 iou3 s an1 zh ong3 q ing2 k uang4 ， j i2 x 3 ， 3 ， 3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 j i2 z uo4 b iao1 d ian3 （ 2 ， ） ， 2 ， 『 』 . 』
z e2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 x 2 .
j ie3 ： y 1 ， j iang1 h an2 sh u4 y d e0 t u2 x iang4 x iang4 iou4 p ing2 i2 1 g e4 d an1 uei4 z ai4 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 1 g e4 d an1 uei4 ， t u2 x iang4 r u2 t u2 B s uo3 sh i4 .
j i2 zh e4 s an1 g e4 sh u4 f en1 b ie2 sh i4 2 0 、 3 0 、 4 0 。
m ing4 t i2 “ ou3 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 y zh ou2 d uei4 ch en4 ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 .
üan2 4 ( c o s s i n ） d e0 üan2 x in1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 .
j ie3 ： iou2 m ing4 t i2 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 ü3 j ü4 （ 1 ） （ 2 ） （ 4 ） d ou1 k e3 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 ， q ie3 uei4 ch en2 sh u4 j ü4 ， j ün1 sh i4 m ing4 t i2 ； （ 3 ） zh ong1 “ d a4 ” sh i4 i2 g e4 m o2 h u2 d e0 g ai4 n ian4 ， g u4 u2 f a3 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 ， b u2 sh i4 m ing4 t i2 ， （ 5 ） sh i4 i2 uen4 j ü4 ， g u4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 .
（ 1 ） p ing2 g uo3 iou3 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 ？
7 üe4 2 0 r i4 b a4 b a4 g ou4 m ai3 i1 f u2 zh i1 ch u1 4 5 0 üan2
【 t i2 sh i4 】 『 b en3 üe4 sh i2 j i4 h uo4 d e2 d e0 g ao3 f ei4 b en3 üe4 h uo4 d e2 d e0 g ao3 f ei4 『 』 ing1 j iao1 d e0 g e4 r en2 s uo3 d e0 sh uei4 。 』
i3 zh i1 R t A B C d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 d ing4 zh i2 1 ， z e2 t a1 d e0 m ian4 j i1 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
（ 3 ） 2 . 6 5 ， 7 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 2 . 6 5 ；
3 . x iao3 q iang2 x iang3 b a3 x üan3 ch u1 d e0 3 iang4 uan2 j ü4 s ong4 g ei3 x iao3 m ing2 h uo4 x iao3 g ang1 ， g ong4 iou3 d uo1 sh ao3 zh ong3 s ong4 f a3 ？
j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 [ ] [ ] [ ] ，
（ 1 ） j ie3 ： iang2 h uei1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 d i4 n x ing2 iou2 er4 x iang4 sh i4 x i4 sh u4 ， k 0 ， 1 ， 2 ， … ， n z u3 ch eng2 .
j ie3 ： iou2 A d e0 l iang3 b ian1 h e2 B d e0 l iang3 b ian1 f en1 b ie2 p ing2 x ing2 ， d e2 A B h uo4 A B 1 8 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ü3 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： in1 uei4 h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 ( 6 a 2 ) x 3 z ai4 [ 2 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， z e2 a 0 .
z e2 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
M 、 N 、 P s an1 d ian3 z ai4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 sh ang4 .
（ 1 ） j ian4 sh e4 in2 h ang2 ü3 b ai3 h uo4 d a4 l ou2 d e0 sh i2 j i4 j ü4 l i2 sh i4 （ ） m 。
E h e2 F f en1 b ie2 sh i4 C D h e2 P C d e0 zh ong1 d ian3 ，
g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 ( k 1 ) x 2 x k 2 3 2 k 0 iou3 i1 g en1 uei4 0 ， z e2 k d e0 zh i2 uei4 .
x ia4 t u2 zh ong1 ， A D ü3 A B d e0 b i3 sh i4 1 : 3 ， D E h e2 B C d e0 b i3 ie3 sh i4 1 : 3 ， D E zh ang3 6 c m 。
（ 2 ） j ia3 sh e4 Q （ x 0 ， y 0 ） ， M （ x 1 ， y 1 ） ， N （ x 2 ， y 2 ） ， g uo4 M d ian3 d e0 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 x x 1 m ( y y 1 ) ， d ai4 r u4 y 2 4 x ， d e2 y 2 4 m y 4 m y 1 0 ，
f ang1 sh i4 er4 zh ong1 d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 （ p ing2 j ün1 sh u4 ） uei4 E ( ) 2 （ g e4 ） .
üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) 2 d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 （ 2 ， 3 ） ， a uei4 ch ang2 sh u4 .
z ai4 zh eng4 f ang1 x ing2 A B C D zh ong1 ， C E D F ， A B A D ，
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 C ， iou2 ü2 f ang1 ch eng2 x 2 x 1 0 u2 sh i2 g en1 ， g u4 C c uo4 u4 ；
j ie3 ： （ 1 ） “ r uo4 x y 0 ， z e2 x ， y h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 ： “ r uo4 x y 0 ， z e2 x ， y b u2 sh i4 x iang1 f an3 sh u4 ” ， f ou3 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 ， sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
d ang1 a b 0 sh i2 ， a 5 b 5 ， a b 0 ， k e3 d e2 ( a b ) ( a 5 b 5 ) 0 ， g u4 a 6 b 6 a b ( a 4 b 4 ) ；
x 2 y 2 2 ， d ian3 C （ 1 ， 1 ） z ai4 üan2 sh ang4 ，
s uo3 i3 üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ ， 2 ） [ 3 ， ） .
C . 3 2 2 5 8 ( 4 2 5 ) ， iong4 d ao4 l e0 ch eng2 f a3 j ie2 h e2 l ü4 。
d ian3 M z ai4 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 ，
g u4 k e3 t ian1 j ia1 A D . （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ）
（ 1 ） g uan1 ch a2 sh ang4 b iao3 ， b ing4 h ua4 ch u1 t ong3 j i4 t u2 。
A C E r ao4 d ian3 C ian2 n i4 sh i2 zh en1 f ang1 x iang4 x üan2 zh uan3 6 0 k e3 d e2 d ao4 B C D .
j ie3 ： üan2 d e0 b ai3 x ian4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
iou2 d ian3 P h e2 Q g uan1 ü2 zh i2 x ian4 l d uei4 ch en4 ， z e2 zh i2 x ian4 l ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 x ian4 d uan4 P Q ， z e2 zh i2 x ian4 P Q d e0 x ie2 l ü4 uei4 1 ， sh e4 q i2 f ang1 ch eng2 uei4 y x b .
l eng2 t ai2 d e0 sh ang4 、 x ia4 d i3 b ian1 zh ang3 zh i1 b i3 uei4 1 : 2 ，
t u2 zh ong1 g ong4 iou3 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 4 d uei4
j ie3 ： （ 1 ） üan2 x 2 y 2 2 y 0 b ian4 x ing2 uei4 x 2 ( y 1 ) 2 1 ，
j ie3 ： in1 uei4 s i n A O B s i n ( ) s i n ，
B . （ uei4 c an1 sh u4 ）
【 t i2 sh i4 】 『 f ang4 d a4 h ou4 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ang3 sh i4 （ 5 『 3 』 ） c m 、 k uan1 sh i4 （ 3 『 3 』 ） c m 。 』
x Q ， x 2 x 1 sh i4 iou3 l i3 sh u4 ；
d a2 an4 ： （ h uo4 ） .
y x 1 ， j i2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 0 .
iou2 ü2 d ang1 x 1 x 2 2 sh i2 ( ) m a x 1 6 ，
（ 1 ） q iou2 üan2 O h e2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
（ 2 ） y 3 6 0 0 ( ) 3 6 0 0 2 2 1 0 0 （ üan2 ） ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 ， j i2 d ang1 x 5 0 0 sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh e4 g en1 t ie3 s i1 d e0 ch ang2 d u4 d eng3 ü2 uei2 ch eng2 zh ang3 f ang1 x ing2 l iang3 l in2 b ian1 h e2 d e0 『 2 』 b ei4 。 』
d i4 2 c i4 f en1 l ie4 ch eng2 2 2 g e4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 r uo4 a b ， b c ， z e2 c 『 』 a . 』
4 f en1 m i3 0 . 4 m i3
j ie3 d e2 m 0 h uo4 m 1 .
（ 2 ） d ao4 l iang3 z uo4 b iao1 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 d e0 j i1 d eng3 ü2 5 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 b u4 i2 d ing4 m an3 z u2 f ang1 ch eng2 x y 5 ， d an4 i3 f ang1 ch eng2 x y 5 d e0 j ie3 uei4 z uo4 b iao1 d i4 d ian3 ü3 l iang3 z uo4 b iao1 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 zh i1 j i1 i2 d ing4 d eng3 ü2 5 ， in1 c i3 d ao4 l iang3 z uo4 b iao1 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 d e0 j i1 d eng3 ü2 5 d e0 d ian3 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 b u2 sh i4 x y 5 .
iou2 s an1 sh i4 t u2 h uan2 üan2 sh i2 u4 t u2
s uo3 i3 X d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4 ：
x ia4 l ie4 g e4 t i2 zh ong1 ， p sh i4 q d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
（ 3 ） t ong2 sh i2 p ao1 zh i4 l iang3 m ei2 t ou2 z i3 ， k e3 n eng2 d e0 j ie2 g uo3 k e3 i3 b iao3 sh i4 uei4 x ia4 m ian4 s uo3 sh i4 d e0 b iao3 g e2 ， sh i4 q i2 uei4 d eng3 k e3 n eng2 sh i4 j ian4 ， j in4 er2 q iou2 q i2 g ai4 l ü4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 r en4 sh i2 』
（ 1 ） r uo4 c 2 a ， q iou2 d e0 zh i2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 3 x 2 0 sh i2 ， üan2 b u4 d eng3 sh i4 zh uan3 h ua4 uei4 4 『 』 ( 3 x 2 ) 8 . 』
k e3 d e2 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 y 2 1 （ 0 y 1 ） .
s uo3 i3 sh i2 j ian1 i2 d ing4 ， l u4 ch eng2 h e2 s u4 d u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 。
iou2 h an2 sh u4 uei4 R sh ang4 d e0 d an1 d iao4 d i4 z eng1 h an2 sh u4 ， d e2
j ie3 ： 1 . iou3 ü2 sh u4 d e0 ch u2 f a3 ， b ei4 ch u2 sh u4 ch u2 sh u4 sh ang1 ü2 sh u4 ， g u4 üan2 t i2 x ü4 sh u4 c uo4 u4 。
r u2 t u2 ， B C A 9 0 ， P C p ing2 m ian4 A B C ， z e2 z ai4 A B C ， P A C d e0 b ian1 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 zh ong1 ：
（ 1 ） 2 2 sh i4 iou3 l i3 sh u4 ；
y s i n x z ai4 [ 0 ， 2 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 d eng3 j ia4 ü2 [ 0 ， 2 ] [ ， ] ，
（ 2 ） q ing3 n i3 t ian2 ch u1 m ei3 c i4 x ün2 l uo2 k ai1 sh i3 d e0 sh i2 j ian1 。
m ou3 q i4 ch e1 i3 5 2 q ian1 m i3 sh i2 d e0 s u4 d u4 c ong2 A d i4 x ing2 sh i3 d ao4 2 6 0 q ian1 m i3 üan3 ch u4 d e0 B d i4 ， z ai4 B d i4 t ing2 l iou2 1 h h ou4 ， z ai4 i3 6 5 k m h d e0 s u4 d u4 f an3 h uei2 A d i4 ， sh i4 j iang1 q i4 ch e1 l i2 k ai1 A d i4 h ou4 x ing2 sh i3 d e0 l u4 ch eng2 s b iao3 sh i4 uei2 sh i2 j ian1 t d e0 h an2 sh u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 ing4 iong4 』
iou2 i3 zh i1 h ang2 t ian1 q i4 uei4 ü2 j ing1 d u4 8 0 ch u4 ， k e3 zh i1 8 0 .
（ 3 ） sh eng2 z i0 d e0 ch ang2 d u4 i2 d ing4 ， j ian3 q ü4 d e0 sh eng2 z i0 h e2 sh eng4 x ia4 d e0 sh eng2 z i0 d e0 ch ang2 d u4 。 （ ）
j ie3 ： iou2 t i2 i4 ， zh i1 ，
D . iou3 l iang3 j iao3 h e2 i1 b ian1 d uei4 ing4 x iang1 d eng3 d e0 l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 q üan2 d eng3
p ao1 u4 x ian4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y x 2 2 1 ， j i2 y x 2 1 .
r u2 t u2 ， sh u4 z ai4 d i4 m ian4 sh ang4 d e0 l iang3 g en1 q i2 g an1 ， n i3 n eng2 sh uo1 m ing2 t a1 m en0 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 m a0 ？
t iao2 j ian4 ： l iang3 g e4 j iao3 sh i4 r uei4 j iao3 ；
d ang1 x 1 sh i2 ， h an2 sh u4 q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 6 ，
s uo3 i3 d ian3 P uei4 g ai1 p ao1 u4 x ian4 d e0 j iao1 d ian3 .
iou2 zh i2 x ian4 l sh ang4 l iang3 d ian3 M ， N d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 2 ， 0 ） ， （ 0 ， ） ，
D 、 zh eng4 q üe4 ， in1 uei4 d a4 l iang4 sh i4 ian4 h ou4 ， p in2 l ü4 j ie1 j in4 g ai4 l ü4 ， k e3 i3 iong4 p in2 l ü4 j in4 s i4 d i4 g u1 j i4 g ai4 l ü4 .
s an1 sh i4 x iang1 j ia1 ， j i2 d e2 x y y z z x .
S O P Q | P Q | d | m | | x P x Q | | m | | | | | ， j iang1 d ai4 r u4 zh ong1 ， d e2
s uo3 i3 h an2 sh u4 y 3 x ü3 y 3 x d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 .
（ 2 ） q i4 ch e1 j iang1 z uei4 h ou4 i1 x iang1 h uo4 u4 zh uang1 sh ang4 ch e1 h ou4 ， h ai2 n eng2 g ou4 z ai4 zh uang1 d uo1 sh ao3 d uen1 h uo4 u4 ？
sh e4 x ， y ， z uei4 zh eng4 sh u4 ， q iou2 zh eng4 ： 2 ( x 3 y 3 z 3 ) x 2 ( y z ) y 2 ( x z ) z 2 ( x y ) .
（ 1 ） k e3 d e2 d ao4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 sh i4 3 c m 、 g ao1 sh i4 5 c m d e0 üan2 zh u4 。
d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ ， ] .
B . c e4 m ian4 sh i4 t i1 x ing2 d e0 d uo1 m ian4 t i3
l ian2 j ie1 P F ， F H ， P H ， iou3 M N P F .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
（ 2 ） d ang1 a sh i2 ， ( x ) t 2 2 m t 2 d uei4 s uo3 iou3 d e0 x [ 2 ， 2 ] j i2 m [ 1 ， 1 ] h eng2 ch eng2 l i4 ， q iou2 sh i2 sh u4 t d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
j ie3 ： iou2 ( s i n 3 c o s ) 0 ， d e2 y 3 x ，
z e2 in1 ing3 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 5 2 2 5 .
C . y f ( x ) d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 f ( 0 . 4 )
iou4 t u2 x iang4 g uan1 ü2 x d uei4 ch en4 ，
s uo3 i3 0 ， j i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
d a2 an4 ： d uei4 d ing3 j iao3 x iang1 d eng3 ； t ong2 uei4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ； C ； l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， t ong2 uei4 j iao3 x iang1 d eng3 ； n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 .
z e2 i1 g ong4 iou3 6 zh ong3 zh an4 d uei4 d uei4 x ing2 。
iou2 x 0 ， y 0 ， d e2 1 x 2 . iou4 x y ， j i2 x ， j ie3 d e2 1 x ，
d ian3 B z ai4 zh i2 x ian4 x y 0 sh ang4 ün4 d ong4 .
zh eng4 m ing2 ： A D 、 B F sh i4 A B C d e0 g ao1 ，
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s . i3 j i2 d ian3 uei4 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 .
d a2 ： b ei3 j i2 d e0 n ian2 p ing2 j ün1 q i4 uen1 g ao1 。
z ai4 t ong2 i1 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 z uo4 ch u1 l iang3 g e4 h an2 sh u4 d e0 d a4 zh i4 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 （ a x ian3 r an2 d a4 ü2 0 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 d uei4 ü2 i1 c i4 h an2 sh u4 g ( x ) a x b ， d ang1 d ang1 a 0 sh i2 ， y s uei2 x d e0 z eng1 d a4 er2 『 z eng1 d a4 』 . 』
iou2 t u2 k e3 zh i1 ， p ao1 u4 x ian4 d e0 d ing3 d ian3 z uo4 b iao1 z ai4 d i4 i1 x iang4 x ian4 ，
p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， p q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
g u4 q iou2 q ü3 ch u1 h ou4 ， r ong2 q i4 n ei4 sh uei3 sh en1 uei4 r .
A . p q uei4 zh en1 ， p q uei4 zh en1 ， p uei4 j ia3
in1 uei4 l iang3 zh i2 x ian4 d e0 x ie2 l ü4 zh i1 j i1 sh i4 1 ， s uo3 i3 l iang3 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 .
b a3 y zh ou2 r ao4 üan2 d ian3 n i4 sh i2 zh en1 x üan2 zh uan3 4 5 d e2 y zh ou2 ， z e2 d ian3 C b ian4 uei4 d ian3 C ， q ie3 O C 2 O C ， A 、 B d ian3 j i2 uei4 A 、 B ， ch ang2 d u4 b u4 b ian4 .
i1 sh i2 u3 d ian3 er4 l iou4 x ie3 z uo4 （ 1 5 . 2 6 ）
b a3 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， f 3 ( x ) g ai3 x ie3 uei4 f 1 ( x ) ( x 1 ) s i n ( x ) ( x 1 ) c o s ( x ) ，
d ang1 A B sh i2 ， iou3 a 2 h uo4 m 3 ；
2 sh i2 4 0 f en1 （ ） sh i2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
r uo4 d ian3 P （ 2 0 1 6 ， 2 0 1 7 ） j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 d e0 d ian3 z ai4 q ü1 x ian4 x y k sh ang4 ， z e2 k .
y a x （ a 0 q ie3 a 1 ） d e0 t u2 x iang4 i2 d ing4 g uo4 d ing4 d ian3 （ 0 ， 1 ） .
j i2 ， ， ch eng2 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ，
sh i4 p ing2 f ang1 x iang1 j ia1 ， d e2 ( x 3 ) 2 ( y 1 ) 2 4 t 2 ，
sh e4 d i4 i1 x iang4 x ian4 n ei4 t uo3 üan2 sh ang4 i4 d ian3 M （ x ， y ） ，
D . m ü3 2 n d e0 d a4 x iao3 u2 f a3 q üe4 d ing4
iong4 sh u4 sh i4 j i4 s uan4 。 （ d i4 i1 t i2 iao4 ian4 s uan4 ）
üan2 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 f ang1 ch eng2 x 2 y 2 2 x 2 y 4 0 ， j i2 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 6 ，
（ 4 ） d ang1 x 0 sh i2 ， z e2 x 0 ， ü2 sh i4 iou3 f ( x ) ( x ) 2 ( x ) x 2 x f ( x ) .
m ing4 t i2 “ zh i4 sh ao3 iou3 i1 uei4 x üe2 üan2 m ei2 iou3 j iang4 l uo4 z ai4 zh i3 d ing4 f an4 uei2 ” ， ie3 j iou4 sh i4 “ j ia3 m ei2 iou3 j iang4 l uo4 z ai4 zh i3 d ing4 f an4 uei2 ” h uo4 “ i3 m ei2 iou3 j iang4 l uo4 z ai4 zh i3 d ing4 f an4 uei2 ” ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 』
（ 3 ） t ong2 h u2 s uo3 d uei4 d e0 üan2 zh ou1 j iao3 b u4 x iang1 d eng3 .
7 üe4 1 5 r i4 m a1 m a1 g ong1 z i1 sh ou1 r u4 3 4 0 0 üan2
üan2 C g uo4 d ian3 （ 0 ， 0 ） ， （ 3 ， 3 ） ，
s uo3 i3 ， d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ 1 ， ） .
2 0 1 6 n ian2 2 üe4 1 r i4 sh i4 x ing1 q i1 i1 ， zh e4 n ian2 d e0 3 üe4 2 r i4 sh i4 x ing1 q i1 （ ） 。
zh ong1 b u4 c uen2 z ai4 iou1 ü2 Q d e0 d ian3 ， j i2 zh ong1 m ei2 iou3 d ian3 z ai4 d ian3 Q d e0 z uo3 sh ang4 f ang1 ，
iou4 in1 uei4 f ( 0 ) 2 ， g u4 ， d e2 f ( t ) 8 s i n ( t ) 1 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d a1 p ei4 zh ong1 d e0 x üe2 uen4 』
i2 g e4 h e2 z i0 l i3 iou3 t ong2 iang4 d a4 x iao3 d e0 h ong2 q iou2 1 0 g e4 、 b ai2 q iou2 8 g e4 。 zh i4 sh ao3 iao4 m o1 ch u1 d uo1 sh ao3 g e4 q iou2 ， c ai2 n eng2 b ao3 zh eng4 iou3 4 g e4 q iou2 d e0 ian2 s e4 sh i4 x iang1 t ong2 d e0 ？
j iang1 1 ， 1 d ai4 r u4 sh ang4 sh i4 k e3 d e2 6 c o s ( ) ，
q ie3 b u4 r ong2 i4 k an4 ch u1 z uo4 b iao1 zh i1 j ian1 d e0 g uan1 x i4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r en2 m in2 b i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
d a2 ： t ong2 i1 g e4 üe4 f en4 ch u1 sh eng1 d e0 x üe2 sh eng1 zh i4 sh ao3 iou3 4 r en2 。
j ie3 ： g en1 j ü4 d an1 x iang4 sh i4 d e2 e2 d ing4 i4 k e3 zh i1 x y 2 sh i4 d an1 x iang4 sh i4 ， g u4 A zh eng4 q üe4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ， z e2 { x | 2 x 1 0 } sh i4 { x | 1 m x 1 m （ m 0 ） } d e0 『 zh en1 』 z i0 j i2 . 』
j ie3 ： üan2 m ing4 t i2 p ： z ai4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 ， “ r uo4 a 1 a 2 a 3 ， z e2 sh u4 l ie4 { a n } d i4 z eng1 sh u4 l ie4 ” ， sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 z uei4 h ou4 i1 b u4 s uan4 ch u2 f a3 ， ing1 x ian1 s uan4 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 ， z e2 g ei3 1 3 2 7 2 ü3 『 8 4 1 6 』 j ia1 k uo4 h ao4 。 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 （ 2 ， ） d ao4 zh i2 x ian4 p s i n ( ) 1 d e0 j ü4 l i2 sh i4 .
j ia3 sh e4 d ang1 n k （ k uei4 ou3 sh u4 ） sh i2 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 ， j i2
z ai4 r u2 t u2 d e0 j i2 h e2 q üan1 zh ong1 ， iou3 5 g e4 sh i2 sh u4 ， q ing3 n i3 j i4 s uan4 q i2 zh ong1 d e0 iou3 l i3 sh u4 d e0 h e2 ü3 u2 l i3 sh u4 d e0 j i1 d e0 ch a4 .
D . 5 sh i4 2 5 d e0 p ing2 f ang1 g en1
m ing4 t i2 “ r uo4 a b ， z e2 a c b c ” （ a ， b ， c d ou1 sh i4 sh i2 sh u4 ） ü3 t a1 d e0 n i4 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2 h e2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 zh ong1 ， zh en1 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
z e2 d i3 m ian4 m ian4 j i1 S a b 4 m 2 ， y 2 0 S 1 0 [ 2 ( a b ) ] 2 0 ( a b ) 8 0 ，
r u2 t u2 ， i3 g uo4 üan2 d ian3 d e0 zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 c an1 sh u4 ， z e2 üan2 x 2 y 2 x 0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 .
d a2 ： d i4 er4 d uei1 p ing2 g uo3 p ing2 j ün1 m ei3 k uang1 zh uang1 d e0 g eng4 d uo1 。
b a3 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 g ai3 x ie3 ch eng2 “ r uo4 p ， z e2 q ” d e0 x ing2 sh i4 ， b ing4 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 .
（ 1 ） f ang1 ch eng2 x 2 3 0 m ei2 iou3 iou3 l i3 g en1 ；
iou3 i2 g e4 zh eng4 s an1 l eng2 zh uei1 ， d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 3 c m ， g ao1 uei4 3 c m ， h ua4 ch u1 zh e4 g e4 zh eng4 s an1 l eng2 zh uei1 d e0 zh i2 g uan1 t u2 .
g u4 “ ch u1 x ian4 d e0 d ian3 sh u4 x iang1 t ong2 ” d e0 g ai4 l ü4 uei4
d ian3 （ x ， y ） g uan1 ü2 d ian3 A （ 0 ， 1 ） d e0 d uei4 ch en4 d ian3 （ x ， 2 y ） z ai4 h ( x ) t u2 x iang4 sh ang4 ，
z ai4 A B C d i3 b ian1 B C 1 0 ， A B ， i3 B uei4 j i2 d ian3 ， B C uei4 j i2 zh ou2 ， q iou2 d ing3 d ian3 A d e0 g uei3 j i4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
i3 zh i1 p ： x 2 8 x 2 0 0 ， q ： x 2 2 x 1 m 2 0 （ m 0 ） ， q ie3 p sh i4 q d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ， sh i4 q iou2 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
（ 1 ） sh ou1 r u4 2 5 0 0 üan2 ， zh i1 ch u1 8 0 0 üan2 。
l ing4 x c o s ， y s i n k e3 d e2 x 2 y 2 2 y 4 x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 z i4 m u3 b iao3 sh i4 sh u4 』
B 1 G C F sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 b ei4 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 、 ü2 x ian2 、 zh eng4 q ie1 』
（ 2 ） r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， s an1 g e4 s an1 l eng2 zh uei1 f en1 b ie2 sh i4 A A B C ， B A B C ， C A B C .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， i3 zh i1 d ian3 F ， B ， E ， C z ai4 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 sh ang4 ， d ang1 t ian1 j ia1 t iao2 j ian4 F sh i2 D F A C ， d ang1 t ian1 j ia1 t iao2 j ian4 F E D sh i2 D E A B .
q i2 zh ong1 ， zh eng4 q üe4 j ie2 l uen4 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
B . i1 t iao2 sh e4 x ian4
【 t i2 sh i4 】 『 sh ang4 b ei3 x ia4 n an2 ， z uo3 x i1 iou4 d ong1 ， sh u1 d ian4 h e2 h ua1 d ian4 d ou1 z ai4 l i3 f a4 d ian4 d e0 iou4 b ian1 ， iou4 sh i4 zh i3 『 d ong1 』 m ian4 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t i1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
（ 1 ） d ian3 P z ai4 d i4 i1 、 s an1 x iang4 x ian4 d e0 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 sh ang4 ；
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) m an3 z u2 d uei4 r en4 i4 x 1 x 2 ， d ou1 iou3 0 ch eng2 l i4 ， z e2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
r uo4 a 2 ( b 1 ) 2 0 ， z e2 x ia4 l ie4 g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 zh ong1 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 sh i4 （ ）
（ 2 ） d ian3 A g uan1 ü2 j i2 d ian3 d e0 d uei4 ch en4 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 ；
（ 1 ） q iou2 f ( x ) d e0 f an3 h an2 sh u4 f 1 ( x ) ， b ing4 q iou2 ch u1 f an3 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 ；
z e2 d ang1 n k 1 sh i2 ， T k 1 3 8 k T k 3 8 k [ 8 k 2 ( 1 ) k ]
b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | 2 x 1 } .
A . ü3 ( ) 2 d e0 zh i2 b u4 i2 d ing4 x iang1 d eng3
i2 g e4 üan2 zh uei1 x ing2 d e0 t ie3 zh i4 l ing2 j ian4 ， d i3 m ian4 j i1 sh i4 1 2 . 5 d m 2 ， g ao1 6 d m 。 zh e4 zh ong3 t ie3 m ei3 l i4 f ang1 f en1 m i3 d e0 zh i4 l iang4 uei4 7 . 8 k g ， zh e4 g e4 l ing2 j ian4 d e0 zh i4 l iang4 sh i4 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 ？
C . j üe2 d uei4 zh i2 z uei4 d a4 d e0 sh u4
üan2 m ing4 t i2 d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ，
z e2 sh i4 j ian4 D d e0 d u4 l iang4 uei4 A C C ， er2 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 z ong3 d e0 d u4 l iang4 uei4 A C B ，
（ 2 ） r uo4 zh i2 x ian4 A A 1 ü3 p ing2 m ian4 A P Q s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 4 5 ， q iou2 sh i2 sh u4 d e0 zh i2 .
s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
iou2 d e0 ， d ai4 r u4 x 2 y 2 1 d e2
B . i3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 i1 t iao2 b ian1 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 uei4 x üan2 zh uan3 zh ou2 ， q i2 ü2 l iang3 b ian1 x üan2 zh uan3 x ing2 ch eng2 d e0 q ü3 m ian4 s uo3 uei2 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 j iao4 üan2 zh uei1
（ 2 ） p an4 d uan4 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 .
3 0 0 m i3 （ ） q ian1 m i3
s uo3 i3 A C p ing2 m ian4 A B E F .
a 0 ， q ü1 x ian4 C 1 ü3 q ü1 x ian4 C 2 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 z ai4 x zh ou2 sh ang4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 s an1 j iao3 x ing2 』
【 t i2 sh i4 】 『 b i3 t ong3 sh i4 u2 g ai4 d e0 üan2 zh u4 t i3 ， zh an3 k ai1 t u2 b ao1 k uo4 1 g e4 『 üan2 』 x ing2 h e2 1 g e4 『 zh ang3 』 f ang1 x ing2 。 』
r u2 t u2 ， z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 S A B C D zh ong1 ， S D p ing2 m ian4 A B C D ， s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 ， A D C D A B 9 0 ， S D A D A B 2 ， D C 1 .
i3 zh i1 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） h e2 zh i2 x ian4 l d uei4 ing4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 sh i4 x y 6 0 .
（ 3 ） iou2 ( a 2 ) ( a 3 ) 0 k e3 i3 t uei1 ch u1 a 2 h uo4 a 3 ， b u4 i2 d ing4 iou3 a 3 ；
（ 1 ） q iou2 j i2 h e2 A ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
C . b u4 t ong2 d e0 d ian3 i2 d ong4 d e0 j ü4 l i2 x iang1 t ong2
j ie3 ： iou2 t i2 i4 zh i1 ， | O M | | O N | 6 ， M O N 6 0 ，
d ang1 m 1 h e2 3 sh i2 ， h an2 sh u4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y x 0 1 （ x 0 ） ；
j ie3 ： g uan1 ch a2 t u2 x iang4 k e3 d e2 y d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 （ ， 1 ） （ 1 ， 3 ） ，
d a2 ： iao4 z ai4 sh uei3 ch i2 d e0 s i4 zh ou1 an1 zh uang1 uei2 l an2 ， uei2 l an2 zh ang3 2 4 m i3 。
j ie3 ： iou2 ü2 ( ) 2 ， z e2 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 ；
D 、 F f en1 b ie2 sh i4 A B 、 A C d e0 zh ong1 d ian3 ，
8 j iao3 0 . 8 üan2 1 . 2 üan2
A 1 ， C 1 ， C ， A s i4 d ian3 g ong4 m ian4 ，
（ 2 ） ( x 3 ) 2 ( y 3 ) 2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 h e2 z uei4 x iao3 zh i2 .
q iou2 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 g en1 .
x ia4 l ie4 g e4 sh i4 b u4 n eng2 h ua4 j ian3 uei4 d e0 sh i4 （ ）
m ing4 t i2 p d e0 n i4 m ing4 t i2 sh i4 ： “ r uo4 sh u4 l ie4 { a n } d i4 z eng1 sh u4 l ie4 ” ， z e2 “ a 1 a 2 a 3 ” ， sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
d ian3 A d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 3 ， 0 ） .
1 . d ai4 iou3 “ ” h ao4 d e0 sh u4 d ou1 sh i4 zh eng4 sh u4 . （ ）
h ua4 j ian3 zh eng3 l i3 k e3 d e2 x 2 y 2 a 2 ，
sh e4 zh i2 x ian4 ü3 t uo3 üan2 j iao1 ü2 A 、 B l iang3 d ian3 ，
（ 3 ） sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 z i4 r an2 sh u4 a ， sh i3 d e0 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 q ia4 uei4 [ ， ] ？ r uo4 c uen2 z ai4 ， sh i4 x ie3 ch u1 s uo3 iou3 m an3 z u2 a s uo3 g ou4 ch eng2 d e0 j i2 h e2 ； r uo4 b u4 c uen2 z ai4 ， sh i4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
B . l iang3 g e4 r uei4 j iao3
i3 zh i2 j iao3 b ian1 B C uei4 zh ou2 ： V 2 3 . 1 4 1 0 2 4 ；
iou3 l iang3 b ian1 p ing2 x ing2 ， l ing4 l iang3 b ian1 f en1 b ie2 z ai4 l iang3 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
d ai4 r u4 y 1 3 x 1 2 1 ， d e2
s uo3 i3 ch ang2 sh i3 iong4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ian2 j iou1 üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 uen4 t i2 ； z ai4 q iou2 üan2 d e0 b ai3 x ian4 h e2 j ian4 k ai1 x ian4 f ang1 ch eng2 sh i2 ，
d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 sh i4 r uei4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 n i4 m ing4 t i2 uei4 ： r uei4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 sh i4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ，
z e2 k e3 b a3 zh i2 x ian4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
s uo3 i3 d ang1 a 0 sh i2 ， 3 0 ， b u4 m an3 z u2 t i2 i4 ；
üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 sh i4 d .
t uo3 üan2 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 1 ， x ie3 ch u1 t a1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 』
B d ian3 d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， ， 3 ） ；
in1 uei4 C O p ing2 m ian4 A B C ，
g u4 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 （ 1 ， ） .
（ 2 ） m ing4 t i2 r ： l iang3 c i4 d ou1 m ei2 j i1 zh ong4 f ei1 j i1 ；
q iou2 zh eng4 ： P Q p ing2 m ian4 B C E .
z ong1 sh ang4 k e3 d e2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 3 ， 0 ] .
d ang1 t sh i2 ， | t ( 1 t ) | 2 z uei4 x iao3 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 ，
d ian3 （ 1 ， ） d ao4 zh i2 x ian4 x y 6 0 d e0 j ü4 l i2 d 1 .
iou4 in1 uei4 x 2 ， s uo3 i3 a ( 2 k s i n 2 k ) 2 ，
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b c sh i2 ， q ü3 “ ” ， s uo3 i3 m 1 8 .
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 | x 1 | ， | y 2 | ，
（ 1 ） q iou2 f ( 1 ) ， f ( 2 ) ， f ( 3 ) d e0 zh i2 ；
d uei4 ü2 ， d ang1 a b 2 1 sh i2 ， a 2 b 2 8 2 ， g u4 b u4 n eng2 t uei1 ch u1 a ， b zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 d a4 ü2 1 .
（ 3 ） sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 z i4 r an2 sh u4 a ， sh i3 d e0 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 q ia4 uei4 [ ， ] ？ r uo4 c uen2 z ai4 ， sh i4 x ie3 ch u1 s uo3 iou3 m an3 z u2 a s uo3 g ou4 ch eng2 d e0 j i2 h e2 ； r uo4 b u4 c uen2 z ai4 ， sh i4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
4 8 4 1 2 ， 9 6 8 1 2 ， x ü3 y d e0 sh ang1 i2 d ing4 ， s uo3 i3 x h e2 y ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 。
z e2 j iang1 s an1 l eng2 t ai2 f en1 ch eng2 3 g e4 s an1 l eng2 zh uei1 ， j i2 s an1 l eng2 zh uei1 A A 1 B C ， B 1 A 1 B C 1 ， C A 1 B C 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
【 t i2 sh i4 】 『 8 8 8 0 8 ， 1 2 5 8 0 1 0 0 0 0 ， 1 2 5 8 1 0 0 0 ， iong4 ch eng2 f a3 『 f en1 p ei4 』 l ü4 j ian3 s uan4 。 』
t ong2 l i3 A C 1 D 1 C ， B 1 D 1 D 1 C D 1 ， B 1 D 1 p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ， D 1 C p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ，
a b 2 4 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b 2 sh i2 ， y q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 1 6 0 ，
（ 2 ） iou2 ， j ie3 d e2 ， h uo4 .
i3 zh i1 sh u4 l ie4 { a n } sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ， q ie3 a 3 1 ， a 5 a 6 a 7 8 ， z e2 a 9 （ ）
g u4 b u4 d eng3 sh i4 x 2 3 x 4 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ 4 ， 1 ） .
p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 t ou2 ing3 sh i4 x ian4 d uan4 h uo4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ； s i4 m ian4 t i3 d e0 t ou2 ing3 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 h uo4 s i4 b ian1 x ing2 ；
j ie3 ： g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 4 x k 2 x k 3 0 ， zh i3 iou3 i2 g e4 sh i2 sh u4 j ie3 ， j i2 h an2 sh u4 f ( x ) 4 x k 2 x k 3 iou3 uei2 i1 l ing2 d ian3 ，
x ia4 l ie4 k e3 i3 z uo4 uei2 zh i2 x ian4 2 x y 1 0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d e0 sh i4 （ ）
iou2 s an1 sh i4 t u2 q iou2 m ian4 j i1 、 t i3 j i1
zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 üan2 C ： （ uei4 c an1 sh u4 ） x iang1 q ie4 ， z e2 zh i2 x ian4 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 （ ）
r uo4 x 1 ， z e2 l n x 0 ， ü2 sh i4 2 a x 1 0 ， j i2 a ( ) m a x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
（ 1 ） l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 .
（ 4 ） l in2 b u3 j iao3 d e0 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 m a0 ？
üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 sh i4 i2 g e4 （ ） ， t a1 d e0 c e4 m ian4 ie3 sh i4 i2 g e4 （ ） m ian4 。 l ian2 j ie1 üan2 zh uei1 d e0 d ing3 d ian3 ü3 d i3 m ian4 üan2 x in1 d e0 x ian4 d uan4 j iou4 sh i4 üan2 zh uei1 d e0 （ ） 。
d a2 ： zh e4 g en1 sh eng2 z i0 j ie2 q ü4 l e0 9 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b u4 g uei1 z e2 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
s uo3 i3 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 l ie4 uei4 ：
B ， ( a b ) ( b a ) f u2 h e2 l iang3 sh u4 zh i1 h e2 ü3 l iang3 sh u4 zh i1 ch a4 d e0 j i1 d e0 x ing2 sh i4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 h uo2 m ian4 j i1 d e0 d an1 uei4 『 b u4 t ong2 』 。 』
j ia3 sh ang1 ch ang3 ： 3 0 0 9 0 3 3 3 . 3 （ üan2 ）
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， q iou2 f ( 1 x ) ， x ( 0 ， 1 ) .
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
z e2 t u2 i2 g e4 h ua1 p en2 x ü1 iao4 d e0 iou2 q i1 uei4 ：
j i4 j ia3 z uei4 zh ong1 h uo4 sh eng4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 P n ， z e2
iou2 er4 c i4 g en1 sh i4 iou3 i4 i4 d e0 t iao2 j ian4 ， d e2 9 x 1 0 ，
i1 t i2 i4 ， O A B d e0 m ian4 j i1 uei4 S | O A | | O B | | s i n ( ) | 4 5 1 0 .
g u4 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ uei4 c an1 sh u4 ） .
i3 zh i1 a ， b ， c R ， m ing4 t i2 “ r uo4 a b c 3 ， z e2 a 2 b 2 c 2 3 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 （ ）
h an2 sh u4 y l o g a ( x 2 ) 3 （ a 0 ， q ie3 a 1 ） d e0 t u2 x iang4 h eng2 g uo4 i2 d ing4 d ian3 .
iou2 ü2 l u4 ch eng2 i2 d ing4 sh i2 ， sh i2 j ian1 ü3 s u4 d u4 ch eng2 f an3 b i3 ， s uo3 i3 sh i2 j ian1 b i3 uei4 9 : 1 0 。
l i4 iong4 j iao4 c ai2 zh ong1 d e0 j i4 s uan4 q i4 i1 c i4 an4 j ian4 ： ， z e2 j i4 s uan4 q i4 x ian3 sh i4 d e0 j ie2 g uo3 ü3 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 zh ong1 z uei4 j ie1 j in4 d e0 i2 g e4 sh i4 （ ）
d uei4 ü2 ， iou3 l i3 sh u4 sh i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 、 f u4 zh eng3 sh u4 、 zh eng4 f en1 sh u4 、 f u4 f en1 sh u4 、 l ing2 d e0 t ong3 ch eng1 ， c uo4 u4 ；
l i4 iong4 j i4 s uan4 q i4 ， b i3 j iao4 x ia4 l ie4 g e4 z u3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 ：
j ie2 h e2 zh i3 sh u4 h an2 sh u4 h eng2 g uo4 （ 0 ， 1 ） ， k e3 zh i1 iao4 sh i3 h an2 sh u4 y a x ( b 1 ) （ a 0 ， q ie3 a 1 ） d e0 t u2 x iang4 b u4 j ing1 g uo4 d i4 er4 x iang4 x ian4 ， z e2 b 1 1 ，
r uo4 m ou3 q ün2 t i3 zh ong1 d e0 ch eng2 üan2 zh i3 iong4 x ian4 j in1 zh i1 f u4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 0 . 4 5 ， j i4 iong4 x ian4 j in1 zh i1 f u4 ie3 iong4 f ei1 x ian4 j in1 zh i1 f u4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 0 . 1 5 ， z e2 b u4 iong4 x ian4 j in1 zh i1 f u4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 （ ）
z ai4 A B C zh ong1 ， A B 2 ， B C ， A B C 1 2 0 ， r uo4 sh i3 A B C r ao4 zh i2 x ian4 B C x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 ， z e2 s uo3 x ing2 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 d e0 t i3 j i1 sh i4 （ ）
l ian2 j ie1 B C 1 j iao1 B 1 C ü2 d ian3 O ， l ian2 j ie1 A 1 O .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g u1 s uan4 』
sh e4 sh u4 l ie4 { a n } ： 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， … ， ( 1 ) k 1 k ， … ， ( 1 ) k 1 k ， k g e4 … ， j i2 d ang1 n （ k N * ） sh i2 ， a n ( 1 ) k 1 k . j i4 S n a 1 a 2 … a n （ n N * ） . d uei4 ü2 l N * ， d ing4 i4 j i2 h e2 P l { n | S n sh i4 a n d e0 zh eng3 sh u4 b ei4 ， n N * ， q ie3 1 n l } .
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 ü2 x ian2 d ing4 l i3 x ü1 d e2 d ao4 g e4 b ian1 g uan1 x i4 ， i3 zh i1 d e0 sh i4 j iao3 d e0 g uan1 x i4 ， g en1 j ü4 『 zh eng4 x ian2 』 d ing4 l i3 d e2 d ao4 b ian1 d e0 g uan1 x i4 . 』
g u4 p ing2 m ian4 B D M ü3 p ing2 m ian4 P A D s uo3 ch eng2 r uei4 er4 m ian4 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 .
i3 zh i1 m ou3 h uang1 m o4 sh ang4 iou3 l iang3 g e4 d ing4 d ian3 A ， B ， t a1 m en0 x iang1 j ü4 2 k m ， x ian4 zh uen3 b ei4 z ai4 h uang1 m o4 sh ang4 k ai1 k en3 i1 p ian4 i3 A B uei4 i1 t iao2 d uei4 j iao3 x ian4 d e0 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 q ü1 ü4 j ian4 ch eng2 n ong2 i4 üan2 ， an4 zh ao4 g uei1 h ua4 ， uei2 q iang2 z ong3 zh ang3 uei4 8 k m .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 t u2 x iang4 d e0 p ing2 i2 g uei1 l ü4 』
A . s uo3 iou3 b u4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 d e0 sh u4 d ou1 sh i4 ou3 sh u4
g u4 d a2 an4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
d a2 ： g ong4 iou3 3 zh ong3 x üan3 f a3 。
d a2 an4 ： u2 x ian4 b u4 x ün2 h uan2 x iao3 sh u4 .
d uei4 ü2 B ， A E B D b u4 n eng2 p an4 d uan4 ch u1 E B A C ， g u4 B x üan3 x iang4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
s an1 d ian3 k e3 i3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 ；
5 0 0 p ing2 f ang1 f en1 m i3 5 p ing2 f ang1 m i3
j ie3 ： d uei4 ü2 r en4 i4 d e0 x d ou1 iou3 uei2 i1 d e0 i2 g e4 y ü3 q i2 d uei4 ing4 z e2 k e3 ch eng1 uei2 h an2 sh u4 ， zh ong1 ， m ei3 g e4 x iou3 uei2 i1 d e0 i2 g e4 y ü3 q i2 d uei4 ing4 ，
ün4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 j iao1 h uan4 l ü4 d e0 sh i4 ：
h ua4 j ian3 x ia4 l ie4 g e4 b i3 ， b ing4 q iou2 b i3 zh i2 。 g e4 b i3 zh i2 f en1 b ie2 b iao3 sh i4 sh en2 m e0 ？
g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 ： x ( x 2 ) 1 2 0 ，
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 3 x 2 y ， j i2 x 2 ， y 3 sh i2 q ü3 d e0 d eng3 h ao4 ，
i3 zh i1 x 0 ， y 0 ， q ie3 1 ， q iou2 x y d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
C . （ t uei4 c an1 sh u4 ）
j ia3 sh e4 i m sh i2 ch eng2 l i4 ， j i2 S m ( 2 m 1 ) m ( 2 m 1 ) ， z e2 i m 1 sh i2 ， S ( m 1 ) ( 2 m 3 ) S m ( 2 m 1 ) ( 2 m 1 ) 2 ( 2 m 2 ) 2 m ( 2 m 1 ) 4 m 3 ( 2 m 2 5 m 3 ) ( m 1 ) ( 2 m 3 )
（ 2 ） iou2 s an1 sh i4 t u2 k e3 p an4 d uan4 g ai1 j i3 h e2 t i3 uei4 zh eng4 s i4 l eng2 t ai2 ， j i2 l iou4 m ian4 t i3 ， t a1 iou3 1 2 t iao2 l eng2 ， 8 g e4 d ing3 d ian3 ；
j i2 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 g ong4 iou3 4 d uei4 .
d uei4 ü2 ， r uo4 m n ， ， n ， z e2 m ü3 k e3 p ing2 x ing2 h uo4 x iang1 j iao1 ， g u4 m ing4 t i2 c uo4 u4 ；
h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 R sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ： | m n | d e0 zh i2 uei4 2 h uo4 8 .
【 t i2 sh i4 】 『 0 . 6 4 h ua4 ch eng2 b ai3 f en1 sh u4 ， x iao3 sh u3 d ian3 x iang4 iou4 i2 d ong4 『 l iang3 』 uei4 ， t ian1 sh ang4 b ai3 f en1 h ao4 。 』
d a2 an4 ： （ uei4 c an1 sh u4 ） .
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， f ( m ) 1 .
i3 zh i1 a 0 ， b 0 ， sh i4 b i3 j iao4 h e2 d e0 d a4 x iao3 .
（ 2 ） p ： x 0 ， y 0 ， q ： x y 0 ， ch ong1 f en4 x ing4 ch eng2 l i4 ， P ： x y 0 ， q ： x 0 ， y 0 h uo4 x 0 ， y 0 ， b i4 iao4 x ing4 b u4 ch eng2 l i4 ， g u4 （ 2 ） p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ，
d ian3 （ 1 ， 1 ） d ao4 üan2 x in1 d e0 j ü4 l i2 uei4 d 1 ， üan2 b an4 j ing4 uei4 ， s uo3 i3 x ian2 zh ang3 uei4 2 4 ，
l iang3 t iao2 i4 m ian4 zh i2 x ian4 zh i3 d e0 sh i4 j i4 b u4 p ing2 x ing2 iou4 b u4 x iang1 j iao1 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ；
j ie3 ： l iang3 g e4 m ing4 t i2 zh ong1 ， r u2 g uo3 i2 g e4 m ing4 t i2 d e0 t iao2 j ian4 h e2 j ie2 l uen4 f en1 b ie2 sh i4 l ing4 i2 g e4 m ing4 t i2 d e0 j ie2 l uen4 h e2 t iao2 j ian4 sh i2 ， n a4 m e0 zh e4 l iang3 g e4 m ing4 t i2 ch eng1 uei2 h u4 n i4 m ing4 t i2 ， q i2 zh ong1 i2 g e4 m ing4 t i2 ch eng1 uei2 l ing4 i2 g e4 m ing4 t i2 d e0 n i4 m ing4 t i2 ， s uo3 i3 r en4 h e2 m ing4 t i2 d ou1 iou3 n i4 m ing4 t i2 ， j i2 d a2 an4 A sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ；
iou4 V sh uei3 V üan2 zh uei1 V q iou2 ， z e2 x 3 3 r 3 r 3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 D C A C ， D C B O ， z e2 D C ü3 A C h e2 B O z u3 ch eng2 d e0 p ing2 m ian4 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： in1 uei4 y 2 | x | z ai4 [ 0 ， ） ， （ ， 0 ） ， [ 2 ， 4 ] sh ang4 d an1 d iao4 ，
x ie3 ch u1 i2 g e4 f u4 sh u4 ， sh i3 zh e4 g e4 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 x iao3 ü2 3 ： .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( x ) ， q i2 zh ong1 x [ ， ] ， r uo4 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 sh i4 [ ， 1 ] ， z e2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
zh i2 x ian4 l d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 0 .
（ 2 ） r u2 g uo3 x iao3 l i4 x ian4 z ai4 d e0 uei4 zh i4 sh i4 6 m ， sh uo1 m ing2 t a1 sh i4 x iang4 （ ） z ou3 l e0 （ ） m 。
in1 c i3 “ A B { 1 } ” sh i4 “ a 1 ” d e0 b i4 iao4 f ei1 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 y A s i n （ x ） d e0 t u2 x iang4 b ian4 h uan4 』
d a2 ： zh e4 j ian4 i1 f u2 d e0 üan2 j ia4 sh i4 4 7 5 üan2 。
j ie3 ： sh e4 d ian3 （ ， 1 ） j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） .
4 6 7 7 4 5 0 0 1 3 . 4 6 2 6 7 7 8 3 （ r en2 ） 6 2 7 （ uan4 r en2 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
j ie3 ： A 、 B 、 C sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 』
d an4 m ing4 t i2 “ a N ” n eng2 t uei1 ch u1 m ing4 t i2 “ a M ” .
z ong1 sh ang4 ， a 0 ， b 0 ， z e2 a 6 b 6 a b ( a 4 b 4 ) .
g uan1 ü2 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 ， ， ， x ia4 l ie4 s an1 g e4 m ing4 t i2 ：
sh e4 p ing2 m ian4 S B C d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x ， y ， z ） ， iou2 0 ， 0 ， d e2 2 x 2 y 2 z 0 ， y 2 z 0 ， q ü3 z 1 ， d e2 x 1 ， y 2 ， s uo3 i3 （ 1 ， 2 ， 1 ） sh i4 p ing2 m ian4 S B C d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 .
d ang1 n 1 5 sh i2 zh e4 3 g e4 j i1 sh u4 uei4 1 5 ， 1 7 ， 1 9 ；
f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ， a b 0 ） b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s ， zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 s i n ( ) m . r uo4 zh i2 x ian4 l ü3 q ü1 x ian4 C iou3 q ie3 zh i3 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， q iou2 sh i2 sh u4 m d e0 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 sh i4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
【 t i2 sh i4 】 『 sh u4 zh ou2 sh ang4 ， iou4 b ian1 d e0 d ian3 b iao3 sh i4 d e0 sh u4 『 d a4 』 ü2 z uo3 b ian1 d e0 d ian3 b iao3 sh i4 d e0 sh u4 . 』
A . b u4 t ong2 d e0 d ian3 i2 d ong4 d e0 j ü4 l i2 b u4 t ong2
d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 l j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 .
（ 2 ） q iou2 A T F d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
r u2 t u2 ， z ai4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 A B C zh ong1 ，
x iang4 l iang4 z ai4 x iang4 l iang4 f ang1 x iang4 sh ang4 d e0 t ou2 ing3 uei4 | | c o s .
j ie3 ： iou2 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s ( ) 1 ， zh an3 k ai1 k e3 d e2 ： ( c o s s i n ) 1 ， k e3 d e2 ：
g u4 “ a M ” sh i4 m ing4 t i2 “ a N ” d e0 b i4 iao4 er2 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
j ie3 ： sh e4 u x 2 2 ， z e2 u d e0 zh i2 ü4 uei4 [ 2 ， ） .
（ 2 ） c ong2 zh uang1 iou3 x ing2 zh uang4 uan2 q üan2 i1 iang4 q ie3 f en1 b ie2 b iao1 iou3 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 h ao4 d e0 5 g e4 q iou2 d e0 d ai4 zh ong1 r en4 i4 q ü3 ch u1 l iang3 g e4 q iou2 d e0 sh i4 ian4 zh ong1 .
（ 1 ） q iou2 g ai1 üe4 d uei4 zh i4 sh ao3 ian3 ch ang4 1 sh ou3 üan2 ch uang4 x in1 q ü1 d e0 g ai4 l ü4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 z uei4 d a4 d e0 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 ü3 g ao1 d ou1 sh i4 『 4 』 c m 。 』
i3 zh i1 f ( 2 x ) 3 ， z e2 f ( x ) （ ）
d ang1 y 1 0 sh i2 ， x 1 3 ； d ang1 y 2 sh i2 ， x 2 ，
q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 8 x 1 5 0 ， j i2 ( x 4 ) 2 y 2 1 ，
j ie3 ： r uo4 a b ， c 0 ， z e2 a c b c ， s uo3 i3 üan2 m ing4 t i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， z e2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 ；
C . 5 R 2 d e0 x i4 sh u4 sh i4 5 ， g u4 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
z ai4 l eng2 zh ang3 j ün1 x iang1 d eng3 d e0 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh ong1 ， D ， E ， F f en1 b ie2 sh i4 A B ， B C ， C A d e0 zh ong1 d ian3 ， z e2 x ia4 l ie4 s i4 g e4 j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
r u2 g uo3 p ing2 m ian4 b u4 ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 ， n a4 m e0 p ing2 m ian4 n ei4 i1 d ing4 b u4 c uen2 z ai4 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 ， m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： （ 1 ） i1 t i2 i4 ， i3 d ian3 A uei4 üan2 d ian3 j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 （ r u2 t u2 ） ， k e3 d e2 B （ 1 ， 0 ， 0 ） ， C （ 2 ， 2 ， 0 ） ， D （ 0 ， 2 ， 0 ） ， P （ 0 ， 0 ， 2 ） ， iou2 E uei4 l eng2 P C d e0 zh ong1 d ian3 ， d e2 E （ 1 ， 1 ， 1 ） .
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 y 1 sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ， g u4 s uo3 q iou2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 1 .
iou2 t i2 zh i1 er4 m ian4 j iao3 A 1 B C 1 B 1 uei4 r uei4 j iao3 ，
iong4 7 . 5 、 3 、 5 、 2 zh e4 s i4 g e4 sh u4 z u3 ch eng2 b u4 t ong2 d e0 b i3 l i4 sh i4 。
q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ q ing3 b a3 zh eng4 q üe4 m ing4 t i2 d e0 x ü4 h ao4 d ou1 t ian2 sh ang4 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 l iou4 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 『 zh eng4 f ang1 』 x ing2 . 』
m ing4 t i2 “ x [ 0 ， ） ， x 3 x 0 ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 （ ）
j ie3 ： 3 0 uan4 üan2 3 0 0 0 0 0 üan2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch u2 f a3 』
i3 zh i1 x ， y m an3 z u2 | y 3 | 0 ， q iou2 ( x y ) 2 0 2 0 d e0 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 .
d a2 ： r u2 g uo3 iong4 zh e4 x ie1 q ian2 m ai3 ch a2 b ei1 ， k e3 i3 m ai3 1 8 g e4 ， h ai2 sh eng4 4 üan2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f ang1 ch eng2 d e0 j ie3 h e2 j ie3 f ang1 ch eng2 』
x ia4 m ian4 zh i2 x ian4 sh ang4 m ei3 g e2 b iao3 sh i4 1 m ， x iao3 l i4 g ang1 k ai1 sh i3 d e0 uei4 zh i4 z ai4 0 ch u4 。
iou2 l ian2 l i4 k e3 d e2 ，
s uo3 i3 | a b | | 2 3 | 1 ， h uo4 | a b | | 2 3 | 1 .
（ 1 ） ch u1 x ian4 d ian3 sh u4 x iang1 t ong2 d e0 g ai4 l ü4 ；
（ 5 ） j iang1 x iao3 m ing2 c ong2 d a4 m en2 d ao4 b ao4 g uan3 d e0 x ing2 z ou3 l u4 x ian4 b u3 ch ong1 uan2 zh eng3 （ ch ang2 f ang1 x ing2 n ei4 t ian2 x ing2 z ou3 f ang1 x iang4 ） 。
sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， l i4 iong4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 x ian3 r an2 zh eng4 q üe4 ， in1 c i3 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
b a3 x ia4 m ian4 d eng3 sh i4 g ai3 x ie3 ch eng2 b i3 l i4 sh i4 。
s uo3 i3 a 1 ， b 0 h uo4 a 1 ， b uei4 r en4 i4 sh i2 sh u4 .
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) r uo4 f ( a ) 2 ， z e2 sh i2 sh u4 a .
d a2 an4 ： h uo4 .
s t 3 ， d ai4 r u4 sh ang4 g e4 sh i4 z i0 zh ong1 d e2 d ao4 s t 1 ，
A . （ t uei4 c an1 sh u4 ）
q ü1 x ian4 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 1
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 “ A B ” n eng2 t uei1 ch u1 “ a c o s A b c o s B ” ， 『 ch ong1 f en4 』 x ing4 ch eng2 l i4 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ü3 ch u2 f a3 d e0 g uan1 x i4 』
d ang1 sh i2 ， 4 c o s ( ) 1 1 q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 7 ，
j ie3 ： c ao1 ch ang3 d e0 sh i2 j i4 zh ang3 ： 7 7 0 0 0 （ c m ） 7 0 （ m ）
l iang3 sh i4 x iang1 ch eng2 k e3 d e2 ( a 2 b 2 a b ) ( a b 2 a 2 b 1 ) 9 a 2 b 2 ， d ang1 uei4 j in3 d ang1 a b 1 sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 .
z e2 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 ch ang2 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 k uan1 ，
r uo4 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 sh i4 a ， m ian4 j i1 uei4 S ， z e2 （ ）
i3 zh i1 x iang4 l iang4 sh i4 j ü3 zh en4 A d e0 sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 1 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 . z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， d ian3 P （ 1 ， 1 ） z ai4 j ü3 zh en4 A d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 z uo4 iong4 x ia4 b ian4 uei4 d ian3 P （ 3 ， 3 ） ， q iou2 j ü3 zh en4 A .
in1 uei4 t ong2 l i3 iou2 n k e3 zh i1 g uo4 zh i2 x ian4 n k e3 z uo4 ch u1 i2 g e4 p ing2 m ian4 ü3 j iao1 ü2 i4 zh i2 x ian4 l ，
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 x in1 d e0 j i2 j ing4 sh i4 『 O A 』 d e0 ch ang2 d u4 . 』
（ 2 ） s an1 j iao3 x ing2 A D E d e0 m ian4 j i1 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 A B C m ian4 j i1 d e0 j i3 f en1 zh i1 j i3 ？
i2 g e4 zh eng4 f ang1 t i3 n ei4 j ie1 ü2 i2 g e4 q iou2 ， g uo4 q iou2 x in1 z uo4 i2 g e4 j ie2 m ian4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 j ie2 m ian4 t u2 x ing2 k e3 n eng2 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
q iou2 3 h e2 q iou2 4 ， q iou2 3 h e2 q iou2 5 ，
C . üan2 m ing4 t i2 、 n i4 f ou3 m ing4 t i2
n i4 m ing4 t i2 uei4 j ia3 ， A x iang4 b u4 zh eng4 q üe4 .
s uo3 i3 j iao1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） .
r uo4 a ， b sh i4 zh eng4 sh u4 ， z e2 ， ， s an1 g e4 sh u4 d e0 d a4 x iao3 sh uen4 x ü4 sh i4 .
r u2 t u2 ， z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， P D p ing2 m ian4 A B C D ， A D C D ， D B p ing2 f en1 A D C ， E uei4 P C d e0 zh ong1 d ian3 ， A D C D .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 b ei4 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 、 ü2 x ian2 、 zh eng4 q ie1 』
sh e4 zh i2 x ian4 C C 1 ü3 p ing2 m ian4 A Q C 1 s uo3 ch eng2 j iao3 uei4 ，
j i2 z uo4 b iao1 x i4
b u4 f ang2 sh e4 ， ， z e2 x ian4 d uan4 d e0 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 ，
x iao3 j ün1 x iang4 x i1 z ou3 l e0 7 m ， j i4 z uo4 7 m ， 7 7 1 4 ， c i3 sh i2 l iang3 r en2 x iang1 j ü4 1 4 m 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ie2 er4 c e4 f a3 h ua4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 』
O C l iang3 l iang3 ch eng2 1 2 0 ，
s en1 l in2 l i3 d e0 x iao3 d ong4 u4 m en0 i4 q i3 l ai2 zh u4 h e4 x iao3 x iong2 g ai4 l e0 x in1 f ang2 ， t a1 m en0 p ai2 d uei4 t iao4 j i2 t i3 u3 。 r u2 g uo3 m ei3 x ing2 zh an4 2 0 g e4 ， zh eng4 h ao3 zh an4 1 2 x ing2 。 r u2 g uo3 m ei3 x ing2 zh an4 2 4 g e4 ， k e3 i3 zh an4 d uo1 sh ao3 x ing2 ？
r u2 t u2 （ a ） s uo3 sh i4 ， d eng3 iao1 t i1 x ing2 A B C D uei4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 üan2 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， z uo4 D E A B j iao1 B C ü2 d ian3 E ，
b a3 q ü1 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， x iao1 q ü4 c an1 sh u4 ， h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y ( x 2 ) 2 ，
j ie3 k e3 d e2 x 4 .
m ing4 t i2 （ 3 ） uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
s uo3 i3 t a1 i1 g ong4 iou2 l e0 3 2 0 0 m i3 。
【 t i2 sh i4 】 『 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 （ r ， ， z ） ü3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 （ x ， y ， z ） d e0 zh uan3 h uan4 g uan1 x i4 uei4 x 『 r c o s 』 ， y 『 r s i n 』 ， z z ， b en3 t i2 zh ong1 r sh i4 2 ， sh i4 ， z sh i4 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 ing4 iong4 』
1 ü3 D h u4 ü2 ，
i2 g e4 üan2 zh u4 t i3 sh uei3 g ang1 üan2 l ai2 zh uang1 iou3 i1 x ie1 sh uei3 。 z ai4 f ang4 r u4 i1 k uai4 sh i2 t ou0 h ou4 （ sh i2 t ou0 q üan2 b u4 m o4 r u4 sh uei3 zh ong1 ） ， sh uei3 m ian4 sh ang4 sh eng1 l e0 0 . 5 d m 。 i3 zh i1 sh uei3 g ang1 d e0 d i3 m ian4 j i1 sh i4 6 0 d m 2 ， n a4 m e0 f ang4 r u4 d e0 zh e4 k uai4 sh i2 t ou0 d e0 t i3 j i1 uei4 （ ） d m 3 。
A D p ing2 f en1 B A C j iao1 O ü2 d ian3 D ，
iou2 s i n ( ) 3 zh an3 k ai1 d e2 s i n c o s 3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 f en1 b ie2 h e2 q i2 t a1 s an1 g e4 r en2 p ai1 zh ao4 ， iou3 『 6 』 zh ong3 p ai2 f a3 。 』
x ia4 l ie4 ü3 j ü4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
d uei4 ü2 D ， b ei4 k ai1 f ang1 sh i4 x 4 sh i4 n eng2 k ai1 d e2 j in3 f ang1 d e0 d ai4 sh u4 sh i4 ， g u4 b u2 sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 .
q iou2 p d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
x üe2 x iao4 sh i2 t ang2 m ai3 h uei2 2 4 d ai4 d a4 m i3 ， m ei3 d ai4 x k g ， j i4 h ua4 ch i1 1 5 t ian1 。 2 4 x b iao3 sh i4 （ ） 。 2 4 x 1 5 b iao3 sh i4 （ ） 。 r u2 g uo3 x 1 0 ， z e2 2 4 x 1 5 （ ） 。
s uo3 i3 E ( X ) 8 8 0 0 0 . 1 9 4 0 0 0 . 2 1 0 0 0 0 0 . 3 1 0 2 0 0 0 . 3 1 0 4 0 0 0 . 1 9 8 6 0 （ üan2 ） .
h an2 sh u4 y a x 3 3 （ a 0 ， q ie3 a 1 ） d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ing4 d ian3 .
r u2 t u2 ， A O B C O D 6 0 ， O A O B ， O C O D ， b a3 A O C r ao4 zh e0 d ian3 O sh uen4 sh i2 zh en1 x üan2 zh uan3 6 0 ， d ian3 A j iang1 l uo4 z ai4 d ian3 sh ang4 ， d ian3 C j iang1 l uo4 z ai4 d ian3 sh ang4 ， in1 c i3 A O C ü3 B O D k e3 i3 t ong1 g uo4 b ian4 h uan4 uan2 q üan2 ch ong2 h e2 .
（ 3 ） i3 i2 g e4 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 i1 t iao2 g ao1 uei4 zh ou2 ， x üan2 zh uan3 b an4 zh ou1 sh i2 j iou4 k e3 i3 x ing2 ch eng2 i2 g e4 üan2 zh uei1 ， g u4 üan2 t i2 zh eng4 q üe4 。
sh ang4 üe4 i1 g ong4 iong4 sh uei3 ： 6 4 1 0 （ m 3 ） 。
d ang1 n uei4 j i1 sh u4 sh i2 ， sh e4 n 2 k 1 （ k N * ） ， z e2 a n a 2 k 1 s i n t a n n s i n ( k t a n n .
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 A zh uan3 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 ， x c o s ， c o s 『 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i4 m ian4 zh i2 x ian4 d e0 p an4 d ing4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
b ei3 j i2 d e0 n ian2 p ing2 j ün1 q i4 uen1 g ao1 h ai2 sh i4 n an2 j i2 d e0 n ian2 p ing2 j ün1 q i4 uen1 g ao1 ？
（ 4 ） zh eng4 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 sh i4 t a1 b en3 sh en1 .
z e2 0 ， j ie3 d e2 a 0 ，
z e2 ， zh eng3 l i3 d e2 x y 0 .
j ie3 ： A 、 f ang1 ch eng2 zh ong1 h an2 iou3 l iang3 g e4 uei4 zh i1 sh u4 ， b u2 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 c uo4 u4 ；
j ie2 h e2 1 ， k e3 d e2 a 2 q ie3 b 4 ，
i3 zh i1 a ， b ， c uei4 zh eng4 sh i2 sh u4 ， q ie3 a 3 b 3 c 3 a 2 b 2 c 2 . q iou2 zh eng4 ： a b c 3 .
h ua4 j ian3 d e2 2 8 9 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t an4 j iou1 g uei1 l ü4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 j i4 s uan4 q i4 k ai1 f ang1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 sh u4 h e2 f u4 sh u4 』
iou4 zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 P （ 3 ， ） ， A 、 B l iang3 d ian3 d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 f en1 b ie2 uei4 t 1 ， t 2 ，
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q iou2 üan2 2 c o s d e0 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 2 s i n ( ) 1 d e0 j ü4 l i2 .
t uo3 üan2 1 sh ang4 iou3 P ， Q l iang3 d ian3 ， O uei4 t uo3 üan2 zh ong1 x in1 ， O P ， O Q d e0 x ie2 l ü4 f en1 b ie2 uei4 k O P ， k O Q ， q ie3 k O P k O Q .
z e2 | P M | | t 1 | ， | P N | | t 2 | ， | M N | | t 1 t 2 | ， iou2 t i2 sh e4 d e2 ( t 1 t 2 ) 2 | t 1 t 2 | ， j i2 ( t 1 t 2 ) 2 4 t 1 t 2 | t 1 t 2 | ，
5 . iou3 z uei4 x iao3 d e0 f u4 sh u4 ， m ei2 iou3 z uei4 d a4 d e0 zh eng4 sh u4 . （ ）
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） iou2 a n 1 ， d e2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
d a2 an4 ： p ing2 m ian4 P A C ， p ing2 m ian4 A B C .
iou4 f ( x ) z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
c ong2 b iao3 zh ong1 sh u4 j ü4 k e3 i3 k an4 ch u1 ， zh e4 p i1 p ing1 p ang1 q iou2 iou1 d eng3 p in3 d e0 g ai4 l ü4 sh i4 0 . 9 5 .
d ang1 a 0 sh i2 ， g ( x ) a x b z ai4 [ 1 ， 1 ] sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ，
（ 1 ） l ie4 b iao3 ， d e2 j i1 b en3 sh i4 j ian4 z ong3 sh u4 uei4 n 3 6 .
d a2 ： zh i4 sh ao3 iou3 9 1 r en2 sh en1 j ia1 j ing4 s ai4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
r u2 t u2 ， D A A B ， C D D A ， B 5 6 ， q iou2 C d e0 d u4 sh u4 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 1 0 0 i3 n ei4 sh u4 d e0 b u4 j in4 uei4 j ia1 f a3 h e2 b u4 t uei4 uei4 j ian3 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
j ie3 ： in1 uei4 x 2 t 2 ，
x ian3 r an2 t 2 sh i2 ， | P Q | q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 t u2 x iang4 ü3 x i4 sh u4 d e0 g uan1 x i4 』
A . ü2 x ian2 q ü1 x ian4
b a3 s an1 l eng2 zh uei1 k uo4 zh an3 uei4 zh eng4 f ang1 t i3 ， t a1 m en0 iou3 x iang1 t ong2 d e0 uai4 j ie1 q iou2 ， q iou2 d e0 zh i2 j ing4 j iou4 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 ，
r u2 t u2 ， 1 d e0 n ei4 c uo4 j iao3 sh i4 ， t ong2 uei4 j iao3 sh i4 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) ( a x 1 ) ( x b ) ， r u2 g uo3 b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ 1 ， 3 ） ， z e2 b u4 d eng3 sh i4 f ( 2 x ) 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ ）
sh e4 x iang4 l iang4 、 d e0 j ia1 j iao3 uei4 6 0 q ie3 | | | | 1 ， r u2 g uo3 ， 2 8 ， 3 ( ) .
3 . x 2 1 0 h eng2 ch eng2 l i4 ， iou3 i4 i4 sh i2 ， x uei4 r en4 i4 sh i2 sh u4 .
d ang1 x q ü3 h e2 zh i2 sh i2 ， x ia4 l ie4 sh i4 z i0 iou3 i4 i4 ？
s uo3 i3 E F p ing2 m ian4 A B 1 C ，
（ 2 ） 2 x y 8 c o s 3 s i n s i n ( ) ， （ iou2 t a n q üe4 d ing4 ） ，
m ian4 j i1 x iang1 d eng3 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 h e2 zh eng4 f ang1 x ing2 ， zh eng4 f ang1 x ing2 zh ou1 ch ang2 z uei4 d uan3 ， s uo3 i3 zh e4 k uai4 d i4 ing1 g ai1 k ai1 k en3 ch eng2 zh eng4 f ang1 x ing2 。
sh i4 m ou3 sh e4 j i4 sh i1 sh e4 j i4 d e0 Y x ing2 sh i4 p in3 d e0 p ing2 m ian4 t u2 ，
z ong1 sh ang4 k e3 d e2 y [ x ] x .
zh i2 x ian4 l 3 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 0 ，
（ 1 ） sh ang4 t u2 uen1 d u4 j i4 x ian3 sh i4 d e0 uen1 d u4 sh i4 （ 1 0 ） 。
j ie3 ： （ 1 ） zh e4 g e4 m ing4 t i2 sh i4 “ f ei1 p ” x ing2 sh i4 d e0 m ing4 t i2 ， q i2 zh ong1 p ： f ang1 ch eng2 x 2 3 0 iou3 iou3 l i3 g en1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 j i4 s uan4 q i4 k ai1 f ang1 』
【 t i2 sh i4 】 『 E F A A 1 ， E F p ing2 m ian4 A 1 A B B 1 ， sh uo1 m ing2 E F ü3 p ing2 m ian4 A 1 A B B 1 h u4 x iang1 『 p ing2 x ing2 』 . 』
j ie3 ： j iang1 “ ch u1 x ian4 d ian3 sh u4 h e2 uei4 6 h uo4 7 ” k an4 ch eng2 d an1 i1 d e0 sh i4 j ian4 A ， z e2 iou2 ü2 j i1 b en3 sh i4 j ian4 （ 1 ， 1 ） （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 3 ） ， … （ 6 ， 6 ） g ong4 3 6 zh ong3 . r u2 x ia4 b iao3 ：
( a x 1 ) ( x b ) 0 d e0 j ie3 sh i4 x 1 h e2 x 3 ， a 0 ，
zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2
（ 2 ） zh eng4 m ing2 ： d ang1 k N * sh i2 ， k k n n ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
g en1 j ü4 i3 zh i1 d eng3 sh i4 k e3 f en1 x i1 ch u1 g uei1 l ü4 uei4 ：
（ 1 ） q iou2 t uo3 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 』
p ing2 b ai3 x ian4 d e0 sh eng1 ch eng2 g uo4 ch eng2 j i2 q i2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2
zh ong1 g uo2 g u3 j ian4 zh u4 j ie4 zh u4 s uen3 m ao3 j iang1 m u4 g ou4 j ian4 l ian2 j ie1 q i3 l ai2 ， g ou4 j ian4 d e0 t u1 ch u1 b u4 f en4 j iao4 s uen3 t ou2 ， ao1 j in4 b u4 f en4 j iao4 m ao3 ian3 ， t u2 zh ong1 m u4 g ou4 j ian4 iou4 b ian1 d e0 x iao3 ch ang2 f ang1 t i3 sh i4 s uen3 t ou2 . r uo4 r u2 t u2 b ai3 f ang4 d e0 m u4 g ou4 j ian4 ü3 m ou3 i1 d ai4 m ao3 ian3 d e0 m u4 g ou4 j ian4 iao3 h e2 ch eng2 zh ang3 f ang1 t i3 ， z e2 iao3 h e2 sh i2 d ai4 m ao3 ian3 d e0 m u4 g ou4 j ian4 d e0 f u3 sh i4 t u2 k e3 i3 sh i4 （ ）
z ai4 O D B h e2 O E C zh ong1 ， ，
z e2 s uo3 q iou2 d e0 g ai4 l ü4 P .
j ie3 ： g en1 j ü4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 ， r uo4 x y ， z e2 x y ch eng2 l i4 ， j i2 p uei4 zh en1 m ing4 t i2 ，
j ie3 ： （ 1 ） d uei4 ü2 q ü1 x ian4 C ： ， k e3 l ing4 x 2 c o s ， y 3 s i n ，
x üan2 zh uan3 b ian4 h uan4
s uo3 i3 d ang1 0 b sh i2 ， zh i2 x ian4 y x b ü3 zh e4 l iang3 t iao2 p ao1 u4 x ian4 g ong4 iou3 3 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 .
g u4 zh i2 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 d e0 n ei4 q ie4 q iou2 b an4 j ing4 uei4 ，
j iang1 f ang1 ch eng2 ( 2 x 1 ) ( 3 x 2 ) x 2 2 h ua4 uei4 a x 2 b x c 0 d e0 x ing2 sh i4 sh i4 ， q i2 zh ong1 a ， b ， c .
【 t i2 sh i4 】 『 z uo3 m ian4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 d eng3 ü2 6 g e4 zh eng3 g e2 d e0 m ian4 j i1 『 』 4 g e4 b an4 g e2 d e0 m ian4 j i1 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ou1 t i4 üan2 l i3 ( ao4 sh u4 ) 』
d a2 ： l i2 h e2 p ing2 g uo3 i1 g ong4 iou3 2 6 8 q ian1 k e4 。
i3 zh i1 er4 j ie1 j ü3 zh en4 M iou3 t e4 zh eng1 zh i2 3 j i2 d uei4 ing4 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 ， b ing4 q ie3 M d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 j iang1 d ian3 （ 1 ， 2 ） b ian4 h uan4 ch eng2 （ 9 ， 1 5 ） ， q iou2 j ü3 zh en4 M .
j ie3 zh i1 k e3 d e2 1 x 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 y A s i n （ x ） d e0 t u2 x iang4 b ian4 h uan4 』
C . 5 R 2 d e0 x i4 sh u4 sh i4 5
（ 1 ） sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 a ， sh i3 p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ， r uo4 c uen2 z ai4 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 ； r uo4 b u4 c uen2 z ai4 ， q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 ；
d a2 ： sh i2 j i4 m ei3 t ian1 zh uang1 p ei4 d ian4 d ong4 z i4 x ing2 ch e1 1 5 l iang4 。
l iang3 sh i4 x iang1 j ian3 ， d e2 a n 2 a n 1 1 2 a n 1 2 a n 2
s uo3 i3 q p ， d an4 p q ，
C D E G sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ao1 u4 x ian4 d e0 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
s uo3 i3 M 、 N d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 2 ， 0 ） ， （ 0 ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 x ing4 zh i4 』
l ao3 h u3 d a4 x iang4 b an1 m a3 sh i1 z i0
sh i1 z i0 ， d a4 x iang4 ， l ao3 h u3 ， b an1 m a3
d ang1 1 a 3 sh i2 ， h an2 sh u4 y d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x q ie3 x 3 } .
（ 0 ， 2 ， 0 ） ， sh i4 p ing2 m ian4 P A B d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 .
“ g uo4 zh i2 x ian4 uai4 i4 d ian3 iou3 q ie3 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 i3 zh i1 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ” sh i4 （ ）
j ie3 ， k e3 d e2 x 2 0 0 ，
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 q ü1 x ian4 C 1 sh i4 üan2 ， q ü1 x ian4 C 2 sh i4 t uo3 üan2 .
sh i2 sh u4 b d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 （ 0 ， ） .
（ 1 ） h ua4 2 g e4 b u4 x iang1 t ong2 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， 1 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， sh i3 t a1 m en0 d e0 zh ou1 ch ang2 d ou1 sh i4 1 6 l i2 m i3 。
j ie3 ： iou2 i3 zh i1 d e2 A { y | y 2 x 1 ， x R } { y | y 1 } ， B { x | x 2 9 0 } { y | 3 y 3 } ，
k e3 d e2 ， j ie3 d e2 2 .
zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 ， O B c m ， z ai4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 zh ong1 O B 2 O B 2 c m ，
q i2 zh ong1 zh i1 j ia4 O A ，
s an1 t iao2 zh i2 x ian4 l iang3 l iang3 p ing2 x ing2 ；
B C ， j i2 B 、 C j ian1 d e0 j ü4 l i2 uei4 .
B . g uan1 ü2 j i2 d ian3 d uei4 ch en4
n 6 sh i2 ， f ( 6 ) 6 2 1 3 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 ；
j ie3 ： in1 uei4 x ， y ， z 0 ， q ie3 x y z y 2 z 2 8 ，
： f ( x ) 3 x 2 ü3 g ( t ) 3 t 2 d e0 d ing4 i4 ü4 d ou1 sh i4 R ， j in3 g uan3 t a1 m en0 b iao3 sh i4 d e0 z i4 m u3 b u4 t ong2 ， d an4 sh i4 ， d uei4 ing4 f a3 z e2 d ou1 sh i4 “ ch eng2 3 j ia1 2 ” ， sh i4 x iang1 t ong2 d e0 d uei4 ing4 f a3 z e2 ， g u4 sh i4 x iang1 d eng3 h an2 sh u4 .
Q sh i4 j ie2 m ian4 ü3 c e4 m ian4 A D 1 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 ，
s uo3 i3 f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 .
D . p ao1 u4 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4 ， q ie3 g uo4 d ian3 （ 1 ， ）
k e3 zh i1 zh e4 g e4 üan2 zh u4 üan2 l ai2 d e0 t i3 j i1 sh i4 7 5 . 3 6 d m 3 。
d a2 ： t a1 m en0 i1 g ong4 j ia1 g ong1 l e0 4 9 4 g e4 j i1 q i4 l ing2 j ian4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
j ian3 ian4 ： 2 ( 5 . 5 1 0 ) 3 1 ， ( 2 . 2 4 ) 5 3 1 ， 3 1 3 1 ， z e2 b i3 l i4 ch eng2 l i4 ；
j ie3 ： sh e4 g ai1 r ong2 q i4 zh ang3 h e2 k uan1 f en1 b ie2 uei4 a m ， b m ， ch eng2 b en3 uei4 y üan2 ，
r uo4 p zh en1 q j ia3 ， z e2 ， j ie3 k e3 d e2 m 3 ；
iou4 P （ x 0 ， y 0 ） z ai4 üan2 x 2 y 2 1 6 sh ang4 ， s uo3 i3 x 0 2 y 0 2 1 6 ，
d eng3 h ao4 z ai4 y 4 x ， j i2 x 2 ， y 8 sh i2 ch eng2 l i4 ，
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ t uei4 c an1 sh u4 ） h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
in1 uei4 ü3 d e0 j ia1 j iao3 uei4 1 2 0 ， ü3 d e0 j ia1 j iao3 uei4 3 0 ，
g u4 d a2 an4 uei4 6 0 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh e4 g en1 g ang1 j in1 d e0 zh ong4 l iang4 d eng3 ü2 t a1 d e0 『 t i3 j i1 』 ü3 7 . 8 d e0 ch eng2 j i1 。 』
i3 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 i1 b ian1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 s uo3 d e0 d e0 x üan2 zh uan3 t i3 sh i4 üan2 zh uei1 ；
j iao4 u2 l i3 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 iou3 ü2 sh u4 d e0 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 zh ong1 ， ü2 sh u4 『 x iao3 』 ü2 ch u2 sh u4 。 』
s uo3 i3 p ing2 m ian4 C A B p ing2 m ian4 D A B .
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d uei4 b ian1 x iang1 d eng3 ，
f en1 b ie2 z uo4 ch u1 x ia4 l ie4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ：
j ie3 ： sh e4 x iang4 l iang4 ， d e0 j ia1 j iao3 uei4 .
t e4 sh u1 j iao3 d e0 s an1 j iao3 h an2 sh u4 zh i2
（ 5 ） 5 ， 5 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 C D N h e2 M C D sh i4 C M h e2 D N b ei4 A B s uo3 j ie2 x ing2 ch eng2 d e0 『 t ong2 p ang2 n ei4 』 j iao3 . 』
s uo3 i3 ch eng2 ch u1 z u1 ch e1 c ong2 j ia3 d i4 d ao4 i3 d i4 g ong4 x ü1 iao4 zh i1 f u4 ch eng2 ch e1 f ei4 1 9 . 4 üan2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
0 . 7 üan2 1 üan2 2 j iao3
p ao1 u4 x ian4 y x 2 d e0 d ing3 d ian3 d e0 g uei3 j i4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 .
（ 1 ） d ian3 A g uan1 ü2 j i2 zh ou2 d e0 d uei4 ch en4 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 q ie4 p in1 』
j ie3 ： r uo4 a 5 ， z e2 B { x | 1 } { x | x a } .
c i3 sh i2 zh i2 x ian4 A B d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 0 .
zh eng4 f ang1 x ing2 A B C D h e2 zh eng4 f ang1 x ing2 A B E F iou3 g ong1 g ong4 b ian1 A B ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
d a2 ： zh e4 g e4 iou2 k u4 d a4 üe1 k e3 i3 ch u3 c uen2 q i4 iou2 1 2 6 m 3 。
（ 1 ） sh eng4 x ia4 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
r uo4 ， l ， d ian3 P ， P l ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 uei4 . （ zh i3 t ian2 x ü4 h ao4 ）
A E D C ( n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 , l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ) .
j ie3 ： f ( x 2 ) d e0 d ing4 i4 ü4 sh i4 [ 2 ， 3 ） ，
l ian2 j ie2 A C j iao1 B D ü2 d ian3 N ， iou2 P A m ian4 M B D ， m ian4 A P C m ian4 M B D M N ，
（ 2 ） q iou2 f ang4 r u4 ch uei2 t i3 h ou4 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
üan2 g ao1 uei4 A B 2 ， er2 h eng2 x iang4 ch ang2 d u4 b u4 b ian4 ， q ie3 t i1 x ing2 A B C D sh i4 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 ，
a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 （ ， 3 ]
（ 2 ） t an2 h uang2 ch ang2 d u4 uei4 2 6 c m sh i2 ， s uo3 g ua4 u4 p in3 zh i4 l iang4 sh i4 3 0 g 。
m en2 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 zh ang3 2 6 1 . 8 4 7 2 8 ，
s uo3 i3 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ a ， b ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 b ai3 x ian4 d e0 sh eng1 ch eng2 g uo4 ch eng2 j i2 q i2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
r uo4 d ian3 （ 3 ， 3 ） z ai4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 d e0 q ü1 x ian4 sh ang4 ， z e2 .
（ 2 ） q iou2 h an2 sh u4 y f ( x ) （ x 0 ） d e0 zh i2 ü4 .
A B C m ian4 j i1 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
q i2 ch uei2 zh i2 ü2 x zh ou2 d e0 l iang3 t iao2 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 x 0 h e2 x 2 ， x iang1 ing4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s 0 h e2 c o s 2 ，
g u4 r uo4 iao1 q iou2 z ai4 g ai1 sh i2 d uan4 n ei4 ch e1 l iou2 l iang4 ch ao1 g uo4 1 0 q ian1 l iang4 sh i2 ， z e2 q i4 ch e1 d e0 p ing2 j ün1 s u4 d u4 ing1 d a4 ü2 2 5 q ian1 m i3 sh i2 q ie3 x iao3 ü2 6 4 q ian1 m i3 sh i2 .
M ch u4 d e0 b i3 j ian1 h ua4 ch u1 d e0 t uo3 üan2 j i4 uei4 C ，
d a2 ： x ü1 iao4
in1 uei4 d ian3 B z ai4 y zh ou2 d e0 f u4 b an4 zh ou2 sh ang4 ，
j ia3 sh u4 ch u2 i3 i3 sh u4 sh ang1 sh i4 0 . 7 5 ， j ia3 sh u4 : i3 sh u4 （ ） : （ ） 。
4 . b u2 sh i4 zh eng4 sh u4 d e0 sh u4 b u4 i2 d ing4 sh i4 f u4 sh u4 ， r u2 0 j i4 b u2 sh i4 zh eng4 sh u4 ， ie3 b u2 sh i4 f u4 sh u4 . üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
j ie3 ： iong4 f en1 sh u4 b iao3 sh i4 ： A （ ） 、 B （ 3 ） 。
q ü1 x ian4 C uei4 üan2 ， üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 1 ） ， b an4 j ing4 uei4 1 ，
j ie3 ： d ang1 m ian4 d uei4 i2 g e4 m ing4 t i2 zh i2 j ie1 j in4 x ing2 zh eng4 m ing2 h en3 k uen4 n an2 sh i2 ， uang3 uang3 c ai3 iong4 f an3 zh eng4 f a3 .
j ie3 ： g en1 j ü4 üan2 x 2 ( y 1 ) 2 2 ， d e2 d ao4 üan2 x in1 z ai4 d ian3 （ 0 ， 1 ） ， b an4 j ing4 uei4 .
（ 3 ） r uo4 a 0 ， b 0 ， q ie3 | a | | b | ， z e2 a b .
d ang1 a 1 sh i2 ， a 2 | a 2 | ， s uo3 i3 C c uo4 u4 ；
g u4 zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
iou2 i3 zh i1 k e3 d e2 p ao1 u4 x ian4 j ing1 g uo4 d ian3 B （ 2 ， 0 ） ， z e2 k e3 d e2 ： a 2 2 2 0 ，
j ie3 ： üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ sh i4 c an1 sh u4 ） ，
（ 2 ） q iou2 zh eng4 ： C 1 F p ing2 m ian4 A B E ；
（ 2 ） sh i4 c ai1 c e4 f n ( x ) g uan1 ü2 n d e0 b iao3 d a2 sh i4 ， b ing4 zh eng4 m ing2 n i3 d e0 j ie2 l uen4 .
l ing4 1 ， z e2 z ai4 （ 1 ， ） sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 ，
i3 zh i1 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 4 c o s ( ) 6 0 .
【 t i2 sh i4 】 『 1 z ai4 0 d e0 iou4 b ian1 『 1 』 g e4 d an1 uei4 ch u4 。 』
g u4 d ang1 v 4 0 q ian1 m i3 sh i2 sh i2 ， ch e1 l iou2 l iang4 z uei4 d a4 ， z uei4 d a4 ch e1 l iou2 l iang4 uei4 q ian1 l iang4 sh i2 .
d ang1 a 0 ， x 0 sh i2 ， ( x a ) 2 a 2 ， j i2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 a 2 ；
üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ， r 0 ） ，
j ie3 ： （ 1 ） q ü3 d ao4 d e0 2 g e4 ian2 s e4 x iang4 t ong2 d e0 q iou2 k e3 n eng2 sh i4 2 g e4 h ong2 q iou2 ， 2 g e4 h uang2 q iou2 h uo4 2 g e4 l ü4 q iou2 ，
sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 uei4 s uo3 q iou2 .
g u4 b u4 n eng2 z uo4 uei2 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 b ian1 zh ang3 ；
， t a n 1 ， q ie3 d ian3 （ 1 ， 1 ） z ai4 d i4 s an1 x iang4 x ian4 ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) ， g ( x ) ， r uo4 c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 x sh i3 f ( x ) g ( x ) a ch eng2 l i4 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
（ 4 ） i3 A D b ian1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 s uo3 d e0 d e0 z u3 h e2 t i3 uei4 i2 g e4 üan2 zh u4 sh ang4 b u4 ua1 q ü4 i2 g e4 üan2 zh uei1 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
D . i3 i1 zh i1 b ai2 zh i1 d eng1 uei4 g uang1 üan2 d e0 p i2 ing3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
（ 2 ） c ai1 c e4 f n ( x ) n ！ . er2 k k ， n n ， s uo3 i3 k n ， iong4 sh u4 x üe2 g uei1 n a4 f a3 zh eng4 m ing2 j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 .
iou4 iou2 （ 1 ） k e3 zh i1 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 uei4 üan2 x in1 z ai4 üan2 d ian3 b an4 j ing4 uei4 2 d e0 üan2 ， üan2 d ian3 （ 0 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 x y 1 0 d e0 j ü4 l i2 uei4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ， h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i2 c o s h ua4 uei4 『 x 』 ， s i n h ua4 uei4 『 y 』 . 』
s uo3 i3 sh u4 l ie4 { a n } d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 uei4 a n 2 n 1 .
m ou3 d i4 q ü1 uei4 x ia4 g ang3 r en2 üan2 m ian3 f ei4 t i2 g ong1 c ai2 k uai4 h e2 j i4 s uan4 j i1 p ei2 x ün4 ， i3 t i2 g ao1 x ia4 g ang3 r en2 üan2 d e0 z ai4 j iou4 ie4 n eng2 l i4 ， m ei3 m ing2 x ia4 g ang3 r en2 üan2 k e3 i3 x üan3 z e2 c an1 j ia1 i1 x iang4 p ei2 x ün4 、 c an1 j ia1 l iang3 x iang4 p ei2 x ün4 h uo4 b u4 c an1 j ia1 p ei2 x ün4 ， i3 zh i1 c an1 j ia1 g uo4 c ai2 k uai4 p ei2 x ün4 d e0 iou3 6 0 ， c an1 j ia1 g uo4 j i4 s uan4 j i1 p ei2 x ün4 d e0 iou3 7 5 ， j ia3 sh e4 m ei3 g e4 r en2 d uei4 p ei2 x ün4 x iang4 m u4 d i4 x üan3 z e2 sh i4 x iang1 h u4 d u2 l i4 d e0 ， q ie3 g e4 r en2 d e0 x üan3 z e2 x iang1 h u4 zh i1 j ian1 m ei2 iou3 ing3 x iang3 .
C zh ong1 ， d ang1 x 1 sh i2 ， 3 1 3 ， s uo3 i3 C sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ；
g uei1 d ing4 sh u4 l iang4 z ai4 8 2 k e4 j i2 i3 x ia4 d e0 uei4 A x ing2 ， zh ong4 l iang4 z ai4 8 5 k e4 j i2 i3 sh ang4 d e0 uei4 B x ing2 ， i3 zh i1 g ai1 p i1 d ian4 q i4 iou3 A x ing2 2 j ian4 .
r u2 t u2 ， a ， b i4 m ian4 ， b ， c i4 m ian4 ， z e2 g en1 j ü4 zh i2 x ian4 c d e0 b u4 t ong2 uei4 zh i4 ， d e2 a ， c d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 uei4 x iang1 j iao1 ， p ing2 x ing2 h uo4 i4 m ian4 .
（ 3 ） zh ou1 ch ang2 x iang1 t ong2 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 h e2 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 d a4 ü2 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 ；
j ie3 b u4 d eng3 sh i4 z u3 k e3 d e2 x 1 .
j ie3 ： q ü3 B C zh ong1 d ian3 M ， l ian2 j ie1 A M ， D M ， z e2 A M B C .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， i3 zh i1 A B C D ， A D C B ， A C 、 B D x iang1 j iao1 ü2 d ian3 O ， z e2 t u2 zh ong1 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 iou3 （ ）
r u2 t u2 ， C D A B ü2 d ian3 D ， B E A C ü2 d ian3 E ， B E 、 C D j iao1 ü2 d ian3 O ， A B A C ， sh i4 sh uo1 m ing2 A D C A E B .
2 . m a1 m a1 m ei3 t ian1 z uo4 j ia1 u4 （ ） d e0 r en2 sh u4 z uei4 d uo1 ， （ ） d e0 r en2 sh u4 z uei4 sh ao3 。
（ 1 ） q iou2 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： E F p ing2 m ian4 A 1 B D ；
j ie3 ： zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 2 x 2 y 3 0 ， zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 8 x .
zh eng4 s i4 l eng2 zh uei1 zh eng4 sh i4 t u2 、 c e4 sh i4 t u2 d ou1 sh i4 d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 ， f u3 sh i4 t u2 sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 h e2 l iang3 t iao2 d uei4 j iao3 x ian4 ， m an3 z u2 t i2 i4 .
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， zh i2 x ian4 d ai4 b iao3 i2 g e4 1 2 d e0 x iao3 j ü3 x ing2 zh i3 p ian4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h u2 zh ang3 g ong1 sh i4 』
2 . x iao3 l i4 d e0 q ian2 g ang1 h ao3 g ou4 m ai3 f ei1 j i1 、 x iao3 x iong2 h e2 j i1 q i4 r en2 ， x iao3 l i4 d ai4 l e0 d uo1 sh ao3 q ian2 ？
sh e4 y t x （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 üan2 x 2 y 2 4 y 0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 .
2 1 ； x 1 ； r uo4 x 1 ， z e2 x 2 ； h an2 sh u4 f ( x ) x 2 sh i4 R sh ang4 d e0 ou3 h an2 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 d uei4 ch en4 d ian3 ü3 （ 3 ， ） d e0 j i2 j ing4 d a4 x iao3 『 x iang1 d eng3 』 . 』
z e2 t a1 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 t ou2 ing3 zh ang3 uei4 A 1 B ， z uo3 sh i4 t u2 t ou2 ing3 zh ang3 uei4 A 1 D a ， f u3 sh i4 t u2 t ou2 ing3 zh ang3 uei4 A 1 C 1 b ，
【 t i2 sh i4 】 『 F 、 『 C 』 sh i4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 j ie2 D F 、 A C x ing2 ch eng2 d e0 n ei4 c uo4 j iao3 . 』
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 sh e4 x ian4 ü3 q ü1 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， z e2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ong1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 .
（ 4 ） j i4 s uan4 p in2 l ü4 ， j i2 uei4 d ian3 l uo4 z ai4 in1 ing3 b u4 f en4 g ai4 l ü4 d e0 j in4 s i4 zh i2 .
sh e4 t i2 s u4 h ou4 x ing2 sh i3 uan2 q üan2 ch eng2 x ü1 iao4 x x iao3 sh i2 ， z e2 iou3 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d e0 r en4 sh i2 』
d uei4 ü2 ， l eng2 zh u4 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 i2 g e4 s i4 b ian1 x ing2 ， g u4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
g u4 üan2 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 d eng3 ü2 5 2 7 .
f ang1 ch eng2 iou3 i1 zh eng4 ， i1 f u4 g en1 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 uei4
（ 2 ） sh ang4 sh eng1 5 0 m ， x ia4 j iang4 6 4 m 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
r uo4 i3 B B 1 uei4 zh ou2 zh an3 k ai1 ， z e2 A 、 M l iang3 d ian3 l ian2 ch eng2 d e0 x ian4 d uan4 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 l iang3 zh i2 j iao3 b ian1 d e0 ch ang2 d u4 f en1 b ie2 uei4 1 c m ， 4 c m ，
d a2 ： x iao3 h uang2 iou2 3 g e4 l ai2 h uei2 ， 2 f en1 zh ong1 g ou4 l e0 。
s uo3 i3 x üan2 zh uan3 t i3 d e0 t i3 j i1 V r 2 h 2 r 2 h 1 .
A . zh i3 iou3 üan2 c ai2 iou3 j ian4 k ai1 x ian4
z ai4 A B D ü3 A C E zh ong1 ， A D B A E C 。 B A D C A E ， A B A C ，
üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ： （ uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 üan2 d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ ）
j i2 d ang1 n k 1 sh i2 ， c ai1 x iang3 ie3 ch eng2 l i4 .
（ 2 ） j ie3 ： iou2 （ 1 ） k e3 zh i1 ，
f en1 b ie2 ü3 b ian1 B C ，
r uo4 d uei4 A zh ong1 r en4 i4 l iang3 g e4 üan2 s u4 a ，
j ie3 ： 4 5 0 0 m i3 4 5 0 0 0 0 l i2 m i3
“ n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ” d ou1 sh i4 x ü1 iao4 t uei1 l i3 zh eng4 m ing2 d e0 ， g u4 b u2 sh i4 g ong1 l i3 .
r uo4 a h e2 b b u4 g ong4 m ian4 ， z e2 iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 a ü3 b sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 .
（ 2 ） p ing2 j ün1 iou3 d uo1 sh ao3 j ia1 m ei2 k uang4 b i4 x ü1 zh eng3 g ai3 ；
sh e4 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 l eng2 zh ang3 sh i4 『 1 』 m ， zh i2 s an1 l eng2 zh u4 d e0 t i3 j i1 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 『 』 . 』
j ie3 ： zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 uei4 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
f ( x ) d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 T 8 .
k e3 d e2 zh i2 x ian4 l ： x y 5 0 ， üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 ( y 1 ) 2 1 ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 f ang1 t i3 t ie3 k uai4 r ong2 zh u4 ch eng2 üan2 zh uei1 t i3 t ie3 k uai4 ， t i3 j i1 『 b u4 』 b ian4 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
（ 1 ） q iou2 q ü1 x ian4 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 ( 2 ， ) d ao4 zh i2 x ian4 ( c o s s i n ) 6 d e0 j ü4 l i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 x iang1 j iao1 、 p ing2 x ing2 、 ch ong2 h e2 d e0 t iao2 j ian4 』
d a2 an4 ： üan2 d ian3 .
（ 1 ） q iou2 h an2 sh u4 g ( x ) f ( x ) x 2 d e0 t u2 x iang4 z ai4 x 1 ch u4 d e0 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 .
d ang1 a sh i2 ， d ai4 sh u4 sh i4 a 1 d e0 zh i2 ü3 3 h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 .
C E B F （ t ong2 uei4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ） ，
（ 1 ） p an4 d uan4 f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ） sh ang4 sh i4 f ou3 uei4 r uo4 j ian3 h an2 sh u4 ；
in1 uei4 1 0 0 ， s uo3 i3 E ( ) 1 0 0 E ( ) 1 0 0 6 3 0 0 .
iou3 d e0 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ie3 sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s i4 b ian1 x iang1 d eng3 d e0 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 l ing2 x ing2 』
j ie3 ： d uei4 2 x 2 3 7 x i2 x iang4 k e3 d e2 2 x 2 7 x 3 0 ，
r u2 t u2 ， z ai4 A B C zh ong1 ， A B A C ， A P B A P C . q iou2 zh eng4 ： P B P C .
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) a x 3 b x c d e0 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 f ( a ) f ( a ) .
j ie3 ： ü3 j i2 z uo4 b iao1 （ 2 ， ） x iang1 t ong2 d e0 d ian3 k e3 i3 b iao3 sh i4 uei4 （ 2 ， 2 k ） （ k Z ） ，
j ie3 ： h an2 sh u4 y 3 x z ai4 d ing4 i4 ü4 n ei4 d ou1 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， g u4 z ai4 q ü1 j ian1 （ 0 ， 2 ） sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 ；
j ie3 ： d ian3 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） ，
iou2 üan2 d ian3 O d ao4 zh i2 x ian4 P Q d e0 j ü4 l i2 d h e2 | P Q | | x P x Q | k e3 d e2
iou2 ü2 d ong4 d ian3 M （ 5 ， ） （ R ） d e0 j i2 j ing4 5 ， j i2 j iao3 sh i4 r en4 i4 j iao3 ， g u4 d ian3 M d e0 g uei3 j i4 sh i4 i3 j i2 d ian3 O uei4 üan2 d ian3 ， i3 5 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 B E ü3 p ing2 m ian4 P B D s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 .
r uo4 p ing2 m ian4 n ei4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 n ei4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 f en1 b ie2 p ing2 x ing2 ， z e2 l iang3 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 h uo4 p ing2 x ing2 ， g u4 c uo4 u4 .
B . q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 x iang1 d eng3
j ie3 ： iou2 er4 c i4 g en1 sh i4 iou3 i4 i4 d e0 t iao2 j ian4 k e3 d e2 2 x 1 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
j ie3 ： 2 . 5 1 2 3 0 （ h ao2 sh eng1 ）
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ，
g u4 j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 ， zh i2 x ian4 x y 2 0 b ian4 ch eng2 zh i2 x ian4 8 x y 8 0 .
i3 zh i1 l iang3 d ing4 d ian3 A （ 2 ， 0 ） ， B （ 1 ， 0 ） ， r u2 g uo3 d ong4 d ian3 P m an3 z u2 t iao2 j ian4 | P A | 2 | P B | ， z e2 d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 s uo3 uei2 ch eng2 d e0 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 d eng3 ü2 （ ）
（ 1 ） iao1 q iou2 z uei4 h ou4 i1 b u4 s uan4 ch u2 f a3 ： 1 3 2 7 2 8 4 1 6 （ ） 。
üan2 in1 sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 sh i4 t e4 sh u1 d e0 l ing2 x ing2 ；
s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 3 4 6 .
j ie3 ： üan2 zh u4 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 m ian4 j i1 uei4 5 2 2 2 0 .
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 M （ ， ） uei4 üan2 C sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ，
g u4 d a2 an4 uei4 D .
（ 2 ） q ing3 q üe4 d ing4 g ong1 z uo4 k eng1 P d e0 uei4 zh i4 ， sh i3 d i4 x ia4 d ian4 l an3 g uan3 x ian4 d e0 z ong3 zh ang3 d u4 z uei4 x iao3 .
s uo3 i3 zh e4 s an1 g e4 l ian2 x ü4 j i1 sh u4 sh i4 1 5 ， 1 7 ， 1 9 h uo4 3 ， 1 ， 1
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
x ia4 l ie4 sh i2 l i4 zh ong1 sh i4 zh ong1 x in1 t ou2 ing3 d e0 iou3 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
A . i2 g e4 r uei4 j iao3 、 i2 g e4 d uen4 j iao3
j ia3 x üan3 z uo4 D t i2 d e0 g ai4 l ü4 uei4 ，
（ 2 ） r uo4 d ian3 P （ x ， y ） sh i4 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 ， q iou2 2 x y d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
S s i4 b ian1 x ing2 O E A F S E O A S O A F S F O B S O A F S O A B .
c ong2 m ou3 ch ang3 sh eng1 ch an3 d e0 c i3 zh ong3 ch an3 p in3 zh ong1 ，
[ b ian4 sh i4 x ün4 l ian4 ]
iou2 ü2 m ei3 c i4 q ü3 2 zh i3 q iou2 ， m ei3 c i4 s uo3 q ü3 2 zh i3 q iou2 b u4 x iang1 t ong2 ， er2 m o1 ch u1 （ b ， a ） ü3 （ a ， b ） sh i4 x iang1 t ong2 d e0 sh i4 j ian4 ， g u4 g ong4 iou3 1 0 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ai3 f en1 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
sh e4 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） ， z e2 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
üan2 m ing4 t i2 d e0 n i4 m ing4 t i2 uei4 “ r uo4 x ， y h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ， z e2 x y 0 ” ， sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
d a2 an4 ： s an1 。
sh e4 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C d e0 d ing3 d ian3 P z ai4 p ing2 m ian4 A B C d e0 sh e4 ing3 sh i4 d ian3 H ， g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ：
j ie3 ： sh e4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ a ， b ） ， iou2 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 zh i1 ， h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 zh ong1 h an2 iou3 üan2 s u4 2 sh i2 ， y iou3 uei2 i1 d e0 i2 g e4 zh i2 ü3 zh i1 d uei4 ing4 ，
j ie3 ： d ang1 a M ， x ian3 r an2 a b u4 i2 d ing4 sh u3 ü2 N ， r u2 a 2 . 5 ， m an3 z u2 a M ， d an4 b u4 m an3 z u2 a N .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
（ 3 ） d ang1 x 1 sh i2 ， [ 1 ] 1 ， 1 1 ， c i3 sh i2 [ x ] x 1 ( 1 ) 2 ；
j ie3 ： üan2 m ing4 t i2 ， r uo4 x 0 ， y 0 ， z e2 x y 0 ， q i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， g u4 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ；
（ 2 ） q iou2 X d e0 f en1 b u4 l ie4 h e2 sh u4 x üe2 q i1 uang4 .
d i4 1 0 c eng2 b iao1 zh u4 sh u4 z i4 i1 c i4 sh i4 x 1 x 2 、 x 2 x 3 、 … 、 x 1 0 x 1 1 ，
zh i2 x ian4 zh uan3 h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： y x .
（ 2 ） “ 2 zh i3 d ou1 sh i4 b ai2 q iou2 ” b ao1 k uo4 （ a ， b ） 、 （ b ， c ） 、 （ c ， a ） ， g ong4 3 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 .
s uo3 i3 d d e0 s uo3 iou3 k e3 n eng2 q ü3 zh i2 zh i1 h e2 uei4 2 4 3 8 1 2 7 9 3 1 3 6 4 .
（ 1 ） d ang1 k 4 sh i2 ， r uo4 iao1 q iou2 x 0 uei4 2 d e0 b ei4 sh u4 ， z e2 iou3 d uo1 sh ao3 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 b iao1 zh u4 f ang1 f a3 ？
in1 c i3 n 5 sh i2 ， f n ( 2 ) .
（ 2 ） üan2 zh uei1 t i3 j i1 sh i4 ü3 t a1 d eng3 d i3 d eng3 g ao1 d e0 üan2 zh u4 t i3 j i1 d e0 。 （ ）
z ai4 i1 zh ang1 b ei4 j ie1 x iao3 x iang4 g ai3 z ao4 g uei1 h ua4 t u2 sh ang4 ， 1 5 l i2 m i3 zh ang3 d e0 x ian4 d uan4 b iao3 sh i4 sh i2 j i4 j ü4 l i2 4 5 0 0 m 。 n i3 n eng2 j i4 s uan4 ch u1 zh e4 zh ang1 g uei1 h ua4 t u2 d e0 b i3 l i4 ch i3 m a0 ？
h an2 sh u4 f ( x ) 2 x 2 4 x z ai4 q ü1 j ian1 [ m ， n ] sh ang4 d e0 zh i2 ü4 sh i4 [ 6 ， 2 ] ， z e2 m n d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
s uo3 i3 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ ， ） .
iou4 in1 uei4 0 B ，
x iao1 c an1 k e3 d e2 x 3 ( y 1 ) 2 ， j i2 x 3 y 5 .
f en1 b ie2 i3 M E ， M D ， M B 1 uei4 x ， y ， z zh ou2 j ian4 x i4 ，
6 . m ei2 iou3 z uei4 d a4 d e0 iou3 l i3 sh u4 ， ie3 m ei2 iou3 z uei4 x iao3 d e0 iou3 l i3 sh u4 . zh eng4 q üe4 .
【 t i2 sh i4 】 『 sh ang4 m ian4 i1 x ing2 d i4 i2 g e4 t u2 x ing2 zh e2 d ie2 h ou4 d e0 sh ang4 x ia4 d i3 m ian4 sh i4 üan2 ， zh ong1 j ian1 sh i4 i2 g e4 q ü3 m ian4 ， zh e4 g e4 l i4 t i3 t u2 x ing2 sh i4 『 üan2 zh u4 』 。 』
x ia4 m ian4 n a3 j i3 z u3 b i3 k e3 i3 z u3 ch eng2 b i3 l i4 ？ b ing4 b a3 z u3 ch eng2 d e0 b i3 l i4 x ie3 ch u1 l ai2 。
j ing1 g uo4 r uo4 g an1 g e4 g u4 d ing4 h e2 l iou2 d ong4 d e0 d i4 m ian4 iao2 g an3 g uan1 c e4 zh an4 j ian1 c e4 ， b ing4 t ong1 g uo4 sh u4 j ü4 h uei4 z ong3 ， j i4 s uan4 ch u1 i2 g e4 h ang2 t ian1 q i4 z ai4 m ou3 i1 sh i2 k e4 d e0 uei4 zh i4 ， l i2 d i4 m ian4 2 3 8 4 q ian1 m i3 ， d i4 q iou2 b an4 j ing4 uei4 6 3 7 1 q ian1 m i3 ， c i3 sh i2 j ing1 d u4 uei4 8 0 ， uei3 d u4 uei4 7 5 . sh i4 j ian4 l i4 sh i4 d ang4 d e0 z uo4 b iao1 x i4 ， q üe4 d ing4 ch u1 c i3 sh i2 h ang2 t ian1 q i4 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 .
i3 q i4 x iang4 t ai2 A uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， zh eng4 d ong1 f ang1 x iang4 uei4 x zh ou2 zh eng4 f ang1 x iang4 ， j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
in1 c i3 d ian3 1 、 a g uan1 ü2 x 1 d uei4 ch en4 ， s uo3 i3 a 3 .
z e2 f ( x ) 0 h eng2 ch eng2 l i4 ， j i2 a s i n x 1 0 z ai4 q ü1 j ian1 （ ， ） sh ang4 h eng2 ch eng2 l i4 ，
3 p ing2 f ang1 f en1 m i3 （ ） p ing2 f ang1 l i2 m i3
j ie3 ： r uo4 zh i2 x ian4 a h e2 b g ong4 m ian4 ， z e2 iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 a ü3 b p ing2 x ing2 ；
d ao4 l i3 sh i4 ： “ zh i4 sh ao3 iou3 1 m ing2 n an2 sh eng1 ” b ao1 k uo4 “ 1 m ing2 n an2 sh eng1 、 1 m ing2 n ü3 sh eng1 ” h e2 “ 2 m ing2 d ou1 sh i4 n an2 sh eng1 ” l iang3 zh ong3 j ie2 g uo3 . “ zh i4 sh ao3 iou3 1 m ing2 n ü3 sh eng1 ” b ao1 k uo4 “ 1 m ing2 n ü3 sh eng1 、 1 m ing2 n an2 sh eng1 ” h e2 “ 2 m ing2 d ou1 sh i4 n ü3 sh eng1 ” l iang3 zh ong3 j ie2 g uo3 ， t a1 m en0 k e3 t ong2 sh i2 f a1 sh eng1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i3 zh i1 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 sh i4 d uo1 sh ao3 ， q iou2 zh e4 g e4 sh u4 』
b u4 d eng3 sh i4 1 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | x 0 h uo4 x 1 } ，
g ei3 ch u1 zh i2 j ing4 uei4 6 d e0 üan2 ， f en1 b ie2 x ie3 ch u1 d uei4 ing4 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h e2 b ai3 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
r uo4 zh i2 x ian4 a ， b i4 m ian4 ， z e2 a ü3 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 h uo4 p ing2 x ing2 ， g u4 c uo4 u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 x 2 y 2 2 ， k ao3 l ü4 g ei3 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 2 s i n z uo3 iou4 l iang3 b ian1 t ong2 ch eng2 『 』 . 』
j ian3 ian4 ： 2 ( 5 . 5 5 ) 1 ， ( 2 . 2 2 ) 5 1 ， 1 1 ， z e2 b i3 l i4 ch eng2 l i4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 m ian4 j iao3 d e0 p ing2 m ian4 j iao3 j i2 q iou2 f a3 』
（ 2 ） q iou2 C 1 ， C 2 j iao1 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 .
ch eng2 f a3 j ia1 f a3 ch u2 f a3
d a2 an4 ： （ 1 ） üan2 m ing4 t i2 j ie2 l uen4 d e0 f an3 m ian4 ； （ 2 ） x üe2 g uo4 d e0 d ing4 i4 ， g ong1 l i3 ， d ing4 l i3 ， i3 zh i1 t iao2 j ian4 ； （ 3 ） c uo4 u4 ， zh eng4 q üe4 .
f ang1 sh i4 i1 ： i2 c i4 x ing4 s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 2 j ian4 ；
j ian4 z ao4 i2 g e4 d i3 m ian4 uei4 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 sh uei3 ch i2 ， üan2 j i4 h ua4 sh uei3 ch i2 sh en1 3 m i3 ， sh uei3 ch i2 d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 1 4 0 0 m i3 ， x iou1 g ai3 f ang1 an4 h ou4 ， iao4 b a3 zh ang3 ü3 k uan1 l iang3 b ian1 d ou1 z eng1 j ia1 üan2 f ang1 an4 zh ong1 d e0 k uan1 d e0 2 b ei4 ， x in1 f ang1 an4 zh ong1 sh uei3 ch i2 r ong2 j i1 uei4 2 7 0 uan4 l i4 f ang1 m i3 . q iou2 üan2 j i4 h ua4 sh uei3 ch i2 d e0 zh ang3 ü3 k uan1 .
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 uan2 q üan2 p ing2 f ang1 g ong1 sh i4 d uei4 d ai4 q iou2 sh i4 b ian4 x ing2 h ou4 ， iong4 『 zh eng3 t i3 』 d ai4 r u4 f a3 k e3 j ian3 b ian4 j i4 s uan4 . 』
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 d ao4 sh ang4 d i3 m ian4 j i1 S 1 6 2 2 6 ，
d uei4 ü2 A ， p ing2 x ing2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， sh i4 g ong1 l i3 4 ；
d ang1 t uei4 ou3 sh u4 sh i2 ， t 1 uei4 j i1 sh u4 ， g u4 ing1 g ai1 iou3 k ，
j i4 s uan4 3 6 0 [ 8 0 0 ( 1 4 2 6 ) ] sh i2 ， ing1 x ian1 s uan4 j ia1 f a3 ， z ai4 s uan4 ch u2 f a3 ， z uei4 h ou4 s uan4 ch eng2 f a3 ， j ie2 g uo3 sh i4 7 2 0 0 。
i3 zh i1 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 { a n } d e0 q ian2 n x iang4 h e2 uei4 S n ， a 1 1 ， ( a n 1 4 ) n 2 S n ， z e2 S n .
r u2 t u2 ， c ong2 d ian4 x ian4 g an1 j ü4 d i3 m ian4 3 m d e0 C ch u4 x iang4 d i4 m ian4 l a1 i1 t iao2 zh ang3 5 m d e0 l an3 sh eng2 ， uen4 g u4 d ing4 d ian3 A d ao4 d ian4 x ian4 g an1 d i3 b u4 B d e0 j ü4 l i2 uei4 d uo1 sh ao3 .
j ie3 ： （ 1 ） q ü1 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 2 c o s 3 0 .
（ 2 ） q ü1 x ian4 M iou2 M 1 ， M 2 ， M 3 g ou4 ch eng2 ， r uo4 d ian3 P z ai4 M sh ang4 ， q ie3 | O P | ， q iou2 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 .
j ie3 ： （ uei4 c an1 sh u4 ） g uan1 ü2 zh i2 x ian4 y x d uei4 ch en4 d e0 q ü1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
r u2 t u2 ， zh eng4 f ang1 x ing2 O A B C d e0 b ian1 zh ang3 uei4 a c m （ a 0 ） ， t a1 sh i4 i2 g e4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， z e2 t a1 d e0 üan2 t u2 x ing2 O A B C d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 c m .
j iang1 y x k ü3 y 2 4 x l ian2 l i4 zh eng3 l i3 k e3 d e2 x 2 4 ( k 4 ) x 4 k 2 0 ，
er4 m ian4 j iao3 d e0 p ing2 m ian4 j iao3 sh i4 c ong2 l eng2 sh ang4 i4 d ian3 ch u1 f a1 ， f en1 b ie2 z ai4 l iang3 g e4 m ian4 n ei4 z uo4 sh e4 x ian4 s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 z uei4 x iao3 j iao3 ；
j ie3 ： i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 x 2 2 x m 0 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ，
h an2 sh u4 y c o s ( 2 x ) d e0 d an1 d iao4 j ian3 q ü1 j ian1 uei4 .
f ( x ) x 2 2 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x sh i2 ， f ( x ) q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 2 .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ： “ a 5 ” sh i4 “ B A ” d e0 i2 g e4 ch ong1 f en4 f ei1 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
j ie3 ： i1 j ü4 x c o s ， y s i n k e3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 x 2 ( y 2 ) 2 4 ， üan2 x in1 C （ 0 ， 2 ） ， b an4 j ing4 B C 2 ，
h e2 zh ong1 g ong4 iou3 9 g e4 q iou2 ， q i2 zh ong1 iou3 4 g e4 h ong2 q iou2 、 3 g e4 h uang2 q iou2 h e2 2 g e4 l ü4 q iou2 ， zh e4 x ie1 q iou2 ch u2 ian2 s e4 uai4 uan2 q üan2 x iang1 t ong2 .
p ing2 m ian4 d e0 g ai4 n ian4 、 h ua4 f a3 j i2 b iao3 sh i4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 j ie2 h e2 l ü4 』
【 t i2 sh i4 】 『 2 、 4 、 5 、 8 z u3 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 d e0 sh i2 uei4 sh i4 2 sh i2 ， z u3 ch eng2 d e0 l iang3 uei4 sh u4 iou3 『 3 』 g e4 。 』
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 n ei4 d e0 i1 t iao2 zh i2 x ian4 A C ch uei2 zh i2 p ing2 m ian4 B 1 C 1 C B ， z e2 l iang3 p ing2 m ian4 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 G E p ing2 m ian4 E F G ， F G p ing2 m ian4 E F G ， zh i3 x ü1 d e2 d ao4 S G 『 G E 』 ， S G G F j i2 k e3 . 』
d a2 ： zh a4 iou2 3 t ， x ü1 iao4 zh i1 m a2 4 0 0 0 q ian1 k e4 。
j ie3 ： zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 l . r uo4 O m l z e2 f ( 1 m ) f ( 2 m ) （ t ian2 “ ” “ ” h uo4 “ ” ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d a1 p ei4 zh ong1 d e0 x üe2 uen4 』
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 x 、 y b iao3 sh i4 ch u1 x 、 y h ou4 d ai4 r u4 『 x 2 4 y 2 1 』 q iou2 j ie3 C 2 . 』
p an4 d uan4 。 （ d uei4 d e0 d a3 “ ” ， c uo4 d e0 d a3 “ ” ）
g u4 d a2 an4 uei4 x 3 ， （ x （ ， 3 ） （ 3 ， ） ） .
j ie3 ： b a3 t uo3 üan2 2 x 2 3 y 2 1 2 h ua4 uei4 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 1 ，
j ie3 ： s i4 l eng2 zh uei1 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 x ia4 t u2 ：
g en1 j ü4 zh i1 m ing4 t i2 d uei4 r en4 i4 n N * ch eng2 l i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
r u2 t u2 sh i4 i2 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 ， sh i4 h ua4 ch u1 t a1 d e0 zh i2 g uan1 t u2 . （ zh i2 j ie1 h ua4 ch u1 zh i2 g uan1 t u2 ， b u4 b i4 x ie3 h ua4 t u2 b u4 zh ou4 ）
iou2 f ( ) 0 ， d e2 4 s i n ( ) 0 ， j i2 s i n ( ) 0 .
5 0 0 p ing2 f ang1 f en1 m i3 （ ） p ing2 f ang1 m i3
j ie3 ： sh e4 x ian2 d e0 d ing3 d ian3 uei4 A 、 B ， üan2 x in1 uei4 C .
j ie3 d e2 m 2 h uo4 1 ，
（ 1 ） in1 uei4 P uei4 A 1 B 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， s uo3 i3 P （ ， ， 2 ） .
（ 1 ） q iou2 t a1 ch eng2 h uo3 ch e1 h uo4 ch eng2 f ei1 j i1 q ü4 d e0 g ai4 l ü4 ；
g u4 D zh eng4 q üe4 .
s i4 b ian1 x ing2 O B D C sh i4 l ing2 x ing2 .
g u4 c e4 l eng2 zh ang3 l h e2 d i3 m ian4 zh eng4 l iou4 b ian1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 r b u4 k e3 n eng2 x iang1 d eng3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 q ie1 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 0 .
j iao1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
y z ai4 [ 1 ， 2 ] sh ang4 d i4 z eng1 ， [ 2 ， 1 ] sh ang4 d i4 j ian3 ，
j ie3 ： m ei3 r en2 m ei3 üe4 iong4 sh uei3 b u4 ch ao1 g uo4 2 m 3 sh i2 ， i1 j ia1 3 r en2 m ei3 üe4 k e3 iong4 ： 2 3 6 （ m 3 ） ，
D . sh ou4 h uo4 üan2 r en4 uei2 zh i3 d e0 sh i4 p ing2 m u4 d uei4 j iao3 x ian4 d e0 ch ang2 d u4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
s uo3 i3 A B C 1 8 0 ， zh e4 ü3 s an1 j iao3 x ing2 n ei4 j iao3 h e2 d eng3 ü2 1 8 0 x iang1 m ao2 d uen4 ； s uo3 i3 A ， B ， C zh ong1 b u4 n eng2 iou3 l iang3 g e4 j iao3 sh i4 zh i2 j iao3 ； j ia3 sh e4 A ， B ， C zh ong1 iou3 l iang3 g e4 j iao3 sh i4 zh i2 j iao3 ； b u4 f ang2 sh e4 A B 9 0 ， z e2 A B 1 8 0 .
r u2 t u2 ， E 、 F f en1 b ie2 sh i4 ch ang2 f ang1 t i3 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D d e0 l eng2 A 1 A 、 C 1 C d e0 zh ong1 d ian3 ， q iou2 zh eng4 ： s i4 b ian1 x ing2 B 1 E D F sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
d ong1 d ong1 ： j ia4 q ian2 h e2 p ing2 sh u4 d e0 b i3 1 8 : 6 3 : 1
P ( i ) ， （ i 0 ， 1 ， 2 ） ， z e2 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4
j ie3 ： d uei4 ü2 A ， r uo4 a 1 ， b 2 ， z e2 ， g u4 A sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ；
C . s uei2 j i1 sh i4 j ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
g en1 j ü4 t u2 x iang4 k e3 zh i1 ： zh i3 iou3 d ang1 a 1 sh i2 f u2 h e2 t i2 m u4 iao1 q iou2 .
i3 d ian3 B uei4 üan2 d ian3 ， l uei4 x zh ou2 j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， r u2 x ia4 t u2 s uo3 sh i4 ：
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 zh i1 d ian3 A （ 2 ， ） ， üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 4 s i n ( üan2 x in1 uei4 d ian3 C ) ， q iou2 zh i2 x ian4 A C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
n ei4 r en4 i4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ü2
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 x ian4 a ， b d ou1 ü3 l p ing2 x ing2 ， z e2 zh i2 x ian4 a ü3 zh i2 x ian4 b 『 p ing2 x ing2 』 . 』
j ie3 ： üan2 b u4 d eng3 sh i4 d eng3 j ia4 ü2 b u4 d eng3 sh i4 z u3 h uo4 .
j ie3 ： m ing4 t i2 “ i3 zh i1 a ， b Z ， r uo4 a ， b sh i4 j i1 sh u4 ， z e2 a b sh i4 j i1 sh u4 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 ： “ i3 zh i1 a ， b Z ， r uo4 a b b u2 sh i4 j i1 sh u4 ， z e2 a ， b b u4 d ou1 sh i4 j i1 sh u4 ” .
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 d e0 t i3 j i1 『 』 R 『 3 』 ， R sh i4 q iou2 d e0 b an4 j ing4 . 』
r u2 t u2 ， z ai4 zh i2 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， A B A C ， A B 2 ， A C 4 ， A A 1 3 ， D sh i4 B C d e0 zh ong1 d ian3 .
i1 k uai4 ch ang2 f ang1 x ing2 g ang1 b an3 ， zh ou1 ch ang2 sh i4 1 2 . 6 m ， zh ang3 ü3 k uan1 d e0 b i3 sh i4 5 : 4 。 zh e4 k uai4 ch ang2 f ang1 x ing2 g ang1 b an3 d e0 m ian4 j i1 sh i4 （ ） m 2 。
（ 2 ） r uo4 B ( R A ) B ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 d uan4 h an2 sh u4 d e0 ing4 iong4 』
（ 2 ） iou2 ü2 g e4 n ian2 n an2 ing1 ch u1 sh eng1 d e0 p in2 l ü4 z ai4 0 . 5 1 ～ 0 . 5 3 zh i1 j ian1 ， g u4 g ai1 sh i4 n an2 ing1 ch u1 sh eng1 d e0 g ai4 l ü4 üe1 sh i4 0 . 5 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i3 zh i1 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 sh i4 d uo1 sh ao3 ， q iou2 zh e4 g e4 sh u4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
sh e4 m ian4 j i1 uei4 3 0 0 c m 2 d e0 üan2 h uan2 d e0 b an4 j ing4 uei4 r c m ，
iou2 t i2 i4 k e3 d e2 | | d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 5 1 ；
h an2 sh u4 y s i n x z ai4 [ 1 ， 3 ] sh ang4 sh i4 d an1 f eng1 h an2 sh u4 .
i3 zh i1 d a4 zh eng4 f ang1 x ing2 b i3 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 ch ang2 ch ang2 4 l i2 m i3 ， m ian4 j i1 d uo1 9 6 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。 q iou2 d a4 zh eng4 f ang1 x ing2 h e2 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 g e4 sh i4 d uo1 sh ao3 。
A . iou3 l iang3 g e4 b u4 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 a | x 2 | z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 ， i3 D uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， j ian4 l i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 D x y z . i4 d e2 D （ 0 ， 0 ， 0 ） ， A （ 2 ， 0 ， 0 ） ， B （ 2 ， 2 ， 0 ） ， C （ 0 ， 1 ， 0 ） ， S （ 0 ， 0 ， 2 ） .
r uo4 m ing4 t i2 “ p q ” uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， q ie3 “ p ” uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， z e2 （ ）
g ong1 g ong4 q i4 ch e1 zh an4 m ei3 g e2 5 f en1 zh ong1 iou3 i1 l iang4 q i4 ch e1 d ao4 d a2 ，
zh e4 l iang3 g e4 b i3 n eng2 z u3 ch eng2 b i3 l i4 。
B . b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
d a2 ： d ang1 A B z uei4 d uan3 sh i2 ， A ， B j ü4 l i2 sh i4 zh ong1 x in1 O uei4 8 g ong1 l i3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i4 l iang4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
（ 2 ） d ian3 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ， zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 M h e2 üan2 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ian4 d uan4 d e0 h e2 ch a4 』
（ 3 ） q iou2 x iang4 l iang4 ü3 j ia1 j iao3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
（ 2 ） iou2 t u2 x ing2 k e3 zh i1 ， b a3 B D E r ao4 d ian3 D sh uen4 sh i2 zh en1 x üan2 zh uan3 1 6 0 h ou4 b u4 n eng2 ü3 C D F ch ong2 h e2 .
A . zh e4 g e4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 f en1
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
（ x ， y ） sh i4 zh i2 x ian4 m ： x y 4 sh ang4 d e0 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
（ 1 ） zh eng4 m ing2 ： f ( x ) x ， x [ ， 2 ] ， z e2 A （ ， ） ， B （ 2 ， ） ，
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 l o g 2 x ， j i2 x sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
x iao3 j ia1 s uo3 z ai4 x iao3 z u3 u3 uei4 t ong2 x üe2 d e0 p ing2 j ün1 sh en1 g ao1 uei4 1 . 4 9 m ， r u2 g uo3 b a3 t a1 m en0 d e0 p ing2 j ün1 sh en1 g ao1 j i4 uei4 0 ， sh en1 g ao1 z uei4 g ao1 d e0 l i3 z i0 üan2 b iao3 sh i4 uei4 7 c m ， sh en1 g ao1 z uei4 ai3 d e0 zh ang1 x in1 b iao3 sh i4 uei4 5 c m 。 x ia4 l ie4 g uan1 ü2 x iao3 j ia1 sh en1 g ao1 d e0 sh uo1 f a3 zh ong1 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ） 。
zh i2 x ian4 ü3 q ü1 x ian4 2 c o s x iang1 j iao1 ， j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 （ ）
d a2 ： zh i4 sh ao3 iao4 t ou2 j in4 4 6 g e4 q iou2 c ai2 n eng2 b ao3 zh eng4 q i2 zh ong1 1 uei4 t ong2 x üe2 t ou2 j in4 1 0 g e4 q iou2 。
j ie3 ： g en1 j ü4 s an1 sh i4 t u2 k e3 zh i1 j i3 h e2 t i3 d e0 zh i2 g uan1 t u2 r u2 x ia4 ：
【 t i2 sh i4 】 『 d a3 b a1 zh e2 ， j i2 an4 t i2 j ia4 2 0 h ou4 d e0 j ia4 g e2 d e0 8 0 ch u1 sh ou4 ， q iou2 t i2 j ia4 2 0 h ou4 d e0 j ia4 g e2 sh i4 d uo1 sh ao3 ， iong4 『 ch u2 』 f a3 。 』
E G p ing2 m ian4 A B E ， C 1 F p ing2 m ian4 A B E ，
i4 zh eng4 M N P Q ， g en1 j ü4 g ong1 l i3 2 d e0 t uei1 l uen4 3 k e3 zh i1 l iang3 t iao2 p ing2 x ing2 zh i2 x ian4 k e3 i3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 ， g u4 t u2 x ing2 zh eng4 q üe4 ，
X d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4
j ie3 ： zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 A B C D ， r u2 x ia4 t u2 .
x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ） .
( 8 ) 2 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 （ ）
d uei4 ü2 iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 l ai2 sh uo1 ， x ia4 l ie4 m iao2 sh u4 b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
z ai4 l ing2 x ing2 A B C D zh ong1 ， iou2 A B C ， i4 d e2 A B C sh i4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 .
2 p ing2 f ang1 m i3 2 0 0 p ing2 f ang1 f en1 m i3
z ai4 A B C zh ong1 ， A 6 0 ， a 4 ， b 4 ， z e2 B .
sh e4 zh i4 sh ao3 x ü1 iao4 x g e4 zh ang3 t ing2 ， c ai2 n eng2 b u4 k uei1 s uen3 ， z e2 0 . 6 5 6 4 a ( 1 1 0 ) x a ，
s uo3 i3 “ p ” ， “ q ” ， “ p q ie3 q ” ， “ p h uo4 q ” zh ong1 zh en1 m ing4 t i2 iou3 2 g e4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 m ian4 j i1 』
B . b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
t u2 sh i4 m ei3 g uo2 u3 j iao3 d a4 l ou2 ， q i2 zh u3 t i3 j ie2 g ou4 sh i4 u3 l eng2 zh u4
（ 3 ） 4 4 ， 2 3 b u2 sh i4 ou3 sh u4 ；
2 p ing2 f ang1 m i3 （ ） p ing2 f ang1 f en1 m i3
r uo4 a 0 ， 1 b 0 ， z e2 a b 2 a a ( b 2 1 ) 0 ， j i2 a b 2 a ， g u4 zh eng4 q üe4 .
M D p ing2 m ian4 A D F ， B E p ing2 m ian4 A D F ，
iou2 g ou1 g u3 d ing4 l i3 ， C D 1 ，
j ie3 ： iou2 y a x b ， d e2 a x y b .
s uo3 i3 z e2 x 0 0 ， y 0 z 0 0 .
j ie3 ： j iang1 2 s i n l iang3 b ian1 t ong2 ch eng2 i3 ， d e2 2 2 s i n ，
zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2
ün4 s uan4 d e0 j ie2 g uo3 sh i4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
i3 zh i1 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 A B C d e0 b ian1 zh ang3 uei4 a ， z ai4 p ing2 m ian4 sh ang4 q iou2 d ian3 P ， sh i3 | P A | 2 | P B | 2 | P C | 2 z uei4 x iao3 ， b ing4 q iou2 ch u1 z uei4 x iao3 zh i2 .
i3 zh i1 f ( x ) sh i4 d ing4 i4 z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d e0 d an1 d iao4 h an2 sh u4 ， q ie3 d uei4 r en4 i4 d e0 x （ 0 ， ） ， d ou1 iou3 f [ f ( x ) l o g 2 x ] 3 ， z e2 f ang1 ch eng2 f ( x ) f ( x ) 2 d e0 j ie3 s uo3 z ai4 d e0 q ü1 j ian1 sh i4 （ ）
m ing4 t i2 “ t ong2 uei4 j iao3 x iang1 d eng3 ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 m a0 ？ r u2 g uo3 sh i4 ， sh uo1 ch u1 l i3 iou2 ； r u2 g uo3 b u2 sh i4 ， q ing3 j ü3 ch u1 f an3 l i4 .
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 s an1 l eng2 t ai2 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， f en1 b ie2 l ian2 j ie1 A 1 B 、 A 1 C 、 B C 1 ，
h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 ( a 2 ) x 1 z ai4 x R sh ang4 c uen2 z ai4 f an3 h an2 sh u4 ， z e2 f 1 ( 1 ) .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 x ing2 g ong1 l i3 』
（ 3 ） i4 b an1 x ing2 sh i4 uei4 2 x 2 7 x 0 ， er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 uei4 2 ， i1 c i4 x iang4 x i4 sh u4 uei4 7 ， ch ang2 sh u4 x iang4 uei4 0 ；
【 t i2 sh i4 】 『 l ing2 d ian3 b a1 i1 x ie3 sh u4 sh i2 ， zh eng3 sh u4 b u4 f en4 x ie3 0 ， sh i2 f en1 uei4 sh ang4 x ie3 『 8 』 ， b ai3 f en1 uei4 sh ang4 x ie3 『 1 』 。 』
r uo4 d ian3 A ， B z ai4 p ing2 m ian4 d e0 l iang3 c e4 ， q ie3 zh ong1 d ian3 M ü3 d ian3 B z ai4 t ong2 i1 c e4 ， r u2 t u2 ， g uo4 d ian3 A ， B j i2 A B d e0 zh ong1 d ian3 M f en1 b ie2 x iang4 p ing2 m ian4 z uo4 ch uei2 x ian4 ， ch uei2 z u2 f en1 b ie2 uei4 A 1 ， B 1 ， M 1 ，
r uo4 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 t a1 d e0 j ian4 j in4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
C x üan3 x iang4 zh ong1 ， f ( 2 x ) 2 x 1 ， 2 f ( x ) 2 ( x 1 ) 2 x 2 f ( 2 x ) ， g u4 C f u2 h e2 t i2 i4 ；
j ie3 ： x ian4 d uan4 d e0 t ou2 ing3 sh i4 x ian4 d uan4 h uo4 d ian3 ， g u4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
D x üan3 x iang4 ， s uo3 i3 h e2 b u2 sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 ， g u4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
z ai4 zh i2 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， A B A C A A 1 3 a ， B C 2 a ， D sh i4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， E ， F f en1 b ie2 sh i4 A 1 A ， C 1 C sh ang4 i4 d ian3 ， q ie3 A E C F 2 a .
j ie3 ： d ian3 P d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ， 3 ） ，
B . üan2 zh u4 d e0 m u3 x ian4 ü3 zh ou2 ch uei2 zh i2
（ 2 ） sh e4 P uei4 C 1 sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， q iou2 | P A | 2 | P B | 2 | P C | 2 | P D | 2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
j ie3 ： p ing2 i2 h ou4 d e0 h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 uei4 g ( x ) s i n 2 ( x ) s i n ( 2 x 2 ) .
（ 2 ） l i2 h e2 p ing2 g uo3 i1 g ong4 iou3 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 ？
j ie3 ： sh ou3 x ian1 h ua4 ch u1 t u2 x ing2 ， r u2 t u2 .
r u2 t u2 ， P sh i4 ch ang2 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 l eng2 A B sh ang4 i4 d ian3 （ b u4 t ong2 ü2 d uan1 d ian3 A ， B ） ， iou2 D 1 ， C ， P s an1 d ian3 s uo3 q üe4 d ing4 d e0 p ing2 m ian4 ü3 ch ang2 f ang1 t i3 b iao3 m ian4 j iao1 x ian4 d e0 t iao2 sh u4 sh i4 .
z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， c e4 m ian4 P C D d i3 m ian4 A B C D ， P D C D ， d i3 m ian4 A B C D sh i4 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 ， A B C D ， A D C ， A B A D P D 1 ， C D 2 . sh e4 Q uei4 c e4 l eng2 P C sh ang4 i4 d ian3 ， ， sh i4 q üe4 d ing4 d e0 zh i2 ， sh i3 d e0 er4 m ian4 j iao3 Q B D P uei4 4 5 .
h an2 sh u4 y x 2 z ai4 （ 0 ， ） uei4 j ian3 h an2 sh u4 ， g u4 z ai4 q ü1 j ian1 （ 0 ， 2 ） sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 .
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 ， j i2 x z ， y sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 iou3 g uan1 g ai4 n ian4 』
j ü3 x ing2 r ao4 b ian1 zh ang3 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 i1 zh ou1 k e3 i3 uei2 ch eng2 üan2 zh u4 ， d an4 r ao4 q i2 t a1 zh i2 x ian4 （ l i4 r u2 j ü3 x ing2 d uei4 j iao3 x ian4 ） d e2 d ao4 d e0 x üan2 zh uan3 t i3 b u4 i2 d ing4 sh i4 üan2 zh u4 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
r uo4 a h e2 b sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ， b h e2 c sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ， z e2 a h e2 c d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
s uo3 i3 üan2 C d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f ang1 ch eng2 d e0 j ie3 h e2 j ie3 f ang1 ch eng2 』
iou2 d ian3 M 1 （ 1 ， 1 ） ü3 d ian3 M 2 （ 2 ， 2 ） m an3 z u2 1 2 0 ， 1 2 ， k e3 d e2 ch u1 q i2 g uan1 ü2 j i2 zh ou2 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 d uei4 ch en4 .
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 uei4 j ia3 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh i2 sh u4 d e0 f en1 l ei4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
z ong1 sh ang4 ， d uo1 x iang4 sh i4 ( a ) 6 ( x 2 ) d e0 ch ang2 sh u4 x iang4 sh i4 1 6 0 2 1 2 3 3 2 .
p q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
g u4 k e3 d e2 c o s ， s i n ， （ 0 2 ） .
uang2 h ong2 j ia1 3 k ou3 r en2 ， sh ang4 üe4 g ong4 j iao3 sh uei3 f ei4 2 9 . 6 üan2 。 q ing3 n i3 s uan4 i1 s uan4 uang2 h ong2 j ia1 sh ang4 üe4 iong4 sh uei3 d uo1 sh ao3 l i4 f ang1 m i3 ？
sh e4 j iao4 sh i1 r en2 sh u4 uei4 2 ， z e2 n an2 sh eng1 r en2 sh u4 4 ， n ü3 sh eng1 r en2 sh u4 2 ， n an2 sh eng1 r en2 sh u4 n ü3 sh eng1 r en2 sh u4 ，
j ie3 d e2 m 2 h uo4 1 ，
D . d eng3 b ian1 d uei4 d e0 j iao3 b u4 d eng3
p ing2 m ian4 A C D p ing2 m ian4 B D E ；
h ua4 j ian3 d e2 1 ， z e2 d ong4 d ian3 M d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 1 .
s uo3 i3 er4 m ian4 j iao3 A 1 B C 1 B 1 d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
（ 6 ） b u2 sh i4 m ing4 t i2 ， b u4 n eng2 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 .
g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 ( m n ) x 2 m x n 0 ， z ai4 sh en2 m e0 q ing2 k uang4 x ia4 sh i4 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 ？ z ai4 sh en2 m e0 q ing2 k uang4 x ia4 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b u4 d eng3 sh i4 b i3 j iao4 d a4 x iao3 』
j ie3 ： x i4 sh u4 h ua4 ch eng2 1 ， k e3 d e2
zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： y x ， q ü1 x ian4 C d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ） ， b an4 j ing4 r ， üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
（ 1 ） r uo4 t uo3 üan2 C sh ang4 d e0 d ian3 A （ 1 ， ） d ao4 F 1 ， F 2 j ü4 l i2 zh i1 h e2 d eng3 ü2 4 ， x ie3 ch u1 t uo3 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 h e2 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 ；
g u4 j ia3 sh e4 b u4 ch eng2 l i4 ， j i2 B E M E .
（ 2 ） j i4 sh i4 j ian4 B uei4 “ d ian3 sh u4 zh i1 h e2 d a4 ü2 5 er2 x iao3 ü2 1 0 " ， q i2 s uo3 d uei4 ing4 d e0 j ie2 g uo3 j ian4 b iao3 zh ong1 d e0 in1 ing3 b u4 f en4 ， x ian3 r an2 sh i4 j ian4 B b ao1 h an2 d e0 j i1 b en3 sh i4 j ian4 g ong4 iou3 2 0 g e4 ，
iou2 d e0 1 x 1 ， z e2 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 1 ， 1 ] .
zh i2 x ian4 l ü3 üan2 x iang1 l i2 ，
（ 1 ） q iou2 üan2 x in1 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 ；
f en1 sh u4 、 x iao3 sh u4 h u4 h ua4 。
zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 d uei4 ing4 t 0 ， t 1 l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 sh i4 （ ）
（ 1 ） q iou2 zh i2 x ian4 A C ü3 P B s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 d u2 f a3 h e2 x ie3 f a3 』
d uei4 ing4 d e0 k f en1 b ie2 uei4 0 ， 1 ， 2 ， 1 ， 1 ， g u4 f ( 2 ) 5 .
j ie3 ： z uei4 x iao3 d e0 f ei1 f u4 sh u4 sh i4 0 ； z uei4 x iao3 d e0 f ei1 f u4 zh eng3 sh u4 sh i4 0 ； z uei4 d a4 d e0 f ei1 zh eng4 sh u4 sh i4 0 ； z uei4 d a4 d e0 f ei1 zh eng4 zh eng3 sh u4 sh i4 0 ； z uei4 x iao3 d e0 zh eng4 zh eng3 sh u4 sh i4 1 ； z uei4 d a4 d e0 f u4 zh eng3 sh u4 sh i4 1 .
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 c uo4 u4 d e0 sh i4 ( )
j i2 z x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 5 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 5 .
i3 zh i1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 uei4 zh eng4 f ang1 t i3 ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
x ia4 l ie4 s i4 g e4 m ing4 t i2 zh ong1 d e0 zh en1 m ing4 t i2 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
( 1 ) 2 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 1 .
g u4 zh i2 x ian4 l ü3 x zh ou2 b u4 ch uei2 zh i2 ， sh e4 zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 0 k ( x 1 ) ， d ai4 r u4 p ao1 u4 x ian4 C ： y 2 4 x d e0 f ang1 ch eng2 h ua4 j ian3 k e3 d e2 k 2 x 2 ( 2 k 2 4 ) x k 2 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 』
j i4 x üan2 zh uan4 j ü3 zh en4 N ，
s uo3 i3 ： x y 4 h uo4 x y 2 .
3 9 6 [ 1 8 8 ( 3 8 7 0 ) ] d e0 j i4 s uan4 j ie2 g uo3 ü3 （ ） d e0 j i4 s uan4 j ie2 g uo3 x iang1 t ong2 。
s uo3 i3 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { 5 } .
iou4 A C p ing2 m ian4 P A C ， A C p ing2 m ian4 P A C ，
z ai4 C 1 D 1 G zh ong1 ， F sh i4 D 1 C 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， E sh i4 C 1 G d e0 zh ong1 d ian3 ，
（ 1 ） zh eng4 m ing2 ： iou2 i3 zh i1 B C A C ， C 1 C B C ，
（ 2 ） j i4 b u4 h u4 ch i4 iou4 b u2 d uei4 l i4 . in1 uei4 zh e4 l iang3 g e4 sh i4 j ian4 k e3 n eng2 t ong2 sh i2 f a1 sh eng1 ， l iang3 g e4 q iou2 i2 g e4 sh i4 b ai2 ， i2 g e4 sh i4 h ong2 j iou4 sh i4 zh e4 zh ong3 q ing2 k uang4 ；
g ei3 d ing4 （ 0 ， 0 ） ， k e3 i3 z ai4 j i2 z uo4 b iao1 p ing2 m ian4 n ei4 q üe4 d ing4 uei2 i1 i4 d ian3 ， j i2 uei4 j i2 d ian3 ， k e3 zh i1 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： sh e4 G sh i4 B B 1 zh ong1 d ian3 ， l ian2 j ie1 C G ， E G ，
s uo3 i3 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d 2 ，
m i4 h an2 sh u4 y x ( p Z ) uei4 ou3 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( 1 ) f ( 4 ) ， z e2 sh i2 sh u4 p .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 m u3 iou3 l i3 h ua4 』
i2 g e4 s i4 m ian4 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 g ai1 s i4 m ian4 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 sh i4 （ ）
“ l o g 2 2 x 0 ” sh i4 “ x 1 ” ch eng2 l i4 d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
d ang1 c o s ( ) 1 sh i2 d z uei4 x iao3 ，
D . s uei2 j i1 sh i4 j ian4
i3 zh i1 üan2 x 2 y 2 2 x 0 d e0 üan2 x in1 uei4 C ， zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 g ai1 üan2 x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， z e2 A B C d e0 m ian4 j i1 uei4 .
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 .
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) a （ x R ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t e4 sh u1 j iao3 d e0 s an1 j iao3 h an2 sh u4 zh i2 』
sh e4 j i2 h e2 M { 1 ， 2 ， 3 ， … ， n } ， j i4 M d e0 h an2 iou3 s an1 g e4 üan2 s u4 d e0 z i0 j i2 g e4 sh u4 uei4 S n ， t ong2 sh i2 j iang1 m ei3 i2 g e4 z i0 j i2 zh ong1 d e0 s an1 g e4 üan2 s u4 iou2 x iao3 d ao4 d a4 p ai2 l ie4 ， q ü3 ch u1 zh ong1 j ian1 d e0 sh u4 ， s uo3 iou3 zh e4 x ie1 zh ong1 j ian1 d e0 sh u4 d e0 h e2 j i4 uei4 T n .
j ie3 ： iou2 g ong1 sh i4 ，
zh i2 x ian4 ( c o s s i n ) 6 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 6 0 ，
【 t i2 sh i4 】 『 m i4 h an2 sh u4 d e0 d i3 sh u4 b u4 uei4 0 ， j i2 『 x 5 』 b u4 uei4 0 . 』
r uo4 P （ 2 ， 1 ） uei4 üan2 （ uei4 c an1 sh u4 ， q ie3 0 ） d e0 x ian2 d e0 zh ong1 d ian3 ， z e2 g ai1 x ian2 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
j ie3 ： j iang1 m ing4 t i2 “ j i1 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 h e2 t u2 x iang4 j ün1 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ” ， g ai3 x ie3 uei4 “ r uo4 p ， z e2 q ” d e0 x ing2 sh i4 uei4
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 （ l uei4 c an1 sh u4 ） ü3 q ü1 x ian4 ( t uei4 c an1 sh u4 ） x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
l iang3 g e4 r uei4 j iao3 h e2 i2 g e4 zh i2 j iao3 d e0 d u4 sh u4 h e2 k e3 n eng2 sh i4 1 8 0 ， g u4 C k e3 n eng2 ；
l ian2 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 k ( x 1 ) ， j i2 k x y k 2 0 ，
j ie3 ： j iang1 4 2 x 2 y b ian4 x ing2 ， d e2 4 2 ( x y ) .
“ x P ” sh i4 “ x Q ” d e0 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ，
z ai4 D zh ong1 ， in1 uei4 [ x ] uei4 b u4 d a4 ü2 x d e0 z uei4 d a4 zh eng3 sh u4 ， f ( x ) x [ x ] ，
（ 1 ） q iou2 üan2 zh uei1 d e0 g ao1 ；
g en1 j ü4 f u4 h e2 h an2 sh u4 d e0 d an1 d iao4 x ing4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 y f ( x ) z ai4 ( ， 0 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ， g u4 c uo4 u4 ；
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， E ， F f en1 b ie2 sh i4 m ian4 A 1 B 1 C 1 D 1 h e2 A A 1 D 1 D d e0 zh ong1 x in1 ， z e2 E F ü3 C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d e0 d a4 x iao3 sh i4 .
（ 1 ） q iou2 d e0 zh i2 h e2 D O E d e0 d a4 x iao3 ；
r uo4 A B C uai4 j ie1 üan2 d e0 b an4 j ing4 uei4 1 ， üan2 x in1 uei4 O ， q ie3 2 ， | | | | ， z e2 .
d a2 an4 ： （ uei4 c an1 sh u4 ） .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 zh i1 üan2 zh uei1 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 t u2 d e0 h u2 zh ang3 uei4 ， üan2 zh uei1 d i3 m ian4 üan2 b an4 j ing4 uei4 .
j ie3 ： g en1 j ü4 g ao1 d i1 j iao3 d e0 g ai4 n ian4 ： .
q iou2 t uo3 üan2 C ： 1 z ai4 j ü3 zh en4 A [ ] d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 z uo4 iong4 x ia4 s uo3 d e0 d e0 q ü1 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 .
j ie3 ： t uei4 c an1 sh u4 ， üan2 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 uei4 y s i n ( x c o s ) ， b iao3 sh i4 zh i2 x ian4 ；
d a2 ： zh e4 g e4 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 sh i4 3 4 6 . 1 8 5 c m 3 。
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
i3 zh i1 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 s an1 d ian3 A （ 2 ， 2 ） ， B （ 1 ， 3 ） ， C （ 7 ， x ） ， q ie3 m an3 z u2 ， z e2 x d e0 zh i2 uei4 （ ）
r uo4 a b c 0 ， z e2 a 0 q ie3 b 0 q ie3 c 0 ， j ia3 m ing4 t i2 .
j ie3 ： in1 uei4 l iou4 l eng2 zh u4 A B C D E F A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 zh ong1 ， A 1 F 1 C D ， A 1 F 1 ü3 B D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 j i2 uei4 C D ü3 B D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 B D C ， d i3 m ian4 l iou4 b ian1 x ing2 A B C D E F sh i4 zh eng4 l iou4 b ian1 x ing2 ， B C C D ， B C D 1 2 0 ，
（ 2 ） sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 ch ang2 sh u4 p ， q ( p q ) ， sh i3 b n ( 1 ) ( 1 ) d uei4 n N * ， d uei4 n N * ， n 2 h eng2 ch eng2 l i4 ？ zh eng4 m ing2 n i3 d e0 j ie2 l uen4 .
zh i2 x ian4 M D ü3 A 1 A C C 1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 x iang1 j iao1 .
j i4 s uan4 ， d e2
O p ing2 m ian4 A B D ， q ie3 O p ing2 m ian4 B C D ，
iou2 l eng2 zh u4 d e0 d ing4 i4 zh i1 ， l eng2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 d ou1 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， g u4 c uo4 u4 ；
（ 2 ） x ie3 ch u1 j i3 z u3 zh e4 l iang3 zh ong3 l iang4 zh ong1 x iang1 d uei4 ing1 d e0 l iang3 g e4 sh u4 d e0 j i1 ， b ing4 b i3 j iao4 j i1 d e0 d a4 x iao3 ， sh uo1 m ing2 zh e4 g e4 j i1 s uo3 b iao3 sh i4 d e0 i4 i4 。
B 1 G C F sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
h an2 sh u4 d e0 zh i2
C . x iang1 d eng3 d e0 l iang3 g e4 j iao3 sh i4 d uei4 d ing3 j iao3
d uei4 ü2 ， g en1 j ü4 i3 zh i1 t iao2 j ian4 i4 d e2 A 1 D p ing2 m ian4 A B C 1 D 1 ，
f en1 b ie2 q ü3 9 h e2 4 d e0 i2 g e4 p ing2 f ang1 g en1 x iang1 j ia1 ， k e3 n eng2 j ie2 g uo3 iou3 ： 3 2 5 ； 3 ( 2 ) 1 ； 3 2 1 ； 3 ( 2 ) 5 ， g ong4 4 g e4 .
g u4 sh i2 sh u4 k d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
zh ong1 ü3 j ü4 sh i4 g an3 t an4 j ü4 ， g u4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 .
z e2 a c o s 2 B b s i n A s i n B b zh uan3 h ua4 uei4 s i n A c o s 2 B s i n A s i n 2 B s i n B ，
（ 2 ） h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 j ing1 g uo4 d ian3 （ 2 ， ） ，
（ 2 ） uei4 sh i3 sh ou1 i4 X d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 b u4 x iao3 ü2 0 üan2 ， q iou2 k d e0 z uei4 x iao3 zh i2 . （ zh u4 ： g ai4 l ü4 x üe2 üan2 ü2 d u3 b o2 ， q ing3 z i4 j üe2 üan3 l i2 b u4 zh eng4 d ang1 d e0 iou2 x i4 ！ ）
g en1 j ü4 zh i2 g uan1 t u2 d e0 h ua4 f a3 h e2 t e4 zh eng1 k e3 d e2 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， b i4 iou3 A B A D ， A D B C ， q ie3 A D B C ， g u4 A B C D sh i4 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 .
d ang1 sh i2 ， ， s uo3 i3 N （ ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
d ian3 M 、 N f en1 b ie2 sh i4 A C 、 B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
z ong1 sh ang4 k e3 d e2 ： a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ ， 0 ] .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 b i3 zh i2 h e2 h ua4 j ian3 b i3 』
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： 1 { x | x 2 a } ； q ： 2 { x | x 2 a } .
i3 zh i1 t uo3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ ） （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， d ian3 M z ai4 t uo3 üan2 sh ang4 ， d uei4 ing4 c an1 sh u4 t ， d ian3 O uei4 üan2 d ian3 ， z e2 zh i2 x ian4 O M d e0 x ie2 l ü4 uei4 .
g en1 j ü4 i3 zh i1 t iao2 j ian4 ， z uo4 ch u1 t u2 x ing2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
（ ） sh e4 P d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 t ， t ） .
j i2 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 1 .
r uo4 zh i2 x ian4 l 1 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 zh i2 x ian4 l 2 ： （ s uei4 c an1 sh u4 ） ch uei2 zh i2 ， z e2 k .
j i2 ( x 1 ) 2 y 2 1 ， b iao3 sh i4 i3 （ 1 ， 0 ） uei4 üan2 x in1 ， 1 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 ，
（ 2 ） r uo4 C 1 ü3 C 2 x iang1 j iao1 ü2 d ian3 A ， C 1 ü3 C 3 x iang1 j iao1 ü2 d ian3 B ， q iou2 | A B | d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
d a2 an4 ： 1 h e2 2 。
【 t i2 sh i4 】 『 h an2 sh u4 t u2 x iang4 sh ang4 ， y n eng2 q ü3 d ao4 d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 『 』 ， z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 『 0 』 . 』
（ 1 ） q iou2 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 .
i2 g e4 üan2 zh u4 d e0 g ao1 sh i4 6 d m ， r u2 g uo3 b a3 g ao1 j iang4 d i1 4 d m ， b iao3 m ian4 j i1 j iou4 h uei4 j ian3 sh ao3 5 0 . 2 4 d m 2 。 zh e4 g e4 üan2 zh u4 üan2 l ai2 d e0 t i3 j i1 sh i4 （ ） d m 3 。
（ 1 ） q iou2 x ian2 zh ang3 | A B | ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d ing4 i4 j i2 q i2 f en1 l ei4 』
D . ( 2 a 2 ) 2 ( 4 a 4 ) 4 a 4 ( 4 a 4 ) 1 ， g u4 D c uo4 u4 .
iou2 ü2 p ao1 u4 x ian4 C 1 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 5 g e4 d an1 uei4 ch ang2 d u4 d e2 d ao4 p ao1 u4 x ian4 C 2 ，
s uo3 i3 C 1 B D 3 0 ， g u4 zh i2 x ian4 B C 1 h e2 p ing2 m ian4 A 1 B C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 3 0 .
j ü3 x ing2 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 f en1 q ie3 x iang1 d eng3 ， in1 c i3 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ；
（ 4 ） i4 b an1 x ing2 sh i4 uei4 x 2 3 0 ， er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 uei4 1 ， i1 c i4 x iang4 x i4 sh u4 uei4 0 ， ch ang2 sh u4 x iang4 uei4 3 .
B . j ia3 d e2 d i4 er4 m ing2 、 i3 d e2 d i4 i4 m ing2 、 b ing3 d e2 d i4 s an1 m ing2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh e2 k ou4 uen4 t i2 ( ao4 sh u4 ) 』
i4 zh i2 x ian4 j ing1 g uo4 d ian3 P （ 1 ， 1 ） ， q ing1 x ie2 j iao3 uei4 ， t a1 ü3 t uo3 üan2 y 2 1 x iang1 j iao1 ü2 P 1 ， P 2 l iang3 d ian3 . d ang1 q ü3 h e2 zh i2 sh i2 ， | P P 1 | | P P 2 | iou3 z uei4 zh i2 ？ b ing4 q iou2 ch u1 q i2 z uei4 zh i2
f ( x ) z ai4 [ 0 ， ) sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
【 t i2 sh i4 】 『 b ei4 ch u2 sh u4 i2 d ing4 ， sh uo1 m ing2 ch u2 sh u4 ü3 sh ang1 d e0 『 j i1 』 i2 d ing4 。 』
i1 sh i2 ian4 sh i4 j ian3 c e4 A 、 B 、 C 、 D s i4 g e4 üan2 j ian4 d e0 zh i4 l iang4 （ d an1 uei4 ： k e4 ） ， ch ao1 g uo4 b iao1 zh uen3 zh i4 l iang4 d e0 k e4 sh u4 j i4 uei4 zh eng4 sh u4 ， b u4 z u2 b iao1 zh uen3 zh i4 l iang4 d e0 k e4 sh u4 j i4 uei4 f u4 sh u4 ， j ie2 g uo3 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， q i2 zh ong1 z uei4 j ie1 j in4 b iao1 zh uen3 zh i4 l iang4 d e0 üan2 j ian4 sh i4 （ ）
2 2 0 1 8 sh i4 i2 g e4 h en3 d a4 d e0 sh u4 ， q i2 zh ong1 “ d a4 ” d e0 b iao1 zh uen3 b u4 q üe4 d ing4 ， u2 f a3 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 ， g u4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 ；
j i2 d ang1 m 1 sh i2 h uo4 m 2 sh i2 ， s i4 b ian1 x ing2 O C P F sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
【 t i2 sh i4 】 『 x A 『 c o s 』 ， y A s i n ， q i2 zh ong1 『 8 』 ， . 』
r uo4 n 2 ， q iou2 j ia3 h uo4 sh eng4 d e0 g ai4 l ü4 ；
d ian3 P ， Q d ou1 m an3 z u2 t iao2 j ian4 ， q ie3 x O P ， x O Q .
s uo3 i3 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 0 ） ， C P O 6 0 ，
i3 zh i1 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 2 s i n ( ) 4 0 ， q iou2 üan2 C d e0 b an4 j ing4 .
d uei4 ü2 A ， d ang1 l ， l sh i2 ， ü3 k e3 n eng2 p ing2 x ing2 ， ie3 k e3 n eng2 x iang1 j iao1 ， s uo3 i3 A b u4 f u2 h e2 t iao2 j ian4 ；
（ 2 ） sh e4 Q （ 1 ， 1 ） ， z e2 iou3 6 1 c o s ( 1 ) 8 0 .
d a2 an4 ： y （ x R ， q ie3 x 3 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
s uo3 i3 üan2 C d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 0 ） .
（ 2 ） t ian2 x ie3 x ia4 b iao3 。
（ 2 ） sh e4 M （ x ， y ） sh i4 f ang1 ch eng2 4 x 2 y 2 1 6 sh ang4 d e0 i4 ü2 A d e0 r en4 i4 d ian3 ， z e2 k （ x 0 ） ， j iang1 y k x 4 d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 ，
i2 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 （ q i2 zh ong1 zh eng4 sh i4 t u2 d e0 h u2 x ian4 uei4 s i4 f en1 zh i1 i1 üan2 zh ou1 ） ， z e2 g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 （ ）
l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 d e0 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 sh i4 .
j ie3 ： （ 1 ） q ü1 x ian4 C 2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 y 0 ， q ü1 x ian4 C 3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 y 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 、 f an3 b i3 l i4 d e0 ing4 iong4 』
【 t i2 sh i4 】 『 B C ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 P A C n ei4 d e0 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 ， z e2 B C ü3 p ing2 m ian4 P A C 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 zh i1 A B C s an1 g e4 d ing3 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 A （ 2 ， ） ， B （ 2 ， ） ， C （ 2 ， ） .
ch ang2 f ang1 x ing2 k e3 i3 iou3 3 zh ong3 ： zh ang3 sh i4 7 l i2 m i3 ， k uan1 sh i4 1 l i2 m i3 ； zh ang3 sh i4 6 l i2 m i3 ， k uan1 sh i4 2 l i2 m i3 ； zh ang3 sh i4 5 l i2 m i3 ， k uan1 sh i4 3 l i2 m i3 。
i3 O uei4 üan2 d ian3 ， i3 O B ， O C ， O O 1 f en1 b ie2 uei4 x zh ou2 ， y zh ou2 ， z zh ou2 j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 i3 sh u4 k an4 z uo4 “ 1 ” ， j ia3 sh u4 ü3 i3 sh u4 d e0 b i3 sh i4 『 1 . 2 』 : 1 。 』
j ie3 ： sh i4 z i0 ， 4 ， a b c ， 0 ， x y ， zh ong1 ， d an1 x iang4 sh i4 iou3 ， 4 ， a b c ， 0 ， g ong4 4 g e4 .
i2 g e4 uen2 j ü4 h e2 1 5 . 8 üan2 ， i1 zh i1 g ang1 b i3 8 . 4 üan2 ， i1 f u4 s an1 j iao3 ch i3 1 . 2 üan2 。 x iao3 m ing2 iou3 2 5 üan2 ， t a1 m ai3 l e0 i2 g e4 uen2 j ü4 h e2 h e2 i1 zh i1 g ang1 b i3 h ou4 ， sh eng4 x ia4 d e0 q ian2 h ai2 n eng2 b u4 n eng2 m ai3 i1 f u4 s an1 j iao3 ch i3 ？
q iou2 x ia4 l ie4 h an2 sh u4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 .
i3 zh i1 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 ， a 1 a （ 0 a 2 ） ， a n 1 （ n N * ） ， j i4 S n a 1 a 2 … a n ， r uo4 S n 2 0 1 5 ， z e2 n .
iou2 f ( 2 x ) 0 d e2 ( 2 x 1 ) ( 2 x 3 ) 0 ， j i2 ( 2 x 1 ) ( 2 x 3 ) 0
j i2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 8 ， ） .
j ie3 ： s an1 l eng2 zh uei1 S A B C zh ong1 ， S A B C ， S B A C ， S C A B ，
【 t i2 sh i4 】 『 sh e4 P ü3 d i4 m ian4 g ao1 d u4 ü3 sh i2 j ian1 t d e0 g uan1 x i4 uei4 f ( t ) A s i n ( t ) B ， z e2 『 f ( 1 6 ) 』 d e0 zh i2 j i2 uei4 1 6 f en1 zh ong1 h ou4 d ian3 P j ü4 d i4 m ian4 d e0 g ao1 d u4 . 』
j ie3 ： p in1 ch u1 l e0 j i3 g e4 zh e4 iang4 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 ？ （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ）
q i2 zh ong1 zh i2 s an1 l eng2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 sh i4 zh i2 j iao3 b ian1 zh ang3 uei4 2 d e0 d eng3 iao1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， g ao1 uei4 2 ， b an4 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 1 ， g ao1 uei4 2 ，
zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ，
j i2 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
（ 1 ） q iou2 j ü3 zh en4 M ；
z ai4 s an1 j iao3 x ing2 A B C zh ong1 ， j iao3 A ， B ， C d e0 d uei4 b ian1 f en1 b ie2 sh i4 a ， b ， c . r uo4 b ， c 3 ， B C 3 A .
j ie3 b i3 l i4 。
d uo1 x iang4 sh i4 1 2 x x 2 x 3 sh i4 iou2 d an1 x iang4 sh i4 ， ， ， d e0 h e2 z u3 ch eng2 d e0 .
j iang1 b i3 4 d a4 d e0 sh u4 z ai4 x ia4 m ian4 d e0 sh u4 zh ou2 sh ang4 b iao3 sh i4 ch u1 l ai2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1 』
q iou2 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 d e0 l i4 f ang1 g en1 .
l ing4 x 1 k e3 d e2 （ 1 ， ， ） ，
g u4 m ing4 t i2 “ r uo4 x ， y d ou1 sh i4 ou3 sh u4 ， z e2 x y ie3 sh i4 ou3 sh u4 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 x y b u2 sh i4 ou3 sh u4 ， z e2 x ü3 y b u4 d ou1 sh i4 ou3 sh u4 ” .
d a2 an4 ： 1 . （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
（ 1 ） zh eng4 m ing2 ： P A p ing2 m ian4 B D E ；
1 . x iao3 l ing2 iou3 4 5 üan2 ， m ai3 l e0 q i4 ch e1 h e2 f ei1 j i1 h ou4 ， h ai2 n eng2 b u4 n eng2 m ai3 x iao3 x iong2 ？
l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
k ong1 j ian1 d ian3 P d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， z ） ， g uan1 ü2 d ian3 O （ 0 ， 0 ， 0 ） d e0 d uei4 ch en4 d e0 d ian3 d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ） （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 C d ao4 m ian4 A O B d e0 j ü4 l i2 uei4 q iou2 d e0 『 b an4 j ing4 』 . 』
r u2 t u2 ， i2 g e4 d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 6 c m 、 sh en1 6 c m d e0 üan2 zh u4 x ing2 b o1 l i2 sh uei3 c ao2 l i3 zh uang1 m an3 l e0 sh uei3 ， j iang1 i2 g e4 h e2 t a1 d eng3 d i3 d eng3 g ao1 d e0 üan2 zh uei1 x ing2 m u4 k uai4 d ao4 zh e0 an4 r u4 sh uei3 c ao2 zh ong1 ， zh i2 zh i4 zh uei1 sh uo4 p eng4 d ao4 sh uei3 c ao2 d i3 b u4 ， z ai4 n a2 ch u1 m u4 k uai4 。 zh e4 sh i2 sh uei3 c ao2 zh ong1 d a4 üe1 sh eng4 x ia4 d uo1 sh ao3 sh uei3 ？
d uei4 ü2 C x üan3 x iang4 ， g ai1 t u2 x iang4 b iao3 sh i4 d e0 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 sh i4 [ 0 ， 1 ] ， zh i2 ü4 sh i4 [ 0 ， 1 ] ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
z ai4 i1 c ang1 k u4 l i3 d uei1 f ang4 zh e0 r uo4 g an1 g e4 x iang1 t ong2 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 h uo4 x iang1 ， c ang1 k u4 g uan3 l i3 üan2 j iang1 zh e4 d uei1 h uo4 x iang1 d e0 s an1 sh i4 t u2 h ua4 l e0 ch u1 l ai2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 zh e4 d uei1 zh eng4 f ang1 t i3 h uo4 x iang1 g ong4 iou3 g e4 .
（ 1 ） x N ， 2 x 1 sh i4 j i1 sh u4 ；
2 3 1 8 4 1 4 （ m i3 ） ， b u4 h e2 t i2 i4 ；
zh eng3 sh i4 iou3 ， 3 ， 2 ， ， ， a b ， g ong4 6 g e4 .
（ 1 ） x iao3 j ün1 、 x iao3 m ing2 t ong2 sh i2 c ong2 x üe2 x iao4 ch u1 f a1 ， x iang1 b ei4 er2 x ing2 ， l iang3 r en2 x ing2 z ou3 d e0 s u4 d u4 x iang1 t ong2 。 z ai4 t u2 zh ong4 b iao1 ch u1 x iao3 j ün1 x ian4 z ai4 d e0 uei4 zh i4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
（ 2 ） l ian2 j ie1 E D j iao1 A C ü2 O ， l ian2 j ie1 O F ，
r u2 t u2 ， z ai4 p ing2 m ian4 n ei4 f ang4 zh i4 l iang3 g e4 x iang1 t ong2 d e0 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 ch i3 ， q i2 zh ong1 A 3 0 ， q ie3 B ， C ， D s an1 d ian3 g ong4 x ian4 ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 b u4 ch eng2 l i4 d e0 sh i4 （ ）
j ie3 ： iou2 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 k e3 zh i1 ： .
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 q ü3 d ao4 h ong2 x in1 （ sh i4 j ian4 A ） ü3 q ü3 d ao4 f ang1 p ian4 （ sh i4 j ian4 B ） b u4 n eng2 t ong2 sh i2 f a1 sh eng1 ， s uo3 i3 A ü3 B sh i4 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 ， q ie3 iou3 C A B ， g u4 iou2 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 d e0 g ai4 l ü4 d e0 j ia1 f a3 g ong1 sh i4 ， d e2 P ( C ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) .
D . zh e4 g e4 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2
3 V q iou2 V sh uei3 V zh u4 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ： zh en1 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 iou3 1 g e4 .
（ 5 ） sh e4 in1 ing3 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 uei4 S ， iou2 j i3 h e2 g ai4 x ing2 g ong1 sh i4 d e2 d ian3 l uo4 z ai4 in1 ing3 b u4 f en4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 ，
（ ） q iou2 d e0 zh i2 j i2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 ；
z ai4 x ia4 t u2 zh ong1 t u2 s e4 b iao3 sh i4 x iao3 sh u4 。
zh e4 sh uo1 m ing2 6 üe4 2 9 r i4 sh i4 x ing1 q i1 er4 ， s uo3 i3 7 üe4 1 r i4 sh i4 x ing1 q i1 s i4 。
in1 M （ 2 p ， p ） z ai4 zh i2 x ian4 y x b sh ang4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao1 h uan4 l ü4 ： a b b 『 a 』 。 』
z ong1 sh ang4 ， x üan3 x iang4 C d e0 t u2 x iang4 d a4 zh i4 f u2 h e2 .
j ie3 ： （ 1 ） q ü3 A E d e0 zh ong1 d ian3 M ， l ian2 j ie1 B 1 M ，
C . x üan2 zh uan3 b u4 g ai3 b ian4 t u2 x ing2 d e0 d a4 x iao3
sh e4 P （ a ， b ） z ai4 üan2 C sh ang4 ， z e2 （ a m ， b ） ， （ a m ， b ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 üan2 zh uei1 m ian4 d e0 j ie2 x ian4 』
D . a 、 b i4 h ao4 ， q ie3 f u4 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 j iao4 d a4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 j ian3 b ian4 ün4 s uan4 』
d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4
z uo4 q iou2 d e0 i2 g e4 d a4 üan2 ， z ai4 d a4 üan2 sh ang4 r en4 q ü3 s i4 d ian3 ， z e2 zh e4 s i4 d ian3 j iou4 z ai4 q iou2 m ian4 sh ang4 ， q ie3 g ong4 m ian4 ， g u4 m ing4 t i2 c uo4 u4 ；
A 1 C 1 d ao4 d i3 m ian4 d e0 j ü4 l i2 j i2 sh i4 s i4 l eng2 zh u4 d e0 c e4 l eng2 zh ang3 ， sh e4 uei4 t ，
j ie3 ： p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 d uei4 b ian1 x iang1 d eng3 ，
j ie3 ： zh i2 x ian4 c o s s i n 1 0 h ua4 uei4 y zh i2 x ian4 x y 1 0 .
（ 1 ） j iang1 C d e0 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ；
（ 1 ） 1 （ j ing1 q üe4 d ao4 0 . 0 0 1 ） ；
j iang1 h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( 2 x ) （ | | ） d e0 t u2 x iang4 x iang4 z uo3 p ing2 i2 g e4 d an1 uei4 h ou4 d e0 t u2 x ing2 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ， z e2 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 [ 0 ， ] sh ang4 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
（ 2 ） q iou2 b u4 d eng3 sh i4 | f ( x ) | 1 d e0 j ie3 j i2 .
l iang3 g e4 üan2 zh u4 g ao1 d ou1 sh i4 1 0 c m ， t a1 m en0 d e0 d i3 m ian4 b an4 j ing4 d e0 b i3 sh i4 3 : 2 ， t a1 m en0 d e0 t i3 j i1 b i3 sh i4 （ ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
d ang1 a 0 sh i2 ， 3 0 ch eng2 l i4 ；
D . j i2 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
j ie3 ： sh e4 üan2 l ai2 R t A B C d e0 s an1 b ian1 f en1 b ie2 uei4 a 、 b 、 c ， q i2 zh ong1 c uei4 x ie2 b ian1 ， r uo4 j iang1 t a1 m en0 k uo4 d a4 k b ei4 ， z e2 s an1 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 k a 、 k b 、 k c .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 ü3 x ie2 l ü4 』
z ai4 k uo4 h ao4 zh ong1 t ian2 sh ang4 h e2 sh i4 d e0 d an1 uei4 m ing2 ch eng1 。
C sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 l d e0 j ü4 l i2 uei4
zh ong1 u3 d e0 uen1 d u4 uei4 ： 7 1 1 4 .
x y 2 d e0 x i4 sh u4 sh i4 1 ， g u4 B c uo4 u4 ；
q i2 zh ong1 ch u2 l e0 b u4 k e3 n eng2 iou3 2 9 f en4 uai4 ， q i2 ü2 d e2 f en1 q ing2 k uang4 j ün1 iou3 k e3 n eng2 ，
i2 g e4 zh eng4 sh u4 d e0 l iang3 g e4 p ing2 f ang1 g en1 f en1 b ie2 sh i4 x 1 h e2 x 5 ， z e2 ( x 1 ) ( x 5 ) d e0 zh i2 d eng3 ü2 .
er4 m ian4 j iao3 A P C D d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
z ai4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 a x 2 b x c 0 zh ong1 ， r uo4 a b c 0 ， z e2 f ang1 ch eng2 b i4 iou3 i1 g en1 uei4 .
j i2 z uo4 b iao1 x i4 n ei4 q ü1 x ian4 2 c o s sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 P ü3 d ing4 d ian3 Q （ 1 ， ） d e0 z uei4 j in4 j ü4 l i2 d eng3 ü2 （ ）
iou2 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 g ong1 sh i4 ， d e2 x 2 s i n 2 c o s ， y 3 c o s 3 s i n ，
j ie3 ： in1 uei4 2 a 0 ， 0 ， a 3 b 6 0 ，
j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 h e2 zh i2 x ian4 y b iou3 q ie3 zh i3 iou3 2 g e4 j iao1 d ian3 ， d ang1 a 0 sh i2 ， f ( x ) r u2 t u2 1 s uo3 sh i4 ， h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 h e2 zh i2 x ian4 y b zh i1 d uo1 iou3 i2 g e4 j iao1 d ian3 ， b u4 m an3 z u2 t iao2 j ian4 ，
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) 2 s i n ( 4 x ) （ 0 ） d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 ，
zh i2 x ian4 s i n a d uei4 ing4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y a （ a 0 ） .
iou2 zh i2 x ian4 ü3 üan2 iou3 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 t iao2 j ian4 d e2 ， üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d 1 ，
3 0 1 2 2 1 8 0 （ p ing2 f ang1 m i3 ）
【 t i2 sh i4 】 『 “ q ia4 iou3 1 m ing2 n ü3 sh eng1 ” sh i2 zh i4 sh i4 x üan3 ch u1 d e0 sh i4 “ 『 1 』 m ing2 n an2 sh eng1 h e2 1 m ing2 n ü3 sh eng1 ” . 』
s uo3 i3 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 0 ，
iou2 ü2 uei4 f ei1 f u4 sh u4 ， z e2 4 s i n .
a b 0 a b ， g u4 ch eng2 l i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 sh i4 .
g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 0 ， ） ，
g u4 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 uei4 .
j i2 n k 1 sh i2 ， d eng3 sh i4 ie3 ch eng2 l i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 sh i2 ， x ü1 x ian1 s uan4 ch eng2 ch u2 f a3 ， z ai4 s uan4 j ia1 j ian3 f a3 ， iou3 k uo4 h ao4 d e0 iao4 x ian1 s uan4 k uo4 h ao4 『 l i3 』 m ian4 d e0 。 』
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x y sh i2 “ ” ch eng2 l i4 .
g uan1 ch a2 t u2 x ing2 k e3 zh i1 ， d ang1 2 x 0 sh i2 ， y 1 ， j i2 y x 1 ；
A . b u4 d eng3 b ian1 d uei4 d eng3 j iao3
g u4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 1 x ， j i2 M { x | 0 x } .
h uo4 3 ， 0 ， 1 ， 0 ； h uo4 3 ， 0 ， 1 ， 1 ； h uo4 3 ， 1 ， 0 ， 0 ； h uo4 3 ， 1 ， 0 ， 1 ；
d ai4 r u4 q ü1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ， d e2 t 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 b i3 l i4 』
r uo4 a q a 2 d ， a q 2 a d ， z e2 q 1 （ sh e3 q ü4 ） h uo4 q ，
j ie3 ： d a2 an4 b u4 uei2 i1 。
d a2 ： l iang3 d uei4 g ong4 t ong2 g ong1 z uo4 zh ong1 ， i1 g ong4 x iou1 l e0 1 5 6 0 m i3 ， j ia3 d uei4 x ian1 g ong1 z uo4 l e0 3 t ian1 。
j ie3 ： r u2 t u2 ， l ing4 A （ ， ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 A C p ing2 m ian4 B D E ， b ao1 h an2 A C d e0 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 B D E 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
g u4 f ( m ) 3 ， j ie3 d e2 m 9 .
D . üan2 m ing4 t i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， f ou3 m ing4 t i2 ： “ r uo4 a b 0 ， z e2 a 0 q ie3 b 0 ”
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
（ 1 ） q ü3 d ao4 h ong2 s e4 p ai2 （ sh i4 j ian4 C ） d e0 g ai4 l ü4 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ， a 0 ） . z ai4 i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q ü1 x ian4 C 2 ： 4 c o s .
j ie3 f ang1 ch eng2
üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 1 ） ， q i2 d uei4 ing4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） .
r uo4 f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 ， z e2 d uei4 r en4 i4 d e0 x R ， d ou1 iou3 f ( x ) f ( x ) ，
k ， p ， q j ün1 uei4 zh eng4 zh eng3 sh u4 ， g ong1 ch ai1 d N * ，
d a2 ： z ai4 i1 j ü2 iou2 x i4 zh ong1 d e2 3 f en1 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 ü3 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 』
（ 1 ， 1 ， 1 ） sh i4 p ing2 m ian4 B D E d e0 i2 g e4 f ang1 x iang4 l iang4 .
iou2 t i2 i4 ， C 1 C 2 d e0 g ong1 g ong4 q ü1 x ian4 uei4 C 3 ，
（ 2 ） iong4 A b iao3 sh i4 m an3 z u2 t iao2 j ian4 “ uei4 zh eng3 sh u4 ” d e0 sh i4 j ian4 ， z e2 A b ao1 h an2 d e0 j i1 b en3 sh i4 j ian4 iou3 （ 1 ， 1 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 4 ， 1 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 4 ） ， g ong4 8 g e4 .
d ang1 a 0 sh i2 ， f ( x ) a iou3 2 g e4 j ie3 ， c i3 sh i2 S ；
d ong4 d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 x y 4 0 d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 t a1 d ao4 d ian3 M （ 2 ， 2 ） d e0 j ü4 l i2 ， z e2 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 sh i4 （ ）
S A ， S B ， S C l iang3 l iang3 ch uei2 zh i2 ，
j ie3 ： iou2 t i2 i4 ， z i4 b ian4 l iang4 x m an3 z u2 8 0 ，
k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4
s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 l ing2 x ing2 .
A . ch ong1 f en4 er2 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
j i2 a b 2 2 （ d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b 1 sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 ） .
（ 1 ） q iou2 q ü1 x ian4 C 1 ü3 C 2 j iao1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 ；
sh uei3 b i3 j iao4 sh ao3 sh i2 ， sh i4 s an1 l eng2 zh u4 ， sh uei3 d uo1 sh i2 ， k e3 n eng2 sh i4 s i4 l eng2 zh u4 h uo4 u3 l eng2 zh u4 ， d an4 b u4 k e3 n eng2 sh i4 l eng2 t ai2 h uo4 l eng2 zh uei1 .
j ü3 zh en4 M iou3 l iang3 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 1 1 ， 2 4 .
【 t i2 sh i4 】 『 l i4 iong4 『 p ei4 f ang1 』 f a3 k e3 d e2 p ao1 u4 x ian4 d e0 d ing3 d ian3 z uo4 b iao1 sh i4 『 （ ， ） 』 . 』
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： x R ， 9 x 3 x a 0 ， r uo4 m ing4 t i2 p sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
zh ong1 ， r uo4 a b ， b ， z e2 a ie3 k e3 n eng2 ch eng2 l i4 ， g u4 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
（ 5 ） üan2 zh u4 d i3 m ian4 j i1 i2 d ing4 ， g ao1 h e2 t i3 j i1 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 。 （ ）
d ian3 B （ 2 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
z e2 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
i2 g e4 l an2 q iou2 ch ang3 d e0 m ian4 j i1 üe1 5 0 0 （ ） 。
iou4 N uei4 P C d e0 zh ong1 d ian3 ，
j i2 ( x a ) 2 ( y b ) 2 t 2 ， t a1 b iao3 sh i4 i2 g e4 üan2 .
（ 1 ） j iang1 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 x üan3 z e2 q ia4 d ang4 d e0 c an1 sh u4 x ie3 ch u1 t a1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ；
（ 3 ） üan2 m ing4 t i2 ： r uo4 i2 g e4 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， z e2 t a1 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 f en1 ；
l iang4 d e2 g uang3 ch ang3 d ao4 t i3 ü4 g uan3 d e0 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 uei4 6 l i2 m i3 ， i1 üan4 d ao4 t i3 ü4 g uan3 d e0 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 uei4 4 l i2 m i3 ， uen2 h ua4 g uan3 d ao4 t i3 ü4 g uan3 d e0 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 uei4 4 . 5 l i2 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
g ai1 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 uei4 a 2 1 0 0
r uo4 d ian3 Q z ai4 zh i2 x ian4 b sh ang4 ， b z ai4 p ing2 m ian4 n ei4 ， z e2 Q ， b ， zh i1 j ian1 d e0 g uan1 x i4 k e3 j i4 z uo4 （ ）
j ie3 d e2 ： x 0 h uo4 x 5 .
A . l iang3 zh i2 x ian4 ü3 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 x iang1 j iao1 ， t ong2 uei4 j iao3 x iang1 d eng3 ；
g u4 d a2 an4 uei4 （ 2 ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh i2 sh u4 ü3 sh u4 zh ou2 sh ang4 d ian3 d e0 d uei4 ing4 g uan1 x i4 』
s uo3 i3 t 2 0 ， j i2 t 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
j ie3 ： in1 uei4 f ( x ) 3 x 2 ，
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s ( ) 1 . i3 j i2 d ian3 uei4 O uei4 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ， r 0 ） . r uo4 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C x iang1 q ie4 ， q iou2 r d e0 zh i2 .
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) x ， x [ 1 ， 5 ] ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 d e0 z uo4 b iao1 ün4 s uan4 』
（ 5 ） j iang1 x iao3 m ing2 c ong2 d a4 m en2 d ao4 b ao4 g uan3 d e0 x ing2 z ou3 l u4 x ian4 b u3 ch ong1 uan2 zh eng3 （ ch ang2 f ang1 x ing2 n ei4 t ian2 x ing2 z ou3 f ang1 x iang4 ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 』
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
g u4 d a2 an4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
D . i3 sh ang4 d a2 an4 j ün1 b u2 d uei4
i3 zh i1 i2 g e4 zh eng4 sh u4 d e0 l iang3 g e4 p ing2 f ang1 g en1 f en1 b ie2 sh i4 2 a 1 h e2 a 5 ， q iou2 zh e4 g e4 zh eng4 sh u4 d e0 zh i2 .
（ 2 ） A 1 B ü3 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 k ong1 j ian1 x iang4 l iang4 q iou2 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 d e0 j ia1 j iao3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i4 iong4 d ao3 sh u4 p an4 d uan4 h an2 sh u4 d e0 d an1 d iao4 x ing4 』
d ang1 m 1 sh i2 ， üan2 sh i4 2 0 1 6 .
z ong1 sh ang4 ， b u4 d eng3 sh i4 1 2 d e0 j ie3 j i2 uei4 x 5 .
zh e4 g e4 b an1 x üe2 sh eng1 d e0 sh en1 g ao1 1 . 4 4 m ～ 1 . 5 6 c m zh i1 j ian1 ， s uo3 i3 x iao3 j ia1 sh en1 g ao1 b u4 k e3 n eng2 sh i4 1 . 5 8 c m ， k e3 n eng2 sh i4 1 . 4 5 m 。
z uo3 b ian1 x n d e0 x i4 sh u4 uei4 C ，
j ie3 ： iou2 üan2 t ai2 d e0 d ing4 i4 k e3 i3 q üe4 d ing4 üan2 t ai2 sh ang4 d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 b i3 x ia4 d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 x iao3 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： （ 1 ） f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ，
t 2 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 t 1 sh i2 q ü3 “ ” ，
g u4 x iang4 l iang4 （ 0 ， 1 ， 1 ） ， x iang4 l iang4 （ 1 ， 2 ， 0 ） ， （ 1 ， 0 ， 2 ） ，
y f ( x ) z ai4 （ ， 0 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ；
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 P （ 2 c o s ， 2 s i n ） ， Q （ 2 c o s 2 ， 2 s i n 2 ） .
s i4 b ian1 x ing2 A P P A sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
B 1 D 1 A C 1 . t ong2 l i3 k e3 d e2 B 1 C A C 1 .
j i2 q ü1 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 ， g u4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
g u4 üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ 2 ， 4 ） .
（ 2 ） n i3 r en4 uei2 c uo4 u4 d e0 üan2 in1 sh i4 sh en2 m e0 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i4 iong4 d ao3 sh u4 p an4 d uan4 h an2 sh u4 d e0 d an1 d iao4 x ing4 』
（ 1 ） i3 zh i1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 A （ 3 ， ） ， B （ 2 ， ） ， C （ ， ） ， D （ 4 ， ） ， q iou2 t a1 m en0 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 ；
sh e4 | | ， n uei4 zh eng4 zh eng3 sh u4 ， sh u4 l ie4 { a n } d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 a n s i n t a n n ， q i2 q ian2 n x iang4 h e2 uei4 S n .
（ ） zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， l ü3 C j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， | A B | ， q iou2 l d e0 x ie2 l ü4 .
j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 2 ( 2 2 ) ( 2 2 ) 4 4 4 2 4 2 2 ( 4 4 2 2 ) 2 7 2 6
【 t i2 sh i4 】 『 ( x 2 ) 2 3 zh ong1 ， ( x 2 ) 2 『 』 0 . 』
s uo3 i3 c 1 c 2 c 3 ， c 3 c 4 c 5 … c n ， n 3 ， c n z uei4 d a4 ，
l iang3 g e4 x iang1 j iao1 p ing2 m ian4 iou3 b u4 z ai4 t ong2 i1 zh i2 x ian4 sh ang4 d e0 s an1 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ；
r uo4 a x m y 2 sh i4 g uan1 ü2 x ， y d e0 i2 g e4 d an1 x iang4 sh i4 ， q ie3 x i4 sh u4 sh i4 4 ， c i4 sh u4 sh i4 5 ， z e2 a ， m .
B . r uo4 a 3 ， b 2 ， m an3 z u2 a b ， d an4 a 2 b 2 ， g u4 B c uo4 u4 ；
B E E F D F E F ， j i2 B F D E （ ch eng2 l i4 ） .
d ang1 x sh i2 ， iou3 i4 i4 ； r uo4 iou3 i4 i4 ， z e2 x .
r u2 t u2 ， ch ang2 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 d i3 m ian4 sh i4 b ian1 zh ang3 uei4 1 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， A B 1 ü3 d i3 m ian4 A B C D ch eng2 6 0 j iao3 ， z e2 A 1 C 1 d ao4 d i3 m ian4 A B C D d e0 j ü4 l i2 uei4 .
n eng2 g ou4 t ong1 g uo4 x iao1 c an1 d eng3 f ang1 f a3 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ， g u4 c uo4 u4 ， zh eng4 q üe4 .
（ 1 ） r en4 i4 zh i4 l iang3 m ei2 t ou2 z i3 ， k e3 k an4 ch eng2 d eng3 k e3 n eng2 sh i4 j ian4 ， q i2 j ie2 g uo3 k e3 b iao3 sh i4 uei2 sh u4 z u3 （ i ， j ） （ i ， j 1 ， 2 ， ， 6 ） ， q i2 zh ong1 l iang3 g e4 sh u4 i ， j f en1 b ie2 b iao3 sh i4 l iang3 m ei2 t ou2 z i3 ch u1 x ian4 d e0 d ian3 sh u4 ，
j ie3 ： （ 1 ） M （ 0 ， 0 ） z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 ，
r uo4 a 0 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 f u4 d ao4 sh u3 sh i4 .
p ao1 u4 x ian4 C ： x 2 4 y .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 b i3 l i4 』
1 . ， zh ang3 6 l i2 m i3 ， k uan1 3 l i2 m i3 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 h uo2 m ian4 j i1 u2 f a3 b i3 j iao4 。
zh u4 z uo4 b iao1 k e4 h ua4 d ian3 d e0 uei4 zh i4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
j ie3 b i3 l i4 。
d a2 ： sh eng4 x ia4 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 uei4 2 1 3 p ing2 f ang1 f en1 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 d e0 m o2 』
iou4 in1 uei4 P uei4 x ian4 d uan4 M N d e0 zh ong1 d ian3 ， s uo3 i3 P d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ，
d ang1 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 ， d i4 s an1 g e4 p ing2 m ian4 t ong2 sh i2 ü3 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 ， q ie3 j iao1 x ian4 h u4 b u4 p ing2 x ing2 sh i2 ， b a3 k ong1 j ian1 f en1 ch eng2 8 g e4 b u4 f en4 .
j ie3 ： （ 1 ） l ian2 j ie1 A C ， B D j iao1 ü2 O ， l ian2 j ie1 A 1 C 1 ， B 1 D 1 j iao1 ü2 O 1 .
s an1 g e4 b an4 üan2 d e0 zh i2 j ing4 f en1 b ie2 uei4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 A B C d e0 x ie2 b ian1 B C ，
（ 2 ） sh e4 üan2 C ü3 zh i2 x ian4 l j iao1 ü2 d ian3 A ， B ， r uo4 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， ） ， q iou2 | P A | | P B | .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， f ( x ) d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 3 .
s uo3 i3 “ a 3 ” sh i4 “ A B ” d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
2 üan2 4 j iao3 2 . 4 üan2
h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
g u4 d a2 an4 uei4 4 5 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch u2 f a3 』
d ian3 （ 3 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 d 1 .
l iang3 b ian1 üe1 q ü4 d e2 ： 2 c o s 4 s i n .
i3 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 d e0 i1 iao1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 s uo3 d e0 d e0 x üan2 zh uan3 t i3 sh i4 üan2 t ai2 ；
g u4 c S A 2 1 0 ， s uo3 i3 S A 2 0 .
z e2 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 d i4 j ian3 q ü1 j ian1 uei4 [ ， ） ，
i1 c i4 l ei4 t uei1 k e3 d e2 x 0 x 1 x 2 x 3 … x 1 0 x 1 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
z uo3 m ian4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 （ ） ， iou4 m ian4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 （ ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 』
er2 x 2 1 2 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x 6 [ 2 ， 1 0 ] sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 ，
（ 2 ） sh e4 j ü3 zh en4 M d e0 t e4 zh eng1 d uo1 x iang4 sh i4 uei4 f ( ) ( 2 ) ( 3 ) 2 2 5 4 ( 1 ) ( 4 ) .
（ 2 ） sh e4 C 1 sh ang4 d ian3 P （ x ， y ） z ai4 A B b ian4 h uan4 x ia4 d e2 d ao4 Q （ x ， y ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh ong1 ， s i4 b ian1 x ing2 s uo3 z ai4 d e0 p ing2 m ian4 ü3 l iang3 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 d e2 d ao4 d e0 j iao1 x ian4 『 p ing2 x ing2 』 ， j i2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 l iang3 z u3 d uei4 b ian1 f en1 b ie2 『 p ing2 x ing2 』 . 』
（ 2 ） j ia3 d uei4 x ian1 g ong1 z uo4 l e0 d uo1 zh ang3 sh i2 j ian1 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 g en1 sh i4 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
z e2 a b ( a b ) ( ) 2 1 3 2 ， g u4 （ 3 ） c uo4 u4 ；
j ia3 、 i3 l iang3 ch uan2 f en1 b ie2 c ong2 l iang3 d i4 t ong2 sh i2 x iang1 d uei4 k ai1 ch u1 ， j ia3 ch uan2 m ei3 sh i2 h ang2 5 6 q ian1 m i3 ， i3 ch uan2 m ei3 sh i2 h ang2 3 8 q ian1 m i3 ， j ing1 g uo4 6 sh i2 h ou4 l iang3 ch uan2 x iang1 j ü4 9 3 q ian1 m i3 。 l iang3 d i4 x iang1 j ü4 d uo1 sh ao3 q ian1 m i3 ？
【 t i2 sh i4 】 『 s i n B 1 A B ， b en3 t i2 zh ong1 B 1 A B 『 6 0 』 . 』
（ 2 ） sh e4 Q sh i4 q ü1 x ian4 C sh ang4 i4 ü2 d ian3 P d e0 l ing4 i4 d ian3 ， q ie3 zh i2 x ian4 P Q g uo4 d ian3 （ 1 ， 0 ） ， x ian4 d uan4 P Q d e0 zh ong1 d ian3 uei4 M ， zh i2 x ian4 l ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 uei4 N . q iou2 zh eng4 ： x iang4 l iang4 ü3 g ong4 x ian4 .
sh e4 p ing2 m ian4 E C B 1 d e0 f a3 x iang4 l iang4 （ x ， y ， z ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 sh u4 l iang4 j i1 d e0 x ing4 zh i4 j i2 q i2 ün4 s uan4 l ü4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 c e4 m ian4 j i1 h e2 b iao3 m ian4 j i1 』
d uei4 ü2 B x üan3 x iang4 ， g ai1 t u2 x iang4 b iao3 sh i4 d e0 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 b u2 sh i4 [ 0 ， 1 ] ， zh i2 ü4 sh i4 [ 0 ， 1 ] ， g u4 c uo4 u4 ；
g en1 j ü4 l in2 b u3 j iao3 d e0 d ing4 i4 ， d e2 1 3 2 3 1 8 0 ， d e2 d ao4 3 1 3 0
j ie3 ： （ 1 ） r uo4 m ei3 c i4 j in4 x i3 i1 f en3 x b ao1 ， z e2 q üan2 n ian2 g ong4 x ü1 j in4 x i3 i1 f en3 c i4 ， er2 q üan2 n ian2 s uo3 x ü1 ün4 sh u1 l ao2 u4 f ei4 sh i4 6 2 . 5 0 üan2 ， q üan2 n ian2 b ao3 g uan3 f ei4 uei4 1 . 5 x üan2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 』
【 t i2 sh i4 】 『 9 ， d e0 f en4 z i3 ü3 9 x iang1 ch eng2 z uo4 uei2 j i1 d e0 f en1 『 z i0 』 ， f en1 m u3 b u4 b ian4 ， z ai4 üe1 f en1 。 』
m ing4 t i2 “ r uo4 f ang1 ch eng2 x 2 x a 0 u2 sh i2 sh u4 g en1 ， z e2 a 0 ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
j ie3 ： g uan1 ch a2 t u2 x ing2 k e3 zh i1 ，
j ie3 ： l i2 d e0 zh i4 l iang4 : p ing2 g uo3 d e0 zh i4 l iang4 2 : 3 4 : 6 ，
l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A ， zh i2 x ian4 l ： x y 4 0 z ai4 j ü3 zh en4 A d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 z uo4 iong4 x ia4 b ian4 uei4 zh i2 x ian4 l ： x y 2 a 0 .
iou4 iou2 x y ， d e2 y x 0 ， s uo3 i3 x y 0 .
A A 1 ü3 B 1 D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
üan2 x in1 uei4 C （ 1 ， 0 ） ， A B P C .
j ie3 ： 2 9 ing1 c uen4 zh i3 d e0 sh i4 p ing2 m u4 d uei4 j iao3 x ian4 d e0 ch ang2 d u4 ， g u4 sh ou4 h uo4 üan2 sh i4 d uei4 d e0 .
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 x d ai4 r u4 y s i n ( 2 x ) zh ong1 ， d e2 ch u1 『 』 . 』
iou2 t i2 i4 zh i1 sh e4 x ian4 C M z ai4 A C B n ei4 sh i4 d eng3 k e3 n eng2 f en1 b u4 d e0 ，
（ 2 ） q iou2 A 5 d e0 zh i2 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh i4 z uo4 iou2 q i1 t ong3 s uo3 x ü1 d e0 t ie3 p i2 m ian4 j i1 d eng3 ü2 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 uei4 『 3 』 d m g ao1 uei4 4 . 2 d m d e0 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 。 』
（ 3 ） zh eng4 sh i2 sh u4 j i2 h e2 { }
D . ( ) ， b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
z e2 j ü3 zh en4 A sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 2 d e0 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 uei4 .
（ 2 ） in1 uei4 d ian3 Q z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 ， g u4 k e3 sh e4 d ian3 Q d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ c o s ， s i n ） ，
t ong2 x üe2 m en0 q ü4 zh i2 sh u4 ， l iou4 n ian2 j i2 zh i2 sh u4 2 4 0 k e1 ， sh i4 s i4 n ian2 j i2 zh i2 sh u4 k e1 sh u4 d e0 3 b ei4 ， u3 n ian2 j i2 zh i2 d e0 sh u4 b i3 s i4 n ian2 j i2 ü3 l iou4 n ian2 j i2 zh i2 sh u4 d e0 z ong3 h e2 sh ao3 8 4 k e1 。 x ia4 l ie4 s uan4 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ） 。
d uei4 b ian4 x ing2 k e3 d e2
g u4 d ang1 1 x 2 sh i2 ， 2 x d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 1 3 ， 2 x d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 j iao3 h e2 h uo4 ch a4 d e0 ü2 x ian2 g ong1 sh i4 』
（ 1 ） q iou2 j ü3 zh en4 A d e0 t e4 zh eng1 zh i2 h e2 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
k e3 d e2 ， üan2 sh i4 ，
j ie3 ： d uei4 ü2 ， S D d i3 m ian4 A B C D ，
r u2 t u2 ， i3 zh i1 p ao1 u4 x ian4 y x 2 b x c d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 x 2 ， d ian3 A ， B j ün1 z ai4 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 ， q ie3 zh i2 x ian4 A B ü3 x zh ou2 p ing2 x ing2 ， q i2 zh ong1 d ian3 A d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 3 ） ， z e2 d ian3 B d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ ）
z e2 zh i2 x ian4 a ü3 p ing2 m ian4 g uan1 x i4 uei4 ： a h uo4 a .
g u4 d ang1 n 3 sh i2 ， g ( n ) .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
d uei4 ü2 A ， b ian4 x ing2 k e3 d e2 x 2 2 x 1 0 ， z e2 ( 2 ) 2 4 0 ， z e2 f ang1 ch eng2 iou3 l iang3 g e4 x iang1 d eng3 sh i2 sh u4 g en1 ；
q i2 ü2 b u4 f en4 j i4 uei4 ，
h an2 sh u4 f ( x ) x 2 m x 1 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x 1 d uei4 ch en4 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 （ ）
（ 3 ） r u2 g uo3 x iao3 l i4 x ian1 x iang4 d ong1 z ou3 l e0 4 m ， z ai4 x iang4 x i1 z ou3 l e0 8 m ， zh e4 sh i2 x iao3 l i4 d e0 uei4 zh i4 b iao3 sh i4 uei4 （ ） m 。
（ 2 ） r uo4 p ing2 m ian4 P M N ü3 p ing2 m ian4 A B C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 4 5 ， sh i4 q üe4 d ing4 d ian3 P d e0 uei4 zh i4 .
zh ong1 g uo2 x iang1 g ang3 d e0 z ong3 m ian4 j i1 sh i4 sh i2 i1 i4 l ing2 s an1 b ai3 uan4 p ing2 f ang1 m i3 ， x ie3 z uo4 （ ） p ing2 f ang1 m i3 ， g ai3 x ie3 ch eng2 iong4 “ i4 p ing2 f ang1 m i3 ” z uo4 d an1 uei4 d e0 sh u4 sh i4 （ ） i4 p ing2 f ang1 m i3 。
D A D C D P ， b u4 f ang2 sh e4 D A D C D P 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d a3 d ian4 h ua4 uen4 t i2 』
【 t i2 sh i4 】 『 x ian1 j i4 s uan4 k uo4 h ao4 l i3 d e0 『 ch u2 』 f a3 ， z ai4 s uan4 k uo4 h ao4 uai4 d e0 ch eng2 f a3 。 』
j i2 3 ， j ie3 d e2 k 0 ，
j ia3 i3 l iang3 g e4 x iou1 l u4 d uei4 iao4 x iou1 i1 t iao2 1 7 2 8 m d e0 g ong1 l u4 . j ia3 x ian1 x iou1 l e0 i1 x ie1 h ou4 ， i3 d uei4 c ai2 k ai1 sh i3 x iou1 。 j ia3 d uei4 m ei3 t ian1 x iou1 5 6 m ， i3 d uei4 m ei3 t ian1 x iou1 4 8 m 。
5 m i3 0 . 8 m i3 6 0 f en1 m i3
d ang1 x 1 sh i2 ， h an2 sh u4 y x 5 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
【 t i2 sh i4 】 『 s i4 b ian1 x ing2 O B 1 C A 1 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， j i2 『 』 . 』
sh e4 j i2 h e2 A { ( x ， y ) | 3 x y 7 } ， j i2 h e2 B { ( x ， y ) | 2 x y 3 } ， z e2 A B .
z e2 q ü1 x ian4 C 1 d e0 üan2 x in1 （ ， 3 ） d ao4 zh i2 x ian4 C 2 d e0 j ü4 l i2 d 2 ，
h ua4 j ian3 ， d e2 x 2 2 y 2 a 2 （ x a ） ，
zh e4 g uan4 in3 l iao4 d e0 b ao1 zh uang1 zh i3 d a3 k ai1 h ou4 sh i4 A t u2 x ing2 。
r u2 t u2 ， q ü3 B C d e0 zh ong1 d ian3 H ， l ian2 j ie2 A H 、 D H .
q ü1 x ian4 C 2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 .
（ 2 ） r uo4 d ian3 F z ai4 x ian4 d uan4 P B sh ang4 ， sh i3 d e0 er4 m ian4 j iao3 F D E B d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 ， q iou2 d e0 zh i2 .
B . m ei3 m ing2 t ong2 x üe2 j i2 g e2 d e0 k e3 n eng2 x ing4 sh i4 9 0
（ 1 ） z ai4 A B C zh ong1 ， A B k e3 i3 t uei1 ch u1 B C A C ；
j ie3 ： （ 1 ） zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 3 0 ，
s uo3 i3 d i4 5 g e4 sh u4 uei4 5 2 1 2 6 ， d i4 6 g e4 sh u4 uei4 6 2 1 3 7 .
sh e4 er4 c i4 h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 b x c （ a ， b ， c uei4 ch ang2 sh u4 ） d e0 d ao3 h an2 sh u4 uei4 f ( x ) ， d uei4 r en4 i4 x R ， b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) f ( x ) h eng2 ch eng2 l i4 ， q iou2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 b i3 zh i2 h e2 h ua4 j ian3 b i3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
A C p ing2 m ian4 P B H ， B C p ing2 m ian4 P A H ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 ch u1 b u4 r en4 sh i2 』
t ong1 g uo4 g uan1 ch a2 t u2 x ing2 k e3 zh i1 ， A D E h e2 A D F g uan1 ü2 zh i2 x ian4 A D d uei4 ch en4 .
x ia4 u3 5 sh i2 1 7 sh i2
r u2 t u2 ， z uei4 z uo3 b ian1 j i3 h e2 t i3 sh i4 iou2 i2 g e4 üan2 zh u4 ua1 q ü4 i2 g e4 i3 üan2 zh u4 d e0 sh ang4 d i3 m ian4 uei4 d i3 m ian4 ， i3 x ia4 d i3 m ian4 üan2 x in1 uei4 d ing3 d ian3 d e0 üan2 zh uei1 er2 d e2 d e0 . x ian4 iong4 i2 g e4 sh u4 zh i2 d e0 p ing2 m ian4 q ü4 j ie2 zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 ， z e2 j ie2 m ian4 t u2 x ing2 k e3 n eng2 sh i4 （ ）
s uo3 i3 3 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x ， y ， z 0 sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 .
z e2 Z A C B j iou4 k e3 q ü1 j in4 ü2 1 0 0 ，
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： uei4 d ing4 zh i2 ；
üan2 x in1 uei4 （ 0 ， 0 ） ， b an4 j ing4 r uei4 2 ，
（ 2 ） n ei4 c uo4 j iao3 ： D A C h e2 C ， E A C h e2 C ；
i3 zh i1 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 4 c o s ( ) 6 0 .
r uo4 zh eng4 zh eng3 sh u4 m h e2 n m an3 z u2 m n ， z e2 .
j ie3 ： iou2 sh i2 sh u4 ü3 sh u4 zh ou2 sh ang4 d e0 d ian3 i1 i1 d uei4 ing4 ， k e3 d e2 sh u4 zh ou2 sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 d ou1 b iao3 sh i4 i2 g e4 sh i2 sh u4 .
j ie3 ： d ang1 a b 0 sh i2 ， üan2 h an2 sh u4 uei4 y c ， z e2 d ang1 c 0 sh i2 ， h an2 sh u4 y a x 2 b x c h eng2 d a4 ü2 0 ；
1 1 1 （ p ing2 f ang1 l i2 m i3 ） ， z e2 m ei3 g e4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 1 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。
j i4 d i4 i1 c eng2 d e0 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 b iao1 zh u4 d e0 sh u4 z i4 uei4 x 0 ；
s i4 b ian1 x ing2 sh i4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 ；
x üe2 x iao4 h uei4 i4 sh i4 d i4 m ian4 zh ang3 2 5 m i3 ， k uan1 6 m i3 。 x ian4 z ai4 iao4 iong4 m ian4 j i1 sh i4 5 p ing2 f ang1 f en1 m i3 d e0 f ang1 zh uan1 p u4 d i4 ， x ü1 iao4 d uo1 sh ao3 k uai4 ？
r uo4 g uan1 ü2 x d e0 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 k x 2 6 x 9 0 iou3 l iang3 g e4 b u4 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1 ， z e2 k d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ）
l iang3 g e4 d uen4 j iao3 d e0 h e2 d a4 ü2 1 8 0 ， g u4 D b u4 k e3 n eng2
P C E p ing2 m ian4 A B C D ， q ie3 P D 1 F p ing2 m ian4 A 1 A D D 1 ，
（ 1 ） j i4 b u4 h u4 ch i4 iou4 b u2 d uei4 l i4 . in1 uei4 d ang1 q ü3 d ao4 l iang3 g e4 b ai2 q iou2 sh i2 ， l iang3 g e4 sh i4 j ian4 t ong2 sh i2 f a1 sh eng1 ；
（ 1 ） q iou2 a d e0 zh i2 j i2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
2 h e2 3 sh i4 n ei4 c uo4 j iao3 ， sh i4 zh i2 x ian4 A D 、 C E b ei4 zh i2 x ian4 A C s uo3 j ie2 d e2 d ao4 d e0 .
k e3 d e2 a n 2 n 1 uei4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 .
j ie3 ： p ing2 x ing2 ， l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
b a3 x ia4 m ian4 g e4 t u2 zh ong1 t u2 s e4 b u4 f en4 iong4 f en1 sh u4 h e2 x iao3 sh u4 b iao3 sh i4 ch u1 l ai2 。
iao4 sh i3 b u4 d eng3 sh i4 x m 2 3 m iou3 j ie3 ，
m ing4 t i2 s sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
k e3 zh i1 m ei3 n ian2 d e0 q i1 、 b a1 üe4 f en4 g ong4 iou3 6 2 t ian1 。
D . c uen2 z ai4 i2 g e4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 d e0 sh u4 b u2 sh i4 ou3 sh u4
z e2 x 2 y 2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 ： ( 2 ) 2 8 .
（ 3 ） l ing4 y g ( x ) 2 f ( x 1 ) f ( x ) ， q iou2 y g ( x ) d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 zh eng3 l i3 d e2 ， j i2 .
d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 ， d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 ，
j ie3 ： （ 1 ） i3 { ， ， } uei4 zh eng4 j iao1 j i1 d i3 j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 D x y z ， z e2 D （ 0 ， 0 ， 0 ） ， A （ 1 ， 0 ， 0 ） ， B （ 1 ， 2 ， 0 ） ， C （ 0 ， 2 ， 0 ） ， D 1 （ 0 ， 0 ， 2 ） ， E （ 1 ， 1 ， 0 ） ， F （ ， ， ） .
i1 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 ， ch u2 sh u4 sh i4 3 ， t a1 k e3 n eng2 d e0 ü2 sh u4 sh i4 1 h e2 2 。
üan2 zh uei1 q ü1 x ian4 ， （ t uei4 c an1 sh u4 ） d e0 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 sh i4 .
A . ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4
【 t i2 sh i4 】 『 6 3 ü3 2 4 d e0 sh i2 uei4 sh u4 z i4 x iang1 ch eng2 ， j i1 d e0 m o4 uei3 ü3 ch eng2 sh u4 d e0 『 sh i2 』 uei4 d uei4 q i2 。 』
j ie3 d e2 h uo4 ，
k e3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 [ 0 ， ） uei4 d an1 d iao4 j ian3 h an2 sh u4 ，
j i2 p 2 d e0 zh i2 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 A C 1 ü3 p ing2 m ian4 C B 1 D 1 n ei4 d e0 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 B 1 D 1 h e2 B 1 C d ou1 ch uei2 zh i2 ， m an3 z u2 zh i2 x ian4 h e2 p ing2 m ian4 『 ch uei2 zh i2 』 d e0 p an4 d ing4 d ing4 l i3 . 』
j i2 zh e4 g e4 sh u4 i2 d ing4 sh i4 f ei1 zh eng4 sh i2 sh u4 ，
i2 g e4 s an1 j iao3 x ing2 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 n ei4 j iao3 d a4 ü2 d eng3 ü2 6 0 .
b ian4 x ing2 d e2 ( x 1 ) 2 y 2 1 （ 0 y 1 ） ，
z e2 ( 5 x 4 ) ( x 1 ) 0 ， j i2 5 x 4 0 h uo4 x 1 0 ，
j ie3 ： i3 zh i1 zh i2 x ian4 l p ing2 m ian4 ， z e2 g uo4 zh i2 x ian4 l ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p ing2 m ian4 iou3 u2 sh u4 g e4 .
d a2 an4 ： 3 g e4 .
i1 g ong4 iao4 uo4 d uo1 sh ao3 c i4 sh ou3 ？
sh e4 s uo3 q iou2 x ian2 zh ang3 uei4 l ，
c ong2 3 6 d e0 in1 sh u4 zh ong1 x üan3 z e2 s i4 g e4 z u3 ch eng2 d e0 b i3 l i4 sh i4 （ ） 。
d a2 an4 ： d eng4 f ang1 ； uang2 q iang2 ； l iou2 l in2 ； zh ao4 p ing2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 』
【 t i2 sh i4 】 『 ch eng2 ch u2 f a3 sh i4 er4 c i4 ün4 s uan4 ， ing1 『 x ian1 』 s uan4 。 』
c e4 m ian4 sh i4 s an1 g e4 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 d e0 h e2 ， 2 2 3 . 1 4 1 . 5 3 2 3 . 1 4 1 . 5 4 2 3 . 1 4 1 . 5 8 4 . 7 8 （ p ing2 f ang1 f en1 m i3 ） ，
s i4 b ian1 x ing2 C D 1 F E sh i4 t i1 x ing2 .
in1 c i3 d ian3 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） .
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 y z ， x 2 sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
g u4 i3 sh ang4 zh eng4 q üe4 sh uo1 f a3 g e4 sh u4 uei4 0 .
g ai1 r ong2 q i4 d e0 z uei4 d i1 z ong3 z ao4 j ia4 sh i4 1 6 0 üan2 .
D . f ( x 1 ) 、 f ( x 2 ) d e0 d a4 x iao3 b u4 q üe4 d ing4
h ua4 j ian3 d e2 ， y 2 5 x ， uei4 p ao1 u4 x ian4 f ang1 ch eng2 .
i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 2 x 4 d e0 j ie3 sh i4 （ ）
d a2 ： zh e4 d ong4 l ou2 i1 g ong4 iou3 2 2 4 h u4 j ü1 m in2 。
in1 uei4 4 2 1 0 1 0 2 4 ， s uo3 i3 V 1 V 2 ， i3 zh i2 j iao3 b ian1 B C uei4 zh ou2 d e0 üan2 zh uei1 t i3 j i1 d a4 。
j i2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 z eng1 q ü1 j ian1 sh i4 [ k ， k ] ， k Z .
（ 2 ） z uo4 x ian4 d uan4 A B C D .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
x ia4 l ie4 s i4 g e4 m ing4 t i2 zh ong1 ， n i4 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
d a2 an4 ： （ 1 ） sh ao3 1 ， d uo1 1 ； （ 2 ） d uo1 1 ； （ 3 ） 5 0 。
3 x 4 y z uei4 d a4 zh i2 uei4 9 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 1 .
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： { 2 } { 1 ， 2 ， 3 } ， q ： { 2 } { 1 ， 2 ， 3 } ， g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 ： “ p h uo4 q ” uei4 zh en1 ； “ p h uo4 q ” uei4 j ia3 ； “ p q ie3 q ” uei4 zh en1 ； “ p q ie3 q ” uei4 j ia3 ； “ f ei1 p ” uei4 zh en1 ； “ f ei1 q ” uei4 j ia3 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 j ie2 l uen4 d e0 x ü4 h ao4 sh i4 .
i3 zh i1 er4 j ie1 j ü3 zh en4 M iou3 t e4 zh eng1 zh i2 8 j i2 d uei4 ing4 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 ， b ing4 q ie3 j ü3 zh en4 M d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 j iang1 d ian3 （ 1 ， 2 ） b ian4 h uan4 uei4 （ 2 ， 4 ） .
（ 2 ） sh e4 x ian4 d uan4 P Q d e0 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） ，
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 zh ou1 q i1 T 4 2 8 ， j i2 8 ， ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g ou4 ch eng2 k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 d e0 j i1 b en3 üan2 s u4 』
j ie3 ： c e4 l iang2 k e3 zh i1 x iao3 d e0 b ian1 zh ang3 sh i4 1 l i2 m i3 ， z e2 1 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 1 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。
i3 zh i1 h an2 sh u4 y x a ， y x b ， y x c d e0 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 a ， b ， c d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 uei4 .
z e2 p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ；
sh e4 m ian4 A 1 B D f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x 1 ， y 1 ， z 1 ） . ， j i2 ， j i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ü3 b i4 iao4 t iao2 j ian4 』
f en1 b ie2 sh i4 A { a ， b } ， B { a ， c } ， C { b ， c }
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 zh i1 s an1 d ian3 M （ 2 ， ） ， N （ 2 ， 0 ） ， P （ 2 ， ） .
z ong1 sh ang4 ， a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ， 0 ） （ 4 ， ） .
C . x 2 y 2 1 q ü4 d iao4 （ 1 ， 0 ） d ian3
j ie3 ： （ 1 ） sh i4 m ing4 t i2 ， m an3 z u2 zh i3 sh u4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ， uei4 zh en1 m ing4 t i2
j ie3 ： r u2 t u2 ， b ian1 zh ang3 uei4 5 c m d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 x ing2 ch eng2 d e0 q ü1 ü4 b iao3 sh i4 sh i4 ian4 d e0 s uo3 iou3 j i1 b en3 sh i4 j ian4 g ou4 ch eng2 d e0 q ü1 ü4 ，
üan2 x in1 （ 0 ， 4 ） d ao4 zh i2 x ian4 x y 0 d e0 j ü4 l i2 uei4 2 .
i3 zh i1 f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， q ie3 d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) x 1 ， z e2 x 0 sh i2 ， f ( x ) （ ）
iou4 in1 uei4 | | | | 1 ， d e2 8 k 2 k 2 2 .
（ 3 ） b u4 k e3 n eng2 sh i4 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 ， c ong2 er2 ie3 b u2 sh i4 d uei4 l i4 sh i4 j ian4 .
i3 zh i1 i2 g e4 üe4 sh i4 3 0 t ian1 ， b ing4 q ie3 zh e4 g e4 üe4 iou3 5 g e4 x ing1 q i1 l iou4 h e2 x ing1 q i1 t ian1 ， zh e4 g e4 üe4 d e0 1 h ao4 sh i4 x ing1 q i1 j i3 ？
iou3 l i3 sh u4 ： 1 . 7 3 2 ， ， 3 . 1 4 ， ， ；
E 、 G f en1 b ie2 uei4 S A 、 S C d e0 zh ong1 d ian3 ，
j ie3 d e2 a 3 ， z e2 f ( x ) x 3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
s uo3 i3 j iang1 h an2 sh u4 y s i n 2 x d e0 t u2 x iang4 x iang4 iou4 p ing2 i2 g e4 d an1 uei4 ch ang2 d u4 ， k e3 i3 d e2 d ao4 y s i n ( 2 x ) d e0 t u2 x iang4 .
g uo4 d ian3 A z uo4 A A ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 B C D ， ch uei2 z u2 uei4 A ， z e2 | B A | ，
in1 uei4 z ai4 R t A 1 B O zh ong1 ， A 1 B a ， B O a ，
x iang4 l iang4 （ 1 ， 2 ） ü3 （ 3 ， t ） d e0 j ia1 j iao3 uei4 ， （ 1 ， 3 ） ， ， z e2 c o s .
s uo3 i3 üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t e4 sh u1 j iao3 d e0 s an1 j iao3 h an2 sh u4 zh i2 』
j ie3 ： zh eng3 l i3 d e2 ： ( x y ) 2 2 ( x y ) 8 0 .
d a2 an4 ： ch ong1 f en4 er2 b u4 b i4 iao4 .
r u2 t u2 sh i4 i2 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 』
i3 zh i1 üan2 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 ， d ian3 P uei4 q i2 j ian4 k ai1 x ian4 sh ang4 i4 d ian3 ， d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 ， z e2 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ： 1 x x 2 x 1 0 ，
d a2 ： zh e4 t iao2 l u4 q üan2 zh ang3 2 2 0 0 c m 。
i2 g e4 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 h ou4 sh i4 i2 g e4 zh ang3 1 5 . 7 c m 、 k uan1 3 . 1 4 c m d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh e4 g e4 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 sh i4 （ ） c m ， ie3 k e3 n eng2 sh i4 （ ） c m 。
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 d e2 ， s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 1 ， j iang1 q i2 h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 ： c o s 1 ，
j ie3 ： j iang1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d ai4 r u4 p ao1 u4 x ian4 f ang1 ch eng2 y 2 4 x ， k e3 d e2 t 2 4 t 4 0 .
B . r en4 h e2 sh i2 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 d ou1 sh i4 zh eng4 sh u4
r u2 t u2 ， A O B sh i4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 A O B d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， d ian3 B z ai4 x zh ou2 sh ang4 ， A O h e2 x zh ou2 ch uei2 zh i2 ， q ie3 A O 2 ， z e2 A O B d e0 b ian1 O B sh ang4 d e0 g ao1 uei4 .
j ie3 ： （ 1 ） d uei4 f en1 l ei4 b ian4 l iang4 X ü3 Y d e0 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 K 2 d e0 g uan1 c e4 zh i2 k l ai2 sh uo1 ， k üe4 d a4 ， p an4 d uan4 “ X ü3 Y iou3 g uan1 x i4 ” d e0 b a3 uo4 üe4 d a4 ， g u4 （ 1 ） c uo4 u4 ；
（ 3 ） b iao3 zh ong1 x iang1 g uan1 l ian2 d e0 l iang3 zh ong3 l iang4 ch eng2 f an3 b i3 l i4 ， in1 uei4 m ei3 t ian1 g eng1 d i4 m ian4 j i1 x ü1 iao4 t ian1 sh u4 zh e4 k uai4 d i4 d e0 m ian4 j i1 （ i2 d ing4 ） 。
q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 uei4 ： 2 2 s i n .
r uo4 A B { 1 } ， z e2 a 1 ， b u2 sh i4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ；
j ie3 ： d an1 x iang4 sh i4 d e0 c i4 sh u4 sh i4 s uo3 iou3 z i4 m u3 zh i3 sh u4 d e0 h e2 ， j i2 1 4 5 ， g u4 c i3 d an1 x iang4 sh i4 d e0 c i4 sh u4 sh i4 5 .
S A ü3 p ing2 m ian4 A B C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 sh i4 S A D .
P （ x ， y ） sh i4 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， z e2 ( x 5 ) 2 ( y 4 ) 2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 （ ）
zh ao4 p ian1 ； t ai4 iang2 g uang1 x ian4 ； sh ou3 ing3 b iao3 ian3 ； g ong1 ch eng2 zh i4 t u2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 j ie2 h e2 l ü4 』
g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ， q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
j ie3 ： sh e4 zh eng4 s i4 l eng2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 a ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ，
（ 2 ） c ong2 d ai4 zh ong1 q ü3 l iang3 g e4 q iou2 d e0 d eng3 k e3 n eng2 j ie2 g uo3 uei4 ：
j ing1 g uo4 2 c i4 b ian4 h uan4 uei4 （ 8 ， 1 2 ， 1 6 ， 2 0 ， 2 4 ， 2 8 ， … … ， n 4 ） ，
d ang1 1 4 m 0 sh i2 ， j i2 m sh i2 ， i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 m ei2 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ， s uo3 i3 m ing4 t i2 p d e0 f ou3 d ing4 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
z ai4 k ong1 j ian1 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， f ang1 ch eng2 r 2 （ 0 ， ） （ 0 2 ） b iao3 sh i4 （ ）
（ 2 ） sh e4 “ c ong2 zh ong4 l iang4 z ai4 [ 8 0 ， 8 5 ） d e0 5 j ian4 d ian4 q i4 zh ong1 ， r en4 x üan3 2 j ian4 d ian4 q i4 ， q iou2 q i2 zh ong1 q ia4 iou3 1 j ian4 uei4 “ A ” x ing2 ” uei4 sh i4 j ian4 A 2 ，
i3 zh i1 P uei4 t uo3 üan2 4 x 2 y 2 4 sh ang4 d e0 d ian3 ， O uei4 üan2 d ian3 ， z e2 | O P | d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
d a2 ： zh e4 g e4 sh uei3 t a3 ch u3 m an3 sh uei3 h ou4 iou3 1 3 . 8 1 6 d uen1 sh uei3 。
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 M z uo4 b iao1 sh i4 （ 2 ， ） ， q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 2 s i n ( ) ； i3 j i2 d ian3 uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， zh i2 x ian4 l j ing1 g uo4 d ian3 M h e2 j i2 d ian3 .
b i3 l i4 ch i3 sh i4 1 : 4 0 0 0 0
i3 zh i1 sh u4 l ie4 { a n } g ong4 iou3 3 n （ n N * ） x iang4 ， j i4 f ( n ) a 1 a 2 a 3 n . d uei4 ü2 r en4 i4 d e0 k N * ， 1 k 3 n ， d ou1 iou3 a k { 0 ， 1 } ， q ie3 d uei4 ü2 g ei3 d ing4 d e0 zh eng4 zh eng3 sh u4 p （ p 2 ） ， f ( n ) sh i4 p d e0 zh eng3 sh u4 b ei4 . b a3 m an3 z u2 sh ang4 sh u4 t iao2 j ian4 d e0 sh u4 l ie4 { a n } d e0 g e4 sh u4 j i4 uei4 T n .
x 2 1 0 sh i2 ， j ie3 d e2 x 1 h uo4 x 1 ，
（ 2 ） y s i n x z ai4 [ 0 ， ] sh ang4 sh i4 x ian1 z eng1 h ou4 j ian3 d e0 ， q ie3 [ 1 ， 3 ] [ 0 ， ] ，
（ 1 ） n an2 x üe2 sh eng1 r en2 sh u4 d uo1 ü2 n ü3 x üe2 sh eng1 r en2 sh u4 ；
s uo3 i3 p ao1 u4 x ian4 ü3 x zh ou2 d e0 l ing4 i2 g e4 j iao1 d ian3 sh i4 （ 3 ， 0 ） ，
s uo3 i3 0 h uo4 .
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ： m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ 0 ， 4 ] .
s uo3 i3 f ( x ) j i4 sh i4 j i1 h an2 sh u4 iou4 sh i4 ou3 h an2 sh u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
s uo3 i3 X d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4
3 x iang1 p ing2 g uo3 ， m ei3 x iang1 zh ong4 6 0 q ian1 k e4 ， m ei3 q ian1 k e4 p ing2 g uo3 1 2 üan2 ， zh e4 x ie1 p ing2 g uo3 i1 g ong4 n eng2 m ai4 d uo1 sh ao3 q ian2 ？
j ie3 ： （ 1 ） l ie4 b iao3 ：
zh i2 x ian4 C 2 b ei4 üan2 j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 2 .
j ie3 ： uang2 l ao3 sh i1 b u4 n eng2 z uo4 ch eng2 zh e4 g e4 üan2 h uan2 ， l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
， g u4 zh eng4 q üe4 .
j ie3 ： i1 b en3 sh u1 iou3 1 4 9 ie4 ， x iao3 h ua2 m ei3 t ian1 d u2 a ie4 ， d u2 l e0 i1 x ing1 q i1 h ou4 ， h ai2 sh eng4 （ 1 4 9 7 a ） ie4 。
i3 zh i1 iou3 l i3 sh u4 a ， b ， c z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 d uei4 ing4 d ian3 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， h ua4 j ian3 | a b | | b c | | c a | .
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 n ian2 d e0 q üan2 n ian2 iou3 『 3 6 5 』 t ian1 ， r uen4 n ian2 d e0 q üan2 n ian2 iou3 『 3 6 6 』 t ian1 。 』
j ie3 ： zh i2 x ian4 c o s s i n a ，
j ie3 ： iou2 x iao1 q ü4 t d e2 C 1 ： x 2 3 y 2 （ x 0 ， y 0 ） ，
d a2 an4 ： f en1 x i1 f a3 .
r u2 t u2 ， l ian2 j ie2 A C .
（ i i ） d ang1 t 0 sh i2 ， b iao3 sh i4 d ian3 （ a ， b ） .
r u2 g uo3 z ai4 m ei3 b ian1 sh ang4 f ang4 2 p en2 h ua1 g ong4 x ü1 iao4 3 p en2 h ua1 ， j i2 2 3 3 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ü3 b i4 iao4 t iao2 j ian4 』
h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ( x 4 ) 2 ( y 5 ) 2 2 5 ，
a k 2 b a k 1 a k [ b k 2 b k … ( 1 ) i b k 2 2 i ( 1 ) b 2 ] [ b k b k 2 … ( 1 ) i b k 2 i … ( 1 ) ] b k 2 b k … ( 1 ) i ( ) b k 2 2 i b k 2 2 i … ( 1 ) b k 2 b k … ( 1 ) i b k 2 2 i … ( 1 ) ( 1 ) i b k 2 2 i ， j ie2 l uen4 ie3 ch eng2 l i4 ，
（ 2 ） （ 0 ， 2 ， 0 ） sh i4 p ing2 m ian4 A B C D d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 ，
j ü3 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 1 h e2 2 ， f en1 b ie2 i3 zh e4 l iang3 b ian1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 ， s uo3 x ing2 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 d e0 c e4 m ian4 j i1 zh i1 b i3 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 c ong2 k ai1 sh i3 f ang4 d i4 1 ch ang3 d ian4 ing3 ， d ao4 k ai1 sh i3 f ang4 d i4 3 ch ang3 d ian4 ing3 ， zh ong1 j ian1 f ang4 l e0 『 2 』 ch ang3 d ian4 ing3 ， t ing2 f ang4 l e0 『 2 』 g e4 1 x iao3 sh i2 。 』
j ie2 h e2 t i2 i4 ， h ua4 ch u1 t u2 x ing2 ：
s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 j ü3 x ing2 ，
s uo3 i3 f ( x ) f ( 0 ) b u4 h eng2 ch eng2 l i4 ；
d ang1 a 0 ， b 0 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 a x b （ b 0 ） d e0 j ie3 j i2 sh i4 R ；
g u4 d a2 an4 uei4 .
j ie3 ： in1 uei4 a ， b ， c d ou1 uei4 zh eng4 zh eng3 sh u4 ， q ie3 m an3 z u2 g ou1 g u3 d ing4 l i3 d e0 n i4 d ing4 l i3 a 2 b 2 c 2 ， s uo3 i3 sh i4 g ou1 g u3 sh u4
s uo3 i3 ， （ 2 ， 2 ， 1 ） sh i4 p ing2 m ian4 A D C 1 d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 sh u4 ch eng2 d e0 ün4 s uan4 j i2 q i2 j i3 h e2 i4 i4 』
zh e4 j iou4 sh i4 s uo3 q iou2 üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
z ai4 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 2 g e4 d an1 uei4 d e2 d ao4 ，
c o s b iao3 sh i4 i2 g e4 üan2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
（ 2 ） s an1 g e4 s an1 l eng2 zh uei1 ， b ing4 iong4 z i4 m u3 b iao3 sh i4 .
iou4 A 1 D p ing2 m ian4 A 1 B D ，
（ 2 ） x iao3 j ün1 x iang4 x i1 z ou3 l e0 （ ） m ， j i4 z uo4 （ ） m ， c i3 sh i2 l iang3 r en2 x iang1 j ü4 （ ） m 。
in1 uei4 P 1 （ x 1 ， y 1 ） z ai4 t uo3 üan2 1 sh ang4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 、 f en1 sh u4 h e2 b ai3 f en1 sh u4 d e0 h u4 h ua4 』
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 A j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， ） ， j i2 『 3 』 ， 『 』 . 』
m ian4 j i1 1 0 p ing2 f ang1 l i2 m i3
A D sh i4 B A C d e0 p ing2 f en1 x ian4 ，
A 1 A f en1 b ie2 j iao1 ü2 d ian3 M ，
j ie3 ： 3 x 2 2 y 2 6 x k e3 h ua4 uei4 ( x 1 ) 2 1 ，
g u4 q ü1 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 y 2 1 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 i3 zh i1 | k | | k | ，
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 uei4 s i n ( ) 2 ， q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 4 c o s ， q iou2 zh i2 x ian4 l b ei4 q ü1 x ian4 C j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 .
g ong1 g ong4 x ian2 zh ang3 uei4 .
f en1 b ie2 x ie3 ch u1 iou2 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 g ou4 ch eng2 d e0 “ p q ” “ p q ” “ p ” x ing2 sh i4 d e0 m ing4 t i2 .
d uei4 ü2 ， iou2 ü2 a ， b f en1 b ie2 ch uei2 zh i2 ü2 l iang3 g e4 m ian4 ， s uo3 i3 ie3 ch uei2 zh i2 ü2 er4 m ian4 j iao3 d e0 l eng2 ， d an4 iou2 ü2 i4 m ian4 zh i2 x ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 r uei4 j iao3 （ h uo4 zh i2 j iao3 ） ， s uo3 i3 ing1 sh i4 x iang1 d eng3 h uo4 h u4 b u3 ， zh eng4 q üe4 ；
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， “ ” sh i4 “ a 1 x b 1 0 ü3 a 2 x b 2 0 j ie3 j i2 x iang1 t ong2 ” d e0 b i4 iao4 f ei1 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
【 t i2 sh i4 】 『 d sh i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 ， z e2 a 1 h e2 k 1 p q d ou1 sh i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 ， q ie3 a 1 n eng2 b ei4 k 1 p q 『 zh eng3 ch u2 』 . 』
d i3 m ian4 b an4 j ing4 ： 5 0 . 2 4 4 3 . 1 4 2 2 （ d m ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j üe2 d uei4 zh i2 』
z e2 4 ， j ie3 d e2 a 6 ，
l eng2 t ai2 d e0 sh ang4 、 x ia4 d i3 m ian4 m ian4 j i1 zh i1 b i3 uei4 1 : 4 .
b ing3 p an2 3 g e4 ， j ia3 、 i3 l iang3 p an2 g e4 i2 g e4 ；
iou2 h ang2 t ian1 q i4 uei4 ü2 uei3 d u4 7 5 ch u4 ， k e3 zh i1 9 0 7 5 1 5 .
üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d 2 ，
d uei4 ü2 D ， d uei4 2 7 j in4 x ing2 k ai1 f ang1 ， d e2 ， g u4 D b u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) ， z e2 f ( 5 ) .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C 1 h e2 C 2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 f en1 b ie2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） h e2 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 q ü1 x ian4 C 1 ü3 C 2 d e0 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 h e2 ch uei2 zh i2 ， t a1 m en0 d e0 sh u4 l iang4 j i1 uei4 『 0 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 b i3 zh i2 h e2 h ua4 j ian3 b i3 』
d a2 an4 ： f an3 zh eng4 f a3 .
g u4 üan2 x in1 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 2 ） .
j ie3 ： d ang1 n 1 sh i2 ， a 1 S 1 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
in1 c i3 ， d ian3 N d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， 0 ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
d a2 an4 ： h uo4 0 .
P A B C ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
üan2 in1 sh i4 x 1 sh i2 ， x 3 1 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 l ie4 q ian2 n x iang4 h e2 、 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 j i2 d i4 t uei1 sh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n i4 b ian4 h uan4 ü3 n i4 j ü3 zh en4 』
r u2 t u2 sh i4 m ou3 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 .
（ 2 ） sh e4 f ( x ) sh i4 （ 1 ） zh ong1 d e0 “ p ing2 d i3 x ing2 ” h an2 sh u4 ， r uo4 | t k | | t k | | k | f ( x ) （ k R ， k 0 ） ， d uei4 i1 q ie4 t R h eng2 ch eng2 l i4 ， q iou2 sh i2 sh u4 x d e0 f an4 uei2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c e4 l iang2 b u4 g uei1 z e2 u4 t i3 d e0 t i3 j i1 』
r uo4 sh i4 z i0 iou3 i4 i4 ， z e2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ）
p ing2 m ian4 A B D p ing2 m ian4 B C D ；
x sh i4 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 d e0 i1 t iao2 d uei4 ch en4 zh ou2 .
t ong2 sh i2 p ao1 zh i4 l iang3 m ei2 x iang1 t ong2 d e0 t ou2 z i3 （ m ei3 g e4 m ian4 sh ang4 f en1 b ie2 k e4 iou3 1 6 g e4 d ian3 sh u4 ， p ao1 zh i4 h ou4 ， i3 x iang4 sh ang4 i2 m ian4 d e0 d ian3 sh u4 uei4 zh uen3 ） ， sh i4 j i4 s uan4 ch u1 x ian4 d ian3 sh u4 h e2 uei4 6 h uo4 7 d e0 g ai4 l ü4 uei4 d uo1 sh ao3 ？
. z e2 l iang3 b ian1 q iou2 d ao3 ， ， uei4 d e0 d ao3 sh u4 ， n N * ， . l iang3 b ian1 z ai4 t ong2 sh i2 q iou2 d ao3 d e2 ， ， j iang1 x d ai4 r u4 sh ang4 sh i4 d e2 ， . （ 2 ） iou2 （ 1 ） d e2 ， h eng2 ch eng2 l i4 ，
i1 k uan3 “ m ei3 h ao3 sh i2 g uang1 ” x iang4 c e4 iou3 2 8 ie4 ， m ei3 ie4 k e3 f ang4 5 zh ang1 zh ao4 p ian1 ， x iao3 h ong2 j ia1 iou3 6 0 0 zh ang1 zh ao4 p ian1 ， m ai3 4 b en3 zh e4 iang4 d e0 x iang4 c e4 g ou4 m a0 ？
s uo3 i3 A B C d e0 m ian4 j i1 uei4 2 2 2 .
iou2 ü2 l iang3 g e4 r uei4 j iao3 h e2 i2 g e4 d uen4 j iao3 d e0 d u4 sh u4 h e2 k e3 n eng2 sh i4 1 8 0 ， g u4 A k e3 n eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 』
j ie3 ： iou2 t i2 i4 zh i1 1 ，
j iang1 y x b d ai4 r u4 sh ang4 sh i4 h ua4 j ian3 d e2 d ao4 2 x 2 ( 4 2 b ) x b 2 3 0 ，
d a2 ： m ei3 t ian1 i1 g ong4 x ün2 l uo2 6 c i4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
（ 2 ） q iou2 zh eng4 ： f ( x ) z ai4 R uei4 z eng1 h an2 sh u4 .
l ian2 l i4 k e3 d e2 4 x 2 6 t x 3 t 2 3 0 ，
n a4 m e0 q i2 d uei4 ing4 d e0 b ai3 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
sh e4 s an1 l eng2 zh u4 d e0 c e4 l eng2 ch uei2 zh i2 ü2 d i3 m ian4 ， s uo3 iou3 l eng2 d e0 zh ang3 d ou1 uei4 a ， d ing3 d ian3 d ou1 z ai4 i2 g e4 q iou2 m ian4 sh ang4 ， z e2 g ai1 q iou2 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 （ ）
sh e4 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， r uo4 i3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
B . l iang3 t iao2 sh e4 x ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 t i3 、 zh eng4 f ang1 t i3 t i3 j i1 d e0 j i4 s uan4 』
s uo3 i3 | R P | d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 1 .
t uei1 l i3 t ian2 k ong4 ：
j ie3 ： b a3 üan2 zh u4 c e4 m ian4 j i2 ch an2 r ao4 q i2 sh ang4 d e0 t ie3 s i1 zh an3 k ai1 ， z ai4 p ing2 m ian4 sh ang4 d e2 d ao4 j ü3 x ing2 A B C D ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 sh u4 ch eng2 d e0 ün4 s uan4 j i2 q i2 j i3 h e2 i4 i4 』
（ 3 ） r uo4 h an2 sh u4 g ( x ) f ( x ) k | x | 1 z ai4 [ 0 ， 3 ] sh ang4 iou3 l iang3 g e4 b u4 t ong2 d e0 l ing2 d ian3 ， q iou2 sh i2 sh u4 k d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
j ie3 ： j ing1 q üe4 d ao4 sh i2 f en1 uei4 q ie3 6 5 ，
（ 2 ） q iou2 A O B m ian4 j i1 d e0 z uei4 d a4 zh i2 h e2 z uei4 x iao3 zh i2 .
f ang1 an4 i1 ： f en1 b ie2 g uo4 d ian3 C 、 D z uo4 A B d e0 ch uei2 x ian4 ， ch uei2 z u2 uei4 E 、 F ， ian2 C E 、 D F p u1 sh e4 g uan3 d ao4 ；
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， B uei4 A C D s uo3 z ai4 p ing2 m ian4 uai4 i4 d ian3 ， M ， N ， G f en1 b ie2 uei4 A B C ， A B D ， B C D d e0 zh ong4 x in1 .
（ 1 ） j iang1 （ ） d ai4 r u4 x 2 y 2 1 ， d e2 d ao4 j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 d e0 t u2 x ing2 f ang1 ch eng2 sh i4 9 x 2 4 y 2 1 .
g u4 h an2 sh u4 y c o s ( 2 x ) d e0 d an1 d iao4 d i4 j ian3 q ü1 j ian1 sh i4 [ k ， k ] （ k Z ） .
（ 2 ） iou2 t i2 i4 d e2 g ( x ) f ( 2 x ) ，
【 t i2 sh i4 】 『 2 1 ( 2 ) ， iong4 2 1 f en1 b ie2 ch eng2 h e2 2 ， b a3 s uo3 d e0 j i1 x iang1 『 j ia1 』 。 』
iou2 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 g ong1 sh i4 k e3 d e2 x ( 0 4 c o s ) 2 c o s ， y ( 0 4 s i n ) 2 s i n ，
g u4 ch ang2 sh u4 a d e0 zh i2 uei4 3 .
B O D h e2 C O D d ou1 sh i4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
i1 l iang4 q i4 ch e1 c ong2 j ia3 d i4 d ao4 i3 d i4 。 sh ang4 u3 1 1 sh i2 ch u1 f a1 ， x ia4 u3 6 sh i2 d ao4 d a2 。 zh e4 l iang4 q i4 ch e1 m ei3 x iao3 sh i2 h ang2 9 0 q ian1 m i3 ， j ia3 d i4 d ao4 i3 d i4 d e0 l u4 ch eng2 sh i4 d uo1 sh ao3 q ian1 m i3 ？
b i4 iao4 x ing4 ： f ang1 ch eng2 a x 2 b x c 0 iou3 i2 g e4 g en1 uei4 1 ，
zh i2 x ian4 l 1 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y k ( x 2 ) ， zh i2 x ian4 l 2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y ，
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
（ 1 ） j ie3 ： ( 1 x ) 2 n 1 d e0 zh an3 k ai1 sh i4 zh ong1 h an2 x n d e0 x iang4 d e0 x i4 sh u4 uei4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 sh u4 l ie4 { a n } sh i4 0 ， 2 ， 0 ， 2 ， 0 ， 2 ， … ， j i2 j i1 sh u4 x iang4 d ou1 sh i4 0 ， ou3 sh u4 x iang4 d ou1 sh i4 『 2 』 . 』
（ 2 ） iou4 j ing1 i1 d uan4 sh i2 j ian1 h ou4 ， ch uan2 d ao4 d a2 h ai3 d ao3 d e0 zh eng4 x i1 f ang1 x iang4 d e0 D ch u4 ， uen4 c i3 sh i2 ch uan2 j ü4 d ao3 A iou3 d uo1 üan3 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
（ 1 ） b iao3 zh ong1 （ ） h e2 （ ） sh i4 l iang3 zh ong3 x iang1 g uan1 l ian2 d e0 l iang4 。
j ie3 ： sh e4 ch eng2 h uo3 ch e1 q ü4 k ai1 h uei4 uei4 sh i4 j ian4 A ， ch eng2 l uen2 ch uan2 q ü4 k ai1 h uei4 uei4 sh i4 j ian4 B ， ch eng2 q i4 ch e1 q ü4 k ai1 h uei4 uei4 sh i4 j ian4 C ， ch eng2 f ei1 j i1 q ü4 k ai1 h uei4 uei4 sh i4 j ian4 D ， z e2 k e3 zh i1 zh e4 s i4 g e4 sh i4 j ian4 sh i4 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 f ang1 g en1 』
d a2 an4 ： 1 . l i3 f a4 d ian4 ， b ei3 ； 2 . d ong1 b ei3 ， ch ao1 sh i4 ， x i1 n an2 ， d ong1 n an2 ； 3 . d ong1 ， x i1 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 c e4 m ian4 j i1 h e2 b iao3 m ian4 j i1 』
d ang1 t 2 sh i2 ， x 4 ， y 8 ； d ang1 t 2 sh i2 ， x 4 ， y 8 ， j i2 A （ 4 ， 8 ） ， B （ 4 ， 8 ） ，
zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 s i n c o s 1 ，
d a2 ： zh e4 j ia1 sh ang1 ch ang3 zh e4 g e4 üe4 iao4 j iao1 n a4 ing2 ie4 sh uei4 4 2 . 5 uan4 üan2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 h an2 sh u4 d e0 zh ou1 q i1 x ing4 j i2 q i2 q iou2 f a3 』
2 2 4 ， b u4 f u2 h e2 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 b ian1 g uan1 x i4 ， ing1 sh e3 q ü4 .
【 t i2 sh i4 】 『 h ua4 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 sh i2 ， zh u3 sh i4 t u2 sh i4 ch ang2 f ang1 x ing2 ， x iang1 l in2 l iang3 b ian1 ing1 ü3 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 zh ang3 h e2 g ao1 『 d eng3 zh ang3 』 . 』
d e2 2 x y 4 ， j i2 x 2 ， iou4 x 2 y 2 ，
üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 1 ） ， q i2 d uei4 ing4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） .
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 ， d e2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 』
s uo3 i3 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 uei4 1 .
i2 g e4 üan2 zh u4 x ing2 b o1 l i2 sh uei3 c ao2 ， d i3 m ian4 b an4 j ing4 sh i4 0 . 1 m ， sh en1 0 . 1 5 m ， iong4 zh e4 g e4 sh uei3 c ao2 zh uang1 m an3 sh uei3 ， z ai4 d ao4 r u4 i2 g e4 k ong1 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 j in1 ü2 g ang1 zh ong1 ， i3 zh i1 j in1 ü2 g ang1 c ong2 l i3 m ian4 l iang4 l eng2 zh ang3 sh i4 0 . 3 m ， z e2 j in1 ü2 g ang1 zh ong1 sh uei3 m ian4 z uei4 d a4 g ao1 d u4 sh i4 d uo1 sh ao3 l i2 m i3 ？ （ j ie2 g uo3 b ao3 l iou2 zh eng3 sh u4 ）
x ia4 m ian4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 z ai4 k uo4 h ao4 n ei4 h ua4 “ ” ， c uo4 u4 d e0 h ua4 “ ” 。
sh e4 a ， b sh i4 l iang3 g e4 sh i2 sh u4 ， g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 t iao2 j ian4 ： a b 2 ； a 2 b 2 2 . q i2 zh ong1 n eng2 t uei1 ch u1 ： “ a ， b zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 d a4 ü2 1 ” d e0 t iao2 j ian4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
r u2 g uo3 i2 g e4 sh u4 d e0 l i4 f ang1 g en1 d eng3 ü2 t a1 b en3 sh en1 ， z e2 zh e4 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
j ie3 ： iou2 t i2 i4 zh i1 ， d ian3 Q （ üan2 s u4 ） z ai4 zh i2 x ian4 b sh ang4 ， b （ j i2 h e2 ） z ai4 p ing2 m ian4 （ j i2 h e2 ） n ei4 ，
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， z ai4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 ： ， d e0 z uo4 iong4 x ia4 r eng2 sh i4 q i2 b en3 sh en1 d e0 d ian3 uei4 .
zh eng4 m ing2 ： r en4 q ü3 x 1 （ 1 ， ） ， x 2 （ 1 ， ） ， q ie3 x 1 x 2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 g uo3 d e0 zh i4 l iang4 l i2 d e0 zh i4 l iang4 『 3 』 。 』
zh e4 g e4 j ie2 m ian4 üan2 z ai4 üan2 t ai2 zh ou2 j ie2 m ian4 sh ang4 j ie2 d e2 d e0 zh i2 j ing4 sh i4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 d e0 zh ong1 uei4 x ian4 ，
x ia4 m ian4 l iang3 g e4 zh ong1 m ian4 sh i4 er2 t ong2 b o2 u4 g uan3 b ai2 t ian1 d e0 sh ang4 b an1 sh i2 j ian1 h e2 x ia4 b an1 sh i2 j ian1 （ zh ong1 u3 b u4 x iou1 x i1 ） 。
（ 2 ） q iou2 zh e4 g e4 sh i4 ian4 i1 g ong4 iou3 d uo1 sh ao3 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 j ie2 g uo3 ；
üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 s i n ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 』
iou2 t u2 d e2 ， n ong2 i4 üan2 d e0 m ian4 j i1 S 2 S A B C 2 | A B | | y C | 2 | y C | .
iou2 k e3 d e2 j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 .
iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 ch u1 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， p ing2 x ing2 ü2 x zh ou2 d e0 ch ang2 d u4 b u4 b ian4 ， d an4 p ing2 x ing2 ü2 y zh ou2 d e0 x ian4 d uan4 ch ang2 d u4 b ian4 uei4 üan2 l ai2 d e0 i2 b an4 ， g u4 c uo4 u4 ；
zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 （ ， m ） ，
（ 3 ） h ai2 k e3 i3 d e2 d ao4 （ ） d e0 üan2 zh u4 。
j i2 ü3 p ing2 m ian4 P A B ch uei2 zh i2 d e0 p ing2 m ian4 iou3 p ing2 m ian4 P A C ， p ing2 m ian4 A B C .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
d ang1 0 x 1 sh i2 ， h an2 sh u4 y x 3 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
（ 2 ） sh e4 P sh i4 （ 1 ） zh ong1 t uo3 üan2 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 F 1 P d e0 zh ong1 d ian3 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d e0 x ie2 l ü4 uei4 （ ）
r uo4 üan2 zh u4 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 i2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， q i2 m ian4 j i1 uei4 4 S ， z e2 t a1 d e0 d i3 m ian4 m ian4 j i1 sh i4 .
j ie3 ： （ 1 ） j iang1 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 ） l iang3 sh i4 p ing2 f ang1 x iang1 j ia1 ， d e2 x 2 y 2 4 .
g uo4 A 1 B 1 d e0 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 A B C j iao1 ü2 zh i2 x ian4 D E ， k e3 zh i1 A 1 B 1 D E ，
in1 c i3 k e3 d e2 d ao4 z u3 h e2 h eng2 d eng3 sh i4 C ( C ) 2 ( C ) 2 ( C ) 2 .
s uo3 i3 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， 1 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h uo4 m ing4 t i2 』
（ 4 ） zh i2 x ian4 sh i4 u2 x ian4 zh ang3 d e0 ， m ei2 b an4 f a3 l iang4 ch u1 j ü4 t i3 ch ang2 d u4 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f an3 b i3 l i4 』
j ie3 ： sh e4 zh eng4 s an1 l eng2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 a ， z e2
iou2 c i3 k e3 d e2 ， j i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
x iao1 q ü4 k e3 d e2 t uo3 üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 1 ，
h ua4 c e4 l eng2 . g uo4 A ， B ， C ， D ， E ， F g e4 d ian3 ， f en1 b ie2 z uo4 z zh ou2 d e0 p ing2 x ing2 x ian4 ， z ai4 zh e4 x ie1 p ing2 x ing2 x ian4 sh ang4 f en1 b ie2 j ie2 q ü3 A A B B C C D D E E F F ， sh i3 t a1 m en0 d ou1 d eng3 ü2 c e4 l eng2 d e0 zh ang3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ou1 t i4 üan2 l i3 ( ao4 sh u4 ) 』
t u2 sh i4 g uo2 j ia1 iou2 iong3 zh ong1 x in1 “ sh uei3 l i4 f ang1 ” ， q i2 zh u3 t i3 j ie2 g ou4 sh i4 s i4 l eng2 zh u4 ；
2 0 2 0 n ian2 3 üe4 k ang4 j i1 “ x in1 g uan1 f ei4 ian2 ” j ü1 j ia1 x üe2 x i2 q i1 j ian1 ， x iao3 h ua2 j i4 h ua4 m ei3 t ian1 b ei4 s ong4 6 g e4 h an4 ü3 ch eng2 ü3 . j iang1 ch ao1 g uo4 d e0 g e4 sh u4 j i4 uei4 zh eng4 sh u4 ， b u4 z u2 d e0 g e4 sh u4 j i4 uei4 f u4 sh u4 ， m ou3 i1 zh ou1 l ian2 x ü4 5 t ian1 d e0 b ei4 s ong4 j i4 l u4 x ia4 ： 4 ， 0 ， 5 ， 3 ， 2 ， z e2 zh e4 5 t ian1 t a1 g ong4 b ei4 s ong4 h an4 ü3 ch eng2 ü3 （ ）
s uo3 i3 s an1 sh i4 x iang1 j ia1 ， d e2 .
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 A ， iou2 t ong2 uei4 j iao3 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 A h e2 3 sh i4 t ong2 uei4 j iao3 ， s uo3 i3 A b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
s uo3 i3 ch u1 q in2 r en2 sh u4 ü3 q üe1 q in2 r en2 sh u4 d e0 b i3 sh i4 4 9 : 1 。
zh i2 x ian4 P F d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y ( x ) ， j i2 2 x t y t 0 ，
l ing4 x 0 ， zh eng3 l i3 ， d e2 n a n a 1 2 a 2 … 9 a 5 1 0 a 1 0 5 2 5 1 6 0
j ie3 ： j iang1 d ai4 r u4 2 x 2 8 y 2 0 zh ong1 ， k e3 d e2 2 ( 5 x ) 2 8 ( 3 y ) 2 0 ，
üan2 zh u4 、 üan2 zh uei1 、 üan2 t ai2 h e2 q iou2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4
D 、 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 zh eng4 q üe4 ；
d a2 ： j ia3 d uei1 m ei2 b i3 i3 d uei1 m ei2 sh ao3 4 . 5 d uen1 。
sh e4 j iao4 sh i1 r en2 sh u4 uei4 3 ， z e2 n an2 sh eng1 r en2 sh u4 6 ， n ü3 sh eng1 r en2 sh u4 3 ， n an2 sh eng1 r en2 sh u4 n ü3 sh eng1 r en2 sh u4 ，
i3 zh i1 m ou3 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 4 c o s ( ) 6 0 . q iou2 ：
in1 uei4 E ， F f en1 b ie2 sh i4 m ian4 A B C D h e2 A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 zh ong1 x in1 ，
j ie3 ： in1 uei4 c o s ，
（ 4 ） j iang1 x 2 d ai4 r u4 x 2 0 zh ong1 ， z uo3 b ian1 d eng3 ü2 iou4 b ian1 ， s uo3 i3 x 2 sh i4 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 x 2 0 d e0 g en1 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， d an4 b u4 n eng2 z uo4 uei2 d ing4 l i3 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh e4 g e4 t iao2 l ian2 x ian4 ü3 g uo4 p ing2 m ian4 n ei4 zh e4 i4 d ian3 d e0 zh i2 x ian4 x iang1 j iao1 ， ü3 b u4 g uo4 p ing2 m ian4 n ei4 zh e4 i4 d ian3 d e0 zh i2 x ian4 j i4 b u4 p ing2 x ing2 ie3 b u4 『 x iang1 j iao1 』 . 』
s uo3 i3 q i2 f an3 h an2 sh u4 f 1 ( x ) ie3 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
“ x m ” sh i4 “ ( x 1 ) ( x 2 ) 0 ” d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ，
d ang1 a 0 sh i2 ， iao4 sh i3 b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 ， j i2 x 0 ， a x 0 2 a x 0 1 0 ， j i2 a a 1 0 ， j ie3 d e2 a 4 ；
s uo3 i3 üan2 sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 l iang3 z ai4 z uo4 b iao1 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 zh i1 h e2 uei4 c o s s i n s i n ( ) ，
【 t i2 sh i4 】 『 iao4 t ong1 d ian4 h ua4 d e0 z ong3 c i4 sh u4 r en2 sh u4 『 』 m ei3 g e4 r en2 ü3 q i2 t a1 r en2 d a3 d ian4 h ua4 d e0 c i4 sh u4 。 』
s uo3 i3 f ( x ) | s i n x | d e0 t u2 x iang4 ü3 zh i2 x ian4 y k x （ k 0 ） z ai4 [ 0 ， ） sh ang4 iou3 s an1 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
g en1 j ü4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 x ing4 zh i4 k e3 d e2 B M A N .
r u2 t u2 ， x ia4 l ie4 j i3 h e2 t i3 zh ong1 sh i4 l eng2 zh u4 d e0 iou3 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 .
j ie3 ： j iang1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d ai4 r u4 p ao1 u4 x ian4 f ang1 ch eng2 y 2 4 x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l in2 b u3 j iao3 』
j ie3 ： （ 1 ） q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ） zh ong1 l iang3 sh i4 z i0 p ing2 f ang1 x iang1 j ia1 d e2 x 2 y 2 1 6 ，
M G p ing2 m ian4 D C E F ， k e3 d e2 M G N G .
z uo4 ch u1 üan2 x in1 C ， l ian2 j ie1 C P ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
s an1 j iao3 x ing2 d e0 n ei4 j iao3 h e2 sh i4 1 8 0 .
B . t u2 sh ang4 j ü4 l i2 sh i2 j i4 j ü4 l i2 b i3 l i4 ch i3 ， in1 c i3 b i3 l i4 ch i3 — d ing4 ， sh i2 j i4 j ü4 l i2 h e2 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4 。
D . l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4
s uo3 i3 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
（ 2 ） iou2 （ 1 ） j i2 i3 zh i1 d e2 f ( x ) ( ) x 1 （ x 0 ） .
s i4 b ian1 x ing2 A B C D uei4 j ü3 x ing2 ，
y x 1 ， j i2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y x 1 0 .
j ie3 ： （ 1 ） z ai4 i1 j ü2 iou2 x i4 zh ong1 d e2 3 f en1 ， j i2 q ü3 d ao4 d e0 3 g e4 q iou2 uei4 b ai2 q iou2 、 h ong2 q iou2 h e2 h uang2 q iou2 g e4 1 g e4 .
iou4 H D B 1 C 1 ， t ong2 l i3 k e3 d e2 H D p ing2 m ian4 A B 1 C 1 .
in1 uei4 j ü3 zh en4 M iou3 i2 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 uei4 2 ， f ( 2 ) 0 ，
（ 2 ） in1 uei4 A N ， s uo3 i3 N （ 0 ， ， 0 ） （ 0 4 ） ， z e2 （ 1 ， 1 ， 2 ） ， （ 2 ， 0 ， 4 ） ，
r uo4 zh i2 x ian4 a z ai4 p ing2 m ian4 uai4 ， z e2 a ；
A . ch ong1 f en4 er2 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 uei4 （ ）
sh e4 d ian3 B d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ， z ） .
iou2 j i3 h e2 g ai4 x ing2 d e0 g ai4 l ü4 g ong1 sh i4 ， d e2 P ( A ) 0 . 0 5 .
sh e4 zh i2 x ian4 P C ü3 p ing2 m ian4 A 1 B C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 ，
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， r uo4 M sh i4 A 1 D 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， z e2 zh i2 x ian4 M D ü3 p ing2 m ian4 A 1 A C C 1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 t ai2 d e0 b iao3 m ian4 j i1 zh i2 j ing4 uei4 1 5 c m d e0 üan2 d e0 m ian4 j i1 c e4 m ian4 j i1 『 』 zh i2 j ing4 uei4 1 . 5 c m d e0 üan2 k ong3 m ian4 j i1 . 』
h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 ou3 h an2 sh u4 .
（ 2 ） d ang1 k 1 1 sh i2 ， d i4 1 1 c eng2 b iao1 zh u4 sh u4 z i4 f en1 b ie2 uei4 x 1 、 x 2 、 x 3 、 … 、 x 1 1 ，
üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 ： 1 9 . 1 3 5 7 . 3 （ c m 3 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 ( 6 a 2 ) x 3 z ai4 [ 2 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， q iou2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 b i3 zh i2 h e2 h ua4 j ian3 b i3 』
g u4 k e3 sh e4 P A ： y 1 k ( x 1 ) ， P B ： y 1 k ( x 1 ) ，
a b b a e . ch eng1 A g uan1 ü2 f a3 z e2 “ ” g ou4 ch eng2 i2 g e4 q ün2 . g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ：
s uo3 i3 m ai3 4 b en3 zh e4 iang4 d e0 x iang4 c e4 g ou4 。
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 uei4 k 1 ， j ing1 g uo4 d ian3 M 0 （ 2 ， 1 ） ， d ian3 M z ai4 zh i2 x ian4 sh ang4 ， i3 d e0 sh u4 l iang4 t uei4 c an1 sh u4 ， z e2 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 d e0 d an1 d iao4 x ing4 j i2 d an1 d iao4 q ü1 j ian1 』
h an2 sh u4 f ( x ) c o s 2 x s i n 2 x d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 .
d ang1 s i n ( ) 1 sh i2 ， | P A | q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
in1 uei4 zh i3 sh u4 h an2 sh u4 f ( x ) 2 x z ai4 q ü1 j ian1 （ ， ） sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ， q ie3 ，
iou2 t i2 i4 zh i1 3 ，
i1 g ong4 iou3 d uo1 sh ao3 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 d a1 p ei4 ？
iou2 t d e0 j i3 h e2 i4 i4 ， zh i1 | P A | | P B | | t 1 t 2 | ，
s uo3 i3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
in1 uei4 s i4 b ian1 x ing2 A B D C sh i4 O d e0 n ei4 j ie1 s i4 b ian1 x ing2 ， B D C 1 2 0 ，
j i4 s uan4 t i2
d a2 ： n eng2 j ie2 sh eng3 6 3 0 üan2 。
【 t i2 sh i4 】 『 l eng2 zh u4 d e0 g e4 g e4 c e4 m ian4 d ou1 sh i4 『 p ing2 x ing2 』 s i4 b ian1 x ing2 . 』
j ie3 ： P A p ing2 m ian4 A B C ， B C p ing2 m ian4 A B C ，
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： x y 3 0 j i2 q ü1 x ian4 C ： ( x 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 ， z e2 d ian3 M （ 2 ， 1 ） （ ）
z e2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ ， ） .
D 、 d ang1 x 1 sh i2 ， y 0 ， j i2 a b c 0 ， s uo3 i3 D x üan3 x iang4 zh eng4 q üe4
d ang1 sh i2 ， sh e4 x ian4 l ü3 C 1 j iao1 d ian3 A 1 d e0 h eng2 z uo4 b iao1 uei4 x ，
9 9 8 1 （ p ing2 f ang1 l i2 m i3 ） 。
d a2 ： l iang3 r en2 h e2 z uo4 ， x ü1 iao4 3 x iao3 sh i2 uan2 ch eng2 。
s uo3 i3 b ian4 h uan4 h ou4 d e0 q ü1 x ian4 d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 ， z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
iou2 iong3 b i3 s ai4 。
h uo4 2 ， 1 ， 1 ， 0 ； h uo4 2 ， 1 ， 1 ， 1 ； h uo4 3 ， 0 ， 0 ， 0 ； h uo4 3 ， 0 ， 0 ， 1 ；
D . d eng3 iao1 t i1 x ing2
B . sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d an4 b u2 sh i4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， O uei4 d uei4 j iao3 x ian4 A C 、 B D d e0 j iao1 d ian3 ， ü3 A O D q üan2 d eng3 d e0 sh i4 （ ）
j ie3 ： iou2 ü2 、 、 d ou1 sh i4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 ， ü2 sh i4 k e3 zh i1 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 uei4 3 .
k an4 t u2 h uei2 d a2 uen4 t i2 。
k e3 d e2 q i2 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 4 x ， z e2 q i2 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 0 ） ， zh uen3 x ian4 uei4 x 1 ，
j ie3 ： r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， sh e4 A C ， A 1 C 1 d e0 zh ong1 d ian3 f en1 b ie2 uei4 O ， O 1 ， z e2 O B O C ， O O 1 O C ， O O 1 O B ， i3 { ， ， } uei4 j i1 d i3 ， j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 O x y z .
p ing2 m ian4 A B C p ing2 m ian4 B D C ， A M B C ，
x ia4 l ie4 j i4 s uan4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
（ 2 ） ； （ uei4 c an1 sh u4 ）
s uo3 i3 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 uei4 （ 0 ， 1 ] .
i3 zh i1 m i4 h an2 sh u4 f ( x ) x a ， a （ 2 ， ， ， ， 2 ， 3 ） ， f ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ， q ie3 d ang1 x （ 0 ， ） sh i2 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ， z e2 a .
s uo3 i3 b ai3 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 . （ uei4 c an1 sh u4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 』
2 0 1 2 4 5 0 3 ， 2 0 1 2 n ian2 sh i4 r uen4 n ian2 ， 2 üe4 iou3 2 9 t ian1 ， q üan2 n ian2 iou3 3 6 6 t ian1 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 、 f en1 sh u4 、 x iao3 sh u4 、 b ai3 f en1 sh u4 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
z e2 p ing2 i2 h ou4 d e2 d ao4 d e0 p ao1 u4 x ian4 d e0 d ing3 d ian3 i2 d ing4 z ai4 d i4 s i4 x iang4 x ian4 .
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
iou2 i3 zh i1 d e2 | O P | | O A | c o s 2 .
s uo3 i3 E A D A E B 9 0 ， ü3 i3 zh i1 E A A D x iang1 m ao2 d uen4 ，
ü3 C 2 j iao1 d ian3 B 1 d e0 h eng2 z uo4 b iao1 uei4 x .
A O B d e0 m ian4 j i1 z uei4 x iao3 ， z uei4 x iao3 m ian4 j i1 uei4 4 p 2 .
（ 1 ） q iou2 x ian4 d uan4 O M d e0 zh ong1 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
（ 2 ） r uo4 c n a n ， sh u4 l ie4 { c n } d e0 q ian2 n x iang4 h e2 uei4 T n ， d uei4 r en4 i4 d e0 n N * ， d ou1 iou3 T n n S n a ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 ；
( 2 ) r uo4 d ian3 P d e0 h eng2 z uo4 b iao1 uei4 m ， d ang1 m uei4 h e2 zh i2 sh i2 ， i3 O 、 C 、 P 、 F uei4 d ing3 d ian3 d e0 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ？ q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 z u3 h e2 j i2 z u3 h e2 sh u4 g ong1 sh i4 』
i3 zh i1 p ao1 u4 x ian4 y a x 2 b x c （ a ， b ， c sh i4 ch ang2 sh u4 ， a 0 ， c 1 ） j ing1 g uo4 d ian3 （ 2 ， 0 ） ， q i2 d uei4 ch en4 zh ou2 sh i4 zh i2 x ian4 x . iou3 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 ：
ü3 j i2 z uo4 b iao1 （ 3 ， ） x iang1 t ong2 d e0 d ian3 k e3 i3 b iao3 sh i4 uei4 （ 3 ， 2 k ） h uo4 （ 3 ， ( 2 k 1 ) ） （ k Z ） ，
（ 2 ） j iang1 a ， a ， b ， b an4 c ong2 x iao3 d ao4 d a4 d e0 sh uen4 x ü4 p ai2 l ie4 .
（ 2 ） s uei2 j i1 b ian4 l iang4 X s uo3 iou3 k e3 n eng2 d e0 q ü3 zh i2 uei4 2 ， 3 ， 4 .
sh e4 M d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） ，
（ 1 ） r uo4 ， q iou2 A P ü3 A Q s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 ；
D . b u4 q üe4 d ing4
r uo4 5 x 1 9 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 4 ， z e2 2 x 7 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 .
（ 4 ） 4 2 （ j ing1 q üe4 d ao4 0 . 0 1 ） .
c ong2 m ou3 x iao4 g ao1 zh ong1 n an2 sh eng1 zh ong1 s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 1 0 0 m ing2 x üe2 sh eng1 ，
j ie3 ： j iang1 ， f en1 b ie2 d ai4 r u4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
d uei4 ü2 B ， y s i n 2 x c o s 2 x ， T ， g ai1 h an2 sh u4 sh i4 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ；
sh e4 üan2 zh uei1 d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 r ， g ao1 uei4 h .
B . d i4 er4 x iang4 x ian4
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 O d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ， k e3 d e2 O d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： x 2 y 2 1 .
i3 zh i1 üan2 O d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 2 ） .
d ang1 n 2 sh i2 ， b 2 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 x ia4 u3 5 sh i2 iong4 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 b iao3 sh i4 sh i4 （ 5 『 1 2 』 ） sh i2 。 』
C . ch eng2 f a3 f en1 p ei4 l ü4
g en1 j ü4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 x ing4 zh i4 k e3 d e2 C N B E .
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 1 1 ， q ie3 x 2 ( ) 2 ( ) 2 1 ，
g en1 j ü4 x iang1 g uan1 ian2 j iou1 ， n ü3 sh i4 m en0 t iao1 x üan3 g ao1 g en1 x ie2 x ie2 g en1 d e0 z uei4 j ia1 g ao1 d u4 g ong1 sh i4 sh i4 ： a x 0 . 6 ( h x ) 。 q i2 zh ong1 a b iao3 sh i4 x ia4 zh i1 zh ang3 ， x b iao3 sh i4 x ie2 g en1 g ao1 d u4 ， h b iao3 sh i4 sh en1 g ao1 。 t u2 zh ong1 zh e4 uei4 n ü3 sh i4 d e0 x ie2 g en1 d e0 z uei4 j ia1 g ao1 d u4 sh i4 j i3 l i2 m i3 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh ang3 、 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 r en4 sh i2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
j ie3 ： sh e4 d ian3 O d ao4 A Q d e0 j ü4 l i2 uei4 d ， z e2
A . üan2 zh uei1 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 d eng3 ü2 d i3 m ian4 üan2 zh i2 j ing4
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， d ian3 E 、 F f en1 b ie2 z ai4 A 1 D 、 A C sh ang4 ， q ie3 E F A 1 D ， E F A C . q iou2 zh eng4 ： E F B D 1 .
D . i2 g e4 sh u4 d e0 x iang1 f an3 sh u4 i2 d ing4 x iao3 ü2 üan2 sh u4
g uo4 P ch uei2 zh i2 ü2 l d e0 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ü2 ；
j i2 C 1 ü3 C 2 d e0 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 4 ） .
（ 3 ） x iang4 n an2 3 0 m ， x iang4 b ei3 5 0 m 。
üan2 x in1 C z ai4 zh i2 x ian4 x y 3 0 sh ang4 .
【 t i2 sh i4 】 『 A B C zh ong1 ， ü3 d e0 zh i2 『 x iang1 d eng3 』 . 』
s uo3 i3 üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 . （ uei4 c an1 sh u4 ） .
x iao3 m ing2 h e2 b a4 b a4 d e0 n ian2 l ing2 b ian4 h ua4 r u2 x ia4 b iao3 ， q ing3 b a3 b iao3 t ian2 uan2 zh eng3 。
zh i2 x ian4 A 1 N ü3 p ing2 m ian4 A 1 A C C 1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 x iang1 j iao1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 r 1 ， m u3 x ian4 zh ang3 l 2 r 2 ，
（ 2 ） r uo4 x y c 0 h eng2 ch eng2 l i4 ， q iou2 sh i2 sh u4 c d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
q ing3 n i3 x ie3 ch u1 i2 g e4 zh i3 h an2 iou3 z i4 m u3 m 、 n ， q ie3 t a1 d e0 x i4 sh u4 uei4 2 、 c i4 sh u4 uei4 3 d e0 d an1 x iang4 sh i4 .
y 2 1 2 y ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 y 1 sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 ，
iong4 sh u4 x üe2 g uei1 n a4 f a3 zh eng4 m ing2 b n ( 1 ) ( 1 ) （ n 2 ） ；
i3 zh i1 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 ：
j i2 s uo3 q iou2 üan2 d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
i3 O uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， O B 、 O C 、 O P f en1 b ie2 uei4 x 、 y 、 z zh ou2 j ian4 l i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
r uo4 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ü3 zh i2 x ian4 x m x iang1 j iao1 ü2 b u4 t ong2 l iang3 d ian3 ， z e2 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ）
k e3 d e2 1 ， 2 sh i4 f ang1 ch eng2 x 2 a x b 0 d e0 l iang3 g en1 ，
（ 2 ） r uo4 ， q iou2 sh i2 sh u4 k d e0 zh i2 ；
k e3 zh i1 z ai4 x 0 ch u4 q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 ， y m a x 3 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 t iao2 p ing2 x ing2 zh i2 x ian4 j ian1 d e0 j ü4 l i2 』
iou2 t u2 x iang4 k e3 zh i1 ， h an2 sh u4 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 z ai4 d ing3 d ian3 ch u4 q ü3 d e0 ， c i3 sh i2 x 1 ， z uei4 d a4 zh i2 x 3 sh i2 q ü3 d e0 ，
c ong2 s i4 g e4 zh uang1 zh e0 b u4 t ong2 p in3 zh ong3 j in1 ü2 d e0 ü2 g ang1 l i3 ， r en4 i4 l ao1 ch u1 5 t iao2 j in1 ü2 ， b i4 iou3 2 t iao2 j in1 ü2 sh u3 ü2 t ong2 i1 g e4 p in3 zh ong3 。 uei4 sh en2 m e0 ？
l eng2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 uei4 s an1 j iao3 x ing2 ， q ie3 s uo3 iou3 c e4 m ian4 d ou1 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ing3 d ian3 ；
（ 2 ） d ang1 t uei4 ch ang2 sh u4 ， uei4 c an1 sh u4 sh i2 ， f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 h e2 zh ong3 q ü1 x ian4 ？
g uo4 d ian3 P q ie3 ch uei2 zh i2 ü2 d e0 zh i2 x ian4 i2 d ing4 p ing2 x ing2 ü2 z ai4 n ei4 ü3 j iao1 x ian4 ch uei2 zh i2 d e0 zh i2 x ian4 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
j i2 E ， F ， C ， D 1 s i4 d ian3 g ong4 m ian4 .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 ， b a3 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 zh uan3 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， a 3 .
j iang1 q i2 d ai4 r u4 x 2 y 2 8 ， d e2 t 2 3 t 3 0 ，
j ie3 ： iou2 1 ， d e2 0 ，
z ai4 m ian4 A B B 1 A 1 h uo2 m ian4 C D C 1 D 1 sh ang4 d e0 t ou2 ing3 sh i4 t u2 C ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
u2 l i3 sh u4 ch u1 x ian4 d e0 p in2 l ü4 1 0 0 6 0 .
g uan1 ch a2 x ia4 l ie4 g e4 sh i4 ：
j ie3 ： （ 1 ） r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
（ 2 ） zh i2 x ian4 C M b u4 n eng2 j ing1 g uo4 d ian3 P . in1 uei4 g uo4 i4 d ian3 P iou3 q ie3 zh i3 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 P A ü3 zh i2 x ian4 A B ch uei2 zh i2 .
4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) r uo4 f ( a ) 4 ， z e2 sh i2 sh u4 a （ ）
k ong1 j ian1 zh ong1 ， g uo4 zh i2 x ian4 uai4 i4 d ian3 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 zh e4 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ，
d a2 ： m ei3 t ian1 i1 g ong4 n eng2 f ang4 5 ch ang3 。
i3 x ia4 s i4 g e4 m ing4 t i2 zh ong1 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
j ie3 ： （ 1 ） h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R ， q ie3 f ( x ) 1 .
l iang3 t iao2 p ing2 x ing2 x ian4 zh ong1 d e0 i1 t iao2 ch uei2 zh i2 ü2 l iang3 g e4 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 zh ong1 d e0 i2 g e4 p ing2 m ian4 ， z e2 l ing4 i1 t iao2 i2 d ing4 ch uei2 zh i2 ü2 l ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 ， zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 ， zh i2 x ian4 uei4 y x t a n ， üan2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 4 ) 2 y 2 4 ，
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， A B C D sh i4 i2 g e4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 x ie2 er4 c e4 zh i2 g uan1 t u2 ， z e2 g ai1 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 sh i4 （ ）
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
4 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 b ian1 zh ang3 uei4 ： 2 4 4 4 1 . 5 （ c m ）
zh ao4 p ian1 、 sh ou3 ing3 b iao3 ian3 d ou1 sh i4 zh ong1 x in1 t ou2 ing3 ， t ai4 iang2 g uang1 x ian4 ü3 g ong1 ch eng2 zh i4 t u2 d ou1 sh i4 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 ，
m ou3 g ong1 s i1 i1 n ian2 g ou4 m ai3 m ou3 zh ong3 h uo4 u4 6 0 0 d uen1 ， m ei3 c i4 g ou4 m ai3 x d uen1 ， ün4 f ei4 uei4 6 uan4 üan2 c i4 ， i1 n ian2 d e0 z ong3 c uen2 ch u3 f ei4 iong4 uei4 4 x uan4 üan2 ， iao4 sh i3 i1 n ian2 d e0 z ong3 ün4 f ei4 ü3 z ong3 c uen2 ch u3 f ei4 zh i1 h e2 z uei4 x iao3 ， z e2 x d e0 zh i2 sh i4 .
j iang1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 g ai3 x ie3 ch eng2 “ r uo4 p ， z e2 q ” d e0 x ing2 sh i4 ， b ing4 x ie3 ch u1 t a1 d e0 n i4 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2 h e2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 i3 j i2 p an4 d uan4 t a1 m en0 d e0 zh en1 j ia3 .
sh e4 M （ x ， y ） uei4 g uei3 j i4 sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， z e2 k M A ， k M B （ x a ） .
【 t i2 sh i4 】 『 3 0 4 4 8 3 ， iao4 x ian1 s uan4 j ia1 f a3 ， z e2 x ü1 d uei4 4 4 8 t ian1 j ia1 『 k uo4 h ao4 』 。 』
（ 2 ） m ou3 g e4 b i3 s ai4 d e0 j üe2 s ai4 z ai4 j ia3 、 i3 l iang3 m ing2 ün4 d ong4 üan2 zh i1 j ian1 j in4 x ing2 ， b i3 s ai4 g ong4 sh e4 2 n 1 j ü2 ， m ei3 j ü2 b i3 s ai4 j ia3 h uo4 sh eng4 d e0 g ai4 l ü4 j ün1 uei4 p （ p ） ， sh ou3 x ian1 ing2 m an3 n 1 j ü2 zh e3 h uo4 sh eng4 （ n N * ） .
z e2 3 a 1 ， j ie3 d e2 a 2 ；
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
iou4 iou2 O A O C 2 O B k e3 d e2 2 k （ k Z ） ，
zh eng4 m ing2 ： A B C D （ i3 zh i1 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch uei2 x ian4 d uan4 z uei4 d uan3 』
（ 2 ） r uo4 zh i2 x ian4 C 3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 （ R ） ， sh e4 C 2 ü3 C 3 d e0 j iao1 d ian3 uei4 M ， N ， q iou2 C 2 M N d e0 m ian4 j i1 .
q j ia3 ， B zh eng4 q üe4 ， C c uo4 u4 ；
l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4
（ 1 ） g uo4 d ian3 A （ 3 ， 0 ） q ie3 ch uei2 zh i2 ü2 x zh ou2 d e0 zh i2 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x 3 ；
d a2 an4 ： b u4 ch eng2 。
j ie3 ： r u2 t u2 ： d ang1 d ian3 C z ai4 d ian3 D z uo3 c e4 sh i2 .
g u4 A zh eng4 q üe4 ， B c uo4 u4 ；
q i2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 “ r uo4 i2 g e4 h an2 sh u4 sh i4 zh ou1 q i1 h an2 sh u4 ， z e2 g ai1 h an2 sh u4 b u2 sh i4 d an1 d iao4 h an2 sh u4 ” ， j i2 “ zh ou1 q i1 h an2 sh u4 b u2 sh i4 d an1 d iao4 h an2 sh u4 ” ， g u4 C c uo4 u4 ；
j ie3 ： （ 1 ） iou2 s an1 sh i4 t u2 k e3 zh i1 ， g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 x ia4 b an4 b u4 f en4 sh i4 l eng2 zh ang3 uei4 2 m d e0 zh eng4 f ang1 t i3 ， sh ang4 b an4 b u4 f en4 sh i4 b an4 j ing4 uei4 1 m d e0 b an4 q iou2 ，
d ang1 x l n 4 sh i2 ， f ( x ) 0 ， f ( x ) d i4 z eng1 ，
g u1 s uan4 d e0 j in4 s i4 zh i2 . （ j ing1 q üe4 d ao4 0 . 1 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 4 s i n d e0 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 （ R ） d e0 j ü4 l i2 sh i4 .
sh e4 ， uei4 f ei1 l ing2 x iang4 l iang4 ， z e2 “ c uen2 z ai4 f u4 sh u4 ， sh i3 d e0 ” sh i4 “ 0 ” d e0 t iao2 j ian4 .
B . zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 sh i2 sh u4 x ， sh i3 x 2 0
r u2 t u2 ， s an1 t iao2 zh i2 x ian4 l iang3 l iang3 x iang1 j iao1 ü2 s an1 d ian3 .
j ie3 ： d ang1 sh i2 ， x ( c o s s i n ) 1 ，
j ia3 、 i3 l iang3 sh ang1 ch ang3 c u4 x iao1 ， j ia3 sh ang1 ch ang3 q üan2 ch ang3 j iou3 zh e2 iou1 h uei4 sh ou4 h uo4 ， i3 sh ang1 ch ang3 “ m an3 2 0 0 s ong4 3 0 üan2 g ou4 u4 q üan4 ” c u4 x iao1 。 x iao3 m ing2 d a3 s uan4 h ua1 3 0 0 üan2 q ü4 g ou4 u4 ， t a1 z ai4 n ei3 g e4 sh ang1 ch ang3 g ou4 u4 h e2 s uan4 i1 x ie1 ？ t ong1 g uo4 j i4 s uan4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
g u4 d a2 an4 uei4 ： d ian3 A .
f ang1 ch eng2 x 2 2 x 8 0 iou3 l iang3 g e4 sh i2 g en1 ， iou2 ü2 4 4 8 0 ， g u4 t a1 sh i4 b u4 k e3 n eng2 sh i4 j ian4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
m ei3 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 d ou1 f ang4 zh i4 z ai4 t a1 x ia4 i1 c eng2 d e0 l iang3 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 zh i1 sh ang4 . x ian4 d uei4 d i4 k c eng2 d e0 m ei3 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 iong4 sh u4 z i4 j in4 x ing2 b iao1 zh u4 ，
iou3 l iang3 g e4 m ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， q i2 ü2 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 d uo1 b ian1 x ing2 ， b ing4 q ie3 m ei3 x iang1 l in2 l iang3 g e4 d uo1 b ian1 x ing2 d e0 g ong1 g ong4 b ian1 d ou1 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， iou2 zh e4 x ie1 m ian4 s uo3 uei2 ch eng2 d e0 d uo1 m ian4 t i3 j iao4 z uo4 l eng2 zh u4 ， ü3 c uo4 u4 ， zh eng4 q üe4 ；
B . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4
j ie3 ： ， C C 1 ü3 B 1 E j ün1 z ai4 p ing2 m ian4 B B 1 C 1 C n ei4 ， s uo3 i3 C C 1 ü3 B 1 E sh i4 g ong4 m ian4 d e0 ， g u4 A x iang4 c uo4 u4 ；
x ian4 x ian4 p ing2 x ing2 、 m ian4 m ian4 p ing2 x ing2 f en1 b ie2 j ü4 iou3 ch uan2 d i4 x ing4 ， d an4 x ian4 m ian4 p ing2 x ing2 u2 ch uan2 d i4 x ing4 ， g u4 c uo4 u4 ；
C . i2 g e4 u2 l i3 sh u4
k an4 t u2 j ie3 d a2 uen4 t i2 。
j ie3 ： üan2 b u4 d eng3 sh i4 d eng3 j ia4 ü2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 j i2 q i2 q iou2 f a3 』
A 、 B l iang3 d ian3 d e0 j ü4 l i2 uei4 | A B | 2 .
z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 b iao3 sh i4 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 ， z ai4 iong4 “ ” b a3 t a1 m en0 l ian2 j ie1 q i3 l ai2 .
uei4 l e0 sh i3 sh ou1 i4 X d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 b u4 x iao3 ü2 0 üan2 ， s uo3 i3 k 1 1 0 ， j i2 k m i n 1 1 0 .
g ai1 zh i2 x ian4 b i4 h e2 p ing2 m ian4 B 1 C 1 C B ch uei2 zh i2 ， m an3 z u2 t iao2 j ian4 d e0 zh i3 iou3 zh i2 x ian4 A 1 B 1 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 .
j ie3 ： iou2 k e1 x i1 b u4 d eng3 sh i4 d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 j ia1 j ian3 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
j ie3 ： d uei4 ü2 A ， ， g u4 b u2 sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 ；
j ie3 ： b a3 c o s h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， k e3 d e2 x .
x iao3 l i3 h e2 x iao3 zh ao4 g e4 iou3 i1 g en1 c ai3 d ai4 。
j ie3 ： z ai4 R t O D C ü3 R t O E C zh ong1 ，
üan2 zh uei1 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 h e2 c e4 sh i4 t u2 x iang1 t ong2 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
（ 1 ） iong4 t a1 m en0 p in1 ch eng2 i2 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 ， ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
O 、 A 、 B d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 O （ 0 ， 0 ） ， A （ 0 ， 2 ） ， B （ 2 ， 2 ）
m d e0 z uei4 d a4 zh i2 j i2 uei4 | O P | d e0 z uei4 d a4 zh i2 ， uei4 | O C | r 5 1 6 .
（ 1 ） q iou2 2 f 1 ( ) f 2 ( ) d e0 zh i2 ；
d a2 an4 ： a 6 h uo4 a 4 .
（ 3 ） b u4 c uen2 z ai4 . l i3 iou2 ： j ia3 sh e4 c uen2 z ai4 zh eng4 zh eng3 sh u4 m ， n ， sh i3 b 1 , a m , b n （ n 1 ） ch eng2 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ， z e2 b 1 b n 2 a m ，
（ 2 ） zh eng4 m ing2 ： d ang1 n 1 sh i2 ， f ( 1 ) 8 sh i4 8 d e0 b ei4 sh u4 ， m ing4 t i2 ch eng2 l i4 .
y uei4 j ian3 h an2 sh u4 ，
sh e4 （ x 1 ， y 1 ， z 1 ） uei4 p ing2 m ian4 F A B d e0 f a3 x iang4 l iang4 ，
p ing2 m ian4 B D E p ing2 m ian4 N C F . g u4 zh eng4 q üe4 .
g u4 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 uei4 .
（ 3 ） r uo4 l iang3 g e4 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 x iang1 d eng3 ， z e2 zh e4 l iang3 g e4 j iao3 d e0 zh ong1 b ian1 x iang1 t ong2 ， sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
g u4 x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 2 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 .
j ie3 ： g en1 j ü4 g ai4 l ü4 d e0 i4 i4 k e3 zh i1 A sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ， B 、 C 、 D c uo4 u4 .
i3 zh i1 k R ， h an2 sh u4 f ( x ) x 2 ( 1 k ) x 2 k .
（ ） r uo4 g ai1 sh ang1 ch ang3 zh ou1 ch u1 g ou4 j in4 2 0 t ai2 k ong1 t iao2 q i4 ， q iou2 d ang1 zh ou1 d e0 l i4 r uen4 （ d an1 uei4 ： üan2 ） g uan1 ü2 d ang1 zh ou1 x ü1 q iou2 l iang4 n （ d an1 uei4 ： t ai2 ， n N ） d e0 h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 f ( n ) ；
A B C uei4 d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 ，
d a2 an4 ： iou3 x ie1 ou3 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 y zh ou2 b u2 d uei4 ch eng1 .
g ong1 r en2 uang2 sh i1 f u4 h e2 t u2 d i4 z uo4 j i1 q i4 l ing2 j ian4 ， uang2 sh i1 f u4 m ei3 x iao3 sh i2 z uo4 4 5 g e4 ， t u2 d i4 m ei3 x iao3 sh i2 z uo4 2 8 g e4 ， uang2 sh i1 f u4 g ong1 z uo4 6 x iao3 sh i2 ， t u2 d i4 g ong1 z uo4 8 x iao3 sh i2 ， t a1 m en0 i1 g ong4 z uo4 l e0 d uo1 sh ao3 g e4 j i1 q i4 l ing2 j ian4 ？
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) a x （ a 0 ， q ie3 a 1 ） z ai4 [ 1 ， 2 ] sh ang4 d e0 z uei4 d a4 zh i2 h e2 z uei4 x iao3 zh i2 d e0 h e2 uei4 6 ， z e2 a （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
g ai1 h an2 sh u4 t u2 x iang4 k e3 iou2 h an2 sh u4 y d e0 t u2 x iang4 x iang4 iou4 p ing2 i2 1 g e4 d an1 uei4 ， z ai4 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 1 g e4 d an1 uei4 d e2 d ao4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
sh u4 x üe2 q i1 uang4 E ( X ) 5 a 6 a 7 a 8 a a .
（ 2 ） q iou2 p ing2 m ian4 D E F ü3 p ing2 m ian4 A B C D s uo3 ch eng2 d e0 er4 m ian4 j iao3 （ r uei4 j iao3 ） d e0 ü2 x ian2 zh i2 .
s an1 j iao3 x ing2 d e0 n ei4 j iao3 h e2 uei4 1 8 0 ；
B . z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ， b u4 x iang1 j iao1 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， zh eng4 q üe4 ；
（ 5 ） j iang1 i2 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 t ie3 s i1 k uang1 j ia4 l a1 ch eng2 i2 g e4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， t a1 d e0 m ian4 j i1 b i3 üan2 l ai2 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 m ian4 j i1 x iao3 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 。
d e2 1 2 4 1 c o s （ 1 0 ） uei4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 ， j i2 x 2 y 2 4 x 0 .
g en1 j ü4 m ing4 t i2 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 ü3 f ou3 ， m ing4 t i2 k e3 f en1 uei2 h e2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 』
（ 3 ） sh i4 m ing4 t i2 ， d ang1 x R sh i2 ， x 2 4 x 7 ( x 2 ) 2 3 0 n eng2 p an4 d uan4 zh en1 j ia3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
d a2 an4 ： i2 g e4 h an2 sh u4 sh i4 j i1 h an2 sh u4 ； h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 .
s uo3 i3 d ang1 n k 1 sh i2 ， j ie2 l uen4 ie3 ch eng2 l i4 . z ong1 sh ang4 ， f n ( x ) n ！ ch eng2 l i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 g uei1 d ing4 d i4 t u2 sh ang4 d e0 f ang1 x iang4 sh i4 “ sh ang4 b ei3 x ia4 『 n an2 』 ， z uo3 『 x i1 』 iou4 d ong1 ” 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l ie4 j ü3 f a3 j i4 s uan4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 sh u4 j i2 sh i4 j ian4 f a1 sh eng1 d e0 g ai4 l ü4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： t uo3 üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 j i4 s uan4 q i4 k ai1 f ang1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 』
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 。
l ian2 j ie1 A C 1 ， z e2 B C A C 1 ，
j ie3 ： üan2 4 s i n ( ) d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 ( y ) 2 4 ， sh e4 x ian4 0 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 k e3 i3 sh e4 uei4 y k x （ x 0 ， k 0 ） ，
1 . x iao3 h uang2 iou2 l e0 d uo1 sh ao3 m i3 ？
（ 1 ） üan2 zh u4 iou3 u2 sh u4 t iao2 g ao1 ， g u4 üan2 t i2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
m ing4 t i2 d e0 f ou3 d ing4 uei4 0 ， 0 R ， s i n ( 0 0 ) s i n 0 s i n 0 .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 t u2 x ing2 r ao4 x ü1 x ian4 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 h ou4 x ing2 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 iou2 n ei3 x ie1 j ian3 d an1 j i3 h e2 t i3 z u3 ch eng2 d e0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 x ing4 zh i4 』
s uo3 i3 iou2 | a | | b | b u4 i2 d ing4 n eng2 t uei1 ch u1 a b .
j ie3 ： x iao1 q ü4 zh i2 x ian4 l c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 zh ong1 d e0 t ， d e2 zh i2 x ian4 l d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 4 0 ，
h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s s i n 1 ， j i2 s i n ( ) .
a ü3 n ei4 d e0 s uo3 iou3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ；
s uo3 i3 h an2 sh u4 y f ( x ) （ x 0 ） d e0 zh i2 ü4 d e0 zh i2 ü4 uei4 （ 0 ， 2 ] .
s an1 j iao3 x ing2 d e0 n ei4 j iao3 h e2 i2 d ing4 sh i4 1 8 0 ， sh i4 q üe4 d ing4 d e0 ， sh i4 b i4 r an2 x ian4 x iang4 ；
q ie3 M ü3 O B zh ang3 ch eng2 zh eng4 b i3 ，
z e2 n k 1 sh i2 ， y z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
s uo3 i3 ch ang2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ， 8 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 l iou4 l eng2 zh u4 g ong4 iou3 『 8 』 g e4 m ian4 . 』
z ong3 m ian4 j i1 f en1 b ie2 uei4 ： 6 6 3 6 （ c m 2 ）
（ 1 ） zh eng4 m ing2 ： j iang1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， d e2 .
iou2 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 k e3 zh i1 zh i2 g uan1 t u2 sh i4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 A B C D d e0 üan2 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 uei4 t u2 （ b ） s uo3 sh i4 d e0 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 A B C D ， A B 2 A B 2 ， B C B C 1 ， A D A D 1 .
g u4 f ( x ) z ai4 [ 0 ， ] sh ang4 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
3 . 1 2 5 1 7 8 1 2 5 8 1 7 zh e4 l i3 zh i3 ün4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 j ie2 h e2 l ü4 。 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 1 3 6 9 s uo3 d e0 d e0 sh ang1 sh i4 k e3 i3 zh a1 ch eng2 d e0 k uen3 sh u4 ， 『 ü2 sh u4 』 sh i4 sh eng4 x ia4 d e0 b en3 sh u4 。 』
c ong2 i1 f u4 p u1 k e4 p ai2 zh ong1 ch ou1 q ü4 l iang3 zh ang1 uang2 p ai2 ， z ai4 sh eng4 x ia4 d e0 5 2 zh ang1 p ai2 zh ong1 r en4 i4 q ü3 p ai2 ， zh i4 sh ao3 iao4 q ü3 d uo1 sh ao3 zh ang1 c ai2 n eng2 b ao3 zh eng4 iou3 2 zh ang1 h ong2 t ao2 ？
（ 2 ） P D p ing2 m ian4 A B C D ， A C p ing2 m ian4 A B C D ，
（ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
（ 1 ） b a3 0 . 0 2 5 g ai3 x ie3 ch eng2 2 5 ， n a4 m e0 üan2 l ai2 d e0 sh u4 j iou4 k uo4 d a4 d ao4 t a1 d e0 1 0 0 0 b ei4 ， sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ；
j ie2 h e2 sh ang4 m ian4 d e0 g uan1 x i4 h ai2 k e3 d e2 d ao4 3 ( a b b c c a ) 1 ，
g u4 r uo4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 sh i4 x ian2 d e0 ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 x ian4 ， z e2 zh e4 t iao2 zh i2 x ian4 j ing1 g uo4 üan2 x in1 q ie3 p ing2 f en1 x ian2 s uo3 d uei4 d e0 h u2 .
q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 f ang1 ch eng2 d eng3 j ia4 ü2 （ ）
z e2 m 2 1 ， 2 m c 2 ， c 2 n ， j ie3 d e2 m 1 ， c 1 ， n 1 ， h uo4 m 1 ， c 1 ， n 1 ，
zh i2 x ian4 A B d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 1 x 2 ， j i2 x y 3 0 .
j ie2 h e2 er4 x iang4 sh i4 d ing4 l i3 ，
zh eng4 m ing2 ： A O p ing2 f en1 B A C ，
3 a 9 b 3 a 3 2 b 2 2 2 1 8 . （ d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a 2 b 2 sh i2 q ü3 “ ” ） .
zh i2 x ian4 l ü3 üan2 O d e0 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 1 ） ，
j ie3 ： j iang1 x c o s ， y s i n d ai4 r u4 x y 0 ， d e2 c o s s i n 0 ，
s uo3 i3 E sh i4 C 1 G d e0 zh ong1 d ian3 .
r u2 g uo3 sh uei3 uei4 sh eng1 g ao1 3 m sh i2 sh uei3 uei4 b ian4 h ua4 j i4 z uo4 3 m ， n a4 m e0 sh uei3 uei4 x ia4 j iang4 3 m sh i2 ， sh uei3 uei4 b ian4 h ua4 j i4 z uo4 m ， sh uei3 uei4 b u4 sh eng1 b u4 j iang4 sh i2 sh uei3 uei4 b ian4 h ua4 j i4 z uo4 m .
d a2 an4 ： iou3 x ian4 ； u2 x ian4 x ün2 h uan2 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， zh i2 x ian4 l 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， zh i2 x ian4 l 2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ m uei4 c an1 sh u4 ） . sh e4 l 1 ü3 l 2 d e0 j iao1 d ian3 uei4 P ， d ang1 k b ian4 h ua4 sh i2 ， P d e0 g uei3 j i4 uei4 q ü1 x ian4 C .
h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 d e2 ： 2 2 c o s 4 s i n 0 ， j i2 ： 2 2 c o s 4 s i n ，
C . p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， q sh i4 zh en1 m ing4 t i2
r u2 t u2 ， z ai4 p ing2 m ian4 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， A B B C ， B 9 0 ， B C D 1 3 5 . ian2 d uei4 j iao3 x ian4 A C j iang1 s i4 b ian1 x ing2 zh e2 ch eng2 zh i2 er4 m ian4 j iao3 ， r u2 t u2 . q iou2 zh eng4 ： p ing2 m ian4 A B D p ing2 m ian4 B C D .
iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ： A 8 ， B 1 0 ， T 1 2 ， s uo3 i3 ， j i2 f ( t ) 8 s i n ( t ) 1 0 ，
r u2 t u2 ， t u2 f en1 b ie2 sh i4 t u2 zh ong1 sh i2 u4 d e0 zh u3 sh i4 t u2 h e2 f u3 sh i4 t u2 ， p an4 d uan4 q i2 sh i4 f ou3 zh eng4 q üe4 . r u2 g uo3 b u4 zh eng4 q üe4 ， q ing3 zh ao3 ch u1 c uo4 u4 b ing4 g ai3 zh eng4 ， r an2 h ou4 f en1 b ie2 h ua4 ch u1 t a1 m en0 d e0 z uo3 sh i4 t u2 .
j ie3 d e2 ： x 1 0 h uo4 x 1 2 （ sh e3 q ü4 ） ，
l ing4 y 0 ， k e3 d e2 a ( 1 c o s t ) 0 ，
D . t ong2 uei4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2
j iang1 i1 g en1 zh ang3 uei4 a d e0 t ie3 s i1 s uei2 i4 j ie2 ch eng2 s an1 d uan4 ， g ou4 ch eng2 i2 g e4 s an1 j iao3 x ing2 ， c i3 sh i4 j ian4 sh i4 （ ）
zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 üan2 2 c o s d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
f ang1 sh i4 er4 ： x ian1 s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 1 j ian4 ， f ang4 h uei2 h ou4 z ai4 s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 1 j ian4 ；
d uei4 S zh ong1 sh eng4 x ia4 d e0 3 g e4 üan2 s u4 ， m ei3 g e4 üan2 s u4 iou3 4 zh ong3 f en1 p ei4 f ang1 sh i4 ，
j ie3 ： g en1 j ü4 k e1 x i1 b u4 d eng3 sh i4 k e3 zh i1 ： [ ( 2 a ) 2 b 2 ( c ) 2 ] [ 1 2 1 2 ( ) 2 ] ( 2 a b c ) 2 ，
A . üan2 zh uei1 t i3 j i1 i2 d ing4 ， d i3 m ian4 j i1 h e2 g ao1
f ( x ) z ai4 （ ， 1 ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 .
s uo3 i3 d ang1 a 1 h uo4 a 3 sh i2 ， h an2 sh u4 y d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x } ，
in1 uei4 3 ( ) 3 ( 3 ) 9 ， s uo3 i3 D zh eng4 q üe4 .
【 t i2 sh i4 】 『 l i4 x i1 b en3 j in1 n ian2 l i4 l ü4 c uen2 k uan3 n ian2 x ian4 ， b en3 t i2 zh ong1 ， c uen2 k uan3 n ian2 x ian4 sh i4 『 2 』 n ian2 。 』
h ong2 h ua1 d e0 d uo3 sh u4 b i3 h uang2 h ua1 d uo1 ， h ong2 h ua1 d uo3 sh u4 : h uang2 h ua1 d uo3 sh u4 （ ） : （ ） ， h uang2 h ua1 b i3 h ong2 h ua1 sh ao3 （ ） 。
zh i4 sh ao3 x ü1 iao4 5 g e4 zh ang3 t ing2 ， c ai2 n eng2 b u4 k uei1 s uen3 .
a ü3 n ei4 d e0 r en4 h e2 zh i2 x ian4 d ou1 b u4 p ing2 x ing2 ；
sh e4 zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 ， t a n ， s i n ， c o s ，
j i2 r en4 h e2 i2 g e4 sh i2 sh u4 z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 d ou1 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i2 g e4 d ian3 ü3 t a1 d uei4 ing4 .
j ie3 ： üan2 b u4 d eng3 sh i4 b ian4 x ing2 uei4 2 0 ，
sh e4 p ing2 m ian4 D 1 E C d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ a ， b ， c ） ， （ 0 ， 2 2 ） ， （ 1 ， 1 ， 0 ） ，
3 8 6 2 4 0 2 6 8 ， g u4 b u4 n eng2 。
g u4 m an3 z u2 t i2 i4 d e0 x 、 y zh i2 uei4
s uo3 i3 p ai2 ch u2 x üan3 x iang4 A 、 B 、 C ， d e2 ch u1 D zh eng4 q üe4 .
g en1 j ü4 p ing2 x ing2 x ian4 d e0 x ing4 zh i4 ， d e2 d ao4 1 2 5 0
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
s uo3 i3 8 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x 1 0 sh i2 q ü3 “ ” ，
d uei4 ü2 C ， g en1 j ü4 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 ch uan2 d i4 x ing4 ， d ang1 ， sh i2 ， iou3 ， s uo3 i3 C m an3 z u2 t i2 i4 .
d ian3 M d ao4 O B d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 M d ao4 O A d e0 j ü4 l i2 ，
j ie3 ： （ 1 ） i1 t i2 i4 ， d ang1 b ao3 h u4 zh ao4 t i3 j i1 d eng3 ü2 V sh i2 ， b ao3 x ian3 f ei4 iong4 uei4 （ q i2 zh ong1 k uei4 b i3 l i4 x i4 sh u4 ， k 0 ） ，
g u4 d a2 an4 ： 2 2 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) ， zh eng4 m ing2 ： h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 ( 1 ， ) sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 d ao4 x zh ou2 j ü4 l i2 uei4 3 d e0 d ian3 k e3 n eng2 z ai4 x zh ou2 d e0 sh ang4 f ang1 h uo4 x ia4 f ang1 ， g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 iou3 『 2 』 g e4 . 』
（ 2 ） m ei3 d ai4 h ua4 f ei2 d e0 zh i4 l iang4 h ua4 f ei2 d e0 z ong3 zh i4 l iang4 d ai4 sh u4 ， s uo3 i3 h ua4 f ei2 d e0 z ong3 zh i4 l iang4 h e2 d ai4 sh u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 ；
iou3 s an1 g e4 d a4 x iao3 i1 iang4 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh ang3 d ou1 sh i4 6 f en1 m i3 ， k uan1 d ou1 sh i4 2 f en1 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 y A s i n （ x ） c an1 sh u4 d e0 u4 l i3 i4 i4 』
p sh i4 q d e0 j i4 b u4 ch ong1 f en4 ， ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
z ai4 A B C zh ong1 ， j iao3 A ， B ， C s uo3 d uei4 d e0 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 sh i4 a 、 b 、 c ， r uo4 a c o s 2 B b s i n A s i n B b ， z e2 d e0 zh i2 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
z ai4 h ua4 zh i2 g uan1 t u2 sh i2 ， iou2 ü2 x üan3 zh ou2 d e0 b u4 t ong2 ， s uo3 d e0 d e0 zh i2 g uan1 t u2 k e3 n eng2 b u4 t ong2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j in4 s i4 sh u4 d e0 ing4 iong4 （ x iao3 sh u4 ） 』
（ 1 ） sh ou1 r u4 2 5 0 0 üan2 ， （ ） 8 0 0 üan2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ie2 er4 c e4 f a3 h ua4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 』
q ü3 y 0 2 ， z e2 z 0 1 ， z e2 p ing2 m ian4 A E F d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ 0 ， 2 ， 1 ） .
B . q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 d uei4 ing4 j iao3 x iang1 d eng3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n i4 b ian4 h uan4 ü3 n i4 j ü3 zh en4 』
z ai4 C zh ong1 ， in1 uei4 [ x ] uei4 b u4 d a4 ü2 x d e0 z uei4 d a4 zh eng3 sh u4 ， f ( x ) x [ x ] ，
r u2 t u2 ， d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 1 ， g ao1 uei4 2 d e0 üan2 zh u4 ， z ai4 A d ian3 iou3 i1 zh i1 m a3 i3 ， x ian4 z ai4 zh e4 zh i3 m a3 i3 iao4 uei2 r ao4 üan2 zh u4 iou2 A d ian3 p a2 d ao4 B d ian3 ， q iou2 m a3 i3 p a2 x ing2 d e0 z uei4 d uan3 j ü4 l i2 .
j ie3 ： （ 1 ） r uo4 a 0 ， b 0 ， z e2 a b | a | | b | ；
（ 3 ） x iang1 d eng3 d e0 j iao3 sh i4 d uei4 d ing3 j iao3 .
（ 1 ） q iou2 ch ang2 sh u4 a d e0 zh i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh e2 k ou4 uen4 t i2 ( ao4 sh u4 ) 』
j i4 s uan4 ( 1 ) ( 5 ) d e0 j ie2 g uo3 sh i4 （ ）
iou4 in1 uei4 x y ( x y ) y z ( y z ) z x ( z x ) x 2 ( y z ) y 2 ( x z ) z 2 ( x y ) ，
p ing2 m ian4 A B C p ing2 m ian4 A C D .
3 p ing2 f ang1 m i3 （ ） p ing2 f ang1 f en1 m i3 4 0 0 p ing2 f ang1 l i2 m i3 （ ） p ing2 f ang1 f en1 m i3
z e2 k e3 h ua4 ch u1 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 ：
i1 d ao4 zh i4 üan2 zh uei1 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 uei4 1 0 c m ， d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 6 c m .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 d e0 d ing4 i4 』
iao4 r ang4 9 5 6 0 4 0 5 x ian1 s uan4 j ian3 f a3 ， b i4 x ü1 j iang1 s uan4 sh i4 g ai3 uei2 （ ） 。
b ian4 h ua4 h ou4 üan2 zh u4 c e4 m ian4 j i1 2 2 r h 4 r h ，
（ 2 ） r uo4 c uen2 z ai4 n 2 0 1 5 ， sh i3 f ( n ) j ü4 iou3 x ing4 zh i4 P ， q iou2 n d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
z e2 d ian3 A d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d ，
1 5 7 0 l i4 f ang1 l i2 m i3 1 5 7 0 h ao2 sh eng1
r u2 t u2 g uo4 S z uo4 S O p ing2 m ian4 A B C ， ch uei2 z u2 uei4 O ， z e2 B C S O .
i3 zh i1 f u2 h ao4 h an2 sh u4 s g n x f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， g ( x ) f ( x ) f ( a x ) （ a 1 ） ， z e2
A O B sh i4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ，
x iang4 d ong1 x ing2 sh i3 3 k m ， j i4 z uo4 3 k m ， x iang4 x i1 x ing2 sh i3 2 k m ， j i4 z uo4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 （ 0 ， 3 ） d ao4 zh i2 x ian4 k x y 3 k 0 d e0 j ü4 l i2 『 x iao3 』 ü2 üan2 d e0 b an4 j ing4 . 』
in1 uei4 d ian3 O sh i4 üan2 x 2 y 2 1 sh ang4 d e0 d ian3 ， z e2 sh e4 d ian3 Q d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ c o s ， s i n ） （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 ） ， M （ x ， y ） ，
b a3 y 0 d ai4 r u4 ， d e2 c o s 1 ，
C . in1 uei4 ( 2 ) 2 4 0 ， s uo3 i3 ( 2 ) 2 iou3 p ing2 f ang1 g en1 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
g u4 d a2 an4 uei4 .
g en1 j ü4 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 ， r uo4 l ü3 p ing2 m ian4 n ei4 r en4 i4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ， z e2 zh i2 x ian4 l p ing2 m ian4 .
d a2 ： sh eng4 x ia4 b u4 f en4 d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 7 2 f en1 m i3 。
iong4 sh i4 d ang4 f ang1 f a3 j ie3 x ia4 l ie4 f ang1 ch eng2 ：
s uo3 i3 S c e4 2 S d i3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ian4 r en4 f ang1 x iang4 』
g u4 b u4 d eng3 sh i4 z u3 d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ 1 ， ） （ 2 ， 3 ） .
d ang1 s i n ( ) 1 sh i2 ， | P A | q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 ， z uei4 d a4 zh i2 uei4 ；
d ang1 sh i2 ， k e3 i3 q ü3 2 ，
j iang1 d ian3 Q z uo4 b iao1 d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 x 2 ( y 1 ) 2 1 0 d e0 z uo3 b ian1 ， k e3 d e2
g u4 A 、 B 、 D ch eng2 l i4 ， C b u4 i2 d ing4 ch eng2 l i4 .
l n ( x 1 ) l n 1 0 ， g u4 m ing4 t i2 p uei4 zh en1 m ing4 t i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r u2 g uo3 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 d ou1 ü3 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n a4 m e0 zh e4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ie3 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 』
A . l ian2 j ie2 A B b ing4 ian2 ch ang2 zh i4 d ian3 C
c ao1 ch ang3 d e0 sh i2 j i4 k uan1 ： 4 4 0 0 0 （ c m ） 4 0 （ m ）
s uo3 i3 zh i2 x ian4 l d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 4 y ( a 4 ) 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 j ü4 d e0 zh eng3 l i3 h e2 b iao3 sh i4 』
in1 uei4 h an2 sh u4 y 2 x 1 d e0 d ing4 i4 ü4 b u2 sh i4 l ian2 x ü4 d e0 ， s uo3 i3 q i2 t u2 x iang4 zh i3 n eng2 sh i4 zh i2 x ian4 sh ang4 i1 x ie1 g u1 l i4 d e0 d ian3 ， g u4 c uo4 u4 ；
x ie2 er4 c e4 f a3 h ua4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d uo1 uei4 sh u4 d e0 iou3 ü2 sh u4 ch u2 f a3 』
d ai4 r u4 x iao1 q ü4 c an1 sh u4 t ， d e2 y 1 ( x 3 ) ，
m ei3 t ian1 sh ao1 m ei2 l iang4 s uo3 sh ao1 d e0 t ian1 sh u4 sh ao1 m ei2 d e0 z ong3 l iang4 （ i2 d ing4 ） ， sh i4 t a1 m en0 d e0 ch eng2 j i1 i2 d ing4 ， s uo3 i3 sh ao1 m ei2 d e0 z ong3 l iang4 i2 d ing4 ， m ei3 t ian1 sh ao1 m ei2 l iang4 h e2 s uo3 sh ao1 d e0 t ian1 sh u4 ch eng2 f an3 b i3 l i4 ；
B . b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 p an4 d ing4 ( S A S ) 』
j ie3 ： ing1 uei4 [ 0 ， 9 0 ] ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
d ian3 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） ，
h an2 sh u4 y s i n ( x ) z ai4 x sh i2 q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 ，
d uei4 ü2 B ， ， g u4 b u2 sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 ；
q i2 zh ong1 sh i4 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 d e0 uei4 ， sh i4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 d e0 uei4 .
iou4 in1 uei4 h ( 1 ) l o g 2 1 0 ， h ( 2 ) l o g 2 2 1 0 ，
f ( x ) 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ 0 ， 1 ） .
sh e4 d ian3 C 1 d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ r ， ， ） ， q i2 zh ong1 r 0 ， 0 ， 0 2 ，
iou2 zh i2 x ian4 l sh i4 üan2 C d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 ， zh i1 zh i2 x ian4 l ： x a y 1 0 g uo4 d ian3 C （ 2 ， 1 ） ， g u4 iou3 2 a 1 1 0 ，
uang2 l ao3 sh i1 zh uen3 b ei4 m ai3 i1 t ai2 5 5 0 0 üan2 d e0 ie4 j ing1 d ian4 sh i4 j i1 。 s an1 n ian2 q ian2 t a1 c uen2 r u4 in2 h ang2 5 0 0 0 üan2 ， c uen2 q i1 3 n ian2 ， n ian2 l i4 l ü4 uei4 4 . 6 5 。 zh e4 b i3 q ian2 l ian2 b en3 d ai4 x i1 iou3 d uo1 sh ao3 üan2 ？ m ai3 zh e4 t ai2 d ian4 sh i4 j i1 g ou4 m a0 ？
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
iou2 zh i2 x ian4 ü3 üan2 x iang1 q ie4 zh i1 ，
d uei4 ü2 C ， in1 uei4 y | x | 0 ， z e2 x 2 y 2 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
g en1 j ü4 sh ang4 sh u4 k e3 zh i1 ， p ao1 u4 x ian4 k ai1 k ou3 x iang4 x ia4 ， ü3 x zh ou2 iou3 l iang3 g e4 j iao1 d ian3 ， d ing3 d ian3 z ai4 x zh ou2 d e0 sh ang4 f ang1 .
j ie3 ： j iang1 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ， d e2
iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 zh eng4 l iou4 l eng2 zh u4 （ d i3 m ian4 sh i4 zh eng4 l iou4 b ian1 x ing2 ， c e4 l eng2 ch uei2 zh i2 ü2 d i3 m ian4 ） d e0 zh i2 g uan1 t u2 .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ( t uei4 c an1 sh u4 ) ， q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 ， i3 j i2 d ian3 uei4 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 zh eng4 f ang1 x iang4 j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， d ian3 M （ 1 ， 0 ） ， zh i2 x ian4 l ü3 q ü1 x ian4 C j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 .
j ie3 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） zh ong1 ， 3 4 ， d e2
l ian2 j ie1 R Q ü3 A 1 D 1 ，
in1 uei4 h an2 sh u4 y a x b d e0 f an3 h an2 sh u4 y x j iou4 sh i4 h an2 sh u4 y a x b b en3 sh en1 ，
q ü1 x ian4 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 1 .
C N B M （ b u4 zh eng4 q üe4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 zh i1 A B C s an1 g e4 d ing3 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 A （ 2 ， ） ， B （ 2 ， ） ， C （ 2 ， ） .
（ 2 ） d ang1 sh uei3 m ian4 x ia4 j iang4 1 m sh i2 ， z e2 sh uei3 m ian4 d e0 k uan1 d u4 uei4 d uo1 sh ao3 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 u3 x in1 』
j ia3 sh e4 m k （ k N * ） sh i2 ， b k ， i a i j C ， q i2 zh ong1 i 1 ， 2 ， 3 ， … … ， n ，
in1 uei4 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 6 ) 2 y 2 2 5 ，
d a2 ： x iao3 l i3 d e0 c ai3 d ai4 zh ang3 0 . 9 m i3 。
l ian2 l i4 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 x 2 x 2 0 ，
j iang1 a 1 ， b 3 d ai4 r u4 ， d e2
sh e4 a ， b R ， z e2 “ a b ” sh i4 “ | a | | b | ” d e0 （ ）
j ie3 ： iou2 zh u4 z uo4 b iao1 k e3 zh i1 ， 2 ， ， z 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 j ie2 h e2 l ü4 』
（ 2 ） l ian2 l i4 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 ü3 t uo3 üan2 f ang1 ch eng2 d e2 x iao1 q ü4 y d e2 ( x 1 ) 2 1 ， h ua4 j ian3 k e3 d e2 5 x 2 8 x 0 ， j ie3 d e2 x 1 0 ， x 2 ，
üan2 x in1 （ 1 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 x y a 0 d e0 j ü4 l i2 uei4 b an4 j ing4 1 ，
r u2 t u2 ， A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 uei4 zh eng4 f ang1 t i3 ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
h ua4 j ian3 d e0 j ie2 g uo3 sh i4 （ ）
j ie3 ： r uo4 4 c m sh i4 iao1 ， z e2 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 b ian1 sh i4 4 c m 、 4 c m 、 2 c m ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
b o2 u4 g uan3 x ü1 iao4 z ai4 i1 zh ong3 u2 s e4 b o1 l i2 d e0 m i4 f eng1 b ao3 h u4 zh ao4 n ei4 ch ong1 r u4 b ao3 h u4 q i4 t i3 . j ia3 sh e4 b o2 u4 g uan3 x ü1 iao4 zh i1 f u4 d e0 z ong3 f ei4 iong4 iou2 l iang3 b u4 f en4 z u3 ch eng2 ： zh ao4 n ei4 g ai1 zh ong3 q i4 t i3 d e0 t i3 j i1 b i3 b ao3 h u4 zh ao4 d e0 r ong2 j i1 sh ao3 0 . 5 l i4 f ang1 m i3 ，
1 5 0 0 0 0 0 0 0 q ian1 m i3 1 . 5 1 0 8 q ian1 m i3 .
üan2 zh u4 、 üan2 zh uei1 、 üan2 t ai2 h e2 q iou2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4
d ang1 n k 2 （ k uei4 ou3 sh u4 sh i2 ）
p an4 d uan4 x ia4 l ie4 ü3 j ü4 zh ong1 n ei3 x ie1 sh i4 m ing4 t i2 ？ n ei3 x ie1 b u2 sh i4 m ing4 t i2 ？
z e2 p ai2 l ie4 2 3 1 d e0 n i4 x ü4 sh u4 uei4 2 . j i4 f n ( k ) uei4 1 ，
g u4 d a2 an4 uei4 2 .
r u2 t u2 ， r uo4 A C B A E D ， q ie3 B 3 5 ， C 4 8 ， z e2 E A D .
（ 3 ） zh i4 sh ao3 iou3 1 m ing2 n an2 sh eng1 h e2 q üan2 sh i4 n an2 sh eng1 ；
4 1 6 ， g u4 c uo4 u4 ；
iou4 iou2 f ( t ) 3 ， j i2 l o g 2 t t 3 ， j ie3 d e2 ， t 2 ；
B . 2 x 3 ( x 2 ) 2 x 5 ， j i4 s uan4 zh eng4 q üe4 ， f u2 h e2 t i2 i4 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
z e2 q i2 d uei4 ing4 d ian3 P （ x ， y ） ， q ie3 m an3 z u2 ，
（ 1 ） h ua4 ch u1 t a1 d e0 zh i2 g uan1 t u2 （ b u2 iao4 q iou2 x ie3 h ua4 f a3 ） ；
j ie3 ： sh e4 d ian3 M d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， z ） ， z e2
（ 1 ） q iou2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 b iao3 d a2 sh i4 ， b ing4 q iou2 q i2 d ing4 i4 ü4 ；
z e2 iou3 ， j i2
g u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( x ) （ 0 ， R ） sh i4 ou3 h an2 sh u4 ，
h an2 sh u4 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 2 ， 3 ） （ 3 ， ） .
k e3 d e2 a 1 ， b 3 ， s uo3 i3 c i3 sh i2 A B C d e0 m ian4 j i1 uei4 .
A . x y 2 sh i4 d an1 x iang4 sh i4
g u4 x 2 y 2 z 2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
j ie3 ： （ 1 ） d ang1 n 2 sh i2 ， M { 0 } ， { 1 } ， { 2 } ， { 0 ， 2 } ， { 0 ， 1 ， 2 } j ü4 iou3 x ing4 zh i4 P ，
B . zh eng4 f ang1 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 z ong3 sh i4 s an1 g e4 q üan2 d eng3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2
k e3 j iang1 zh i3 sh u4 h an2 sh u4 f ( x ) a x （ a 0 ，
l iou4 k e1 b an4 j ing4 uei4 d e0 sh i2 x in1 q iou2 x ing2 q iao3 k e4 l i4 ， r ong2 h ua4 （ b u4 j i4 s uen3 sh i1 ） z uo4 ch eng2 i2 g e4 üan2 zh uei1 x ing2 sh i2 x in1 q iao3 k e4 l i4 ， q ie3 üan2 zh uei1 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 uei4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ， z e2 üan2 zh uei1 x ing2 sh i2 x in1 q iao3 k e4 l i4 d e0 g ao1 uei4 .
iou2 g en1 ü3 x i4 sh u4 d e0 g uan1 x i4 ， d e2 t 1 t 2 ， t 1 t 2 .
üan2 C d e0 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d ，
z i4 r an2 sh u4 d e0 j ia1 f a3 sh i4 i2 g e4 d ai4 sh u4 ün4 s uan4 ， j ia1 f a3 m an3 z u2 j ie2 h e2 l ü4 （ 1 ） 、 （ 2 ） iou3 d an1 uei4 üan2 0 、 d an4 b u4 m an3 z u2 sh i3 a b 0 ， g u4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 ；
iou4 in1 uei4 p ing2 m ian4 A B C D A B E F ， p ing2 m ian4 A B C D p ing2 m ian4 A B E F A B ， A C p ing2 m ian4 A B C D ，
iou2 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 k e3 d e2 .
【 t i2 sh i4 】 『 x ie2 er4 c e4 h ua4 zh i2 g uan1 t u2 sh i2 ， x ü3 y s uo3 j ia1 d e0 r uei4 j iao3 uei4 4 5 ， b iao3 sh i4 üan2 t u2 zh ong1 x 、 y h u4 x iang1 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
x üan3 x iang4 A zh ong1 d e0 f ang1 ch eng2 zh eng3 l i3 uei4 ： ( 1 c ) x 1 0 ， b u2 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch u2 f a3 』
j i2 a x z ai4 x [ 1 ， 5 ] sh ang4 ch eng2 l i4 .
j ie3 ： d ang1 x （ ， 1 ] sh i2 f ( x ) l g iou3 i4 i4 ， d eng3 j ia4 ü2 1 2 x 4 x a 0 z ai4 x （ ， 1 ] sh ang4 h eng2 ch eng2 l i4 ，
z ai4 p ao1 u4 x ian4 C 1 ： y x 2 4 x zh ong1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
（ 2 ） iou2 ü2 p in2 l ü4 d ou1 z ai4 0 . 9 z uo3 iou4 b ai3 d ong4 ， g u4 f a1 ia2 d e0 g ai4 l ü4 üe1 sh i4 0 . 9 .
iou2 t i2 zh i1 ， ü3 b u4 g ong4 x ian4 ，
D zh ong1 ， iou2 c o s s i n ， d e2 x 2 y 2 x y （ 0 x ） .
in1 uei4 A 1 B 1 C 1 sh i4 A B C t ou2 ing3 d e2 d ao4 ，
D . m ei2 iou3 t iao2 j ian4
iou2 zh i2 x ian4 ü3 t uo3 üan2 x iang1 q ie4 ， k e3 d e2 3 6 t 2 1 6 ( 3 t 2 3 ) 0 ， j ie3 d e2 t 2 ，
A B p ing2 m ian4 B 1 B C C 1 ， C F p ing2 m ian4 B 1 B C C 1 ，
2 . 4 3 d u2 z uo4 er4 d ian3 s i4 s an1 ； l ing2 d ian3 b a1 i1 x ie3 z uo4 0 . 8 1 。
h an2 sh u4 y s i n 2 x s i n x 1 d e0 zh i2 ü4 uei4 .
f ang4 r u4 d e0 zh e4 k uai4 sh i2 t ou0 d e0 t i3 j i1 uei4 3 0 d m 3 。
iou2 g ai4 l ü4 g ong1 sh i4 d e2 d ao4 h ou4 ch e1 sh i2 j ian1 b u4 ch ao1 g uo4 3 f en1 zh ong1 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
x üe2 x iao4 d e0 d uo1 m ei2 t i3 j iao4 sh i4 iao4 zh uang1 x iou1 l e0 。
d uei4 ü2 ， l i4 iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 zh i2 g uan1 t u2 ， zh i2 j iao3 k e3 i3 b ian4 uei4 4 5 h uo4 1 3 5 ， g u4 c uo4 u4 ；
j ie2 l uen4 sh i4 “ zh e4 g e4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 j i4 h u4 x iang1 p ing2 f en1 ， ie3 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 ” .
（ 1 ） x iao3 m ing2 h e2 x iao3 l an2 g e4 uan2 ch eng2 r en4 u4 d e0 i2 b an4 ， x iao3 m ing2 iong4 1 0 x iao3 sh i2 ， x iao3 l an2 iao4 iong4 d uo1 sh ao3 x iao3 sh i2 ？
d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) d e0 q ü3 zh i2 uei4 f u4 zh i2 ， z uei4 x iao3 zh i2 b u2 sh i4 4 ， g u4 m ing4 t i2 q sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， z e2 q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
（ 2 ） h ua1 üan2 z ai4 t i3 ü4 g uan3 b ei3 p ian1 x i1 4 5 f ang1 x iang4 1 2 0 0 m ch u4 ， q ing3 z ai4 t u2 zh ong4 b iao1 ch u1 t a1 d e0 uei4 zh i4 .
（ 1 ） d ian3 A g uan1 ü2 j i2 zh ou2 d uei4 ch en4 d e0 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ 3 ， ） ；
（ 2 ） B E D F ， l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
j ie3 ： in1 uei4 1 0 x 1 5 sh i2 ， y 4 ，
j ie3 ： “ q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 x iang1 d eng3 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 ： “ b u4 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 b u4 x iang1 d eng3 ” ， iou2 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 g ong1 sh i4 k e3 zh i1 d ang1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 d i3 b ian1 ü3 g ao1 d e0 ch eng2 j i1 x iang1 d eng3 sh i2 ， m ian4 j i1 x iang1 d eng3 ， g u4 uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
iong4 j i4 s uan4 q i4 q iou2 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 d e0 l i4 f ang1 g en1 ： （ j ing1 q üe4 d ao4 0 . 0 1 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh i2 、 f en1 、 m iao3 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
m ing4 t i2 “ r uo4 a b ， z e2 a 1 b 1 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 .
j ie3 ： A . zh ou1 q i1 h an2 sh u4 d e0 h e2 sh i4 zh ou1 q i1 h an2 sh u4 m a0 ？ sh i4 i2 uen4 j ü4 ， g u4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 ；
M uei4 p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 ü3 p ing2 m ian4 A B 1 D 1 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r en2 m in2 b i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
【 t i2 sh i4 】 『 ( 3 0 0 2 0 4 ) 6 ， x ian1 j i4 s uan4 『 j ia1 』 f a3 ， z ai4 j i4 s uan4 『 ch u2 』 f a3 。 』
f en1 x i1 x ia4 l ie4 q ü1 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 ü3 x iang1 ing4 f ang1 ch eng2 d e0 g uan1 x i4 ：
5 2 5 5 d e0 sh ang1 sh i4 （ ） uei4 sh u4 ； 4 2 1 6 d e0 sh ang1 sh i4 （ ） uei4 sh u4 。
D . iou2 A B E F ， C D G H ， d e2 b u2 d ao4 E F G H ， g u4 c uo4 u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g u1 s uan4 u2 l i3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 』
【 t i2 sh i4 】 『 l iang3 f ei1 l ing2 x iang4 l iang4 ch uei2 zh i2 ， z e2 q i2 sh u4 l iang4 j i1 ( t ) uei4 『 0 』 . 』
i3 zh i1 t uo3 üan2 C ： 9 x 2 y 2 m 2 （ m 0 ） ， zh i2 x ian4 l b u4 g uo4 üan2 d ian3 O q ie3 b u4 p ing2 x ing2 ü2 z uo4 b iao1 zh ou2 ， l ü3 C iou3 l iang3 g e4 j iao1 d ian3 A ， B ， x ian4 d uan4 A B d e0 zh ong1 d ian3 uei4 M .
s uo3 i3 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 d e0 g e4 sh u4 uei4 2 .
x ia4 l ie4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 x 2 y 0 b iao3 sh i4 t ong2 i1 q ü1 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
s uo3 i3 M [ ] [ ] [ ] ， j i2 ，
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
r uo4 a b ， z e2 ， zh eng4 q üe4 ；
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ：
（ 2 ） x ing2 sh u4 i2 d ing4 ， m ei3 x ing2 r en2 sh u4 ü3 z ong3 r en2 sh u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 ， g u4 c uo4 u4 。
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
l ing4 uei4 m ian4 A B B A ， uei4 m ian4 D E E D ， uei4 m ian4 A B C D E F ， z e2 m an3 z u2 ， ，
d ang1 1 sh i2 ， S A O B d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 ；
j ia3 、 i3 l iang3 r en2 z ou3 t ong2 iang4 i1 d uan4 l u4 。 i3 zh i1 t a1 m en0 d e0 s u4 d u4 b i3 sh i4 : ， n a4 m e0 j ia3 ü3 i3 z ou3 uan2 zh e4 d uan4 l u4 s uo3 x ü1 d e0 sh i2 j ian1 b i3 sh i4 （ ） 。
d ang1 x 1 sh i2 iou3 z uei4 x iao3 zh i2 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
üan2 C d e0 üan2 x in1 uei4 C （ 0 ， 2 ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 x ing2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 k e3 n eng2 『 p ing2 x ing2 』 ， ie3 k e3 n eng2 x iang1 j iao1 . 』
s uo3 i3 p j ia3 q zh en1 ， g u4 p h uo4 q uei4 zh en1 ； p q ie3 q uei4 j ia3 ； f ei1 p uei4 zh en1 ； f ei1 q uei4 j ia3 .
（ 2 ） iou2 （ 1 ） k e3 zh i1 O D .
b ei4 ch u2 sh u4 i2 d ing4 ， ch u2 sh u4 ü3 sh ang1 ch eng2 （ ） b i3 l i4 。
j iang1 h an2 sh u4 f ( x ) s i n 2 x d e0 t u2 x iang4 x iang4 iou4 p ing2 i2 （ 0 ） g e4 d an1 uei4 h ou4 d e2 d ao4 h an2 sh u4 g ( x ) d e0 t u2 x iang4 ， r uo4 d uei4 m an3 z u2 | f ( x 1 ) g ( x 2 ) | 2 d e0 x 1 ， x 2 iou3 | x 1 x 2 | m i n ， z e2 .
g u4 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 ( ， 1 ] .
5 g e4 t ong2 x üe2 j ian4 m ian4 h ou4 iao4 uo4 sh ou3 。
（ 1 ） x ie3 ch u1 C 1 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 h e2 C 2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 zh ong1 ， uei4 ü2 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 d e0 d ian3 M （ 4 ， 4 ） z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 d e0 d uei4 ing4 d ian3 sh i4 M ， z e2 d ian3 M d e0 z uo4 b iao1 uei4 ， d ian3 M d e0 zh ao3 f a3 sh i4 .
r uo4 h an2 sh u4 y a x 2 x 1 z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
d uei4 ü2 C ， zh i3 iou3 l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 sh i2 s uo3 d e0 d ao4 d e0 t ong2 uei4 j iao3 c ai2 x iang1 d eng3 ， g u4 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ；
（ 1 ） in1 uei4 E sh i4 B C b ian1 d e0 zh ong1 d ian3 ， F sh i4 C D b ian1 sh ang4 k ao4 j in4 d ian3 C d e0 s i4 d eng3 f en1 d ian3 ，
D . g ai1 zh i2 x ian4 sh ang4 zh i4 d uo1 iou3 i2 g e4 d ian3 z ai4 p ing2 m ian4 n ei4
x üan3 x iang4 B zh ong1 d e0 f ang1 ch eng2 zh eng3 l i3 uei4 ： 2 x 0 ， b u2 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ；
B . b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
sh uang1 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 ， d ang1 sh i2 d uei4 ing4 d e0 d ian3 uei4 P ， O uei4 üan2 d ian3 ， z e2 O P d e0 x ie2 l ü4 uei4 （ ）
d a2 ： x iao3 l an2 iao4 iong4 1 2 . 5 x iao3 sh i2 。
A . d i4 i1 x iang4 x ian4
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， r uo4 a b ， g uo4 a sh ang4 i4 d ian3 P z ai4 n ei4 z uo4 a l ，
【 t i2 sh i4 】 『 k e3 n eng2 d e0 ü2 sh u4 iou3 1 、 2 、 3 、 4 ， z e2 ch u2 sh u4 ing1 g ai1 b i3 z uei4 d a4 d e0 ü2 sh u4 d uo1 『 1 』 。 』
m ing4 t i2 p ： g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 x 2 2 a x 4 0 d uei4 i1 q ie4 x R h eng2 ch eng2 l i4 ； m ing4 t i2 q ： h an2 sh u4 y ( 5 2 a ) x sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， r uo4 p q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 .
i3 zh i1 d ing4 i4 z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ] sh ang4 d e0 h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 ， d ang1 x sh i2 ， f ( x ) c o s x ， r u2 g uo3 g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 f ( x ) a iou3 j ie3 ， j i4 s uo3 iou3 d e0 j ie3 d e0 h e2 uei4 S ， z e2 S b u4 k e3 n eng2 uei4 （ ）
2 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 ， s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 ， l i4 f ang1 g en1 sh i4 .
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， d uei4 j iao3 x ian4 A 1 C ü3 p ing2 m ian4 B D C 1 j iao1 ü2 d ian3 O ， A C ， B D j iao1 ü2 d ian3 M ， E uei4 A B d e0 zh ong1 d ian3 ， F uei4 A A 1 d e0 zh ong1 d ian3 . q iou2 zh eng4 ：
s an1 g e4 sh u4 d e0 p ing2 j ün1 sh u4 sh i4 3 0 ， s an1 g e4 sh u4 d e0 b i3 sh i4 2 : 3 : 4 。 zh e4 s an1 g e4 sh u4 f en1 b ie2 sh i4 （ ） 、 （ ） 、 （ ） 。
j ie3 ： m ing4 t i2 “ r uo4 a b b u4 uei4 l ing2 ， z e2 a ， b d ou1 b u4 uei4 l ing2 ” d e0 t iao2 j ian4 sh i4 ： a b b u4 uei4 l ing2 ， j ie2 l uen4 sh i4 ： a ， b d ou1 b u4 uei4 l ing2 .
x 2 h e2 x f en1 b ie2 d uei4 ing4 l iang3 g e4 f eng1 zh i2 ，
s uo3 i3 c e4 sh i4 t u2 uei4 D x üan3 x iang4 zh ong1 d e0 t u2 x ing2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g e2 d ian3 m ian4 j i1 （ b i4 k e4 d ing4 l i3 ） ( ao4 sh u4 ) 』
d a2 an4 ： x iao3 m ai4 d e0 ch u1 f en3 l ü4 ； zh eng4 。
q ü1 x ian4 ， （ t uei4 c an1 sh u4 ） k e3 h ua4 uei4 x 2 y 2 4 .
j ie3 ： f u3 sh i4 t u2 zh ong1 ing1 iou3 i2 g e4 b u4 k e3 j ian4 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， q ie3 f u3 sh i4 t u2 ing1 uei4 d uei4 ch en4 t u2 x ing2 .
C . sh uang1 q ü1 x ian4
j ie3 ： in1 uei4 f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 ，
j ie3 ： er4 c i4 g en1 sh i4 iou3 i4 i4 ，
B . （ t uei4 c an1 sh u4 ）
C . zh eng4 sh i2 sh u4
uei4 l e0 b ao3 h u4 i1 j ian4 zh en1 g uei4 uen2 u4 ，
l ing4 z 3 ， z e2 x 0 ， y 4 ， s uo3 i3 （ 0 ， 4 ， 3 ） .
üan2 zh u4 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 h e2 c e4 sh i4 t u2 x iang1 t ong2 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
D . 3 ü3 4 sh i4 t ong2 uei4 j iao3
（ 4 ） ian2 zh e0 üan2 zh u4 d i3 m ian4 d e0 zh i2 j ing4 j iang1 üan2 zh u4 p ou1 ch eng2 l iang3 b an4 ， k e3 k an4 d ao4 l iang3 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 。 （ ）
C . m an3 z u2 t iao2 j ian4 ， b u4 m an3 z u2 j ie2 l uen4 ， g u4 x üan3 x iang4 C zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： d ang1 x 2 sh i2 ， x 1 x 2 2 ， j ie3 d e2 2 x ，
s uo3 i3 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C x iang1 j iao1 .
iou2 g ou1 g u3 d ing4 l i3 k e3 d e2 A B 5 ，
【 t i2 sh i4 】 『 h ua4 j ian3 h ou4 b ei4 k ai1 f ang1 sh u4 uei4 『 6 』 d e0 er4 c i4 g en1 sh i4 ü3 sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 . 』
j ie3 ： f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 i4 b an1 x ing2 sh i4 uei4 3 x 2 5 x 4 0 ，
t uo3 üan2 （ sh i4 c an1 sh u4 ） d e0 l i2 x in1 l ü4 sh i4 （ ）
（ 1 ） j ie3 ： in1 uei4 g ( x ) l n x 2 ( x 1 ) ，
m ing4 t i2 s ： h an2 sh u4 y s i n x b u2 sh i4 zh ou1 q i1 h an2 sh u4 h uo4 b u2 sh i4 j i1 h an2 sh u4 ， c uo4 u4 ；
iou4 A B C sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
6 . iou3 i4 i4 ， z e2 x 3 0 ， x 2 0 ， j ie3 d e2 x 3 .
iou2 x ( t ) l iang3 b ian1 p ing2 f ang1 k e3 d e2 ，
zh i2 x ian4 c o s s i n a ü3 üan2 2 c o s x iang1 q ie4 ，
j ie3 ： （ 1 ） i3 A uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， j ian4 l i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 A x y z ，
s an1 g e4 p ing2 m ian4 l iang3 l iang3 p ing2 x ing2 sh i2 ， k e3 i3 b a3 k ong1 j ian1 f en1 ch eng2 4 g e4 b u4 f en4 ；
（ 3 ） x ian4 d uei4 g ai1 ch ang3 zh e4 zh ong3 ch an3 p in3 d e0 m ou3 g e4 p i1 c i4 j in4 x ing2 j ian3 ch a2 ， j ie2 g uo3 f a1 x ian4 iou3 2 0 j ian4 b u4 h e2 g e2 p in3 ， j ü4 c i3 g u1 s uan4 zh e4 p i1 ch an3 p in3 zh ong1 d e0 h e2 g e2 p in3 d e0 j ian4 sh u4 .
r u2 g uo3 8 ， n a4 m e0 1 2 5 1 2 5 （ ） 。
iou2 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 zh i1 a 2 b 2 a b 3 3 a b ；
in1 uei4 iou2 m ， n k e3 t uei1 ch u1 zh i2 x ian4 m 、 n k e3 n eng2 x iang1 j iao1 ， p ing2 x ing2 h uo4 i4 m ian4 .
k e3 d e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 A （ 2 ， 2 ） ， B （ 3 ， 3 ） ， C （ 4 ， 4 ） .
d ang1 a 1 sh i2 ， f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 3 x 4 0 iou3 i2 g e4 zh eng4 g en1 x .
üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 j ia4 t iao2 j ian4 zh uan3 h uan4 f a3 j ie3 l uo2 j i2 t uei1 l i3 uen4 t i2 ( ao4 sh u4 ) 』
r u2 t u2 ， sh u4 zh ou2 sh ang4 A 、 B l iang3 d ian3 b iao3 sh i4 d e0 sh u4 f en1 b ie2 uei4 1 h e2 ， d ian3 B g uan1 ü2 d ian3 A d e0 d uei4 ch en4 d ian3 uei4 C ， z e2 d ian3 C s uo3 b iao3 sh i4 d e0 sh i2 sh u4 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
g u4 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 x x 0 ch u4 q ü3 d ao4 z uei4 x iao3 zh i2 ， j i2 f ( x ) m i n f ( x 0 ) ， d eng3 j ia4 ü2 x R ， f ( x ) f ( x 0 ) ， s uo3 i3 m ing4 t i2 C c uo4 u4 .
g u4 zh eng4 q üe4 .
d ang1 r i4 x ü1 q iou2 l iang4 n 1 9 sh i2 ， l i4 r uen4 uei4 y 5 0 0 n ( 2 0 n ) 1 0 0 6 0 0 n 2 0 0 0 .
z ai4 0 、 1 、 2 、 3 zh e4 s i4 g e4 sh u4 z i4 zh ong1 ， x üan3 ch u1 s an1 g e4 sh u4 z i4 ， an4 iao1 q iou2 z u3 h e2 ch u1 x iao3 sh u4 。
d a2 ： d ang1 B E d e0 zh ang3 uei4 2 f en1 m i3 sh i2 ， zh e2 j üan3 ch eng2 d e0 b ao1 zh uang1 h e2 d e0 r ong2 j i1 z uei4 d a4 .
i3 d ian3 O uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， D A ， A B ， O P s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 sh i4 x zh ou2 、 y zh ou2 、 z zh ou2 ， j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 O x y z
a 0 ， q ie3 h e2 sh i4 a x 2 2 x c 0 d e0 l iang3 g e4 g en1 .
a b ， q ü3 a 1 ， b 2 ， er2 1 1 1 ， ( 2 ) 2 4 ， c i3 sh i2 a 2 b 2 ， g u4 m ing4 t i2 q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
d i4 3 g e4 sh u4 ： 1 0 3 2 1 ，
9 9 8 1 （ p ing2 f ang1 m i3 ）
（ d ian3 （ 1 ， 1 ） z ai4 p ing2 m ian4 x O y d e0 d i4 i1 x iang4 x ian4 ） ，
q ü1 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 3 s i n ( x ) .
（ 2 ） u3 l in2 l u4 ch uan1 g uo4 t i3 ü4 ch ang3 l u4 b ing4 ü3 t i3 ü4 ch ang3 l u4 ch uei2 zh i2 ， z ai4 ian2 an1 l u4 x i1 c e4 ， ü3 ian2 an1 l u4 d e0 j ü4 l i2 sh i4 8 0 0 m ， q ing3 z ai4 t u2 sh ang4 h ua4 ch u1 l ai2 。
【 t i2 sh i4 】 『 P A ü3 p ing2 m ian4 A B C D zh ong1 d e0 m ei3 i1 t iao2 x ian4 d ou1 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
r u2 g uo3 zh i2 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 l g uan1 ü2 j i2 zh ou2 d uei4 ch en4 ， z e2 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
er2 z ai4 D zh ong1 ， { 1 ， 4 ， 1 6 ， 6 4 } zh ao3 b u2 d ao4 zh e4 iang4 d e0 z u3 h e2 sh i3 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 i2 zh i4 ， ie3 j iou4 sh i4 sh uo1 u2 l uen4 z en3 m e0 f en1 z u3 ， d ou1 m ei2 b an4 f a3 sh i3 d e0 q i2 zh ong1 l iang3 g e4 d e0 h e2 d eng3 ü2 l ing4 uai4 l iang3 g e4 d e0 h e2 ， s uo3 i3 D x üan3 x iang4 b u4 k e3 n eng2 .
x ia4 l ie4 j i4 s uan4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 j ian3 x ia4 z uei4 d a4 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 sh i4 『 9 』 l i2 m i3 。 』
（ 1 ） h ua4 ch u1 zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 zh i2 g uan1 t u2 .
r u2 t u2 ， A 、 D 、 B 、 C s i4 d ian3 z ai4 t ong2 i1 zh i2 x ian4 sh ang4 ， q ie3 A D B C ， A E C F ， B E D F .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 g en1 d e0 p an4 b ie2 sh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
r uo4 sh i4 l eng2 zh u4 ， zh i3 ch u1 sh i4 j i3 l eng2 zh u4 ； r uo4 b u2 sh i4 l eng2 zh u4 ， q ing3 n i3 sh i4 iong4 i2 g e4 p ing2 m ian4 j ie2 q ü4 i1 b u4 f en4 ， sh i3 sh eng4 ü2 b u4 f en4 sh i4 i2 g e4 c e4 l eng2 zh ang3 uei4 2 d e0 s an1 l eng2 zh u4 ， b ing4 zh i3 ch u1 j ie2 q ü4 d e0 j i3 h e2 t i3 d e0 t e4 zh eng1 ， z ai4 l i4 t i3 t u2 x ing2 zh ong1 h ua4 ch u1 j ie2 m ian4 .
【 t i2 sh i4 】 『 4 c i4 ün4 z ou3 l e0 （ 5 6 0 2 4 0 ） x iang1 p ing2 g uo3 ， q iou2 m ei3 c i4 ün4 d uo1 sh ao3 x iang1 iong4 『 ch u2 』 f a3 。 』
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 j i2 h an2 sh u4 t u2 x iang4 ， d e2 ，
sh e4 j ian4 k ai1 x ian4 sh ang4 d e0 r en4 i4 d ian3 M （ x ， y ） ， sh eng2 l a1 zh i2 sh i2 h e2 üan2 d e0 q ie1 d ian3 uei4 A ， g u4 O A A M .
x ia4 m ian4 d e0 s uan4 sh i4 ün4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 f en1 p ei4 l ü4 d e0 sh i4 （ ） 。
B 、 d an1 x iang4 sh i4 a d e0 x i4 sh u4 sh i4 1 ， c i4 sh u4 sh i4 1 ， g u4 B c uo4 u4 ；
zh eng4 m ing2 ： d ang1 n 1 sh i2 ， iou2 （ 1 ） zh i1 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 ；
d ang1 2 3 sh i2 ， iou2 er4 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 z u3 d e2 i2 g e4 f ei1 l ing2 j ie3 ，
t ong2 l i3 k e3 zh eng4 F ， G ， H j ün1 uei4 p ing2 m ian4 ü3 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 .
zh i2 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 1 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 ch eng2 ch u2 f a3 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 d ing4 i4 j i2 q i2 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 』
j iang1 üan2 f ang1 ch eng2 b iao1 zh uen3 h ua4 ( x 1 ) 2 y 2 1 ， üan2 x in1 C （ 1 ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 1 ，
s uo3 i3 x iao3 l i4 d e0 f ang2 j ian1 d e0 p ing2 m ian4 t u2 r u2 x ia4 t u2 s uo3 sh i4 ：
s uo3 i3 p q sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ； p q 、 p q 、 p q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
l ian2 j ie2 A F ， B G ， z e2 E F A E G B ，
i1 t iao2 zh i2 x ian4 h e2 i2 g e4 d ian3 k e3 i3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 zh i2 j ie1 k ai1 p ing2 f ang1 f a3 j ie3 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 』
l i2 x in1 l ü4 uei4 ， j ian4 j in4 x ian4 uei4 y x .
z e2 zh e4 2 r en2 d e0 t i3 zh ong4 b u4 z ai4 t ong2 i1 z u3 n ei4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
d ang1 a 2 4 0 sh i2 ， j i2 a 2 ，
j ie3 ： A 、 d e0 x i4 sh u4 uei4 ， c i4 sh u4 uei4 3 ， g u4 A c uo4 u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 er4 c i4 b u4 d eng3 sh i4 a x 2 2 a x 3 0 h eng2 ch eng2 l i4 ， j i2 er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 a 『 』 0 q ie3 d uei4 ing4 d e0 er4 c i4 h an2 sh u4 y a x 2 2 a x 3 ü3 x zh ou2 z uei4 d uo1 iou3 『 1 』 g e4 j iao1 d ian3 . 』
j ie3 ： （ 1 ） r en4 x üan3 1 m ing2 x ia4 g ang3 r en2 üan2 ， j i4 “ g ai1 r en2 sh en1 j ia1 g uo4 c ai2 k uai4 p ei2 x ün4 ” uei4 sh i4 j ian4 A ， “ g ai1 r en2 sh en1 j ia1 g uo4 j i4 s uan4 j i1 p ei2 x ün4 ” uei4 sh i4 j ian4 B ，
2 0 1 6 n ian2 sh i4 r uen4 n ian2 ， 2 üe4 iou3 2 9 t ian1 。
üan2 x in1 C d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 ，
B . l iang3 zh i2 x ian4 ü3 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 x iang1 j iao1 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3
i2 g e4 sh u4 d e0 l i4 f ang1 sh i4 t a1 b en3 sh en1 ， zh e4 g e4 sh u4 sh i4 0 ， 1 ， 1 ；
g u4 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 ( ， 1 ] [ 3 ， ) .
ü2 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4
d uei4 ü2 d ing4 i4 z ai4 D sh ang4 d e0 h an2 sh u4 y f ( x ) ， r uo4 t ong2 sh i2 m an3 z u2 c uen2 z ai4 b i4 q ü1 j ian1 [ a ， b ] D ， sh i3 d e0 r en4 q ü3 x 1 [ a ， b ] ， d ou1 iou3 f ( x 1 ) c （ c sh i4 ch ang2 sh u4 ） ； d uei4 ü2 D n ei4 r en4 i4 x 2 ， d ang1 x 2 [ a ， b ] sh i2 z ong3 iou3 f ( x 2 ) c ； z e2 ch eng1 f ( x ) uei4 “ p ing2 d i3 x ing2 ” h an2 sh u4 .
（ 1 ） d i4 t u2 sh ang4 d e0 x ian4 d uan4 b i3 l i4 ch i3 sh i4 ， b a3 t a1 g ai3 ch eng2 sh u4 zh i2 b i3 l i4 ch i3 sh i4 ， g u4 c uo4 u4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 j ie2 h e2 l ü4 』
s uo3 i3 t uo3 üan2 d e0 iou4 j iao1 d ian3 F d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 4 ， 0 ） .
l iang3 t iao2 i4 m ian4 zh i2 x ian4 zh i3 d e0 sh i4 b u4 t ong2 z ai4 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ；
z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 b iao3 sh i4 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 （ r u2 t u2 ） ， b ing4 iong4 “ ” h ao4 l ian2 j ie1 ：
B . ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4
sh e4 d ian3 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ， 1 ） ， q iou2 t a1 z ai4 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 d e0 z uo4 b iao1 .
i2 g e4 sh i2 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 ü3 t a1 d e0 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 x iang1 d eng3 ， z e2 zh e4 g e4 sh u4 i2 d ing4 sh i4 .
D . x uei4 r en4 i4 sh u4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 iou3 l i3 sh u4 j ie3 j üe2 sh i2 j i4 uen4 t i2 』
j ie3 ： O E p ing2 f en1 B O N ，
i3 zh i1 l iang3 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 A （ 3 ， ） ， B （ 3 ， ） ， z e2 | A B | ， A B ü3 j i2 zh ou2 zh eng4 f ang1 x iang4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 .
l ian2 j ie1 B D 1 ， B D ， i4 zh i1 D 1 B D uei4 zh i2 x ian4 B D 1 ü3 p ing2 m ian4 A C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 ，
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 d e2 l eng2 zh uei1 d e0 g ao1 h 2 ；
r uo4 x 2 m 2 3 sh i4 1 x 4 d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ）
B A ， j i2 a 5 k e3 t uei1 ch u1 B A .
d ing4 l i3 h e2 n i4 d ing4 l i3 d ou1 sh i4 zh eng4 m ing2 l iao3 t a1 m en0 d e0 zh eng4 q üe4 x ing4 zh i1 h ou4 c ai2 ch eng1 uei2 d ing4 l i3 h e2 n i4 d ing4 l i3 d e0 ， s uo3 i3 i2 d ing4 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ， d a2 an4 D sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ；
i3 zh i1 j ü3 zh en4 M [ ] ， [ ] ， j i4 s uan4 M 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
d ang1 x 1 sh i2 ， 2 ( x 1 ) x 1 1 ， j ie3 d e2 0 x 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ian4 d uan4 d e0 h e2 ch a4 』
d ang1 sh i2 ， er4 c i4 g en1 sh i4 iou3 i4 i4 .
j ie3 ： r u2 t u2 ， g uo4 d ian3 B z uo4 B C ü2 d ian3 C ， l ian2 j ie1 A C .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
zh eng4 m ing2 ： ch ong1 f en4 x ing4 ： in1 uei4 q 1 ， s uo3 i3 a 1 S 1 p 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m i4 h an2 sh u4 d e0 g ai4 n ian4 、 j ie3 x i1 sh i4 、 d ing4 i4 ü4 、 zh i2 ü4 』
j ie3 ： 5 5 ， j i2 5 5 h uo4 5 5 ，
5 . iou3 i4 i4 ， z e2 2 x 1 0 ， j ie3 d e2 x ；
（ 2 ） r uo4 h an2 sh u4 y g ( x ) ü3 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x 1 d uei4 ch en4 ， q iou2 d ang1 x [ 0 ， ] sh i2 ， y g ( x ) d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
x ia4 zh ou1 l iou4 h uei4 x ia4 ü3 .
g u4 b ei1 l i3 d e0 sh uei3 j iang1 x ia4 j iang4 0 . 6 c m .
j i2 2 x ( 2 x 3 ) 0 ， z e2 2 x 0 h uo4 2 x 3 0 ，
（ 5 ） üan2 zh u4 d i3 m ian4 j i1 i2 d ing4 ， g ao1 h e2 t i3 j i1 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 ， zh eng4 q üe4 。
j ie3 ： z uei4 x iao3 d e0 f ei1 f u4 sh u4 sh i4 0 ； z uei4 x iao3 d e0 f ei1 f u4 zh eng3 sh u4 sh i4 0 ； z uei4 d a4 d e0 f ei1 zh eng4 sh u4 sh i4 0 ； z uei4 d a4 d e0 f ei1 zh eng4 zh eng3 sh u4 sh i4 0 ； z uei4 x iao3 d e0 zh eng4 zh eng3 sh u4 sh i4 1 ； z uei4 d a4 d e0 f u4 zh eng3 sh u4 sh i4 1 .
（ 1 ） r u2 g uo3 b a3 üan2 x in1 p ing2 i2 d ao4 üan2 d ian3 O ， q ing3 uen4 p ing2 i2 h ou4 üan2 h e2 zh i2 x ian4 m an3 z u2 sh en2 m e0 g uan1 x i4 ？
C . （ t uei4 c an1 sh u4 ）
P A B ， P A C sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 .
j ie3 ： iou2 c o s 4 ， d e2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 4 ，
m ian4 j i1 5 p ing2 f ang1 l i2 m i3
iou2 m n ， n k e3 d e2 m h uo4 m ü3 x iang1 j iao1 h uo4 m ， g u4 c uo4 u4 ；
iou2 c an1 sh u4 d e0 j i3 h e2 i4 i4 d e2 ： | M A | | t 1 | ， | M B | | t 2 | ，
j ia3 sh u4 d e0 2 0 sh i4 4 0 ， i3 sh u4 sh i4 4 0 d e0 2 0 。 j ia3 sh u4 ü3 i3 sh u4 d e0 b i3 sh i4 （ ） 。
d a2 an4 ： zh i2 j iao3 .
d ang1 t ian1 j ia1 t iao2 j ian4 F C sh i2 D F A C ；
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s . i3 j i2 d ian3 uei4 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 .
d ai4 r u4 y t 2 1 ， d e2 y ( x 1 ) 2 1 ， j i2 uei4 s uo3 q iou2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 .
C . g ai1 ü3 j ü4 b u2 sh i4 ch en2 sh u4 j ü4 ， b u2 sh i4 m ing4 t i2 ， g u4 g ai1 x üan3 x iang4 b u4 m an3 z u2 t i2 i4 ；
d ang1 x 2 sh i2 ， 4 a 2 ( 6 a 2 ) 3 2 2 9 ， j i2 a .
x ü3 y ch eng2 （ ） b i3 l i4 。
r uo4 g uan1 ü2 x d e0 er4 c i4 b u4 d eng3 sh i4 x 2 m x 1 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 R ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
s uo3 i3 f ( x ) f ( x ) q ie3 f ( x ) f ( x ) ，
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 P z ai4 p ing2 m ian4 A B C d e0 sh e4 ing3 d ao4 s an1 j iao3 x ing2 s an1 g e4 d ing3 d ian3 d e0 j ü4 l i2 『 x iang1 d eng3 』 . 』
sh e4 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 l eng2 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 x ， y ， z ， z e2
d ang1 c o s 0 sh i2 ， l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y t a n x 2 t a n ，
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 0 ， ） .
j ia3 sh u4 sh i4 i3 sh u4 d e0 1 . 2 b ei4 ， j ia3 sh u4 ü3 i3 sh u4 d e0 b i3 sh i4 （ ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 1 0 0 i3 n ei4 sh u4 d e0 b u4 j in4 uei4 j ia1 f a3 h e2 b u4 t uei4 uei4 j ian3 f a3 』
x ie3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 d e0 f ou3 d ing4 ， b ing4 p an4 d uan4 q i2 zh en1 j ia3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 3 0 ，
1 9 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 1 4 ， sh uo1 f a3 c uo4 u4 ， sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 .
C . d i4 s an1 x iang4 x ian4
j ie3 ： sh e4 d ong4 d ian3 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
g u4 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 1 2 c o s 1 1 0 .
g u4 d a2 an4 uei4 1 h uo4 4 h uo4 5 h uo4 8 .
h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 .
z ai4 i3 O uei4 j i2 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 4 s i n h e2 zh i2 x ian4 s i n a x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 . r uo4 A O B sh i4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ， z e2 a d e0 zh i2 uei4 .
iou2 4 | 3 x 2 | 8 d e2 4 3 x 2 8 h uo4 8 3 x 2 4 ，
（ 2 ） sh i4 q üe4 d ing4 sh i2 sh u4 k d e0 zh i2 ， sh i3 k d e0 q ü3 zh i2 m an3 z u2 x iang4 l iang4 2 ü3 x iang4 l iang4 k ch uei2 zh i2 .
D . x 2 y 2 1 q ü4 d iao4 （ 1 ， 0 ） d ian3
x ia4 l ie4 t u2 x ing2 （ r u2 t u2 ） j ün1 b iao3 sh i4 l iang3 g e4 x iang1 j iao1 p ing2 m ian4 ， q i2 zh ong1 h ua4 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
d ian3 A （ 3 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
i2 g e4 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 h e2 t a1 d e0 l i4 f ang1 x iang1 d eng3 d e0 sh u4 sh i4 0 ， 1 .
d uei4 ü2 h an2 sh u4 y ， iao1 q iou2 x 3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i2 h e2 d e0 j i1 b en3 ün4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d an1 x iang4 sh i4 』
（ 1 ） q iou2 ch u1 y g uan1 ü2 x d e0 h an2 sh u4 b iao3 d a2 sh i4 .
z e2 zh e4 n g e4 üan2 s u4 z ai4 j i2 h e2 A ， B ， C zh ong1 ， g ong4 iou3 3 n zh ong3 ；
D 、 iou2 A A S n eng2 p an4 d ing4 A B C h e2 D E F q üan2 d eng3 .
l ian2 l i4 l 3 h e2 C d e0 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t ong2 f en1 m u3 f en1 sh u4 j ia1 j ian3 f a3 』
sh e4 p ing2 m ian4 P B C d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x ， y ， z ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
z ai4 R t P A C zh ong1 ， N uei4 P C zh ong1 d ian3 ，
u2 l i3 sh u4 ： ， ， ， 0 . 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 … （ x iang1 l in2 l iang3 g e4 1 zh i1 j ian1 i1 c i4 d uo1 1 g e4 0 ） .
g u4 { } ， [ ] ， sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d an4 b u2 sh i4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 .
（ 2 ） d ian3 Q sh i4 x ian4 d uan4 B P sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 ， d ang1 zh i2 x ian4 C Q ü3 D P s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 z uei4 x iao3 sh i2 ， q iou2 x ian4 d uan4 B Q d e0 zh ang3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou2 s an1 sh i4 t u2 h uan2 üan2 sh i2 u4 t u2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 zh ou2 zh ong1 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i4 f ang1 g en1 』
q ie3 zh i1 f u4 d e0 b ao3 x ian3 f ei4 iong4 ü3 b ao3 h u4 zh ao4 r ong2 j i1 ch eng2 f an3 b i3 ，
D . m ei2 iou3 r en4 h e2 i2 g e4 d ian3 ü3 t a1 d uei4 ing4
j ie3 ： iou3 l i3 sh u4 sh i4 3 2 ， 2 3 ， t a1 m en0 d e0 h e2 uei4 3 2 ( 2 3 ) 9 8 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ie2 er4 c e4 f a3 h ua4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 ing4 iong4 』
z ong1 sh ang4 ， k e3 d e2 f ( t 1 )
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ： a l o g 3 6 1 l o g 3 2 ， b l o g 5 1 0 1 l o g 5 2 ， c l o g 7 1 4 1 l o g 7 2 .
s uo3 i3 r uo4 sh ang4 üe4 ch u1 h uan4 b iao3 ， z e2 x iang1 d uei4 ü2 h uan4 b iao3 q ian2 x iao3 zh ang1 j ia1 d e0 d ian4 f ei4 j ie2 sh eng3 l e0 2 . 9 üan2 .
（ 3 ） üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 sh i4 l iang3 g e4 d a4 x iao3 x iang1 d eng3 d e0 üan2 ， g u4 üan2 t i2 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ；
d ian3 P sh i4 m ian4 A A 1 D 1 D d e0 zh ong1 x in1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 d e0 zh i2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 i4 i4 』
q iou2 d e0 b an4 j ing4 sh i4 r ，
r u2 g uo3 | a 1 | 0 ， ( b 3 ) 2 0 ， n a4 m e0 1 d e0 zh i2 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
j ie3 ： iou2 | x | 5 d e2 ， x 5 ，
（ 2 ） q iou2 C sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 l j ü4 l i2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch u2 f a3 d e0 r en4 sh i2 』
d uei4 ü2 B ， | | | | zh i3 n eng2 sh uo1 m ing2 l iang3 g e4 x iang4 l iang4 d e0 ch ang2 d u4 i1 iang4 ， b u4 i2 d ing4 ch eng2 l i4 ， g u4 x üan3 x iang4 B c uo4 u4 ；
zh i3 ch u1 x ia4 l ie4 sh i4 j ian4 zh ong1 n ei3 x ie1 sh i4 b i4 r an2 sh i4 j ian4 ， b u4 k e3 n eng2 sh i4 j ian4 ， s uei2 j i1 sh i4 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 ing4 iong4 』
i2 g e4 üan2 zh u4 h e2 i2 g e4 üan2 zh uei1 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 f en1 b ie2 sh i4 b ian1 zh ang3 uei4 a d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 h e2 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 ， z e2 t a1 m en0 d e0 b iao3 m ian4 j i1 zh i1 b i3 uei4 .
zh i4 i1 m ei2 ing4 b i4 ， ch u1 x ian4 zh eng4 m ian4 ；
（ 4 ） A B C d e0 zh ong1 x ian4 A D sh i4 i1 t iao2 x ian4 d uan4 ， er2 b u2 sh i4 zh i2 x ian4 ， ing1 uei4 x 0 （ 3 y 0 ） ， s uo3 i3 j ie2 l uen4 c uo4 u4 .
X d e0 f en1 b u4 l ie4 sh i4
q i2 ch uei2 zh i2 ü2 x zh ou2 d e0 l iang3 t iao2 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 x 0 h e2 x 2 ， x iang1 ing4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s 0 h e2 c o s 2 ，
j ie3 ： d uei4 ü2 A ， r uo4 0 （ ， ） ， z e2 ， g en1 j ü4 x iang4 l iang4 ch uei2 zh i2 d e0 d ing4 i4 k e3 d e2 x üan3 x iang4 A zh eng4 q üe4 ；
g en1 j ü4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 d ing4 l i3 k e3 zh i1 zh eng4 q üe4 ；
k e3 zh i1 A 、 B l iang3 d ian3 uei4 d uei4 ch en4 d ian3 ，
（ 1 ） i2 g e4 s an1 l eng2 zh u4 h e2 l ing4 i2 g e4 d uo1 m ian4 t i3 ；
üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s ， zh uan3 h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 y 2 1 ， üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 7 5 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
C . r uo4 x ü3 y b u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4 ， z e2 y k x
s uo3 q iou2 h an2 sh u4 zh i2 ü4 uei4 { y | 2 y 1 } .
üan2 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 y 0 ， j i2 x 2 ( y 2 ) 2 8 ，
j ie3 ： p ing2 m ian4 p ing2 m ian4 l ，
x i4 sh u4 h ua4 uei4 1 ， d e2 x 2 ，
s uo3 i3 g ai1 m ei2 k uang4 b ei4 g uan1 b i4 d e0 g ai4 l ü4 sh i4
j ie3 ： A 、 | a | | b | ， z e2 a b ， g u4 x üan3 x iang4 c uo4 u4 ；
l eng2 t ai2 d e0 c e4 m ian4 sh i4 t i1 x ing2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
s uo3 i3 m i4 h an2 sh u4 uei4 f ( x ) .
（ 1 ） r uo4 a 4 ， q iou2 b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 5 d e0 j ie3 j i2 ；
A O B d e0 m ian4 j i1 uei4 ：
【 t i2 sh i4 】 『 z uo3 t u2 b ao1 k uo4 『 4 』 g e4 zh eng3 g e2 i3 j i2 『 4 』 g e4 b an4 g e2 。 』
t u2 sh i4 f a3 g uo2 l u2 f u2 g ong1 d e0 b o1 l i2 j in1 z i4 t a3 ， q i2 zh u3 t i3 j ie2 g ou4 sh i4 s i4 l eng2 zh uei1 ；
j ie3 ： r uo4 ， z e2 ( ) 0 ， z e2 ( ) h uo4 h uo4 ， j i2 x iang4 l iang4 z ai4 d eng3 sh i4 l iang3 b ian1 b u4 n eng2 x iang1 x iao1 ， g u4 b u2 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) a x ( k 1 ) a x （ a 0 q ie3 a 1 ） sh i4 d ing4 i4 ü4 uei4 R d e0 j i1 h an2 sh u4 .
（ 1 ） q iou2 A d e0 n i4 j ü3 zh en4 A 1 ；
s uo3 i3 “ r uo4 k 0 ， z e2 f ang1 ch eng2 x 2 2 x k 0 iou3 sh i2 g en1 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 r en4 sh i2 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ 1 ， 0 ） ， z e2 h an2 sh u4 f ( 2 x 1 ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ ）
j iang1 l iang3 sh i4 x iang1 j ian3 d e2 4 a b 2 ， j i2 a b .
z ai4 p ing2 m ian4 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ s uei4 c an1 sh u4 ） . sh e4 P uei4 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 ， q iou2 d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh en1 f en1 sh u4 ü3 j ia3 f en1 sh u4 』
z uei4 j ie1 j in4 b iao1 zh uen3 zh i4 l iang4 d e0 üan2 j ian4 sh i4 D
【 t i2 sh i4 】 『 x 0 sh i2 ， d uei4 ing4 d e0 h an2 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 f ( x ) 『 1 』 . 』
r u2 t u2 ， s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， P D d i3 m ian4 A B C D ， A C A D ， A B B C ， P A A B B C 1 ， A C A D ， d ian3 E z ai4 l eng2 P B sh ang4 ， q ie3 P E 2 E B .
【 t i2 sh i4 】 『 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 zh ong1 x ü3 y d e0 x i4 sh u4 b i3 zh i2 『 x iang1 』 d eng3 sh i2 ， t a1 m en0 p ing2 x ing2 . 』
（ 2 ） c an1 ü4 zh e3 m o1 q iou2 d e0 sh uen4 x ü4 iou3 l iang3 zh ong3 ， f en1 b ie2 t ao3 l uen4 r u2 x ia4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 ü3 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 g uan1 x i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
c ong2 j i2 d ian3 O in3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 h e2 üan2 2 2 a c o s a 2 r 2 0 x iang1 j iao1 ü2 i4 d ian3 Q ， d ian3 P f en1 x ian4 d uan4 O Q d e0 b i3 uei4 m : n ， q iou2 d ian3 Q z ai4 üan2 sh ang4 i2 d ong4 sh i2 ， d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 ， b ing4 zh i3 ch u1 t a1 b iao3 sh i4 sh en2 m e0 q ü1 x ian4 。
j ie3 ： g en1 j ü4 n i4 f ou3 m ing4 t i2 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 ， m ing4 t i2 “ r uo4 m 0 ， z e2 f ang1 ch eng2 x 2 x m 0 iou3 sh i2 g en1 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 f ang1 ch eng2 x 2 x m 0 m ei2 iou3 sh i2 g en1 ， z e2 m 0 ” .
（ 1 ） q iou2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ü3 t uo3 üan2 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ；
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 C ， j ia3 ch e1 i3 8 0 q ian1 m i3 x iao3 sh i2 d e0 s u4 d u4 x ing2 sh i3 1 x iao3 sh i2 ， l i3 ch eng2 uei4 8 0 q ian1 m i3 ， r an2 iou2 x iao4 l ü4 uei4 1 0 ， g u4 x iao1 h ao4 8 sh eng1 q i4 iou2 ， z e2 C c uo4 u4 ；
s uo3 i3 A B 2 8 A B ， A B 8 （ O A O B 8 sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 ） .
j ie3 ： f ( x ) x d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 D 1 R ， g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 D 2 { x | x 0 } ，
g u4 zh e4 k uai4 j ü3 x ing2 c ao3 p ing2 A M P N m ian4 j i1 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 4 p ing2 f ang1 m i3 .
j ie3 ： zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
C 1 d e0 d ing3 d ian3 G d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 4 ） ，
r u2 t u2 ， z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh ong1 ， P A p ing2 m ian4 A B C ， B A C 9 0 ， z e2 ü3 p ing2 m ian4 P A B ch uei2 zh i2 d e0 p ing2 m ian4 iou3 .
g u4 x ie2 s an1 l eng2 zh u4 d e0 t i3 j i1 uei4 V 2 1 2 2 .
q ü1 x ian4 C ： ( uei4 c an1 sh u4 ） d e0 l i2 x in1 l ü4 uei4 （ ）
d ang1 a 1 sh i2 ， a 3 | a 3 | ， s uo3 i3 D c uo4 u4 .
j i4 b u4 d eng3 sh i4 2 | x 1 | x 1 1 d e0 j ie3 j i2 uei4 M ， b u4 d eng3 sh i4 1 6 x 2 8 x 1 4 d e0 j ie3 j i2 uei4 N ， q iou2 M N .
zh eng4 m ing2 ： l ian2 j ie1 D E ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
er2 y z ai4 q ü1 j ian1 [ 1 ， 3 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
s uo3 i3 2 c o s 2 s i n ， j i2 q ü1 x ian4 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
d ian3 M （ 4 ， ） ü3 d ian3 N （ 4 ， ） b iao3 sh i4 t ong2 i1 g e4 d ian3 ；
i3 zh i1 A 、 B l iang3 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 sh i4 （ 2 ， ） 、 （ 4 ， ） ， z e2 A 、 B l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 h e2 A O B d e0 m ian4 j i1 f en1 b ie2 uei4 .
p ao1 u4 x ian4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y x 2 x 2 .
j ie3 d e2 h uo4
n a3 uei4 x üe2 z i3 s uan4 d e0 k uai4 ， d uo1 sh ao3 n ian2 h ua2 sh u3 zh ou1 ü2 ？
g u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 4 ， ） .
D . d an1 x iang4 sh i4 d e0 x i4 sh u4 sh u4 ， c i4 sh u4 sh i4 3
d a2 an4 ： s i4 l eng2 zh uei1 .
z e2 üan2 t u2 x ing2 O A B C sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， q ie3 O A O A a c m ， O B 2 O B 2 2 a c m ，
【 t i2 sh i4 】 『 d ang1 2 x 0 sh i2 ， h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 ü3 x ， y zh ou2 d e0 j ie2 j ü4 f en1 b ie2 sh i4 2 ， 1 ， g u4 k e3 l i4 iong4 『 j ie2 j ü4 』 sh i4 q iou2 ch u1 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 . 』
（ 2 ） iou2 t i2 i4 k e3 d e2
i3 zh i1 b ian1 zh ang3 uei4 a d e0 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 A B C d e0 d ing3 d ian3 A z ai4 y zh ou2 d e0 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 sh ang4 i2 d ong4 ， d ing3 d ian3 B z ai4 x zh ou2 d e0 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 sh ang4 i2 d ong4 ， q iou2 d ing3 d ian3 C z ai4 d i4 i1 x iang4 x ian4 n ei4 d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
d i4 4 g e4 sh u4 ： 1 7 4 2 1 ，
（ 2 ） j ia3 d ing4 ian3 ch ang4 i1 sh ou3 üan2 ch uang4 x in1 q ü1 g uan1 zh ong4 ü3 üe4 d uei4 d e0 h u4 d ong4 zh i3 sh u4 uei4 a （ a uei4 ch ang2 sh u4 ） ， ian3 ch ang4 i1 sh ou3 j ing1 d ian3 g e1 q ü3 g uan1 zh ong4 ü3 üe4 d uei4 d e0 h u4 d ong4 zh i3 sh u4 uei4 2 a ， q iou2 g uan1 zh ong4 ü3 üe4 d uei4 d e0 h u4 d ong4 zh i3 sh u4 zh i1 h e2 X d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 j i2 sh u4 x üe2 q i1 uang4 .
（ 1 ） M uei4 q ü1 x ian4 C 1 d e0 d ong4 d ian3 ， d ian3 P z ai4 x ian4 d uan4 O M sh ang4 ， q ie3 m an3 z u2 | O M | | O P | 1 6 ， q iou2 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 C 2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
g u4 er4 m ian4 j iao3 C B 1 A B d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
h ua4 i2 g e4 s an1 l eng2 t ai2 ， z ai4 b a3 t a1 f en1 ch eng2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 』
j ie3 ： zh i2 x ian4 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y x 1 2 ， q i2 x ie2 l ü4 k 1 ，
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 c uo4 u4 d e0 sh i4 （ ）
C . i1 z u3 g ong4 iou3 8 m ing2 t ong2 x üe2 ， g ai1 z u3 i2 d ing4 m ei2 iou3 b u4 j i2 g e2 d e0 t ong2 x üe2
x ia4 m ian4 sh i4 i1 k uai4 ch ang2 f ang1 t i3 m u4 k uai4 ， r u2 g uo3 i3 q i2 zh ong1 l iang3 g e4 x iang1 d uei4 d e0 m ian4 z uo4 d i3 m ian4 ， iong4 d ao1 j iang1 t a1 x üe1 ch eng2 i2 g e4 üan2 zh u4 ， k e3 d e2 d ao4 z en3 iang4 d e0 üan2 zh u4 ？ （ d an1 uei4 ： c m ）
iou2 m ， n k e3 d e2 m n ， iou4 n ， s uo3 i3 m ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
z e2 d ang1 n k 1 sh i2 ， i4 zh i1 S k 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
b a3 x ia4 m ian4 d e0 b ai3 f en1 sh u4 h ua4 ch eng2 x iao3 sh u4 。
j iang1 q i2 d ai4 r u4 üan2 d e0 f ang1 ch eng2 ， d e2 ( ) 2 2 a ( ) c o s a 2 r 2 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g u1 s uan4 』
r u2 t u2 ， zh eng4 f ang1 t i3 O A B C D A B C zh ong1 ， | O A | 3 ， A C ü3 B D x iang1 j iao1 ü2 d ian3 P ， f en1 b ie2 x ie3 ch u1 d ian3 C ， B ， P d e0 zh u4 z uo4 b iao1 .
d ong4 d ian3 M （ 5 ， ） （ R ） d e0 g uei3 j i4 sh i4 i3 j i2 d ian3 uei4 üan2 x in1 ， i3 5 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 .
s uo3 i3 B C 1 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh i2 sh u4 ü3 sh u4 zh ou2 sh ang4 d ian3 d e0 d uei4 ing4 g uan1 x i4 』
D . z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ， l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 sh ang4 g e4 j ie2 q ü3 i1 t iao2 x ian4 d uan4 ， zh e4 l iang3 t iao2 x ian4 d uan4 b i4 b u4 p ing2 x ing2 ， zh eng4 q üe4 .
u2 f a3 zh eng4 m ing2 .
【 t i2 sh i4 】 『 x ü1 iao4 ua1 t u3 d e0 t i3 j i1 ü3 üan2 zh u4 x ing2 sh uei3 j ing3 d e0 r ong2 j i1 『 x iang1 』 d eng3 。 』
A B C 9 0 ， d ian3 H sh i4 A C d e0 zh ong1 d ian3 ，
d ang1 t 1 sh i2 ， x 0 ； d ang1 t 1 sh i2 ， x 2 .
j ie3 ： iou2 d ian3 A d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 0 ， 1 ） zh i1 ， 1 ， 0 ， z 1 ，
（ 2 ） d ao4 l iang3 z uo4 b iao1 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 d e0 j i1 d eng3 ü2 5 d e0 d ian3 ü3 f ang1 ch eng2 x y 5 zh i1 j ian1 d e0 g uan1 x i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
s uo3 i3 üan2 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 2 ) 2 ( y ) 2 4 ，
j ie3 ： d uei4 ü2 ， x ie2 er4 c e4 h ua4 zh i2 g uan1 t u2 sh i2 ， p ing2 x ing2 h uo4 ü3 x zh ou2 ch ong2 h e2 d e0 x ian4 d uan4 ch ang2 d u4 b u4 b ian4 ， g u4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ；
g u4 zh i2 x ian4 （ R ） j ie2 üan2 2 c o s ( ) s uo3 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 ch u1 b u4 r en4 sh i2 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ü3 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： d ang1 x 2 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 h ua4 uei4 ( 2 x ) x ( x 2 ) 2 ， j i2 x 2 3 x 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t u2 x ing2 d e0 j ian3 p in1 』
x iao1 q ü4 d e2 ( x ) 2 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 ing4 iong4 』
s uo3 i3 x 1 x 2 x 3 x 4 sh i4 2 d e0 b ei4 sh u4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
t ian2 b iao3 r u2 x ia4 ：
d a2 ： p ing2 j ün1 m ei3 x iao3 sh i2 p ao3 6 0 q ian1 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
sh i4 d e0 l i4 f ang1 g en1 .
in1 uei4 d ian3 B z ai4 y zh ou2 d e0 f u4 b an4 zh ou2 sh ang4 ，
A . d uen4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2
d ian3 P z uo4 b iao1 uei4 （ 8 ， 5 ） ，
in1 uei4 B D 1 p ing2 m ian4 B D D 1 B 1 ，
7 üe4 8 r i4 b a4 b a4 g ong1 z i1 sh ou1 r u4 4 5 0 0 üan2
j i2 p q ， q p ， p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
j i3 h e2 t i3 t i3 j i1 uei4 d a4 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 j ian3 q ü4 x iao3 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 ，
s uo3 i3 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | 3 x 3 q ie3 x 2 } .
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 ， q ie3 z ai4 [ 0 ， ) sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ， iou4 f ( 3 ) 0 ， z e2 b u4 d eng3 sh i4 ( x 2 ) f ( x ) 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 .
j ia3 sh u4 d e0 d eng3 ü2 i3 sh u4 d e0 ， i3 sh u4 ü3 j ia3 sh u4 d e0 b i3 sh i4 （ ） 。
【 t i2 sh i4 】 『 （ x ， y ， z ） q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ r ， ， ） ， q i2 zh ong1 c o s 『 』 ， t a n 『 』 ， t i2 zh ong1 x 2 ， y 2 ， z 2 . 』
“ | x | ” sh i4 “ x 3 1 ” d e0 ch ong1 f en4 er2 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
iou2 i3 sh ang4 k e3 d e2 ： p q sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， p ( q ) sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， ( p ) q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， ( p ) ( q ) sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
m ou3 d i4 1 2 üe4 1 2 r i4 x ia4 ü3 ；
j i2 zh i2 x ian4 x y 0 g uo4 üan2 ( x ) 2 ( y ) 2 1 d e0 üan2 x in1 ，
t 2 z ai4 [ 1 ， 2 ] sh ang4 d i4 j ian3 ， z ai4 [ 2 ， ） sh ang4 d i4 z eng1 ，
（ 1 ） f ang1 ch eng2 iou3 l iang3 g e4 zh eng4 g en1 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 ；
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x y 1 sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A ， r uo4 j ü3 zh en4 A sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 1 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 uei4 ， sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 4 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 uei4 . q iou2 j ü3 zh en4 A ， b ing4 x ie3 ch u1 A d e0 n i4 j ü3 zh en4 A 1 .
üan2 C d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d ，
g u4 d a2 an4 uei4 ： （ 0 ， 0 ） .
s uo3 i3 l C D ， r u2 t u2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ü3 zh en4 ü3 j ü3 zh en4 d e0 ch eng2 f a3 』
d a2 ： l iou4 n ian2 j i2 j üan1 sh u1 7 5 0 b en3 。
j ie3 ： m ing4 t i2 “ r uo4 i2 g e4 sh u4 sh i4 f u4 sh u4 ， z e2 t a1 d e0 p ing2 f ang1 sh i4 zh eng4 sh u4 ” d e0 n i4 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 i2 g e4 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 sh i4 zh eng4 sh u4 ， z e2 t a1 sh i4 f u4 sh u4 ” .
x 1 ， h uo4 x 2 （ sh e3 q ü4 ） ，
d ang1 ， j i2 k 1 sh i2 ， c o s q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 ， iou4 0 ， s uo3 i3 ， j i2 x iang4 l iang4 ü3 j ia1 j iao3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
d ai4 r u4 k e3 d e2 x 1 2 ( y 1 3 ) 2 9 ， c i3 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 d e0 üan2 x in1 （ 0 ， 3 ） d ao4 zh i2 x ian4 k x y 3 k 0 d e0 j ü4 l i2 d r ，
g en1 j ü4 x ia4 m ian4 m ou3 r i4 s i4 g e4 ch eng2 sh i4 d e0 t ian1 q i4 ü4 b ao4 ， q ing3 b a3 zh e4 s i4 g e4 ch eng2 sh i4 d e0 z uei4 d i1 q i4 uen1 z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 iong4 x iao3 üan2 d ian3 b iao3 sh i4 ch u1 l ai2 。
g u4 y b iao3 sh i4 x zh ou2 sh ang4 d e0 d ian3 P （ x ， 0 ） d ao4 l iang3 d ing4 d ian3 A （ 1 ， ） ， B （ 2 ， 2 ） d e0 j ü4 l i2 h e2 .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 ü3 üan2 x iang1 j iao1 .
s uo3 i3 f ( x ) x [ x ] ， x [ 2 ， 2 ] sh i4 f ei1 q i2 f ei1 ou3 h an2 sh u4 ；
d eng3 b i3 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 ， a 3 1 2 ， a 4 1 8 ， z e2 a 6 .
（ 2 ） t a1 c an1 j ia1 l e0 b u4 ch ao1 g uo4 2 g e4 x iao3 z u3 d e0 g ai4 l ü4 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， b an4 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s ， [ 0 ， ] .
x ia4 l ie4 s i4 g e4 m ing4 t i2 zh ong1 ， zh en1 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
r u2 t u2 ， z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 O x zh ong1 ， A （ 2 ， 0 ） ， B （ ， ） ， C （ ， ） ， D （ 2 ， ） ， h u2 ， ， s uo3 z ai4 üan2 d e0 üan2 x in1 f en1 b ie2 sh i4 （ 1 ， 0 ） ， （ 1 ， ） ， （ 1 ， ） ， q ü1 x ian4 M 1 sh i4 h u2 ， q ü1 x ian4 M 2 sh i4 h u2 ， q ü1 x ian4 M 3 sh i4 h u2 .
q iou2 zh eng4 ： （ 1 ） p ing2 m ian4 E F G p ing2 m ian4 A B C ；
j ing1 j ian3 ian4 d ian3 （ 0 ， 0 ） 、 A （ 2 ， ） d e0 z uo4 b iao1 m an3 z u2 sh ang4 sh i4 ， s uo3 i3 m an3 z u2 t iao2 j ian4 d e0 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 s i n .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 z u3 h e2 j i3 h e2 t i3 d e0 m ian4 j i1 、 t i3 j i1 uen4 t i2 』
j i2 x sh i4 üan2 f ang1 ch eng2 d e0 j ie3 .
3 . 2 6 ü3 2 3 d e0 h e2 ch u2 i3 t a1 m en0 d e0 ch a4 ， sh ang1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？ l ie4 sh i4 uei4 ( 2 6 2 3 ) ( 2 6 2 3 ) 。 （ ）
C . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 x ia4 zh i1
f ang1 ch eng2 （ sh i4 c an1 sh u4 ） s uo3 b iao3 sh i4 q ü1 x ian4 j ing1 g uo4 x ia4 l ie4 d ian3 zh ong1 d e0 （ ）
j ie3 ： f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 2 ， 3 ] ，
in1 c i3 t a n A t a n B t a n C d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 8 ，
r u2 t u2 ， i1 g ong4 iou3 6 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 d a1 p ei4 。
d ang1 q ian2 b an4 j ing4 uei4 6 0 k m ，
（ 2 ） ie3 k e3 i3 d e2 d ao4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 sh i4 4 c m 、 g ao1 sh i4 3 c m d e0 üan2 zh u4 。
z uei4 x iao3 d e0 f ei1 f u4 sh u4 sh i4 ； z uei4 x iao3 d e0 f ei1 f u4 zh eng3 sh u4 sh i4 ； z uei4 d a4 d e0 f ei1 zh eng4 sh u4 sh i4 ； z uei4 d a4 d e0 f ei1 zh eng4 zh eng3 sh u4 sh i4 ； z uei4 x iao3 d e0 zh eng4 zh eng3 sh u4 sh i4 ； z uei4 d a4 d e0 f u4 zh eng3 sh u4 sh i4 .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ： k e3 d e2 e a 4 ， j i2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ e ， 4 ] .
z e2 üan2 sh i4 | x 2 | 3 x
g u4 s uo3 q iou2 t uo3 üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 1 （ y 0 ） ， j i2 uei4 s i4 b ian1 x ing2 l ing4 l iang3 g e4 d ing3 d ian3 C ， D d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
iou2 zh eng4 l iou4 l eng2 zh uei1 d e0 g ao1 h 、 d i3 m ian4 uai4 j ie1 üan2 d e0 b an4 j ing4 r 、 c e4 l eng2 zh ang3 l g ou4 ch eng2 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
c ong2 er2 ( 2 p ) 2 4 ( 2 p b ) 0 ， h ua4 j ian3 d e2 p 2 b 0 .
j ie3 ： d ian3 A d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 A （ ， ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 l ch uei2 zh i2 p ing2 m ian4 n ei4 『 r en4 i4 』 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ， l . 』
j ie3 ： zh i2 x ian4 E F r u2 t u2 s uo3 sh i4 . E F C D .
sh e4 g uo4 üan2 d ian3 O d e0 zh i2 x ian4 ü3 üan2 C ： ( x 1 ) 2 y 2 1 d e0 i2 g e4 j iao1 d ian3 uei4 P ， d ian3 M uei4 x ian4 d uan4 O P d e0 zh ong1 d ian3 . d ang1 d ian3 P z ai4 üan2 sh ang4 i2 d ong4 i1 zh ou1 sh i2 ， q iou2 d ian3 M g uei3 j i4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 sh uo1 m ing2 t a1 sh i4 sh en2 m e0 q ü1 x ian4 .
s uo3 i3 iou3 6 0 1 0 0 x ， j ie3 d e2 x 0 . 6 ，
d ian3 M d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 2 ） .
s uo3 i3 sh u4 l ie4 { } sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ，
d eng3 sh i4 l iang3 b ian1 j ia1 sh ang4 t ong2 i1 g e4 sh u4 r eng2 sh i4 d eng3 sh i4 ， f u2 h e2 d eng3 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 ， sh i4 d ing4 l i3 ；
A E ü3 B 1 C 1 sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ；
D 、 d an1 x iang4 sh i4 d e0 x i4 sh u4 sh i4 ， c i4 sh u4 sh i4 a d e0 zh i3 sh u4 ü3 b d e0 zh i3 sh u4 zh i1 h e2 ， j i2 uei4 3 ， g u4 D zh eng4 q üe4 .
p ing2 m ian4 A B D p ing2 m ian4 B C D .
g en1 j ü4 x ia4 l ie4 d ian3 d e0 zh u4 z uo4 b iao1 ， f en1 b ie2 q iou2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 ：
（ 2 ） z ai4 zh e4 f u2 d i4 t u2 sh ang4 ， i2 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 zh u4 zh ai2 q ü1 zh ang3 uei4 1 c m ， k uan1 uei4 0 . 5 c m 。 t a1 d e0 sh i2 j i4 m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 p ing2 f ang1 m i3 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
d a2 ： zh e4 k uai4 d i4 ing1 g ai1 k ai1 k en3 ch eng2 zh eng4 f ang1 x ing2 ， s i4 zh ou1 uei2 d e0 uei2 l an2 zh ang3 1 2 m i3 。
zh eng4 f ang1 x ing2 .
A O B ， B O C ， C O A （ O uei4 j i2 d ian3 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
【 t i2 sh i4 】 『 h a1 er3 b in1 d e0 z uei4 d i1 q i4 uen1 sh i4 『 2 』 sh e4 sh i4 d u4 ， z ai4 『 2 』 ch u4 h ua4 x iao3 üan2 d ian3 。 』
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 （ ， ） m an3 z u2 zh i2 x ian4 『 2 x y 0 』 . 』
（ 1 ） q iou2 f ( 2 ) d e0 zh i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d an1 x iang4 sh i4 』
g u4 sh eng2 z i0 d e0 z uei4 d i1 d ian3 j ü4 d i4 m ian4 d e0 j ü4 l i2 sh i4 0 . 5 m .
j ie3 ： （ 1 ） l ie4 b iao3 f a3 ：
A . k e3 i3 b iao3 sh i4 uei4 7 c m
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 』
s uo3 i3 x 8 0 sh i2 ， m ei3 j ian4 ch an3 p in3 d e0 sh eng1 ch an3 zh uen3 b ei4 f ei4 iong4 ü3 c ang1 ch u3 f ei4 iong4 zh i1 h e2 z uei4 x iao3 .
s uo3 i3 iou3 l iang3 g e4 j ie3 ，
d ang1 x 6 sh i2 ， sh i2 uei4 sh u4 z i4 sh i4 3 ， j i2 sh i4 3 6 s uei4 ， ü3 “ er2 l i4 zh i1 n ian2 d u1 d ong1 u2 ” x iang1 f u2 ；
d a2 an4 ： 2 4 d ai4 d a4 m i3 d e0 zh i4 l iang4 ， j i4 h ua4 m ei3 t ian1 ch i1 d e0 zh i4 l iang4 ， 1 6 。
j ie3 ： d ang1 x 0 sh i2 ， y 0 2 2 0 3 3 ，
1 m 2 x 2 1 x 2 h eng2 ch eng2 l i4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 m ing4 t i2 f ou3 d ing4 sh i2 ， x ü1 j iang1 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 “ c uen2 z ai4 ” g ai3 uei2 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 “ s uo3 iou3 ” . 』
t u2 sh i4 i2 g e4 üan2 t ai2 ü3 i2 g e4 üan2 zh u4 g ou4 ch eng2 d e0 z u3 h e2 t i3 ；
r uo4 A { y | y x 2 4 x 6 } ， B { x | 1 } ， z e2 “ a 5 ” sh i4 “ B A ” d e0 i2 g e4 t iao2 j ian4 .
üan2 zh u4 、 üan2 zh uei1 、 üan2 t ai2 h e2 q iou2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4
a x m y 2 sh i4 g uan1 ü2 x 、 y d e0 i2 g e4 d an1 x iang4 sh i4 q ie3 c i4 sh u4 uei4 5 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
i3 zh i1 a ， b ， c 2 ， sh i4 b i3 j iao4 a 、 b 、 c d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 .
j ie3 ： iou2 t u2 x iang4 k e3 zh i1 f ( 3 ) 1 ， f ( 1 ) 2 ，
d a2 ： d i4 1 m ian4 c ai3 q i2 ü3 d i4 5 5 m ian4 c ai3 q i2 x iang1 j ü4 6 0 0 m i3 。
l ian2 l i4 i3 sh ang4 l iang3 g e4 f ang1 ch eng2 z u3 j ie3 d e2 a 1 ， b 4 ， c 3 ， d 6 .
【 t i2 sh i4 】 『 p an4 d uan4 4 k 2 1 ü3 0 d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 ， x ü1 iao4 f en1 l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 k 2 ； 0 k 2 ， q iou2 j ie3 O P Q d e0 m ian4 j i1 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
（ 2 ） j iang1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d ai4 r u4 d ao4 x 2 y 2 4 x zh ong1 ， d e2 t 2 4 ( s i n c o s ) t 4 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
x üan3 x iang4 B ， c o s 2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 ，
s uo3 i3 c 1 ( c t c k ) ( c k c 1 ) 2 ， j i2 uei4 ( 2 k 2 ) 2 2 t 2 k ，
g u4 zh e4 g e4 üan2 zh uei1 t i3 t ie3 k uai4 d e0 g ao1 sh i4 9 f en1 m i3 。
x ia4 l ie4 p an4 d uan4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 d e2 f ( 5 ) f ( f ( 1 1 ) ) f ( 1 1 2 ) f ( 9 ) f ( f ( 1 5 ) ) f ( 1 3 ) 1 3 2 1 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g en1 j ü4 b i3 l i4 ch i3 z uo4 p ing2 m ian4 t u2 』
j ie3 ： d uei4 ü2 A ， h an2 sh u4 f ( x ) ü3 h an2 sh u4 g ( x ) x 1 d e0 zh i2 ü4 b u4 t ong2 ， g u4 b u4 b iao3 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 x ian4 A B ， B C d ou1 j ing1 g uo4 d ian3 B ， q ie3 d ou1 ü3 zh i2 x ian4 l p ing2 x ing2 ， z e2 A B ， B C uei4 『 t ong2 i1 』 t iao2 zh i2 x ian4 . 』
d a2 an4 ： （ 7 ， ） h e2 （ 1 ， ） .
（ 1 ） f en1 b ie2 q iou2 j ia3 d uei4 i3 3 : 0 ， 3 : 1 ， 3 : 2 h uo4 sh eng4 d e0 g ai4 l ü4 ；
iong4 f u2 h ao4 b iao3 sh i4 “ d ian3 A z ai4 zh i2 x ian4 l sh ang4 ， l z ai4 p ing2 m ian4 uai4 ” ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
d a2 an4 ： p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
B . 4 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 2 ， zh eng4 q üe4 ；
i2 g e4 d ao4 üan2 zh uei1 x ing2 r ong2 q i4 ， t a1 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 ， z ai4 r ong2 q i4 n ei4 f ang4 i1 g e4 b an4 j ing4 uei4 r d e0 t ie3 q iou2 ， b ing4 x iang4 r ong2 q i4 n ei4 zh u4 sh uei3 ， sh i3 sh uei3 m ian4 q ia4 h ao3 ü3 t ie3 q iou2 x iang1 q ie4 . j iang1 q iou2 q ü3 ch u1 h ou4 ， r ong2 q i4 n ei4 d e0 sh uei3 sh en1 sh i4 .
j ie3 ： üan2 d uei4 ing4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 ( y 2 ) 2 4 ， b iao3 sh i4 i3 C （ 0 ， 2 ） uei4 üan2 x in1 ， i3 2 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 ，
d u2 sh i1 c i2 j ie3 t i2 ： （ t ong1 g uo4 l ie4 f ang1 ch eng2 ， s uan4 ch u1 zh ou1 ü2 q ü4 sh i4 sh i2 d e0 n ian2 l ing2 ）
x üan3 x iang4 D ， c o s 4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 4 .
iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 d eng3 iao1 t i1 x ing2 A B C D d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 1 ， d e2 0 ，
i1 t i2 i4 ， iou2 ， d e2 A （ 1 ， 2 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t an4 j iou1 g uei1 l ü4 』
h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 x 2 y 4 0 ，
j ie3 d e2 ： x 1 3 h uo4 1 3 （ sh e3 q ü4 ） .
t a1 k e3 n eng2 ch eng2 d e0 j iao1 t ong1 g ong1 j ü4 uei4 h uo3 ch e1 h uo4 l uen2 ch uan2 ， q i4 ch e1 h uo4 f ei1 j i1 .
【 t i2 sh i4 】 『 i3 zh i1 i2 g e4 üan2 zh i2 j ing4 d e0 l iang3 d uan1 d ian3 f en1 b ie2 sh i4 M （ x 1 ， y 1 ） 、 N （ x 2 ， y 2 ） ， z e2 üan2 d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 ( x x 1 ) ( x x 2 ) ( y y 1 ) ( y y 2 ) 『 0 』 . 』
j ie3 ： j iang1 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 2 ) 2 ( y 1 ) 2 2 2 ， z e2 üan2 x in1 C （ 2 ， 1 ） ， b an4 j ing4 r 2 .
P z ai4 p ing2 m ian4 A B C d e0 sh e4 ing3 uei4 A B C d e0 uai4 x in1 O ，
C . d ian3 （ 2 ， ） zh ong1 x in1 d uei4 ch en4
c ong2 er2 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 ，
i1 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 ， t a1 k e3 n eng2 d e0 ü2 sh u4 iou3 1 、 2 、 3 、 4 zh e4 s i4 g e4 sh u4 ， zh e4 d ao4 t i2 d e0 ch u2 sh u4 sh i4 5 。
c ong2 er2 P Q d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 d 1 2 1 .
r uo4 zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 zh i2 x ian4 4 x k y 1 ch uei2 zh i2 ， z e2 ch ang2 sh u4 k .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
j ie3 ： üan2 m ing4 t i2 “ a 3 ， z e2 a 6 ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
（ 1 ） d uei4 f en1 l ei4 b ian4 l iang4 X ü3 Y d e0 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 K 2 d e0 g uan1 c e4 zh i2 k l ai2 sh uo1 ， k üe4 x iao3 ， p an4 d uan4 “ X ü3 Y iou3 g uan1 x i4 ” d e0 b a3 uo4 üe4 d a4 ；
g u4 sh e4 t x 1 ， g en1 j ü4 d an1 d iao4 x ing4 k e3 i3 f en1 x i1 d e2 d ao4 zh i2 ü4 uei4 （ 1 ， 1 ） s uo3 d uei4 ing4 d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ 0 ， 3 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 j ia1 j ian3 f a3 』
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 p in1 ch u1 l e0 j i3 g e4 zh e4 iang4 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 ， sh i2 zh i4 sh i4 q iou2 3 2 l i3 m ian4 iou3 j i3 g e4 『 8 』 ， iong4 『 ch u2 』 f a3 。 』
üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： 6 c o s ( ) .
（ 2 ） g uo4 d ong4 d ian3 M z uo4 q ü3 x ian4 E d e0 l iang3 t iao2 q ie4 x ian4 ， q ie1 d ian3 f en1 b ie2 uei4 A ， B ， q iou2 zh eng4 ： A M B d e0 d a4 x iao3 uei4 d ing4 zh i2 .
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a ， b sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 ，
j i2 0 h eng2 ch eng2 l i4 ，
j ie3 ： d ang1 a 0 sh i2 ， f ( a ) a 4 ， z e2 a 4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 g ong1 sh i4 』
（ 1 ） r uo4 f i ( x ) x i （ i N ） ， q iou2 F 2 ( 1 ) ， F 2 0 1 7 ( 2 ) d e0 zh i2 ；
z e2 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 j iao1 d ian3 （ c ， 0 ） d ao4 j ian4 j in4 x ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 d b ，
d e2 B C p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 ， r u2 t u2 ：
s i4 b ian1 x ing2 A D E A 1 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 ü3 B D 1 i4 m ian4 d e0 l eng2 iou3 t iao2 .
q iou2 h an2 sh u4 y 3 4 d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
f ( x ) z ai4 （ ， ） sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
1 . j iang1 x ia4 m ian4 t ong3 j i4 b iao3 b u3 ch ong1 uan2 zh eng3 ， b ing4 j iang1 sh ang4 m ian4 d iao4 zh a1 j i4 l u4 t ian2 z ai4 b iao3 n ei4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
d a2 ： zh e4 g e4 sh u3 p ian4 t ong3 d e0 r ong2 j i1 sh i4 0 . 2 8 2 6 sh eng1 。
j ie3 ： iou2 1 2 ， k e3 d e2 .
【 t i2 sh i4 】 『 2 0 1 2 4 m ei2 iou3 ü2 sh u4 ， sh i4 『 r uen4 』 n ian2 。 』
j ie3 ： d a2 an4 b u4 uei2 i1 ， r u2 ： 4 . 0 9 : 1 5 0 . 3 : 5 ， 0 . 9 : 0 . 1 4 5 : 5 。
g u4 d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 i2 d e0 x ing4 zh i4 』
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 2 c o s 0 d uei4 ing4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
（ 1 ） zh i4 sh ao3 iou3 1 g e4 b ai2 q iou2 ， d ou1 sh i4 b ai2 q iou2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
g u4 s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 y ( x 4 ) ， j i2 x 2 y 4 0 .
j ie3 ： iou2 t u2 zh i1 A 3 ， T 2 ( 7 3 ) 8 ，
d ang1 sh i2 ， sh e4 g uo4 d ian3 （ 0 ， ） d e0 zh i2 x ian4 uei4 y k x .
iou4 x 、 y t ong2 h ao4 ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( x 2 ) f ( x ) ， d ang1 x （ 0 ， 2 ） sh i2 ， f ( x ) x 2 ， z e2 f ( 7 ) .
j i2 sh i2 sh u4 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ ， ） .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) a x b （ a 0 ， a 1 ） d e0 d ing4 i4 ü4 h e2 zh i2 ü4 d ou1 sh i4 [ 1 ， 0 ] ， z e2 a b .
r u2 t u2 ， A ， B ， C ， D s i4 d ian3 z ai4 t ong2 i1 üan2 sh ang4 ， A B C D ， A D d e0 ian2 ch ang2 x ian4 ü3 B C d e0 ian2 ch ang2 x ian4 j iao1 ü2 E d ian3 .
j i2 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 ian4 s uan4 sh i2 ， f en1 x i1 1 3 5 ü3 3 d e0 ch eng2 j i1 ， z ai4 『 j ia1 』 2 ， sh i4 f ou3 d eng3 ü2 4 0 7 。 』
9 0 ） s an1 z u3 n ei4 d e0 n an2 sh eng1 zh ong1 ，
E M p ing2 f en1 B E F ， F N p ing2 f en1 C F E ，
j ie3 ： （ 1 ） b i3 s ai4 j ie2 sh u4 h ou4 j ia3 d e0 j in4 q iou2 sh u4 b i3 i3 d e0 j in4 q iou2 sh u4 d uo1 1 g e4 ， k e3 n eng2 iou3 i3 x ia4 j i3 zh ong3 q ing2 k uang4 ：
【 t i2 sh i4 】 『 a 、 b zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 d a4 ü2 1 d e0 f an3 m ian4 sh i4 a 、 b j ün1 『 x iao3 ü2 d eng3 ü2 』 1 . 』
f an3 zh i1 ， d ang1 c 1 sh i2 ， S n ( n 1 ) 2 c .
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 j i2 z uo4 b iao1 ü3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 f ang1 f a3 ， A （ 2 ， ） 、 B （ 2 ， ） 、 C （ 2 ， ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 n ei4 j iao3 h e2 d eng3 ü2 1 8 0 d u4 』
t ian2 b iao3 r u2 x ia4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
g en1 j ü4 “ p ing2 i2 ün4 d ong4 zh ong1 ， d uei4 ing4 j iao3 f en1 b ie2 x iang1 d eng3 ” k e3 d e2 ： B A C B A C ， A B C A B C ， A C B A C B ；
m ou3 l iang2 sh i2 d ian4 j ing1 x iao1 x iao3 m ai4 ， n ian2 x iao1 sh ou4 l iang4 uei4 6 0 0 0 q ian1 k e4 ， m ei3 q ian1 k e4 x iao3 m ai4 j in4 h uo4 j ia4 uei4 2 . 8 üan2 ， x iao1 sh ou4 j ia4 uei4 3 4 üan2 ， q üan2 n ian2 j in4 h uo4 r uo4 g an1 c i4 ， m ei3 c i4 d e0 j in4 h uo4 l iang4 j ün1 uei4 x q ian1 k e4 （ x N * q ie3 5 0 0 x 6 0 0 0 ） ， ün4 f ei4 uei4 6 2 . 5 üan2 c i4 ， b ing4 q ie3 q üan2 n ian2 x iao3 m ai4 d e0 z ong3 c uen2 ch u3 f ei4 iong4 uei4 1 . 5 x üan2 .
（ 1 ） r uo4 f ( x ) x ， x [ ， 2 ] ， zh eng4 m ing2 ： f ( x ) z ai4 [ ， 2 ] sh ang4 “ j ie1 x ian4 x ing4 j in4 s i4 ” ；
r u2 t u2 ， j iang1 A B C x ian1 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 1 g e4 d an1 uei4 ， z ai4 r ao4 d ian3 P an4 n i4 sh i2 zh en1 f ang1 x iang4 x üan2 zh uan3 9 0 ， d e2 d ao4 A B C ， z e2 d ian3 A d e0 d uei4 ing4 d ian3 A d e0 z uo4 b iao1 sh i4 （ ） .
j i2 k e3 d e2 A ü3 B d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 2 ） 、 （ 9 ， 6 ）
zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 üan2 zh uei1 ch eng1 z uo4 d eng3 b ian1 üan2 zh uei1 ， z e2 d eng3 b ian1 üan2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 j i1 sh i4 d i3 m ian4 j i1 d e0 （ ）
l ian2 l i4 ， d e2 7 x 2 6 x 1 0 ，
b u4 l i4 iong4 j i4 s uan4 q i4 g u1 j i4 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 z ai4 n a3 l iang3 g e4 zh eng3 sh u4 zh i1 j ian1 ：
【 t i2 sh i4 】 『 m ei3 zh ong3 x üan3 f a3 iou3 『 2 』 zh ong3 s ong4 f a3 。 』
（ 1 ） iou2 t i2 sh e4 k e3 d e2 ， A ， B ， C ， D d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 A （ 2 ， 0 ） ， B （ 1 ， 1 ） ， C （ 1 ， 1 ） ， D （ 2 ， 0 ） ，
（ 2 ） zh eng4 m ing2 f ( x ) z ai4 （ a ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 .
j ie3 ： sh e4 P d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 p t 2 ， 2 p t ） （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 “ x P ” sh i4 “ x Q ” d e0 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ， sh uo1 m ing2 j i2 h e2 Q sh i4 j i2 h e2 P d e0 『 z i0 j i2 』 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 2 0 0 8 n eng2 b ei4 4 zh eng3 ch u2 ， 2 0 0 8 n ian2 sh i4 『 r uen4 』 n ian2 ， 2 üe4 iou3 『 2 9 』 t ian1 。 』
sh e4 p ing2 m ian4 D E F ü3 p ing2 m ian4 A B C D s uo3 ch eng2 d e0 er4 m ian4 j iao3 （ r uei4 j iao3 ） uei4 ，
zh i2 x ian4 A B ü3 C P s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
j ie3 ： g en1 j ü4 g ei3 ch u1 d e0 j i3 h e2 t i3 d e0 zh an3 k ai1 t u2 k e3 zh i1 g ai1 j i3 h e2 t i3 uei4 üan2 zh u4 .
j ie3 ： s an1 sh i4 t u2 sh i4 iou2 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 x ing2 ch eng2 d e0 ， er2 B 、 C 、 D zh ong1 iou2 d ian4 d eng1 f a1 ch u1 d e0 g uang1 d e2 d ao4 d e0 t ou2 ing3 sh i4 zh ong1 x in1 t ou2 ing3 .
i3 zh i1 sh i2 sh u4 x ， y m an3 z u2 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 9 ， q iou2 x 2 y 2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 h e2 z uei4 x iao3 zh i2 .
j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2
C . b u4 n eng2 q üe4 d ing4
zh i2 x ian4 c o s s i n a ü3 üan2 2 c o s x iang1 q ie4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： i1 j ü4 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 、 l eng2 t ai2 d e0 t e4 zh eng1 f en1 x i1 k e3 zh i1 sh i4 l eng2 zh u4 ， sh i4 l eng2 zh uei1 ， sh i4 l eng2 t ai2 .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， t uo3 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） . sh e4 zh i2 x ian4 l ü3 t uo3 üan2 C x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
ü3 p q sh i4 j ia3 m ing4 t i2 uen3 h e2 .
（ 1 ） g ai1 j i3 h e2 t i3 zh ong1 j ian1 i2 g e4 k ong1 x in1 q iou2 d e0 b iao3 m ian4 j i1 ；
j ia1 j ü4 ch ang3 d e0 g ong1 r en2 iao4 j iang1 i1 k uai4 g ao1 6 d m 、 k uan1 h e2 zh ang3 d ou1 sh i4 4 m d e0 ch ang2 f ang1 t i3 m u4 l iao4 j ia1 g ong1 ch eng2 i2 g e4 üan2 zh uei1 （ j in3 l iang4 sh ao3 l ang4 f ei4 c ai2 l iao4 ） 。 zh e4 g e4 üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 h e2 g ao1 f en1 b ie2 sh i4 （ ） h e2 （ ） 。
d a2 an4 ： zh i2 j iao3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 sh u4 l iang4 j i1 d e0 x ing4 zh i4 j i2 q i2 ün4 s uan4 l ü4 』
s uo3 i3 C ， D ， F ， E s i4 d ian3 g ong4 m ian4 .
b a3 d ai4 r u4 ，
i3 zh i1 0 ， g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 s i4 g e4 j ie2 l uen4 ： a b ； a b a b ； | a | | b | ； a b b 2 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 j ie2 l uen4 d e0 x ü4 h ao4 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 g en1 sh i4 j ia1 j ian3 f a3 』
d e2 s i n . in1 c i3 ， p ing2 m ian4 A D C 1 ü3 p ing2 m ian4 A B A 1 s uo3 ch eng2 er4 m ian4 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 .
s uo3 iou3 d e0 s u4 sh u4 d ou1 sh i4 j i1 sh u4 ；
d ian4 ing3 f ang4 ing4 2 x iao3 sh i2 ， b en3 ch ang3 f ang4 ing4 j ie2 sh u4 h ou4 g e2 1 x iao3 sh i2 f ang4 x ia4 i1 ch ang3 。
d ang1 l iang3 p ing2 m ian4 b u4 ch uei2 zh i2 sh i2 ， z ai4 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 k e3 i3 zh ao3 d ao4 u2 sh u4 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 d e0 j iao1 x ian4 ch uei2 zh i2 ， g u4 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 』
（ 2 ） r uo4 iao4 z ai4 üan2 h u2 s ai4 d ao4 s uo3 d uei4 ing4 d e0 sh an4 x ing2 O D E q ü1 ü4 n ei4 j ian4 i2 g e4 j ü3 x ing2 c ao3 p ing2 ， j ü3 x ing2 d e0 i1 b ian1 z ai4 d ao4 l u4 O E sh ang4 ， i2 g e4 d ing3 d ian3 z ai4 b an4 j ing4 O D sh ang4 ， l ing4 uai4 i2 g e4 d ing3 d ian3 P z ai4 üan2 h u2 D E sh ang4 ， q ie3 P O E ， q iou2 d ang1 j ü3 x ing2 c ao3 p ing2 d e0 m ian4 j i1 q ü3 z uei4 d a4 zh i2 sh i2 d e0 zh i2 .
sh e4 p ing2 m ian4 P C B d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x ， y ， z ） ，
i1 p ing2 iou3 1 0 0 m L iao4 ie4 d e0 sh u1 ie4 p ing2 ， r u2 g uo3 m ei3 f en1 zh ong1 k e3 i3 sh u1 ie4 2 . 5 m L ， sh u1 ie4 1 2 f en1 zh ong1 h ou4 ， sh eng4 ü2 iao4 ie4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 。 q ing3 n i3 g uan1 ch a2 iou4 m ian4 sh u1 ie4 p ing2 zh ong1 ie4 m ian4 d e0 g ao1 d u4 ， q iou2 zh eng3 g e4 sh u1 ie4 p ing2 d e0 r ong2 j i1 。
iou4 in1 uei4 c e4 m ian4 A 1 A B B 1 ， D 1 D C C 1 uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 m n .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 、 f en1 sh u4 h e2 b ai3 f en1 sh u4 d e0 h u4 h ua4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
g u4 d a2 an4 uei4 .
sh e4 üan2 C j ie2 zh i2 x ian4 l s uo3 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 m ，
B . zh eng4 s i4 l eng2 zh u4 d ou1 sh i4 p ing2 x ing2 l iou4 m ian4 t i3
j ia3 s u4 d u4 uei4 a q ian1 m i3 sh i2 ， i3 d e0 s u4 d u4 sh i4 j ia3 d e0 4 b ei4 ， z e2 i3 d e0 s u4 d u4 uei4 q ian1 m i3 sh i2 .
（ 2 ） q iou2 zh eng4 ： d uei4 r en4 h e2 zh eng4 zh eng3 sh u4 n ， S 2 n s i n 2 [ 1 （ 1 ） n 1 t a n 2 n ]
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 i2 d ing4 ， t a1 d e0 zh ang3 h e2 k uan1 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i3 zh i1 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 sh i4 d uo1 sh ao3 ， q iou2 zh e4 g e4 sh u4 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， O uei4 j i2 d ian3 ， i3 zh i1 üan2 C d e0 üan2 x in1 uei4 （ 2 ， ） ， b an4 j ing4 r 1 ， P z ai4 üan2 C sh ang4 ün4 d ong4 .
j ing1 g uo4 ch ang2 q i1 g uan1 c e4 d e2 d ao4 ： z ai4 j iao1 t ong1 f an2 m ang2 d e0 sh i2 d uan4 n ei4 ， m ou3 g ong1 l u4 q i4 ch e1 d e0 ch e1 l iou2 l iang4 y （ q ian1 l iang4 sh i2 ） ü3 q i4 ch e1 d e0 p ing2 j ün1 s u4 d u4 v （ q ian1 m i3 sh i2 ） zh i1 j ian1 d e0 h an2 sh u4 g uan1 x i4 uei4 （ v 0 ） .
A . r uo4 l o g a 2 0 ， z e2 h an2 sh u4 f ( x ) l o g a x （ a 0 ， a 1 ） z ai4 q i2 d ing4 i4 ü4 n ei4 b u2 sh i4 j ian3 h an2 sh u4
ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 x iang1 h u4 p ing2 x ing2 ， z ai4 p ing2 m ian4 n ei4 ch eng2 l i4 ， z ai4 k ong1 j ian1 b u4 i2 d ing4 ch eng2 l i4 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
d a2 an4 ： r uo4 f ang1 ch eng2 x 2 x m 0 m ei2 iou3 sh i2 g en1 ， z e2 m 0 .
4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
m ing4 t i2 “ s uo3 iou3 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 d e0 sh u4 d ou1 sh i4 ou3 sh u4 ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 （ ）
i3 zh i1 b ian1 zh ang3 uei4 a d e0 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 A B C d e0 d ing3 d ian3 A z ai4 y zh ou2 d e0 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 sh ang4 i2 d ong4 ， d ing3 d ian3 B z ai4 x zh ou2 d e0 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 sh ang4 i2 d ong4 ， q iou2 d ing3 d ian3 C z ai4 d i4 i1 x iang4 x ian4 n ei4 d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
zh i2 j ie1 x ie3 ch u1 d e2 sh u4 。
zh e4 l iang3 g e4 x iang4 l iang4 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 b u4 ch ong2 h e2 ，
z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， A A 1 ü3 B 1 D s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 sh i4 （ ）
g u4 zh eng4 q üe4 ；
z uo4 ch u1 x ia4 l ie4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 b ing4 q iou2 ch u1 q i2 zh i2 ü4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 z u3 h e2 j i2 z u3 h e2 sh u4 g ong1 sh i4 』
ch an3 zh i2 z eng1 j ia1 1 0 uan4 üan2 d e0 i4 i4 sh i4 .
j ie3 ： in1 uei4 2 . 5 x 1 0 0 0 ， 0 . 2 5 y 1 0 0 0 ，
iou4 F G p ing2 f en1 E F D ，
g u4 b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 uei4 | a | | b | .
p q ie3 q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， z e2 p uei4 j ia3 m ing4 t i2 h uo4 q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ，
j ie3 ： in1 uei4 a b M ， a ， b ，
i3 zh i1 x ， y ， z j ün1 uei4 zh eng4 sh u4 ， q iou2 zh eng4 ： .
A C z ai4 sh uei3 p ing2 uei4 zh i4 ， A B C D sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 q i1 üe4 sh i4 『 d a4 』 üe4 ， iou3 『 3 1 』 t ian1 。 』
r u2 t u2 ， A B C D ， zh i2 x ian4 E F f en1 b ie2 j iao1 A B ， C D ü2 d ian3 E 、 F ， B E F d e0 p ing2 f en1 x ian4 j iao1 C D ü2 d ian3 G ， r uo4 E F G 7 2 ， z e2 E G F d eng3 ü2 （ ）
r uo4 d ian3 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， 1 ， 2 ） ， z e2 t a1 d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ ）
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， r u2 g uo3 A （ 2 ， ） ， B （ 2 ， ） uei4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 A B C d e0 l iang3 g e4 d ing3 d ian3 ， q iou2 d ing3 d ian3 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 .
“ l o g 2 2 x 0 ” sh i4 “ x 1 ” ch eng2 l i4 d e0 （ ）
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， zh i3 iou3 zh eng4 q üe4 .
l ing4 i4 f ang1 m ian4 ， d ang1 n 1 sh i2 ， y z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ；
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， A B C d e0 m ian4 j i1 uei4 h uo4 .
i3 zh i1 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 ， a 1 0 ， a n 1 2 a n n ， （ n N * ） .
k e3 n eng2 h uei4 d e2 d ao4 b u4 t ong2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ； üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 h e2 x zh ou2 i2 d ing4 iou3 j iao1 d ian3 er2 q ie3 sh i4 uei2 i1 d e0 j iao1 d ian3 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh uo1 f a3 iou3 （ ）
zh i2 x ian4 A 1 B ü3 zh i2 x ian4 D 1 C uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 ；
m ou3 n ian2 l iou4 i1 er2 t ong2 j ie2 sh i4 x ing1 q i1 er4 ， zh e4 n ian2 d e0 q i1 i1 j ian4 d ang3 j ie2 sh i4 x ing1 q i1 j i3 ？
d ian3 M d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 0 ， 2 ） .
j ie3 ： zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 uei4 c o s s i n 4 0 ，
j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 ： （ 2 ， ） ， （ 2 ， ） .
（ 1 ） q iou2 g ai4 l ü4 P ( X 0 ) d e0 zh i2 ；
r uo4 zh i2 x ian4 a b ， b ， z e2 a ；
j ie3 ： d uei4 j ian4 B er2 ian2 ， A ， C l iang3 j ian4 uei4 zh i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， uei4 f ang1 b ian4 q i3 j ian4 ， i3 A 、 B s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 uei4 x zh ou2 ， A B zh ong1 d ian3 O uei4 üan2 d ian3 j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 iou2 t i2 i4 A （ 3 ， 0 ） 、 B （ 3 ， 0 ） 、 C （ 5 ， 2 ） .
x ie3 ch u1 d ian3 A 、 B 、 C 、 D 、 E b iao3 sh i4 d e0 sh u4 。
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， A B C j iou4 sh i4 j iang1 A B C x ian1 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 1 g e4 d an1 uei4 ， z ai4 r ao4 d ian3 P an4 n i4 sh i2 zh en1 f ang1 x iang4 x üan2 zh uan3 9 0 d e2 d ao4 d e0 s an1 j iao3 x ing2 ，
iou3 i2 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 g ai1 j i3 h e2 t i3 ing1 sh i4 .
i3 zh i1 0 a 1 ， z e2 a ， ， a 2 d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 』
i3 zh i1 A ， B ， C i1 c i4 uei4 zh i2 x ian4 l sh ang4 d e0 s an1 g e4 d ing4 d ian3 ， d ong4 d ian3 P （ P l ） h eng2 m an3 z u2 A P B B P C 0 ， d ian3 P ü3 zh i2 x ian4 l z ai4 q üe4 d ing4 d e0 p ing2 m ian4 n ei4 ， q iou2 d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 ， b ing4 sh uo1 m ing2 g uei3 j i4 sh i4 sh en2 m e0 q ü1 x ian4 .
r u2 t u2 ， s an1 j iao3 x ing2 A B C ian2 sh e4 x ian4 O E d e0 f ang1 x iang4 p ing2 i2 i2 d ing4 d e0 j ü4 l i2 d ao4 s an1 j iao3 x ing2 A B C ， q ing3 l i4 iong4 p ing2 i2 x iang1 g uan1 zh i1 sh i2 zh ao3 ch u1 t u2 zh ong1 x iang1 d eng3 d e0 x ian4 d uan4 、 j iao3 h e2 uan2 q üan2 x iang1 t ong2 d e0 t u2 x ing2 ， b ing4 ü3 i3 j ie3 sh i4 .
r uo4 b en3 l i4 zh ong1 d e0 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 b ian4 uei4 d eng3 iao1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， A C uei4 x ie2 b ian1 ， iao1 zh ang3 uei4 a ， q i2 ü2 t iao2 j ian4 b u4 b ian4 ， r u2 h e2 q iou2 d ing3 d ian3 C z ai4 d i4 i1 x iang4 x ian4 n ei4 d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ？
z ai4 j iang1 g ai1 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： x 2 y 2 2 x 2 y 0 ， j i2 4 ，
s uo3 i3 2 ， j ie3 d e2 1 a 0 .
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： s i4 b ian1 x ing2 B C H G sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ；
j ie3 ： zh ong1 ， d ang1 a c ， q ie3 a ， b i4 m ian4 ， b ， c i4 m ian4 sh i2 ， z e2 a ü3 c g ong4 m ian4 ， g u4 c uo4 .
2 、 4 、 5 、 8 k e3 i3 z u3 ch eng2 d e0 l iang3 uei4 sh u4 iou3 ： 2 4 、 2 5 、 2 8 、 4 2 、 4 5 、 4 8 、 5 2 、 5 4 、 5 8 、 8 2 、 8 4 、 8 5 ， g ong4 1 2 g e4 。
j ie3 ： f ( x ) k e3 k an4 z uo4 sh i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 x zh ou2 sh ang4 i4 d ian3 P （ x ， 0 ） d ao4 l iang3 d ing4 d ian3 （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 1 ） ， d e0 j ü4 l i2 zh i1 h e2 ，
j ie3 ： p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 x 2 y 0 zh ong1 d e0 x R ， y 0 .
C . zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2
iou2 t i2 i4 ， d e2 x ， y ，
j ie3 ： d ang1 t 0 sh i2 ， x t 2 ， d ang1 t 0 sh i2 ， x t 2 ，
D . l iang3 t iao2 zh i2 x ian4
A . ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 r en4 sh i2 』
d ang1 t sh i2 ， m ian4 j i1 S q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 4 0 ，
h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 m 0 ，
d ang1 a 3 sh i2 ， B { 2 } ， ie3 m an3 z u2 t iao2 j ian4 .
d a2 an4 ： u2 sh u4 ； 1 。
iou4 B E p ing2 m ian4 P A D ， A D p ing2 m ian4 P A D ，
g u4 d i4 1 0 0 g e4 d an1 x iang4 sh i4 sh i4 ： ( 1 ) 1 0 0 1 ( 2 1 0 0 1 ) x 1 0 0 1 9 9 x 1 0 0 .
A B C d e0 d ing3 d ian3 A ， B ， C d e0 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 3 ， ） ， （ 3 ， ） ， （ 0 ， 0 ） ， d ong4 d ian3 d ao4 A ， B d e0 j ü4 l i2 d e0 p ing2 f ang1 h e2 d eng3 ü2 t a1 d ao4 C d ian3 d e0 j ü4 l i2 d e0 p ing2 f ang1 ， z e2 d ong4 d ian3 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
j ie3 ： p ao1 u4 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
j ie3 d e2 a h uo4 a （ sh e3 q ü4 ） .
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 ， g ou4 j ian4 （ 1 ， 3 9 ） ， （ 3 ， 3 7 ） ， （ 5 ， 3 5 ） ， （ 7 ， 3 3 ） ， （ 9 ， 3 1 ） ， （ 1 1 ， 2 9 ） ， （ 1 3 ， 2 7 ） ， （ 1 5 ， 2 5 ） ， （ 1 7 ， 2 3 ） ， （ 1 9 ， 2 1 ） 。
D . p ao1 u4 x ian4
（ 2 ） iou2 （ 1 ） k e3 zh i1 ， M N A 1 C 1 ，
j ian4 zh u4 g ong1 d i4 sh ang4 iou3 i1 g en1 üan2 zh u4 x ing2 g ang1 j in1 ， t a1 d e0 h eng2 j ie2 m ian4 j i1 sh i4 1 2 . 5 6 c m 2 ， zh ang3 sh i4 5 . 5 m 。 i3 zh i1 m ei3 l i4 f ang1 f en1 m i3 g ang1 j in1 zh ong4 7 . 8 k g ， zh e4 g en1 g ang1 j in1 zh ong4 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 ？ （ d e2 sh u4 b ao3 l iou2 zh eng3 sh u4 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d a1 p ei4 zh ong1 d e0 x üe2 uen4 』
（ 1 ） p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ，
（ 2 ） r uo4 C 1 ü3 C 2 iou3 q ie3 j in3 iou3 s an1 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， q iou2 C 1 d e0 f ang1 ch eng2 .
D . q iou2 d e0 zh i2 j ing4 b i4 g uo4 q iou2 x in1
zh i2 x ian4 d e0 d ian3 x ie2 sh i4 f ang1 ch eng2
（ 2 ） P uei4 zh i2 x ian4 l sh ang4 i1 d ong4 d ian3 ， d ang1 P d ao4 üan2 x in1 C d e0 j ü4 l i2 z uei4 x iao3 sh i2 ， q iou2 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 .
d a4 l i3 h e2 x iao3 l i3 i4 q i3 zh uang1 p ei4 i1 p i1 d ian4 d ong4 z i4 x ing2 ch e1 ， üan2 j i4 h ua4 m ei3 t ian1 zh uang1 p ei4 1 2 l iang4 ， 1 0 t ian1 uan2 ch eng2 。 sh i2 j i4 zh i3 iong4 l e0 8 t ian1 j iou4 uan2 ch eng2 l e0 r en4 u4 ， sh i2 j i4 m ei3 t ian1 zh uang1 p ei4 d ian4 d ong4 z i4 x ing2 ch e1 d uo1 sh ao3 l iang4 ？
x ia4 l ie4 x ü4 sh u4 c uo4 u4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 A 1 B ， p ing2 m ian4 A 1 D ， p ing2 m ian4 A C ， p ing2 m ian4 D 1 C j ün1 iou3 j iao1 x ian4 ， g ong4 4 t iao2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 ü3 t uei1 l uen4 』
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， l sh i4 g uo4 d ing4 d ian3 P （ 4 ， 2 ） q ie3 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 d e0 zh i2 x ian4 ； z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 （ i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， i3 x zh ou2 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 ， q ü3 x iang1 t ong2 d an1 uei4 ch ang2 d u4 ） zh ong1 ， q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 c o s .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 、 f en1 sh u4 h e2 b ai3 f en1 sh u4 d e0 h u4 h ua4 』
u3 l eng2 zh u4 zh ong1 u3 t iao2 c e4 l eng2 ch ang2 d u4 x iang1 t ong2 ；
（ 2 ） r uo4 z ai4 d i4 2 ， 3 ， 4 ， 5 z u3 iong4 f en1 c eng2 ch ou1 iang4 d e0 f ang1 f a3 s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 1 2 m ing2 j ia4 sh i3 r en2 üan2 z uo4 h uei2 f ang3 d iao4 ch a2 ，
r uo4 a 0 ， z e2 f ( x ) 2 x 3 z ai4 R sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， s uo3 i3 z ai4 [ 2 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 .
in1 uei4 b ai3 x ian4 g uo4 d ian3 （ 1 ， 0 ） ， l ing4 r ( 1 c o s ) 0 ， d e2 2 k ， d ai4 r u4 x r ( s i n ) ，
j ie3 ： B P 、 C P f en1 b ie2 sh i4 A B C h e2 A C B d e0 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 ，
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： x R ， x 2 ( a 1 ) x 1 0 ， m ing4 t i2 q ： x 0 R ， a x 0 2 2 a x 0 3 0 ， r uo4 p j ia3 q zh en1 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | 3 x 1 h uo4 x 0 } .
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 “ z ai4 i1 c i4 iou2 x i4 zh ong1 m o1 ch u1 i g e4 b ai2 q iou2 ” uei4 sh i4 j ian4 A i （ i ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ） ，
j ie3 ： c ong2 2 g e4 h ong2 q iou2 h e2 2 g e4 b ai2 q iou2 zh ong1 r en4 q ü3 l iang3 g e4 q iou2 ， i1 g ong4 iou3 ： h ong2 h ong2 ， h ong2 b ai2 ， b ai2 b ai2 3 zh ong3 q ing2 k uang4 .
d uei4 ü2 m ing4 t i2 “ d an1 d iao4 h an2 sh u4 b u2 sh i4 zh ou1 q i1 h an2 sh u4 ” ， x ia4 l ie4 ch en2 sh u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
l ing4 i1 b u4 f en4 sh i4 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh e4 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ang3 sh i4 1 2 f en1 m i3 ， k uan1 sh i4 6 f en1 m i3 。
j ie3 ： iou2 a 2 c 2 b 2 a b ， zh i1 a 2 b 2 c 2 a b ，
d ang1 P ü3 A h uo4 B ch ong2 h e2 sh i2 ， | P A | | P B | 0 ，
【 t i2 sh i4 】 『 ü3 7 x iang1 l in2 d e0 l iang3 g e4 uan2 q üan2 p ing2 f ang1 sh u4 sh i4 4 h e2 『 9 』 . 』
（ 1 ） h uo3 x ing1 b iao3 m ian4 sh ang4 ， b ai2 t ian1 z uei4 g ao1 uen1 d u4 üe1 uei4 5 ， er2 ie4 j ian1 z uei4 d i1 uen1 d u4 üe1 uei4 （ ） 。
d ang1 j ie2 m ian4 p ing2 x ing2 ü2 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 i2 g e4 c e4 m ian4 sh i2 ， k e3 g uo4 q iou2 x in1 j ie2 d e2 ；
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) m an3 z u2 d uei4 r en4 i4 d e0 x R d ou1 iou3 f ( x ) f ( x ) 2 ch eng2 l i4 ， z e2 f ( ) f ( ) … f ( ) .
（ 1 ） q iou2 p d e0 zh i2 ；
（ 1 ） q iou2 d e0 zh i2 .
j ie3 ： sh uei3 uei4 x ia4 j iang4 3 m sh i2 sh uei3 uei4 b ian4 h ua4 j i4 z uo4 3 m ， sh uei3 uei4 b u4 sh eng1 b u4 j iang4 sh i2 sh uei3 uei4 b ian4 h ua4 j i4 z uo4 0 m .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 x ian4 d uan4 A B sh ang4 q ü3 A C A C ，
g u4 d ang1 t 0 sh i2 ， | P C | q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 2 ， c i3 sh i2 d ian3 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
（ 2 ） in1 uei4 m ei3 g e4 r en2 d e0 x üan3 z e2 sh i4 x iang1 h u4 d u2 l i4 d e0 ， s uo3 i3 3 r en2 zh ong1 c an1 j ia1 g uo4 p ei2 x ün4 d e0 r en2 sh u4 X f u2 c ong2 er4 x iang4 f en1 b u4 ， j i2 X ～ B （ 3 ， 0 . 9 ） ，
in1 uei4 M N x zh ou2 ，
d ang1 f ( x ) 1 sh i2 ， k e3 d e2 x h uo4 x 5 ，
4 a c d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 9 .
sh i4 j ian4 z ong3 sh u4 b ao1 h an2 d e0 sh i2 j ian1 ch ang2 d u4 sh i4 5 .
j ie3 ： r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， A B ü3 C C 1 sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 .
z e2 d ang1 x 0 sh i2 ， h an2 sh u4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ，
d a2 ： j ü2 z i0 b i3 l i2 d uo1 2 2 q ian1 k e4 。
【 t i2 sh i4 】 『 x 2 h e2 y 2 d e0 x i4 sh u4 sh i4 a 2 c 2 ， x ü1 d uei4 a ， c d e0 g uan1 x i4 f en1 a c h e2 a 『 』 c l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 t ao3 l uen4 . 』
j ie3 ： iou2 ü2 2 x 2 y 2 ， c o s x ，
d a2 an4 ： { x | x h uo4 1 x 3 } .
s uo3 i3 2 t ( 2 k ) 2 3 2 k 4 ， j i2 2 t 2 ( 2 k 1 ) 2 3 2 k 2 1 （ * ） .
in1 uei4 zh i2 x ian4 l ： y k x 2 d e0 x ie2 l ü4 uei4 k ， s uo3 i3 q ie4 x ian4 p ing2 x ing2 ü2 A B .
h an2 sh u4 t u2 x iang4 k ai1 k ou3 x iang4 x ia4 ，
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 ， d e2
j ie3 d e2 1 x 4 ， c i3 sh i2 0 x 4 ；
x ia4 l ie4 g e4 sh i4 i2 d ing4 ch eng2 l i4 d e0 sh i4 （ ）
zh e4 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 A B B C x iang1 m ao2 d uen4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 』
f ou3 m ing4 t i2 ： r uo4 l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 b u4 x iang1 s i4 ， z e2 zh e4 l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 g e4 j iao3 d uei4 ing4 b u4 x iang1 d eng3 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
j ie3 ： zh ong1 u3 sh ang4 sh eng1 l e0 1 1 ，
j ia3 、 i3 l iang3 r en2 j in4 x ing2 p ing1 p ang1 q iou2 b i3 s ai4 ， üe1 d ing4 m ei3 j ü2 sh eng4 zh e3 d e2 1 f en1 ， f u4 zh e3 d e2 0 f en1 ， b i3 s ai4 j in4 x ing2 d ao4 iou3 i1 r en2 b i3 d uei4 f ang1 d uo1 2 f en1 h uo4 d a3 m an3 6 j ü2 sh i2 t ing2 zh i3 . sh e4 j ia3 z ai4 m ei3 j ü2 zh ong1 h uo4 sh eng4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 ， i3 z ai4 m ei3 j ü2 zh ong1 h uo4 sh eng4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 ， q ie3 g e4 j ü2 sh eng4 f u4 x iang1 h u4 d u2 l i4 ， b i3 s ai4 t ing2 zh i3 sh i2 i1 g ong4 d a3 l e0 X j ü2 .
d ang1 a 0 sh i2 ， h an2 sh u4 y x 1 ， z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
j i2 ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 2 ， üan2 C d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 2 ） ， b an4 j ing4 uei4 r ， q ü3 x üan2 zh uan3 j iao3 uei4 c an1 sh u4 ，
s uo3 i3 h an2 sh u4 f ( 2 x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 x [ ， ] ，
（ 1 ） d ang1 t 1 sh i2 ， q iou2 zh eng4 ： sh u4 l ie4 { } sh i4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ；
j ie3 ： sh e4 y a x （ a 0 q ie3 a 1 ） .
C E ü3 D 1 F b i4 x iang1 j iao1 ， sh e4 j iao1 d ian3 uei4 P ， r u2 t u2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 k e3 n eng2 sh i4 j ian4 j i2 q i2 g ai4 l ü4 』
（ 2 ） q iou2 er4 m ian4 j iao3 C B 1 A B d e0 p ing2 m ian4 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 .
d uei4 ü2 ， iou2 b 2 4 a c 0 k e3 zh i1 h an2 sh u4 t u2 x iang4 ü3 x zh ou2 zh i3 iou3 i2 g e4 j iao1 d ian3 ， g u4 h an2 sh u4 f ( x ) iou3 l ing2 d ian3 ， ch ong1 f en4 x ing4 ch eng2 l i4 ； d ang1 h an2 sh u4 f ( x ) iou3 l ing2 d ian3 sh i2 ， b 2 4 a c 0 ， b i4 iao4 x ing4 b u4 ch eng2 l i4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 4 2 3 . 1 4 8 3 . 1 4 ， 4 8 3 2 ， z e2 j i1 sh i4 『 l iang3 』 uei4 x iao3 sh u4 。 』
sh e4 zh e4 g e4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 l iang3 g e4 g en1 uei4 t 1 、 t 2 ，
（ 2 ） h ua2 sh i4 d u4 sh e4 sh i4 d u4 x 3 2 ， g ai1 uen1 d u4 sh i4 （ ） 。
x üan3 z e2 f ang1 an4 i1 。
h ua4 j ian3 b i3 。
f ei1 l ing2 x iang4 l iang4 h e2 m an3 z u2 ， z e2 ü3 d e0 j ia1 j iao3 uei4 6 0 . q i2 zh ong1 zh en1 m ing4 t i2 d e0 x ü4 h ao4 uei4 .
z e2 m ing4 t i2 “ j i1 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ” d e0 t iao2 j ian4 sh i4 h an2 sh u4 sh i4 j i1 h an2 sh u4 ， j ie2 l uen4 sh i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 .
g u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ 0 ， ] .
d ang1 x 0 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | x 1 } ，
d ang1 a 0 q ie3 b 0 sh i2 ， g ( x ) j i4 b u2 sh i4 j i1 h an2 sh u4 ie3 b u2 sh i4 ou3 h an2 sh u4 ；
d a2 ： uang2 sh i1 f u4 i1 g ong4 iao4 uei4 d eng1 zh u4 sh ua1 7 2 p ing2 f ang1 m i3 f ang2 x iou4 q i1 。
j ie3 ： d uei4 ü2 p ， h an2 sh u4 d uei4 ing4 d e0 f ang1 ch eng2 x 2 x 1 0 d e0 p an4 b ie2 sh i4 ( 1 ) 2 4 ( 1 ) 5 0 ，
j i2 üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ 4 ， 2 ） .
D . 0 d e0 x iang1 f an3 sh u4 d eng3 ü2 t a1 b en3 sh en1 ， z e2 üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 .
d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4
（ 1 ） q iou2 | O P | 2 | O Q | 2 d e0 zh i2 ；
d a2 ： m ei3 x ing2 ing1 g ai1 zh an4 2 4 r en2 。
z ai4 zh ang3 、 k uan1 、 g ao1 f en1 b ie2 uei4 5 ， 4 ， 3 d e0 ch ang2 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， iou2 d ing3 d ian3 A ian2 q i2 b iao3 m ian4 d ao4 d ing3 d ian3 C 1 d e0 z uei4 d uan3 j ü4 l i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
d ang1 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 uei4 [ ， 1 ] ， z e2 iou3 a ， d e2 a .
g u4 zh eng4 q üe4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ü3 x ing4 zh i4 』
（ 2 ） x iao3 ch ong2 l i2 k ai1 ch u1 f a1 d ian3 O z uei4 üan3 sh i2 sh i4 d uo1 sh ao3 l i2 m i3 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
j ie3 ： in1 uei4 f ( x ) uei4 m i4 h an2 sh u4 q ie3 z ai4 [ 0 ， ） sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh i3 iou3 m 、 n 『 x iang1 j iao1 』 sh i2 j ie2 l uen4 c ai2 ch eng2 l i4 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 t u2 x iang4 g uan1 ü2 x d uei4 ch en4 ， p ing2 i2 h ou4 d e0 z i4 b ian4 l iang4 d e0 zh i2 k e3 i3 uei4 『 』 . 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， M sh i4 A B sh ang4 i4 d ian3 ， N sh i4 A 1 C d e0 zh ong1 d ian3 ， M N p ing2 m ian4 A 1 D C .
d i4 s an1 c i4 ün4 x ing2 j ie2 g uo3 ： S ， n 8 ；
C . b u4 z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 b i4 b u2 sh i4 h e2 f ( x ， y ) 0
d a2 ： x ian4 z ai4 d e0 sh ou4 j ia4 b i3 üan2 l ai2 p ian2 i2 l e0 3 0 0 üan2 。
C 1 B C sh i4 B C 1 ü3 A D s uo3 ch eng2 j iao3 ，
D . üan2 l ai2 p ing2 x ing2 d e0 x ian4 d uan4 r eng2 r an2 p ing2 x ing2
i1 f en4 g ao3 j ian4 ， l in2 q ing1 d an1 d u2 d a3 x ü1 iao4 6 x iao3 sh i2 uan2 ch eng2 ， uang2 h ua2 d an1 d u2 d a3 x ü1 iao4 8 x iao3 sh i2 uan2 ch eng2 。 l iang3 r en2 h e2 z uo4 ， x ü1 iao4 j i3 x iao3 sh i2 uan2 ch eng2 ？
4 . ， ü3 x i1 b ei3 f ang1 x iang4 x iang1 d uei4 d e0 f ang1 x iang4 sh i4 d ong1 n an2 f ang1 x iang4 。
j ie3 ： h ua4 j ian3 2 2 s i n ( ) 4 0 ， d e2
b u4 d eng3 sh i4 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 .
x iao3 f eng1 d e0 m a1 m a1 m ai3 l e0 i1 b u4 2 9 ing1 c uen4 （ 7 4 c m ） d e0 d ian4 sh i4 j i1 ， x ia4 l ie4 d uei4 2 9 ing1 c uen4 d e0 sh uo1 f a3 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
（ 2 ） r u2 g uo3 x iao3 l i4 x ian4 z ai4 d e0 uei4 zh i4 sh i4 6 m ， sh uo1 m ing2 t a1 sh i4 x iang4 x i1 z ou3 l e0 6 m 。
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 8 s i n ( ) 1 3 0 ， i3 zh i1 A （ 1 ， ） ， B （ 3 ， ） ， P uei4 üan2 C sh ang4 i4 d ian3 ， q iou2 P A B m ian4 j i1 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
7 üe4 3 1 r i4 b en3 üe4 h uo3 sh i2 f ei4 zh i1 ch u1 1 1 5 0 üan2
r uo4 j i2 zh i2 d ian3 3 z ai4 [ s ， t ] sh ang4 ，
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 C ， iou2 a 3 b 3 q ie3 a b 0 ， zh i1 a 0 q ie3 b 0 ， s uo3 i3 ch eng2 l i4 ， g u4 C zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f an3 b i3 l i4 』
s uo3 i3 d ang1 x 2 sh i2 ， N M q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 ( 1 0 4 ) k .
j ie3 ： iou2 ( c o s s i n ) 2 ， d e2 C 1 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 .
g u4 d a2 an4 uei4 { x | x 0 } .
【 t i2 sh i4 】 『 sh u4 l ie4 { } sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ， q ie3 g ong1 b i3 sh i4 『 』 . 』
sh e4 in1 ing3 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 uei4 S ， j ü3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 uei4 3 ， iou2 j i3 h e2 g ai4 x ing2 d e0 g ai4 l ü4 g ong1 sh i4 ， d e2 P ( A ) ，
g uan1 ü2 j ian4 k ai1 x ian4 h e2 b ai3 x ian4 d e0 x ü4 sh u4 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
q ü1 x ian4 C 1 ü3 C 2 j iao1 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 1 ） .
j ie3 ： j iang1 （ 0 ） h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 k e3 d e2
zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 0 .
（ 2 ） iou2 t i2 i4 d e2 2 x k ，
i3 zh i1 m i4 h an2 sh u4 f ( x ) （ m N * ） .
s uo3 i3 A C 2 B A 2 B C 2 ， z e2 A B A C .
r uo4 g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 x 2 2 p x q ( x ) 2 ， z e2 p ， q .
d a2 an4 ： x iang1 j iao1 h uo4 i4 m ian4 .
f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 0 ， a ] .
g u4 d a2 an4 uei4 c .
iou4 C D p ing2 m ian4 A D D 1 A 1 ，
A . c uen2 z ai4 x 0 R ， sh i3 d e0 c o s x 0 1
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 』
sh e4 f u4 sh u4 z 1 i ， i sh i4 x ü1 sh u4 d an1 uei4 ， z e2 ( ) 2 （ ）
s i4 b ian1 x ing2 A 1 B C D 1 uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
q iou2 x ia4 l ie4 g e4 t u2 x ing2 d e0 t i3 j i1 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 d e0 iou3 ü2 sh u4 ch u2 f a3 』
j i2 m ing4 t i2 “ d uei4 r en4 i4 d e0 x R ， c o s x 1 ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 “ c uen2 z ai4 x 0 R ， c o s x 0 1 ” .
zh eng4 m ing2 ： sh e4 P （ s e c ， t a n ） ，
（ 2 ） ie3 k e3 i3 d e2 d ao4 （ ） d e0 üan2 zh u4 。
d a2 ： zh i4 sh ao3 iao4 ün4 1 2 c i4 ， c ai2 n eng2 b a3 q üan2 b u4 sh i1 sh eng1 ün4 g uo4 h e2 。
d ian3 （ x ， y ） sh i4 q ü1 x ian4 C ： （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 2 ） sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， z e2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
sh e4 A ， B ， P d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 f en1 b ie2 uei4 t A ， t B ， t P ， z e2 t P ， q ie3 t A ， t B m an3 z u2 t 2 2 t s i n 1 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
iou4 r 0 ， s uo3 i3 k N * .
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 b u4 l uen4 c ong2 n ei3 g e4 m ian4 q ü4 j ie2 ， j ie2 m ian4 d ou1 sh i4 『 üan2 』 x ing2 . 』
（ 2 ） q iou2 zh i2 x ian4 C C 1 ü3 p ing2 m ian4 A Q C 1 s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 .
q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ian4 r en4 f ang1 x iang4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 d e0 zh eng4 j iao1 f en1 j ie3 j i2 z uo4 b iao1 b iao3 sh i4 』
z ai4 j iang1 g ai1 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： x 2 y 2 2 x 2 y 0 ， j i2 4 ，
zh i2 x ian4 A B g uo4 d ian3 P （ 2 ， 1 ） ，
i3 zh i1 p ： { 0 } ， q ： { 2 } { 1 ， 2 ， 3 } . iou2 t a1 m en0 g ou4 ch eng2 d e0 x in1 m ing4 t i2 “ p ” ， “ q ” ， “ p q ie3 q ” ， “ p h uo4 q ” zh ong1 ， zh en1 m ing4 t i2 iou3 （ ）
2 . 4 üan2 2 üan2 4 j iao3 1 0 üan2 5 j iao3 1 0 . 5 üan2
D . x üan2 zh uan3 b u4 g ai3 b ian4 t u2 x ing2 d e0 x ing2 zh uang4
j ie3 ： iou2 p in2 l ü4 ü3 g ai4 l ü4 d e0 i4 i4 zh i1 ， zh eng4 q üe4 ； iou2 p in2 l ü4 ü3 g ai4 l ü4 zh i1 j ian1 d e0 g uan1 x i4 zh i1 ， c uo4 ， zh eng4 q üe4 .
（ 3 ） iou2 （ 1 ） t i2 zh ong1 f en1 x i1 k e3 d e2 g uei1 l ü4 4 4 1 ， 8 4 2 ， 1 2 4 3 …
iou2 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） k e3 d e2 y 1 2 s i n 2 1 2 x 2 （ 1 x 1 ） ，
j ie3 ： i3 üan2 x in1 uei4 üan2 d ian3 O ， sh eng2 d uan1 d ian3 d e0 ch u1 sh i3 uei4 zh i4 uei4 M 0 ， x iang4 l iang4 d e0 f ang1 x iang4 uei4 x zh ou2 zh eng4 f ang1 x iang4 ， j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 .
h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 8 y ，
iou2 z uo4 b iao1 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 d e2
D . d ang1 B C ， B D C D sh i2 ， S S A b u4 n eng2 zh eng4 m ing2 A B D A C D ， g u4 c uo4 u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
【 t i2 sh i4 】 『 “ l ing2 x ia4 ” h ou4 m ian4 d e0 sh u4 üe4 『 d a4 』 ， uen1 d u4 üe4 d i1 。 』
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ， （ t uei4 c an1 sh u4 ） s uo3 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
B D p ing2 m ian4 E F G H ， p ing2 m ian4 A B D s i4 b ian1 x ing2 E F G H E H ，
j ie3 ： （ 1 ） q ü3 j i2 d ian3 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 d e0 x zh ou2 ， q ü3 q i2 d an1 uei4 ch ang2 d u4 ， ü2 sh i4 ，
r u2 t u2 ， z ai4 zh i2 s an1 l eng2 zh u4 A 1 B 1 C 1 A B C zh ong1 ， A B A C ， A B A C 2 ， A 1 A 4 ， d ian3 D sh i4 B C d e0 zh ong1 d ian3 .
z ai4 A B C zh ong1 ， i3 zh i1 a 5 ， b 2 ， C 3 0 ，
p q ， q t ong2 sh i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 ，
t ong2 l i3 k e3 d e2 y 3 z 3 y z ( y z ) ， z 3 x 3 z x ( z x ) .
s uo3 i3 A C 1 m ian4 A 1 B C ，
x ia4 m ian4 iong4 sh u4 x üe2 g uei1 n a4 f a3 j in4 x ing2 zh eng4 m ing2 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 ：
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 （ ， ） sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ， a ， b R ， d uei4 m ing4 t i2 “ r uo4 a b 0 ， z e2 f ( a ) f ( b ) f ( a ) f ( b ) ” .
（ 1 ） q iou2 M d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ；
h ua4 j ian3 k e3 d e2 6 c o s ( ) .
s uo3 i3 üan2 x in1 uei4 （ 2 ， ） ， b an4 j ing4 r 2 .
d uei4 ü2 ， j ing1 g uo4 k ong1 j ian1 r en4 i4 s an1 d ian3 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i2 g e4 p ing2 m ian4 ， zh i3 iou3 d ang1 s an1 d ian3 b u4 g ong4 x ian4 sh i2 c ai2 n eng2 ch eng2 l i4 ， c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 g en1 d e0 p an4 b ie2 sh i4 』
j ie3 ： üan2 f ang1 ch eng2 z u3 b ian4 x ing2 uei4 ，
j i2 “ r uo4 1 x 2 ch eng2 l i4 ， z e2 m 1 x m 1 ie3 ch eng2 l i4 ” ，
j ie3 ： （ 1 ） j i4 j ia3 d uei4 i3 3 : 0 ， 3 : 1 ， 3 : 2 h uo4 sh eng4 f en1 b ie2 uei4 sh i4 j ian4 A ， B ， C .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， uang3 g e2 zh i3 d e0 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 sh i4 1 ， z ai4 q i2 sh ang4 iong4 c u1 x ian4 h ua4 ch u1 l e0 m ou3 d uo1 m ian4 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 ， z e2 zh e4 g e4 d uo1 m ian4 t i3 z uei4 zh ang3 d e0 i1 t iao2 l eng2 d e0 zh ang3 uei4 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 “ x iang1 j ian4 Z d uan1 sh i4 d uei4 m ian4 ” ， k e3 d e2 B d e0 d uei4 m ian4 uei4 F ， C d e0 d uei4 m ian4 sh i4 E .
p ： zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 sh i2 sh u4 x 0 ， sh i3 1 0 .
d uei4 ü2 D ， a b 0 sh i2 b u4 ch eng2 l i4 .
b iao3 sh i4 q ü1 ü4 D d e0 b u4 d eng3 sh i4 z u3 .
C 3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 0 ， t a n 0 2 ， x c o s ， y s i n ，
d a2 ： A 、 B l iang3 d i4 x iang1 j ü4 4 8 0 q ian1 m i3 。
C . j i4 sh i4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 iou4 sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4
d ai4 r u4 üan2 C ： 2 4 s i n ( ) 6 0 ， j i2 2 4 s i n 4 c o s 6 0 d e2 x 2 y 2 4 x 4 y 6 0 ，
s uan4 i1 s uan4 。
A . x ie2 b ian1 zh ang3 uei4 2 5
j ie3 b u4 d eng3 sh i4 x 3 1 ， d e2 1 x 1 ，
x ia4 l ie4 g e4 z u3 j i3 h e2 t i3 zh ong1 q üan2 sh i4 d uo1 m ian4 t i3 d e0 i1 z u3 sh i4 （ ）
s uo3 i3 B M p ing2 m ian4 D E . g u4 zh eng4 q üe4 ；
s uo3 i3 zh i2 x ian4 ü3 üan2 x iang1 l i2 .
D . j iou3 l eng2 zh u4 iou3 9 t iao2 c e4 l eng2 ， 9 g e4 c e4 m ian4 ， c e4 m ian4 uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2
i3 zh i1 g uang1 d e0 s u4 d u4 uei4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 m i3 m iao3 ， t ai4 iang2 g uang1 d ao4 d a2 d i4 q iou2 d e0 sh i2 j ian1 d a4 üe1 sh i4 5 0 0 m iao3 ， sh i4 j i4 s uan4 t ai4 iang2 ü3 d i4 q iou2 zh i1 j ian1 d e0 j ü4 l i2 d a4 üe1 sh i4 d uo1 sh ao3 q ian1 m i3 （ j ie2 g uo3 iong4 k e1 x üe2 j i4 sh u4 f a3 b iao3 sh i4 ） ？
h an2 sh u4 y c o s x d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x k （ k Z ） d uei4 ch en4 ， s uo3 i3 m ing4 t i2 q ie3 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ，
j ie3 ： d i4 q iou2 b an4 j ing4 uei4 R ， g ai1 d i4 z ai4 x i1 j ing1 6 0 、 n an2 uei3 4 5 ， j i4 g ai1 d i4 uei4 P ，
m ing4 t i2 “ ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 g e4 p ing2 m ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ” d e0 t iao2 j ian4 sh i4 （ ）
| t | ， | t | sh i4 d ing4 d ian3 M 0 （ 3 ， 1 ） d ao4 t d uei4 ing4 d e0 d ian3 M （ x ， y ） d e0 x iang4 l iang4 d e0 zh ang3 d e0 i2 b an4 .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， p ao1 u4 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 y 2 2 x ， l ü3 C j iao1 ü2 P 1 ， P 2 ， z e2 d ian3 A （ 0 ， 2 ） d ao4 P 1 ， P 2 l iang3 d ian3 j ü4 l i2 zh i1 h e2 sh i4 （ ）
j ie3 ： sh e4 M d ian3 d e0 z uo4 b iao1 sh i4 （ ， ） ， N （ 1 ， 1 ） .
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
D . iou2 n ei4 c uo4 j iao3 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 C ü3 1 sh i4 n ei4 c uo4 j iao3 ， s uo3 i3 D b u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
g ai1 ü3 j ü4 sh i4 q i2 sh i3 j ü4 ， b u2 sh i4 m ing4 t i2 .
j ie3 ： in1 uei4 sh i4 d e0 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ，
i3 zh i1 x x 1 3 ， z e2 x x zh i2 uei4 .
g u4 zh e4 l iang3 r en2 sh en1 g ao1 b u4 z ai4 t ong2 i1 z u3 n ei4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 s u4 ü3 j i2 h e2 ， j i2 h e2 ü3 j i2 h e2 zh i1 j ian1 d e0 g uan1 x i4 』
j ie3 ： in1 uei4 üan2 C d e0 üan2 x in1 uei4 zh i2 x ian4 s i n ( ) ü3 j i2 zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 ，
C . 1 ü3 4 sh i4 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 ， zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ian4 r en4 f ang1 x iang4 』
p ing2 m ian4 A B C p ing2 m ian4 B C D .
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） z ai4 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， B B 1 d i3 m ian4 A B C ，
q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 b i3 l i4 』
r uo4 d ian3 P d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ， ） ， z e2 P d ao4 zh i2 x ian4 O y d e0 j ü4 l i2 uei4 （ ）
üan2 x in1 （ ， 1 ） d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d 1 ，
i2 g e4 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 r ong2 q i4 zh ong1 zh uang1 iou3 sh ao3 l iang4 sh uei3 ， x ian4 j iang1 g ai1 r ong2 q i4 r ao4 zh e0 q i2 d i3 b u4 d e0 i1 t iao2 l eng2 q ing1 x ie2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 q ing1 x ie2 d e0 g uo4 ch eng2 zh ong1 ：
（ 1 ） l an2 q iou2 ün4 d ong4 üan2 iao2 m ing2 s an1 f en1 q iou2 d e0 m ing4 zh ong4 l ü4 uei4 9 0 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
【 t i2 sh i4 】 『 A ü3 『 B 』 sh i4 zh i2 x ian4 A D ， B C b ei4 A B s uo3 j ie2 x ing2 ch eng2 d e0 i1 z u3 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 、 f an3 b i3 l i4 d e0 ing4 iong4 』
D x üan3 x iang4 ， g en1 j ü4 l eng2 zh u4 d e0 j i3 h e2 t e4 zh eng1 k e3 p an4 d uan4 D zh eng4 q üe4 .
i2 g e4 l an2 q iou2 ch ang3 d e0 m ian4 j i1 üe1 5 0 0 p ing2 f ang1 m i3 。
r uo4 i1 p ing2 m ian4 j ie2 p ing2 x ing2 l iou4 m ian4 t i3 ， ü3 l iang3 z u3 x iang1 d uei4 d e0 m ian4 x iang1 j iao1 ， z e2 j ie2 m ian4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 x ing2 zh uang4 i2 d ing4 sh i4 .
E ， F ， G f en1 b ie2 sh i4 A 1 C 1 ， B C ， A B d e0 zh ong1 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
iong4 l iang3 zh ong3 f ang1 f a3 j ie3 f ang1 ch eng2 ： 2 x 2 3 7 x .
s uo3 i3 k ai1 sh i3 f ang4 d i4 3 ch ang3 d ian4 ing3 d e0 sh i2 j ian1 sh i4 1 2 : 3 0 。
（ 2 ） s i4 b ian1 x ing2 O A P B n eng2 uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2
i1 ch ang3 t i3 ü4 b i3 s ai4 zh ong1 ， i1 g ong4 iou3 8 m ing2 ün4 d ong4 üan2 ， r u2 g uo3 m ei3 l iang3 r en2 uo4 i1 c i4 sh ou3 , i1 g ong4 iao4 uo4 （ ） c i4 sh ou3 。
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 x 2 y 2 2 x y 0 ，
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 üan2 C （ uei4 c an1 sh u4 ） x iang1 q ie4 ， z e2 .
d ang1 x 2 1 ， j i2 x 3 sh i2 ， y 3 ，
g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 d e2 S üan2 t u2 x ing2 2 S zh i2 g uan1 t u2 .
i3 zh i1 ， C uei4 x ian4 d uan4 A B d e0 s an1 d eng3 f en1 d ian3 ， A B 9 ， D sh i4 x ian4 d uan4 A B sh ang4 i4 d ian3 ， r uo4 C D 2 ， z e2 B D .
【 t i2 sh i4 】 『 2 、 4 、 5 、 8 z u3 ch eng2 d e0 l iang3 uei4 sh u4 ， sh i2 uei4 iou3 『 4 』 zh ong3 x üan3 f a3 。 』
j ia3 、 i3 l iang3 r en2 g e4 z ou3 i1 d uan4 l u4 ， t a1 m en0 z ou3 d e0 sh i2 j ian1 b i3 sh i4 4 : 5 ， s u4 d u4 b i3 sh i4 5 : 3 ， t a1 m en0 s uo3 z ou3 d e0 l u4 ch eng2 b i3 sh i4 （ ） 。
d uei4 ü2 D ， t ong2 j iao3 d e0 ü2 j iao3 x iang1 d eng3 ， g u4 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
i3 zh i1 a b 0 ， q iou2 zh eng4 ： 2 a 3 b 3 2 a b 2 a 2 b .
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 k ong1 j ian1 n ei4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 k e3 n eng2 sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 、 『 x iang1 j iao1 』 zh i2 x ian4 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 j ian3 b ian4 ün4 s uan4 』
zh i2 x ian4 ， j i2 t a n ，
x ia4 l ie4 t u2 x ing2 r ao4 x ü1 x ian4 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 n eng2 x ing2 ch eng2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 j i3 h e2 t i3 d e0 sh i4 （ ）
sh uo1 f a3 b u4 zh eng4 q üe4 ， l ing2 x ing2 sh i4 p ing2 m ian4 j i3 h e2 x ing2 d e0 g ai4 n ian4 ， zh e4 s i4 d ian3 iou3 k e3 n eng2 b u4 z ai4 i2 g e4 p ing2 m ian4 sh ang4 ；
（ 1 ） r uo4 zh i2 x ian4 l j ing1 g uo4 üan2 C d e0 üan2 x in1 ， q iou2 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 ；
r uo4 h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 （ 1 ， 1 ） ， z e2 h an2 sh u4 f ( 4 x ) d e0 t u2 x iang4 i2 d ing4 j ing1 g uo4 d ian3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g u1 s uan4 u2 l i3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
j ie3 ： sh e4 g ong4 j in4 x ing2 l e0 n c i4 sh i4 ian4 ， z e2 0 . 0 1 ，
iou2 sh ang4 k e3 zh i1 S i ( 2 i 1 ) sh i4 2 i 1 d e0 b ei4 sh u4 ， er2 a i ( 2 i 1 ) j 2 i 1 （ j 1 ， 2 ， … ， 2 i 1 ） ，
j ie3 ： d uei4 ü2 2 0 1 4 n ian2 2 üe4 1 4 r i4 sh i4 üan2 x iao1 j ie2 ， iou4 sh i4 q ing2 r en2 j ie2 ， k e3 d e2 ch u1 iou3 l uo2 j i2 l ian2 j ie2 c i2 “ q ie3 ” ；
zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 c e4 m ian4 j i1 h e2 b iao3 m ian4 j i1
n i3 zh i1 d ao4 m a0 ？
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， sh e4 d ian3 C d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） ， g uo4 d ian3 C z uo4 x zh ou2 d e0 ch uei2 x ian4 j iao1 x zh ou2 ü2 M ，
q iou2 d e0 t i3 j i1 h e2 b iao3 m ian4 j i1
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 』
j ie3 ： h an2 sh u4 y x 2 2 x 5 ，
s uo3 i3 B C p ing2 m ian4 P A C ， c ong2 er2 p ing2 m ian4 P B C p ing2 m ian4 P A C .
i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 ü3 l ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 d ou1 p ing2 x ing2 ， n a4 m e0 zh e4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 x iang1 h u4 p ing2 x ing2 ， in1 c i3 b u4 zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ： zh eng4 q üe4 d e0 iou3 4 g e4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n i4 b ian4 h uan4 ü3 n i4 j ü3 zh en4 』
z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D zh ong1 ， E ， F f en1 b ie2 sh i4 l eng2 A B ， B C d e0 zh ong1 d ian3 ， O sh i4 d i3 m ian4 A B C D d e0 zh ong1 x in1 . q iou2 zh eng4 ： E F p ing2 m ian4 B B 1 O .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 』
j ie3 ： d ang1 a 2 ， b 3 sh i2 ， a b ， | a | | b | ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r en2 m in2 b i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
“ t i1 x ing2 b u2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 .
d uei4 ü2 C ， i3 j ing1 sh i4 z uei4 j ian3 x ing2 sh i4 ， g u4 sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 ；
（ 3 ） （ a ， b uei4 d a4 ü2 l ing2 d e0 ch ang2 sh u4 ， t uei4 c an1 sh u4 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
j ian3 d an1 z u3 h e2 t i3 d e0 j ie2 g ou4 t e4 zh eng1
iou4 in1 uei4 0 ，
j iang1 d ian3 P （ 2 0 1 3 ， 2 0 1 4 ） d ai4 r u4 zh ong1 ，
sh i2 sh u4 a d e0 d ao4 sh u3 uei4 .
j iang1 i1 k uai4 zh i4 l iang4 uei4 1 5 6 g d e0 g ang1 c ai2 zh u4 ch eng2 i2 g e4 d i3 m ian4 j i1 sh i4 1 2 c m 2 d e0 üan2 zh uei1 x ing2 l ing2 j ian4 ， zh e4 g e4 üan2 zh uei1 x ing2 l ing2 j ian4 d e0 g ao1 sh i4 d uo1 sh ao3 l i2 m i3 ？ （ zh e4 zh ong3 g ang1 c ai2 m ei3 l i4 f ang1 l i2 m i3 d e0 zh i4 l iang4 uei4 7 . 8 g ）
iou2 a n （ n N * ） ， k e3 d e2 a n 1 ， 3 a n 2 0 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 j ie3 j i2 uei4 （ ， 2 ） （ 1 ， 0 ） （ 0 ， 1 ） （ 2 ， ） .
s uo3 i3 | O T | 2 ， j i2 x ian4 d uan4 O T d e0 ch ang2 d u4 uei4 d ing4 zh i2 2 .
j ie3 ： （ 1 ） z ai4 R t P A B zh ong1 ， A P B 6 0 ， P A 1 ，
（ 2 ） üan2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 sh i4 i2 g e4 q ü3 m ian4 ， d an4 zh an3 k ai1 h ou4 d e0 x ing2 zh uang4 h e2 üan2 zh u4 c e4 m ian4 d e0 x ing2 zh uang4 b u4 t ong2 ， üan2 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 uei4 p ao1 u4 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4 .
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x y z 1 sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ，
2 0 1 9 n ian2 “ sh i2 i1 ” h uang2 j in1 zh ou1 q i1 j ian1 （ 7 t ian1 ） ， b ei3 j ing1 sh i4 j ie1 d ai4 l ü3 iou2 z ong3 r en2 sh u4 uei4 9 2 0 . 7 uan4 r en2 c i4 ， l ü3 iou2 z ong3 sh ou1 r u4 1 1 1 . 7 i4 üan2 q i2 zh ong1 1 1 1 . 7 i4 iong4 k e1 x üe2 j i4 sh u4 f a3 b iao3 sh i4 uei4 （ ）
j iao1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 m ian4 iou3 s an1 g e4 t e4 x ing4 ： p ing2 h ua2 ； 『 u2 h ou4 d u4 』 ； k e3 i3 u2 x ian4 ian2 zh an3 。 』
D . 0 sh i4 d an1 x iang4 sh i4 ， g u4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 .
c i3 sh i2 s uo3 d e0 h an2 sh u4 t u2 x iang4 j ing1 g uo4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， z e2 iou3 2 k ， k Z ， k e3 d e2 k ， k Z ，
【 t i2 sh i4 】 『 『 0 』 ch u2 i3 r en4 h e2 sh u4 d ou1 d eng3 ü2 0 。 』
a ü3 n ei4 d e0 u2 sh u4 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： （ 1 ） f en1 b ie2 i3 A B ， A C ， A A 1 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 uei4 x 、 y 、 z zh ou2 j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， B （ 2 ， 0 ， 0 ） ， C （ 0 ， 4 ， 0 ） ， A 1 （ 0 ， 0 ， 3 ） ， B 1 （ 2 ， 0 ， 3 ） ， C 1 （ 0 ， 4 ， 3 ） .
z ai4 A B C zh ong1 ， iou2 A B C ， iou3 s i n ( A B ) s i n ( C ) s i n C ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ü2 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
d a2 an4 ： j ia3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 d uan4 h an2 sh u4 d e0 ing4 iong4 』
iou4 zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
j ie3 ： sh e4 Q （ x ， y ） ， M （ s ， t ） ， z e2 N （ 0 ， t ） ， s 2 t 2 4 . （ * ）
i3 zh i1 j ü3 zh en4 M d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 1 1 j i2 d uei4 ing4 d e0 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 e [ ] . q iou2 j ü3 zh en4 M d e0 n i4 j ü3 zh en4 .
【 t i2 sh i4 】 『 r u2 g uo3 i2 g e4 m ing4 t i2 d e0 t iao2 j ian4 ü3 j ie2 l uen4 f en1 b ie2 sh i4 l ing4 i2 g e4 m ing4 t i2 d e0 j ie2 l uen4 ü3 t iao2 j ian4 ， n a4 m e0 zh e4 l iang3 g e4 m ing4 t i2 ch eng1 uei2 『 h u4 n i4 』 m ing4 t i2 . 』
j ie3 ： u2 l i3 sh u4 sh i4 u2 x ian4 b u4 x ün2 h uan2 x iao3 sh u4 ， q ie3 b u4 n eng2 iong4 zh eng3 sh u4 x iang1 ch u2 d e0 x ing2 sh i4 b iao3 sh i4 ，
q ü3 b ing4 j i2 uei4 ： x ( ， 1 ] [ 3 ， ) ，
z e2 M d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 2 ） .
s an1 l eng2 zh uei1 d e0 l eng2 zh ang3 uei4 3 ，
z e2 ， q ü3 y 2 ， d e2 （ 4 ， 2 ， 1 ） ，
z e2 ， sh i4 zh eng4 sh i2 sh u4 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 uei4 ：
m ing4 t i2 “ a 3 ， z e2 a 6 ” i3 j i2 t a1 d e0 n i4 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2 、 n i4 f ou3 m ing4 t i2 zh ong1 ， zh en1 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 uei4 （ ）
g uan1 ch a2 i3 x ia4 s i4 g e4 sh i4 z i0 ： 2 ； 3 ； 4 ； 5 ， n i3 c ong2 zh ong1 f a1 x ian4 l e0 sh en2 m e0 g uei1 l ü4 ？ （ iong4 h an2 n d e0 sh i4 z i0 b iao3 sh i4 ） ， j ü3 ch u1 i2 g e4 b u4 t ong2 ü2 i3 sh ang4 s i4 g e4 sh i4 z i0 d e0 l i4 z i0 ： .
c a b ， d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 a x 2 b x c 0 zh ong1 ， d e2 a x 2 b x a b 0 ，
d a2 ： zh e4 g en1 g ang1 j in1 zh ong4 5 4 q ian1 k e4 。
g en1 j ü4 f u4 h e2 h an2 sh u4 d an1 d iao4 x ing4 zh i1 j ian1 d e0 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 y f ( x ) f ( x ) z ai4 ( ， 0 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ， g u4 zh eng4 q üe4
z ong1 sh ang4 ， g ong4 iou3 3 g e4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 .
z ai4 t ong2 i1 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， j iang1 q ü1 x ian4 y 4 s i n 2 x b ian4 uei4 q ü1 x ian4 y s i n x d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 g ong1 sh i4 sh i4 （ ）
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ：
t u2 sh i4 sh ang4 h ai3 sh i4 b o2 h uei4 zh ong1 g uo2 g uan3 ， q i2 zh u3 t i3 j ie2 g ou4 sh i4 s i4 l eng2 t ai2 ；
g u4 x ian4 d uan4 P Q d e0 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 p ， p ） .
j ie3 ： （ 1 ） b a3 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ t uei4 c an1 sh u4 ， uei4 q ing1 x ie2 j iao3 ） ， x iao1 q ü4 c an1 sh u4 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y 4 t a n ( x 3 ) ， j i2 t a n x y 4 3 t a n 0 .
zh i2 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 ， j i2 x y 1 0 .
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 A D B C ， d e2 『 C 1 B C 』 sh i4 B C 1 ü3 A D s uo3 ch eng2 j iao3 . 』
j ie2 m ian4 p ing2 x ing2 ü2 sh ang4 x ia4 d i3 ， q ie3 ü3 sh ang4 x ia4 d i3 d eng3 j ü4 l i2 ，
j ie3 ： h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 uei4 ：
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） l ian2 j ie1 C O b ing4 ian2 ch ang2 ， j iao1 A B ü2 d ian3 H .
m ian4 j i1 b u4 x iang1 d eng3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 ， i1 d ing4 b u4 n eng2 uan2 q üan2 ch ong2 h e2 ， g u4 D zh eng4 q üe4 .
j ie3 ： s uo3 q iou2 g ai4 l ü4 .
s uo3 i3 b u4 d eng3 sh i4 | x 1 | 2 x m j i2 | x 1 | 2 x 1 8 ， s uo3 i3 2 x 1 8 x 1 2 x 1 8 ， j ie3 d e2 x ，
i3 zh i1 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 ， g uo4 üan2 C sh ang4 d e0 i1 d ong4 d ian3 M z uo4 p ing2 x ing2 ü2 x zh ou2 d e0 zh i2 x ian4 m ， sh e4 zh i2 x ian4 m ü3 y zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 uei4 d ian3 N ， r uo4 x iang4 l iang4 ， q iou2 d ong4 d ian3 Q d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
d ang1 0 ， j i2 a 3 sh i2 ， B ， m an3 z u2 t iao2 j ian4 ；
（ 4 ） üan2 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 i4 b an1 x ing2 sh i4 ： 5 x 2 x 4 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
d ang1 sh i2 ， x ian1 z ai4 j ia3 x iang1 zh ong1 m o1 q iou2 ， z ai4 z ai4 i3 x iang1 zh ong1 m o1 q iou2 ， c an1 ü4 zh e3 h uo4 j iang3 j in1 q i1 uang4 zh i2 j iao4 d a4 ；
g u4 q i2 z uei4 d a4 zh i2 ü3 z uei4 x iao3 zh i2 zh i1 h e2 uei4 a 1 a 2 6 ，
（ 2 ） zh i2 x ian4 l h e2 q ü1 x ian4 C x iang1 j iao1 ü2 l iang3 d ian3 A 、 B ， q iou2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
r uo4 x 1 ， z e2 2 ( 1 x ) 1 0 ， s uo3 i3 x ；
d ang1 m 1 ， n 3 sh i2 ， m n q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 4 .
j ie3 ： üan2 sh i4 3 .
d a4 üan2 d e0 m ian4 j i1 ( 3 r ) 2 9 r 2 ，
A . iou3 l iang3 g e4 m ian4 p ing2 x ing2 ， q i2 ü2 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 j i3 h e2 t i3 j iao4 l eng2 zh u4
2 1 1 8 3 7 8 （ m i3 ） ， h e2 h u1 t i2 i4 ；
l ing4 f ( ) 0 ， d e2 j ü3 zh en4 M d e0 t e4 zh eng1 zh i2 uei4 1 2 h uo4 2 3 ，
（ 2 ） zh eng4 s i4 l eng2 zh u4 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3 . （ t ian2 “ i2 d ing4 ” “ b u4 i2 d ing4 ” h uo4 “ i1 d ing4 b u4 ” ）
【 t i2 sh i4 】 『 n eng2 b ei4 『 4 0 0 』 zh eng3 ch u2 d e0 zh eng3 b ai3 n ian2 f en4 sh i4 r uen4 n ian2 ， 2 1 0 0 sh i4 zh eng3 b ai3 sh u4 。 』
（ ） r uo4 f ( x 0 ) ， q ie3 x 0 （ ， ） ， q iou2 f ( x 0 1 ) d e0 zh i2 .
4 . 3 5 8 ( 1 5 2 0 4 ) ü3 [ 3 5 8 ( 1 5 2 0 ) ] 4 d e0 j ie2 g uo3 x iang1 t ong2 。 （ ）
z ai4 i1 c i4 sh e4 j i1 b i3 s ai4 zh ong1 ， j ia3 、 i3 l iang3 uei4 ün4 d ong4 üan2 g e4 sh e4 j i1 i1 c i4 ， sh e4 m ing4 t i2 p ： “ j ia3 d e0 ch eng2 j i4 ch ao1 g uo4 9 h uan2 ” ， m ing4 t i2 q ： “ i3 d e0 ch eng2 j i4 ch ao1 g uo4 8 h uan2 ” ， z e2 m ing4 t i2 “ p ( q ) ” b iao3 sh i4 .
j ie3 d e2 p 2 h uo4 6 .
（ 2 ） d eng3 sh i4 l iang3 b ian1 ch u2 i3 t ong2 i1 g e4 b u4 uei4 l ing2 d e0 sh u4 ， j ie2 g uo3 r eng2 sh i4 d eng3 sh i4 ， sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， d an4 b u4 n eng2 z uo4 uei2 d ing4 l i3 ；
j ie3 ： in1 uei4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ） b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 i3 üan2 d ian3 uei4 üan2 x in1 ， 1 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 ，
r u2 t u2 ， z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh ong1 ， P A d i3 m ian4 A B C ， P A A B ， z e2 zh i2 x ian4 P B ü3 p ing2 m ian4 A B C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 .
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 d ong4 d ian3 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ， z e2 M uei4 （ 0 ， ） .
d a2 ： z uo4 zh e4 g e4 d an4 g ao1 h e2 i1 g ong4 x ü1 iao4 0 . 3 3 p ing2 f ang1 m i3 d e0 c ai2 l iao4 。
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ ， ] .
j ie3 ： iou2 üe1 sh u4 t iao2 j ian4 z uo4 k e3 x ing2 ü4 r u2 t u2 ：
d uei4 ü2 ， d ang1 0 x 1 sh i2 ， f ( ) x f ( x ) ，
j ie3 ： sh e4 j ing1 g uo4 b ian4 h uan4 b ian4 h uan4 h ou4 d e2 d ao4 q ü1 x ian4 C 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 b i3 l i4 』
x ia4 l ie4 ü3 j ü4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 』
j ia3 、 i3 、 b ing3 s an1 d uei1 m ei2 d e0 zh i4 l iang4 b i3 sh i4 2 : 3 : 5 ， s an1 d uei1 m ei2 p ing2 j ün1 zh ong4 1 5 d uen1 。 j ia3 d uei1 m ei2 b i3 i3 d uei1 m ei2 sh ao3 d uo1 sh ao3 d uen1 ？
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 x ing2 l ing2 j ian4 h e2 üan2 zh uei1 x ing2 l ing2 j ian4 d e0 t i3 j i1 x iang1 t ong2 ， d i3 m ian4 j i1 x iang1 t ong2 ， z e2 üan2 zh uei1 x ing2 l ing2 j ian4 d e0 g ao1 sh i4 üan2 zh u4 x ing2 l ing2 j ian4 d e0 g ao1 d e0 『 3 』 b ei4 。 』
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
i3 zh i1 t uo3 üan2 G ： （ a b 0 ） d e0 l i2 x in1 l ü4 uei4 ， z uo3 d ing3 d ian3 uei4 A ， sh ang4 d ing3 d ian3 uei4 E ， O sh i4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， O A E m ian4 j i1 uei4 .
üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 j i1 sh i4 üan2 zh uei1 d i3 m ian4 j i1 d e0 2 b ei4 ， s uo3 i3 S 1 2 S 2 ，
r u2 t u2 ， z ai4 A B C zh ong1 ， B C 2 4 ， B C d e0 ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 x ian4 f en1 b ie2 j iao1 A B 、 B C ü2 d ian3 E 、 D ， B E 1 4 ， sh i4 q iou2 B C E d e0 zh ou1 ch ang2 .
d ang1 t sh i2 ， g ( t ) q ü3 d e0 j i2 d a4 zh i2 ， j i2 z uei4 d a4 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f an3 h an2 sh u4 』
h an2 sh u4 f ( x ) ( m 2 m 1 ) x m 2 m 3 sh i4 m i4 h an2 sh u4 ， q ie3 d ang1 x ( 0 ， ) sh i2 ， f ( x ) sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ， z e2 f ( x ) .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 i1 t iao2 c e4 l eng2 zh eng4 d uei4 zh eng4 q ian2 f ang1 ， z e2 q i2 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
【 t i2 sh i4 】 『 r uo4 1 9 6 4 n eng2 g ou4 b ei4 『 4 』 zh eng3 ch u2 ， z e2 1 9 6 4 n ian2 sh i4 r uen4 n ian2 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 b ei4 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 、 ü2 x ian2 、 zh eng4 q ie1 』
sh e4 d ian3 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 uei4 （ 1 ， 1 ， ） ， z e2 d ian3 M d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 ， q iou2 z uo4 b iao1 uei4 .
iao4 sh i3 d e0 f ( 2 ) sh i4 2 d e0 zh eng3 sh u4 b ei4 ， z e2 zh e4 6 x iang4 zh ong1 ， zh i3 n eng2 iou3 0 x iang4 、 2 x iang4 、 4 x iang4 、 6 x iang4 q ü3 1 ，
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 c o s ü3 c o s d e0 t u2 x ing2 sh i4 （ ）
（ 1 ） g en1 j ü4 h eng2 d eng3 sh i4 ( 1 x ) m n ( 1 x ) m ( 1 x ) n （ m ， n N * ） l iang3 b ian1 x k （ q i2 zh ong1 k N ， k m ， k n ） d e0 x i4 sh u4 x iang1 t ong2 ， zh i2 j ie1 x ie3 ch u1 i2 g e4 h eng2 d eng3 sh i4 ；
s uo3 i3 üan2 x in1 uei4 （ 0 ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 2 ；
sh e4 zh eng4 sh i2 sh u4 x ， y ， z m an3 z u2 x 2 3 x y 4 y 2 z 0 . z e2 d ang1 q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i2 ， d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 （ ）
zh ang1 l ao3 sh i1 q ü4 m ai3 l iou4 i1 j ie2 l i3 u4 ， t a1 d ai4 d e0 q ian2 an4 zh ao4 üan2 j ia4 k e3 i3 m ai3 m ou3 zh ong3 l iou1 l iou1 q iou2 2 0 g e4 ， x ian4 z ai4 zh e4 zh ong3 q iou2 d a3 b a1 zh e2 ch u1 sh ou4 ， zh ang1 l ao3 sh i1 x ian4 z ai4 k e3 i3 d uo1 m ai3 d uo1 sh ao3 g e4 zh e4 zh ong3 l iou1 l iou1 q iou2 ？
（ 1 ） sh e4 n 1 1 ， q iou2 | a 6 | | a 7 | | a 8 | | a 9 | | a 1 0 | | a 1 1 | d e0 zh i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d a1 p ei4 zh ong1 d e0 x üe2 uen4 』
【 t i2 sh i4 】 『 iao4 m an3 z u2 h an2 sh u4 z ai4 [ 1 ， 3 ] sh ang4 sh i4 d an1 f eng1 h an2 sh u4 ， j iou4 iao4 q iou2 h an2 sh u4 z ai4 [ 1 ， 3 ] n ei4 zh i3 iou3 uei2 i1 d e0 z uei4 『 d a4 』 zh i2 d ian3 . 』
s uo3 i3 d ang1 x sh i2 ， er4 c i4 g en1 sh i4 iou3 i4 i4 .
q iou2 q ü3 ch u1 h ou4 ， sh uei3 m ian4 x ia4 j iang4 d ao4 E F ， sh uei3 d e0 t i3 j i1 uei4 V sh uei3 E H 2 P H ( P H t a n 3 0 ) 2 P H x 3 .
uo3 d e0 c ai3 d ai4 b i3 x iao3 zh ao4 d e0 d uan3 3 f en1 m i3 。
g u4 d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) x | x 2 | .
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C ： （ uei4 c an1 sh u4 ） .
in1 uei4 p 0 ， q ie3 p 1 ，
q uei4 zh en1 ， q uei4 j ia3 （ i3 m ei2 d e2 d ao4 d i4 er4 m ing2 ） ，
（ 3 ） zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 b ian1 zh ang3 b ian1 zh ang3 ， z ai4 zh e4 g e4 g uan1 x i4 zh ong1 ， b ian1 ch ang2 f a4 sh eng1 b ian4 h ua4 ， zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 ie3 f a1 sh eng1 b ian4 h ua4 ， er2 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 l ing4 i2 g e4 b ian1 zh ang3 ie3 s uei2 zh e0 f a1 sh eng1 l e0 b ian4 h ua4 ， s an1 g e4 l iang4 d ou1 sh i4 b ian4 h ua4 d e0 ， m ei2 iou3 i2 d ing4 d e0 l iang4 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： d uei4 r en4 i4 d e0 x （ 0 ， ） ， d ou1 iou3 f [ f ( x ) l o g 2 x ] 3 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， c uo4 u4 d e0 iou3 1 g e4 .
A . t uo3 üan2 d e0 i1 b u4 f en4
（ 2 ） d ang1 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 k b u4 c uen2 z ai4 sh i2 ， zh i2 x ian4 l uei4 x 4 h uo4 x 4 ， d ou1 iou3 S O P Q 4 4 8 ；
x üan3 x iang4 B zh ong1 ， ， ü3 b i3 zh i2 b u4 x iang1 d eng3 ， b u4 n eng2 z u3 ch eng2 b i3 l i4 ；
z e2 x iao3 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 uei4 ( ) 2 x 1 0 0 x ，
A O p ing2 m ian4 B C D ， C D p ing2 m ian4 B C D ，
d a2 an4 ： p ing2 x ing2 h uo4 x iang1 j iao1 .
t a1 d e0 n i4 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2 、 n i4 f ou3 m ing4 t i2 r u2 x ia4 ：
C 、 sh i4 d uo1 x iang4 sh i4 ， in1 c i3 t a1 b u2 sh i4 d an1 x iang4 sh i4 ， g u4 C c uo4 u4 ；
（ 1 ） r uo4 g ( x ) f 6 ( x ) 2 f 7 ( x ) 3 f 8 ( x ) ， q iou2 g ( x ) zh ong1 h an2 x 6 x iang4 d e0 x i4 sh u4 ；
m ou3 sh ang1 ch ang3 1 üe4 f en4 x iao1 sh ou4 c ai3 d ian4 1 5 0 t ai2 ， 。 1 üe4 f en4 x iao1 sh ou4 b ing1 x iang1 d uo1 sh ao3 t ai2 ？
s uo3 i3 d ian3 Q d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d c o s ( ) 2 ，
M ， N f en1 b ie2 sh i4 A B ， P C d e0 zh ong1 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 ( ) 2 ( 1 2 1 2 1 2 ) ( 3 x 1 3 y 2 3 z 3 ) 3 [ 3 ( x y z ) 6 ] 2 7 ，
M N C D （ i4 zh i2 x ian4 ü3 l iang3 p ing2 x ing2 x ian4 zh ong1 d e0 i1 t iao2 ch uei2 zh i2 ， z e2 ch uei2 zh i2 ü2 l ing4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ） .
（ 2 ） j ie2 n eng2 d eng1 ch ang3 j ia1 d e0 x üan1 ch uan2 g uang3 g ao4 sh uo1 ： r i4 h uei1 p ai2 j ie2 n eng2 d eng1 l iang4 9 0 0 0 x iao3 sh i2 i3 sh ang4 d e0 g ai4 l ü4 sh i4 0 . 9 5 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 g ong1 sh i4 f a3 j ie3 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 』
z ong1 sh ang4 d e2 a d e0 zh i2 uei4 1 h uo4 3 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
（ 2 ） d ang1 m n sh i2 ， q iou2 zh eng4 ： 3 n 2 m 1 2 n 1 .
j ie3 ： l ian2 j ie1 A 1 C 1 ， A C ， z e2 A 1 C 1 A C ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， zh eng4 q üe4 d e0 m ing4 t i2 sh i4 .
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( x ) ， q i2 zh ong1 0 . r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 [ 0 ， 2 ] sh ang4 q ia4 iou3 2 g e4 l ing2 d ian3 ， z e2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
z e2 h an2 sh u4 f ( x ) ( a 1 ) ( b 1 ) 2 ，
j ie3 ： d uei4 ü2 A ， y s i n ( 2 x ) s i n 2 x ， T ， g ai1 h an2 sh u4 sh i4 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ；
iou2 i3 zh i1 ， c e4 m ian4 A C C 1 A 1 sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
zh eng4 f ang1 t i3 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 zh ang3 uei4 2 R a ，
（ 1 ） h uo3 x ing1 b iao3 m ian4 sh ang4 ， b ai2 t ian1 z uei4 g ao1 uen1 d u4 üe1 uei4 5 ， er2 ie4 j ian1 z uei4 d i1 uen1 d u4 üe1 uei4 1 5 。
x üan3 x iang4 C zh ong1 d e0 f ang1 ch eng2 zh eng3 l i3 uei4 ： 2 x 5 ， b u2 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ；
j ie3 ： （ 1 ） 5 3 h uo4 4 ， z e2
j iang1 t u2 s e4 b u4 f en4 b iao3 sh i4 d e0 x iao3 sh u4 x ie3 z ai4 k uo4 h ao4 l i3 。
l i3 l iang4 j ia1 ： b a4 b a4 l ～ 2 x iao3 sh i2 ， m a1 m a1 2 3 x iao3 sh i2 。
g u4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 8 ， 8 ， 5 ） .
（ 2 ） iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ： 2 ， t a n ，
j ie3 ： q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， t a1 b iao3 sh i4 i3 d ian3 （ 1 ， 2 ） uei4 üan2 x in1 ， i3 uei2 b an4 j ing4 d e0 üan2 ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 5 ，
j ie3 ： sh e4 b ian4 h uan4 uei4 ， k e3 j iang1 q i2 d ai4 r u4 2 X Y 4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 c an1 zh ao4 zh eng4 l iou4 l eng2 zh u4 m o2 x ing2 k e3 zh i1 m ian4 A B B A 『 』 m ian4 A B C D E F ， m ian4 D E E D 『 』 m ian4 A B C D E F ， B C C B 『 』 m ian4 A B C D E F . 』
iou4 s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
r u2 t u2 ， A D sh i4 A B C d e0 g ao1 ， E uei4 A C sh ang4 i4 d ian3 ， B E j iao1 A D ü2 d ian3 F ， q ie3 B F A C ， F D C D ， sh i4 sh uo1 m ing2 B E ü3 A C d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 .
C . x ， y zh i4 sh ao3 i2 g e4 b u4 uei4 0
j ie3 ： r u2 t u2 ， d ang1 d ian3 C uei4 ü2 ch uei2 zh i2 ü2 m ian4 A O B d e0 zh i2 j ing4 d e0 d uan1 d ian3 sh i2 ， s an1 l eng2 zh uei1 O A B C d e0 t i3 j i1 z uei4 d a4 .
l iang3 zh i2 x ian4 l ian2 l i4 d e2
D . d ing4 l i3 d e0 n i4 d ing4 l i3 i2 d ing4 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 』
j ie3 ： iou2 x 3 c o s q ie3 y s i n ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 b ei4 l eng2 zh ang3 ， l eng2 zh ang3 uei4 『 a 』 . 』
h ua4 j ian3 d e2 ( x ) 2 ( y 3 ) 2 .
zh ou1 ch ang2 uei4 3 4 5 1 2 ，
j ie3 ： üan2 m ing4 t i2 “ l ing2 x ing2 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 ” ， zh e4 sh i4 i2 g e4 zh en1 m ing4 t i2 ，
j ie3 ： in1 uei4 O 、 A 、 B s an1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 O （ 0 ， 0 ） ， A （ 2 ， ） ， B （ 2 ， ） ，
d a2 an4 ： j ia3 d e0 ch eng2 j i4 ch ao1 g uo4 9 h uan2 h uo4 i3 d e0 ch eng2 j i4 m ei2 iou3 ch ao1 g uo4 8 h uan2 .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， 1 h e2 E ， 2 h e2 3 ， 3 h e2 E d ou1 sh i4 sh en2 m e0 j iao3 ？ t a1 m en0 f en1 b ie2 sh i4 n a3 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 b ei4 n a3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 s uo3 j ie2 d e2 d ao4 d e0 ？
j üe2 d uei4 zh i2 d a4 ü2 4 q ie3 x iao3 ü2 7 d e0 s uo3 iou3 zh eng3 sh u4 zh i1 h e2 sh i4 .
D . i1 t iao2 sh e4 x ian4
j ie3 ： g en1 j ü4 t iao2 j ian4 k e3 zh i1 üan2 d e0 p ing2 b ai3 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4
（ 2 ） sh e4 zh i2 x ian4 l ： 2 x y 2 0 ü3 C d e0 j iao1 d ian3 uei4 P 1 ， P 2 ， i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， q iou2 g uo4 x ian4 d uan4 P 1 ， P 2 d e0 zh ong1 d ian3 q ie3 ü3 l ch uei2 zh i2 d e0 zh i2 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 d e0 sh u4 l iang4 j i1 p an4 d uan4 x iang4 l iang4 d e0 g ong4 x ian4 ü3 ch uei2 zh i2 』
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 3 | y | | 3 y | | 2 ( x y ) ( 2 x y ) | 2 | x y | | 2 x y | ， | x y | ， | 2 x y | ，
d ai4 r u4 üan2 C ： 2 4 s i n ( ) 6 0 ， j i2 2 4 s i n 4 c o s 6 0 d e2 x 2 y 2 4 x 4 y 6 0 ，
zh eng3 l i3 d e2 n 2 ( 4 r 5 ) n 4 r ( r 2 ) 2 0 ， n 2 ( 4 r 9 ) n 4 ( r 1 ) ( r 3 ) 2 0 ，
j ian4 l i4 sh i4 d ang4 d e0 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 ， b iao3 sh i4 l eng2 zh ang3 uei4 3 d e0 zh eng4 s i4 m ian4 t i3 g e4 g e4 d ing3 d ian3 z uo4 b iao1 .
in1 uei4 M sh i4 A B d e0 zh ong1 d ian3 ， s uo3 i3 | M N | | A B | .
d ang1 t 0 sh i2 ， M （ 0 ， 0 ） m an3 z u2 t i2 i4 ， q ie3 sh i4 h e2 f ang1 ch eng2 2 x 2 p x y 2 0 ，
（ 1 ） r u2 g uo3 c an1 ü4 zh e3 x ian1 z ai4 i3 x iang1 zh ong1 m o1 q iou2 ， q iou2 q i2 q ia4 h ao3 h uo4 d e2 j iang3 j in1 n üan2 d e0 g ai4 l ü4 .
（ 2 ） sh e4 S n p 1 p 2 p 3 p n （ n N * ） ， sh i4 q iou2 S n . （ iong4 h an2 n d e0 sh i4 z i0 b iao3 sh i4 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 、 üan2 zh uei1 、 üan2 t ai2 h e2 q iou2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
j iang1 q ü1 x ian4 y 3 s i n 2 x b ian4 uei4 q ü1 x ian4 y s i n x d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 sh i4 .
E ， F f en1 b ie2 sh i4 B 1 C 1 ， B 1 B d e0 zh ong1 d ian3 ，
（ 2 ） l eng2 t ai2 c e4 m ian4 t i1 x ing2 d e0 g ao1 uei4 ，
A . r en4 h e2 sh i2 sh u4 d ou1 iou3 d ao4 sh u3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 d e0 iou3 ü2 sh u4 ch u2 f a3 』
m ou3 l ou2 p an2 k ai1 p an2 j ün1 j ia4 uei4 9 0 0 0 üan2 m 2 ， k ai1 f a1 sh ang1 iou3 i3 x ia4 l iang3 zh ong3 iou1 h uei4 f ang1 an4 g ong1 k e4 h u4 x üan3 z e2 。 r u2 g uo3 g ou4 m ai3 i1 t ao4 1 0 0 m 2 d e0 f ang2 z i0 ， n i3 h uei4 x üan3 z e2 n a3 zh ong3 f ang1 an4 ？ q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 。
sh e4 M （ c o s ， s i n ） uei4 C sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， d ian3 M d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4
C . l eng2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 zh i3 x ü1 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， s uo3 i3 C b u4 zh eng4 q üe4 ；
E ， F sh i4 l eng2 A B ， B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
0 . 5 m i3 0 . 6 m i3 1 . 1 m i3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 ü3 t uei1 l uen4 』
d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) ( x 1 ) 2 ， d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 x 1 ，
g u4 t a1 n eng2 z uo4 uei2 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 b ian1 zh ang3 ；
l uen2 h uan4 x 、 y 、 z d e2 2 z x y z ， 2 x y z x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
q ing3 b a3 x ia4 m ian4 s an1 g e4 t u2 x ing2 x ian1 an4 zh ao4 2 : 1 d e0 b i3 l i4 f ang4 d a4 ， z ai4 b a3 üan2 t u2 x ing2 an4 zh ao4 1 : 2 d e0 b i3 l i4 s uo1 x iao3 ， f en1 b ie2 h ua4 z ai4 g e2 z i0 t u2 zh ong1 。 h ua4 h ao3 h ou4 ， sh uo1 sh uo1 x ian4 z ai4 d e0 t u2 x ing2 ü3 üan2 l ai2 d e0 t u2 x ing2 x iang1 b i3 iou3 sh en2 m e0 x iang1 t ong2 ü3 b u4 t ong2 d e0 d i4 f ang1 。
【 t i2 sh i4 】 『 ( ) sh i4 g uan1 ü2 x d e0 er4 c i4 h an2 sh u4 ， x 『 1 』 sh i2 iou3 z uei4 x iao3 zh i2 . 』
zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
sh e4 iou2 x i4 j ie2 sh u4 sh i2 ，
iou2 y 0 ， d e2 x 2 h uo4 .
d ing4 i4 ： h an2 sh u4 y [ x ] uei4 “ x ia4 q ü3 zh eng3 h an2 sh u4 ” ， q i2 zh ong1 [ x ] b iao3 sh i4 b u4 d a4 ü2 x d e0 z uei4 d a4 zh eng3 sh u4 ； h an2 sh u4 y x uei4 “ sh ang4 q ü3 zh eng3 h an2 sh u4 ” ， q i2 zh ong1 x b iao3 sh i4 b u4 x iao3 ü2 x d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh eng3 sh u4 ； l i4 r u2 g en1 j ü4 d ing4 i4 k e3 d e2 ： [ 1 . 3 ] 1 ， [ 1 . 3 ] 2 ， 2 . 3 2 ， 2 . 3 3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 m ian4 j i1 』
l ing4 x 1 t ， z e2 y 1 2 t ， k e3 d e2
X d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4 :
【 t i2 sh i4 】 『 g ou4 z ao4 『 zh i2 』 j iao3 O E T ， M O ü3 E F x iang1 j iao1 ü2 d ian3 T . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j in4 s i4 sh u4 』
j iang1 x 3 d ai4 r u4 y 2 2 p x d e2 y .
k e3 zh i1 c i3 f ang1 ch eng2 u2 j ie3 ，
（ 2 ） q iou2 A B C d e0 m ian4 j i1 .
D 、 r uo4 a b ， z e2 | a | | b | ， g u4 x üan3 x iang4 zh eng4 q üe4
in1 uei4 f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ，
j ie3 ： g uan1 ch a2 sh u4 zh ou2 k e3 d e2 ， a 0 ， a b ， | a | | b | .
l ian2 x ian4 r u2 x ia4 ：
iou4 A C B C ， P A A C A ， P A p ing2 m ian4 P A C ， A C p ing2 m ian4 P A C ，
l ing4 y 0 ， k e3 d e2 a ( 1 c o s t ) 0 ，
E ， F ， G ， H s i4 d ian3 b i4 d ing4 g ong4 x ian4 .
d a2 ： ua1 zh e4 k ou3 j ing3 x ü1 iao4 9 x iao3 sh i2 。
D . n i4 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2
l iou4 （ 1 ） b an1 g ong4 iou3 5 0 m ing2 x üe2 sh eng1 ， x ing1 q i1 i1 iou3 1 r en2 q ing3 b ing4 j ia4 。 t a1 m en0 b an1 zh e4 i1 t ian1 d e0 ch u1 q in2 l ü4 sh i4 （ ） 。
D . i3 sh ang4 d ou1 b u2 d uei4
i3 zh i1 b u4 d eng3 sh i4 | x m | 1 ch eng2 l i4 d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 x ， z e2 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) （ a 0 ， q ie3 a 1 ） d e0 zh i2 ü4 sh i4 [ 4 ， ） ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
d a2 an4 ： t i2 sh e4 ； j ie2 l uen4 .
er2 x f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
【 t i2 sh i4 】 『 f ang1 ch eng2 2 x 2 5 x 1 0 sh i4 i4 b an1 x ing2 sh i4 ， z e2 j iang1 a ， b ， c d e0 zh i2 d ai4 r u4 b 2 4 a c zh ong1 ， r uo4 b 2 4 a c 『 』 0 ， z ai4 d ai4 r u4 q iou2 g en1 g ong1 sh i4 zh ong1 j in4 x ing2 j i4 s uan4 j i2 k e3 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
（ 1 ） q iou2 a d e0 zh i2 h e2 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 ；
j ie3 ： sh e4 g ai1 n ü3 z i3 d i4 i1 t ian1 zh i1 b u4 x ch i3 ， z e2
（ 2 ） “ b u4 ch ao1 g uo4 2 g e4 x iao3 z u3 ” b ao1 h an2 “ 1 g e4 x iao3 z u3 ” h e2 “ 2 g e4 x iao3 z u3 ” l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 ， q i2 d uei4 l i4 sh i4 j ian4 sh i4 “ 3 g e4 x iao3 z u3 ” ，
j ian4 C z ai4 j ian4 B d e0 b ei3 p ian1 x i1 3 0 q ie3 ü3 B x iang1 j ü4 4 k m ch u4 ，
（ 1 ） sh uei3 ch i2 sh uei3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
iou4 zh u4 i4 d ao4 2 t 2 t 2 2 ， d e2 y 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
j ie3 ： zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y k ( x ) ， q ie3 g uo4 d ing4 d ian3 A （ ， 0 ） ， k t a n .
zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 m ian4 j iao3 d e0 p ing2 m ian4 j iao3 j i2 q iou2 f a3 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， i3 j ing1 A B C D ， A D B C ， g uo4 A C 、 B D d e0 j iao1 d ian3 O r en4 z uo4 i4 zh i2 x ian4 E F j iao1 A B 、 C D f en1 b ie2 ü2 d ian3 E 、 F ， z e2 t u2 zh ong1 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 g ong4 iou3 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 』
zh ang3 、 k uan1 、 g ao1 f en1 b ie2 b u4 d eng3 d e0 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 d ou1 b u4 x iang1 t ong2 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4
（ 2 ） r uo4 q ü1 x ian4 C 1 ： 1 z ai4 j ü3 zh en4 A B d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 z uo4 iong4 x ia4 d e2 d ao4 l ing4 i1 q ü1 x ian4 C 2 ， q iou2 C 2 d e0 f ang1 ch eng2 .
s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 t i1 x ing2 .
s uo3 i3 g ai1 üan2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 3 .
n i4 f ou3 m ing4 t i2 ： r uo4 i2 g e4 sh u4 b u4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 h uo4 b u4 n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 ， z e2 t a1 b u4 n eng2 b ei4 6 zh eng3 ch u2 （ zh en1 m ing4 t i2 ） .
g u4 t u2 zh ong1 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 d e0 p ing2 m ian4 g ong4 iou3 5 z u3
d uei4 ü2 C ， d uei4 1 2 j in4 x ing2 k ai1 f ang1 ， d e2 ， g u4 C b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 x ü1 f en1 a 0 、 a 『 』 0 、 a 0 s an1 zh ong3 q ing2 k uang4 f en1 x i1 t ao3 l uen4 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
üan2 ( c o s s i n ) d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 sh i4 （ ）
iou4 f ( x ) z ai4 （ ， ） sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
a d e0 f an4 uei2 uei4 （ ， 2 ] （ 4 ， ） .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 ， h an2 sh u4 y f ( x ) a | x | q ia4 iou3 4 g e4 l ing2 d ian3 ， k e3 d e2 h an2 sh u4 y 1 f ( x ) ü3 y 2 a | x | d e0 t u2 x iang4 iou3 4 g e4 b u4 t ong2 d e0 j iao1 d ian3 .
（ 1 ） x ie3 ch u1 d ian3 P d ao4 j ü1 m in2 q ü1 A d e0 “ L l u4 j ing4 ” ch ang2 d u4 z uei4 x iao3 zh i2 d e0 b iao3 d a2 sh i4 （ b u2 iao4 q iou2 zh eng4 m ing2 ） ；
s uo3 i3 m ing4 t i2 p ： x 0 R ， ( a 1 ) x 0 1 0 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 ( a 1 ) 2 4 0 ， j ie3 d e2 a 1 h uo4 a 3 .
j ie3 ： t uo3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ t [ 0 ， 2 ] ）
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 1 4 . 3 2 . 8 ， x iao3 sh u3 d ian3 d uei4 q i2 ， sh i2 f en1 uei4 sh ang4 3 b u4 g ou4 j ian3 8 ， x ü1 x iang4 g e4 uei4 j ie4 『 1 』 。 』
【 t i2 sh i4 】 『 j i2 z uo4 b iao1 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 sh i2 ， x 『 c o s 』 ， y 『 s i n 』 . 』
f ou3 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 .
j ie3 ： （ 1 ） g ai1 j i3 h e2 t i3 c e4 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ；
2 0 1 2 n ian2 sh i4 r uen4 n ian2 ， 2 0 1 2 n ian2 zh i1 h ou4 d e0 l ian2 x ü4 s i4 g e4 r uen4 n ian2 sh i4 （ 2 0 1 6 ） n ian2 、 （ 2 0 2 0 ） n ian2 、 （ 2 0 2 4 ） n ian2 h e2 （ 2 0 2 8 ） n ian2 。
x üan3 x iang4 A zh ong1 ， 5 : 6 h e2 6 : 5 b i3 zh i2 b u4 x iang1 d eng3 ， b u4 n eng2 z u3 ch eng2 b i3 l i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 d e0 x ing2 ch eng2 uen4 t i2 』
d ang1 y 0 sh i2 ， t ， er2 x 2 5 t ， j i2 x ， d e2 ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 uei4 （ ， 0 ） .
iong4 i1 l iang4 z ai4 zh ong4 l iang4 sh i4 1 d uen1 d e0 q i4 ch e1 n eng2 i1 c i4 b a3 zh e4 x ie1 sh uei3 g uo3 ün4 z ou3 m a0 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： in1 uei4 | a | 2 ， | b | 3 ，
n i4 m ing4 t i2 ： r uo4 l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 g e4 j iao3 d uei4 ing4 x iang1 d eng3 ， z e2 zh e4 l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 x iang1 s i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 d e0 j ie2 j ü4 sh i4 f ang1 ch eng2 』
j ie3 ： r u2 g uo3 1 2 : 4 3 : 1 ， n a4 m e0 1 2 1 4 3 。
H uei4 A C d e0 zh ong1 d ian3 .
s uo3 i3 ， g u4 k 2 ，
j ie3 ： x 2 x 3 ( x ) 2 ， g u4 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
in1 uei4 x 0 uei4 2 d e0 b ei4 sh u4 ，
iou2 d e0 ， d ai4 r u4 x 2 4 y 2 1 ， d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 2 8 6 p ing2 j ün1 f en1 ch eng2 5 f en4 ， q iou2 m ei3 f en4 sh i4 d uo1 sh ao3 ， iong4 『 ch u2 』 f a3 。 』
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
p ing2 m ian4 n ei4 i4 d ian3 ü3 p ing2 m ian4 uai4 i4 d ian3 d e0 l ian2 x ian4 h e2 zh e4 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 zh i2 x ian4 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 sh ang4 x ia4 l iang3 d i3 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 s i4 t iao2 l eng2 zh ong1 A A 1 、 『 C C 1 』 ü3 B D 1 i4 m ian4 . 』
q sh i4 p d e0 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ， z e2 q p ，
C . üan2 t ai2 d e0 m u3 x ian4 ü3 zh ou2 p ing2 x ing2
d uei4 j iao3 x ian4 j ia1 j iao3 uei4 4 5 ，
i3 zh i1 x 0 ， y 0 ， zh eng4 m ing2 ： ( 1 x y 2 ) ( 1 x 2 y ) 9 x y .
sh e4 q ü1 x ian4 f ( x ) x n 1 （ n N * ） z ai4 d ian3 （ 1 ， 1 ） ch u4 d e0 q ie4 x ian4 ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 d e0 h eng2 z uo4 b iao1 uei4 x n ， z e2 x 1 x 2 x 3 x 4 … x 2 0 1 7 d e0 zh i2 uei4 .
j ie3 ： g uan1 ch a2 l iang3 g e4 t u2 an4 ， iou4 b ian1 d e0 t u2 an4 sh i4 j iang1 z uo3 b ian1 d e0 t u2 an4 ian2 zh e0 i4 b an1 zh ong1 b iao3 d e0 zh i3 zh en1 x ing2 z ou3 f ang1 x iang4 l ai2 x üan2 zh uan3 9 0 d e2 d ao4 d e0 ，
r u2 t u2 ， z ai4 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， d i3 m ian4 s an1 j iao3 x ing2 A 1 B 1 C 1 sh i4 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 ， E sh i4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， z e2 x ia4 l ie4 x ü4 sh u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
r uo4 A B C 9 0 ， H sh i4 A C d e0 zh ong1 d ian3 ， z e2 P A P B P C . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 m ing4 t i2 sh i4 ： （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
zh ong1 ， r uo4 A sh i4 p ing2 m ian4 n ei4 z ai4 zh i2 x ian4 a uai4 d e0 d ian3 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ，
j ie3 ： （ 1 ） d ang1 k 2 sh i2 ， sh u4 l ie4 a 1 ， a 2 ， … ， a 8 zh ong1 iou3 1 g e4 1 h uo4 5 g e4 1 ， q i2 ü2 uei4 0 ，
i3 zh i1 q ü1 x ian4 f ( x ) e x a x z ai4 d ian3 （ 0 ， f ( 0 ) ） ch u4 d e0 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 3 x y b 0 ， z e2 x ia4 l ie4 b u4 d eng3 sh i4 h eng2 ch eng2 l i4 d e0 sh i4 （ ）
s uo3 i3 C O p ing2 m ian4 A B D ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 d e0 t i3 j i1 h e2 b iao3 m ian4 j i1 』
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 d a4 x iao3 iou2 d i3 m ian4 j i1 ü3 g ao1 d e0 『 ch eng2 j i1 』 d e0 d a4 x iao3 j üe2 d ing4 。 』
（ 2 ） c ai1 x iang3 d e0 b iao3 d a2 sh i4 ， b ing4 zh eng4 m ing2 zh i1 .
（ 1 ） j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 ， d ang1 n 2 sh i2 ， sh u4 l ie4 { a n } g ong4 iou3 6 x iang4 ，
s uo3 i3 f ( x ) z ai4 x l n 4 ch u4 q ü3 d e0 j i2 x iao3 zh i2 ， ie3 sh i4 z uei4 x iao3 zh i2 4 8 l n 2 ，
d ang1 s i n ( ) 1 sh i2 z uei4 d a4 ， z e2 5 ( 4 a ) 1 7 ， j ie3 d e2 a 1 6 .
【 t i2 sh i4 】 『 j i2 g e2 i3 sh ang4 （ h an2 j i2 g e2 ） d e0 n an2 sh eng1 iou3 （ 6 1 4 『 3 』 ） r en2 。 』
（ 2 ） i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， r uo4 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s s i n 1 0 （ 0 ） ， q iou2 d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 l j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 x in1 j iao3 、 h u2 、 x ian2 、 x ian2 x in1 j ü4 s i4 zh e3 g uan1 x i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
d uei4 ü2 ， d ang1 zh eng4 f ang1 x ing2 ian2 ü3 q i2 s uo3 z ai4 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 f ang1 x iang4 p ing2 i2 ， q ie3 p ing2 i2 d e0 ch ang2 d u4 q ia4 h ao3 d eng3 ü2 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 sh i2 ， d e2 d ao4 d e0 j i3 h e2 t i3 c ai2 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3 ， g u4 q i2 c uo4 u4 .
in1 uei4 D D 1 p ing2 m ian4 A B C D ， A C p ing2 m ian4 A B C D ，
d uei4 ü2 C ， j ia3 sh e4 m 2 n 2 2 5 ， z e2 m 5 ， n 5 ， d ang1 m 5 ， n 5 sh i2 ， m n ， s uo3 i3 x üan3 x iang4 C c uo4 u4 ；
s uo3 i3 4 x y 2 0 ， j i2 y 2 4 x .
F sh i4 C 1 C sh ang4 d e0 zh ong1 d ian3 ， G sh i4 B B 1 zh ong1 d ian3 ，
（ 2 ） j ie3 ： l ian2 j ie1 O A .
x ia4 m ian4 s i4 zh ang1 k a3 p ian4 ， m ei3 zh ang1 k a3 p ian4 sh ang4 d ou1 x ie3 iou3 i2 g e4 l iang3 uei4 sh u4 。
sh e4 p uei4 A { x | 2 x 1 0 } ， q uei4 B { x | 1 m x 1 m （ m 0 ） } .
a ü3 d e0 u2 sh u4 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 ü3 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 』
c ong2 er2 iou3 9 x 2 1 6 y 2 1 6 （ y 0 ） .
c ong2 zh ong1 r en4 x üan3 2 j ian4 ， s uo3 iou3 k e3 n eng2 d e0 q ing2 k uang4 uei4 a b ， a c ， a d ， a e ， b c ， b d ， b e ， c d ， c e ， d e ， g ong4 1 0 zh ong3 .
üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 2 ） ， b an4 j ing4 uei4 2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 c z ai4 q ü1 j ian1 [ 『 a 』 ， d ] n ei4 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 E F sh i4 A B C d e0 『 zh ong1 uei4 』 x ian4 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 zh i4 l iang3 m ei2 t ou2 z i3 ， z ong3 j ie2 g uo3 sh i4 『 3 6 』 zh ong3 ， d ian3 sh u4 x iang1 t ong2 d e0 j ie2 g uo3 sh i4 『 6 』 zh ong3 ， iong4 g ai4 l ü4 g ong1 sh i4 j i4 s uan4 . 』
d uei4 ü2 C ， y d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R ， y ( ) 2 d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 0 ， ） ， l iang3 g e4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 b u4 t ong2 ， g u4 q i2 b u2 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 ；
（ 1 ） q iou2 i4 m ian4 zh i2 x ian4 M N ü3 P C s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 d a4 x iao3 .
j ian3 d an1 z u3 h e2 t i3 d e0 j ie2 g ou4 t e4 zh eng1
z e2 üan2 C d e0 b an4 j ing4 uei4 2 .
sh i4 j ian4 B ： q ü3 ch u1 d e0 l iang3 j ian4 ch an3 p in3 q ia4 iou3 1 j ian4 c i4 p in3 .
iou4 in1 uei4 s i4 b ian1 x ing2 A B C D uei4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， s uo3 i3 A B p ing2 m ian4 P A D p ing2 m ian4 A B P p ing2 m ian4 P A D ，
i2 g e4 s i4 l eng2 zh uei1 t i3 j i1 V 1 1 ，
P uei4 s an1 l eng2 zh u4 sh ang4 d i3 m ian4 d e0 zh ong1 x in1 ， O uei4 q iou2 x in1 ，
g u4 üan2 zh uei1 d e0 g ao1 uei4 h ，
j ie3 ： d uei4 m ing4 t i2 g ai3 x ie3 ， d e2
zh ou1 ch ang2 1 2 l i2 m i3
【 t i2 sh i4 】 『 j ia1 g ong1 d e0 l ing2 j ian4 z ong3 g e4 sh u4 uang2 sh i1 f u4 d e0 g ong1 z uo4 x iao4 l ü4 sh i1 f u4 d e0 g ong1 z uo4 sh i2 j ian1 『 』 t u2 d i4 d e0 g ong1 z uo4 x iao4 l ü4 t u2 d i4 d e0 g ong1 z uo4 sh i2 j ian1 。 』
s uo3 i3 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 2 ） .
j ie3 ： g en1 j ü4 “ p ing2 i2 ün4 d ong4 zh ong1 ， d uei4 ing4 x ian4 d uan4 f en1 b ie2 x iang1 d eng3 ” k e3 d e2 ： A B A B ， B C B C ， A C A C ；
z ai4 m ou3 g ong1 üan2 m en2 k ou3 ， iou3 i1 zh ong3 iou2 x i4 sh i4 x iang4 i2 g e4 h ua4 m an3 b ian1 zh ang3 uei4 5 c m d e0 j ün1 ün2 f ang1 g e2 d e0 d a4 zh uo1 z i0 sh ang4 t ou2 zh i2 j ing4 uei4 2 c m d e0 ing4 b i4 ， r u2 g uo3 ing4 b i4 uan2 q üan2 l uo4 r u4 m ou3 g e4 f ang1 g e2 zh ong1 ， z e2 t ou2 zh i4 ing4 b i4 zh e3 h uo4 j iang3 ， q ing3 uen4 zh i4 i1 c i4 ing4 b i4 zh ong4 j iang3 d e0 g ai4 l ü4 iou3 d uo1 sh ao3 ？
iong4 f an3 zh eng4 f a3 zh eng4 m ing2 m ing4 t i2 d e0 i4 b an1 b u4 zh ou4 ：
j ie3 ： in1 uei4 f ( x ) | x | | x a | | ( x ) ( x a ) | | a | ，
x i3 h uan1 d ong4 h ua4 p ian1 d e0 ： n an2 sh eng1 8 r en2 ； n ü3 sh eng1 1 5 r en2 。 x i3 h uan1 t i3 ü4 j ie2 m u4 d e0 ： n an2 sh eng1 1 7 r en2 ， n ü3 sh eng1 5 r en2 。 x i3 h uan1 d ian4 sh i4 j ü4 d e0 ： n an2 sh eng1 1 2 r en2 ； n ü3 sh eng1 1 8 r en2 。 x i3 h uan1 k e1 j iao4 p ian1 d e0 ： n an2 sh eng1 6 r en2 ， n ü3 sh eng1 4 r en2 。
“ r uo4 x iang4 l iang4 ， m an3 z u2 0 ， z e2 h uo4 ” d e0 n i4 m ing4 t i2 ；
j ie3 zh i1 k e3 d e2 ： ，
A . in1 uei4 A B C D ， C D E F ， s uo3 i3 A B E F ， zh eng4 q üe4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
j ie3 ： zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ s uei4 c an1 sh u4 ）
2 üe4 sh u1 c ai4 d e0 j ia4 g e2 iou4 b i3 1 üe4 h uei2 l uo4 l e0 1 5 。
s uo3 i3 d uei4 r en4 i4 sh i2 sh u4 x ， f ( x 1 ) f ( x ) b u4 ch eng2 l i4 ， g u4 D c uo4 u4 .
x üe2 x iao4 d a4 m en2 d e0 d ong1 m ian4 iou3 sh eng1 q i2 t ai2 h e2 j iao4 sh i1 b an4 g ong1 sh i4 ， sh eng1 q i2 t ai2 z ai4 x üe2 x iao4 d e0 zh ong1 iang1 ， x üe2 x iao4 d e0 d ong1 b ei3 j iao3 sh i4 sh i2 ian4 sh i4 ， d ong1 n an2 j iao3 sh i4 b ao3 g uan3 sh i4 。 sh eng1 q i2 t ai2 d e0 b ei3 m ian4 sh i4 j iao4 u4 ch u4 ， n an2 m ian4 sh i4 d uo1 g ong1 n eng2 j iao4 sh i4 ； sh eng1 q i2 t ai2 d e0 x i1 b ei3 f ang1 x iang4 sh i4 j iao4 x üe2 ian2 j iou1 sh i4 ， x i1 n an2 f ang1 x iang4 sh i4 h uei4 i4 sh i4 。 g en1 j ü4 zh e4 x ie1 m iao2 sh u4 ， j iang1 x üe2 x iao4 g e4 b u4 m en2 d e0 x ü4 h ao4 b iao1 z ai4 sh i4 d ang4 d e0 uei4 zh i4 sh ang4 。
z e2 sh i2 sh u4 a [ 0 ， 4 ） ， in1 c i3 p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 s an1 g e4 uen1 d u4 j i4 b iao3 sh i4 d e0 uen1 d u4 b i3 0 d i1 ， iong4 『 f u4 』 sh u4 b iao3 sh i4 。 』
j ie3 ： üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 4 ， z e2 üan2 x in1 uei4 C （ 1 ， 2 ） ， b an4 j ing4 uei4 2 .
j ie3 ： sh e4 üan2 sh ang4 r en4 i4 d ian3 uei4 P （ ， ） ， z e2 | O P | ， P O A ， | O A | 2 3 6 ，
sh e4 p ing2 m ian4 A 1 C 1 D d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x ， y ， z ） ， z e2
y f ( x ) f ( x ) z ai4 （ ， 0 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
x iao1 q ü4 ， d e2 ( x ) 2 y 2 （ 0 x 1 ） ，
x ia4 m ian4 iong4 sh u4 x üe2 g uei1 n a4 f a3 zh eng4 m ing2 ：
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 A 6 B 9 ，
【 t i2 sh i4 】 『 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 b u4 x iang1 j iao1 j iou4 『 p ing2 x ing2 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
l ing4 f ( ) 0 ， d e2 j ü3 zh en4 M d e0 t e4 zh eng1 zh i2 uei4 2 h e2 3 .
k ai3 k ai3 ： 4 5 3 7 8 （ k g ） ， j i4 z uo4 8 k g
s uo3 i3 ， s uei2 j i1 d i4 t ou2 i2 g e4 ing4 b i4 zh eng4 h ao3 uan2 q üan2 l uo4 r u4 f ang1 g e2 d e0 g ai4 l ü4 uei4 P .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 r en4 sh i2 』
i3 zh i1 a 0 ， q ie3 a 1 ， m ， n a a 1 ， z e2 m ü3 n d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 uei4 .
（ 6 ） l eng2 zh uei1 iou3 ： ；
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 uei4 zh en1 m ing4 t i2 .
（ 2 ） zh eng4 m ing2 ： d uei4 r en4 i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 n ， f ( n ) sh i4 8 d e0 b ei4 sh u4 .
er2 iou2 er4 x iang4 sh i4 x i4 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 ， zh e4 ü3 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 d e0 x ing4 zh i4 m ao2 d uen4 ， c ong2 er2 iao4 zh eng4 m ing2 d e0 j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 i1 t ian1 z ou3 d uo1 sh ao3 q ian1 m i3 ， sh i2 zh i4 sh i4 q iou2 6 g e4 4 sh i4 d uo1 sh ao3 ， iong4 『 ch eng2 』 f a3 。 』
g u4 t a1 m en0 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ ， 1 ） 、 （ 2 ， 2 ） .
（ 2 ） q ü3 A B d e0 zh ong1 d ian3 G ， l ian2 j ie1 E G ， F G .
sh e4 p ing2 m ian4 A D C 1 ü3 p ing2 m ian4 A B A 1 s uo3 ch eng2 er4 m ian4 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 .
i3 zh i1 üan2 C g uo4 d ian3 P （ 1 ， 1 ） ， q ie3 ü3 üan2 M ： ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 r 2 （ r 0 ） g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x y 2 0 d uei4 ch en4 .
s uo3 i3 l eng2 t ai2 d e0 c e4 m ian4 j i1 uei4 S c e4 ( 3 8 3 1 8 ) 1 2 4 6 8 （ c m 2 ） .
d uei4 ü2 ， in1 uei4 m ， ， z e2 m h uo4 m ， iou4 in1 uei4 m ， z e2 m n ， m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 .
（ 2 ） d ang1 2 r 2 ， l 4 sh i2 ， r ， h l 4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
j ie3 ： c uen2 k uan3 uei4 zh eng4 ， z e2 q ü3 k uan3 uei4 f u4 ， s uo3 i3 c uen2 k uan3 2 0 0 üan2 ， q ü3 k uan3 1 2 0 üan2 ， c uen2 k uan3 4 0 üan2 ， q ü3 k uan3 8 0 üan2 ， iong4 zh eng4 f u4 sh u4 b iao3 sh i4 i1 c i4 sh i4 ： 2 0 0 ； 1 2 0 ； 4 0 ； 8 0 .
iou4 x 0 ， g u4 x 4 sh i4 f ang1 ch eng2 d e0 j ie3 ；
p ing2 m ian4 d e0 x ie2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ 0 ， 9 0 ） ；
i3 zh i1 A B C d e0 p ing2 m ian4 zh i2 g uan1 t u2 sh i4 b ian1 zh ang3 uei4 a d e0 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 A B C ， z e2 A B C d e0 m ian4 j i1 uei4 .
g u4 ch eng2 l i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 x iao3 h ua2 m an3 1 6 s uei4 sh i2 g uo4 l e0 3 g e4 sh eng1 r i4 ， t a1 『 b u2 sh i4 』 m ei3 n ian2 g uo4 sh eng1 r i4 。 』
iou2 t i2 i4 i4 zh i1 ， B 1 A B 4 5 ， s uo3 i3 E F h e2 C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 sh i4 4 5 .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 t u2 x ing2 r ao4 x ü1 x ian4 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 h ou4 x ing2 ch eng2 d e0 l i4 t i3 t u2 x ing2 f en1 b ie2 sh i4 iou2 n ei3 x ie1 j ian3 d an1 j i3 h e2 t i3 z u3 ch eng2 d e0 ？
i3 zh i1 d ian3 A d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， ， ） ， z e2 d ian3 A d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch u2 f a3 』
（ 2 ） j iang1 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d ai4 r u4 x 2 y 2 1 6 ，
zh i2 x ian4 O M d e0 x ie2 l ü4 2 .
sh e4 A ， B d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 uei4 t 1 ， t 2 ， z e2 t 1 t 2 3 ， t 1 t 2 9 .
j ie3 ： （ 1 ） h an2 sh u4 f ( x ) s i n c o s c o s s i n c o s
iou3 l i3 sh u4 j i2 d e0 ch eng2 f a3 sh i4 i2 g e4 d ai4 sh u4 ün4 s uan4 ， m an3 z u2 （ 1 ） 、 （ 2 ） ， iou3 d an1 uei4 üan2 1 、 c uen2 z ai4 n i4 üan2 sh i3 a 1 ， g u4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 ；
（ 5 ） j iang1 i2 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 t ie3 s i1 k uang1 j ia4 l a1 ch eng2 i2 g e4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， t a1 d e0 m ian4 j i1 ü3 üan2 l ai2 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 m ian4 j i1 x iang1 d eng3 。 （ ）
zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） b ei4 üan2 x 2 y 2 4 j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 2 .
s uo3 i3 h an2 sh u4 uei4 f ei1 q i2 f ei1 ou3 h an2 sh u4 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 k e3 d e2 A O B ，
【 t i2 sh i4 】 『 l iang3 b u4 f en4 h u4 ch i4 ， f a1 sh eng1 d e0 g ai4 l ü4 d eng3 ü2 l iang3 b u4 f en4 f a1 sh eng1 d e0 g ai4 l ü4 zh i1 『 h e2 』 . 』
q ü1 x ian4 x 2 4 x y 2 y 2 1 z ai4 er4 j ie1 j ü3 zh en4 M d e0 z uo4 iong4 x ia4 b ian4 h uan4 uei4 q ü1 x ian4 x 2 2 y 2 1 .
z e2 Q d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x ) 2 ( y ) 2 .
s uo3 i3 q ü1 x ian4 C 1 ü3 C 2 d e0 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 1 ） .
j ie3 ： iou2 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
d a2 ： p ing2 j ün1 m ei3 l iang4 ch e1 m ei3 c i4 ün4 7 0 0 q ian1 k e4 。
s uo3 i3 z an4 b u4 j ia1 g u4 d e0 b u4 f en4 zh ang3 k m .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
s uo3 i3 “ A B ” sh i4 “ a c o s A b c o s B ” d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 iong4 d ao3 sh u4 g ong1 sh i4 b iao3 』
（ 2 ） d ian3 P z ai4 d i4 s an1 x iang4 x ian4 n ei4 ，
（ 2 ） p ing2 m ian4 A B C f a3 x iang4 l iang4 uei4 ( 0 ， 0 ， 1 ) ， sh e4 p ing2 m ian4 P M N f a3 x iang4 l iang4 uei4 ( x ， y ， z ) ， z e2 , j i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n ian2 、 üe4 、 r i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
（ 2 ） r uo4 B ( R A ) B ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
r uo4 P （ x ， y ） sh i4 t uo3 üan2 2 x 2 3 y 2 1 2 sh ang4 d e0 i2 g e4 d ong4 d ian3 ， z e2 x 2 y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 （ ）
j ie3 ： d i3 m ian4 b an4 j ing4 ： 6 3 9 2 3 . 5 （ c m ）
x ian4 iou3 （ n 2 ， n N * ） g e4 g ei3 d ing4 d e0 b u4 t ong2 d e0 sh u4 s uei2 j i1 p ai2 ch eng2 i2 g e4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 s an1 j iao3 x ing2 sh u4 zh en4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
（ 2 ） d ian3 M z ai4 x ian4 d uan4 A 1 D sh ang4 ， . r uo4 C M p ing2 m ian4 A E F ， q iou2 sh i2 sh u4 d e0 zh i2 .
g u4 h uo4 x iang1 d e0 g e4 sh u4 uei4 ： 6 2 1 9 .
（ 2 ） q iou2 E F ü3 P C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 .
j ie3 ： f ang1 ch eng2 x 2 2 a x 1 0 d e0 g en1 d e0 p an4 b ie2 sh i4 4 a 2 4 0 ， g u4 f ang1 ch eng2 iou3 l iang3 g e4 b u4 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1 ， g u4 m ing4 t i2 p sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
sh e4 d ian3 E （ t ， ） ， t 0 ， z e2 p ao1 u4 x ian4 z ai4 d ian3 E ch u4 d e0 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 y t ( x t ) .
N d ian3 z ai4 üan2 8 c o s sh ang4 ，
p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， r uo4 d ian3 P （ 3 ， ） j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 d e0 d ian3 uei4 Q ， z e2 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， j i2 z uo4 b iao1 uei4 Q d e0 d ian3 d ao4 j i2 zh ou2 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 .
（ 2 ） sh e4 üe4 d uei4 g ong4 ian3 ch ang4 l e0 Y sh ou3 üan2 ch uang4 x in1 q ü1 ， z e2 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 Y H （ 4 ， 3 . 8 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
s uo3 i3 g ai1 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 n ei4 q ie4 q iou2 d e0 t i3 j i1 uei4 1 2 .
z e2 u3 n ian2 j i2 zh i2 sh u4 k e1 sh u4 sh i4 2 4 0 2 4 0 3 8 4 。
5 2 g ong1 q ing3 （ ） p ing2 f ang1 q ian1 m i3
r u2 t u2 ， z ai4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 n ei4 iou3 i2 g e4 b ian1 zh ang3 uei4 1 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 A B C D ， q i2 zh ong1 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 A C z ai4 sh uei3 p ing2 uei4 zh i4 . i3 zh i1 g ai1 zh eng4 f ang1 x ing2 sh i4 m ou3 g e4 s i4 b ian1 x ing2 iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 ch u1 d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， sh i4 h ua4 ch u1 g ai1 s i4 b ian1 x ing2 d e0 zh en1 sh i2 t u2 x ing2 ， b ing4 q iou2 ch u1 q i2 m ian4 j i1 .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 D B 1 ü3 p ing2 m ian4 A 1 C 1 D s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 .
j iang1 q i2 d ai4 r u4 c o s 1 ， d e2 ( 1 ) 1 ，
d a2 an4 ： a 0 ， er4 üan2 i1 c i4 b u4 d eng3 sh i4 x a y 1 0 b iao3 sh i4 zh i2 x ian4 x a y 1 0 d e0 iou4 sh ang4 f ang1 q ü1 ü4 （ b ao1 h an2 b ian1 j ie4 ） ， zh en1 .
j ie3 ： sh e4 q iou2 d e0 b an4 j ing4 uei4 r ，
j ie3 ： z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， g uo4 d ian3 P （ 1 ， ） zh uan3 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 ： P （ 1 ， 0 ） ，
j ie3 ： A . r uo4 a b ， b c ， z e2 a c ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
z e2 f ( x ) 5 | x | 5 | x | f ( x ) ， g u4 f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 y s i n x b ian4 ch eng2 y s i n 4 x ， z ong4 z uo4 b iao1 b u4 b ian4 ， h eng2 z uo4 b iao1 b ian4 uei4 üan2 l ai2 d e0 『 』 . 』
B sh i4 A d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
3 . 2 6 ü3 2 3 d e0 h e2 ch u2 i3 t a1 m en0 d e0 ch a4 ， sh ang1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？ l ie4 sh i4 uei4 ( 2 6 2 3 ) ( 2 6 2 3 ) sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ；
ch eng2 l i4 d e0 t iao2 j ian4 sh i4 .
üan2 ü3 zh i2 x ian4 x iang1 q ie4 .
【 t i2 sh i4 】 『 r uo4 s i4 d ian3 b u4 z ai4 t ong2 i1 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 ， 『 b u4 n eng2 』 g ou4 ch eng2 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 . 』
（ 3 ） x ie3 ch u1 d e0 f en1 b u4 l ie4 ， q iou2 d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 .
i4 zh i1 C D p ing2 m ian4 S A D ， s uo3 i3 （ 0 ， 1 ， 0 ） sh i4 p ing2 m ian4 S A D d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 .
j ie3 ： p ao1 u4 x ian4 y x 2 2 x iang4 x ia4 p ing2 i2 1 g e4 d an1 uei4 ，
b a3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 x y 0 h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
j ie3 ： x ， y ， z j ün1 uei4 zh eng4 sh i2 sh u4 ， q ie3 x y z 1 ，
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) 2 s i n ( 4 x ) （ 0 ） d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 ， z e2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
d ang1 1 x 1 sh i2 ， t ong2 l i3 ， k e3 sh e4 f ( x ) c x d （ c 0 ） ，
j ie3 ： f ( x ) m an3 z u2 d uei4 r en4 i4 d e0 x 1 x 2 ， d ou1 iou3 0 ch eng2 l i4 ，
3 5 0 0 0 0 l i2 m i3 3 . 5 q ian1 m i3
B . t ong2 j iao3 d e0 b u3 j iao3 x iang1 d eng3
j ie3 ： üan2 zh uei1 x ing2 t ie3 ch uei2 d e0 t i3 j i1 uei4 ( ) 2 2 0 6 0 （ c m 3 ） ，
（ 2 ） iou2 sh ang4 sh u4 k e3 d e2 ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ü2 x ian2 d ing4 l i3 』
d ang1 n 1 sh i2 ， F n ( x ) [ ( 1 ) i ] 1 ， n 1 sh i2 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 ；
（ 2 ） x 2 q ie3 y 6 k e3 i3 t uei1 ch u1 x y 8 ， j i2 f ei1 q k e3 i3 t uei1 ch u1 f ei1 p ， d an4 f ei1 p b u4 n eng2 t uei1 ch u1 f ei1 q ，
z ai4 q ü1 j ian1 D sh ang4 ， r u2 g uo3 h an2 sh u4 f ( x ) uei4 j ian3 h an2 sh u4 ， er2 x f ( x ) uei4 z eng1 h an2 sh u4 ， z e2 ch eng1 f ( x ) uei4 D sh ang4 d e0 r uo4 j ian3 h an2 sh u4 . r uo4 f ( x ) ，
z e2 B 1 M p ing2 m ian4 A C B ，
i1 t i2 i4 ， d e2 ， iou2 d e0 ，
iou4 G A H sh i4 A G ü3 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 ，
A B 5 ， c i3 sh i2 j ia3 、 i3 l iang3 r en2 x iang1 j ü4 5 k m .
iou2 d e0 a 1 （ sh e3 ） ， a 3 .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 y x g uo4 üan2 x 2 y 2 4 d e0 üan2 x in1 ，
j ie3 ： i3 d ian3 B uei4 üan2 x in1 ， 3 0 q ian1 m i3 uei4 b an4 j ing4 h ua4 üan2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， sh e4 j ie2 d ong1 b ei3 f ang1 x iang4 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 s uo3 d e0 d e0 x ian2 zh ang3 C D uei4 x q ian1 m i3 ， g uo4 d ian3 B z uo4 B E C D ü2 d ian3 E .
g u4 üan2 b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 .
C x üan3 x iang4 ， sh ang4 x ia4 d i3 m ian4 sh i4 q üan2 d eng3 d e0 l ing2 x ing2 ， g e4 c e4 m ian4 sh i4 q üan2 d eng3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， t a1 b u2 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3 ， g u4 C c uo4 u4 ；
l p ing2 m ian4 E A B ， a p ing2 m ian4 E A B ，
s uo3 i3 g ai1 m ing4 t i2 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r en4 i4 j iao3 d e0 s an1 j iao3 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 』
iou2 ü2 C M p ing2 m ian4 A E F ， z e2 ， j i2 2 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 0 ，
g uo4 （ 2 ， 2 ） ü3 üan2 x iang1 q ie4 d e0 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 ： x 2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 sh e4 a ， b ， c ， d j ün1 uei4 sh i2 sh u4 ， z e2 ( a 2 b 2 ) ( c 2 d 2 ) ( a c b d ) 2 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a d 『 b c 』 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 . 』
g u4 zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n i4 j ü3 zh en4 d e0 i4 i4 』
g u4 3 a 3 b 3 sh i4 l o g a 3 l o g b 3 d e0 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ；
z e2 iou2 j i3 h e2 g ai4 x ing2 d e0 g ai4 l ü4 g ong1 sh i4 ， d e2 P ( A ) .
s uo3 i3 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s .
i2 g e4 d a4 ü2 0 d e0 sh u4 ch u2 i3 i2 g e4 zh en1 f en1 sh u4 ， sh ang1 （ ） b ei4 ch u2 sh u4 。
m ou3 iou2 üan2 zh u4 q ie1 g e1 h uo4 d e2 d e0 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， q i2 zh ong1 f u3 sh i4 t u2 sh i4 zh ong1 x in1 j iao3 uei4 6 0 d e0 sh an4 x ing2 ， z e2 g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 t i3 j i1 uei4 （ ）
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 2 a .
j ie3 ： j ie2 h e2 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
d ang1 zh eng4 sh i4 t u2 uei4 d uei4 j iao3 m ian4 sh i2 ， q i2 m ian4 j i1 z uei4 d a4 uei4 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 f ( x ) .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 P C ü3 p ing2 m ian4 A 1 B C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 .
d ing3 d ian3 sh u4 ： 1 g e4 uei4 4 g e4
l ian2 l i4 ， d e2 7 x 2 6 x 1 0 ，
sh e4 f ( n ) ( a b ) n （ n N * ， n 2 ） ， r uo4 f ( n ) d e0 zh an3 k ai1 sh i4 zh ong1 ， c uen2 z ai4 m ou3 l ian2 x ü4 s an1 x iang4 ， q i2 er4 x iang4 sh i4 x i4 sh u4 i1 c i4 ch eng2 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ， z e2 ch eng1 f ( n ) j ü4 iou3 x ing4 zh i4 P .
【 t i2 sh i4 】 『 in1 ing3 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 d eng3 ü2 『 zh eng4 f ang1 x ing2 』 d e0 m ian4 j i1 . 』
iou3 l iang3 d uei1 p ing2 g uo3 ， d i4 i1 d uei1 2 8 6 g e4 ， zh uang1 l e0 5 k uang1 ； d i4 er4 d uei1 1 8 2 g e4 ， zh uang1 l e0 3 k uang1 。 g u1 i1 g u1 ， n a3 i1 d uei1 p ing2 g uo3 p ing2 j ün1 m ei3 k uang1 zh uang1 d e2 g eng4 d uo1 ？
C . j ia3 d e2 d i4 i4 m ing2 、 i3 d e2 d i4 s an1 m ing2 、 b ing3 d e2 d i4 er4 m ing2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
【 t i2 sh i4 】 『 A d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 4 『 c o s 』 ， 4 『 s i n 』 ） . 』
（ 2 ） r uo4 iao1 q iou2 z ai4 g ai1 sh i2 d uan4 n ei4 ch e1 l iou2 l iang4 ch ao1 g uo4 1 0 q ian1 l iang4 sh i2 ， z e2 q i4 ch e1 d e0 p ing2 j ün1 s u4 d u4 ing1 z ai4 sh en2 m e0 f an4 uei2 n ei4 ？
A ， B d e0 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 2 p ， 2 p ） ， （ 2 p ， 2 p ） h uo4 （ 2 p ， 2 p ） ， （ 2 p ， 2 p ） sh i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 f ang1 g en1 』
C . k ong1 j ian1 zh ong1 ， r u2 g uo3 l iang3 g e4 j iao3 d e0 l iang3 b ian1 f en1 b ie2 d uei4 ing4 p ing2 x ing2 ， n a4 m e0 zh e4 l iang3 g e4 j iao3 x iang1 d eng3 h uo4 h u4 b u3
a ， b ， c sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d an4 b u2 sh i4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ，
s uo3 i3 x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 6 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 .
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
r u2 t u2 ， b a3 i2 g e4 g ao1 uei4 9 c m d e0 üan2 zh u4 q ie4 ch eng2 r uo4 g an1 d eng3 f en4 ， p in1 ch eng2 i2 g e4 j in4 s i4 d e0 ch ang2 f ang1 t i3 ， b iao3 m ian4 j i1 b i3 üan2 l ai2 z eng1 j ia1 6 3 c m 2 ， zh e4 g e4 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
r u2 g uo3 d ai4 sh u4 sh i4 4 y 2 2 y 5 d e0 zh i2 uei4 7 ， n a4 m e0 2 y 2 y 1 d e0 zh i2 d eng3 ü2 （ ）
j iang1 zh e4 1 0 zh ong3 d a1 p ei4 k an4 ch eng2 1 0 g e4 ch ou1 t i4 ， in1 uei4 i1 g ong4 iou3 1 0 g e4 ch ou1 t i4 ， s uo3 i3 r en4 i4 q ü3 ch u1 1 1 g e4 sh u4 ， u2 l uen4 z en3 iang4 q ü3 ， zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 ch ou1 t i4 b ei4 q ü3 ch u1 2 g e4 sh u4 ， zh e4 l iang3 g e4 sh u4 d e0 h e2 sh i4 4 0 。
2 . ( 1 8 5 ) ( 3 6 1 2 ) q ü4 d iao4 k uo4 h ao4 h ou4 ， ün4 s uan4 sh uen4 x ü4 b u4 b ian4 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ；
A . zh i2 x ian4 、 zh i2 x ian4
d ang1 a 0 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 i2 d ing4 ch eng2 l i4 ；
g u4 d a2 an4 uei4 ： 0 . 5 .
b 2 4 a c 0 sh i4 h an2 sh u4 f ( x ) iou3 l ing2 d ian3 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
ü2 sh i4 zh i2 x ian4 O M d e0 x ie2 l ü4 k O M ， j i2 k O M k 9 ，
C ： üan2 t ai2 d e0 m u3 x ian4 ü3 zh ou2 b u4 p ing2 x ing2 ， g u4 c uo4 u4 ；
j ie3 ： g en1 j ü4 k e1 x i1 b u4 d eng3 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 d e2 ： [ ( 2 x ) 2 y 2 ] [ 1 2 1 2 ] ( 2 x y ) 2 6 2 ， h ua4 uei4 ： 4 x 2 y 2 1 8 ，
iou2 t i2 k e3 zh i1 ， S E 5 ， S D 4 ， A C 6 ， A B B C 6 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ao3 sh u4 d e0 s i4 z e2 ün4 s uan4 f a3 z e2 』
d a2 ： zh i4 sh ao3 iao4 m o1 ch u1 7 g e4 q iou2 ， c ai2 n eng2 b ao3 zh eng4 iou3 4 g e4 q iou2 d e0 ian2 s e4 sh i4 x iang1 t ong2 d e0 。
B . f ou3 m ing4 t i2 uei4 “ d an1 d iao4 h an2 sh u4 sh i4 zh ou1 q i1 h an2 sh u4 ”
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
i2 g e4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 j iao3 b ian1 f en1 b ie2 sh i4 3 c m 、 4 c m ， zh e4 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 c m 2 。
i1 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 ch u2 sh u4 sh i4 5 ， sh ang1 sh i4 7 ， ü2 sh u4 sh i4 3 ， zh e4 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 sh i4 （ ） 。
l iang3 g e4 x iang1 j iao1 p ing2 m ian4 z u3 ch eng2 d e0 t u2 x ing2 j iao4 z uo4 er4 m ian4 j iao3 ；
（ 3 ） p ： 4 4 ， q ： 2 3 b u2 sh i4 ou3 sh u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 d e0 f en4 z i3 4 8 ch u2 i3 f en1 m u3 5 0 s uo3 d e0 sh ang1 iong4 x iao3 sh u4 b iao3 sh i4 uei4 『 0 . 9 6 』 。 』
z ai4 b iao3 g e2 n ei4 iong4 zh eng4 、 f u4 sh u4 j i4 l u4 l e4 l e4 j ia1 2 0 1 4 n ian2 7 üe4 f en4 d e0 sh ou1 zh i1 q ing2 k uang4 。
üan2 zh uei1 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 、 z uo3 sh i4 t u2 d ou1 sh i4 d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 ， f u3 sh i4 t u2 sh i4 iou3 üan2 x in1 d e0 üan2 ， m an3 z u2 t i2 i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
j ie3 ： d uei4 x 2 4 q iou2 j ie3 k e3 d e2 2 x 2 ，
C D uei4 zh i2 j ing4 ，
d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 sh i4 （ 0 ， 3 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 x iong2 g uan3 z ai4 j ia3 sh an1 d e0 『 z uo3 』 sh ang4 j iao3 ， ie3 j iou4 sh i4 『 x i1 』 b ei3 f ang1 x iang4 。 』
i3 zh i1 2 x ， z e2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
E ， E ， j i2 E uei4 p ing2 m ian4 ü3 d e0 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 .
g en1 j ü4 ün4 s uan4 l ü4 ， z ai4 zh ong1 t ian2 sh i4 d ang4 d e0 sh u4 。
i3 zh i1 j iao3 d e0 d ing3 d ian3 sh i4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， sh i3 b ian1 ü3 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 ch ong2 h e2 ， zh ong1 b ian1 j ing1 g uo4 d ian3 P （ 3 ， ） .
sh i3 d e0 h an2 sh u4 zh i2 uei4 5 d e0 iou3 s an1 zh ong3 q ing2 k uang4 ， j i2 x ， ， ，
s uo3 i3 zh i2 x ian4 D B 1 ü3 p ing2 m ian4 A 1 C 1 D s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 .
j ie3 ： z ai4 zh e4 l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 zh ong1 ， iou3 i1 z u3 d uei4 d ing3 j iao3 A O B D O C ， A B D C ， r uo4 A D ， g en1 j ü4 “ A A S ” j i2 k e3 d e2 d ao4 s an1 j iao3 x ing2 q üan2 d eng3 .
r u2 t u2 ， P A j ü3 x ing2 A B C D s uo3 z ai4 d e0 p ing2 m ian4 ， M 、 N f en1 b ie2 uei4 A B ， P C d e0 zh ong1 d ian3 .
h an2 sh u4 y d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 A ， zh i2 ü4 uei4 B ， z e2 A B .
j ie3 ： iou2 zh i2 g uan1 t u2 k e3 zh i1 ， q i2 d uei4 ing4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 uei4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， q ie3 l iang3 t iao2 zh i2 j iao3 b ian1 d e0 zh ang3 A C A C 3 ， B C 2 B C 4 .
x ia4 m ian4 t u2 x ing2 sh i4 üan2 zh u4 d e0 d a3 “ ” 。
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l ie4 j ü3 f a3 j i4 s uan4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 sh u4 j i2 sh i4 j ian4 f a1 sh eng1 d e0 g ai4 l ü4 』
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 sh i4 『 2 』 . 』
x ia4 u3 6 sh i2 j i2 1 8 sh i2
【 t i2 sh i4 】 『 j ie2 sh u4 sh i2 k e4 『 』 j ing1 g uo4 sh i2 j ian1 k ai1 sh i3 sh i2 k e4 ， b en3 t i2 zh ong1 j ie2 sh u4 sh i2 k e4 sh i4 1 7 sh i2 1 0 f en1 。 』
d ang1 a 0 q ie3 b 0 sh i2 ， g ( x ) uei4 j i1 h an2 sh u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
z e2 d e2 f en1 d e0 q ing2 k uang4 g ong4 iou3 3 0 zh ong3 。
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， q ü1 x ian4 C 2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ a b 0 ， uei4 c an1 sh u4 ） ， z ai4 i3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， sh e4 x ian4 l ： ， ü3 C 1 ， C 2 g e4 iou3 i2 g e4 j iao1 d ian3 ， d ang1 a 0 sh i2 ， zh e4 l iang3 g e4 j iao1 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 uei4 2 ， d ang1 a sh i2 ， zh e4 l iang3 g e4 j iao1 d ian3 ch ong2 h e2 .
h an2 sh u4 d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 T 2 | P Q | 6 ，
j ie3 ： in1 uei4 A B l D ，
A . i2 g e4 üan2 zh u4
b u4 d eng3 sh i4 0 d eng3 j ia4 ü2 uei4 ( 2 3 x ) ( x 3 ) ( x 1 ) 0 q ie3 x 1 ，
t u2 sh i4 l iang3 g e4 s i4 l eng2 zh uei1 g ou4 ch eng2 d e0 z u3 h e2 t i3
x ia4 l ie4 h an2 sh u4 sh i4 ou3 h an2 sh u4 ， q ie3 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 d e0 sh i4 （ ）
j ie3 ： 3 x 2 2 7 x sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d e0 ch eng2 f a3 』
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 ch ang2 f ang1 t i3 zh an3 k ai1 ， r u2 t u2 ， z ai4 R t A B C 1 zh ong1 ， A B C 1 9 0 ， A B 2 『 』 . 』
C . a sh i4 iou3 l i3 sh u4 ， a sh i4 f u4 iou3 l i3 sh u4
s uo3 i3 t iao2 j ian4 uei4 i2 g e4 j iao3 sh i4 d i4 er4 x iang4 x ian4 j iao3 .
j ie3 ： üan2 x in1 C （ 2 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 2 ） ，
g en1 j ü4 t ong2 j iao3 s an1 j iao3 h an2 sh u4 d e0 j i1 b en3 g uan1 x i4 k e3 d e2 :
r u2 t u2 ， zh i2 x ian4 B C ü3 M N x iang1 j iao1 ü2 d ian3 O ， A O B C ， O E p ing2 f en1 B O N ， r uo4 E O N 2 1 ， q iou2 N O C ü3 A O M d e0 d u4 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 b ai3 uei4 d e0 ü2 sh u4 1 ü3 b ei4 ch u2 sh u4 d e0 sh i2 uei4 sh u4 z u3 ch eng2 『 1 0 』 ， j ie1 zh e0 ch u2 i3 3 ， q üe4 d ing4 sh ang1 d e0 sh i2 uei4 sh u4 。 』
s uo3 i3 A 1 O uei4 x ie2 x ian4 A 1 B z ai4 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D n ei4 d e0 sh e4 ing3 ， j i2 B A 1 O uei4 A 1 B ü3 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 .
i3 zh i1 s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 j ü3 x ing2 ， P A p ing2 m ian4 A B C D ， P A A D ， M ， N f en1 b ie2 sh i4 A B ， P C d e0 zh ong1 d ian3 ， q iou2 zh eng4 ： p ing2 m ian4 M N D p ing2 m ian4 P C D .
【 t i2 sh i4 】 『 『 x 2 y 2 』 2 ， t a n 『 』 ， b en3 t i2 x ， y 1 . 』
sh e4 a ， b d ou1 sh i4 b u4 d eng3 ü2 1 d e0 zh eng4 sh u4 ， z e2 “ 3 a 3 b 3 ” sh i4 “ l o g a 3 l o g b 3 ” d e0 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 y s i n x b ian4 ch eng2 y s i n 4 x ， z ong4 z uo4 b iao1 b u4 b ian4 ， h eng2 z uo4 b iao1 b ian4 uei4 üan2 l ai2 d e0 『 』 . 』
s an1 zh ong3 ian2 s e4 d a1 p ei4 g ong4 iou3 9 zh ong3 q ing2 k uang4 ， er2 t i2 zh ong1 d e0 f ang1 g e2 g ong4 iou3 1 0 l ie4 ， x ian1 m ei3 zh ong3 q ing2 k uang4 g e4 t u2 i1 l ie4 ， z e2 d i4 1 0 l ie4 u2 l uen4 t u2 n a3 i1 zh ong3 q ing2 k uang4 d ou1 h uei4 ü3 q ian2 m ian4 x iang1 t ong2 。
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) 2 | x | d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ a ， b ] ( a b ) ， zh i2 ü4 uei4 [ 1 ， 4 ] ， z e2 z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 n ei4 ， d ian3 ( a ， b ) d e0 ün4 d ong4 g uei3 j i4 ü3 l iang3 z uo4 b iao1 zh ou2 uei2 ch eng2 d e0 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 uei4 （ ）
zh eng4 m ing2 ： b i4 iao4 x ing4 ： iou2 ， d e2 0 ， j i2 0 .
d ang1 0 a 1 sh i2 ， a ( a 1 ) 0 ， s uo3 i3 a a ( a 1 ) a 0 1 ， j i2 m n .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 p ing2 i2 b ian4 h uan4 z uo4 t u2 』
g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 a x 2 3 x 2 0 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ， z e2 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 x ü1 f en1 A 、 B z ai4 p ing2 m ian4 d e0 t ong2 c e4 h e2 『 i4 』 c e4 l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 q iou2 j ie3 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 sh uei3 ch i2 sh uei3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 zh eng4 f ang1 x ing2 sh uei3 ch i2 d e0 m ian4 j i1 『 』 h ua1 t ai2 d e0 m ian4 j i1 。 』
【 t i2 sh i4 】 『 4 ü3 2 5 x iang1 ch eng2 sh i4 zh eng3 b ai3 sh u4 ， j iao1 h uan4 1 7 h e2 2 5 d e0 『 uei4 zh i4 』 ， q ü4 d iao4 k uo4 h ao4 j in4 x ing2 j ian3 s uan4 。 』
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： f ang1 ch eng2 x 2 2 a x 1 0 iou3 l iang3 g e4 sh i2 sh u4 g en1 ； m ing4 t i2 q ： h an2 sh u4 f ( x ) x d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 4
z ai4 C zh ong1 ， k e3 i3 zh ao3 d ao4 d uei4 ch en4 zh ou2 zh i2 x ian4 x 2 . 5 ， ie3 j iou4 sh i4 1 ， 4 uei4 i2 g e4 f ang1 ch eng2 d e0 j ie3 ， 2 ， 3 uei4 i2 g e4 f ang1 ch eng2 d e0 j ie3 ， s uo3 i3 d e2 d ao4 d e0 j ie3 d e0 j i2 h e2 k e3 i3 sh i4 { 1 ， 2 ， 3 ， 4 } ；
（ 2 ） j iang1 （ ） d ai4 r u4 1 ， d e2 x 2 1 .
t i1 x ing2 d e0 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 k e3 i3 sh i4 t i1 x ing2 h uo4 x ian4 d uan4 ， g u4 c uo4 u4 ；
g u4 üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ 1 ， 2 ） .
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 d ian3 R （ 1 ， 2 ） z ai4 p ao1 u4 x ian4 C ： y 2 2 p x （ p 0 ） sh ang4 ，
（ 2 ） r uo4 C B ， q iou2 s i n A d e0 zh i2 .
j ie3 ： i3 { ， ， } uei4 zh eng4 j iao1 j i1 d i3 ， j ian4 l i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 A x y z .
j ie3 ： q ü3 A D d e0 zh ong1 d ian3 uei4 N ， l ian2 j ie1 A 1 N ，
z ong1 sh ang4 ， x 4 sh i4 f n ( x ) 2 x d e0 uei2 i1 j ie3 .
i1 b en3 sh u1 f eng1 m ian4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 8 p ing2 f ang1 f en1 m i3
x 2 4 d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 sh i4 2 x 2 .
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b c 1 sh i2 ， q ü3 d ao4 z uei4 d a4 zh i2 6 .
r u2 g uo3 i2 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 （ d an1 uei4 ： c m ） ， z e2 c i3 j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 sh i4 c m 2
（ 1 ） 1 0 4 2 4 2 0 ， 1 2 3 5 4 2 0 ， 1 0 4 2 1 2 3 5 ， s uo3 i3 1 0 : 1 2 h e2 3 5 : 4 2 k e3 i3 z u3 ch eng2 b i3 l i4 ；
i3 zh i1 m ， n sh i4 zh eng4 sh u4 ， zh eng4 m ing2 ： m 2 n 2
sh e4 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ， uei4 q ing1 x ie2 j iao3 ） ， üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
A . ch ong1 f en4 er2 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 s i n ( ) ， d ian3 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 A （ 2 ， ） . z e2 d ian3 A d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 .
（ 2 ） sh e4 b ian4 g uei3 d ian3 uei4 C （ x ， y ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i3 zh ong3 t e4 sh u1 d e0 j ü3 zh en4 b ian4 h uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 m （ 1 ， 2 ] [ 3 ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
A D sh i4 A B C d e0 g ao1 ，
d ang1 a 0 sh i2 ， ， j ie3 d e2 1 a 0 .
d uei4 ü2 ， r uo4 l iang3 t iao2 x ian4 d uan4 ch uei2 zh i2 ， z e2 z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 b u4 i2 d ing4 ch uei2 zh i2 ， h ai2 iao4 k an4 uei4 zh i4 ， g u4 c uo4 u4 .
sh e4 m R ， m ing4 t i2 “ r uo4 m 0 ， z e2 f ang1 ch eng2 x 2 x m 0 iou3 sh i2 g en1 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 .
r uo4 d uei4 ， z e2 a ü3 l ch uei2 zh i2 ， ü3 t i2 g an4 x iang1 m ao2 d uen4 ， g u4 c uo4 u4 ；
n i4 f ou3 m ing4 t i2 ： r uo4 x 1 q ie3 x 2 ， z e2 x 2 3 x 2 0 ， zh en1 m ing4 t i2 .
（ 3 ） b a3 B D E r ao4 d ian3 D x üan2 zh uan3 d uo1 sh ao3 d u4 h ou4 ， c i3 sh i2 d e0 B D E h e2 C D F g uan1 ü2 zh i2 x ian4 B C d uei4 ch en4 ？
B . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 zh i1
s an1 n ian2 j i2 （ 1 ） b an1 ： 6 0 f en1 zh ong1 i3 x ia4 3 5 r en2 ， 6 0 ～ 9 0 f en1 zh ong1 1 2 r en2 ， 9 0 f en1 zh ong1 i3 sh ang4 3 r en2 。
（ 2 ） b a3 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 zh ong1 c an1 sh u4 x iao1 q ü4 ， d e2 4 x 2 y 2 1 6 0 .
i3 zh i1 f ang1 ch eng2 x 2 ( y 1 ) 2 1 0 .
j ie3 ： r u2 g uo3 a b ， n a4 m e0 a b 0 sh i4 b i4 r an2 sh i4 j ian4 ；
r uo4 sh i2 sh u4 a ü3 b h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ， z e2 a b .
（ 1 ） l ing4 b n a n 1 a n 1 ， q iou2 zh eng4 ： sh u4 l ie4 { b n } sh i4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ；
s uo3 i3 C d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 4 ， ） .
s uo3 i3 S ( i 1 ) ( 2 i 1 ) j S ( i 1 ) ( 2 i 1 ) j ( 2 i 2 ) ( 2 i 1 ) ( i 1 ) j ( 2 i 2 ) b u2 sh i4 a ( i 1 ) ( 2 i 1 ) j （ j 1 ， 2 ， … ， 2 i 2 ） d e0 b ei4 sh u4 ，
s uo3 i3 z u3 ch eng2 d e0 b i3 l i4 sh i4 uei4 ： 7 . 5 : 3 5 : 2 ， 3 : 2 7 . 5 : 5 （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ） 。
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 q ü1 x ian4 C 1 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 q ü1 x ian4 C 2 ： （ uei4 c an1 sh u4 ， a 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
s uo3 i3 sh i2 sh u4 k d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
iong4 j i4 s uan4 q i4 ian3 s uan4 h an2 sh u4 y f ( x ) x x ， x （ 0 ， 1 ） d e0 r uo4 g an1 zh i2 ， k e3 i3 c ai1 x iang3 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 zh en1 m ing4 t i2 zh i3 n eng2 sh i4 （ ）
zh eng3 l i3 d e2 0 ，
j ie3 d e2 3 ， j i2 x y 1 8 .
j i2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 0 ， 6 ] .
（ 1 ） s i4 b ian1 x ing2 M N A 1 C 1 sh i4 t i1 x ing2 ；
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 2 ） s uo3 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
b a3 z uo3 b ian1 zh eng4 f ang1 x ing2 zh ong1 d e0 in1 ing3 b u4 f en4 x iang4 iou4 p ing2 i2 5 g e4 d an1 uei4 ch ang2 d u4 ， h e2 iou4 b ian1 zh eng4 f ang1 x ing2 zh ong1 in1 ing3 b u4 f en4 c ou4 ch eng2 i2 g e4 uan2 zh eng3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
l eng2 zh u4 iou3 5 t iao2 c e4 l eng2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i2 z uo4 b iao1 x i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 ch u1 b u4 r en4 sh i2 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
iou2 l iang3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 d ing4 i4 k e3 d e2 ie3 zh eng4 q üe4 .
r u2 t u2 ， u3 j iao3 x ing1 r ao4 zh ong1 x in1 d ian3 z uei4 sh ao3 x üan2 zh uan3 h ou4 c ai2 n eng2 ü3 z i4 sh en1 ch ong2 h e2 .
h e2 z uei4 x iao3 uei4 ： 2 1 2
x iang4 l iang4 ü3 x iang4 l iang4 g ong4 x ian4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j üe2 d uei4 zh i2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) q iou2 f ( x ) 1 sh i2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
C . t ong2 uei4 j iao3 x iang1 d eng3
r u2 t u2 ， 1 2 ， 2 C ， z e2 t u2 zh ong1 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 d e0 zh i2 x ian4 iou3 .
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 ， sh e4 zh e4 g e4 sh u4 uei4 x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 j i4 s uan4 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q ü1 x ian4 C 1 h e2 C 2 d e0 f ang1 ch eng2 f en1 b ie2 uei4 c o s 2 s i n h e2 c o s ， i3 j i2 d ian3 uei4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 ， j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 q ü1 x ian4 C 1 h e2 C 2 d e0 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 .
q iou2 j ian4 A f a1 sh e4 p ao4 d an4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 .
r u2 t u2 ， z ai4 s i4 l eng2 zh u4 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， d i3 m ian4 sh i4 t i1 x ing2 ， A B C D ， z e2 s uo3 iou3 ü3 A 1 A B x iang1 d eng3 d e0 j iao3 sh i4 .
i1 b en3 sh u1 iou3 1 4 9 ie4 ， x iao3 h ua2 m ei3 t ian1 d u2 a ie4 ， d u2 l e0 i1 x ing1 q i1 h ou4 ， h ai2 sh eng4 （ ） ie4 。
üan2 m ing4 t i2 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
j ie3 ： s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh an3 k ai1 h ou4 sh i4 i2 g e4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ， sh e4 c i3 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 uei4 a ，
j i2 x y sh i2 q ü3 d eng3 h ao4
（ 2 ） n ian2 j iang4 sh uei3 l iang4 z ai4 [ 1 5 0 ～ 3 0 0 ） （ m m ） f an4 uei2 n ei4 uei4 sh i4 j ian4 B C D .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
f ou3 m ing4 t i2 ： r uo4 i2 g e4 sh u4 b u4 n eng2 b ei4 6 zh eng3 ch u2 ， z e2 t a1 b u4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 h uo4 b u4 n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 （ zh en1 m ing4 t i2 ） ；
i3 zh i1 p ing2 m ian4 sh ang4 b u4 g ong4 x ian4 d e0 s i4 d ian3 O 、 A 、 B 、 C . r uo4 3 2 ， z e2 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) | x a | | x 2 | .
r uo4 2 x 2 y 5 ， z e2 2 x 2 y d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
z e2 üan2 b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 .
z u3 h e2 j i3 h e2 t i3 d e0 m ian4 j i1 、 t i3 j i1 uen4 t i2
sh i1 z i0 ， d a4 x iang4 ， b an1 m a3 ， l ao3 h u3
j i4 M （ x ， y ） uei4 s uo3 q iou2 g uei3 j i4 sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ，
D . d i4 s i4 x iang4 x ian4
in1 uei4 x a ， s uo3 i3 ( y 3 ) x 2 a y .
zh eng4 iou3 l i3 sh u4 sh i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 h e2 zh eng4 f en1 sh u4 d e0 t ong3 ch eng1 ； zh eng3 sh u4 sh i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 h e2 f u4 zh eng3 sh u4 d e0 t ong3 ch eng1 ； iou3 l i3 sh u4 sh i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 、 f u4 zh eng3 sh u4 、 zh eng4 f en1 sh u4 、 f u4 f en1 sh u4 d e0 t ong3 ch eng1 ； 0 sh i4 ou3 sh u4 d an4 b u2 sh i4 z i4 r an2 sh u4 ； f u4 sh u4 d ou1 x iao3 ü2 0 .
üan2 zh u4 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 ： 3 . 1 4 1 2 3 3 . 1 4 1 2 2 2 5 . 1 2 （ c m 2 ） 。
（ 3 ） b a3 i2 g e4 üan2 zh u4 x üe1 ch eng2 z uei4 d a4 d e0 üan2 zh uei1 ， iao4 x üe1 q ü4 t a1 t i3 j i1 d e0 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 。
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 2 ） s uo3 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 、 zh en1 m ing4 t i2 、 j ia3 m ing4 t i2 』
（ 3 ） c an1 j ia1 zh e4 c i4 c e4 sh i4 d e0 t ong2 x üe2 i1 g ong4 iou3 （ ） r en2 。
s uo3 i3 0 . 8 1 d e0 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 uei4 0 . 9 ， j i2 0 . 9 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
j ie3 ： üan2 8 s i n ， j i2 2 8 s i n ，
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 B ， i3 x iang1 t ong2 s u4 d u4 x ing2 sh i3 x iang1 t ong2 l u4 ch eng2 ， s an1 l iang4 ch e1 zh ong1 ， j ia3 ch e1 x iao1 h ao4 q i4 iou2 z uei4 sh ao3 ， z e2 B c uo4 u4 ；
d ang1 a 0 sh i2 ， d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 1 ；
i3 zh i1 x ian4 d uan4 B C zh ang3 uei4 8 ， d ian3 A d ao4 B ， C l iang3 d ian3 j ü4 l i2 zh i1 h e2 uei4 1 0 ， z e2 d ong4 d ian3 A d e0 g uei3 j i4 uei4 （ ）
j ie3 ： iou2 ， k e3 d e2 d ang4 0 x 1 sh i2 ， ， d ang1 x 1 sh i2 ， ，
d e2 iou1 、 l iang2 d eng3 j i2 d e0 n an2 sh eng1 b i3 n ü3 sh eng1 d uo1 1 r en2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ou1 t i4 üan2 l i3 ( ao4 sh u4 ) 』
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l p ing2 m ian4 ， z e2 g uo4 zh i2 x ian4 l ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p ing2 m ian4 iou3 g e4 .
C ， ( a b ) ( a b ) k e3 b ian4 x ing2 uei4 ( a b ) ( a b ) ， b u4 f u2 h e2 l iang3 sh u4 zh i1 h e2 ü3 l iang3 sh u4 zh i1 ch a4 d e0 j i1 d e0 x ing2 sh i4 ， g u4 c uo4 u4 ；
1 5 sh i2 1 2 sh i2 3 sh i2 ， j i2 1 5 sh i2 sh i4 x ia4 u3 3 sh i2 ；
g u4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 l iang3 t iao2 sh e4 x ian4 .
j ie3 ： f ang1 ch eng2 5 c o s 5 s i n l iang3 b ian1 t ong2 ch eng2 i3 ， d e2 2 5 c o s 5 s i n
s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
j ie3 ： A zh ong1 ， iou2 ， d e2 c o s s i n 1 ，
sh e4 Q （ ， ） uei4 zh i2 x ian4 l sh ang4 ch u2 P d e0 r en4 i4 i4 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 』
【 t i2 sh i4 】 『 sh ou3 x ian1 iong4 x iang4 c e4 d e0 z ong3 ie4 sh u4 『 ch eng2 』 m ei3 ie4 k e3 f ang4 d e0 zh ao4 p ian1 zh ang1 sh u4 ， q iou2 ch u1 i1 b en3 x iang4 c e4 k e3 f ang4 zh ao4 p ian1 d e0 z ong3 zh ang1 sh u4 。 』
m ( t 2 ) 3 [ 1 ， 2 ] h eng2 ch eng2 l i4 ，
uei4 d ing4 zh i2 .
i2 x iang4 d e2 ， a b ，
ü2 sh i4 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 k t a n 2 .
C 、 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 c uo4 u4 ；
j ie3 sh i4 z ai4 x ia4 sh u4 q ing2 k uang4 zh ong1 g ai4 l ü4 d e0 i4 i4 ：
j ie3 ： r ao4 zh i2 x ian4 l x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 k e3 d e2 d ao4 .
iong4 i1 zh ang1 6 8 d e0 j ü3 x ing2 zh i3 j üan3 ch eng2 i2 g e4 üan2 zh u4 ， q i2 zh ou2 j ie2 m ian4 d e0 m ian4 j i1 uei4 .
j ie3 ： üan2 t ai2 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 r u2 t u2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
in1 uei4 B C ， A B f en1 b ie2 p ing2 x ing2 x ， y zh ou2 ，
g u4 d uei4 m ei3 i2 g e4 k ， d uei4 ing4 d e0 j ü4 iou3 x ing4 zh i4 P d e0 j i2 h e2 M d e0 g e4 sh u4 uei4 … 2 t 1 k ，
C . x 、 y b u4 x iang1 d eng3
i3 zh i1 a ， b ， c R q ie3 a b c 1 . zh eng4 m ing2 ：
9 6 0 j ian3 q ü4 8 0 ch u2 9 6 0 d e0 sh ang1 d e0 2 b ei4 ， ch a4 sh i4 d uo1 sh ao3 ？ l ie4 sh i4 ing1 uei4 9 6 0 9 6 0 8 0 2 。
i3 zh i1 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 ( a x 1 ) ( x 1 ) 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ ， 1 ） （ ， ） ， z e2 a .
j i2 s ， t sh i4 f ang1 ch eng2 x 3 6 x 2 9 x x d e0 l iang3 g e4 b u4 t ong2 zh eng4 g en1 ， j ie3 d e2 sh e3 q ü4 ；
zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 uei4 ： y x 3 ；
( 3 m ) ( m 2 m ) 0 ， j ie3 d e2 m 1 h uo4 m 3 .
（ 3 ） zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 ü3 b ian1 zh ang3 b u4 ch eng2 b i3 l i4 。 （ ）
üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 ： a x .
b a3 i2 g e4 üan2 zh uei1 j ie2 ch eng2 üan2 t ai2 ， i3 zh i1 üan2 t ai2 d e0 sh ang4 、 x ia4 d i3 m ian4 b an4 j ing4 d e0 b i3 sh i4 1 : 4 ， m u3 x ian4 zh ang3 uei4 1 0 c m ， q iou2 üan2 zh uei1 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 .
r u2 t u2 ， sh e4 üan2 O d e0 b an4 j ing4 uei4 r ， d ian3 M c ong2 ch u1 sh i3 uei4 zh i4 M 0 （ t 0 sh i2 d e0 uei4 zh i4 ） ch u1 f a1 ， an4 n i4 sh i2 zh en1 f ang1 x iang4 z ai4 üan2 O sh ang4 z uo4 ün2 s u4 üan2 zh ou1 ün4 d ong4 ， sh e4 M （ x ， y ） ， d ian3 M zh uan3 g uo4 d e0 j iao3 d u4 sh i4 ， z e2 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， zh e4 j iou4 sh i4 üan2 x in1 z ai4 üan2 d ian3 ， b an4 j ing4 uei4 r d e0 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) ，
D . r en4 h e2 i2 g e4 l eng2 t ai2 d ou1 k e3 i3 b u3 i2 g e4 l eng2 zh uei1 sh i3 t a1 m en0 z u3 ch eng2 i2 g e4 x in1 d e0 l eng2 zh uei1
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 R t P A C zh ong1 ， c o s P C A . 』
s uo3 i3 t a1 b u4 ch eng2 f ei1 j i1 q ü4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 0 . 6 .
d ang1 x sh i2 ， er4 c i4 g en1 sh i4 q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 ， q i2 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
j ie3 ： in1 uei4 p ing2 x ing2 ü2 l eng2 zh uei1 d i3 m ian4 d e0 p ing2 m ian4 j ie2 l eng2 zh uei1 ， j ie2 m ian4 ü3 d i3 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 b u4 f en4 j iao4 l eng2 t ai2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 1 m i3 『 1 0 』 f en1 m i3 。 』
üan2 x in1 z ai4 d ian3 （ 1 ， 2 ） ， b an4 j ing4 uei4 5 d e0 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 ， zh eng4 sh u4 b iao3 sh i4 sh ang4 zh ang3 ， s uo3 i3 f u4 sh u4 b iao3 sh i4 x ia4 d ie1 ，
j ie3 d e2 m ao2 d uen4 .
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 p ing2 m ian4 A B C 、 p ing2 m ian4 A C D zh ong1 ， l i4 iong4 d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 k e3 d e2 『 A C 』 B E 、 『 A C 』 D E . 』
j ie3 ： m ing4 t i2 “ x R ， x 2 x ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 “ x 0 R ， x 0 2 x 0 ” .
j ie3 ： d ang1 x 0 sh i2 ， x 0 ， z e2 f ( x ) b x 2 3 x .
d ang1 c o s A 0 sh i2 ， iou2 2 s i n B c o s A 6 s i n A c o s A k e3 d e2 s i n B 3 s i n A ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i2 s an4 x ing2 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 j i2 q i2 f en1 b u4 l ie4 』
iou4 s uo3 d e0 zh u4 t i3 d e0 g ao1 E G 6 2 x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ie2 er4 c e4 f a3 h ua4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 』
t u2 zh ong1 sh i4 p ao1 u4 x ian4 x ing2 g ong3 q iao2 ， d ang1 g ong3 d ing3 l i2 sh uei3 m ian4 2 m sh i2 ， sh uei3 m ian4 k uan1 4 m ， j ian4 l i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 y s i n x b ian4 ch eng2 y s i n x ， h eng2 z uo4 b iao1 b u4 b ian4 ， z ong4 z uo4 b iao1 b ian4 uei4 üan2 l ai2 d e0 『 』 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 j i1 d i3 m ian4 『 zh ou1 ch ang2 』 g ao1 ， b en3 t i2 zh ong1 j ie2 q ü4 d e0 üan2 zh u4 d e0 g ao1 sh i4 4 d m 。 』
（ 3 ） ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ang3 i2 d ing4 ， zh ou1 ch ang2 ü3 k uan1 ch eng2 f an3 b i3 l i4 。 （ ）
（ 3 ） zh eng4 m ing2 k P n ( k ) n P n 1 ( k ) ， b ing4 q iou2 ch u1 k P n ( k ) d e0 zh i2 .
j ie3 zh i1 k e3 d e2 ： ，
g en1 j ü4 d ing4 i4 j i2 k e3 p an4 d uan4 uei4 1 h e2 2 sh i4 zh i2 x ian4 a 、 b b ei4 zh i2 x ian4 c s uo3 j ie2 er2 ch eng2 d e0 t ong2 uei4 j iao3 .
in1 uei4 zh i2 x ian4 l h eng2 g uo4 d ian3 （ m ， 0 ） ，
iou4 in1 uei4 D P 2 a ， E P F P a ，
d uei4 i1 p i1 g ong4 5 0 j ian4 d e0 m ou3 d ian4 q i4 j in4 x ing2 f en1 l ei4 j ian3 c e4 ， q i2 zh ong4 l iang4 （ k e4 ） t ong3 j i4 r u2 x ia4 ：
B . d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 sh i4 r uei4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2
2 x x 2 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 .
d a2 ： zh e4 k uai4 üan2 g ang1 d e0 ch ang2 d u4 sh i4 1 2 0 c m 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
d ai4 b iao3 b ian1 zh ang3 sh i4 1 l i2 m i3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 。 z ai4 k uo4 h ao4 zh ong1 t ian2 sh ang4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 h e2 zh ou1 ch ang2 。
d a2 ： d i4 3 c i4 f ang4 sh uei3 sh i2 j ian1 sh i4 1 4 ： 4 0 。
l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
x iao3 zh eng4 f ang1 t i3 l eng2 zh ang3 ü3 d a4 zh eng4 f ang1 t i3 l eng2 zh ang3 d e0 b i3 sh i4 2 a : 5 a 2 : 5 ；
【 t i2 sh i4 】 『 1 h e2 F C D h u4 uei4 l in2 b u3 j iao3 ， t a1 m en0 d e0 h e2 uei4 『 1 8 0 』 . 』
j ie3 ： j iang1 x iao1 üan2 d e2 y 2 2 p x ，
s an1 j iao3 h an2 sh u4 d e0 zh ou1 q i1 x ing4 j i2 q i2 q iou2 f a3
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： b u4 d eng3 sh i4 a x 2 a x 1 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 R ， z e2 sh i2 sh u4 a （ 0 ， 4 ） ； m ing4 t i2 q ： “ x 2 2 x 8 0 ” sh i4 “ x 5 ” d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ， z e2 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
h an2 sh u4 y s i n x c o s d e0 zh ou1 q i1 sh i4 .
D . l iang3 t iao2 zh i2 x ian4
1 6 sh i2 7 0 f en1 4 x iao3 sh i2 4 5 f en1
A B C D （ n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ） .
x üe2 x iao4 d ao4 i1 üan4 d e0 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 sh i4 3 c m ， z e2 sh i2 j i4 j ü4 l i2 uei4 3 2 0 0 0 0 6 0 0 0 0 c m 6 0 0 m ；
s uo3 i3 a t 2 t z ai4 t [ 1 ， 3 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
（ 2 ） zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， l ü3 C j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， | A B | ， q iou2 l d e0 x ie2 l ü4 .
（ 3 ） h uan4 b iao3 h ou4 d e0 m ou3 üe4 x iao3 zh ang1 j ia1 ü3 x iao3 uang2 j ia1 iong4 d ian4 l iang4 x iang1 t ong2 ， j ün1 sh i4 7 0 d u4 ， d an4 x iao3 zh ang1 j ia1 g ai1 üe4 d e0 d ian4 f ei4 b i3 x iao3 uang2 j ia1 d uo1 5 üan2 ， z e2 g ai1 üe4 x iao3 zh ang1 j ia1 b i3 x iao3 uang2 j ia1 z ai4 “ f eng1 sh i2 ” d uo1 iong4 d uo1 sh ao3 d u4 d ian4 ？
h ua4 j ian3 ， d e2 A d ian3 g uei3 j i4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 1 0 2 0 c o s .
E d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 5 ）
z e2 n 3 3 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 n 2 sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ，
q iou2 b i3 zh i2 。
r u2 t u2 ， A B C zh ong1 ， D E ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 A C ， j iao1 A B ü2 E ， l ian2 j ie2 C E ， A 3 0 ， A C B 8 0 ， q iou2 B C E d e0 d u4 sh u4 .
B . d an1 x iang4 sh i4 a d e0 x i4 sh u4 uei4 0 ， c i4 sh u4 uei4 0
s uo3 i3 s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 d e0 x ie2 l ü4 k 2 .
j iang1 g ai1 zh an3 k ai1 t u2 zh e2 d ie2 ch eng2 u2 g ai4 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 ， b ing4 f en1 b ie2 l ian2 j ie2 A ， B ， C s an1 d ian3 ，
d uei4 ü2 D ， g en1 h ao4 l i3 m ian4 b u4 n eng2 iou3 f en1 m u3 ， g u4 b u2 sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 .
k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 d e0 zh i2 g uan1 t u2 （ 2 ） zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 k e3 k an4 ch eng2 sh i4 üan2 zh uei1 P A B j i2 üan2 zh u4 A B C D d e0 z u3 h e2 t i3 .
j ie3 ： sh e4 b ian4 h uan4 uei4 ， k e3 j iang1 q i2 d ai4 r u4 2 x y 4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 E D p ing2 m ian4 E H D ， t ong1 g uo4 q iou2 zh eng4 p ing2 m ian4 E H D p ing2 m ian4 A B 1 C 1 h ou4 ， l i4 iong4 m ian4 m ian4 『 p ing2 x ing2 』 d e0 x ing4 zh i4 d e2 d ao4 j ie2 l uen4 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d uei4 d ing3 j iao3 』
【 t i2 sh i4 】 『 x iang4 l iang4 ü3 2 g ong4 x ian4 ， z e2 x iang4 l iang4 、 d uei4 ing4 x i4 sh u4 d e0 b i3 zh i2 『 x iang1 d eng3 』 . 』
s uo3 i3 C x üan3 x iang4 b u4 n eng2 z u3 ch eng2 b i3 l i4 。
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 iou3 l iang3 d ian3 A （ 1 ， ） ， B （ 2 ， ） ， z e2 | A B | .
d a2 an4 ： iou3 l i3 sh u4 ， u2 l i3 sh u4 .
（ 1 ） d ang1 p 2 sh i2 ， q iou2 T 2 d e0 zh i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
iou2 zh i2 x ian4 l sh ang4 l iang3 d ian3 M ， N d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 2 ， 0 ） ， （ 0 ， ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2
m ou3 sh ang1 ch ang3 j ü3 b an4 “ ing2 x in1 n ian2 m o1 q iou2 ” h uo2 d ong4 ，
s uo3 i3 0 . 0 0 8 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 0 . 2 .
j ing1 g uo4 p ing2 i2 ， t u2 x ing2 sh ang4 m ei3 g e4 d ian3 d ou1 ian2 t ong2 i1 f ang1 x iang4 i2 d ong4 l e0 i1 d uan4 j ü4 l i2 ， x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 iou3 （ ）
j ie3 ： A . 1 ü3 3 sh i4 t ong2 uei4 j iao3 ， c uo4 u4 ；
r u2 t u2 ， A B C d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 2 0 c m ， A C 8 c m ， D E sh i4 A C d e0 ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 x ian4 ， z e2 A B D d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 c m .
（ 3 ） d ing1 d ing1 h e2 d ong1 d ong1 l iang3 r en2 s uo3 m ai3 d e0 in3 l iao4 d e0 p ing2 sh u4 b i3 3 : 6 1 : 2
g u4 l iang3 d ian3 zh i1 j ian1 d e0 j ü4 l i2 sh i4 c m .
i3 zh i1 d ian3 M d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ 4 ， ， ） ， z e2 d ian3 M d ao4 O z zh ou2 d e0 j ü4 l i2 uei4 .
（ 2 ） sh e4 z uei4 d a4 l i4 r uen4 uei4 M uan4 üan2 ，
in1 uei4 “ f ei1 p ” uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， k e3 d e2 p sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 q sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
【 t i2 sh i4 】 『 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 sh ang4 x ia4 d i3 m ian4 uei4 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 ， z e2 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 sh i4 『 3 』 c m 。 』
j ie3 ： in1 uei4 zh i2 x ian4 x 2 y 2 0 d e0 x ie2 l ü4 uei4 ，
g en1 j ü4 zh ang3 ü3 k uan1 d e0 d uei4 ing4 g uan1 x i4 ， z ai4 t u2 zh ong1 q ü3 d ian3 ， b ing4 iong4 p ing2 h ua2 d e0 x ian4 b a3 g e4 d ian3 l ian2 q i3 l ai2 ， k an4 i1 k an4 sh i4 z en3 iang4 d e0 x ian4 。
r u2 g uo3 zh i2 x ian4 a p ing2 m ian4 ， zh i2 x ian4 b p ing2 m ian4 ， M a ， N b ， q ie3 M l ， N l ， n a4 m e0 x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
g u4 | M N | d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 1 .
d ian3 sh u4 zh i1 h e2 uei4 4 ü3 d ian3 sh u4 zh i1 h e2 uei4 1 0 d e0 g ai4 l ü4 j ün1 uei4 ；
h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 j i2 q iou2 f a3
r u2 t u2 sh i4 2 3 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 uang3 g e2 g ou4 ch eng2 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， x ian4 z ai4 iong4 s an1 g e4 1 2 d e0 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 uang3 g e2 z u3 ch eng2 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 j iang1 g ai1 ch ang2 f ang1 x ing2 f u4 g ai4 ， b u4 t ong2 d e0 f u4 g ai4 f ang1 f a3 iou3 （ ）
iou4 iou2 0 ） ， d e2 ，
d uei4 ü2 B ， r uo4 y f ( x 1 ) b iao3 sh i4 zh ou1 q i1 uei4 1 d e0 h an2 sh u4 sh i2 y f ( x ) ü3 y f ( x 1 ) sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 ， g u4 B c uo4 u4 .
j ie3 d e2 h uo4 ，
h an2 sh u4 y 2 l o g a ( x 2 ) 3 （ a 0 ， q ie3 a 1 ） h eng2 g uo4 d ing4 d ian3 （ 3 ， 3 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
（ 2 ） iou2 （ 1 ） k e3 sh e4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ， ）
（ 2 ） zh eng4 m ing2 ： B 1 E m ian4 A C F ；
i3 zh i1 g uo4 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 ） sh ang4 i4 d ian3 P ， üan2 d ian3 uei4 O ， zh i2 x ian4 P O d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 ， z e2 P d ian3 z uo4 b iao1 sh i4 （ ）
j ie3 b i3 l i4 。
j ie3 ： j iang1 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ， d e2 y 2 x 2 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 d e0 g ong4 x ian4 （ p ing2 x ing2 ） d e0 z uo4 b iao1 b iao3 sh i4 』
iou2 t i2 i4 ， m ei3 j ia1 m ei2 k uang4 sh i4 f ou3 b ei4 g uan1 b i4 sh i4 x iang1 h u4 d u2 l i4 d e0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 j i4 s uan4 q i4 j i4 s uan4 ， x ian1 an4 g en1 h ao4 ， z ai4 an4 『 1 0 0 』 ， z uei4 h ou4 an4 “ ” 。 』
sh ang4 u3 9 sh i2 uan3 sh ang4 8 sh i2 zh ong1 u3 1 2 sh i2 l ing2 ch en2 3 sh i2 x ia4 u3 5 sh i2 uan3 sh ang4 1 2 sh i2
g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 S 5 4 4 4 4 2 8 0 1 6 （ c m 2 ） .
sh e4 d a4 üan2 d e0 b an4 j ing4 uei4 3 r ， z e2 x iao3 üan2 d e0 b an4 j ing4 uei4 2 r ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
zh uan3 h uan4 uei4 b iao1 zh uen3 sh i4 uei4 ： ( x 1 ) 2 y 2 4 .
（ 1 ） r uo4 a 1 ， q iou2 C ü3 l d e0 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 ；
f ang1 an4 i1 ： z ong3 j ia4 d a3 j iou3 b a1 zh e2 。
j ie3 ： d uei4 ü2 ， A H p ing2 m ian4 A 1 B D ， A A 1 A B A D ，
x 3 0 sh i4 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 j i2 x iao3 zh i2 d ian3 ie3 sh i4 z uei4 x iao3 zh i2 d ian3 ，
d ang1 i3 j ü3 x ing2 b ian1 zh ang3 uei4 2 d e0 b ian1 uei4 zh ou2 ， s uo3 d e0 zh u4 t i3 d e0 c e4 m ian4 j i1 uei4 2 2 1 4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 n i4 f ou3 m ing4 t i2 ü3 üan2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 j ia3 『 x iang1 』 t ong2 . 』
B . x iang1 j iao1 d an4 b u4 g uo4 üan2 x in1
d a2 ： üan2 zh uei1 t i3 j i1 sh i4 1 2 . 5 6 l i4 f ang1 l i2 m i3 。
r u2 t u2 ， zh i2 x ian4 A B ， C D b ei4 zh i2 x ian4 E F s uo3 j ie2 ， H uei4 C D ü3 E F d e0 j iao1 d ian3 ， G H C D ü2 d ian3 H ， 2 3 0 ， 1 6 0 . A B ü3 C D p ing2 x ing2 m a0 ？ uei4 sh en2 m e0 ？
ü2 sh i4 ， ， ， ch eng2 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ，
（ 3 ） sh e4 m n 0 ， b i3 j iao4 1 ü3 d e0 d a4 x iao3 ， b ing4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
f ( x ) z ai4 [ 0 ， ） d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
s uo3 i3 f ( x ) d e0 f an3 h an2 sh u4 uei4 f 1 ( x ) （ x 3 ， q ie3 a ） .
sh e4 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 uei4 A 1 C ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
l iang3 sh i4 x iang1 ch eng2 ， x iao1 q ü4 t ， d e2 y 2 2 x ( x ) ，
d ang1 x 1 sh i2 ， f ( x ) l g ( ) l g ( 0 1 ) 0 . d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x 0 sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
iou4 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 （ x ， y ） m an3 z u2
sh e4 t a 2 b ， s a b 2 1 ， z e2 s ü3 t d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 sh i4 （ ）
j ie3 ： sh e4 zh e4 g e4 sh u4 sh i4 x ， g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 d e2 | x | ，
d a2 an4 ： üan2 zh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 m ing4 t i2 sh i4 『 p an4 d uan4 』 i1 j ian4 sh i4 q ing2 d e0 ü3 j ü4 . 』
r uo4 üan2 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， zh i2 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 zh i2 x ian4 ü3 üan2 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 （ ）
（ 2 ） c ong2 zh e4 g e4 j ia3 sh e4 ch u1 f a1 ， t ong1 g uo4 l uo2 j i2 t uei1 l i3 ， t uei1 ch u1 ü3 x üe2 g uo4 d e0 d ing4 i4 、 g ong1 l i3 、 d ing4 l i3 h uo4 i3 zh i1 t iao2 j ian4 x iang1 m ao2 d uen4 ；
A E 、 B D sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 zh ong1 l iang3 r uei4 j iao3 d e0 p ing2 f en1 x ian4 ，
h an2 sh u4 y d e0 zh i2 ü4 sh i4 .
d a2 an4 ： ； 2 q ie3 x 0 .
r uo4 f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 （ ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
（ 3 ） sh eng2 z i0 d e0 z ong3 zh ang3 d u4 j ian3 q ü4 d e0 ch ang2 d u4 sh eng4 x ia4 d e0 ch ang2 d u4 ， s uo3 i3 j ian3 q ü4 d e0 ch ang2 d u4 h e2 sh eng4 x ia4 d e0 ch ang2 d u4 b u4 ch eng2 b i3 l i4 。
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， zh i2 x ian4 c o s s i n 1 0 ü3 üan2 2 c o s j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， z e2 | A B | .
f ei1 l ing2 iou3 l i3 sh u4 j i2 g uan1 ü2 iou3 l i3 sh u4 d e0 ch eng2 f a3 g ou4 ch eng2 i2 g e4 q ün2 ；
（ 2 ） j ia3 ch ou1 d ao4 3 ， i3 ch ou1 d ao4 d e0 p ai2 zh i3 n eng2 sh i4 2 ， 4 ， 4 ， in1 c i3 ， i3 ch ou1 d ao4 d e0 p ai2 d e0 sh u4 z i4 d a4 ü2 3 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 d e0 m ei3 i1 x iang4 d ou1 n eng2 x ie3 ch eng2 l iang3 x iang4 ch a4 d e0 x ing2 sh i4 ， k e3 l i4 iong4 『 l ie4 x iang4 x iang1 x iao1 』 f a3 q iou2 ch u1 S 2 0 1 7 . 』
sh e4 q ü1 x ian4 C 1 j ing1 g uo4 b ian4 h uan4 h ou4 d e2 d ao4 q ü1 x ian4 C 2 .
j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2
j ie3 ： （ 1 ） q ü1 x ian4 C 1 ： ，
d ang1 2 3 sh i2 ， d e2 .
j ie3 ： r uo4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 ， z e2 zh e4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 k e3 n eng2 ch uei2 zh i2 、 p ing2 x ing2 h uo4 x iang1 j iao1 ， h uo4 i4 m ian4 .
c i3 sh i2 ， üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 b u2 sh i4 k ong1 j i2 .
iou2 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 d e2 ， s i n 2 B s i n 2 A s i n A s i n C ， s i n A s i n C ， k e3 d e2 ： s i n A s i n C ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
d a2 an4 ： 1 : 8 . j ie3 ： p ing2 m ian4 sh ang4 ， r uo4 l iang3 g e4 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 d e0 b i3 uei4 1 : 2 ， z e2 t a1 m en0 d e0 m ian4 j i1 b i3 uei4 1 : 4 ， l ei4 s i4 d i4 ， iou2 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 m ian4 j i1 l ei4 b i3 l i4 t i3 t u2 x ing2 d e0 t i3 j i1 ， d e2 ch u1 ： z ai4 k ong1 j ian1 n ei4 ， r uo4 l iang3 g e4 zh eng4 s i4 m ian4 t i3 d e0 l eng2 zh ang3 d e0 b i3 uei4 1 : 2 ， z e2 t a1 m en0 d e0 d i3 m ian4 j i1 zh i1 b i3 uei4 1 : 4 ， d uei4 ing4 g ao1 zh i1 b i3 uei4 1 : 2 ， s uo3 i3 t a1 m en0 d e0 t i3 j i1 b i3 uei4 1 : 8 .
iou4 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 x 4 ，
s uo3 i3 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ ， 0 ） （ 0 ， 1 ] .
（ 2 ） r uo4 er4 m ian4 j iao3 B 1 A 1 C 1 D d e0 d a4 x iao3 uei4 6 0 ， q iou2 sh i2 sh u4 d e0 zh i2 .
（ 2 ） r uo4 c uen2 z ai4 x R ， sh i3 f ( x ) 4 ch eng2 l i4 ， q iou2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
j ie3 ： iou2 t u2 k e3 zh i1 d b 0 a c ，
zh eng3 l i3 d e2 2 s i n 2 c o s ，
d a2 an4 ： r uo4 m x 2 2 x 1 0 iou3 sh i2 g en1 ， z e2 m 1 .
2 0 0 8 n ian2 b ei3 j ing1 j ü3 b an4 l e0 ao4 ün4 h uei4 ， zh e4 i1 n ian2 1 ～ 3 üe4 f en4 i1 g ong4 iou3 （ ） t ian1 ； q üan2 n ian2 iou3 （ ） t ian1 ， sh i4 （ ） g e4 x ing1 q i1 l ing2 （ ） t ian1 。
i3 x iang1 zh ong1 iou3 s an1 g e4 q iou2 （ m ei3 g e4 q iou2 d e0 d a4 x iao3 、 x ing2 zh uang4 uan2 q üan2 x iang1 t ong2 ） ，
q i2 zh ong1 g ( t 1 ) b iao3 d a2 t 1 M ie3 j ü4 iou3 x ing4 zh i4 P d e0 j i2 h e2 M d e0 g e4 sh u4 ，
m an3 z u2 d e0 zh i2 x ian4 l k e3 n eng2 z ai4 p ing2 m ian4 n ei4 ， g u4 c uo4 u4 ；
d ang1 x 0 sh i2 ， x （ 0 ， 1 ） h uo4 x （ 2 ， ） sh i2 ， x f ( x ) 0 ；
er4 m ian4 j iao3 B A C D sh i4 zh i2 er4 m ian4 j iao3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
j ie3 ： z uo4 ch u1 d e0 p ing2 x ing2 x ian4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
b u4 d eng3 sh i4 2 | x 1 | 1 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 .
zh i2 x ian4 C D ü3 l d e0 x ie2 l ü4 x iang1 t ong2 ， t a n t ， t ，
t ong2 l i3 ， üan2 O 2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 y 0 .
i1 c i4 l ei4 t uei1 ，
f ang1 ch eng2 a x 2 b x c 0 iou3 i2 g e4 g en1 uei4 1 .
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 ： üan2 t ai2 sh ang4 d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 ü3 x ia4 d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 zh i1 b i3 i2 d ing4 x iao3 ü2 1 ； j ü3 x ing2 r ao4 r en4 i4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 x üan2 zh uan3 d ou1 k e3 i3 uei2 ch eng2 üan2 zh u4 ； üan2 zh uei1 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 ， q ie3 zh i3 iou3 i2 g e4 ； üan2 t ai2 d e0 sh ang4 、 x ia4 d i3 m ian4 b u4 i2 d ing4 p ing2 x ing2 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
A . 5 ü3 6 zh i1 j ian1
zh eng3 l i3 d e2 d ao4 d ian3 M d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 2 ) 2 y 2 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uen2 z i4 x ü4 sh u4 t i2 』
b u4 d eng3 sh i4 1 ch eng2 l i4 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 d e0 g ai4 n ian4 、 h ua4 f a3 j i2 b iao3 sh i4 』
h e2 b ing4 t ong2 l ei4 x iang4 ， d e2 8 x 2 ，
B x üan3 x iang4 zh ong1 ， ， g u4 c uo4 u4 ；
i1 b en3 sh u1 f eng1 m ian4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 8 （ ） i1 zh i1 g ang1 b i3 zh ang3 1 5 （ ）
iou4 iou2 ， k e3 d e2 P （ ， ） ， t ong2 l i3 k e3 d e2 Q （ ， ） .
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 2 ( 2 s i n ) 2 s i n 0 b iao3 sh i4 d e0 t u2 x ing2 sh i4 （ ）
j i4 x ü4 x üan2 zh uan3 k e3 d e2 sh i4 b an4 j ing4 uei4 2 d e0 üan2 zh ou1 ch ang2 ， ch ang2 d u4 uei4 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， zh eng4 q üe4 d e0 j ie2 l uen4 x ü4 h ao4 sh i4 .
üan2 2 c o s h ua4 uei4 2 2 c o s ， x 2 y 2 2 x ， p ei4 f ang1 uei4 ( x 1 ) 2 y 2 1 ， k e3 d e2 üan2 x in1 C （ 1 ， 0 ） ， b an4 j ing4 r 1 .
j iang1 x 1 ， y 6 d ai4 r u4 1 1 x 2 y zh ong1 ， d e2 üan2 sh i4 1 1 ( 1 ) 2 6 1 .
j ie3 ： D E sh i4 x ian4 d uan4 A C d e0 ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 x ian4 ，
s uo3 i3 d ang1 x 2 sh i2 ， x 2 x 0 b i4 r an2 ch eng2 l i4 ，
sh e4 M （ ， ） sh i4 g uo4 d ian3 P d e0 üan2 C d e0 q ie4 x ian4 sh ang4 d e0 r en4 i4 i4 d ian3 .
f ang1 ch eng2 ( x 2 ) 2 5 d e0 g en1 uei4 .
E F C D 1 ， j i2 E F ü3 C D 1 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 y f ( x 1 ) d e0 f an3 h an2 sh u4 uei4 y f 1 ( x 1 ) ， q ie3 f ( 1 ) 2 ， z e2 f ( 2 ) d e0 zh i2 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 a c b c ( a b ) c ， d uei4 ü2 2 5 6 7 5 6 7 ， c 『 7 』 ， a 『 2 5 6 』 。 』
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， j iang1 h an2 sh u4 y s i n ( 2 x ) d e0 t u2 x iang4 x iang4 iou4 p ing2 i2 （ 0 ） g e4 d an1 uei4 ch ang2 d u4 . r uo4 p ing2 i2 h ou4 d e2 d ao4 d e0 t u2 x iang4 j ing1 g uo4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， z e2 d e0 zh i2 uei4 .
、 f ang1 x iang4 x iang1 f an3 ，
p ing2 m ian4 P D F sh ang4 p ing2 m ian4 A B C ；
（ 3 ） z ai4 sh i2 sh u4 f an4 uei2 n ei4 ， iou3 x ie1 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 u2 j ie3 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang1 s i4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
j ie3 ： l ing4 k ， z e2 k k e3 k an4 z uo4 üan2 x 2 ( y 1 ) 2 1 sh ang4 d e0 i2 g e4 d ong4 d ian3 d ao4 d ian3 （ 1 ， 2 ） d e0 l ian2 x ian4 d e0 x ie2 l ü4 .
d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 （ 1 ， 1 ） h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
（ 3 ） l ing4 t 1 ， z e2 t [ 1 ， 1 ] q ie3 x ( t 1 ) 2 ，
j ie3 ： l iang3 b ian1 t ong2 sh i2 k ai1 f ang1 ， d e2
z ai4 t an2 h uang2 ch eng4 sh ang4 g ua4 g e4 zh ong3 u4 p in3 sh i2 ， zh i4 l iang4 h e2 t an2 h uang2 ch ang2 d u4 b ian4 h ua4 r u2 x ia4 t u2 。
（ 2 ） üan2 zh u4 üe4 g ao1 ， d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 üe4 d a4 。 （ ）
C N p ing2 m ian4 A F . g u4 zh eng4 q üe4 ；
in1 uei4 a 0 ， s uo3 i3 a 1 .
sh e4 d ian3 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 2 ， 2 ） ， q iou2 t a1 d e0 q iou2 z uo4 b iao1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
i3 sh ang1 ch ang3 ： 3 0 0 3 0 3 3 0 （ üan2 ）
r u2 t u2 ， z ai4 d i3 m ian4 uei4 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， c e4 l eng2 P D d i3 m ian4 A B C D ， P D D C ， d ian3 E sh i4 x ian4 d uan4 P C d e0 zh ong1 d ian3 .
b u4 d eng3 sh i4 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ ）
p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 1 .
b ing4 i3 1 0 k m h d e0 s u4 d u4 b u4 d uan4 z eng1 d a4 . uen4 j i3 x iao3 sh i2 h ou4 g ai1 ch eng2 sh i4 k ai1 sh i3 sh ou4 d ao4 t ai2 f eng1 d e0 q in1 x i2 ？
s uo3 i3 c e4 m ian4 j i1 zh i1 b i3 uei4 1 : 1 .
i3 zh i1 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， j i2 d ian3 uei4 O ， 0 2 ， M （ 3 ， ） ， z ai4 zh i2 x ian4 O M sh ang4 ü3 d ian3 M d e0 j ü4 l i2 uei4 4 d e0 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 .
j ie3 ： q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 1 x .
（ 2 ） zh eng4 m ing2 ： d uei4 r en4 i4 d e0 n N * ， d eng3 sh i4 | n f n 1 ( ) f n ( ) | d ou1 ch eng2 l i4 .
j ie3 ： sh e4 Q d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 c o s ， s i n ） ，
d uei4 ü2 ， z ai4 k ong1 j ian1 l iang3 l iang3 x iang1 j iao1 d e0 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 b u4 i2 d ing4 g ong4 m ian4 ， k e3 n eng2 x ing2 ch eng2 l eng2 zh uei1 ， c uo4 u4 .
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 C D C 1 D 1 ， l C 1 D 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ü3 zh en4 ü3 j ü3 zh en4 d e0 ch eng2 f a3 』
iou2 t u2 x iang4 k e3 d e2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 0 ， 2 ] ， zh i2 ü4 uei4 [ 0 ， ] .
d ian3 F z ai4 x ian4 d uan4 P B sh ang4 ，
b 2 4 a c 0 sh i4 h an2 sh u4 f ( x ) m ei2 iou3 l ing2 d ian3 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 .
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) 1 ， g ( x ) ， z e2 f ( x ) g ( x ) .
B 、 d ang1 a 0 sh i2 ， b u2 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 c uo4 u4 ；
h an2 sh u4 t u2 x iang4 k ai1 k ou3 x iang4 sh ang4 ；
s an1 t iao2 zh i2 x ian4 l iang3 l iang3 x iang1 j iao1 q ie3 b u4 g ong4 d ian3 ；
A . ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
A . f ei1 uan2 q üan2 p ing2 f ang1 sh u4
d ian3 P （ 1 ， 0 ） d ao4 q ü1 x ian4 （ c an1 sh u4 t R ） sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uei4 d uan3 j ü4 l i2 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 d e0 j ie2 g uo3 sh i4 d ian3 C zh i3 x iang4 d ian3 『 D 』 d e0 x iang4 l iang4 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i3 、 d uei4 sh u4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 x ie4 f a3 』
d ang1 0 sh i2 ， sh e4 x ian4 l ü3 q ü1 x ian4 C 1 ， C 2 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 1 ， 0 ） ， （ a ， 0 ） .
A . ch uei2 x ian4 d uan4 z uei4 d uan3
d a2 ： üan2 l ai2 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 1 2 6 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。
d i4 sh i2 x iang4 uei4 1 2 3 ， j i2 a 1 0 b 1 0 1 2 3 .
j ia3 、 i3 l iang3 r en2 t ong2 sh i2 c ong2 A d i4 ch u1 f a1 ， r u2 g uo3 j ia3 x iang4 n an2 z ou3 5 0 m j i4 uei4 5 0 m ， z e2 i3 x iang4 b ei3 z ou3 3 0 m j i4 uei4 （ ） m ， zh e4 sh i2 j ia3 、 i3 l iang3 r en2 x iang1 j ü4 （ ） m 。
j ie3 ： （ 1 ） zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 P （ 2 ， 0 ） ， x ie2 l ü4 uei4 ，
d u4 j üan1 j ia1 ： b a4 b a4 1 x iao3 sh i2 i3 x ia4 ， m a1 m a1 3 ～ 4 x iao3 sh i2 。
d ang1 1 a sh i2 ， f ( x ) a iou3 4 g e4 j iao1 d ian3 ， c i3 sh i2 S 2 3 ；
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 ， h an2 iou3 f an4 z uei4 n ei4 r ong2 d e0 t an2 h ua4 b ei4 b u4 f en4 h uo4 q üan2 b u4 c a1 d iao4 j iou4 sh i4 z ai4 4 0 m iao3 i3 q ian2 an4 c uo4 l e0 j ian4 ， z ai4 4 0 m iao3 h ou4 an4 c uo4 l e0 j ian4 ie3 b u2 h uei4 b ei4 c a1 d iao4 .
【 t i2 sh i4 】 『 j i3 h e2 t i3 d e0 d i3 m ian4 uei4 d eng3 iao1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， iao1 zh ang3 uei4 『 6 』 c m . 』
j ie3 ： m ing4 t i2 “ r uo4 sh i2 sh u4 a ， b m an3 z u2 a 4 h uo4 b 3 ， z e2 a b 7 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 sh i2 sh u4 a ， b m an3 z u2 a 4 q ie3 b 3 ， z e2 a b 7 ” .
A M uei4 A B C d e0 zh ong1 x ian4 ，
d ang1 a | b | sh i2 ， a b ch eng2 l i4 ；
r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 j i3 h e2 t i3 zh ong1 ， s i4 b ian1 x ing2 A A 1 B 1 B sh i4 b ian1 zh ang3 uei4 3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， C C 1 2 ， C C 1 A A 1 ， C C 1 B B 1 ， q ing3 uen4 ： zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 sh i4 l eng2 zh u4 m a0 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 k ong1 j ian1 d ian3 、 x ian4 、 m ian4 d e0 j ü4 l i2 』
d ang1 a 0 ， x 0 sh i2 ， x a 2 a ， j i2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 a 2 ；
B E p ing2 m ian4 A C 1 D ， D C 1 p ing2 m ian4 A C 1 D ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
（ 2 ） d ang1 y 1 sh i2 ， j i2 x 2 2 1 ，
i3 zh i1 f ( x ) uei4 d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 d e0 ou3 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( x ) z ai4 [ 0 ， ] sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ， z e2 f ( 2 ) ， f ( 4 ) ， f ( 3 ) d e0 d a4 x iao3 sh uen4 x ü4 sh i4 （ ）
j ie3 ： iou2 ü2 m o1 q iou2 h e2 ch ou1 q ian1 i1 iang4 ， s uei1 r an2 m o1 q iou2 d e0 sh uen4 x ü4 iou3 x ian1 h ou4 ， d an4 zh i3 x ü1 b u4 r ang4 h ou4 r en2 zh i1 d ao4 x ian1 m o1 d e0 r en2 m o1 ch u1 d e0 j ie2 g uo3 ， n a4 m e0 g e4 g e4 m o1 q iou2 zh e3 m o1 d ao4 h ei1 q iou2 d e0 g ai4 l ü4 sh i4 x iang1 d eng3 d e0 ， b ing4 b u4 in1 uei4 m o1 q iou2 d e0 sh uen4 x ü4 ing3 x iang3 q i2 g ai4 l ü4 ， s uo3 i3 l iang3 zh e3 g ai4 l ü4 x iang1 t ong2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
【 t i2 sh i4 】 『 s uo3 g ei3 sh u4 zh ong1 d ai4 iou3 “ ” d e0 sh u4 sh i4 『 f u4 』 sh u4 。 』
x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch uei2 j ing4 d ing4 l i3 j i2 t uei1 l uen4 』
r u2 t u2 ， s i4 b ian1 x ing2 A B D C n ei4 j ie1 ü2 O ， B A C 6 0 ， A D p ing2 f en1 B A C j iao1 O ü2 d ian3 D ， l ian2 j ie1 O B 、 O C .
j ie3 ： iou2 m i4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 m 2 m 1 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j üe2 d uei4 zh i2 b u4 d eng3 sh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
C . in1 uei4 A B C D ， A B E F ， s uo3 i3 C D E F
s uo3 i3 C O 2 D O 2 C D 2 ， j i2 C O O D ，
p en2 zh ong1 j i1 sh uei3 d e0 t i3 j i1 uei4 V 9 ( 6 2 1 0 2 6 1 0 ) 5 8 8 （ c uen4 3 ） ， p en2 k ou3 m ian4 j i1 uei4 S 1 4 2 1 9 6 （ c uen4 2 ） ，
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 zh i1 p 2 ，
（ 2 ） z ai4 zh i2 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 ü3 ch u2 f a3 d e0 h u4 n i4 g uan1 x i4 』
【 t i2 sh i4 】 『 4 g e4 j i1 b en3 f ang1 x iang4 sh i4 ： sh ang4 b ei3 x ia4 n an2 ， 『 z uo3 x i1 iou4 d ong1 』 。 』
i3 zh i1 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 c o s ， üan2 x in1 uei4 C ， d ian3 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 4 ， ） ， z e2 | C P | .
h a1 er3 b in1 2 ～ 8
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
s uo3 i3 h an2 sh u4 t u2 x iang4 k ai1 k ou3 x iang4 sh ang4 ， h an2 sh u4 iou3 z uei4 x iao3 zh i2 .
d ang1 1 1 ， b 0 ， j i2 0 b 4 sh i2 ， ( x 2 2 y ) | m a x 4 .
【 t i2 sh i4 】 『 z u3 h e2 t i3 k e3 k an4 ch eng2 sh i4 iou2 i2 g e4 j ü3 x ing2 、 『 2 』 g e4 t i1 x ing2 x üan2 zh uan3 z u3 ch eng2 d e0 . 』
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 ， zh e4 g e4 b an1 x üe2 sh eng1 d e0 sh en1 g ao1 b iao3 sh i4 uei4 5 c m ～ 7 c m zh i1 j ian1 ， s uo3 i3 A h e2 B sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
（ 2 ） iou2 ü2 N d ian3 z ai4 c e4 m ian4 P A B n ei4 ， g u4 k e3 sh e4 N d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， 0 ， z ） ， z e2 （ x ， ， 1 z ） .
b a3 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d ai4 r u4 q ü1 x ian4 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 zh ong1 ，
: 1 2 5 0 . 2 1 . 2 uan4 0 . 8 uan4 0 . 4 uan4
p ing2 m ian4 A 1 B E p ing2 m ian4 A C 1 D
j ie3 d e2 x 1 ， j ie3 d e2 x ，
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， üan2 C 1 ： x 2 y 2 4 ， üan2 C 2 ： ( x 2 ) 2 y 2 4 .
M d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou2 s an1 sh i4 t u2 q iou2 m ian4 j i1 、 t i3 j i1 』
j ie3 ： sh e4 sh i4 j ian4 A “ z uo4 sh e4 x ian4 O C ， sh i3 A O C h e2 B O C d ou1 b u4 x iao3 ü2 3 0 ” .
q ü3 C 1 D 1 d e0 zh ong1 d ian3 F ， l ian2 j ie1 E F ， B 1 F ， z e2 E F C 1 D ， q ie3 E F C 1 D .
j iang1 t a1 m en0 d e0 t i3 zh ong4 （ d an1 uei4 ： k g ） sh u4 j ü4 h uei4 zh i4 ch eng2 p in2 l ü4 f en1 b u4 zh i2 f ang1 t u2 （ r u2 t u2 ） . r uo4 iao4 c ong2 t i3 zh ong4 z ai4 [ 6 0 ，
j ie3 ： j in4 s i4 sh u4 3 . 5 0 s uo3 b iao3 sh i4 d e0 j ing1 q üe4 zh i2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 ： 3 . 4 9 5 x 3 . 5 0 5
zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 （ ）
j ie3 ： b a3 4 . 6 9 8 2 j ing1 q üe4 d ao4 0 . 0 1 üe1 d eng3 ü2 4 . 7 0 .
d i4 er4 x ing2 3
sh e4 j i2 h e2 A { x | x 2 3 x 2 0 } ， B { x | x 2 2 ( a 1 ) x ( a 2 5 ) 0 } .
s uo3 i3 S i ( 2 i 1 ) j S i ( 2 i 1 ) j ( 2 i 1 ) sh i4 a i ( 2 i 1 ) j （ j 1 ， 2 ， … ， 2 i 1 ） d e0 b ei4 sh u4 .
i3 d e0 s u4 d u4 uei4 4 a q ian1 m i3 sh i2 .
B . in1 uei4 A B E F ， C D E F ， s uo3 i3 A B C D
f en1 j ie3 in1 sh i4 ， d e2 x ( x 1 ) 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( 2 x ) （ ） d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 ，
0 ） . g uan1 c e4 d ian3 A （ 4 ，
（ 1 ） x ie3 ch u1 f ( 2 ) ， f ( 3 ) ， f ( 4 ) d e0 zh i2 .
s uo3 i3 d ang1 n k 1 sh i2 ， m ing4 t i2 ie3 ch eng2 l i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 h ua4 t u2 r u2 x ia4 ：
C . d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 ， g u4 c uo4 u4 ；
c ong2 d i4 s an1 x iang4 q i3 ， m ei3 x iang4 d eng3 ü2 q i2 q ian2 x iang1 l in2 l iang3 x iang4 d e0 h e2 .
1 2 3 3 1 2 0 3 4 0 （ p ing2 f ang1 m i3 ）
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 zh ong1 ， ü3 üan2 4 s i n x iang1 q ie4 d e0 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
j ie3 ： sh e4 G sh i4 B B 1 zh ong1 d ian3 ， l ian2 j ie1 C G ， E G ，
r u2 t u2 ， i3 zh i1 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 d e0 c e4 l eng2 ü3 d i3 m ian4 ch uei2 zh i2 ， A A 1 A B A C 1 ， A B A C ， M 、 N f en1 b ie2 sh i4 C C 1 、 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， d ian3 P z ai4 zh i2 x ian4 A 1 B 1 sh ang4 ， q ie3 m an3 z u2 （ R ） .
i2 g e4 t u2 x ing2 iao4 ch eng2 uei2 k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 ， z e2 t a1 zh i4 sh ao3 x ü1 iou3 4 g e4 d ing3 d ian3 ， 3 g e4 d ing3 d ian3 zh i3 n eng2 g ou4 ch eng2 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 ， d ang1 iou3 4 g e4 d ing3 d ian3 sh i2 ， k e3 uei2 ch eng2 4 g e4 m ian4 ， s uo3 i3 i2 g e4 d uo1 m ian4 t i3 zh i4 sh ao3 ing1 iou3 4 g e4 m ian4 ， er2 q ie3 zh e4 iang4 d e0 m ian4 b i4 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 ， g u4 zh eng4 q üe4
（ 2 ） sh e4 t uo3 üan2 C sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 c o s ， s i n ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
iou4 f ( x ) z ai4 [ 1 ， 1 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ， z ai4 [ 1 ， 3 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
P C A uei4 er4 m ian4 j iao3 P B C A d e0 p ing2 m ian4 j iao3 .
üan2 x in1 （ 4 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d 2 1 .
（ 3 ） p ing2 m ian4 B E F p ing2 m ian4 P C D .
【 t i2 sh i4 】 『 k e3 i3 zh uan3 h ua4 uei4 ( 2 4 『 』 3 ) d e0 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 . 』
j ie3 ： （ 1 ） 1 5 0 ( 1 ) t iao2 j ian4 ： 1 üe4 f en4 x iao1 sh ou4 d e0 b ing1 x iang1 b i3 c ai3 d ian4 d uo1 ；
j ie3 ： f ( x ) sh i4 d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( x 2 ) f ( 1 x ) ，
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ： h e2 sh i4 d ing4 l i3 ， g ong4 2 g e4 .
d a2 an4 ： 2 h uo4 0 .
iou4 M z ai4 zh i2 x ian4 c o s 4 sh ang4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 』
zh eng3 l i3 d e2 x 2 4 y ，
d ai4 r u4 t uo3 üan2 f ang1 ch eng2 d e2 ( c o s 2 4 s i n 2 ) t 2 ( 2 c o s 8 s i n ) t 1 0 .
（ 2 ） r uo4 | P M | ， | M N | ， | P N | ch eng2 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ， q iou2 a d e0 zh i2 .
C 1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 2 s i n 1 a 2 0 .
z e2 ， q ü3 b 1 ， d e2 （ 0 ， 1 ， 1 ） ，
j ie3 d e2 x ， j i2 N { x | x } ，
z ai4 R t A B C zh ong1 ， i3 zh i1 A C B 9 0 ， B C 6 ， d ian3 E m an3 z u2 2 ， z e2 d e0 zh i2 uei4 （ ）
j ie3 ： z ai4 s i4 l eng2 zh u4 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， A A 1 D D 1 ， q ie3 A B C D ，
r uo4 d ian3 P （ 3 ， m ） z ai4 i3 d ian3 F uei4 j iao1 d ian3 d e0 p ao1 u4 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 ， z e2 | P F | .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
j ie3 ： j iang1 zh i2 x ian4 l 1 h e2 l 2 d e0 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， k e3 d e2
（ 1 ） zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ？
（ 1 ） B C 1 ü3 C D 1 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 ；
r uo4 f ang1 ch eng2 4 x 2 4 ( m 2 ) x 1 0 u2 sh i2 g en1 ，
i1 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 ch u2 sh u4 sh i4 5 ， sh ang1 sh i4 7 ， ü2 sh u4 sh i4 3 ， zh e4 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 sh i4 3 8 5 7 3 。
【 t i2 sh i4 】 『 3 6 0 [ 8 0 0 ( 1 4 2 6 ) ] zh ong1 iou3 l iang3 c eng2 k uo4 h ao4 ， x ian1 s uan4 『 x iao3 』 k uo4 h ao4 l i3 m ian4 d e0 ， z ai4 s uan4 『 zh ong1 』 k uo4 h ao4 l i3 m ian4 d e0 ， z uei4 h ou4 s uan4 k uo4 h ao4 uai4 m ian4 d e0 。 』
B . iou3 l iang3 g e4 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1
x ie2 l ü4 c uen2 z ai4 sh i2 ， sh e4 l ： y 6 k ( x 2 ) ， j i2 k x y 6 2 k 0 ， in1 uei4 b ei4 üan2 j ie2 d e2 x ian2 zh ang3 uei4 4 ， s uo3 i3 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 j ü4 l i2 uei4 2 ， s uo3 i3 2 ，
（ 2 ） d ang1 k 1 1 sh i2 ， r uo4 iao1 q iou2 x 0 uei4 3 d e0 b ei4 sh u4 ， z e2 iou3 d uo1 sh ao3 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 b iao1 zh u4 f ang1 f a3 ？
j i4 s uan4 x ia4 l ie4 g e4 t i2 ， z en3 iang4 j ian3 b ian4 j iou4 z en3 iang4 j i4 s uan4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ao1 u4 x ian4 d e0 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
（ 3 ） sh e4 zh e4 l iang3 g e4 sh u4 uei4 x 、 y ， z e2 ( x y ) ( x y ) x 2 y 2 ， z e2 l iang3 sh u4 d e0 h e2 ü3 zh e4 l iang3 sh u4 d e0 ch a4 d e0 j i1 ， d eng3 ü2 zh e4 l iang3 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 ch a4 ， sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， g u4 n eng2 z uo4 uei2 d ing4 l i3 ；
j ie3 ： iou2 t ong2 l ei4 x iang4 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 m 3 ， n 2 .
j ie3 ： m ing4 t i2 h an2 iou3 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ， er2 m ing4 t i2 k e3 i3 x ü4 sh u4 uei4 “ m ei3 i2 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 n ei4 j iao3 h e2 d ou1 sh i4 1 8 0 ” ， g u4 iou3 s an1 g e4 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 .
iou2 h an2 sh u4 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 x 1 ， d e2 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 x iang1 j iao1 、 p ing2 x ing2 、 ch ong2 h e2 d e0 t iao2 j ian4 』
c i3 s an1 j iao3 x ing2 sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， q ie3 x ie2 b ian1 zh ang3 uei4 2 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h uo4 m ing4 t i2 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 （ ， ） ( 0 2 ) ， q ü1 x ian4 2 s i n ü3 c o s 1 d e0 j iao1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 .
z ai4 [ 1 ， ] sh ang4 d i4 z eng1 ， j i2 c i3 sh i2 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 uei4 [ ， ] ，
q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 m ing4 t i2 d e0 x ü4 h ao4 sh i4 . ( t ian2 sh ang4 s uo3 iou3 zh eng4 q üe4 m ing4 t i2 d e0 x ü4 h ao4 ) .
zh i2 x ian4 2 c o s 1 ü3 üan2 2 c o s x iang1 j iao1 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 .
z ai4 k uo4 h ao4 zh ong1 t ian2 sh ang4 h e2 sh i4 d e0 sh u4 。
【 t i2 sh i4 】 『 z i4 m u3 a k e3 i3 h e2 z i4 m u3 b 、 『 c 』 z u3 h e2 . 』
A . f u3 sh i4 t u2
iou2 h an2 sh u4 f ( x ) 2 x d e0 d an1 d iao4 x ing4 k e3 zh i1 ： r uo4 a b ， z e2 2 a 2 b ；
g ai1 r en2 sh en1 j ia1 g uo4 p ei2 x ün4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 1 0 . 1 0 . 9 .
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 x c o s ， y s i n ， x 2 ，
p an4 d uan4 x ia4 l ie4 h an2 sh u4 z ai4 q ü1 j ian1 [ 1 ， 3 ] sh ang4 sh i4 f ou3 uei4 d an1 f eng1 h an2 sh u4 .
x ie2 er4 c e4 f a3 h ua4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2
iou3 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ： g ong4 m ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 sh i4 p ing2 x ing2 zh i2 x ian4 ； l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 b u2 sh i4 x iang1 j iao1 j iou4 sh i4 p ing2 x ing2 ； l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 iou3 j i4 b u4 x iang1 j iao1 ie3 b u4 p ing2 x ing2 d e0 q ing2 k uang4 ； i1 t iao2 zh i2 x ian4 h e2 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 zh ong1 d e0 i1 t iao2 p ing2 x ing2 ， t a1 ie3 k e3 n eng2 h e2 l ing4 i1 t iao2 p ing2 x ing2 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
iou2 r uo4 g an1 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 z u3 ch eng2 d e0 k c eng2 s an1 j iao3 x ing2 t u2 zh en4 ，
sh e4 m ei3 g e4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 uei4 r ，
j ie3 ： （ 1 ） zh i2 x ian4 g uo4 j i2 d ian3 ， q ing1 x ie2 j iao3 uei4 ， x ie2 l ü4 sh i4 t a n .
（ 1 ） p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 p ing2 m ian4 B 1 C 1 C B ；
r uo4 zh eng4 zh eng3 sh u4 m h e2 n m an3 z u2 m n ， z e2 ， s uo3 i3 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
r u2 t u2 ， z ai4 zh i2 s i4 l eng2 zh u4 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， d i3 m ian4 s i4 b ian1 x ing2 A B C D uei4 l ing2 x ing2 ， A 1 A A B 2 ， A B C ， E ， F f en1 b ie2 sh i4 B C ， A 1 C d e0 zh ong1 d ian3 .
（ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ）
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) x a d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 （ 4 ， 2 ） ，
s uo3 i3 er4 c i4 h an2 sh u4 d uei4 ing4 d e0 f ang1 ch eng2 a x 2 b x c 0 d e0 l iang3 g en1 uei4 3 h e2 1 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q iou2 zh i2 x ian4 （ R ） b ei4 q ü1 x ian4 4 s i n s uo3 j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 .
j ie3 ： g en1 j ü4 m ing4 t i2 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 ： “ h ong2 d ou4 sh eng1 n an2 g uo2 ” zh e4 i1 j ü4 k e3 i3 p an4 d uan4 h ong2 d ou4 sh eng1 z ai4 sh en2 m e0 d i4 f ang1 ， in1 c i3 k e3 i3 z uo4 uei2 i2 g e4 m ing4 t i2 ， q i2 t a1 j i3 g e4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 .
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） ，
d ian3 sh u4 zh i1 h e2 uei4 7 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
g u4 y f 1 ( x 1 ) d e0 f an3 h an2 sh u4 uei4 y f ( x ) 1 .
in1 uei4 k ong1 j i2 sh i4 r en4 h e2 f ei1 k ong1 j i2 h e2 d e0 zh en1 z i0 j i2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 d eng1 g uang1 sh i4 『 zh ong1 x in1 』 t ou2 ing3 ch ang2 j ian4 d e0 i1 zh ong3 g uang1 üan2 . 』
sh e4 a ， b ， c j ün1 uei4 zh eng4 sh u4 ， q ie3 a b c 1 . zh eng4 m ing2 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
p an4 d uan4 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 x ing4 ， b ing4 q iou2 ch u1 d an1 d iao4 q ü1 j ian1 .
j i2 x üe1 q ü4 b u4 f en4 d e0 t i3 j i1 sh i4 2 1 d m 3 。
d a2 ： x iao3 h uang2 iou2 l e0 1 8 0 m i3 。
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） E ， F f en1 b ie2 sh i4 A B ， A A 1 d e0 zh ong1 d ian3 ，
2 . x iao3 h uang2 iou2 3 g e4 l ai2 h uei2 2 f en1 zh ong1 g ou4 b u4 g ou4 ？
j ie3 ： üan2 m ing4 t i2 ： “ sh e4 a ， b ， c R ， r uo4 a c 2 b c 2 ， z e2 a b ” ， üan2 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 q i2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ；
s uo3 i3 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 x [ a 3 ， a 5 ] ，
A . c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 m ， sh i3 f ang1 ch eng2 x 2 m x 1 0 u2 sh i2 g en1
j i2 a x 0 2 a x 0 1 0 ch eng2 l i4 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
j iao4 sh i4 q iang2 m ian4 d e0 zh ang3 sh i4 5 （ m i3 ）
h an2 sh u4 y l g x sh i4 d an1 d iao4 h an2 sh u4 ；
（ 4 ） 2 0 0 8 n ian2 b ei3 j ing1 ao4 ün4 h uei4 d e0 b i3 s ai4 x iang4 m u4 sh i4 2 8 g e4 d a4 x iang4 m u4 ， 3 0 2 g e4 x iao3 x iang4 m u4 。
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， sh e4 d ian3 A （ 1 ， 2 ） z ai4 j ü3 zh en4 M d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 z uo4 iong4 x ia4 d e2 d ao4 d ian3 A ， j iang1 d ian3 B （ 3 ， 4 ） r ao4 d ian3 A n i4 sh i2 zh en1 x üan2 zh uan3 9 0 d e2 d ao4 d ian3 B ， q iou2 d ian3 B d e0 z uo4 b iao1 .
j ie3 ： iou2 t i2 k e3 zh i1 ， c o s x ， s i n y 1 ，
x 2 0 q ie3 f ( x ) 0 ， h uo4 x 2 0 q ie3 f ( x ) 0 ，
m ei3 r en2 m ei3 üe4 iong4 sh uei3 b u4 ch ao1 g uo4 2 m 3 sh i2 ， an4 m ei3 l i4 f ang1 m i3 1 . 6 üan2 sh ou1 f ei4 ； ch ao1 g uo4 2 m 3 d e0 b u4 f en4 an4 m ei3 l i4 f ang1 m i3 5 üan2 sh ou1 f ei4 。
i3 zh i1 üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 c i3 j ian4 k ai1 x ian4 d uei4 ing4 d e0 j i1 üan2 d e0 zh i2 j ing4 sh i4 ， d ang1 c an1 sh u4 sh i2 d uei4 ing4 d e0 q ü1 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 .
j ie3 ： in1 uei4 p ： { 2 } { 1 ， 2 ， 3 } ， q ： { 2 } { 1 ， 2 ， 3 } ，
j ia3 sh u1 g uei4 m ei3 c eng2 n eng2 f ang4 sh u1 1 5 4 b en3 ， i3 sh u1 g uei4 6 c eng2 n eng2 f ang4 sh u1 8 8 8 b en3 。 n ei3 g e4 sh u1 g uei4 m ei3 c eng2 f ang4 d e0 sh u1 g eng4 d uo1 ？ d uo1 d uo1 sh ao3 b en3 ？
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 ： h an2 sh u4 y x 0 d e0 t u2 x iang4 sh i4 zh i2 x ian4 ； h an2 sh u4 y 2 x 1 ， x N d e0 t u2 x iang4 sh i4 zh i2 x ian4 ； h an2 sh u4 y 2 x 2 1 ， x N d e0 t u2 x iang4 sh i4 t ong2 i1 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 ； h an2 sh u4 y ， x （ 0 ， ） d e0 t u2 x iang4 sh i4 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 zh i1 . q i2 zh ong1 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
j ie3 ： t uo3 üan2 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 1 ，
x ian3 r an2 t a1 b iao3 sh i4 j iao1 d ian3 z ai4 y zh ou2 sh ang4 ， i3 üan2 d ian3 uei4 zh ong1 x in1 d e0 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 sh ang4 zh i1 .
【 t i2 sh i4 】 『 “ g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 a x 2 2 x 1 0 iou3 l iang3 g e4 b u4 d eng3 sh i2 sh u4 j ie3 ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 f ang1 ch eng2 a x 2 2 x 1 0 sh i4 i1 üan2 『 er4 』 c i4 f ang1 ch eng2 q ie3 g en1 d e0 p an4 b ie2 sh i4 d e0 zh i2 『 d a4 』 ü2 0 . 』
（ 2 ） d uei4 ü2 sh i2 sh u4 x ， y ， p ： x y 8 ， q ： x 2 h uo4 y 6 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g uan1 ü2 ch eng2 f ang1 d e0 ü4 b ei4 zh i1 sh i2 ( ao4 sh u4 ) 』
p an4 d uan4 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 d e0 zh en1 j ia3 ， b ing4 x ie3 ch u1 t a1 m en0 d e0 f ou3 d ing4 ：
j ie3 ： d uei4 ü2 m ing4 t i2 p ： m ， n uei4 zh i2 x ian4 ， uei4 p ing2 m ian4 ， r uo4 m n ， n ， z e2 m ü3 k e3 n eng2 p ing2 x ing2 ， ie3 k e3 n eng2 z ai4 sh ang4 ， g u4 p uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， z e2 p sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ ， 3 ） （ 2 ， 3 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 x ie3 ch eng2 “ r u2 g uo3 … ， n a4 m e0 … ” d e0 x ing2 sh i4 ， “ r u2 g uo3 ” h ou4 m ian4 j ie1 d e0 b u4 f en4 sh i4 『 t i2 sh e4 』 ， d uei4 ü2 “ l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ” ， m ing4 t i2 d e0 『 t i2 sh e4 』 sh i4 ： l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 . 』
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 P （ 2 c o s ， 2 s i n ） ， Q （ 2 c o s 2 ， 2 s i n 2 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch u2 f a3 』
iou4 A E p ing2 m ian4 A B C D ， A D p ing2 m ian4 A B C D ，
j ie3 ： j iang1 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ( x ) 2 ( y ) 2 1 ，
i1 t i2 i4 d e2 [ ] [ ] [ ] ， [ ] [ ] [ ] ，
q ü1 x ian4 C 1 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 M d e0 z uo4 b iao1 （ 4 c o s ， 4 s i n ） ， z uo4 b iao1 üan2 d ian3 O （ 0 ， 0 ） ，
B . 1 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 1 ， g u4 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
（ 2 ） q iou2 j ü3 zh en4 M d e0 l ing4 i2 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 .
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 | x 1 | ， | y 2 | ，
r u2 t u2 ， M sh i4 l eng2 zh ang3 uei4 2 c m d e0 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 l eng2 C C 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， ian2 zh eng4 f ang1 t i3 b iao3 m ian4 c ong2 d ian3 A d ao4 d ian3 M d e0 z uei4 d uan3 l u4 ch eng2 sh i4 c m .
【 t i2 sh i4 】 『 h ua4 ch u1 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh ang3 ü3 k uan1 d e0 h e2 sh i4 ( 1 6 『 2 』 ) l i2 m i3 。 』
j ie3 ： （ 1 ） iou2 s i n 2 2 a c o s ， l iang3 b ian1 t ong2 ch eng2 ， k e3 d e2 2 s i n 2 2 a c o s ，
（ 4 ） r u2 g uo3 i2 g e4 ch ang2 f ang1 t i3 ü3 i2 g e4 üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 j i1 h e2 g ao1 f en1 b ie2 x iang1 d eng3 ， n a4 m e0 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 t i3 j i1 ie3 sh i4 üan2 zh uei1 t i3 j i1 d e0 3 b ei4 。 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 m h e2 n d ou1 ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 ， k e3 d e2 zh i2 x ian4 m h e2 n 『 p ing2 x ing2 』 . 』
f en1 d uan4 h an2 sh u4 d e0 ing4 iong4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 i4 i4 』
zh eng4 m ing2 ： iou2 t i2 i4 k e3 d e2 a 6 b 6 a b ( a 4 b 4 ) ( a b ) ( a 5 b 5 ) .
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： x 0 ， l n ( x 1 ) 0 ； m ing4 t i2 q ： r uo4 a b ， z e2 a 2 b 2 . x ia4 l ie4 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
in1 uei4 g ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 ，
D zh ong1 ， x 0 2 0 ， j ie3 d e2 x Q ， s uo3 i3 D sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
i2 g e4 b i3 l i4 uei4 8 : 2 0 0 . 2 : 0 . 5 ， r u2 g uo3 c ong2 z uo3 uang3 iou4 d i4 i1 x iang4 j ia1 4 ， n a4 m e0 d i4 er4 x iang4 ing1 g ai1 g ai3 uei2 d uo1 sh ao3 b i3 l i4 sh i4 r eng2 r an2 ch eng2 l i4 ？
j ie3 ： üan2 m ing4 t i2 ， r uo4 a b 0 ， z e2 a 0 h uo4 b 0 ， q i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ；
q üan2 d eng3 ； x iang1 s i4 ； b u4 x iang1 s i4 ； m ian4 j i1 x iang1 t ong2 .
j ie3 ： iou2 c o s 1 ， d e2 c o s 1 .
（ 2 ） k e3 zh i1 d ang1 n k sh i2 ， j ü4 iou3 x ing4 zh i4 P d e0 j i2 h e2 M d e0 g e4 sh u4 uei4 f ( t ) ，
（ 2 ） iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 （ 0 ， 0 ， 2 ） ， （ 2 ， 0 ， 2 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 r en4 sh i2 』
（ 3 ） t i2 i2 g e4 sh u4 x üe2 uen4 t i2 b ing4 j ie3 d a2 。
h an2 sh u4 y z ai4 q ü1 j ian1 （ 0 ， 2 ） sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 ；
zh eng4 s an1 l eng2 t ai2 d e0 l iang3 g e4 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 d eng3 ü2 8 c m h e2 1 8 c m ， c e4 l eng2 zh ang3 uei4 1 3 c m ， z e2 t a1 d e0 c e4 m ian4 j i1 uei4 .
y | f ( x ) | sh i4 ou3 h an2 sh u4 ；
r u2 g uo3 g uan1 ü2 z i4 m u3 x d e0 d ai4 sh u4 sh i4 3 x 2 m x n x 2 x 1 0 d e0 zh i2 ü3 x d e0 q ü3 zh i2 u2 g uan1 ， q iou2 m ， n d e0 zh i2 .
j ie3 d e2 ： k 1 q ie3 k 0 .
（ 2 ） sh e4 üan2 g uo4 P 0 d e0 q ie4 x ian4 uei4 P 0 T ， T z ai4 üan2 sh ang4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 『 』 q iou2 d e0 t i3 j i1 . 』
g u4 d a2 an4 uei4 ： 6 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
j ie3 ： sh e4 zh ou1 ü2 q ü4 sh i4 sh i2 d e0 n ian2 l ing2 d e0 g e4 uei4 sh u4 z i4 uei4 x ， z e2 sh i2 uei4 sh u4 z i4 uei4 x 3 ， g en1 j ü4 t i2 i4 ， d e2 ：
d ang1 a 2 ， b 1 ， m an3 z u2 a 0 b q ie3 a b 0 ， a 3 a b 2 b u4 ch eng2 l i4
s an1 g e4 q iou2 d e0 b an4 j ing4 zh i1 b i3 uei4 1 : 2 : 3 ， n a4 m e0 z uei4 d a4 d e0 q iou2 d e0 t i3 j i1 sh i4 q i2 t a1 l iang3 g e4 q iou2 d e0 t i3 j i1 h e2 d e0 （ ）
s uo3 i3 ， ch ong1 f en4 x ing4 ch eng2 l i4 .
s uo3 i3 1 9 6 4 n ian2 zh e4 i1 n ian2 iou3 3 6 6 t ian1 ， d ao4 2 0 1 8 n ian2 1 0 üe4 1 6 r i4 sh i4 5 4 zh ou1 n ian2 。
x ia4 l ie4 g e4 sh i4 zh ong1 ， h an2 sh u4 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
s uo3 i3 d ian3 M d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， 1 ） .
j ie3 ： iong4 i2 g e4 p ing2 x ing2 ü2 d i3 m ian4 d e0 p ing2 m ian4 q ü4 j ie2 t ai2 t i3 ， j iou4 h uei4 d e2 d ao4 l iang3 g e4 t ai2 t i3 ，
d ian3 B （ 2 ， ） zh uan3 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ，
j ie3 ： iou2 t i2 i4 ， j ü3 zh en4 M d e0 t e4 zh eng1 d uo1 x iang4 sh i4 f ( ) ( a ) ( 1 ) .
d a2 an4 ： 6 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ； 1 0 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。
（ 1 ） q iou2 b i3 s ai4 j ie2 sh u4 h ou4 j ia3 d e0 j in4 q iou2 sh u4 b i3 i3 d e0 j in4 q iou2 sh u4 d uo1 1 g e4 d e0 g ai4 l ü4 ；
r u2 t u2 ， z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， A B C D ， A B A D ， C D 2 A B ， p ing2 m ian4 P A D p ing2 m ian4 A B C D ， P A A D . E h e2 F f en1 b ie2 sh i4 C D h e2 P C d e0 zh ong1 d ian3 . q iou2 zh eng4 ：
zh eng4 m ing2 ： a ， b ， c j ün1 uei4 zh eng4 sh u4 ，
x ia4 l ie4 g e4 d ian3 zh ong1 ü3 （ 2 ， ） b u4 b iao3 sh i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 t ong2 i1 g e4 d ian3 d e0 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d e0 j ian3 f a3 』
g ei3 t s i n x c o s x l iang3 b ian1 p ing2 f ang1 ， d e2 t 2 1 2 s i n x c o s x ，
（ 2 ） iou2 j i2 h e2 { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 } d e0 z i0 j i2 g ou4 ch eng2 d e0 s uo3 iou3 iou3 x ü4 s an1 üan2 z u3 zh ong1 ， l ing4 N uei4 z uei4 x iao3 x iang1 j iao1 d e0 iou3 x ü4 s an1 üan2 z u3 d e0 g e4 sh u4 ， q iou2 N d e0 zh i2 .
（ 2 ） q iou2 p ing2 m ian4 A D C 1 ü3 p ing2 m ian4 A B A 1 s uo3 ch eng2 er4 m ian4 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 .
üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 d ，
【 t i2 sh i4 】 『 h uei4 i4 sh i4 d i4 m ian4 d e0 m ian4 j i1 h uei4 i4 sh i4 d i4 m ian4 d e0 zh ang3 『 』 h uei4 i4 sh i4 d i4 m ian4 d e0 k uan1 。 』
in1 uei4 zh i2 x ian4 M N ü3 p ing2 m ian4 P B C s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 ，
x y 0 ， j i2 P （ 0 ， 0 ） uei4 s uo3 q iou2 .
d a2 ： t a1 d ai4 d e0 q ian2 b u4 g ou4 。
i3 zh i1 üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 c i3 j ian4 k ai1 x ian4 d uei4 ing4 d e0 j i1 üan2 d e0 zh i2 j ing4 sh i4 ， d ang1 c an1 sh u4 sh i2 d uei4 ing4 d e0 q ü1 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
an4 zh i3 d ing4 d e0 sh uen4 x ü4 t ian1 sh ang4 k uo4 h ao4 ， z ai4 j i4 s uan4 。
P A B C ， P B A C ， P H P B P ， P H P A P ， P H 、 P B p ing2 m ian4 P B H ， P H 、 P A p ing2 m ian4 P A H ，
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 1 2 8 1 6 8 zh ong1 ， b ei4 ch u2 sh u4 sh i4 『 1 2 8 』 ， ch u2 sh u4 sh i4 『 1 6 』 ， sh ang1 sh i4 8 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 b i3 zh i2 h e2 h ua4 j ian3 b i3 』
n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 d e0 sh u4 ， b u4 i2 d ing4 n eng2 b ei4 6 zh eng3 ch u2 ， g u4 c i3 m ing4 t i2 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， b u2 sh i4 d ing4 l i3 ；
s uo3 i3 f ( x 1 ) j iao4 d a4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d e0 ch eng2 f ang1 』
zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） （ * ） .
d ang1 x 2 sh i2 ， f ( x ) a x 2 ( 6 a 2 ) x 3 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， a 0 sh i2 ， f ( x ) 2 x 3 ， m an3 z u2 t i2 i4 ；
（ 1 ） zh i2 x ian4 E F ， G H ， D C n eng2 j iao1 ü2 i4 d ian3 m a0 ？
üan2 zh u4 d e0 sh ang4 、 x ia4 l iang3 g e4 d i3 m ian4 sh i4 üan2 ， q ie3 m ian4 j i1 d a4 x iao3 x iang1 d eng3 。 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 sh i4 i2 g e4 q ü3 m ian4 ， zh an3 k ai1 h ou4 k e3 n eng2 sh i4 i2 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 ， ie3 k e3 n eng2 sh i4 i2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d e0 g ai4 n ian4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 sh u4 l iang4 j i1 d e0 x ing4 zh i4 j i2 q i2 ün4 s uan4 l ü4 』
g ai1 s an1 l eng2 zh u4 uei4 zh eng4 s an1 l eng2 zh u4 ， q ie3 c e4 l eng2 ü3 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 x iang4 d eng3 ， j ün1 uei4 a ， r u2 t u2 .
C . ch ong1 f en4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 ， k e3 d e2 B （ a ， a ， 0 ） ， C （ a ， a ， 0 ） ， D （ a ， a ， 0 ） ， V （ 0 ， 0 ， h ） ， E （ ， ， ） ，
r u2 t u2 ， i3 zh i1 p ao1 u4 x ian4 C ： y 2 4 x d e0 j iao1 d ian3 uei4 F ， g uo4 F d e0 zh i2 x ian4 l ü3 p ao1 u4 x ian4 C j iao1 ü2 A （ x 1 ， y 1 ） （ y 1 0 ） ， B （ x 2 ， y 2 ） l iang3 d ian3 ， T uei4 p ao1 u4 x ian4 d e0 zh uen3 x ian4 ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 .
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ，
， ， ， ， c ong2 x iao3 d ao4 d a4 d e0 p ai2 l ie4 sh uen4 x ü4 sh i4 .
d i4 2 g e4 sh u4 ： 5 2 2 1 ，
j ie3 ： sh e4 zh eng4 x ian2 q ü1 x ian4 y c o s 2 x sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 uei4 P （ x ， y ） ， sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 d uei4 ing4 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 P （ x ， y ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 j ia1 、 j ian3 f a3 f a3 z e2 j i2 j i3 h e2 i4 i4 』
1 d e0 n ei4 c uo4 j iao3 sh i4 B h e2 A E C ， t ong2 uei4 j iao3 sh i4 D E B .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i2 z uo4 b iao1 k e4 h ua4 d ian3 d e0 uei4 zh i4 』
iou4 A B p ing2 m ian4 A B E ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ， g uo4 i4 d ian3 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 i3 zh i1 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 』
z ai4 g en1 j ü4 s uo3 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ， k e3 d e2 h an2 sh u4 uei4 j i1 h an2 sh u4 .
d ang1 x sh i2 ， 1 q ü3 zh i2 z uei4 x iao3 ， zh e4 g e4 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 .
j ie3 ： d ang1 g e4 uei4 ü3 sh i2 uei4 sh u4 z i4 d uei4 d iao4 h ou4 ， g e4 uei4 sh u4 z i4 uei4 a ， sh i2 uei4 sh u4 z i4 uei4 b ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 s i4 l eng2 t ai2 d e0 s i4 g e4 c e4 m ian4 d ou1 sh i4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 ， q i2 zh ong1 i2 g e4 c e4 m ian4 d e0 m ian4 j i1 uei4 [ ( a 『 』 b ) 1 2 ] . 』
z e2 g ai1 üan2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 j i1 S r l 3
j ie3 ： （ 1 ） f ( x ) 2 x a 2 x d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R ，
j ie3 ： iou2 j ia3 d e0 s u4 d u4 uei4 a q ian1 m i3 sh i2 ， i3 d e0 s u4 d u4 sh i4 j ia3 d e0 4 b ei4 ， d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 ch eng2 ch u2 f a3 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
X d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 E ( X ) 0 1 2 .
4 （ c m ） ， iou2 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 j i3 h e2 t i3 d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， k e3 zh i1 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 zh ang3 uei4 4 c m .
j ie3 ： iou2 k e1 x i1 b u4 d eng3 sh i4 d e2 ： ( x 2 y 2 z 2 ) ( 1 2 2 2 1 2 ) ( x 2 y z ) 2 .
j ie3 ： q iou2 d e0 s an1 sh i4 t u2 i2 d ing4 sh i4 s an1 g e4 q üan2 d eng3 d e0 üan2 ， zh eng4 q üe4 ；
iou2 0 ， 0 d e2 f ang1 ch eng2 z u3 ，
A . zh i2 j iao3 d ou1 x iang1 d eng3
sh e4 x 0 ， z e2 y 3 3 x d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
üan2 zh u4 t i3 d e0 t i3 j i1 uei4 ： 3 . 1 4 1 2 3 9 . 4 2 （ c m 3 ）
m ing4 t i2 “ d i4 er4 x iang4 x ian4 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 x iao3 ü2 0 ” d e0 t iao2 j ian4 sh i4 （ ）
l ao3 h u3 ， d a4 x iang4 ， sh i1 z i0 ， b an1 m a3
d ang1 n 2 sh i2 ， a 2 a 2 a a 2 ( a ) 2 1 b 2 1 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . üan2 C 1 ， zh i2 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 f en1 b ie2 uei4 4 s i n ， c o s ( ) 2 .
g u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ 3 ， 0 ] .
B x iang4 ， q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 d uei4 ing4 j iao3 x iang1 d eng3 d e0 n i4 m ing4 t i2 sh i4 ： d uei4 ing4 j iao3 x iang1 d eng3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 sh i4 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 ， sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， j i2 B x iang4 m ei2 iou3 n i4 d ing4 l i3 ；
d ian4 ing3 üan4 g uen3 d ong4 f ang4 ing4 t ong2 i1 b u4 d ian4 ing3 。 m ei3 t ian1 z uei4 z ao3 i1 ch ang3 c ong2 sh ang4 u3 8 : 4 0 k ai1 sh i3 f ang4 ing4 ， d ian4 ing3 f ang4 ing4 1 x iao3 sh i2 ， j ie2 sh u4 h ou4 g uo4 1 x iao3 sh i2 z ai4 f ang4 x ia4 i1 ch ang3 ， z uei4 h ou4 i1 ch ang3 d ian4 ing3 sh i4 x ia4 u3 4 : 4 0 k ai1 sh i3 f ang4 ing4 。
x ia4 m ian4 sh i4 j ie1 d ao4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 。
k e3 j ian4 ü3 i3 sh ang4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d eng3 j ia4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 x 2 4 （ y 2 ） .
d i4 1 m ing2 sh i4 （ ） ， d i4 2 m ing2 sh i4 （ ） ， d i4 3 m ing2 sh i4 （ ） ， d i4 4 m ing2 sh i4 （ ） 。
b a3 d ian3 M d e0 j i2 z uo4 b iao1 （ 4 ， ） h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 ， d e2 （ 2 ， 2 ） .
j ie3 ： j i2 j ing4 ( ) 2 2 ， j i2 j iao3 m an3 z u2 t a n ，
zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C x iang1 j iao1 s uo3 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 2 2 4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i3 zh i1 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 sh i4 d uo1 sh ao3 ， q iou2 zh e4 g e4 sh u4 』
【 t i2 sh i4 】 『 c ao3 p i2 m ian4 j i1 zh eng4 f ang1 x ing2 d i4 d e0 m ian4 j i1 『 』 ch ang2 f ang1 x ing2 h ua1 t an2 m ian4 j i1 。 』
üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ： （ uei4 c an1 sh u4 ） .
A . h ong2 d ou4 sh eng1 n an2 g uo2
f en1 x i1 q ian2 m ian4 s an1 d ao4 ch eng2 f a3 t i2 zh ong1 ch eng2 sh u4 ü3 j i1 d e0 g uei1 l ü4 ， z ai4 iong4 zh e4 g e4 g uei1 l ü4 j i4 s uan4 h ou4 m ian4 d e0 ch eng2 f a3 t i2 。
r u2 t u2 ， i3 zh i1 p ing2 m ian4 n ei4 iou3 s an1 g e4 x iang4 l iang4 ， ， ， q i2 zh ong1 ü3 d e0 j ia1 j iao3 uei4 1 2 0 ， ü3 d e0 j ia1 j iao3 uei4 3 0 ， q ie3 | | | | 1 ， | | 2 ， r uo4 （ ， R ） ， z e2 d e0 zh i2 uei4 .
j ie3 b u4 d eng3 sh i4 | x 1 | 2 | x | 4 x .
d a2 ： uang2 sh u1 sh u1 d ai4 d e0 q ian2 b u4 g ou4 。
【 t i2 sh i4 】 『 f en1 l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 t ao3 l uen4 ： a ü3 x iang1 j iao1 h uo4 a 『 』 . 』
b i4 iao4 x ing4 ： d ang1 n 1 sh i2 ， a 1 S 1 p q .
（ 1 ） x ie3 ch u1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ；
l ian2 l i4 ， j ie3 d e2 h uo4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 』
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， k e3 t uei1 ch u1 “ a ， b zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 d a4 ü2 1 ” d e0 t iao2 j ian4 sh i4 .
（ 3 ） d i3 m ian4 j i1 sh i4 1 6 c m 2 ， c e4 m ian4 j i1 sh i4 2 5 c m 2 。
iou3 l iang3 g e4 m ian4 p ing2 x ing2 ， q i2 ü2 g e4 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 j i3 h e2 t i3 j iao4 l eng2 zh u4 ；
d uei4 ü2 C ， f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x 1 } ， g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x 1 h uo4 x 1 } ， g u4 b u4 uei4 t ong2 i1 h an2 sh u4 ， g u4 C c uo4 u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
j ie3 ： （ 1 ） iou2 C 1 ： 1 0 ， d e2 2 1 0 0 .
zh i2 x ian4 2 x y 0 j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 d uei4 ing4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 .
r u2 t u2 ， f en1 b ie2 i3 zh e4 g e4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 zh i2 j iao3 b ian1 A B 、 B C uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 ， d ou1 n eng2 d e2 d ao4 i2 g e4 üan2 zh uei1 。 n a3 i1 zh ong3 q ing2 k uang4 d e2 d ao4 d e0 üan2 zh uei1 t i3 j i1 b i3 j iao4 d a4 ？
m u4 g ong1 x iao3 l iou2 iao4 j iang1 x ia4 m ian4 zh e4 g en1 zh ang3 1 5 c m 、 zh i2 j ing4 uei4 8 c m d e0 m u4 c ai2 j ia1 g ong1 ch eng2 i2 g e4 t i3 j i1 j in4 k e3 n eng2 d a4 d e0 üan2 zh uei1 。 zh e4 g e4 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 l i4 f ang1 l i2 m i3 ？ （ d an1 uei4 ： c m ）
【 t i2 sh i4 】 『 a c b c ( a b ) c ， d uei4 ü2 4 5 9 9 4 5 ， c 『 4 5 』 ， b 『 1 』 。 』
s uo3 i3 sh eng4 ü2 b u4 f en4 ü3 ua1 q ü4 b u4 f en4 t i3 j i1 zh i1 b i3 uei4 1 : 1 .
s uo3 i3 6 6 x ， j ie3 d e2 x 1 .
zh ou1 ch ang2 1 8 l i2 m i3
（ 2 ） x ie3 ch u1 f n ( x ) d e0 b iao3 d a2 sh i4 ， b ing4 iong4 sh u4 x üe2 g uei1 n a4 f a3 zh eng4 m ing2 .
z e2 d ian3 C d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
d eng3 j iao3 d e0 ü2 j iao3 x iang1 d eng3 k e3 i3 g ai3 x ie3 uei4 r u2 g uo3 l iang3 g e4 j iao3 sh i4 d eng3 j iao3 d e0 ü2 j iao3 ， n a4 m e0 zh e4 l iang3 g e4 j iao3 x iang1 d eng3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t an4 j iou1 g uei1 l ü4 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 ( ， 0 ) U ( 0 ， ) sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， q ie3 d ang1 x 0 sh i2 ， h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 b u4 d eng3 sh i4 x f ( x ) 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 .
j ie3 ： f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ，
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 sh i4 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 ， q ie3 uei4 j ia3 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
g u4 d ing4 i4 ü4 uei4 ： { x | x 0 } .
x ia4 m ian4 sh i4 l ong2 sh an1 x iao3 x üe2 s an1 n ian2 j i2 x üe2 sh eng1 x i3 h uan1 d e0 d ian4 sh i4 j ie2 m u4 d e0 d iao4 ch a2 j i4 l u4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
x iao1 q ü4 ， d e2 y 2 p ( x ) uei4 s uo3 q iou2 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
（ 3 ） m ou3 b an1 n an2 t ong2 x üe2 b i3 n ü3 t ong2 x üe2 sh ao3 2 0 。
（ 2 ） zh eng4 m ing2 ： j ü4 t i2 i4 ， M （ 1 ， n ） ， g uo4 d ian3 M d e0 q ie4 x ian4 x ie2 l ü4 c uen2 z ai4 ， sh e4 uei4 k ，
（ 1 ） j i2 g e2 i3 sh ang4 （ h an2 j i2 g e2 ） r en2 sh u4 n an2 sh eng1 b i3 n ü3 sh eng1 （ ） r en2 ； b u4 j i2 g e2 r en2 sh u4 n an2 sh eng1 b i3 n ü3 sh eng1 （ ） r en2 。
（ 1 ） z ai4 iang2 h uei1 s an1 j iao3 x ing2 zh ong1 sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 m ou3 i1 x ing2 ， q ie3 g ai1 x ing2 zh ong1 s an1 g e4 x iang1 l in2 d e0 sh u4 zh i1 b i3 uei4 3 : 4 : 5 ？ r uo4 c uen2 z ai4 ， sh i4 q iou2 ch u1 sh i4 d i4 j i3 x ing2 ； r uo4 b u4 c uen2 z ai4 ， q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 ；
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( s i n 3 c o s ) 0 ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， l ü3 C x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， z e2 | A B | .
q ü1 x ian4 C sh i4 i3 üan2 d ian3 uei4 zh ong1 x in1 ， A 、 B uei4 j iao1 d ian3 d e0 sh uang1 q ü1 x ian4
2 5 5 g e4 p ing2 g uo3 iong4 4 g e4 k uang1 l ai2 zh uang1 ， p ing2 j ün1 m ei3 k uang1 d a4 üe1 zh uang1 （ ） g e4 。
k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 d e0 zh i2 g uan1 t u2
iou2 ü2 x s i n 2 1 ， x üan3 x iang4 C zh ong1 x 2 1 ， g u4 x üan3 x iang4 C c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
l ian2 l i4 ， d e2
iou2 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 d ing4 l i3 k e3 zh i1 zh eng4 q üe4 .
D . f u2 h e2 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 d ing4 i4 ， g u4 sh i4 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 .
iou2 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C x iang1 q ie4 ， d e2 ，
（ 1 ） q iou2 j ü3 zh en4 A d e0 t e4 zh eng1 zh i2 1 、 2 h e2 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 、 ；
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
（ 3 ） t an2 h uang2 ch ang2 d u4 ü3 u4 p in3 zh i4 l iang4 zh i1 j ian1 b u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4 ， in1 uei4 l iang3 zh e3 d e0 b i3 zh i2 b u4 x iang1 d eng3 。
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 uei4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 『 G B H 』 sh i4 er4 m ian4 j iao3 E F d e0 p ing2 m ian4 j iao3 . 』
z ai4 sh i4 l iang3 c e4 t ong2 sh i2 ch u2 i3 c o s B c o s C k e3 d e2 t a n B t a n C 2 t a n B t a n C ，
zh eng4 d ong1 f ang1 x iang4 uei4 zh eng4 f ang1 x iang4 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
b u4 f ang2 sh e4 C F F G ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 j ia1 、 j ian3 f a3 f a3 z e2 j i2 j i3 h e2 i4 i4 』
i3 zh i1 d i3 m ian4 i1 b ian1 zh ang3 uei4 a ， l ing4 i1 b ian1 zh ang3 uei4 a d e0 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 t i3 j i1 sh i4 l eng2 zh ang3 uei4 a d e0 zh eng4 f ang1 t i3 t i3 j i1 d e0 ， q iou2 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 g ao1 .
【 t i2 sh i4 】 『 g ou4 m ai3 m ou3 sh ang1 p in3 h ua1 l e0 1 1 2 üan2 ， z e2 1 1 2 n eng2 『 zh eng3 ch u2 』 g ai1 zh ong3 sh ang1 p in3 d e0 d an1 j ia4 。 』
j ie3 ： g en1 j ü4 f an3 zh eng4 f a3 j ie3 d a2 t i2 m u4 d i4 i4 b an1 b u4 zh ou4 ， k e3 d e2 b en3 t i2 s uo3 g ei3 d e0 b u4 zh ou4 zh eng4 q üe4 sh uen4 x ü4 sh i4 .
d a2 an4 ： r uo4 x 2 h uo4 x 2 ， z e2 x 2 4 .
j ie3 ： in1 uei4 h an2 sh u4 y a x 1 （ a 0 ， q ie3 a 1 ） d e0 t u2 x iang4 h eng2 g uo4 d ing4 d ian3 A （ 1 ， 1 ） ， iou4 d ian3 A z ai4 zh i2 x ian4 m x n y 1 sh ang4 ， s uo3 i3 m n 1 .
C . i1 t iao2 zh i2 x ian4
z uo4 ch u1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 ， b ing4 zh i3 ch u1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 q ü1 j ian1 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 d ian3 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 ( ， ) ， zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s ( a ， q ie3 d ian3 A z ai4 zh i2 x ian4 l sh ang4 .
d ian3 P （ x ， y ） z ai4 d ian3 P （ x ， y ） d e0 z uo3 sh ang4 f ang1 .
d a2 ： p in1 ch u1 l e0 4 g e4 zh e4 iang4 d e0 x iao3 zh eng4 f ang1 t i3 。
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， t u2 zh ong1 q üan2 d eng3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 iou2 6 d uei4 .
ch eng2 f a3 s uan4 sh i4 ： 1 6 8 1 2 8 ；
g u4 “ a 5 ” b u2 sh i4 “ B A ” d e0 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
z e2 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 d i4 j ian3 q ü1 j ian1 uei4 [ ， ） ，
s uo3 i3 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 V r 2 h ( ) 2 2 ；
g u4 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 2 .
j ie3 ： g en1 j ü4 s uo3 g ei3 b u4 d eng3 sh i4 z u3 h ua4 ch u1 t u2 x ing2 ，
i2 g e4 üan2 zh u4 ü3 i2 g e4 üan2 zh uei1 t i3 j i1 x iang1 d eng3 ， üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 j i1 sh i4 üan2 zh uei1 d i3 m ian4 j i1 d e0 2 b ei4 ， n a4 m e0 üan2 zh u4 d e0 g ao1 sh i4 üan2 zh uei1 g ao1 d e0 （ ） 。
g u4 | O P | 2 | O Q | 2 d e0 zh i2 sh i4 2 0 .
D . iong4 i2 g e4 p ing2 m ian4 q ü4 j ie2 l eng2 zh uei1 ， d i3 m ian4 ü3 j ie2 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 b u4 f en4 z u3 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 j iao4 l eng2 t ai2
üan2 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 x 4 y 1 3 0 ，
i2 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 （ r u2 t u2 ） ， zh ang3 sh i4 3 c m ， k uan1 sh i4 1 c m ， i3 zh ang3 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 h ou4 s uo3 x ing2 ch eng2 d e0 t u2 x ing2 d e0 t i3 j i1 sh i4 （ ） c m 3 ， b iao3 m ian4 j i1 sh i4 （ ） c m 2 。
（ 2 ） r u2 t u2 ， l ian2 j ie1 C D 1 ， E F ， A 1 B .
E 、 D f en1 b ie2 sh i4 B 1 C 1 ü3 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 ，
j ie3 ： z ai4 A B C zh ong1 ， iou2 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 k e3 zh i1 s i n B .
（ 5 ） i2 g e4 sh u4 b u2 sh i4 j i1 sh u4 j iou4 sh i4 ou3 sh u4 ；
r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 s i4 g e4 zh eng4 f ang1 t i3 zh ong1 ， A ， B uei4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 l iang3 g e4 d ing3 d ian3 ， M ， N ， P f en1 b ie2 uei4 q i2 s uo3 z ai4 l eng2 d e0 zh ong1 d ian3 ， n eng2 d e2 ch u1 A B p ing2 m ian4 M N P d e0 t u2 x ing2 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
zh e4 j iang1 sh eng3 d e0 r en2 k ou3 d a4 üe1 iou3 4 6 7 7 4 5 0 0 r en2 ， g ai3 x ie3 ch eng2 iong4 “ uan4 ” z uo4 d an1 uei4 d e0 sh u4 sh i4 （ ） uan4 r en2 ； q i2 zh ong1 h ang2 zh ou1 sh i4 r en2 k ou3 üe1 zh an4 q üan2 sh eng3 r en2 k ou3 d e0 1 3 . 4 ， h ang2 zh ou1 sh i4 r en2 k ou3 s i4 sh e3 u3 r u4 d ao4 uan4 uei4 üe1 sh i4 （ ） uan4 r en2 。
r u2 t u2 ， sh e4 P uei4 d eng3 zh ou2 sh uang1 q ü1 x ian4 x 2 y 2 1 sh ang4 d e0 i4 d ian3 ， F 1 、 F 2 sh i4 l iang3 g e4 j iao1 d ian3 ， zh eng4 m ing2 ： | P F 1 | | P F 2 | | O P | 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 z ai4 sh i2 j i4 uen4 t i2 zh ong1 j ian4 l i4 s an1 j iao3 h an2 sh u4 m o2 x ing2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
zh i2 x ian4 ( c o s s i n ) 8 j i2 x y 8 0 ，
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 q ü1 x ian4 C 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， z ai4 i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q ü1 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 2 ， q iou2 q ü1 x ian4 C 1 ü3 C 2 d e0 j iao1 d ian3 z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 .
m ou3 zh ong3 q ian1 b i3 d e0 i1 t ou2 d ai4 iou3 x iang4 p i2 ， x iang4 p i2 h e2 q ian1 b i3 sh i4 iong4 i1 zh ong3 k uan1 d u4 uei4 1 . 2 c m d e0 j in1 s e4 l ü3 p i2 t ao4 j ie1 （ r u2 t u2 ） ， q ian1 b i3 d e0 zh i2 j ing4 sh i4 0 . 8 c m 。 zh i4 z uo4 i1 d a3 zh e4 iang4 d e0 q ian1 b i3 x ü1 iao4 l ü3 p i2 d uo1 sh ao3 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ？ （ j ie2 g uo3 j ing1 q üe4 d ao4 b ai3 f en1 uei4 ）
d ian3 A d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 2 ） ，
s uo3 i3 m q ü4 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 m ，
üan2 C d e0 üan2 x in1 uei4 C （ 0 ， 1 ） ， b an4 j ing4 uei4 r 1 .
b an1 m a3 ， d a4 x iang4 ， sh i1 z i0 ， l ao3 h u3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ian4 r en4 f ang1 x iang4 』
j i2 k e3 d e2 A ü3 B d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 2 ） 、 （ 9 ， 6 ）
（ 2 ） f en1 b ie2 x ie3 ch u1 p ing2 sh u4 h e2 j ia4 q ian2 d e0 b i3 。 zh e4 l iang3 g e4 b i3 n eng2 z u3 ch eng2 b i3 l i4 m a0 ？
（ 1 ） d a4 ü2 2 x iao3 ü2 3 d e0 x iao3 sh u4 ： 2 . 1 3 ； 2 . 0 3 ； 2 . 1 3 2 . 0 3
1 1 0 0 0 （ l i2 m i3 ） 1 0 （ m i3 ）
b i3 j iao4 y s i n x ü3 y s i n 4 x ，
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) z e2 f ( f ( 9 ) ) .
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 ， r uo4 b u4 d eng3 sh i4 | f ( x 3 ) | | f ( x ) | m d uei4 r en4 i4 sh i2 sh u4 x h eng2 ch eng2 l i4 ， z e2 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
in1 c i3 sh i2 sh u4 a d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d e0 q ü1 x ian4 b i4 g uo4 d ian3 （ ）
B z ai4 i3 A P uei4 zh i2 j ing4 d e0 üan2 sh ang4 .
n an2 j i2 h e2 b ei3 j i2 sh i4 d i4 q iou2 sh ang4 z uei4 l eng3 d e0 d i4 f ang1 ， n a4 l i3 h an2 f eng1 h u1 x iao4 ， zh ong1 n ian2 b ing1 x üe3 f u4 g ai4 ， sh i4 i2 g e4 in2 b ai2 s e4 d e0 sh i4 j ie4 。 q i2 zh ong1 n an2 j i2 d e0 n ian2 p ing2 j ün1 q i4 uen1 üe1 uei4 l ing2 x ia4 5 0 ， z uei4 d i1 q i4 uen1 üe1 uei4 l ing2 x ia4 9 0 。 b ei3 j i2 d e0 n ian2 p ing2 j ün1 q i4 uen1 üe1 uei4 l ing2 x ia4 1 8 ， z uei4 d i1 q i4 uen1 üe1 uei4 l ing2 x ia4 7 0 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i4 m ian4 zh i2 x ian4 j i2 q i2 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
（ 2 ） d e2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 0 ，
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 3 p ing2 f ang1 m i3 h ua4 ch eng2 i3 p ing2 f ang1 f en1 m i3 uei4 d an1 uei4 d e0 sh u4 ， iao4 『 ch eng2 』 j in4 l ü4 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d uo1 x iang4 sh i4 d e0 d ing4 i4 』
q i2 zh ong1 uei4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 sh i4 .
z uei4 x iao3 zh i2 uei4 5 1
（ 2 ） sh e4 P uei4 C 1 d e0 üan2 x in1 ， Q uei4 C 1 ü3 C 2 j iao1 d ian3 l ian2 x ian4 d e0 zh ong1 d ian3 . i3 zh i1 zh i2 x ian4 P Q d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t R uei4 c an1 sh u4 ） ， q iou2 a ， b d e0 zh i2 .
A . üan2 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， f ou3 m ing4 t i2 ： “ r uo4 a b 0 ， z e2 a 0 h uo4 b 0 ”
g u4 k e3 n eng2 g ong4 j in4 x ing2 l e0 6 0 0 c i4 sh i4 ian4 .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 ， j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 üan2 4 s i n ( ) b ei4 sh e4 x ian4 0 （ 0 ， 0 uei4 ch ang2 sh u4 ， q ie3 0 （ 0 ， ） ） s uo3 j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 2 ， q iou2 0 d e0 zh i2 .
x ian4 d uan4 ； zh i2 x ian4 ； üan2 ； t i1 x ing2 ； ch ang2 f ang1 t i3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 f ang1 g en1 』
iou2 q ü1 x ian4 C 2 ： s i n ( ) 2 d e2 ( s i n c o s ) 2 ，
C . （ uei4 c an1 sh u4 ）
s uo3 i3 i4 m ian4 zh i2 x ian4 A P ， B M s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
sh e4 er4 m ian4 j iao3 B 1 A 1 D C 1 d e0 d a4 x iao3 uei4 ，
i1 t iao2 zh i2 x ian4 z ai4 l iang3 g e4 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 zh ong1 d e0 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 ， z e2 z ai4 l ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 b i4 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 zh e4 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， zh eng4 q üe4 ；
（ 2 ） d ang1 （ 0 ， ） sh i2 ， q iou2 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 O g ong1 g ong4 d ian3 d e0 i2 g e4 j i2 z uo4 b iao1 .
b u4 d eng3 sh i4 0 ü3 ( x 1 ) ( x 2 ) 0 d e0 j ie3 j i2 d ou1 sh i4 { x | 1 x 2 } ，
S s i4 b ian1 x ing2 A B C D A C A D 2 .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， r uo4 d ing4 d ian3 A （ 1 ， 2 ） ü3 d ong4 d ian3 P （ x ， y ） m an3 z u2 3 ， z e2 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 .
j ie3 ： iou2 t uo3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ， k e3 sh e4 x 4 c o s ， y 3 s i n ，
d ang1 x 4 ， y 1 2 sh i2 ， x y q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 1 6 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh e4 g en1 t ie3 s i1 d e0 ch ang2 d u4 d eng3 ü2 uei2 ch eng2 zh eng4 f ang1 x ing2 b ian1 zh ang3 d e0 『 4 』 b ei4 。 』
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 d uo1 x iang4 sh i4 ch eng2 f a3 ün4 s uan4 f a3 z e2 ， d e2 a n … 1 .
j ü4 j ian1 c e4 ，
s uo3 i3 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 y 1 ，
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ， P B A uei4 P B ü3 p ing2 m ian4 A B C d e0 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 ，
6 ） r uo4 k 1 6 t 5 ， z e2 k 6 t 4 ， c i3 sh i2 iou3 f ( k 1 ) f ( k ) 1 k 2 1 ( k 1 ) 2 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 .
j ie3 ： （ 1 ） l ian2 j ie1 O M ， z e2 O M A B .
| O M | | M N | | N O | 3 1 4 ， d ang1 M ， N z ai4 x zh ou2 sh ang4 sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ，
（ 4 ） i1 t iao2 zh i2 x ian4 zh ang3 1 5 c m 。 （ ）
zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1
d e2 zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y ( x 1 ) .
g en1 j ü4 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 ， k e3 d e2 S O A B S zh eng4 f ang1 x ing2 A B C D ，
i3 zh i1 A ， B ， C b iao3 sh i4 b u4 t ong2 d e0 d ian3 ， l b iao3 sh i4 zh i2 x ian4 ， 、 b iao3 sh i4 b u4 t ong2 d e0 p ing2 m ian4 ， z e2 x ia4 l ie4 t uei1 l i3 c uo4 u4 d e0 sh i4 （ ）
4 . 1 0 2 9 8 ( 1 0 0 2 ) 9 8 1 0 0 9 8 2 9 8 ün4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 f en1 p ei4 l ü4 。 （ ）
d a2 an4 ： j iao1 h uan4 l ü4 。
j ie3 ： x ian1 m ei3 g e4 p in3 zh ong3 d ou1 l ao1 ch u1 i1 t iao2 j in1 ü2 ， zh e4 iang4 i1 g ong4 l ao1 ch u1 l e0 4 t iao2 j in1 ü2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 ing4 iong4 』
A B ü3 S C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d eng3 ü2 D C ü3 S C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 .
zh eng4 l iou4 l eng2 zh uei1 d e0 c e4 l eng2 zh ang3 uei4 l ，
（ 3 ） zh eng4 x ian2 zh i2 x iang1 d eng3 d e0 l iang3 g e4 j iao3 d e0 zh ong1 b ian1 x iang1 t ong2 .
d uei4 ü2 D x üan3 x iang4 ， b u4 f en4 x zh i2 iou3 l iang3 g e4 ü3 zh i1 d uei4 ing4 d e0 y zh i2 ， b u4 f u2 h e2 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ， g u4 c uo4 u4 .
d ian3 B d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， ） ，
d uei4 ü2 B ， iou2 ü2 sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 ， b u4 n eng2 z ai4 h ua4 j ian3 ， g u4 B b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
iou4 C O A B ， A B O D O ， A B ， O D p ing2 m ian4 A B D ，
j ie3 ： （ 1 ） j i4 （ a b c ） uei4 p ai2 l ie4 a b c d e0 n i4 sh uen4 x ü4 ， d uei4 1 ， 2 ， 3 d e0 s uo3 iou3 p ai2 l ie4 ， iou3
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） p ing2 m ian4 P A D d i3 m ian4 A B C D ， q ie3 P A ch uei2 zh i2 ü2 zh e4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 d e0 j iao1 x ian4 A D ，
iou2 x [ 0 ， 1 ] ， a e x ， k e3 d e2 a e ；
d uei4 ü2 ， in1 uei4 | y | 3 ， s uo3 i3 ， s uo3 i3 | | | x | ， g u4 zh eng4 q üe4 .
j ia3 i3 b ing3
（ 1 ） iou2 t i2 i4 k e3 d e2 F （ 1 ， 0 ） ， T （ 1 ， 0 ） ， d ang1 zh i2 x ian4 l ü3 x zh ou2 ch uei2 zh i2 sh i2 ， A （ 1 ， 2 ） ， B （ 1 ， 2 ） ， c i3 sh i2 ，
j ie3 ： ( m 3 ) x 2 n 1 x 1 0 sh i4 g uan1 ü2 x d e0 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ，
c i3 sh i2 iou3 d 2 ( ) 2 2 5 ， z e2 iou3 2 5 ， j ie3 d e2 t a n .
iou2 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 k e3 zh i1 ， g ai1 j i3 h e2 t i3 sh i4 i2 g e4 d i3 b ian1 uei4 d eng3 iao1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 l eng2 zh uei1 ， z uo4 ch u1 q i2 t u2 x ing2 r u2 x ia4 ， q i2 zh ong1 E 、 D f en1 b ie2 uei4 l eng2 A B h e2 A C d e0 zh ong1 d ian3 .
z ai4 j ie2 h e2 b c ， k e3 d e2 B uei4 r uei4 j iao3 ， c o s B ，
d a2 ： m ai3 q i4 ch e1 b i3 m ai3 f ei1 j i1 iao4 d uo1 h ua1 6 . 7 üan2 。
h an2 sh u4 y s i n ( 2 x ) d e0 t u2 x iang4 x iang4 iou4 p ing2 i2 （ 0 ） g e4 d an1 uei4 h ou4 d e2 d ao4 y s i n [ 2 ( x ) ) ] s i n ( 2 x 2 ) d e0 t u2 x iang4 ，
d eng3 sh i4 z uo3 b ian1 d e0 ch ang2 sh u4 x iang4 uei4 C 2 n 2 k C ，
i3 zh i1 x ， y ， q iou2 x 2 y 2 d e0 zh i2 .
r u2 g uo3 b a3 sh en1 g ao1 b i3 q üan2 b an1 t ong2 x üe2 d e0 p ing2 j ün1 sh en1 g ao1 g ao1 3 c m j i4 z uo4 3 c m ， n a4 m e0 b i3 q üan2 b an1 t ong2 x üe2 d e0 p ing2 j ün1 sh en1 g ao1 ai3 5 c m ， j i4 z uo4 .
j ie3 ： zh ong1 l iang3 zh i2 x ian4 x iang1 j iao1 q üe4 d ing4 p ing2 m ian4 ， z e2 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 z ai4 zh e4 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 s uan4 sh i4 ( 5 5 2 2 ) 7 zh ong1 iou3 k uo4 h ao4 ， x ian1 s uan4 k uo4 h ao4 『 l i3 』 m ian4 d e0 。 』
【 t i2 sh i4 】 『 x iao3 l iang4 z ai4 uai4 m ian4 uan2 d e0 sh i2 j ian1 h uei2 j ia1 d e0 sh i2 k e4 l i2 j ia1 d e0 sh i2 k e4 ， l i2 j ia1 d e0 sh i2 k e4 sh i4 『 9 』 sh i2 。 』
s uo3 i3 g ai1 üe4 x iao3 zh ang1 j ia1 b i3 x iao3 uang2 j ia1 z ai4 “ f eng1 sh i2 ” d uo1 iong4 2 0 d u4 d ian4 .
u3 n ian2 j i2 h e2 l iou4 n ian2 j i2 t ong2 x üe2 g ei3 x i1 uang4 x iao3 x üe2 g ong4 j üan1 sh u1 9 0 0 b en3 ， r u2 g uo3 c ong2 l iou4 n ian2 j i2 j üan1 d e0 sh u1 zh ong1 n a2 ch u1 4 0 f ang4 d ao4 u3 n ian2 j i2 j üan1 d e0 sh u1 zh ong1 ， z e2 l iang3 g e4 n ian2 j i2 j üan1 sh u1 d e0 sh u4 l iang4 x iang1 d eng3 。 l iou4 n ian2 j i2 j üan1 sh u1 d uo1 sh ao3 b en3 ？
z ai4 x üan3 x iang4 zh ong1 zh i3 iou3 （ 2 ， 3 ） z ai4 q ü1 x ian4 y x 2 1 sh ang4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
b 2 4 a c 0 sh i4 h an2 sh u4 f ( x ) iou3 l ing2 d ian3 d e0 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ；
j ie3 ： m ing4 t i2 “ r uo4 a 2 b 2 0 ， z e2 a 0 q ie3 b 0 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 a 0 h uo4 b 0 ” ， z e2 a 2 b 2 0 ” .
sh e4 p ing2 m ian4 B 1 A B d e0 f a3 x iang4 l iang4 （ x ， y ， z ） ，
r u2 t u2 ， p ao1 u4 x ian4 C 1 ： y x 2 4 x d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 zh i2 x ian4 x a ， j iang1 p ao1 u4 x ian4 C 1 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 5 g e4 d an1 uei4 ch ang2 d u4 d e2 d ao4 p ao1 u4 x ian4 C 2 ， z e2 p ao1 u4 x ian4 C 2 d e0 d ing3 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 ； t u2 zh ong1 d e0 l iang3 t iao2 p ao1 u4 x ian4 ， zh i2 x ian4 x a ü3 y zh ou2 s uo3 uei2 ch eng2 d e0 t u2 x ing2 （ t u2 zh ong1 in1 ing3 b u4 f en4 ） d e0 m ian4 j i1 uei4 .
j ie3 ： sh e4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 { a n } d e0 g ong1 b i3 uei4 q ，
uang2 l ao3 sh i1 b u4 n eng2 z uo4 ch eng2 m ian4 j i1 uei4 3 0 0 c m 2 d e0 üan2 h uan2 .
j ie3 2 x 2 7 x 6 0 ， d e2 x h uo4 x 2 ，
r u2 t u2 ， i3 zh i1 A F D B ， A F ， q iou2 zh eng4 ： A B E F .
g u4 c uo4 u4 ；
（ 1 ） r u2 g uo3 x iao3 l i4 x ian4 z ai4 d e0 uei4 zh i4 sh i4 7 m ， sh uo1 m ing2 t a1 sh i4 x iang4 d ong1 z ou3 l e0 7 m 。
d a2 an4 ： （ 1 ） b u4 i2 d ing4 ； （ 2 ） b u4 i2 d ing4 .
g u4 F d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 1 ） ，
B . b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
1 üan2 2 j iao3 1 . 2 üan2 ， 0 . 7 üan2 1 . 2 üan2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 0 i3 n ei4 sh u4 d e0 b u4 j in4 uei4 j ia1 f a3 h e2 b u4 t uei4 uei4 j ian3 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh i4 j ian4 ü3 j i1 b en3 sh i4 j ian4 k ong1 j ian1 』
iou3 i1 g en1 zh ang3 uei4 3 c m ， d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 1 c m d e0 üan2 zh u4 x ing2 t ie3 g uan3 ， iong4 i1 d uan4 t ie3 s i1 z ai4 t ie3 g uan3 sh ang4 ch an2 r ao4 2 q üan1 ， b ing4 sh i3 t ie3 s i1 d e0 l iang3 g e4 d uan1 d ian3 l uo4 z ai4 üan2 zh u4 d e0 t ong2 i1 m u3 x ian4 d e0 l iang3 d uan1 ， z e2 t ie3 s i1 d e0 z uei4 d uan3 ch ang2 d u4 uei4 d uo1 sh ao3 l i2 m i3 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
z e2 b i3 s ai4 j ie2 sh u4 h ou4 j ia3 d e0 j in4 q iou2 sh u4 b i3 i3 d e0 j in4 q iou2 sh u4 d uo1 1 g e4 d e0 g ai4 l ü4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 c i4 h an2 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 ü3 t u2 x iang4 』
1 2 d e0 in1 sh u4 iou3 1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 1 2 ， k e3 i3 z u3 ch eng2 b i3 l i4 ： 2 : 3 1 : 。 （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ， h e2 l i3 j i2 k e3 ）
d ang1 ， j i2 O P sh i2 ， f ( ) uei4 iou3 uei2 i1 d e0 j i2 x iao3 zh i2 ， j i2 z uei4 x iao3 zh i2 ， uei4 2 .
j ie3 ： i2 g e4 m ing4 t i2 iou2 t i2 sh e4 h e2 j ie2 l uen4 l iang3 b u4 f en4 z u3 ch eng2 .
b i3 j iao4 d a4 x iao3 ： 2 ， 4 3 .
（ 1 ） p an4 d uan4 A B C d e0 x ing2 zh uang4 .
zh e4 l iang3 g e4 b i3 n eng2 z u3 ch eng2 b i3 l i4 。
r u2 t u2 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 P （ 2 ， 0 ） ， x ie2 l ü4 uei4 ， zh i2 x ian4 l h e2 p ao1 u4 x ian4 y 2 2 x x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， sh e4 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ong1 d ian3 uei4 M ， q iou2 ：
iou2 t i2 i4 d e2 ， A B d .
d ian3 M ü3 d ian3 N iou3 j i2 j iao3 f en1 b ie2 uei4 1 ， 2 ， er4 zh e3 d e0 zh ong1 b ian1 h u4 uei4 f an3 x iang4 ian2 ch ang2 x ian4 ， g u4 zh ong1 g uan1 ü2 d ian3 M h e2 d ian3 N b iao3 sh i4 t ong2 i1 g e4 d ian3 sh i4 c uo4 u4 d e0 sh uo1 f a3 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
j ie3 ： | | | | ， d an4 f ang1 x iang4 b u4 d ing4 ， g u4 b u4 n eng2 t uei1 ch u1 ， g u4 c uo4 u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 M d ian3 d e0 z uo4 b iao1 『 』 A d ian3 d e0 z uo4 b iao1 . 』
B . l iang3 t iao2 sh e4 x ian4
in1 uei4 d ian3 A z ai4 d i4 i1 x iang4 x ian4 ，
B D A C ， B D C C 1 ， A C C C 1 C ， A C p ing2 m ian4 A C C 1 ， C C 1 p ing2 m ian4 A C C 1 ，
sh e4 P E ü3 p ing2 m ian4 S A D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 ， s uo3 i3 s i n | c o s ， | | | ， j i2 .
j ie3 ： z uo4 A M 、 A N d e0 ian2 ch ang2 x ian4 ， f en1 b ie2 j iao1 B C 、 C D ü2 d ian3 E 、 F ， l ian2 j ie2 E F .
z e2 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 j i2 h e2 { x | 0 x 4 } d e0 zh en1 z i0 j i2 ，
s uo3 i3 a 0 ， q ie3 f ang1 ch eng2 a x 2 a b x b 0 d e0 j ie3 uei4 x 1 1 ， x 2 2 ，
D . 8 g e4 b u4 f en4
t ong2 l i3 k e3 d e2 x ( 0 ， 2 ] sh i2 ， h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y ，
【 t i2 sh i4 】 『 x iang4 n an2 z ou3 j i4 uei4 zh eng4 sh u4 ， z e2 x iang4 b ei3 z ou3 j i4 uei4 『 f u4 』 sh u4 ， x iang4 b ei3 z ou3 3 0 m j i4 uei4 『 3 0 』 m 。 』
D . l in2 b u3 j iao3
C . j ia3 ch e1 i3 8 0 q ian1 m i3 x iao3 sh i2 d e0 s u4 d u4 x ing2 sh i3 1 x iao3 sh i2 ， x iao1 h ao4 1 0 sh eng1 q i4 iou2
【 t i2 sh i4 】 『 h an2 sh u4 f ( x ) s i n x z ai4 x 『 k 』 （ k Z ） sh i2 f ( x ) 0 . 』
i3 zh i1 s i4 b ian1 x ing2 A B C D m an3 z u2 A D B C ， B A A D D C B C a ， E sh i4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， j iang1 B A E ian2 zh e0 A E f an1 zh e2 ch eng2 B 1 A E ， sh i3 m ian4 B 1 A E m ian4 A E C D ， F uei4 B 1 D d e0 zh ong1 d ian3 .
r u2 g uo3 sh i4 i2 g e4 u2 l i3 sh u4 ， n a4 m e0 a sh i4 （ ）
j ie3 ： j iang1 2 x i2 d ao4 f ang1 ch eng2 z uo3 b ian1 ，
l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 d e0 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 sh i4 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 h uo4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 .
（ 2 ） r uo4 d ian3 M （ ， m ） z ai4 c i3 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh ang4 ， q iou2 m d e0 zh i2 .
s uo3 i3 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s .
b ian1 zh ang3 uei4 （ m n ） sh i2 ， zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 uei4 ( m n ) 2 ( m 2 2 m n n 2 ) .
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 n i4 m ing4 t i2 uei4 j ia3 ， f ou3 m ing4 t i2 uei4 j ia3 ， n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 zh en1 .
j i2 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 b x c ( a 0 ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 . j ü4 c i3 k e3 t uei1 c e4 ， d uei4 r en4 i4 d e0 f ei1 l ing2 sh i2 sh u4 a ， b ， c ， m ， n ， p ， g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 m [ f ( x ) ] 2 n f ( x ) p 0 d e0 j ie3 j i2 d ou1 b u4 k e3 n eng2 sh i4 （ ）
（ 1 ） q iou2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 j ie3 x i1 sh i4 ；
h ua4 j ian3 zh eng3 l i3 ， d e2
iou2 ü2 x ian2 d ing4 l i3 k e3 d e2 | C M | 2 | O M | 2 | O C | 2 2 | O M | | O C | c o s C O M ，
iou2 p ing2 i2 d e0 t e4 d ian3 k e3 d e2 p ing2 i2 h ou4 d e0 h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y s i n ( x ) ，
p ing2 m ian4 B D M p ing2 m ian4 A F N . g u4 zh eng4 q üe4 ；
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 t 2 sh i2 q ü3 d ao4 d eng3 h ao4 ， c i3 sh i2 t a n B t a n C 4 ， t a n B t a n C 2 ，
g ai1 q ü1 x ian4 sh i4 i3 d ian3 （ 1 ， 0 ） uei4 üan2 x in1 ， b an4 j ing4 uei4 1 d e0 üan2 .
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 q ü3 sh i2 d uei4 ing4 q ü1 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 ， iong4 『 d ai4 r u4 』 f a3 q iou2 ch u1 x 、 y d e0 zh i2 . 』
（ 2 ） r uo4 d ian3 P （ x ， y ） z ai4 g ai1 üan2 sh ang4 ， q iou2 x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 h e2 z uei4 x iao3 zh i2 .
g u4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 l iang3 t iao2 sh e4 x ian4 .
j ie3 ： g en1 j ü4 f an3 zh eng4 f a3 d e0 b u4 zh ou4 k e3 zh i1 ， d i4 i1 b u4 ing1 j ia3 sh e4 “ iao1 b u4 d eng3 d e0 t i1 x ing2 t ong2 i1 d i3 sh ang4 d e0 l iang3 j iao3 x iang1 d eng3 ” .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s uan4 sh i4 zh ong1 d e0 g uei1 l ü4 』
g en1 j ü4 ， k e3 zh i1 d ang1 n （ n N * ） uei4 ou3 sh u4 sh i2 ， j ün1 iou3 a n ( 1 ) i b n 2 i .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 b i3 l i4 』
s uo3 i3 j ian4 j in4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 y 1 2 ( x 2 ) .
h e2 z uei4 d a4 uei4 ： 6 2 1 2
j ie3 ： A 、 B 、 C s an1 d ian3 g ong4 x ian4 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 ü3 g ong4 x ian4 ， j i2 c uen2 z ai4 R sh i3 d e0 ，
（ 1 ） q iou2 i4 m ian4 zh i2 x ian4 A P ü3 B E s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 d a4 x iao3 ；
s uo3 i3 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 z uei4 d a4 j ü4 l i2 uei4 2 .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 P （ 2 ， 0 ） ， x ie2 l ü4 uei4 ， zh i2 x ian4 l h e2 p ao1 u4 x ian4 y 2 2 x x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， sh e4 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ong1 d ian3 uei4 M ， q iou2 ：
g u4 zh eng4 q üe4 .
d uei4 ü2 D ， t ong2 i1 h an2 sh u4 sh i4 zh i3 d ing4 i4 ü4 x iang1 t ong2 ， d uei4 ing4 f a3 z e2 x iang1 t ong2 ， g u4 D c uo4 u4 .
h ua4 j ian3 d e2 ( 1 2 b 2 ) ( 2 a 4 b ) x y ( a 2 2 ) 1 ，
l z ai4 p ing2 m ian4 sh ang4 ， q ie3 l z ai4 p ing2 m ian4 sh ang4 .
d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 c o s ， 2 s i n ） ，
z e2 ， d ang1 sh i2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 5 0 1 2 sh i2 ， x ian1 j i4 s uan4 ch u1 5 1 2 d e0 j i1 ， z ai4 g ei3 j i1 d e0 m o4 uei3 t ian1 sh ang4 『 1 』 g e4 0 。 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， O uei4 j i2 d ian3 ， d ian3 M （ 0 ， 0 ） （ 0 0 ） z ai4 q ü1 x ian4 C ： 4 s i n sh ang4 ， zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 A （ 4 ， 0 ） q ie3 ü3 O M ch uei2 zh i2 ， ch uei2 z u2 uei4 P .
f ( x ) ü3 g ( x ) sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 ；
p ing2 m ian4 A B C D p ing2 m ian4 D C E F ，
（ 1 ） sh e4 d ian3 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ， 1 ） ， q iou2 t a1 z ai4 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 d e0 z uo4 b iao1 ；
h an2 sh u4 f ( x ) 2 s i n ( 2 x ) ， g ( x ) m c o s ( 2 x ) 2 m 3 （ m 0 ） ， d uei4 r en4 i4 x 1 [ 0 ， ] ， c uen2 z ai4 x 2 [ 0 ， ] ， sh i3 d e0 g ( x 1 ) f ( x 2 ) ch eng2 l i4 ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
g u4 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ， 1 2 ] .
【 t i2 sh i4 】 『 p an4 d uan4 n a3 zh ong3 f ang1 an4 g eng4 sh eng3 c ai2 l iao4 ， x ü1 p an4 d uan4 C E ü3 P C 、 D F ü3 『 P D 』 d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 . 』
3 . x i3 h uan1 sh en2 m e0 j ie2 m u4 d e0 n an2 sh eng1 h e2 n ü3 sh eng1 d ou1 b i3 j iao4 sh ao3 ？ （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ）
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ， q ie3 0 2 ） ， d ian3 M sh i4 q ü1 x ian4 C 1 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 .
r u2 g uo3 uen1 d u4 sh ang4 sh eng1 3 j i4 z uo4 3 ， n a4 m e0 x ia4 j iang4 5 j i4 z uo4 5 。
j ie3 ： r uo4 ， q ü3 a 1 b 1 1 ， a 2 b 2 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b u4 d eng3 g uan1 x i4 ü3 b u4 d eng3 sh i4 』
x d e0 zh i2 uei4 2 h uo4 0 .
r u2 t u2 （ a ） s uo3 sh i4 ， d eng3 iao1 t i1 x ing2 A B C D uei4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 üan2 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， z uo4 D E A B j iao1 B C ü2 d ian3 E ，
h an2 sh u4 y x z ai4 [ 1 ， 3 ] sh ang4 sh i4 d an1 f eng1 h an2 sh u4 .
zh an4 d uei4 sh i2 ， d a4 x iang4 uei4 zh i4 b u4 b ian4 ， q i2 t a1 d ong4 u4 d e0 uei4 zh i4 r en4 i4 j iao1 h uan4 。
（ 3 ） z ai4 p a2 x ing2 g uo4 ch eng2 zh ong1 ， r u2 g uo3 m ei3 p a2 x ing2 2 l i2 m i3 j iang3 l i4 i1 l i4 zh i1 m a2 ， z e2 x iao3 ch ong2 i1 g ong4 d e2 d ao4 d uo1 sh ao3 l i4 zh i1 m a2 ？
zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 d e0 t iao2 j ian4 』
C . u3 l eng2 zh uei1
d a2 ： j in1 ü2 g ang1 zh ong1 sh uei3 m ian4 z uei4 d a4 g ao1 d u4 sh i4 5 l i2 m i3 。
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 s i n ( ) 3 ， i3 j i2 d ian3 uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， q iou2 q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 x ian4 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
x ia4 m ian4 m ei3 g e4 d e0 m ian4 j i1 d ai4 b iao3 1 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。 z ai4 f ang1 g e2 zh i3 sh ang4 h ua4 t u2 、 t ian2 b iao3 ， z ai4 zh ao3 g uei1 l ü4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
g ( x ) d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 x 2 ，
| | | | c o s ( B ) | | | | c o s B 0 ， g u4 B uei4 d uen4 j iao3 ， z e2 A B C sh i4 d uen4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 .
j i2 üan2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 ： ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 2 .
s uo3 i3 i2 d ing4 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
i3 zh i1 f ( x ) sh i4 er4 c i4 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( 0 ) 2 ， f ( x 1 ) f ( x ) x 1 ， q iou2 f ( x ) .
t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 ： B h e2 C ， B h e2 B A C ， C h e2 B A C ， B h e2 D A B .
sh i2 sh u4 a ， b m an3 z u2 a b ， q iou2 zh eng4 a 4 b 4 a b ( a 2 b 2 ) .
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A ， B .
zh eng4 m ing2 ： i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 （ ， ） sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， a ， b R ， r uo4 f ( a ) f ( b ) f ( a ) f ( b ) ， z e2 a b 0 .
r uo4 s an1 g e4 l ian2 x ü4 j i1 sh u4 ， j iao4 d a4 d e0 l iang3 g e4 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 h e2 b i3 z uei4 x iao3 d e0 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 d e0 3 b ei4 sh ao3 2 5 ， z e2 zh e4 s an1 g e4 sh u4 sh i4 .
2 8 2 . 6 l i4 f ang1 l i2 m i3 0 . 2 8 2 6 sh eng1
s uo3 i3 üan2 x in1 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 2 ） .
iou2 t i2 i4 ， d e2 l iou4 k e1 b an4 j ing4 uei4 d e0 sh i2 x in1 q iou2 x ing2 q iao3 k e4 l i4 t i3 j i1 uei4 6 ( ) 3 2 4 .
s uo3 i3 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ian3 （ 3 c o s ， s i n ） d ao4 zh i2 x ian4 sh ang4 d e0 j ü4 l i2
C . l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4
B . zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 sh i2 sh u4 x ， sh i3 x 2 0 sh i4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 ， d ang1 x 0 sh i2 ， x 2 0 ， c i3 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 ， B zh eng4 q üe4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 d i3 m ian4 j i1 g ao1 ， b en3 t i2 zh ong1 üan2 zh u4 üan2 l ai2 d e0 g ao1 sh i4 6 d m 。 』
d ang1 x 1 ， y 2 sh i2 ， üan2 sh i4 ( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2 2 6 .
sh e4 sh ang4 d i3 b an4 j ing4 uei4 x ， z e2 x ia4 d i3 b an4 j ing4 uei4 4 x ， m u3 x ian4 zh ang3 uei4 5 x ，
（ 2 ） q iou2 er4 m ian4 j iao3 B 1 A 1 D C 1 d e0 ü2 x ian2 zh i2 .
j ia3 sh e4 n k sh i2 ， y z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
iou2 ， zh eng3 l i3 ， d e2
d uei4 ü2 D ， h an2 sh u4 f ( x ) ( ) 2 ü3 h an2 sh u4 g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 b u4 t ong2 ， g u4 b u4 b iao3 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 .
p an4 d uan4 。 （ d uei4 d e0 d a3 “ ” ， c uo4 d e0 d a3 “ ” ）
i3 zh i1 ： r uo4 | y 2 | 0 ， z e2 x y .
( ) 2 1 （ d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a c 2 sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch u2 f a3 』
i3 O uei4 üan2 d ian3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 “ 9 6 9 ü3 1 3 g e4 2 1 d e0 ch a4 ” sh i4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 zh ong1 d e0 『 b ei4 ch u2 』 sh u4 。 』
（ 2 ） sh e4 S { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 } ， r u2 g uo3 （ A ， B ， C ） sh i4 iou2 S d e0 z i0 j i2 g ou4 ch eng2 d e0 z uei4 x iao3 x iang1 j iao1 iou3 x ü4 s an1 üan2 z u3 ，
m ou3 g ong1 s i1 g ou4 m ai3 i1 p i1 j i1 q i4 t ou2 r u4 sh eng1 ch an3 ， j ü4 sh i4 ch ang3 f en1 x i1 ， m ei3 t ai2 j i1 q i4 sh eng1 ch an3 d e0 ch an3 p in3 k e3 h uo4 d e2 d e0 z ong3 l i4 r uen4 y （ d an1 uei4 ： uan4 üan2 ） ü3 j i1 q i4 ün4 zh uan3 sh i2 j ian1 x （ d an1 uei4 ： n ian2 ） d e0 g uan1 x i4 uei4 y x 2 1 8 x 2 5 （ x N * ） ， z e2 d ang1 m ei3 t ai2 j i1 q i4 ün4 zh uan4 n ian2 sh i2 ， n ian2 p ing2 j ün1 l i4 r uen4 z uei4 d a4 ， z uei4 d a4 zh i2 sh i4 uan4 üan2 .
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 （ a ， b ） z ai4 d i4 er4 x iang4 x ian4 ， a 『 』 0 ， b 『 』 . 』
iou2 sh i4 d e2 1 t a n B t a n C 0 ， j ie3 d e2 t 1 ，
d ing4 i4 ün4 s uan4 ： a * b r u2 1 * 2 1 ， z e2 h an2 sh u4 f ( x ) 2 x * 2 x d e0 zh i2 ü4 uei4 （ ）
j ie3 ： d ang1 x [ 0 ， 1 ] sh i2 ， sh e4 f ( x ) k x （ k 0 ） ，
x iao3 üan2 d e0 zh ou1 ch ang2 2 2 r 4 r ，
m ian4 j i1 9 p ing2 f ang1 l i2 m i3
c ong2 er2 sh u4 l ie4 { a n } sh i4 sh ou3 x iang4 uei4 1 ， g ong1 b i3 uei4 2 d e0 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ，
E ， F f en1 b ie2 sh i4 A B h e2 A A 1 d e0 zh ong1 d ian3 ，
zh e4 g e4 l iang3 uei4 sh u4 uei4 2 5 h uo4 3 6 .
z e2 | A P | 1 ， j i2 | A P | d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 』
n i4 m ing4 t i2 “ a 6 ， z e2 a 3 ” sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
zh i3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 sh i4 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 h ai2 sh i4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 ， b ing4 p an4 d uan4 t a1 m en0 d e0 zh en1 j ia3 .
q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： x 2 y 2 2 y 0 .
j ie3 ： d ang1 sh i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
üan2 C d e0 b an4 j ing4 uei4 .
in1 uei4 C sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 l d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 ，
d uei4 r en4 i4 x R ， b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) f ( x ) h eng2 ch eng2 l i4 ，
p in2 l ü4 sh i4 b u4 n eng2 t uo1 l i2 n c i4 sh i4 ian4 d e0 sh i4 ian4 zh i2 ， er2 g ai4 l ü4 sh i4 j ü4 iou3 q üe4 d ing4 x ing4 d e0 b u4 i1 l ai4 ü2 sh i4 ian4 c i4 sh u4 d e0 l i3 l uen4 zh i2 ；
j ie3 d e2 ， j i2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ ， ] .
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 f ang1 t i3 zh ong1 i2 g e4 d ing3 d ian3 ch u4 d e0 『 s an1 』 t iao2 l eng2 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 l iang3 l iang3 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
5 x 0 1 0 ， x 0 Z ， g u4 B uei4 j ia3 m ing4 t i2 ；
d an4 iou2 ü2 0 ， 0 2 ，
l 1 h e2 l 2 k e3 i3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 zh ou2 d e0 d ing4 i4 』
j ie3 ： q ü4 k uo4 h ao4 ， d e2 5 x 1 2 0 x 7 x 3 ，
j ie3 d e2 h uo4 （ sh e3 ） .
zh ang1 sh u1 sh u1 j ia4 ch e1 uai4 ch u1 q ian2 ， j iang1 ch e1 sh ang4 i2 g e4 üan2 zh u4 x ing2 b ei4 iong4 iou2 t ong3 zh uang1 m an3 l e0 q i4 iou2 ， iou2 t ong3 d e0 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 sh i4 4 d m ， t ong3 sh en1 3 d m 。 t a1 d e0 q i4 ch e1 iou2 x iang1 sh i4 i2 g e4 n ei4 b u4 zh ang3 5 d m 、 k uan1 4 d m 、 sh en1 2 . 5 d m d e0 ch ang2 f ang1 t i3 。 d ang1 iou2 x iang1 zh ong1 d e0 q i4 iou2 sh eng4 x ia4 sh i2 ， zh ang1 sh u1 sh u1 n eng2 b a3 b ei4 iong4 iou2 t ong3 zh ong1 d e0 q i4 iou2 q üan2 b u4 d ao4 r u4 iou2 x iang1 m a0 ？
s uo3 i3 z ai4 x ian4 d uan4 B C 1 sh ang4 c uen2 z ai4 d ian3 D ， sh i3 d e0 A D A 1 B .
E 、 D f en1 b ie2 sh i4 B 1 C 1 ü3 B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
r u2 g uo3 a 0 ， b 0 ， n a4 m e0 a b 0 d e0 n i4 m ing4 t i2 uei4 ： r u2 g uo3 a b 0 ， n a4 m e0 a 0 ， b 0 ，
t u2 2 ： g en1 j ü4 s an1 sh i4 t u2 ， b u4 n an2 f a1 x ian4 c i3 s an1 sh i4 t u2 b iao3 sh i4 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 üan2 zh uei1 .
A . x 2 1 0 zh ong1 d e0 x b u4 q üe4 d ing4 ， x 1 0 d e0 zh en1 j ia3 u2 f a3 p an4 d uan4 ， g u4 g ai1 x üan3 x iang4 b u4 m an3 z u2 t i2 i4 ；
g u4 j iang1 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 u3 j iao3 x ing1 r ao4 zh ong1 x in1 d ian3 zh i4 sh ao3 x üan2 zh uan3 7 2 h ou4 n eng2 ü3 z i4 sh en1 ch ong2 h e2 .
r uo4 h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 f an3 h an2 sh u4 sh i4 y （ 1 x 0 ） ， z e2 üan2 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 sh i4 .
r u2 t u2 ， C D ， E F ， A B . r uo4 A B ， z e2 C D ü3 E F d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
d an1 x iang4 sh i4 d e0 c i4 sh u4 sh i4 （ ）
（ 1 ） q ing3 n i3 q üe4 d ing4 a d e0 zh i2 ， sh i3 f ( x ) uei4 j i1 h an2 sh u4 ；
A B C d e0 m ian4 j i1 uei4 S a c s i n B a 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
j ie3 ： i2 g e4 zh eng4 sh u4 iou3 l iang3 g e4 p ing2 f ang1 g en1 ， iou3 i2 g e4 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 .
d i4 er4 c i4 j ie2 q ü4 sh eng4 x ia4 d e0 i2 b an4 h ou4 sh eng4 x ia4 l e0 m ；
j i2 ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 2 ， üan2 C d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 2 ） ， b an4 j ing4 uei4 r ， q ü3 x üan2 zh uan3 j iao3 uei4 c an1 sh u4 ，
z ai4 i1 zh ang1 b ian1 zh ang3 sh i4 1 5 f en1 m i3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 zh i3 b an3 sh ang4 ， j ian3 x ia4 i2 g e4 zh ang3 sh i4 6 f en1 m i3 ， k uan1 sh i4 2 f en1 m i3 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 （ r u2 t u2 ） 。
g u4 g ong4 iou3 2 2 zh ong3 k e3 n eng2 ， j i2 uei4 2 2 ；
j ie3 ： iou2 g ong1 l i3 sh i4 r en2 m en0 ch ang2 q i1 sh i2 j ian4 z ong3 j ie2 ch u1 l ai2 d e0 zh en1 m ing4 t i2 ， t a1 b u4 x ü1 iao4 t uei1 l i3 zh eng4 m ing2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
j ie3 ： sh e4 ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） ，
C . r uo4 a b ， b c ， z e2 a c ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： j iang1 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 zh eng3 l i3 ， d e2 ( x 4 c o s ) 2 ( y 3 s i n ) 2 1 .
j ie3 ： üan2 sh i4 1 5 .
q ie3 ü3 üan2 o x iang1 q ie4 ，
i1 g en1 sh eng2 z i0 ， j ie2 q ü4 q üan2 zh ang3 d e0 ， h ai2 sh eng4 3 m 。 zh e4 g en1 sh eng2 z i0 j ie2 q ü4 l e0 d uo1 sh ao3 m i3 ？
x ia4 l ie4 h an2 sh u4 zh ong1 ， zh i2 ü4 uei4 （ 0 ， ） d e0 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
er2 0 ， k e3 d e2 .
7 q ian1 m i3 7 0 0 0 0 0 l i2 m i3
l ie4 b iao3 k e3 d e2 ：
sh e4 a 、 b 、 c uei4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 ， x ia4 l ie4 p an4 d uan4 b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
j iang1 y s i n 、 x c o s d ai4 r u4 sh ang4 sh i4 ， d e2 c o s 2 s i n 0 .
g u4 d a2 an4 uei4 ： d ian3 A .
1 9 9 6 n ian2 2 0 0 4 n ian2 2 1 0 0 n ian2 2 0 1 6 n ian2 2 0 1 4 n ian2 2 0 1 0 n ian2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 d e0 iou3 g uan1 g ai4 n ian4 』
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 i2 g e4 t u2 x ing2 b ei4 p ing2 j ün1 f en1 ch eng2 『 1 0 』 f en4 ， in1 ing3 b u4 f en4 zh an4 q i2 zh ong1 d e0 『 9 』 f en4 。 』
B . p q uei4 zh en1 ， p q uei4 j ia3 ， p uei4 zh en1
A 、 B 、 C sh i4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 n ei4 j iao3 ，
s uo3 i3 x ian4 d uan4 C P d e0 zh ang3 uei4 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . r uo4 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 s i n ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 .
x iao3 l eng2 zh uei1 d e0 g ao1 ü3 üan2 l eng2 zh uei1 d e0 g ao1 zh i1 b i3 uei4 1 : 2 ，
j ie3 ： d ang1 sh i2 ， c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 d e0 d ian3 uei4 A uei4 （ ， ） ，
A . i2 g e4 r en2 d a3 b a3 ， d a3 l e0 1 0 f a1 z i3 d an4 ， iou3 7 f a1 z i3 d an4 zh ong4 b a3 ， in1 c i3 zh e4 g e4 r en2 zh ong1 b a3 d e0 g ai4 l ü4 uei4
g u4 d a2 an4 uei4 6 4 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 、 üan2 zh uei1 、 üan2 t ai2 h e2 q iou2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
t ong2 l i3 ， k e3 d e2 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 k uan1 uei4 0 . 5 （ c m ） ，
（ 2 ） r uo4 er4 m ian4 j iao3 P A 1 C B d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 ， q iou2 d e0 zh i2 .
8 : 4 0 d i4 1 ch ang3 ， 1 0 : 4 0 d i4 2 ch ang3 ， 1 2 : 4 0 d i4 3 ch ang3 ， 1 4 : 4 0 d i4 4 ch ang3 ， 1 6 : 4 0 d i4 5 ch ang3 。
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 2 ） ， p an4 d uan4 d ian3 A （ 2 ， 0 ） ， B （ ， ） sh i4 f ou3 z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 . r uo4 z ai4 q ü1 x ian4 sh ang4 ， q iou2 ch u1 d ian3 d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 d e0 zh i2 .
b a3 x ia4 l ie4 f ang1 ch eng2 sh i4 x ian1 h ua4 j ian3 ch eng2 i4 b an1 x ing2 sh i4 ， z ai4 x ie3 ch u1 t a1 d e0 er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 、 i1 c i4 x iang4 x i4 sh u4 j i2 ch ang2 sh u4 x iang4 ：
l i3 h ua2 iong4 sh eng2 z i0 z ai4 zh eng4 f ang1 x ing2 c ai4 d i4 d e0 s i4 zh ou1 uei2 l e0 i1 q üan1 。
üan2 m ing4 t i2 zh en1 ， g u4 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 zh en1 .
in1 sh i4 f en1 j ie3 ， d e2 ： ( x y 4 ) ( x y 2 ) 0 .
j ie3 ： g en1 j ü4 j i3 h e2 t i3 d e0 j ie2 g ou4 t e4 zh eng1 ， d e2 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 2 5 0 0 0 d e0 ( 1 1 5 ) sh i4 d uo1 sh ao3 ， iong4 『 ch eng2 』 f a3 j i4 s uan4 。 』
（ 2 ） m ing4 t i2 q d e0 f ou3 d ing4 sh i4 ： d uei4 ü2 s uo3 iou3 d e0 sh i2 sh u4 x ， d ou1 iou3 x 2 x 1 0 .
D . zh i2 j ing4 uei4 5 d e0 üan2 d e0 b ai3 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2
j i2 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 8 x 2 4 x y y 2 1 .
g u4 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ， 1 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
s uo3 i3 ( ) ， ( ) ， ( ) ， （ d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x y z sh i2 ， i3 sh ang4 s an1 sh i4 d eng3 h ao4 d ou1 ch eng2 l i4 ） ，
s uo3 i3 zh i2 x ian4 O P d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ， R .
B . p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 r eng2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2
r u2 t u2 ， zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 l eng2 zh ang3 uei4 1 ， g uo4 A d ian3 z uo4 p ing2 m ian4 A 1 B D d e0 ch uei2 x ian4 ， ch uei2 z u2 uei4 H ， l ian2 j ie2 B 1 D 1 ， B 1 C ， D 1 C ， A C 1 ， iou3 x ia4 l ie4 s an1 g e4 m ing4 t i2 ： H sh i4 A 1 B D d e0 zh ong1 x in1 ； A H p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ； A C 1 ü3 B 1 C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 sh i4 9 0 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
ing1 m an3 z u2 3 a 1 0 ， j ie3 d e2 a .
j ie3 ： z ai4 m ian4 A B C D h uo2 m ian4 A 1 B 1 C 1 D 1 sh ang4 d e0 t ou2 ing3 sh i4 t u2 A ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
B . ( a 5 ) 2 a 5 2 a 1 0 ， g u4 B c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
t u2 x iang4 z ai4 d i4 i1 、 s an1 x iang4 x ian4 .
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 sh i2 ， x ian1 j iang1 l iang3 g e4 er4 c i4 g en1 sh i4 h ua4 uei4 『 z uei4 j ian3 』 er4 c i4 g en1 sh i4 ， z ai4 h e2 b ing4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 . 』
ü2 sh i4 k e3 d e2 üan2 C g uo4 j i2 d ian3 ，
zh eng3 l i3 ， d e2
j ie3 ： （ 1 ） p ： b 0 ， q ： h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 b x c sh i4 ou3 h an2 sh u4 ， ch ong1 f en4 x ing4 ch eng2 l i4 ， p ： h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 b x c sh i4 ou3 h an2 sh u4 ， q ： b 0 ， b i4 iao4 x ing4 ch eng2 l i4 ， g u4 （ 1 ） p sh i4 q d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 ，
i3 zh i1 A B C A B C ， q ie3 A B C d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 2 0 ， A B 8 ， B C 5 ， n a4 m e0 A C （ ）
（ 2 ） g en1 j ü4 j i4 l u4 d e0 sh u4 j ü4 ， d e2
p q ü3 q t ong2 sh i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， j i2 p zh en1 q ie3 q j ia3 ，
b u4 t ong2 d e0 s i4 g e4 sh u4 j ün1 uei4 2 ， 0 ， 1 ， 1 ， h uo4 3 ， 0 ， 1 ， 1
【 t i2 sh i4 】 『 ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 『 p ing2 x ing2 』 . 』
d ian3 Q d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ( uei4 c an1 sh u4 )
sh e4 a ( s i n x 1 2 c o s 2 ) d x ， z e2 ( a ) 6 ( x 2 2 ) d e0 zh an3 k ai1 sh i4 zh ong1 ch ang2 sh u4 x iang4 sh i4 （ ）
d ian3 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） ，
（ 1 ） q iou2 er4 m ian4 j iao3 A 1 B C 1 B 1 d e0 ü2 x ian2 zh i2 ；
i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 7 x 2 2 x 5 0 d e0 er4 c i4 x iang4 sh i4 ， er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 sh i4 ； i1 c i4 x iang4 sh i4 ， i1 c i4 x iang4 x i4 sh u4 sh i4 ； ch ang2 sh u4 x iang4 sh i4 .
h uei4 i4 sh i4
j ie3 ： sh ou3 x ian1 j iang1 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 1 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 zh eng4 q üe4 d e0 j ie2 l uen4 iou3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 1 0 0 i3 n ei4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
üan2 2 c o s h ua4 uei4 2 2 c o s ， x 2 y 2 2 x ， p ei4 f ang1 uei4 ( x 1 ) 2 y 2 1 ， k e3 d e2 üan2 x in1 C （ 1 ， 0 ） ， b an4 j ing4 r 1 .
iou4 in1 uei4 B A D 9 0 ， s uo3 i3 P A ， A B ， A D l iang3 l iang3 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 .
in1 uei4 2 ， s uo3 i3 j ie3 d e2
i3 zh i1 a ， b ， c uei4 zh eng4 sh i2 sh u4 ， 2 7 a b c d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 m ， j ie3 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 | x 1 | 2 x m .
ian2 ch ang2 F E j iao1 D A d e0 ian2 ch ang2 x ian4 ü2 d ian3 Q ，
j ie2 h e2 | | d e2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 x ing2 x iang4 l iang4 ü3 g ong4 x ian4 x iang4 l iang4 』
j ie3 ： iou2 t iao2 j ian4 k e3 zh i1
d ang1 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 ， d i4 s an1 g e4 p ing2 m ian4 t ong2 sh i2 ü3 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 sh i2 ， b a3 k ong1 j ian1 f en1 ch eng2 6 g e4 b u4 f en4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 j iao3 h e2 ü3 ch a4 d e0 zh eng4 x ian2 g ong1 sh i4 』
j ie3 ： （ 1 ） d ang1 a 4 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 5 ， j i2 | x 1 | | x 4 | 5 ， d eng3 j ia4 ü2
A . b u4 ch eng2 b i3 l i4 g uan1 x i4
b u4 f ang2 l ing4 y 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
r uo4 s i4 b ian1 x ing2 O A B P sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， z e2 ，
x 2 y sh i4 c i4 d an1 x iang4 sh i4 .
x iao3 l in2 j ia1 d e0 k e4 t ing1 m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 p ing2 f ang1 m i3 ？
x iao3 q iang2 x iang3 iong4 i1 g en1 3 6 l i2 m i3 zh ang3 d e0 t ie3 s i1 uei2 i2 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 h uo4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， iao1 q iou2 uei2 ch u1 l ai2 d e0 t u2 x ing2 m ian4 j i1 z uei4 d a4 ， t a1 ing1 g ai1 uei2 ch eng2 sh en2 m e0 iang4 d e0 t u2 x ing2 ？ m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
s uo3 i3 D D 1 ü3 p ing2 m ian4 A C D 1 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 j iou4 sh i4 B B 1 ü3 p ing2 m ian4 A C D 1 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 ， i4 zh i1 D D 1 O j i2 uei4 s uo3 q iou2 .
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 A C B D H ， l ian2 j ie1 E H .
【 t i2 sh i4 】 『 E F d e0 p ing2 x ing2 x ian4 A B 1 ü3 C D d e0 p ing2 x ing2 x ian4 A B x iang1 j iao1 ü2 d ian3 『 A 』 . 』
d a2 ： l ing4 i1 b u4 f en4 sh i4 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh e4 l iang3 b u4 f en4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 g e4 sh i4 1 4 4 p ing2 f ang1 f en1 m i3 ， 7 2 p ing2 f ang1 f en1 m i3 。
h ai2 iou3 q i2 t a1 s an1 m ing2 d uei4 üan2 c an1 s ai4 ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) x a d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 （ 4 ， 2 ） ， l ing4 a n ， n N * . j i4 sh u4 l ie4 { a n } d e0 q ian2 n x iang4 h e2 uei4 S n ， z e2 S 2 0 1 7 .
r uo4 n uei4 ou3 sh u4 ， z e2 1 n 2 uei4 j i1 sh u4 ， er2 2 m uei4 ou3 sh u4 ， sh ang4 sh i4 b u4 ch eng2 l i4 .
d i4 er4 c eng2 iou3 2 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
j ie3 ： j iang1 q ü1 x ian4 2 c o s h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 y 2 1 ，
i3 zh i1 p ao1 u4 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 2 p x （ p 0 ） ， d ian3 R （ 1 ， 2 ） z ai4 p ao1 u4 x ian4 C sh ang4 .
a 1 sh i2 ， f ( x ) a iou3 2 g e4 j iao1 d ian3 ， c i3 sh i2 S ，
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A C 1 zh ong1 ， E ， F f en1 b ie2 sh i4 A 1 B 1 ， B 1 C 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， q iou2 i4 m ian4 zh i2 x ian4 D B 1 ü3 E F s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 d a4 x iao3 .
j ie3 ： d uei4 ü2 m ing4 t i2 p ： in1 uei4 0 ， 0 ，
（ 2 ） q iou2 zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 h e2 t i3 j i1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ü3 zh en4 t e4 zh eng1 zh i2 d e0 d ing4 i4 』
b 2 2 a （ d ang1 a b sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ） ；
j iang1 p ao1 u4 x ian4 y x 2 4 x （ 4 x 0 ） ian2 y zh ou2 zh e2 d ie2 h ou4 d e2 l ing4 i1 t iao2 p ao1 u4 x ian4 ， r uo4 zh i2 x ian4 y b ü3 zh e4 l iang3 t iao2 p ao1 u4 x ian4 g ong4 iou3 3 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， z e2 b d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 .
（ 2 ） g uo4 d ian3 P z uo4 l iang3 t iao2 x iang1 i4 zh i2 x ian4 f en1 b ie2 ü3 üan2 C x iang1 j iao1 ü2 A ， B ， q ie3 zh i2 x ian4 P A h e2 zh i2 x ian4 P B d e0 q ing1 x ie2 j iao3 h u4 b u3 ， O uei4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， sh i4 p an4 d uan4 zh i2 x ian4 O P h e2 A B sh i4 f ou3 p ing2 x ing2 ？ q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
j i4 x ü4 x ie3 ch u1 c i3 sh u4 l ie4 uei4 1 ， 3 ， 4 ， 7 ， 1 1 ， 1 8 ， 2 9 ， 4 7 ， 7 6 ， 1 2 3 ， … ，
【 t i2 sh i4 】 『 1 1 . 2 5 . 6 ， 2 6 b u4 g ou4 j ian3 ， x iang4 g e4 uei4 j ie4 1 ， g e4 uei4 b ian4 ch eng2 0 ， sh i2 f en1 uei4 b ian4 ch eng2 『 1 2 』 z ai4 j ian3 。 』
s uo3 q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 （ ， 2 ] .
j ie3 ： iou2 x 2 y 1 0 ， zh i1 x R ， y 1 ，
q ü1 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 y x 2 ，
（ 1 ） q iou2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 b iao3 d a2 sh i4 ， b ing4 q iou2 q i2 d ing4 i4 ü4 ；
j ie3 ： iou2 s an1 sh i4 t u2 k e3 zh i1 ， c i3 d uo1 m ian4 t i3 sh i4 i2 g e4 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 2 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， q ie3 iou3 i1 t iao2 zh ang3 uei4 2 d e0 c e4 l eng2 ch uei2 zh i2 ü2 d i3 m ian4 d e0 s i4 l eng2 zh uei1 .
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 z ai4 zh i2 x ian4 sh ang4 iong4 『 』 ， zh i2 x ian4 z ai4 p ing2 m ian4 sh ang4 iong4 . 』
u2 q iong2 sh u4 l ie4 { a n } iou2 k g e4 b u4 t ong2 d e0 sh u4 z u3 ch eng2 ， S n uei4 { a n } d e0 q ian2 n x iang4 h e2 . r uo4 d uei4 r en4 i4 n N * ， S n { 2 ， 3 } ， z e2 k d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ü2 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
sh e4 p ing2 m ian4 P C D d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x ， y ， z ） .
x ia4 l ie4 j i4 s uan4 zh ong1 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
m ou3 zh u3 iao4 in1 s u4 d uei4 ing4 d e0 m u4 b iao1 h an2 sh u4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， r uo4 c sh i4 z uei4 j ia1 d ian3 ， z e2 x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
ü3 t ong2 i1 g e4 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 x iang1 d eng3 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， sh i4 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
d ang1 a 0 sh i2 ， iou2 t i2 i4 zh i1 f ang1 ch eng2 a x 2 2 x 1 0 zh i3 iou3 i2 g e4 sh i2 g en1 ， s uo3 i3 4 4 a 0 ， j ie3 d e2 a 1 ， s uo3 q iou2 üan2 s u4 j i2 uei4 f ang1 ch eng2 x 2 2 x 1 0 d e0 uei2 i1 sh i2 g en1 1 ，
m ing4 t i2 “ j i1 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ” d e0 t iao2 j ian4 p sh i4 ， j ie2 l uen4 q sh i4 .
g u4 d a2 an4 uei4 p ing2 x ing2 h uo4 x iang1 j iao1 h uo4 i4 m ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 f ang1 ch eng2 j ie3 j üe2 uen4 t i2 』
（ 1 ） zh e4 g e4 q iou2 sh i4 h ong2 q iou2 h uo4 sh i4 h ei1 q iou2 d e0 g ai4 l ü4 ；
d ang1 n 1 sh i2 ， a 1 S 1 2 h uo4 3 ；
A C 1 p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 u3 d ian3 f a3 z uo4 s an1 j iao3 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 』
z e2 h an2 sh u4 f ( t ) d e0 zh i2 ü4 uei4 [ ， ） ，
iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ， 4 2 a 7 ， j ie3 d e2 a .
n 1 sh i2 a 1 0 ie3 m an3 z u2 sh ang4 sh i4 ，
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q iou2 üan2 8 s i n sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 （ R ） j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
A B C sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
z ai4 z i4 r an2 sh u4 l ie4 1 ， 2 ， 3 ， … ， n zh ong1 ， r en4 q ü3 k g e4 üan2 s u4 uei4 zh i4 b ao3 ch i2 b u4 d ong4 ， j iang1 q i2 ü2 n k g e4 üan2 s u4 b ian4 d ong4 uei4 zh i4 ， d e2 d ao4 b u4 t ong2 d e0 x in1 sh u4 l ie4 iou2 c i3 ch an3 sh eng1 d e0 b u4 t ong2 x in1 sh u4 l ie4 d e0 g e4 sh u4 j i4 uei4 P n ( k ) .
s uo3 i3 0 ， 0 ， j i2 x y 0 q ie3 y 2 z 0 ，
g u4 d ang1 y s uei2 x d e0 z eng1 d a4 er2 z eng1 d a4 sh i2 ， x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 ： x
g u4 zh i2 x ian4 A B d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p in2 l ü4 f en1 b u4 zh i2 f ang1 t u2 』
B . x ian1 x iang4 z uo3 p ing2 i2 2 g e4 d an1 uei4 ， z ai4 x iang4 x ia4 p ing2 i2 3 g e4 d an1 uei4
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 m ian4 A B C p ing2 m ian4 A C D ， p ing2 m ian4 A B C n ei4 B O l iang3 p ing2 m ian4 j iao1 x ian4 A C ， k e3 zh i1 B O ü3 p ing2 m ian4 A C D 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 』
iou2 t i2 i4 ， d e2 6 2 3 R 3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 z uo3 『 j ia1 』 iou4 『 j ian3 』 q üe4 d ing4 i3 zh i1 h an2 sh u4 p ing2 i2 h ou4 d e0 h an2 sh u4 g uan1 x i4 sh i4 . 』
（ 2 ） sh e4 P （ x 0 ， y 0 ） ， z e2 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 ch ang2 f ang1 x ing2 ， q i2 zh ang3 uei4 üan2 zh u4 d e0 『 g ao1 』 ， k uan1 uei4 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 『 zh i2 』 j ing4 . 』
s uo3 i3 X d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4
h an2 sh u4 y ( ) d e0 zh i2 ü4 sh i4 （ 0 ， 4 ] .
（ 2 ） sh e4 M N d e0 zh ong1 d ian3 uei4 P ， q iou2 zh i2 x ian4 O P d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
（ 1 ） q iou2 B C d e0 zh ang3 .
g u4 d a2 an4 uei4 .
C . i2 g e4 d ian3
iou2 x iang4 l iang4 x iang1 d eng3 d e0 d ing4 i4 k e3 d e2 r uo4 ， ， z e2 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
A . l iang3 d i3 m ian4 sh i4 x iang1 s i4 d uo1 b ian1 x ing2 d e0 d uo1 m ian4 t i3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1 』
【 t i2 sh i4 】 『 p an4 d uan4 p sh i4 q d e0 sh en2 m e0 t iao2 j ian4 sh i2 ， x ü1 c ong2 ch ong1 f en4 x ing4 h e2 『 b i4 iao4 』 x ing4 l iang3 f ang1 m ian4 j in4 x ing2 p an4 d uan4 . 』
g u4 q ü1 x ian4 y s i n x z ai4 j ü3 zh en4 M N b ian4 h uan4 x ia4 d e0 h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y 2 s i n 2 x .
A . zh ou1 q i1 h an2 sh u4 d e0 h e2 sh i4 zh ou1 q i1 h an2 sh u4 m a0 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ai3 f en1 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
（ 1 ） n i3 r en4 uei2 sh ei2 d e0 j ie3 d a2 zh eng4 q üe4 ？
i4 m ian4 zh i2 x ian4 A P ü3 B E s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 .
b a3 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 z u3 ， j ie3 d e2 t 0 ， in1 uei4 P z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 .
sh i2 sh u4 b ao1 k uo4 h e2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q ü1 x ian4 ü3 f ang1 ch eng2 』
x ia4 l ie4 f ang1 ch eng2 zh ong1 ：
j ie3 k e3 d e2 ， ，
C . d b u2 sh i4 h ao3 d ian3
j iang1 d ian3 M （ 2 ， 1 ） d ai4 r u4 d ao4 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 zh ong1 ， k e3 d e2
（ 2 ） r uo4 d ian3 B （ 1 ， 6 ） 、 C （ 3 ， 2 ） z ai4 zh i2 x ian4 4 x 3 y a 0 d e0 i4 c e4 ，
iou4 B C （ i3 zh i1 ） ，
s uo3 i3 üan2 C d e0 b an4 j ing4 uei4 .
j ie3 ： sh e4 x d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 ， z e2
j ie3 ： 8 1 5 1 2 0 ， 3 4 0 1 2 0 ， x h e2 y d e0 ch eng2 j i1 i2 d ing4 ， s uo3 i3 x h e2 y ch eng2 f an3 b i3 l i4 。
（ 4 ） p ： b u4 d eng3 sh i4 x 2 3 x 1 0 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 { x | 2 x 5 } ， q ： b u4 d eng3 sh i4 x 2 3 x 1 0 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 { x | x 5 h uo4 x 2 } .
s uo3 i3 z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 h e2 z i0 zh ong1 ， A B C uei4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 .
iong4 b ian1 zh ang3 uei4 6 0 c m d e0 f ang1 zh uan1 p u4 d i4 ， x ü1 iao4 1 5 0 k uai4 。
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： s i4 b ian1 x ing2 O B D C sh i4 l ing2 x ing2 ；
zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4
j iang1 a d 、 b c k an4 z uo4 zh eng3 t i3 ， iou2 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 k e3 d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ü3 b i4 iao4 t iao2 j ian4 』
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 E h e2 d ian3 A h eng2 z uo4 b iao1 d e0 『 ch a4 』 uei4 d e0 h eng2 z uo4 b iao1 ， z ong4 z uo4 b iao1 d i4 『 ch a4 』 uei4 d e0 z ong4 z uo4 b iao1 . 』
D . b u4 iong1 iou3 d e0 r en2 m en0 b u4 x ing4 f u2
j iang1 d ian3 P （ 2 ， 3 ） b ian4 h uan4 uei4 d ian3 P （ 1 ， 1 ） d e0 i2 g e4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 g ong1 sh i4 uei4 .
m ou3 sh i2 p in3 g uang3 g ao4 c i2 uei4 “ x ing4 f u2 d e0 r en2 m en0 d ou1 iong1 iou3 ” ， zh e4 j ü4 h ua4 d e0 d eng3 j ia4 m ing4 t i2 sh i4 （ ）
r u2 t u2 ， j iang1 b ian1 zh ang3 uei4 5 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 A B C D ian2 B C d e0 f ang1 x iang4 p ing2 i2 zh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 D C E F ， z e2 t u2 zh ong1 in1 ing3 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 （ ）
d uei4 1 ， 2 ， 3 ， 4 d e0 p ai2 l ie4 ， l i4 iong4 i3 iou3 d e0 1 ， 2 ， 3 d e0 p ai2 l ie4 ， j iang1 sh u4 z i4 4 t ian1 j ia1 j in4 q ü4 ， 4 z ai4 x in1 p ai2 l ie4 zh ong1 d e0 uei4 zh i4 zh i3 n eng2 sh i4 z uei4 h ou4 s an1 g e4 uei4 zh i4 ，
q ie3 iou2 x i4 f ei4 r eng2 t uei4 h uan2 g ei3 c an1 j ia1 zh e3 . j i4 c an1 j ia1 zh e3 uan2 1 c i4 iou2 x i4 d e0 sh ou1 i4 uei4 X üan2 .
j ie3 ： m ing4 t i2 “ x [ 0 ， ） ， x 3 x 0 ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 x 0 [ 0 ， ） ， x 0 3 x 0 0 .
c i3 sh i2 d ian3 ( a ， b ) ü3 x zh ou2 h e2 y zh ou2 uei2 ch eng2 d e0 t u2 x ing2 ie3 j iou4 sh i4 b ian1 zh ang3 uei4 2 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， g u4 m ian4 j i1 2 2 4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
j ie3 ： iou2 ü2 zh e4 l ie4 d an1 x iang4 sh i4 uei4 ： x ， 3 x 2 ， 5 x 3 ， 7 x 4 ， 9 x 5 ， …
B . r uo4 b 2 a c ， z e2 a ， b ， c ch eng2 d eng3 b i3 sh u4 l ie4
q ü4 d iao4 d i4 n x ing2 i3 j ing1 p ai2 h ao3 d e0 n g e4 sh u4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 、 f en1 sh u4 h e2 b ai3 f en1 sh u4 d e0 h u4 h ua4 』
（ 2 ） q iou2 ch u1 üan2 C 1 ü3 C 2 d e0 g ong1 g ong4 x ian2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
in1 c i3 M 3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s ， （ ） .
j ie3 ： g en1 j ü4 b u4 d eng3 sh i4 ü3 d uei4 ing4 f ang1 ch eng2 d e0 g uan1 x i4 zh i1 1 ， sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 a x 2 x ( a 1 ) 1 0 d e0 l iang3 g e4 g en1 ，
P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ，
j ie3 ： zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 b u2 sh i4 l eng2 zh u4 .
iou2 j üe2 d uei4 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 ， d e2
【 t i2 sh i4 】 『 g uan1 ch a2 f a1 x ian4 9 7 h e2 3 0 d e0 『 uei4 zh i4 』 f a1 sh eng1 l e0 b ian4 h ua4 。 』
j ie3 ： g en1 j ü4 a b 0 ， k e3 zh i1 l iang3 sh u4 i4 h ao4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 x d e0 zh i2 sh i4 1 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 ， 1 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 iou3 『 2 』 g e4 . 』
D . c uen2 z ai4 d a4 ü2 d eng3 ü2 3 d e0 sh i2 sh u4 x ， sh i3 x 2 2 x 3 0
【 t i2 sh i4 】 『 l iou4 l eng2 zh u4 d e0 x iang1 d uei4 m ian4 h u4 x iang1 『 p ing2 x ing2 』 . 』
（ 1 ） h ua4 ch u1 g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 c e4 sh i4 t u2 ；
B . üan2 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， f ou3 m ing4 t i2 ： “ r uo4 a b 0 ， z e2 a 0 q ie3 b 0 ”
p ing2 m ian4 n ei4 i4 d ian3 ü3 p ing2 m ian4 uai4 i4 d ian3 d e0 l ian2 x ian4 h e2 zh e4 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 zh i2 x ian4 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 x iang1 j iao1 h uo4 i4 m ian4 .
i3 zh i1 t ai2 f eng1 zh ong1 x in1 c ong2 A d i4 i3 m ei3 x iao3 sh i2 2 0 k m d e0 s u4 d u4 x iang4 d ong1 b ei3 f ang1 x iang4 i2 d ong4 ， l i2 t ai2 f eng1 zh ong1 x in1 3 0 k m n ei4 d e0 d i4 q ü1 uei4 uei1 x ian3 q ü1 ， ch eng2 sh i4 B z ai4 A d e0 zh eng4 d ong1 4 0 k m ch u4 ， q iou2 B ch eng2 sh i4 ch u3 ü2 uei1 x ian3 q ü1 n ei4 d e0 sh i2 j ian1 .
C . x 1 0 x 5 x 5 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
i1 zh i1 d ai4 zh ong1 zh uang1 iou3 b ian1 h ao4 uei4 1 ， 2 ， 3 ， … ， n d e0 n g e4 x iao3 q iou2 ， n 4 ， zh e4 x ie1 x iao3 q iou2 ch u2 b ian1 h ao4 i3 uai4 u2 r en4 h e2 q ü1 b ie2 ， x ian4 c ong2 d ai4 zh ong1 b u4 ch ong2 f u4 d i4 s uei2 j i1 q ü3 ch u1 4 g e4 x iao3 q iou2 ， j i4 q ü3 d e0 d e0 4 g e4 x iao3 q iou2 d e0 z uei4 d a4 b ian1 h ao4 ü3 z uei4 x iao3 b ian1 h ao4 d e0 ch a4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 uei4 n ， r u2 4 3 ， 5 3 h uo4 4 ， 6 3 h uo4 4 h uo4 5 ， j i4 n d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 uei4 f ( n ) .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
3 m i3 3 0 0 l i2 m i3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
c i3 sh i2 n ian2 p ing2 j ün1 l i4 r uen4 z uei4 d a4 ， z uei4 d a4 uei4 8 uan4 üan2 .
g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 d ao4 [ ( 4 2 b ) ] 2 4 2 ( b 2 3 ) 0 ，
h uen4 h e2 ün4 s uan4 。
x ü3 y h u4 uei4 d ao4 sh u3 ， z e2 d e0 zh i2 sh i4 .
（ 4 ） sh e4 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 f u2 c ong2 zh eng4 t ai4 f en1 b u4 N ( 0 ， 1 ) ， r uo4 P ( 1 ) P ， z e2 p ( 1 ) p ，
j ie3 ： sh e4 d ai4 in1 ing3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 m ian4 d e0 b ian1 zh ang3 uei4 a .
g u4 n eng2 z uo4 uei2 d ing4 l i3 d e0 sh i4 （ 3 ） .
sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 l i2 x in1 l ü4 uei4 e ，
zh ou2 j ie2 m ian4 m ian4 j i1 S 6 .
j i2 c an1 ü4 zh e3 x ian1 z ai4 i3 x iang1 zh ong1 m o1 q iou2 ， q ie3 q ia4 h ao3 h uo4 d e2 j iang3 j in1 n üan2 d e0 g ai4 l ü4 uei4
h an2 sh u4 f ( x ) ， r uo4 d uei4 r en4 i4 x R h eng2 iou3 f ( x ) f ( 0 ) ， z e2 sh i2 sh u4 a q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
d uei4 ü2 C ， g en1 j ü4 l iang3 b ian1 j i2 q i2 j ia1 j iao3 x iang1 d eng3 d e0 l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 q üan2 d eng3 k e3 zh i1 q i2 zh eng4 q üe4 .
in1 ing3 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 d e0 j in4 s i4 zh i2 uei4 ，
x iao3 h uei4 d e0 b a4 b a4 uei4 t a1 m ai3 l ai2 i2 g e4 üan2 zh u4 x ing2 d e0 sh uei3 b ei1 ， sh uei3 b ei1 d e0 d i3 m ian4 j i1 sh i4 3 5 . 6 c m 2 ， g ao1 1 8 c m 。 zh e4 g e4 sh uei3 b ei1 i1 c i4 z uei4 d uo1 n eng2 g ou4 zh uang1 sh uei3 d uo1 sh ao3 h ao2 sh eng1 ？
C . ( 2 a 2 ) 3 8 a 6 ， g u4 c uo4 u4 ；
iao4 sh i3 h an2 sh u4 iou3 i4 i4 ， z e2 ，
g uan1 ü2 “ x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 ” ， x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 ：
f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 ，
iao4 sh i3 z z uei4 d a4 ， z e2 zh i2 x ian4 y 2 x z z ai4 y zh ou2 sh ang4 d e0 j ie2 j ü4 z uei4 x iao3 ，
k e3 d e2 zh i2 x ian4 d e0 i4 b an1 sh i4 f ang1 ch eng2 uei4 ： 2 x y 8 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
B . j ian4 k ai1 x ian4 h e2 b ai3 x ian4 d e0 d ing4 i4 sh i4 i1 iang4 d e0 ， zh i3 sh i4 h uei4 t u2 d e0 f ang1 f a3 b u4 i2 iang4 ， s uo3 i3 c ai2 d e2 d ao4 l e0 b u4 t ong2 d e0 t u2 x ing2
j ie3 ： sh e4 x x iao3 sh i2 c ai2 n eng2 h uei2 d ao4 sh ang4 iou2 。
A . j ü3 x ing2 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 x iang1 d eng3
【 t i2 sh i4 】 『 1 5 0 p ing2 f ang1 m i3 （ 1 5 0 『 』 1 0 0 ） p ing2 f ang1 f en1 m i3 。 』
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ( 1 ) ( ) 0 （ 0 ） b iao3 sh i4 d e0 t u2 x ing2 sh i4 （ ）
zh i2 x ian4 D 1 D ü3 zh i2 x ian4 D 1 C d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 ；
in1 uei4 E sh i4 B C zh ong1 d ian3 ，
（ 1 ） q ing3 x ie3 ch u1 i2 g e4 z uei4 x iao3 x iang1 j iao1 d e0 iou3 x ü4 s an1 üan2 z u3 ， b ing4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 ；
x iang4 l iang4 ， ， z ai4 zh eng4 f ang1 x ing2 uang3 g e2 zh ong1 d e0 uei4 zh i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， r uo4 （ ， R ） ， z e2 d e0 zh i2 uei4 .
（ 2 ） h an2 sh u4 y x 2 2 x 3 ( x 1 ) 2 4 ， q ie3 x 1 ， 3 sh i2 ， y 0 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 j iao3 h e2 ü3 ch a4 d e0 zh eng4 x ian2 g ong1 sh i4 』
d a4 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 ： 1 0 0 9 6 1 9 6 （ p ing2 f ang1 l i2 m i3 ）
iou2 t u2 x ing2 k e3 i3 k an4 ch u1 ， P d ian3 z ai4 （ 4 ， 2 ） sh i2 ， A P B ， d e0 zh i2 z uei4 x iao3 .
A B C zh ong1 ， r uo4 a 2 c 2 b 2 a b ， z e2 j iao3 C .
j ie3 ： sh e4 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 uei4 k ， z e2 k .
D . sh uang1 q ü1 x ian4
in1 uei4 zh i2 ü4 sh i4 [ 8 ， ） ，
j ie3 ： （ 1 ） d ang1 n 1 sh i2 ， S 1 2 a 1 1 a 1 ， s uo3 i3 a 1 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 j ie2 h e2 l ü4 』
3 . i1 g ong4 iou3 6 zh ong3 b u4 t ong2 p ai2 f a3 。
zh i2 x ian4 y 2 x 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
j ie3 ： sh e4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 { a n } d e0 sh ou3 x iang4 uei4 a 1 ， g ong1 ch ai1 uei4 d ， iou2 i3 zh i1 ， d e2
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 t u2 sh ang4 d e0 f ang1 x iang4 uei4 ： sh ang4 b ei3 x ia4 『 n an2 』 ， z uo3 『 x i1 』 iou4 d ong1 。 』
i2 x iang4 ， d e2 x 2 x 0 ，
C . i1 t iao2 zh i2 x ian4
i3 zh i1 m ing4 t i2 ： “ x 0 [ 1 ， 2 ] ， sh i3 x 0 2 2 x 0 a 0 ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 5 6 ( 8 4 3 9 ) 6 0 zh ong1 h an2 iou3 k uo4 h ao4 ， x ian1 j i4 s uan4 k uo4 h ao4 『 l i3 』 m ian4 d e0 s uan4 sh i4 ， r an2 h ou4 an4 c ong2 z uo3 d ao4 iou4 d e0 sh uen4 x ü4 j i4 s uan4 。 』
f ang1 ch eng2 3 x 6 2 x 8 i2 x iang4 h ou4 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
A . z ai4 zh i2 x ian4 l sh ang4 ， d an4 b u4 z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4
r uo4 x 0 ， b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 4 d eng3 j ia4 x 2 3 x 4 ， j i2 x 2 3 x 4 0 ，
D . b u4 m an3 z u2 t iao2 j ian4 ， ie3 b u4 m an3 z u2 j ie2 l uen4 ， g u4 x üan3 x iang4 D c uo4 u4 ，
D . sh uang1 q ü1 x ian4
c an1 k ao3 sh ang4 sh u4 x ie4 f a3 ， r uo4 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ 1 ， ） （ ， 1 ） ， z e2 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 .
zh ou1 ch ang2 1 2 l i2 m i3
j i2 s an1 j iao3 x ing2 j ia3 、 i3 、 b ing3 d e0 m ian4 j i1 zh i1 b i3 sh i4 5 : 2 : 3 ；
d ang1 t 3 sh i2 ， iou2 （ * ） d e2 ( 2 k 1 ) 2 3 2 k 2 1 uei4 j i1 sh u4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 』
【 t i2 sh i4 】 『 m ü3 l k e3 n eng2 x iang1 j iao1 ， ie3 k e3 n eng2 『 p ing2 x ing2 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
x ie4 m ing2 j ia1 ： b a4 b a4 2 ～ 3 x iao3 sh i2 ， m a1 m a1 1 ～ 2 x iao3 sh i2 。
d ian3 A z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 ，
d a2 an4 ： 1 6 0 üan2 .
d ang1 t 0 sh i2 ， zh i2 x ian4 O P d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y x ，
q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ s uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
i2 g e4 l iang3 uei4 sh u4 ， sh i2 uei4 sh u4 d e0 sh u4 z i4 sh i4 a ， g e4 uei4 sh ang4 d e0 sh u4 z i4 sh i4 b ， r u2 g uo3 b a3 sh i2 uei4 sh ang4 d e0 sh u4 ü3 g e4 uei4 sh ang4 d e0 sh u4 d uei4 d iao4 ， s uo3 d e0 l iang3 uei4 sh u4 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 b o1 l uo2 z ong3 sh u4 m ei3 x iang1 zh uang1 d e0 g e4 sh u4 iou3 ü2 sh u4 sh i2 ， x ü1 iao4 d e0 x iang1 z i0 g e4 sh u4 b i3 sh ang1 『 d a4 』 1 。 』
（ 2 ） p q ： 1 ü3 3 sh i4 f ang1 ch eng2 x 2 4 x 3 0 d e0 j ie3 .
iong4 i2 g e4 p ing2 m ian4 q ü4 j ie2 üan2 zh uei1 ， d e2 d ao4 i2 g e4 üan2 zh uei1 h e2 i2 g e4 üan2 t ai2 .
iou2 ü2 m ing4 t i2 s sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， s uo3 i3 m ing4 t i2 s d e0 f ou3 d ing4 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
M ， N f en1 b ie2 sh i4 A B ， P C d e0 zh ong1 d ian3 ，
d ang1 a sh i2 ， d ai4 sh u4 sh i4 a 1 d e0 zh i2 ü3 3 h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 f ang1 g en1 』
j ie3 ： （ 1 ） iou2 d ian3 z ai4 zh i2 x ian4 sh ang4 ， d e2
（ 2 ） d ian3 N z ai4 x ian4 d uan4 A D sh ang4 ， q ie3 A N ， r uo4 zh i2 x ian4 M N ü3 p ing2 m ian4 P B C s uo3 ch eng2 j iao3 d e2 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 ， q iou2 d e0 zh i2 .
sh e4 üan2 x in1 uei4 A ， z e2 O A 2 .
s uo3 i3 m ing4 t i2 q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 q sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
j iang1 sh ang4 sh u4 s an1 g e4 b u4 d eng3 sh i4 l iang3 b ian1 f en1 b ie2 x iang1 j ia1 ， b ing4 ch u2 i3 2 ， d e2 .
C . ( a 2 b ) 3 ( a 2 ) 3 b 3 a 6 b 3 ， g u4 C c uo4 u4 ；
j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 A ， B l iang3 d i4 x iang1 j ü4 2 6 0 k m ， m ou3 r en2 k ai1 q i4 ch e1 i3 5 2 k m h d e0 s u4 d u4 c ong2 A d i4 d ao4 d a2 B d i4 ， k e3 d e2 c ong2 A d ao4 B x ü1 iao4 5 x iao3 sh i2 ， i3 6 5 k m h d e0 s u4 d u4 f an3 h uei2 A d i4 ， c ong2 B d ao4 A x ü1 iao4 4 x iao3 sh i2 ，
r u2 t u2 ， x ia4 l ie4 s i4 g e4 j i3 h e2 t i3 ： sh i4 l eng2 zh ang3 uei4 2 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 ； sh i4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 h e2 g ao1 j ün1 uei4 2 d e0 üan2 zh u4 ； sh i4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 h e2 g ao1 uei4 2 d e0 üan2 zh uei1 ； sh i4 zh ang3 、 k uan1 、 g ao1 f en1 b ie2 uei4 2 、 3 、 4 d e0 ch ang2 f ang1 t i3 . q i2 zh ong1 ， t a1 m en0 d e0 s an1 sh i4 t u2 （ zh eng4 sh i4 t u2 、 c e4 sh i4 t u2 、 f u3 sh i4 t u2 ） iou3 q ie3 j in3 iou3 l iang3 g e4 x iang1 t ong2 d e0 sh i4 （ ）
g en1 j ü4 s uan4 sh i4 b u3 ch ong1 t iao2 j ian4 。
z uo4 ch u1 üan2 x in1 C ， l ian2 j ie1 C P ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
i1 l ü4 j iou3 zh e2 iou1 h uei4
m ian4 j i1 7 p ing2 f ang1 l i2 m i3
： f ( x ) | 2 x 1 | ， z e2 d uei4 ing4 g uan1 x i4 b u4 t ong2 ， g u4 b u2 sh i4 x iang1 d eng3 h an2 sh u4 ；
i3 zh i1 a ， b ， c R ， 4 a 2 b 2 2 c 2 4 ， q iou2 2 a b c d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
m ing4 t i2 “ r uo4 x ， y d ou1 sh i4 ou3 sh u4 ， z e2 x y ie3 sh i4 ou3 sh u4 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 （ ）
d a2 an4 ： p ing2 x ing2 .
zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 d uei4 ing4 t 0 ， t 1 l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 sh i4 （ ）
C x iang4 ： l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 d e0 n i4 m ing4 t i2 sh i4 ： n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， j i2 C x iang4 iou3 n i4 d ing4 l i3 ；
M sh i4 O N d e0 zh ong1 d ian3 ，
（ 1 ） q iou2 p ao1 u4 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 .
B . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 sh ang4 zh i1
x ia4 m ian4 s i4 zh ong3 sh uo1 f a3 ： r uo4 zh i2 x ian4 a ， b i4 m ian4 ， b ， c i4 m ian4 ， z e2 a ， c i4 m ian4 ； r uo4 zh i2 x ian4 a ， b x iang1 j iao1 ， b ， c x iang1 j iao1 ， z e2 a ， c x iang1 j iao1 ； r uo4 a b ， z e2 a ü3 c h e2 b ü3 c s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 x iang1 d eng3 ； r uo4 a b ， b c ， z e2 a c . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
d uei4 ü2 q ： iou2 ， ，
iou2 t u2 k e3 zh i1
j ie3 ： sh e4 d ian3 P （ 3 c o s ， 4 s i n ） ，
q iou2 d e0 t i3 j i1 V R 3 4 .
g u1 j i4 g ai1 p i1 p ing1 p ang1 q iou2 iou1 d eng3 p in3 d e0 g ai4 l ü4 sh i4 .
A B C d e0 n ei4 j iao3 A ， B ， C m an3 z u2 6 s i n A 4 s i n B 3 s i n C ，
i3 zh i1 d ian3 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 1 ， 1 ） ， q iou2 t a1 d e0 q iou2 z uo4 b iao1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ia1 f a3 d e0 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 j ie2 h e2 l ü4 』
【 t i2 sh i4 】 『 ( 1 8 5 ) ( 3 6 1 2 ) q ü4 d iao4 k uo4 h ao4 h ou4 ， x ian1 s uan4 ch eng2 f a3 h e2 ch u2 f a3 ， z ai4 s uan4 『 j ia1 』 f a3 。 』
d ian3 P （ 3 ， m ） z ai4 i3 d ian3 F uei4 j iao1 d ian3 d e0 p ao1 u4 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 ，
d uei4 ü2 ， l i4 iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 zh i2 g uan1 t u2 sh i2 ， p ing2 x ing2 ü2 x zh ou2 d e0 x ian4 d uan4 ch ang2 d u4 b u4 b ian4 ， p ing2 x ing2 ü2 y zh ou2 d e0 x ian4 d uan4 ch ang2 d u4 b ian4 uei4 üan2 l ai2 d e0 i2 b an4 ， g u4 c uo4 u4 ；
ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ü3 b i4 iao4 t iao2 j ian4
iou4 üan2 m ing4 t i2 h e2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 t ong2 zh en1 j ia3 ，
j ie3 ： j iang1 x 2 y 2 2 x 4 y 4 0 h ua4 uei4 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 ， k e3 d e2 üan2 x in1 uei4 （ 1 ， 2 ） ， b an4 j ing4 uei4 1 ，
u2 l i3 sh u4 d e0 g e4 sh u4 uei4 3 .
x iao3 ch ong2 l i2 ch u1 f a1 d ian3 z uei4 üan3 d e0 j ü4 l i2 sh i4 ( 5 ) ( 3 ) ( 1 0 ) 1 2 ( c m ) .
A . ， ， j ün1 sh i4 zh i2 x ian4
D . （ uei4 c an1 sh u4 ）
b u4 d eng3 sh i4 | x 1 | | x 2 | 2 d e0 j ie3 j i2 sh i4 .
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， zh eng4 q üe4 d e0 iou3 2 g e4 .
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 ， sh i4 j ia3 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ： 2 0 1 4 n ian2 2 üe4 1 4 r i4 sh i4 üan2 x iao1 j ie2 ， iou4 sh i4 q ing2 r en2 j ie2 ； 1 0 d e0 b ei4 sh u4 i2 d ing4 sh i4 5 d e0 b ei4 sh u4 ； t i1 x ing2 b u2 sh i4 j ü3 x ing2 ； f ang1 ch eng2 x 2 1 d e0 j ie3 sh i4 x 1 . q i2 zh ong1 sh i3 iong4 l uo2 j i2 l ian2 j ie2 c i2 d e0 m ing4 t i2 iou3 （ ）
j ie3 ： in1 uei4 x üan2 zh uan3 b u4 g ai3 b ian4 t u2 x ing2 d e0 d a4 x iao3 j i2 x ing2 zh uang4 ， l iang3 g e4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 x iang1 d eng3 ，
（ 4 ） i2 g e4 ch ang2 f ang1 t i3 ü3 i2 g e4 üan2 zh uei1 d eng3 d i3 d eng3 g ao1 sh i2 ， ch ang2 f ang1 t i3 d e0 t i3 j i1 sh i4 üan2 zh uei1 t i3 j i1 d e0 3 b ei4 。 g u4 üan2 t i2 zh eng4 q üe4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 t i3 d ai4 r u4 f a3 』
（ 1 ） f en1 b ie2 x ie3 ch u1 M 1 ， M 2 ， M 3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
（ 2 ） f ( x ) a x a x （ a 0 q ie3 a 1 ） ， f ( 1 ) 0 j i2 a 0 ， a 0 ， q ie3 a 1 ，
s uo3 i3 c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 k 2 ， sh i3 0 .
（ 2 ） zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
j ie3 ： sh e4 i2 g e4 ü3 m ao2 q iou2 d e0 zh i4 l iang4 uei4 g ， g en1 j ü4 t i2 m u4 x in4 x i1 k e3 d e2 ：
j ie3 ： r u2 x ia4 t u2 zh ong1 z uo3 t u2 s uo3 sh i4 ， sh i4 j ü3 x ing2 ， x üan2 zh uan3 h ou4 x ing2 ch eng2 üan2 zh u4 ， 、 sh i4 t i1 x ing2 ， x üan2 zh uan3 h ou4 x ing2 ch eng2 üan2 t ai2 ， x üan2 zh uan3 h ou4 x ing2 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 r u2 x ia4 t u2 zh ong1 iou4 t u2 s uo3 sh i4 ，
（ 2 ） l ian2 E F ， E C ， sh e4 E C A F M ， l ian2 j ie1 D M ，
d a2 an4 ： d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， q ü1 x ian4 C 1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s 4 .
i2 g e4 üan2 zh u4 x ing2 sh uei3 ch i2 ， sh uei3 ch i2 n ei4 b i4 h e2 d i3 m ian4 d ou1 iao4 x iang1 sh ang4 c i2 zh uan1 ， sh uei3 ch i2 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 6 m ， ch i2 sh en1 1 . 2 m ， x iang1 c i2 zh uan1 d e0 m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 p ing2 f ang1 m i3 ？
A . in1 uei4 A B C D ， C D E F ， s uo3 i3 A B E F
j ie3 ： g en1 j ü4 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 k e3 zh i1 üan2 d e0 b an4 j ing4 uei4 3 ，
s uo3 i3 n ong2 i4 üan2 d e0 z uei4 d a4 m ian4 j i1 n eng2 d a2 d ao4 2 k m 2 .
sh i2 uei4 q ia4 x iao3 g e4 uei4 s an1 ， g e4 uei4 p ing2 f ang1 ü3 sh ou4 f u2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 』
r u2 x ia4 t u2 ， z uo3 b ian1 t u2 x ing2 sh i4 iou4 b ian1 （ ） d e0 zh an3 k ai1 t u2 。
f ( x ) f ( x ) h eng2 ch eng2 l i4 ，
s uo3 i3 d e2 T k ，
g uan1 ch a2 s i4 g e4 h an2 sh u4 t u2 x iang4 ， zh i3 iou3 B f u2 h e2 iao1 q iou2 .
b a3 5 k g d e0 t ang2 r ong2 j ie3 z ai4 1 0 0 k g d e0 sh uei3 l i3 ， t ang2 zh an4 t ang2 sh uei3 d e0 （ ） 。
（ 2 ） r uo4 p sh i4 q d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 ， z e2 { x | a x a 1 } { x | 3 x 4 } ，
（ 1 ） d ang1 k 2 sh i2 ， q iou2 m ( 1 ) d e0 zh i2 ；
i3 zh i1 l iang3 q ü1 x ian4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 f en1 b ie2 uei4 （ 0 ） h e2 （ t R ） ， q iou2 t a1 m en0 d e0 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 .
i3 zh i1 z ai4 A B C zh ong1 D E F zh ong1 ， A D 9 0 ， z e2 x ia4 l ie4 t iao2 j ian4 zh ong1 b u4 n eng2 p an4 d ing4 A B C h e2 D E F q üan2 d eng3 d e0 sh i4 （ ）
D zh ong1 ， y x 2 x 1 ( x ) 2 d e0 zh i2 ü4 sh i4 [ ， ） .
b a3 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 g ai3 x ie3 ch eng2 “ r uo4 p ， z e2 q ” d e0 x ing2 sh i4 ， b ing4 p an4 d uan4 m ing4 t i2 d e0 zh en1 j ia3 .
d uei4 ü2 D ， iou2 sh ang4 m ian4 f en1 x i1 k e3 d e2 D c uo4 u4
iou4 in1 uei4 er4 m ian4 j iao3 P A 1 C B d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 ，
h eng2 z uo4 b iao1 b ian4 uei4 üan2 l ai2 d e0 2 b ei4 ， z ong4 z uo4 b iao1 b ian4 uei4 üan2 l ai2 d e0 b ei4 ，
n i4 f ou3 m ing4 t i2 ： r uo4 i2 g e4 s i4 b ian1 x ing2 d uei4 j iao3 x ian4 b u4 h u4 x iang1 p ing2 f en1 ， z e2 t a1 b u2 sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， q iou2 g ai1 zh i2 x ian4 b ei4 üan2 x 2 y 2 9 j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
d uei4 ü2 ， A D sh i4 S A z ai4 p ing2 m ian4 A B C D n ei4 d e0 sh e4 ing3 ，
（ 2 ） n an2 sh eng1 h e2 n ü3 sh eng1 d ou1 b i3 j iao4 x i3 h uan1 d e0 j ie2 m u4 sh i4 （ d ian4 sh i4 j ü4 ） 。
j ie3 ： iou2 t i2 k e3 zh i1 [ ] [ ] [ ] 1 [ ] [ ] ，
x iao1 q ü4 t k e3 d e2 y x 2 （ x 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 l ie4 q ian2 n x iang4 h e2 、 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 j i2 d i4 t uei1 sh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
l ü3 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 m ou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d e0 g ai4 n ian4 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) ， z e2 f ( f ( 0 ) d eng3 ü2 （ ）
üan2 x in1 C 2 （ 1 ， 2 ） d ao4 zh i2 x ian4 C 3 d e0 j ü4 l i2 d ，
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： uei4 d ing4 zh i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ing1 q i1 j i3 d e0 uen4 t i2 ( ao4 sh u4 ) 』
C . iong1 iou3 d e0 r en2 m en0 b u4 x ing4 f u2
i3 zh i2 j iao3 b ian1 A B uei4 zh ou2 ： V 1 3 . 1 4 4 2 1 0 ；
p u3 t ong1 zh u1 b ao3 d e0 j ia4 zh i2 uei4 M ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 d e0 zh i2 g uan1 t u2 』
s uo3 i3 zh e4 g e4 üe4 d e0 1 h ao4 sh i4 x ing1 q i1 l iou4 。
d ang1 a 2 4 0 sh i2 ， j i2 a 2 ，
b i3 j iao4 x ia4 l ie4 g e4 z u3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 。
（ 2 ） sh i4 j ian4 A b ao1 h an2 2 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 （ a 1 ， a 2 ） ， （ a 2 ， a 1 ） ， sh i4 j ian4 B b ao1 h an2 4 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 （ a 1 ， b 1 ） ， （ b 1 ， a 1 ） ， （ a 2 ， b 1 ） ， （ b 1 ， a 2 ） .
j ie3 ： A 、 p ao1 u4 x ian4 k ai1 k ou3 x iang4 x ia4 ， z e2 a 0 ， s uo3 i3 A x üan3 x iang4 c uo4 u4 ；
j ie3 ： j ü3 zh en4 M d e0 h ang2 l ie4 sh i4 uei4 1 2 2 0 2 ，
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) A s i n ( x ) （ A 0 ， 0 ， 0 ） d e0 b u4 f en4 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 [ ， 0 ] sh ang4 d e0 d an1 d iao4 z eng1 q ü1 j ian1 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 m ian4 B 1 D 1 D ü3 p ing2 m ian4 B D A 1 iou3 g ong1 g ong4 j iao3 d ian3 『 D 』 ， l iang3 p ing2 m ian4 『 x iang1 j iao1 』 . 』
j ie3 ： i3 i2 g e4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 d i3 b ian1 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 uei4 x üan2 zh uan3 zh ou2 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 s uo3 d e0 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 l iang3 g e4 üan2 zh uei1 ， q ie3 l iang3 g e4 üan2 zh uei1 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d e0 d i3 m ian4 .
g u4 z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 b iao3 sh i4 d ao4 üan2 d ian3 d e0 j ü4 l i2 uei4 3 g e4 d an1 uei4 ch ang2 d u4 d e0 sh u4 sh i4 3 h e2 3 .
b a3 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， x iao1 q ü4 c an1 sh u4 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 3 6 ，
2 . 5 3 d u2 z uo4 （ er4 d ian3 s an1 u3 ）
a 0 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 a x 2 a x 1 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 q üan2 t i3 sh i2 sh u4 ，
z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， d i3 m ian4 A B C D sh i4 j ü3 x ing2 ， P A d i3 m ian4 A B C D ， z e2 zh e4 g e4 s i4 l eng2 zh uei1 d e0 u3 g e4 m ian4 zh ong1 l iang3 l iang3 x iang1 ch uei2 zh i2 d e0 g ong4 iou3 d uei4 .
g en1 j ü4 k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 d e0 g ai4 n ian4 k e3 zh i1 ， üan2 zh u4 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 sh i4 j ü3 x ing2 ， b u2 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 ； q i2 t a1 x üan3 x iang4 zh ong1 d e0 j i3 h e2 t i3 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 k e3 i3 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 .
sh eng2 z i0 s uo3 z ai4 p ao1 u4 x ian4 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 sh i4 x 1 ， （ 0 . 5 ， 1 ） 、 （ 2 ， 2 . 5 ） sh i4 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 .
d an1 x iang4 sh i4 d e0 x i4 sh u4 sh i4 ， c i4 sh u4 sh i4 .
P uei4 sh uang1 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， F 1 ， F 2 uei4 q i2 l iang3 g e4 j iao1 d ian3 ， z e2 F 1 P F 2 zh ong4 x in1 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
( ) 2 ( 3 1 ) 2 ， j i4 s uan4 d e0 6 .
z e2 z uei4 zh ang3 d e0 x ian4 d uan4 sh i4 A C .
zh eng4 f ang1 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 2 4 ， z e2 g ai1 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 n ei4 q ie4 q iou2 d e0 t i3 j i1 uei4
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 s i4 l eng2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 『 b u4 i2 d ing4 』 sh i4 j ü3 x ing2 . 』
r u2 g uo3 m ei3 g e4 b an1 d ou1 q ia4 h ao3 iou3 4 r en2 sh en1 j ia1 ， z e2 g ong4 iou3 2 4 r en2 。 n a4 m e0 ü2 x ia4 d e0 1 r en2 ， u2 l uen4 sh i4 n ei3 g e4 b an1 d e0 x üe2 sh eng1 ， zh e4 g e4 b an1 d ou1 h uei4 iou3 5 r en2 。 s uo3 i3 b i4 iou3 5 r en2 sh u3 ü2 t ong2 i1 g e4 b an1 j i2 。
r uo4 x ， y ， z uei4 sh i2 sh u4 ， q ie3 x 2 y 2 z 6 ， q iou2 x 2 y 2 z 2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
j ie3 ： üan2 sh i4 7 4 9 2 5 5
C 、 g en1 j ü4 sh i2 sh u4 p ing2 f ang1 d e0 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 ， r en4 h e2 sh i2 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 d ou1 sh i4 f ei1 f u4 sh u4 ， g u4 c i3 x üan3 x iang4 zh eng4 q üe4 .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， zh e4 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 1 0 c m .
i3 zh i1 n 0 ， q iou2 zh eng4 ： n 3 .
u3 g e4 j ie2 l uen4 j ün1 ch eng2 l i4 .
iou2 c i3 f en1 x i1 d e2 zh i1 ， zh i4 l iang3 m ei2 t ou2 z i3 d e2 d ao4 d ian3 sh u4 zh i1 h e2 sh i4 j i3 ， j iou4 x üan3 j i3 b an1 ， zh e4 zh ong3 f ang1 f a3 b u4 g ong1 p ing2 . r uo4 an4 zh e4 zh ong3 x üan3 f a3 ， x ian3 r an2 7 b an1 x üan3 zh ong1 d e0 j i1 h uei4 z uei4 d a4 . 2 b an1 h e2 1 2 b an1 x üan3 zh ong1 d e0 j i1 h uei4 z uei4 x iao3 .
（ 1 ） zh u4 t i3 iou3 ： ；
s uo3 i3 | A B | | 2 s i n 2 c o s | ， d ang1 sh i2 ， | A B | iou3 z uei4 d a4 zh i2 ， z uei4 d a4 zh i2 uei4 4 .
j ie3 ： j iang1 d ian3 A （ 1 ， 3 ） d e0 z uo4 b iao1 d ai4 r u4 ，
in1 c i3 4 x 2 y 2 1 6 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
d a2 ： l iou2 x ian1 sh eng1 ing1 j iao1 n a4 7 5 0 0 üan2 q i4 sh uei4 。
i1 sh i2 u3 d ian3 er4 l iou4 x ie3 z uo4 （ ）
g u4 C 2 b iao3 sh i4 zh i2 x ian4 .
b a3 5 d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 3 x 4 2 9 x 2 ， sh i3 f ang1 ch eng2 l iang3 b ian1 b u4 x iang1 d eng3 ， g u4 b u2 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， g eng4 b u2 sh i4 d ing4 l i3 .
iou2 ü2 x ian2 d ing4 l i3 ， d e2 b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B 2 5 1 6 2 5 4 ( ) 6 5 ，
P （ x ， y ） d e0 z uo4 b iao1 uei4 ，
p ing2 m ian4 A B C p ing2 m ian4 A C D A C ， B O p ing2 m ian4 A B C ， B O A C ，
d a2 an4 ： zh eng4 。
j ie3 d e2 a 1 h uo4 0 a ，
j ie3 ： （ 1 ） “ zh i4 sh ao3 2 g e4 x iao3 z u3 ” b ao1 h an2 “ 2 g e4 x iao3 z u3 ” h e2 “ 3 g e4 x iao3 z u3 ” l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 ，
x ia4 m ian4 sh i4 x üe2 x iao4 x iao4 üan2 p ing2 m ian4 t u2 。
j ie3 ： iou2 m i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 t e4 zh eng1 k e3 zh i1 ， c 0 ， a 1 ， 0 b 1 ，
in1 c i3 ， j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 ， sh uang1 q ü1 x ian4 x 2 y 2 1 b ian4 ch eng2 sh uang1 q ü1 x ian4 9 x 2 4 y 2 1 ， r u2 t u2 （ 1 ） s uo3 sh i4 .
（ 4 ） ian2 zh e0 üan2 zh u4 d i3 m ian4 d e0 zh i2 j ing4 j iang1 üan2 zh u4 p ou1 ch eng2 l iang3 b an4 ， k e3 k an4 d ao4 l iang3 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 h uo4 l iang3 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 ， g u4 üan2 t i2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 。
（ 1 ） x ian1 h ou4 p ao1 zh i4 l iang3 c i4 zh eng4 s i4 m ian4 t i3 d e0 s uo3 iou3 j i1 b en3 sh i4 j ian4 uei4 （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 4 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 4 ， 1 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 4 ） ， g ong4 1 6 g e4 .
d a2 an4 ： b u4 g ong4 x ian4 d e0 s an1 d ian3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 .
h ua4 t u2 x iang4 ， t u2 x iang4 sh i4 p ao1 u4 x ian4 y x 2 2 x z ai4 2 x 2 zh i1 j ian1 d e0 b u4 f en4 .
（ 1 ） zh e4 t iao2 ch uan2 zh i4 sh ao3 iao4 ün4 d uo1 sh ao3 c i4 ， c ai2 n eng2 b a3 q üan2 b u4 sh i1 sh eng1 ün4 g uo4 h e2 ？
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， zh i2 x ian4 （ R ） j ie2 üan2 2 c o s ( ) s uo3 d e0 x ian2 zh ang3 sh i4 （ ）
（ 2 ） sh e4 d ian3 N d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， ） ， q iou2 t a1 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 ü3 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 』
l iang2 c ang1 l i3 iou3 i1 d uei1 üan2 zh uei1 x ing2 d ao4 g u3 ， l iang4 d e2 t a1 d e0 d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 sh i4 2 5 . 1 2 m i3 ， g ao1 d u4 sh i4 2 . 7 m i3 。 r u2 g uo3 m ei3 l i4 f ang1 m i3 d e0 d ao4 g u3 zh i4 l iang4 uei4 8 0 0 q ian1 k e4 ， zh e4 d uei1 d ao4 g u3 d a4 üe1 iou3 d uo1 sh ao3 d uen1 ？ （ j ie2 g uo3 b ao3 l iou2 zh eng3 sh u4 ）
r u2 t u2 ， z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， P A d i3 m ian4 A B C D ， d i3 m ian4 sh i4 b ian1 zh ang3 uei4 2 d e0 l ing2 x ing2 ， q ie3 A B C 4 5 ， P A A B ， z e2 zh i2 x ian4 A P ü3 p ing2 m ian4 P B C s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 zh eng4 q ie1 zh i2 uei4 .
x iao1 q ü4 k e3 d e2 t uo3 üan2 f ang1 ch eng2 1 ， q ie3 iou4 d ing3 d ian3 uei4 （ 3 ， 0 ） .
d uei4 ü2 r en4 i4 j i2 h e2 X ü3 Y ， d ing4 i4 ： X Y { x | x X q ie3 x Y } ， X Y ( X Y ) ( Y X ) （ X Y ch eng1 uei2 X ü3 Y d e0 d uei4 ch en4 ch a4 ） . i3 zh i1 A { y | y 2 x 1 ， x R } ， B { x | x 2 9 0 } ， z e2 A B .
z e2 zh i2 x ian4 y x （ x 0 ） ü3 üan2 x 2 ( y 1 ) 2 1 j iao1 ü2 üan2 d ian3 h e2 d ian3 A （ 1 ， 1 ） ， z e2 x ian2 zh ang3 uei4 2 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 x ian4 l ： sh i4 d i4 『 i1 』 、 『 s an1 』 x iang4 x ian4 d e0 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 . 』
z ai4 A C D zh ong1 ， M ， N f en1 b ie2 sh i4 l eng2 C D ， A D d e0 zh ong1 d ian3 ，
r u2 g uo3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ü2 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 s an1 j iao3 x ing2 d e0 l iang3 b ian1 ； t i1 x ing2 d e0 l iang3 b ian1 ； üan2 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 j ing4 ； zh eng4 l iou4 b ian1 x ing2 d e0 l iang3 t iao2 b ian1 ， n a4 m e0 n eng2 b ao3 zh eng4 g ai1 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 6 ) 2 y 2 2 5 . i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， q iou2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 d e0 t i3 j i1 h e2 b iao3 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 、 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 ü3 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 q ü1 b ie2 』
（ 2 ） M N a c m . l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
sh e4 （ x ， y ， z ） uei4 p ing2 m ian4 P B D d e0 f a3 x iang4 l iang4 ，
i3 zh i1 m ing4 t i2 “ p ： 3 3 ； q ： 3 4 ” ， z e2 x ia4 l ie4 p an4 d uan4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
j ie3 ： r uo4 m ing4 t i2 “ p q ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， n a4 m e0 m ing4 t i2 p ， q d ou1 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
r uo4 i2 g e4 j iao3 sh i4 d i4 er4 x iang4 x ian4 j iao3 ， z e2 t a1 d e0 ü2 x ian2 zh i2 x iao3 ü2 0 ，
iou4 i3 zh i1 h an2 sh u4 y f ( x ) sh i4 d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 f ang1 ch eng2 x 2 m x 1 0 iou3 l iang3 g e4 b u4 x iang1 d eng3 d e0 f u4 g en1 ， z e2 l iang3 g en1 zh i1 h e2 『 d a4 』 ü2 0 . 』
q i2 l i2 x in1 l ü4 uei4 ， j ian4 j in4 x ian4 uei4 y x .
d ang1 k 2 sh i2 ， 2 t 8 ， d e2 t 3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j in4 s i4 sh u4 d e0 ing4 iong4 （ x iao3 sh u4 ） 』
S d i3 m ian4 j i1 6 2 2 6 ，
üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 ： （ ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 6 h e2 5 0 、 2 5 h e2 4 d e0 j i1 d ou1 sh i4 zh eng3 b ai3 sh u4 ， k e3 iong4 ch eng2 f a3 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 『 j ie2 h e2 』 l ü4 j ian3 s uan4 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r en2 m in2 b i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 』
（ 2 ） sh e4 p ing2 m ian4 A D C 1 d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x ， y ， z ） ，
i1 p i1 ch an3 p in3 g ong4 1 0 j ian4 ， q i2 zh ong1 3 j ian4 sh i4 b u4 h e2 g e2 p in3 ， iong4 x ia4 l ie4 l iang3 zh ong3 b u4 t ong2 f ang1 sh i4 c ong2 zh ong1 s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 2 j ian4 ch an3 p in3 j ian3 ian4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 3 2 5 ch eng2 i3 9 ， z ai4 iong4 3 2 5 ch eng2 i3 『 4 0 』 ， ü3 q ian2 m ian4 d e0 j ie2 g uo3 x iang1 『 j ia1 』 。 』
j ie3 ： iou2 f ( x ) a x 2 b x c d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 zh i2 x ian4 x ， sh e4 f ang1 ch eng2 m [ f ( x ) ] 2 n f ( x ) p 0 d e0 j ie3 uei4 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， z e2 b i4 iou3
j ie3 ： “ g e4 uei4 sh u4 z i4 zh i1 h e2 sh i4 3 d e0 b ei4 sh u4 d e0 zh eng4 zh eng3 sh u4 ， n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 ” d e0 n i4 m ing4 t i2 uei4 “ n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 d e0 zh eng4 zh eng3 sh u4 g e4 uei4 sh u4 z i4 zh i1 h e2 sh i4 3 d e0 b ei4 sh u4 ” .
h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 j i2 q i2 z uo4 f a3
b ian4 x ing2 k e3 d e2 s i n A s i n B s i n A c o s B c o s A s i n B s i n ( A B ) ，
【 t i2 sh i4 】 『 x üe1 q ü4 b u4 f en4 d e0 t i3 j i1 sh i4 üan2 zh uei1 t i3 j i1 d e0 『 2 』 b ei4 。 』
j i2 z uo4 b iao1 k e4 h ua4 d ian3 d e0 uei4 zh i4
b a3 i2 g e4 zh i2 j ing4 sh i4 4 c m d e0 üan2 x ing2 zh i3 p ian4 j ian3 ch eng2 l iang3 g e4 b an4 üan2 h ou4 ， m ei3 g e4 b an4 üan2 x ing2 zh i3 p ian4 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 （ ） c m 。
üan2 x in1 （ 1 ， ） d ao4 zh i2 x ian4 y k x d e0 j ü4 l i2 d ，
q i2 b iao3 m ian4 j i1 S 2 ( 1 3 ) 1 3 2 1 2 2 2 1 2 4 .
ü2 sh i4 k e3 d e2 | A B | .
D . r en4 h e2 i2 g e4 l eng2 t ai2 d ou1 k e3 i3 b u3 sh ang4 i2 g e4 l eng2 zh uei1 sh i3 t a1 m en0 z u3 ch eng2 i2 g e4 x in1 d e0 l eng2 zh uei1 ， s uo3 i3 D sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 .
in1 c i3 2 x 2 y ， j i2 q ü1 x ian4 C 1 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 x 2 .
i2 g e4 üan2 t ai2 x ing2 h ua1 p en2 p en2 k ou3 zh i2 j ing4 sh i4 2 0 c m ， p en2 d i3 zh i2 j ing4 sh i4 1 5 c m ， d i3 b u4 sh en4 sh uei3 üan2 k ong3 zh i2 j ing4 sh i4 1 . 5 c m ， p en2 b i4 zh ang3 1 5 c m . uei4 l e0 m ei3 h ua4 h ua1 p en2 d e0 uai4 g uan1 ， x ü1 iao4 t u2 iou2 q i1 ， r uo4 m ei3 p ing2 f ang1 m i3 iong4 1 0 0 h ao2 sh eng1 iou2 q i1 ， z e2 t u2 1 0 0 0 g e4 zh e4 iang4 d e0 h ua1 p en2 iao4 iou2 q i1 . （ q ü3 3 . 1 4 ， j ie2 g uo3 j ing1 q üe4 d ao4 1 h ao2 sh eng1 ）
iou2 ， zh eng3 l i3 ， d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 l ei4 t ao3 l uen4 s i1 x iang3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 zh ou2 zh ong1 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 』
j ie3 ： （ 1 ） iou2 sh u4 l ie4 { a n } d e0 d ing4 i4 d e2 a 1 1 ， a 2 2 ， a 3 2 ， a 4 3 ， a 5 3 ， a 6 3 ， a 7 4 ， a 8 4 ， a 9 4 ， a 1 0 4 ， a 1 1 5 ，
uo3 g uo2 sh u4 x üe2 j ia1 ch en2 j ing3 r uen4 z ai4 g e1 d e2 b a1 h e4 c ai1 x iang3 d e0 ian2 j iou1 zh ong1 q ü3 d e0 l e0 sh i4 j ie4 l ing3 x ian1 d e0 ch eng2 g uo3 . g e1 d e2 b a1 h e4 c ai1 x iang3 sh i4 “ m ei3 g e4 d a4 ü2 2 d e0 ou3 sh u4 k e3 i3 b iao3 sh i4 uei4 l iang3 g e4 s u4 sh u4 d e0 h e2 ” ， r u2 3 0 7 2 3 . z ai4 b u4 ch ao1 g uo4 3 0 d e0 s u4 sh u4 zh ong1 ， s uei2 j i1 x üan3 q ü3 l iang3 g e4 b u4 t ong2 d e0 sh u4 ， q i2 h e2 d eng3 ü2 3 0 d e0 g ai4 l ü4 sh i4 （ ）
r uo4 sh u4 l ie4 { c n } m an3 z u2 c 1 1 ， q ie3 d ang1 n 2 sh i2 ， c n 1 2 n 1 ， n 2 .
（ 2 ） d e2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 0 ，
（ 1 ） q iou2 j ia3 、 i3 、 b ing3 s an1 r en2 x üan3 z e2 d e0 k e4 ch eng2 h u4 b u4 x iang1 t ong2 d e0 g ai4 l ü4 ；
i3 zh i1 zh i2 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 s i n ( ) ， z e2 j i2 d ian3 d ao4 g ai1 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 sh i4 .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 ch ang2 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， O sh i4 d e0 B 1 D 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， zh i2 x ian4 A 1 C j iao1 p ing2 m ian4 A B 1 D 1 ü2 d ian3 M . z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 c uo4 u4 d e0 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
A . b u4 iong1 iou3 d e0 r en2 m en0 h uei4 x ing4 f u2
s uo3 i3 h an2 sh u4 y d e0 f an3 h an2 sh u4 sh i4 y .
z uo4 t ou2 zh i4 h ong2 、 l an2 l iang3 m ei2 t ou2 z i3 d e0 sh i4 ian4 ， iong4 （ x ， y ） b iao3 sh i4 j ie2 g uo3 ， q i2 zh ong1 x b iao3 sh i4 h ong2 s e4 t ou2 z i3 ch u1 x ian4 d e0 d ian3 sh u4 ， y b iao3 sh i4 l an2 s e4 t ou2 z i3 ch u1 x ian4 d e0 d ian3 sh u4 .
i3 s an1 l eng2 t ai2 d e0 d ing3 d ian3 uei4 s an1 l eng2 zh uei1 d e0 d ing3 d ian3 ， zh e4 iang4 k e3 i3 b a3 i2 g e4 s an1 l eng2 t ai2 f en1 ch eng2 s an1 l eng2 zh uei1 d e0 g e4 sh u4 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 iao1 q iou2 A B C zh ong1 c o s B d e0 zh i2 ， x iang3 d ao4 iong4 『 ü2 x ian2 』 d ing4 l i3 . 』
s uo3 i3 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
A . ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
r u2 g uo3 sh u4 zh ou2 sh ang4 d e0 d ian3 A b iao3 sh i4 ， d ian3 B b iao3 sh i4 1 ， n a4 m e0 l i2 üan2 d ian3 j iao4 j in4 d e0 d ian3 sh i4 .
C . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 zh i1
A . d i4 i1 x iang4 x ian4
（ 2 ） sh e4 zh i2 x ian4 l z ai4 b ian4 h uan4 M z uo4 iong4 x ia4 d e2 d ao4 l e0 zh i2 x ian4 m ： x y 4 . q iou2 zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 .
【 t i2 sh i4 】 『 sh i4 j ian4 A h e2 sh i4 j ian4 B uei4 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 ， P ( A B ) P ( A ) 『 P ( B ) 』 . 』
j ie3 ： g en1 j ü4 t u2 x ing2 k e3 zh i1 ， s an1 j iao3 x ing2 l u4 ch u1 d e0 j iao3 uei4 r uei4 j iao3
iong4 t ie3 p i2 zh i4 z uo4 i1 zh ong3 zh i2 j ing4 5 0 c m 、 g ao1 4 m d e0 t ong1 f eng1 g uan3 ， t ie3 p i2 j ie1 k ou3 ch u4 uei4 5 c m 。 zh i4 z uo4 5 g en1 zh e4 iang4 d e0 t ong1 f eng1 g uan3 ， zh i4 sh ao3 x ü1 iao4 t ie3 p i2 d uo1 sh ao3 p ing2 f ang1 m i3 ？
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 b u4 p ing2 x ing2 sh i2 ， zh i2 x ian4 k e3 n eng2 ü3 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 zh i2 x ian4 『 i4 』 m ian4 ， ie3 k e3 n eng2 zh i2 x ian4 z ai4 p ing2 m ian4 n ei4 . 』
s uo3 i3 zh i2 x ian4 2 x y 1 5 0 uei4 g ong1 g ong4 x ian2 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 ，
i2 g e4 üan2 zh uei1 x ing2 d e0 t ie3 zh i4 l ing2 j ian4 ， d i3 m ian4 j i1 sh i4 1 2 . 5 d m 2 ， g ao1 6 d m 。 zh e4 zh ong3 t ie3 m ei3 l i4 f ang1 f en1 m i3 d e0 zh i4 l iang4 uei4 7 . 8 k g ， zh u4 ch eng2 i2 g e4 d i3 m ian4 j i1 uei4 1 2 . 5 d m 2 d e0 üan2 zh u4 x ing2 l ing2 j ian4 ， zh e4 sh i2 üan2 zh u4 x ing2 l ing2 j ian4 d e0 g ao1 sh i4 d uo1 sh ao3 f en1 m i3 ？ zh i4 l iang4 sh i4 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 ？
d i4 4 g e4 sh u4 ： 1 7 4 2 1 ，
2 . 4 üan2 （ ） üan2 （ ） j iao3 1 0 üan2 5 j iao3 （ ） üan2
C . q üe4 d ing4 sh i4 j ian4
ü2 sh i4 ， d ang1 x 1 sh i2 ， g ( x ) q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 1
j ie3 ： d uei4 ü2 A 、 B h e2 D ， l iang3 b ian1 j i2 q i2 i1 b ian1 d e0 d uei4 j iao3 d uei4 ing4 x iang1 d eng3 d e0 l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 b u4 i2 d ing4 q üan2 d eng3 ， g u4 A 、 B 、 D s an1 x iang4 c uo4 u4 ；
g u4 B 1 D 1 p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 ，
sh e4 a ， b uei4 sh i2 sh u4 ， uo3 m en0 ch eng1 （ a ， b ） uei4 iou3 x ü4 sh i2 sh u4 d uei4 . l ei4 s i4 d i4 ， sh e4 A ， B ， C uei4 j i2 h e2 ， uo3 m en0 ch eng1 （ A ， B ， C ） uei4 iou3 x ü4 s an1 üan2 z u3 . r u2 g uo3 j i2 h e2 A ， B C m an3 z u2 | A B | | B C | | C A | 1 ， q ie3 A B C ， z e2 uo3 m en0 ch eng1 iou3 x ü4 s an1 üan2 z u3 （ A ， B ， C ） uei4 z uei4 x iao3 x iang1 j iao1 （ | S | b iao3 sh i4 j i2 h e2 S zh ong1 d e0 üan2 s u4 d e0 g e4 sh u4 ） .
s uo3 i3 sh i2 sh u4 m d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 1 .
g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 S 2 2 2 1 2 .
g u4 d a2 an4 uei4 .
j i2 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ 0 ， 0 ） ；
j i2 iou3 t uo3 üan2 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 1 ；
【 t i2 sh i4 】 『 1 2 t ian1 k an4 d e0 ie4 sh u4 m ei3 t ian1 k an4 d e0 ie4 sh u4 『 』 1 2 。 』
j ie3 f ang1 ch eng2 z u3 ， j ie3 d e2 .
C . j ia3 sh e4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 t ong2 i1 d i3 sh ang4 l iang3 j iao3 x iang1 d eng3
f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x 1 } .
g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 s i4 g e4 m ing4 t i2 ：
x iao1 q ü4 c an1 sh u4 d e2 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 ，
j ie3 ： i3 { ， ， } uei4 zh eng4 j iao1 j i1 d i3 j ian4 l i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 A x y z ：
zh i2 x ian4 l h e2 p ao1 u4 x ian4 x iang1 j iao1 ， j iang1 zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d ai4 r u4 p ao1 u4 x ian4 f ang1 ch eng2 y 2 2 x zh ong1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
j ie3 ： （ 1 ） üan2 C p ing2 i2 h ou4 üan2 x in1 uei4 O （ 0 ， 0 ） ，
（ 2 ） d ang1 “ p q ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 sh i2 ， p 、 q d ou1 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t ong2 l ei4 x iang4 d e0 d ing4 i4 』
a x d an1 d iao4 d i4 j ian3 ， a x d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
u3 ie4 d e0 uen1 d u4 uei4 ： 4 9 5 .
i3 zh i1 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 a x 2 2 x c 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ ， ） ， z e2 b u4 d eng3 sh i4 c x 2 2 x a 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d i4 i1 x iang4 x ian4 d e0 j iao1 d ian3 B d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ a ， a ） ，
i3 zh i1 a ， b sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ， zh i2 x ian4 c p ing2 x ing2 ü2 zh i2 x ian4 a ， z e2 zh i2 x ian4 c ü3 b d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
j ie3 ： in1 uei4 2 d e0 f u2 h ao4 sh i4 “ ” h ao4 ， sh eng3 l üe4 b u4 x ie3 ， g ai3 b ian4 “ ” h ao4 uei4 “ ” h ao4 ，
z ai4 d i4 m ian4 c ong2 j ü4 l i2 q i2 g an1 d i3 d uan1 f en1 b ie2 sh i4 1 0 m i3 、 2 0 m i3 、 3 0 m i3 d e0 A ， B ， C ch u4 c e4 d e2 g an1 d ing3 d e0 iang3 j iao3 f en1 b ie2 sh i4 ， ， ， q ie3 9 0 ， z e2 q i2 g an1 g ao1 uei4 .
C D E F ； s ai4 d ao4 d e0 h ou4 i1 b u4 f en4 sh i4 i3 O uei4 üan2 x in1 d e0 i1 d uan4 üan2 h u2 D E .
s uo3 i3 g ong4 iou3 6 6 3 6 （ zh ong3 ） j ie2 g uo3 ， q i2 zh ong1 d ian3 sh u4 x iang1 t ong2 d e0 sh u4 z u3 uei4 （ i ， j ） ( i j 1 ， 2 ， … ， 6 ) ， g ong4 iou3 6 zh ong3 j ie2 g uo3 ，
j ie3 ： in1 uei4 y ( m 2 m 1 ) x uei4 m i4 h an2 sh u4 ，
x üan3 x iang4 B d e0 c o s 2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 z u3 h e2 j i2 z u3 h e2 sh u4 g ong1 sh i4 』
（ 3 ） x ian1 q iou2 h an2 sh u4 d ing4 i4 ü4 ， j i2 x （ ， 1 ） （ 1 ， ） ，
j ie3 ： A x iang4 ： d uei4 d ing3 j iao3 x iang1 d eng3 d e0 n i4 m ing4 t i2 sh i4 ： x iang1 d eng3 d e0 j iao3 sh i4 d uei4 d ing3 j iao3 ， sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， j i2 A x iang4 m ei2 iou3 n i4 d ing4 l i3 ；
j ing1 g uo4 3 c i4 b ian4 h uan4 uei4 （ 2 0 ， 2 8 ， 3 6 ， 4 4 ， 5 2 ， … … ， n 1 2 ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 b u4 p ing2 x ing2 ， k e3 i3 『 g ong4 m ian4 』 ， ie3 k e3 i3 b u4 g ong4 m ian4 . 』
s uo3 i3 2 x y d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ ， ] .
g u4 h ang2 t ian1 q i4 d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ 8 7 5 5 ， 1 5 ， 8 0 ） .
（ 2 ） d ang1 a sh i2 ， q iou2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 ；
B ： üan2 zh u4 d e0 m u3 x ian4 ü3 zh ou2 p ing2 x ing2 ， g u4 c uo4 u4 ；
j ie3 ： c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 l ie4 q ian2 n x iang4 h e2 、 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 j i2 d i4 t uei1 sh i4 』
zh eng3 l i3 d e2 t 2 4 t 9 0 .
g u4 S d i3 a 2 ， S c e4 2 a a 2 a 2 ，
g ai3 b ian4 zh i1 h ou4 üan2 t ai2 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 uei4 n l ， sh ang4 d i3 b an4 j ing4 uei4 r ， x ia4 d i3 b an4 j ing4 uei4 R ， g u4 üan2 t ai2 d e0 c e4 m ian4 j i1 ( r R ) n l ( r R ) l .
l eng2 t ai2 d e0 c e4 l eng2 ian2 ch ang2 h ou4 b u4 i2 d ing4 j iao1 ü2 i4 d ian3 ；
j ie3 ： A . 2 x 3 3 x 2 6 x 5 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 1 0 0 sh i4 5 d e0 j i3 b ei4 ， iong4 『 ch u2 』 f a3 。 』
（ 1 ） iao1 q iou2 z uei4 h ou4 i1 b u4 s uan4 ch u2 f a3 ： ( 1 3 2 7 2 ) ( 8 4 1 6 ) 。
ch eng2 x i1 d ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
d ang1 m 0 sh i2 ， 1 0 ， m an3 z u2 t i2 i4 ；
（ 1 ） p an4 d uan4 A B C d e0 x ing2 zh uang4 ；
j i2 d ian3 d uei4 ing4 d e0 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 0 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 x ing2 g ong1 l i3 』
g u4 zh eng4 q üe4 ；
q i2 t a1 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 b iao1 zh u4 d e0 sh u4 z i4 sh i4 t a1 x ia4 m ian4 l iang3 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 b iao1 zh u4 d e0 sh u4 z i4 zh i1 h e2 ，
E A B d e0 m ian4 j i1 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 3 .
in1 uei4 | x 4 | | x 3 | | x 4 x 3 | 1 ， j i2 f ( x ) m a x 1 ，
j i4 s uan4 q i4 x ian3 sh i4 d e0 j ie2 g uo3 sh i4 2 . 6 4 5 7 1 3 … … ，
j ie2 l uen4 ： zh e4 l iang3 g e4 j iao3 x iang1 d eng3
g u4 üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | x h uo4 1 x 3 } .
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 d e0 f ang1 sh i4 ， k e3 iong4 x 、 y b iao3 sh i4 ch u1 x 、 y ， x 、 y d e0 zh i2 『 m an3 z u2 』 y c o s 2 x . 』
j ie3 ： i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 7 x 2 2 x 5 0 d e0 er4 c i4 x iang4 sh i4 7 x 2 ， er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 sh i4 7 ； i1 c i4 x iang4 sh i4 2 x ， i1 c i4 x iang4 x i4 sh u4 sh i4 2 ； ch ang2 sh u4 x iang4 sh i4 5 .
d ing1 d ing1 j ia1 d ao4 x üe2 x iao4 ： 6 4 0 1 6 8 0 2 3 2 0 （ m i3 ）
（ 5 ） f ei1 d ian3 x ing2 x ing4 f ei4 ian2 sh i4 z en3 iang4 ch uan2 b o1 d e0 ？
（ 4 ） b u2 sh i4 m ing4 t i2 ， in1 uei4 t a1 sh i4 i2 g e4 uen4 j ü4 ， b u4 n eng2 d uei4 i1 j ian4 sh i4 q ing2 z uo4 ch u1 p an4 d uan4 .
z ai4 p ing2 m ian4 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ s uei4 c an1 sh u4 ） . sh e4 P uei4 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 ， q iou2 d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
in1 uei4 z ai4 P M O zh ong1 M O P ， O M P 3 0 ， O P M 1 5 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 zh i2 x ian4 l sh ang4 l iang3 d ian3 M ， N d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 2 ， 0 ） ， （ ， ） ， üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
g uan1 ch a2 ， an4 g uei1 l ü4 x ie3 sh u4 ： 2 ， 5 ， 1 0 ， 1 7 ， ， .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
j ie3 ： iou2 d ian3 B ， P ， N g ong4 x ian4 ， d e2 m ( 1 m ) ，
i3 zh i1 A ， B sh i4 h an2 sh u4 y f ( x ) ， x [ a ， b ] t u2 x iang4 d e0 l iang3 g e4 d uan1 d ian3 ， M （ x ， y ） sh i4 f ( x ) sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， g uo4 M （ x ， y ） z uo4 M N x zh ou2 j iao1 zh i2 x ian4 A B ü3 N ， r uo4 b u4 d eng3 sh i4 | M N | k ， z e2 ch eng1 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 [ a ， b ] sh ang4 “ k j ie1 x ian4 x ing4 j in4 s i4 ” .
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 D 1 C x iang1 j iao1 ü2 『 D 1 C 』 . 』
2 . 6 l i2 m i3 （ ） f en1 m i3
d ian3 F z ai4 B A C d e0 p ing2 f en1 x ian4 sh ang4 ， j i2 A F p ing2 f en1 B A C .
h ua4 j ian3 d e2 2 1 2 c o s 1 1 0 .
d a2 an4 ： r uo4 a ， b zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 uei4 l ing2 ， z e2 a b uei4 l ing2 .
z e2 h an2 sh u4 y s i n 2 x s i n x 1 d e0 zh i2 ü4 uei4 [ ， 1 ] .
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， E 、 F f en1 b ie2 sh i4 l eng2 B C 、 C 1 D 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， q iou2 zh eng4 ： E F p ing2 m ian4 B D D 1 B 1 .
D . 8 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 4
zh eng4 f ang1 x ing2 g e4 sh u4 ü3 z ong3 m ian4 j i1 ： 1 3 6 1 8 2 1 2 3 9 4 3 6 ， j i1 i2 d ing4 ， ch eng2 f an3 b i3 l i4 ；
j i2 C d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） h uo4 （ ， ） .
（ 2 ） sh e4 P （ x 1 ， y 1 ） ， Q （ x 2 ， y 2 ） ， x ian4 d uan4 P Q d e0 zh ong1 d ian3 M （ x 0 ， y 0 ） .
d ang1 0 a 3 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 j i2 6 a 5 ， j i2 a 2 a 1 0 ， q iou2 d e2 a 3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 zh ou2 zh ong1 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 』
g u4 üan2 x in1 C （ ， 0 ） ， b an4 j ing4 r .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 x y 0 .
m ing4 t i2 “ r uo4 a ， b sh i4 u2 l i3 sh u4 ， z e2 a b sh i4 u2 l i3 sh u4 ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
g u4 c i3 sh i2 （ 1 ） d uei4 ， （ 2 ） b u2 d uei4 .
b u4 n eng2 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 ， g u4 q i2 b u2 sh i4 m ing4 t i2 .
j ie2 h e2 t i2 zh ong1 s i4 g e4 t u2 x ing2 ， k e3 zh i1 x üan3 C .
（ 2 ） d ang1 A B A sh i2 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 ；
c ong2 er2 B E M T ， j i2 R 2 B E 2 ，
E ü3 H f en1 b ie2 uei4 A B ü3 B C zh ong1 d ian3 ，
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ 2 ， 3 ） ，
（ 2 ） r uo4 q ü1 x ian4 C j ie2 zh i2 x ian4 l s uo3 d e0 x ian4 d uan4 d e0 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 2 ） ， q iou2 l d e0 x ie2 l ü4 .
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 j ün1 m ei3 x iao3 sh i2 f en3 sh ua1 q iang2 b i4 d e0 m ian4 j i1 f en3 sh ua1 q iang2 b i4 d e0 z ong3 m ian4 j i1 『 』 sh i2 j ian1 。 』
l iang3 üan2 b an4 j ing4 x iang1 d eng3 ，
j ie3 s an1 j iao3 x ing2
f ang1 ch eng2 x 2 2 x 4 0 d e0 p an4 b ie2 sh i4 d a4 ü2 h uo4 d eng3 ü2 0 ；
h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 s i n 1 .
g u4 m ian4 j i1 zh i1 b i3 sh i4 9 : 4 。
d ang1 A Q sh i2 ， iou3
r u2 g uo3 c ong2 b u4 b ao1 k uo4 d a4 、 x iao3 uang2 d e0 5 2 zh ang1 p u1 k e4 p ai2 zh ong1 s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 i1 zh ang1 ， n a4 m e0 q ü3 d ao4 h ong2 x in1 （ sh i4 j ian4 A ） d e0 g ai4 l ü4 sh i4 ， q ü3 d ao4 f ang1 p ian4 （ sh i4 j ian4 B ） d e0 g ai4 l ü4 sh i4 ， uen4 ：
d ang1 a b 0 sh i2 ， g ( x ) j i4 sh i4 j i1 h an2 sh u4 iou4 sh i4 ou3 h an2 sh u4 .
B 、 d ang1 A D 9 0 sh i2 ， A C ü3 E F b u2 sh i4 d uei4 ing4 b ian1 ， b u4 n eng2 p an4 d ing4 A B C h e2 D E F q üan2 d eng3 ；
i3 zh i1 x iang4 l iang4 ( ) ， | | 2 | | ， z e2 x iang4 l iang4 ü3 d e0 j ia1 j iao3 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
iou2 ， x iao1 q ü4 x d e2 y 2 2 p y 2 p b 0 （ ） .
（ 1 ） q iou2 p ing2 m ian4 P A B ü3 p ing2 m ian4 P C D s uo3 ch eng2 er4 m ian4 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 ；
sh i2 sh u4 | x | | y | 0 ， z e2 x ü3 y d e0 g uan1 x i4 sh i4 （ ）
( x ) t 2 2 m t 2 d uei4 s uo3 iou3 d e0 x [ 2 ， 2 ] j i2 m [ 1 ， 1 ] h eng2 ch eng2 l i4 ，
（ 1 ） r uo4 x R ， q iou2 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 d i4 z eng1 q ü1 j ian1 ；
g u4 d a2 an4 uei4 y x 5 （ 0 x 5 ） .
i3 zh i1 A B C . r uo4 x üan3 d ing4 d e0 t ou2 ing3 m ian4 ü3 A B C s uo3 z ai4 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 ， z e2 j ing1 g uo4 zh ong1 x in1 t ou2 ing3 h ou4 s uo3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 ü3 A B C d e0 g uan1 x i4 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ， t a1 d e0 f an3 h an2 sh u4 sh i4 f 1 ( x ) ， r uo4 a f ( 2 ) f 1 ( 2 ) ， b f ( 3 ) f 1 ( 3 ) ， z e2 x ia4 m ian4 j ie2 l uen4 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， uei4 i2 g e4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 A B C O ， t a1 z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， d ian3 B d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 2 ） ， z e2 z ai4 iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 ch u1 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 ， d ing3 d ian3 B d ao4 x zh ou2 d e0 j ü4 l i2 uei4 .
iou4 （ A ， B ） ü3 （ B ， A ） uei4 i1 z u3 “ h u4 ch i4 z i0 j i2 ” ，
g u4 üan2 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 2 .
j ie3 ： zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， zh uan3 h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 x 3 y 0 .
（ 1 ） üan2 zh u4 zh i3 iou3 i1 t iao2 g ao1 ， j i2 l ian2 j ie1 l iang3 g e4 d i3 m ian4 üan2 x in1 d e0 x ian4 d uan4 。 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 k ong1 j ian1 x iang4 l iang4 q iou2 zh i2 x ian4 j ian1 d e0 j ia1 j iao3 、 j ü4 l i2 』
j i2 d ian3 d uei4 ing4 d e0 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 0 ） ，
p ao1 zh i4 i1 m ei2 t ou2 z i3 ， sh i4 j ian4 A b iao3 sh i4 “ ch ao2 sh ang4 i2 m ian4 d e0 d ian3 sh u4 sh i4 j i1 sh u4 ” ， sh i4 j ian4 B b iao3 sh i4 “ ch ao2 sh ang4 i2 m ian4 d e0 d ian3 sh u4 b u4 ch ao1 g uo4 3 ” ， q iou2 P ( A B ) .
iou2 t i2 t u2 k e3 zh i1 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， B D B 1 D 1 ，
l iang3 üan2 uai4 q ie1 sh i2 ， C 1 C 2 r 1 r 2 2 | a | 3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 ü3 d uei4 l i4 sh i4 j ian4 g ai4 n ian4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b u4 g uei1 z e2 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
zh i2 x ian4 A B ü3 zh i2 x ian4 B 1 C d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 j iao3 h e2 ü3 ch a4 d e0 zh eng4 x ian2 g ong1 sh i4 』
sh e4 l iang3 g e4 x iang4 l iang4 （ 2 ， c o s 2 ） h e2 （ ， s i n ） ， q i2 zh ong1 ， m ， uei4 sh i2 sh u4 . r uo4 2 ， z e2 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 .
s uo3 i3 x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 6 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 .
d a4 üan2 zh uei1 d e0 g ao1 h 2 1 2 . 5 ，
（ 3 ） d uei4 ü2 [ 3 ， 4 ] sh ang4 d e0 m ei3 i2 g e4 x d e0 zh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) ( ) x b h eng2 ch eng2 l i4 ， z e2 f ( x ) ( ) x b z ai4 [ 3 ， 4 ] sh ang4 h eng2 ch eng2 l i4 .
j i2 h e2 A { x | y 2 x 1 ， x R } ， B { y | y x 2 9 ， x R } ， z e2 A B .
j ie2 l uen4 d e0 f ou3 d ing4 uei4 x ü3 y b u4 ch eng2 b i3 l i4 g uan1 x i4 .
d an4 d ang1 0 sh i2 ， d e2 x 2 0 ， z e2 x 0 h uo4 x 0 ， c i3 sh i2 b u4 n eng2 d e2 d ao4 x 0 .
j ie3 ： iou2 t u2 k e3 zh i1 d b 0 a c ，
A B C uei4 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 ， q ie3 b ian1 zh ang3 uei4 2 c m ， D uei4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
a ， c k e3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 ，
j ie3 ： A x üan3 x iang4 zh ong1 2 ， s uo3 i3 ü3 sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 ， g u4 c i3 x üan3 x iang4 zh eng4 q üe4 ；
E H p ing2 m ian4 B D E ， P A p ing2 m ian4 B D E ，
s uo3 i3 P A p ing2 m ian4 P B C ， P B p ing2 m ian4 P A C ， P C p ing2 m ian4 P A B ，
（ 2 ） A B C D ， C D 2 A B ， E sh i4 C D d e0 zh ong1 d ian3 ，
m ing4 t i2 s sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， zh eng4 q üe4 ；
z ai4 R t P A D zh ong1 ， P A 1 c m ， z e2 t a n P D A ，
（ 1 ） r uo4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ 2 ， 3 ） ， q iou2 sh i2 sh u4 k d e0 zh i2 ；
j ie3 ： g en1 j ü4 f en1 x i1 k e3 d e2 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i4 sh u4 ü3 h e2 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
r uo4 d ian3 A ， B z ai4 p ing2 m ian4 d e0 t ong2 c e4 ， r u2 t u2 ， g uo4 d ian3 A ， B j i2 A B d e0 zh ong1 d ian3 M f en1 b ie2 x iang4 p ing2 m ian4 z uo4 ch uei2 x ian4 ， ch uei2 z u2 f en1 b ie2 uei4 A 1 ， B 1 ， M 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r en4 i4 j iao3 d e0 s an1 j iao3 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 』
s uo3 i3 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 m [ 3 ， 1 ] .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 j i2 q iou2 f a3 』
g u4 d ang1 l i ( 2 i 1 ) sh i2 ， j i2 h e2 P l zh ong1 üan2 s u4 d e0 g e4 sh u4 uei4 1 3 … ( 2 i 1 ) i 2 ， ü2 sh i4 ， d ang1 l i ( 2 i 1 ) j （ 1 j 2 i 1 ） sh i2 ， j i2 h e2 P l zh ong1 üan2 s u4 d e0 g e4 sh u4 uei4 i 2 j .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， zh eng4 q üe4 m ing4 t i2 d e0 x ü4 h ao4 uei4 ： .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 』
A . j ia3 d e2 d i4 i4 m ing2 、 i3 d e2 d i4 er4 m ing2 、 b ing3 d e2 d i4 s an1 m ing2
B . b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
s uo3 i3 （ uei4 c an1 sh u4 ， R ） ，
（ 2 ） “ r uo4 x y ， z e2 x 2 y 2 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 ；
j ie3 ： 2 4 x b iao3 sh i4 2 4 d ai4 d a4 m i3 d e0 zh i4 l iang4 。 2 4 x 1 5 b iao3 sh i4 j i4 h ua4 m ei3 t ian1 ch i1 d e0 zh i4 l iang4 。 r u2 g uo3 x 1 0 ， z e2 2 4 x 1 5 2 4 1 0 1 5 1 6 。
i3 zh i1 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 2 ） ， r uo4 üan2 sh ang4 i4 d ian3 P d uei4 ing4 c an1 sh u4 ， z e2 P d ian3 d e0 z uo4 b iao1 sh i4 .
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
r u2 t u2 ， z ai4 p ing2 m ian4 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， A B B C ， A D C D ， B C D 6 0 ， C B C D 2 . r uo4 d ian3 M uei4 b ian1 B C sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 ， z e2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
D . c i3 u4 z uei4 x iang1 s i1
【 t i2 sh i4 】 『 k e3 i3 zh uan3 h ua4 uei4 ( 1 5 『 』 2 0 ) d e0 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 . 』
z ai4 R t A B E h e2 R t C D F zh ong1 ， A B C D ， A E C F ，
j ie3 ： b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ 1 ， 3 ） ，
n i4 m ing4 t i2 ： “ r uo4 m 2 1 0 0 ， z e2 m 1 0 ” ， k e3 zh i1 h ai2 iou3 m 1 0 ， g u4 n i4 m ing4 t i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 ；
i3 zh i1 2 . 2 : 2 5 . 5 : 5 ， q ing3 iong4 b i3 l i4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 j ian3 ian4 x ia4 m ian4 g e4 sh i4 sh i4 f ou3 ch eng2 l i4 。
ch u2 f a3 j ia1 f a3 ch eng2 f a3
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b c sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
d a2 an4 ： t i1 x ing2 .
D . zh i4 d uo1 iou3 i2 g e4 sh i2 sh u4 m ， sh i3 f ang1 ch eng2 x 2 m x 1 0 iou3 sh i2 g en1
x iao3 ch ong2 c ong2 m ou3 d ian3 0 ch u1 f a1 z ai4 i4 zh i2 x ian4 sh ang4 l ai2 h uei2 p a2 x ing2 ， j ia3 d ing4 x iang4 iou4 p a2 x ing2 d e0 l u4 ch eng2 j i4 uei4 zh eng4 sh u4 ， x iang4 z uo3 p a2 x ing2 d e0 l u4 ch eng2 j i4 uei4 f u4 sh u4 ， p a2 g uo4 d e0 g e4 d uan4 l u4 ch eng2 i1 c i4 uei4 （ d an1 uei4 ： l i2 m i3 ） ： 5 ， 3 ， 1 0 ， 8 ， 6 ， 1 2 ， 1 0
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 d ong1 h e2 b ei3 zh i1 j ian1 d e0 f ang1 x iang4 sh i4 『 d ong1 b ei3 』 f ang1 x iang4 ， z ai4 d ong1 h e2 n an2 zh i1 j ian1 d e0 f ang1 x iang4 sh i4 『 d ong1 n an2 』 f ang1 x iang4 。 』
z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 q ü1 x ian4 C b ian4 uei4 q ü1 x ian4 2 x 2 8 y 2 0 ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 j i1 d h ， b en3 t i2 zh ong1 d 『 0 . 8 』 c m ， h 1 . 2 c m 。 』
p sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， q sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 f ( x ) .
j ie3 ： iou2 i3 zh i1 d ian3 P （ 2 ， ） ， g uan1 ü2 j i2 d ian3 d uei4 ch en4 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） ， j i2 （ 2 ， ） ，
j i2 m ing4 t i2 p ： j i2 h e2 A { x | 0 x 3 } ， m ing4 t i2 q ： j i2 h e2 B { x | x } .
p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 p ing2 m ian4 B 1 C 1 C B .
i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 l iang3 g e4 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 zh ong1 d e0 i2 g e4 p ing2 x ing2 ， n a4 m e0 zh e4 t iao2 zh i2 x ian4 b i4 h e2 l ing4 i2 g e4 ie3 p ing2 x ing2 ；
r u2 t u2 ， x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 c uo4 u4 d e0 sh i4 （ ）
j i4 s uan4 （ n eng2 j ian3 s uan4 d e0 iao4 j ian3 s uan4 ）
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， i3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 ， b ing4 q ü3 x iang1 t ong2 d e0 ch ang2 d u4 d an1 uei4 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 .
（ 2 ） iou2 t i2 i4 g ( x ) x ，
a 2 2 c （ d ang1 c a sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ） ，
j ie3 ： f ang1 ch eng2 a x 2 2 x 1 0 （ a 0 ） iou3 i2 g e4 zh eng4 g en1 h e2 i2 g e4 f u4 g en1 ，
9 0 d e0 j iao3 d e0 zh i2 g uan1 t u2 b u4 i2 d ing4 h uei4 b ian4 uei4 4 5 d e0 j iao3 ， ie3 k e3 i3 uei4 1 3 5 ， g u4 x üan3 x iang4 B b u4 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： （ 1 ） d ing1 d ing1 j ia1 d ao4 d ong1 d ong1 j ia1 d e0 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 sh i4 1 . 6 l i2 m i3
i3 zh i1 p ： x 2 8 x 2 0 0 ， q ： x 2 2 x 1 m 2 0 （ m 0 ） . r uo4 p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 .
D uei4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， g u4 D （ 1 ， 2 ， 0 ） ，
s uo3 i3 V V b an4 q iou2 V üan2 zh uei1 r 3 ，
（ 2 ） iou2 t i2 i4 zh i1 ， d ian3 P d ao4 s an1 g e4 j ü1 m in2 q ü1 d e0 “ L l u4 j ing4 ” ch ang2 d u4 zh i1 h e2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 d ian3 P f en1 b ie2 d ao4 s an1 g e4 j ü1 m in2 q ü1 d e0 “ L l u4 j ing4 ” ch ang2 d u4 z uei4 x iao3 zh i2 zh i1 h e2 （ j i4 uei4 d ） d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 t iao2 p ing2 x ing2 x ian4 zh ong1 d e0 i1 t iao2 p ing2 x ing2 ü2 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 ， l ing4 i1 t iao2 ie3 p ing2 x ing2 ü2 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 sh u4 h e2 f u4 sh u4 』
j ie3 ： sh e4 d ian3 P d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ r ， ， ） .
l i3 p ing2 j ia1 ： b a4 b a4 3 ～ 4 x iao3 sh i2 ， m a1 m a1 1 x iao3 sh i2 i3 x ia4 。
iou2 x iao1 q ü4 t d e2 C 2 ： y 2 8 x ，
j ie3 ： g en1 j ü4 g ou1 g u3 d ing4 l i3 k e3 d e2 ： 5 2 1 2 2 x 2 ，
（ 1 ） zh eng4 m ing2 ： A B A C ， D uei4 B C zh ong1 d ian3 ，
（ 2 ） X d e0 k e3 n eng2 q ü3 zh i2 uei4 0 ， 1 ， 2 ， 3 .
iou2 m ， k e3 d e2 m h uo4 m ü3 x iang1 j iao1 h uo4 m ， g u4 c uo4 u4 ；
D . x 2 y 2 0 ， b u4 n eng2 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 ， g u4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh i2 、 f en1 、 m iao3 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
x ia4 l ie4 d ing4 l i3 iou3 n i4 d ing4 l i3 d e0 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
| M P | uei4 d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 x 1 d e0 j ü4 l i2 .
【 t i2 sh i4 】 『 iao4 zh eng4 m ing2 C D B E ， k e3 zh eng4 m ing2 C D ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 『 A B E 』 . 』
h an2 sh u4 y 2 x 2 1 ， x N d e0 t u2 x iang4 sh i4 t ong2 i1 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 ， zh eng4 q üe4 ；
， iou2 ü2 C C 1 z ai4 p ing2 m ian4 B B 1 C 1 C n ei4 ， er2 A E ü3 p ing2 m ian4 B B 1 C 1 C x iang1 j iao1 ü2 E d ian3 ， d ian3 E b u4 z ai4 C C 1 sh ang4 ， s uo3 i3 C C 1 ü3 A E sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ， g u4 B x iang4 c uo4 u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 m ing4 t i2 h e2 t a1 d e0 f ei1 m ing4 t i2 『 t ong2 』 zh en1 j ia3 . 』
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： d uei4 r en4 i4 x R ， d ou1 iou3 c o s x 1 ， z e2 m ing4 t i2 p d e0 f ou3 d ing4 uei4 （ ）
b i3 j iao4 x ia4 l ie4 g e4 z u3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 。
zh u4 z uo4 b iao1 x i4 ü3 q iou2 z uo4 b iao1 x i4
（ 2 ） r uo4 iao4 z ai4 A B O q ü1 ü4 n ei4 （ h an2 b ian1 j ie4 ） g uei1 h ua4 ch u1 i1 k uai4 üan2 x ing2 d e0 ch ang3 d i4 iong4 ü2 l ao3 n ian2 r en2 t iao4 g uang3 ch ang3 u3 ， sh i4 q iou2 zh e4 k uai4 üan2 x ing2 g uang3 ch ang3 d e0 z uei4 d a4 m ian4 j i1 . （ j ie2 g uo3 b ao3 l iou2 g en1 h ao4 h e2 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 f ang1 g en1 』
in1 uei4 B C 1 B 1 C ， A 1 B 1 B 1 C B 1 ， A 1 B 1 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D ， B 1 C p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D ，
d ian3 P d e0 h eng2 z uo4 b iao1 d e0 q ü3 zh i2 j i2 h e2 uei4 { ， 5 } .
h ua4 ch u1 t u2 x ing2 ， q i2 zh ong1 A B ü3 l p ing2 x ing2 ， l z ai4 n ei4 .
（ 2 ） r uo4 d ong4 d ian3 M z ai4 d i3 m ian4 s an1 j iao3 x ing2 A B C sh ang4 ， er4 m ian4 j iao3 M P A C d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 ， q iou2 B M d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
r uo4 f ( x ) z e2 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 z eng1 q ü1 j ian1 sh i4 ， d an1 d iao4 j ian3 q ü1 j ian1 sh i4 .
x h e2 x sh i4 f ang1 ch eng2 | a x 2 | 3 d e0 j ie3 ，
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 sh i4 （ ）
d ang1 k 0 sh i2 ， f ang1 ch eng2 iou3 j ie3 x b 2 1 ， ü3 t i2 i4 b u4 f u2 ，
（ 2 ） sh e4 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 X b iao3 sh i4 D t i2 b ei4 j ia3 、 i3 、 b ing3 x üan3 z uo4 d e0 c i4 sh u4 ， q iou2 X d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 h e2 sh u4 x üe2 q i1 uang4 E ( X ) .
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 x ian4 a b ， z e2 d e2 d ao4 a 『 』 b h uo4 zh i2 x ian4 a ， b i4 m ian4 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
s uo3 i3 i3 sh u4 ü3 j ia3 sh u4 d e0 b i3 sh i4 ： 1 : 4 : 5 。
0 . 5 m i3 0 . 6 m i3 1 . 1 m i3
l iang3 sh i4 x iang1 j ian3 d e2 a n 2 a n 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ü3 q ü1 x ian4 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
d a2 an4 ： 9 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ， 1 6 l i2 m i3 ； 1 0 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ， 1 8 l i2 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j üe2 d uei4 zh i2 b u4 d eng3 sh i4 』
A ， O ， C ， M s i4 d ian3 g ong4 m ian4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 l ing2 d ian3 s an1 er4 d e0 zh eng3 sh u4 b u4 f en4 sh i4 0 ， sh i2 f en1 uei4 h e2 b ai3 f en1 uei4 sh ang4 d e0 sh u4 i1 c i4 uei4 『 3 』 ， 2 。 』
g uo4 d ian3 A z uo4 A N C D ü2 d ian3 N ， r u2 sh ang4 t u2 s uo3 sh i4 ， i4 zh i1 M A N A M B 1 5 ，
i3 1 0 zh ou1 j i4 l u4 d e0 g e4 x ü1 q iou2 l iang4 d e0 p in2 l ü4 z uo4 uei2 g e4 x ü1 q iou2 l iang4 f a1 sh eng1 d e0 g ai4 l ü4 ， r uo4 sh ang1 ch ang3 zh ou1 ch u1 g ou4 j in4 2 0 t ai2 k ong1 t iao2 q i4 ， x b iao3 sh i4 d ang1 zh ou1 d e0 l i4 r uen4 （ d an1 uei4 ： üan2 ） ， q iou2 x d e0 f en1 b u4 l ie4 j i2 sh u4 x üe2 q i1 uang4
3 sh i2 9 sh i2 j ian1 2 4 sh i2 2 0 sh i2 1 2 sh i2 1 7 sh i2
1 A E D ( l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 , n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ) .
2 0 1 9 n ian2 “ sh i2 i1 ” h uang2 j in1 zh ou1 q i1 j ian1 （ 7 t ian1 ） ， b ei3 j ing1 sh i4 j ie1 d ai4 l ü3 iou2 z ong3 r en2 sh u4 uei4 9 2 0 . 7 uan4 r en2 c i4 ， l ü3 iou2 z ong3 sh ou1 r u4 1 1 1 . 7 i4 üan2 q i2 zh ong1 1 1 1 . 7 i4 iong4 k e1 x üe2 j i4 sh u4 f a3 b iao3 sh i4 uei4 （ ）
iong4 f an3 zh eng4 f a3 zh eng4 m ing2 “ l iang3 iao1 b u4 d eng3 d e0 t i1 x ing2 t ong2 i1 d i3 sh ang4 l iang3 j iao3 i1 d ing4 b u4 d eng3 ” d e0 d i4 i1 b u4 sh i4 （ ）
j ie3 ： d uei4 ü2 m ing4 t i2 p ： | x 1 | 2 ， j ie3 d e2 x 3 h uo4 x 1 .
iou2 zh i1 ， a 2 b 2 ， iou4 b 0 ， a 2 b b 3 ch eng2 l i4
B 、 b u4 n eng2 h ua4 j ian3 ；
l ian2 l i4 ， x iao1 q ü4 y d e2 ： 5 x 2 8 x 0 ，
s uo3 i3 n 2 uei4 uan2 q üan2 p ing2 f ang1 sh u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
（ 3 ） iou2 ü2 f ( x m ) 3 s i n [ ( x m ) ] 3 s i n ( x m ) uei4 ou3 h an2 sh u4 （ m 0 ） ，
d ang1 2 2 sh i2 ， ， d ang1 x 1 sh i2 ， y 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i2 z uo4 b iao1 x i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 』
in1 uei4 p ing2 x ing2 l iou4 m ian4 t i3 x iang1 d uei4 d e0 m ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， iou2 m ian4 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 d ing4 l i3 ， d e2 j ie2 m ian4 ü3 x iang1 d uei4 d e0 m ian4 d e0 j iao1 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， j i2 g ai1 j ie2 m ian4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 l iang3 z u3 d uei4 b ian1 f en1 b ie2 p ing2 x ing2 ，
j ie3 ： p ing2 b ai3 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） g uan1 ü2 zh i2 x ian4 y x d uei4 ch en4 d e0 q ü1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
j ie3 ： d ian3 （ 2 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， 1 ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 h an2 sh u4 f ( x ) s i n x d e0 d an1 d iao4 d i4 z eng1 q ü1 j ian1 sh i4 [ 『 』 2 k ， 『 』 2 k ] ， k Z . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
D . zh ou2 d uei4 ch en4 t u2 x ing2 d ou1 sh i4 zh ong1 x in1 d uei4 ch en4 t u2 x ing2
B . x 3 x 3 2 x 3 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
a ， b d e0 zh i2 f en1 b ie2 uei4 2 ， 4 .
in1 uei4 t u2 x ing2 i3 d e0 m ian4 j i1 zh an4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 m ian4 j i1 d e0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t ong2 j iao3 s an1 j iao3 h an2 sh u4 j ian1 d e0 j i1 b en3 g uan1 x i4 』
x ia4 l ie4 sh i2 sh u4 ： 1 . 7 3 2 ， ， 3 . 1 4 ， ， ， ， ， ， 0 . 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 … （ x iang1 l in2 l iang3 g e4 1 zh i1 j ian1 i1 c i4 d uo1 1 g e4 0 ） ， n ei3 x ie1 sh i4 u2 l i3 sh u4 ， n ei3 x ie1 sh i4 iou3 l i3 sh u4 ？
（ 1 ） r uo4 zh i2 x ian4 l g uo4 p ao1 u4 x ian4 C d e0 j iao1 d ian3 ， q iou2 p ao1 u4 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
T E . j ie2 m ian4 r u2 t u2 zh ong1 d e0 t u2 s e4 b u4 f en4 s uo3 sh i4 s uo3 sh i4 .
B . n ei4 c uo4 j iao3
iou2 iong3 ch i2 d e0 iong3 d ao4 zh ang3 3 0 m i3 ， x iao3 h uang2 z ai4 i1 t iao2 iong3 d ao4 n ei4 i3 j ing1 iou2 l e0 3 g e4 l ai2 h uei2 ， x iao3 h uang2 m ei3 iou2 6 m i3 x ü1 iao4 3 m iao3 zh ong1 。 x iao3 l i3 c ong2 iong3 d ao4 d e0 i1 d uan1 iou2 d ao4 l ing4 i1 d uan1 x ü1 iao4 1 7 m iao3 zh ong1 。
C . h ua4 j ian3 d e2 2
z e2 zh i2 x ian4 l ü3 zh i2 x ian4 m zh i1 j ian1 d e0 j ü4 l i2 uei4 d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 m sh i4 d ing4 i4 z ai4 q ü1 j ian1 [ 3 m ， m 2 m ] sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， z e2 f ( m ) .
h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 uei4 （ ， 6 ] .
1 2 5 8 8 d e0 j i4 s uan4 f ang1 f a3 c uo4 u4 d e0 sh i4 （ ） 。
【 t i2 sh i4 】 『 B C 1 ü3 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D zh ong1 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 d e0 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ， sh uo1 m ing2 B C 1 ü3 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D h u4 x iang1 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 P （ x ， y ） uei4 q ü1 x ian4 C sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 . in1 uei4 P S l ， ch uei2 z u2 uei4 S ， q ie3 zh i2 x ian4 l ： x 1 ， s uo3 i3 S （ 1 ， y ） . in1 uei4 T （ 3 ， 0 ） ， s uo3 i3 （ x ， y ） ， （ 4 ， y ） . in1 uei4 0 ，
s uo3 i3 t uo3 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 ，
j ie3 ： （ 1 ） j ie2 h e2 t u2 x ing2 ， k e3 d e2 p ao1 u4 x ian4 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 y zh ou2 ， q ie3 ü3 y zh ou2 j iao1 ü2 （ 0 ， 2 ） d ian3 ， z e2 k e3 sh e4 p ao1 u4 x ian4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 ： y a x 2 2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 m ian4 p ing2 m ian4 ， zh i2 x ian4 a p ing2 m ian4 ， sh uo1 m ing2 zh i2 x ian4 a ü3 p ing2 m ian4 『 p ing2 x ing2 』 . 』
D . sh uang1 q ü1 x ian4
iou2 s an1 sh i4 t u2 h uan2 üan2 sh i2 u4 t u2
zh ong1 ， a ü3 c h ai2 k e3 n eng2 x iang1 j iao1 h uo4 i4 m ian4 ， g u4 c uo4 .
c i3 b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 .
j ie3 ： sh e4 d ong4 d ian3 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ， z e2 M uei4 （ 0 ， ） .
d a2 an4 ： （ 1 ） 3 c m ； 5 c m ； （ 2 ） d i3 m ian4 zh i2 j ing4 sh i4 4 c m 、 g ao1 sh i4 3 c m ； （ 3 ） d i3 m ian4 zh i2 j ing4 sh i4 3 c m 、 g ao1 sh i4 4 c m 。
iou2 s an1 sh i4 t u2 k e3 zh i1 ， c ong2 zh eng4 m ian4 h e2 c e4 m ian4 k an4 d ou1 sh i4 t i1 x ing2 ， c ong2 sh ang4 m ian4 k an4 uei4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， b ing4 q ie3 k e3 i3 x iang3 x iang4 d ao4 l ian2 j ie1 x iang1 ing4 d ing3 d ian3 d e0 s i4 t iao2 x ian4 d uan4 j iou4 sh i4 j i3 h e2 t i3 d e0 s i4 t iao2 c e4 l eng2 ，
j ie3 ： m ing4 t i2 “ x 0 （ 0 ， ） ， l n x 0 x 0 1 ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 “ x （ 0 ， ） ， l n x x 1 ” .
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
n i4 m ing4 t i2 ： r uo4 i2 g e4 sh u4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 ， ie3 n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 ， z e2 t a1 n eng2 b ei4 6 zh eng3 ch u2 （ zh en1 m ing4 t i2 ） ；
j ie3 ： sh e4 x iao3 q iang2 m ai3 d e0 g u3 p iao4 A sh i2 m ai3 r u4 j ia4 g e2 uei4 a ，
E F uei4 B C D d e0 zh ong1 uei4 x ian4 ，
zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
B . x ing4 f u2 d e0 r en2 m en0 b u4 d ou1 iong1 iou3
j ie3 ： 3 . 1 4 ( ) 2 7 8 . 5 ( p ing2 f ang1 l i2 m i3 )
ch ou1 q ü3 d e0 6 r en2 zh ong1 d i4 3 、 4 、 5 z u3 g e4 iou3 3 、 2 、 1 r en2 ， sh e4 “ x üe2 sh eng1 j ia3 h e2 x üe2 sh eng1 i3 t ong2 sh i2 j in4 r u4 d i4 er4 l uen2 m ian4 sh i4 ” uei4 sh i4 j ian4 A ， d i4 s an1 z u3 ing1 iou3 3 r en2 j in4 r u4 m ian4 sh i4 ，
iou4 2 0 0 0 3 1 ( 2 3 1 1 ) 4 7 ， g u4 j i2 h e2 P 2 0 0 0 zh ong1 üan2 s u4 d e0 g e4 sh u4 uei4 3 1 2 4 7 1 0 0 8 .
j ie3 ： d i4 i1 c i4 j ie2 q ü4 i2 b an4 h ou4 sh eng4 x ia4 l e0 3 . 2 3 . 2 m ；
C . d ang1 B C ， B A D A C D sh i2 ， b u4 n eng2 zh eng4 m ing2 A B D A C D ， g u4 c uo4 u4 ；
l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4
（ 2 ） sh e4 zh i2 x ian4 l z ai4 b ian4 h uan4 M z uo4 iong4 x ia4 d e2 d ao4 l e0 zh i2 x ian4 m ： x y 4 . q iou2 zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) c o s 2 x 2 s i n x c o s x s i n 2 x ， x R .
i3 zh i1 f ( x ) sh i4 d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) x 2 x .
iong4 sh u4 sh i4 j i4 s uan4 ， b ing4 ian4 s uan4 。
d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 x 2 y 2 1 ， d e2 ( 2 x ) 2 ( 2 x y ) 2 1 ，
g u4 t a1 n eng2 z uo4 uei2 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 b ian1 zh ang3 .
zh u4 z uo4 b iao1 x i4 ü3 q iou2 z uo4 b iao1 x i4
b a3 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 b u4 f en4 m ian4 zh an3 k ai1 ， iou3 s an1 zh ong3 q ing2 x ing2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
iou4 a d b c ， l iang3 sh i4 x iang1 j ia1 d e2 ： a c .
h ua4 uei4 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 6 ，
j ie3 ： ： d ang1 1 sh i2 ，
S A B O S s i4 b ian1 x ing2 D E O F . （ zh eng4 q üe4 ）
j i2 b d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ， ） .
s uo3 i3 A C p ing2 m ian4 B D D 1 B 1 .
iou2 k e1 x i1 b u4 d eng3 sh i4 ， d e2 ( x 2 y 2 z 2 ) ( 1 2 2 2 2 2 ) ( x 2 y 2 z ) 2 .
j ie3 ： j ie2 h e2 y s i n x d e0 t u2 x iang4 k e3 zh i1 y s i n x z ai4 [ ， ] d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
j ie3 ： （ 1 ） i1 t i2 i4 d e2 ： y ，
g en1 j ü4 s i n 2 c o s 2 1 k e3 d e2 x 2 ( y 1 ) 2 1 ，
q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ zh i3 t ian2 x ü4 h ao4 j i2 k e3 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 m ei3 l iang3 ch ang3 d ian4 ing3 zh i1 j ian1 j ian4 g e2 d e0 z ong3 sh i2 j ian1 f ang4 ing4 sh i2 j ian1 『 』 1 x iao3 sh i2 。 』
x iou1 l u4 d uei4 iao4 x iou1 4 0 0 m i3 l u4 m ian4 ， t a1 m en0 m ei3 t ian1 x iou1 l u4 2 0 m i3 i3 sh ang4 。
j ie3 ： g en1 j ü4 t iao2 j ian4 k e3 zh i1 üan2 d e0 b an4 j ing4 sh i4 1 ，
x y 0 ， z e2 x 0 h uo4 y 0 ， | x | | y | b u4 i2 d ing4 d eng3 ü2 0 ， in1 c i3 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ；
i3 zh i1 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 { a n } d e0 q ian2 s an1 x iang4 i1 c i4 uei4 a 1 ， a 1 ， a 4 ， z e2 sh u4 l ie4 { a n } d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 a n .
l i4 iong4 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 k e3 d e2 ： .
j ie3 ： üan2 ： （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
s uo3 i3 zh e4 l iang3 g e4 d an1 x iang4 sh i4 sh i4 t ong2 l ei4 x iang4 ，
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 x 0 ， y 0 ， z 0 ，
r u2 t u2 ， s i4 l eng2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， d ing3 d ian3 z ai4 d i3 m ian4 sh ang4 d e0 sh e4 ing3 sh i4 d i3 m ian4 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ong1 x in1 ， sh i4 h ua4 ch u1 q i2 s an1 sh i4 t u2 .
x 4 ， y 1 2 sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ，
t uo3 üan2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 1 ，
sh e4 r en4 i4 x üan3 q ü3 3 r en2 ch ao1 s u4 z ai4 （ 2 0 ， 8 0 ） n ei4 d e0 r en2 sh u4 j i4 uei4 ， z e2 2 h uo4 3 ，
j ie3 ： A . 2 sh i4 zh eng4 sh u4 ， 3 sh i4 f u4 sh u4 ， l iang3 sh u4 b u4 h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ， z e2 üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
sh e4 uei4 t 1 ， t 2 ， z e2 t 1 t 2 0 ，
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 ：
z ai4 g en1 j ü4 zh i2 x ian4 j ing1 g uo4 d ing4 d ian3 （ 3 ， 4 ） ， g u4 zh i2 x ian4 d e0 x ie2 l ü4 k .
z e2 i3 A B uei4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 d e0 üan2 zh uei1 r ong2 j i1 uei4 V üan2 zh uei1 A C 2 P C ( r ) 2 3 r 3 r 3 .
D . j iang1 （ ， ） d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 ， d e2 ， c i3 f ang1 ch eng2 u2 j ie3 ， b u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 s an1 sh i4 t u2 k e3 zh i1 ， zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 sh i4 sh ang4 d i3 b ian1 zh ang3 uei4 3 ， x ia4 d i3 b ian1 zh ang3 uei4 5 ， g ao1 uei4 3 d e0 zh eng4 s i4 l eng2 t ai2 ， zh i2 g uan1 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
i3 b ing3 j ia3
A ， B j ün1 uei4 f ei1 k ong4 z i0 j i2 d e0 zh ong3 sh u4 uei4 3 n 2 n 1 1 ，
P D ü3 p ing2 m ian4 A B C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 P D A 4 5 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d ing4 i4 j i2 q i2 f en1 l ei4 』
j ie3 ： （ 1 ） 1 0 4 5 1 2 . 5 （ x iao3 sh i2 ）
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A [ ] ， X [ ] ， q ie3 A X [ ] ， q i2 zh ong1 x ， y .
【 t i2 sh i4 】 『 sh u4 zh ou2 sh ang4 iou4 b ian1 d e0 d ian3 b iao3 sh i4 d e0 sh u4 b i3 z uo3 b ian1 d e0 d ian3 b iao3 sh i4 d e0 sh u4 『 d a4 』 。 』
（ 2 ） x iao3 zh ang1 j ia1 zh e4 g e4 üe4 iong4 d ian4 9 5 d u4 ， j ing1 c e4 s uan4 b i3 h uan4 b iao3 q ian2 sh i3 iong4 9 5 d u4 d ian4 j ie2 sh eng3 l e0 5 . 9 üan2 ， uen4 x iao3 zh ang1 j ia1 zh e4 g e4 üe4 sh i3 iong4 “ f eng1 sh i2 d ian4 ” h e2 “ g u3 sh i2 d ian4 ” f en1 b ie2 sh i4 d uo1 sh ao3 d u4 ？
B B 1 D j iou4 sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 A A 1 ü3 B 1 D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 .
b a3 i2 g e4 üan2 zh u4 x ing2 m u4 k uai4 q ie4 ch eng2 s i4 k uai4 （ r u2 t u2 1 ） ， b iao3 m ian4 j i1 z eng1 j ia1 4 8 c m 2 ； q ie4 ch eng2 3 k uai4 （ r u2 t u2 2 ） ， b iao3 m ian4 j i1 z eng1 j ia1 5 0 . 2 4 c m 2 ； x üe1 ch eng2 i2 g e4 z uei4 d a4 d e0 üan2 zh uei1 （ r u2 t u2 3 ） ， üan2 zh uei1 t i3 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 l i4 f ang1 l i2 m i3 ？
（ 2 ） iou2 t i2 i4 ， üan2 x ing2 g uang3 ch ang3 n ei4 q ie4 ü2 A B O sh i2 ， zh e4 k uai4 üan2 x ing2 g uang3 ch ang3 d e0 m ian4 j i1 z uei4 d a4 .
f ang1 ch eng2 3 d e0 j ie3 sh i4 .
r uo4 q ü1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ t sh i4 c an1 sh u4 ， t 0 ） ， z e2 t a1 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
iou4 er4 m ian4 j iao3 C B 1 A B d e0 p ing2 m ian4 j iao3 uei4 r uei4 j iao3 ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) 2 x 3 ， x { x N | 1 x 5 } ， z e2 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 uei4 .
g en1 j ü4 y s i n t z ai4 t a sh ang4 d e0 t u2 x iang4 k e3 zh i1 ：
j ie3 ： d ang1 x 0 sh i2 ， t ， er2 y 1 2 t ， j i2 y ， d e2 ü3 y zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 uei4 （ 0 ， ） ；
r uo4 p j ia3 q zh en1 ， z e2 ， j ie3 k e3 d e2 1 m 2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
Q F d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 t ( x ) ，
er4 m ian4 j iao3 M P A C d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 ，
k ai1 f ang1 ， k e3 d e2 üan2 sh i4 5 6 ，
【 t i2 sh i4 】 『 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 { a n } d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 sh i4 a n a 1 ( n 1 ) d ， a 2 zh ong1 n 『 2 』 . 』
r u2 t u2 ， E ， F ， G ， H i1 c i4 sh i4 k ong1 j ian1 s i4 b ian1 x ing2 A B C D b ian1 A B ， B C ， C D ， D A sh ang4 ch u2 d uan1 d ian3 uai4 d e0 d ian3 ， q ie3 ， ， z e2 zh i2 x ian4 E H h e2 F G d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
j ie3 ： A zh ong1 ， iou2 ü2 h an2 sh u4 y c o s x d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 1 ， iou4 1 2 ， s uo3 i3 A sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
j ie3 ： （ 1 ） zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2
iou2 2 x 2 1 1 9 ， j ie3 d e2 ： x 3 .
zh e4 d uan4 j ü4 l i2 j iao4 z uo4 sh a1 ch e1 j ü4 l i2 . z ai4 m ou3 zh ong3 l u4 m ian4 sh ang4 ，
（ 2 ） j ie3 ： n 2 ， z e2 j ia3 h uo4 sh eng4 d e0 g ai4 l ü4 P p 3 p C p 2 ( 1 p ) p C p 2 ( 1 p ) 2 p 3 ( 6 p 2 1 5 p 1 0 ) .
m ian4 j i1 x iang1 t ong2 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh ang3 ü3 k uan1 d e0 ch a4 üe4 d a4 ， zh ou1 ch ang2 üe4 zh ang3 。
j ie3 ： z uo4 ch u1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
m ing4 t i2 “ r uo4 a 2 b 1 ， z e2 a 2 4 b 2 2 a 1 0 ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， iou2 üan2 m ing4 t i2 ü3 n i4 f ou3 m ing4 t i2 j ü4 iou3 x iang1 t ong2 d e0 zh en1 j ia3 x ing4 k e3 zh i1 ， r uo4 a 2 4 b 2 2 a 1 0 ， z e2 a 2 b 1 ch eng2 l i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 f ang1 g en1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
z ai4 A B E ü3 C D F zh ong1 ，
iou3 i1 k uai4 i3 d ian3 O uei4 üan2 x in1 ， b an4 j ing4 uei4 2 b ai3 m i3 d e0 üan2 x ing2 c ao3 p ing2 ， c ao3 p ing2 n ei4 j ü4 l i2 O d ian3 b ai3 m i3 d e0 D d ian3 iou3 i1 iong4 ü2 g uan4 g ai4 d e0 sh uei3 l ong2 t ou2 ， x ian4 zh uen3 b ei4 g uo4 d ian3 D x iou1 i1 t iao2 b i3 zh i2 x iao3 l u4 j iao1 c ao3 p ing2 üan2 zh ou1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， uei4 l e0 f ang1 b ian4 j ü1 m in2 s an4 b u4 ， t ong2 sh i2 x iou1 j ian4 x iao3 l u4 O A ， O B ， q i2 zh ong1 x iao3 l u4 d e0 k uan1 d u4 h u1 l üe4 b u4 j i4 .
i3 zh i1 i2 g e4 d an1 x iang4 sh i4 d e0 x i4 sh u4 sh i4 2 ， c i4 sh u4 sh i4 3 ， z e2 zh e4 g e4 d an1 x iang4 sh i4 k e3 i3 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
j ie3 ： （ 1 ） 2 3 . 6 j ing1 q üe4 d ao4 sh i2 f en1 uei4 ；
r u2 t u2 ， zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 l eng2 zh ang3 uei4 1 ， E ， F f en1 b ie2 uei4 x ian4 d uan4 A A 1 ， B 1 C sh ang4 d e0 d ian3 ， z e2 s an1 l eng2 zh uei1 D 1 E D F d e0 t i3 j i1 uei4 .
（ 2 ） b u4 h e2 g e2 d e0 zh i2 j ing4 zh ang3 ü3 b iao1 zh uen3 ch a4 d e0 ch a4 l uo4 z ai4 q ü1 j ian1 （ 1 ， 3 ] n ei4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 0 . 5 0 . 2 0 . 7 .
er4 c i4 h an2 sh u4 y a 2 x 2 b x c （ a 0 ） d e0 t u2 x iang4 d e0 d ing3 d ian3 uei4 P （ m ， k ） q ie3 iou3 i4 d ian3 Q （ k ， m ） ie3 z ai4 g ai1 h an2 sh u4 t u2 x iang4 sh ang4 ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 i2 d ing4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， s an1 j iao3 x ing2 b ei4 zh e1 zh u4 d e0 l iang3 g e4 j iao3 b u4 k e3 n eng2 sh i4 （ ）
j ie3 ： x 2 y sh i4 3 c i4 d an1 x iang4 sh i4 .
ch e1 l uen2 d e0 zh ou1 ch ang2 i2 d ing4 ， x ing2 sh i3 d e0 l u4 ch eng2 h e2 ch e1 l uen2 d e0 zh uan3 sh u4
g u4 t a1 d e0 c e4 m ian4 j i1 uei4 üan2 l ai2 d e0 1 b ei4 .
5 m i3 0 . 8 m i3 5 . 8 m i3 ， 6 0 f en1 m i3 6 m i3 ， 5 . 8 m i3 6 m i3 ，
d ang1 m 1 sh i2 ， zh i2 x ian4 A B d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 ( x 1 ) ，
4 3 0 0 0 l i2 m i3 4 3 0 m i3
j iang1 q ü1 x ian4 y s i n 2 x an4 zh ao4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 d e2 d ao4 d e0 q ü1 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 1 2 . 5 6 c m 2 d e0 d an1 uei4 h uan4 s uan4 uei4 d m 2 sh i2 ， iao4 『 ch u2 i3 』 j in4 l ü4 ， j in4 l ü4 sh i4 『 1 0 0 』 。 』
d ang1 0 ， j i2 a 3 sh i2 ， B A { 1 ， 2 } c ai2 n eng2 m an3 z u2 iao1 q iou2 ，
üan2 zh u4 x ing2 l ing2 j ian4 d e0 g ao1 ： 6 3 2 （ d m ）
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 M N ， j iou4 sh i4 q iou2 M ü3 『 N 』 d e0 g ong1 g ong4 j ie3 j i2 . 』
j ie3 ： （ 1 ） iou2 d ian3 M 、 N d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 sh i4 （ 2 ， 0 ） ， （ ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 f u3 sh i4 t u2 j i3 h e2 t i3 d e0 d i3 m ian4 sh i4 『 s i4 』 b ian1 x ing2 ， iou2 q i2 ü2 sh i4 t u2 ， j i3 h e2 t i3 d e0 c e4 m ian4 sh i4 『 s an1 j iao3 』 x ing2 . 』
0 ， sh e4 t 1 ， t 2 sh i4 f ang1 ch eng2 d e0 l iang3 g e4 g en1 ，
i1 uei4 uang3 m in2 z ai4 uang3 sh ang4 g uang1 g u4 m ou3 uang3 d ian4 ， j ing1 g uo4 i1 f an1 l iou2 l an3 h ou4 ， d uei4 g ai1 d ian4 p u4 zh ong1 d e0 A ， B ， C s an1 zh ong3 sh ang1 p in3 iou3 g ou4 m ai3 i4 x iang4 . i3 zh i1 g ai1 uang3 m in2 g ou4 m ai3 A zh ong3 sh ang1 p in3 d e0 g ai4 l ü4 j ün1 uei4 ， g ou4 m ai3 B zh ong3 sh ang1 p in3 d e0 g ai4 l ü4 j ün1 uei4 ， g ou4 m ai3 C zh ong3 sh ang1 p in3 d e0 g ai4 l ü4 uei4 . j ia3 sh e4 g ai1 uang3 m in2 g ou4 m ai3 zh e4 s an1 zh ong3 sh ang1 p in3 sh i4 x iang1 h u4 d u2 l i4
（ 2 ） zh eng4 f ang1 x ing2 g e4 sh u4 ü3 b ian1 zh ang3 ch eng2 j i1 uei4 6 ， d ing4 zh i2 ， ch eng2 f an3 b i3 l i4 ；
s uo3 i3 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 uei4 [ 3 ， 1 ] .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） . i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s .
C . sh i4 er4 c i4 d an1 x iang4 sh i4
p ing2 m ian4 A D C 1 B 1 p ing2 m ian4 A 1 B E .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 d e0 g ai4 n ian4 j i2 x iang4 l iang4 d e0 j i3 h e2 b iao3 sh i4 』
r uo4 j iang1 h an2 sh u4 f ( x 3 ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 5 ， 2 ] g ai3 uei2 d ing4 i4 ü4 uei4 [ a ， a 2 ] ， q iou2 h an2 sh u4 y d e0 d ing4 i4 ü4 .
l ian2 j ie1 C C ， z e2 A C C 6 7 . 5 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 z i4 m u3 sh i4 z i0 q iou2 zh i2 』
q ü1 x ian4 C sh i4 i3 （ ， 3 ） uei4 üan2 x in1 ， b an4 j ing4 uei4 d e0 üan2 .
x ia4 l ie4 j i4 s uan4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 g ai3 x ie3 h e2 sh eng3 l üe4 uei3 sh u4 』
j ie3 ： er4 c i4 h an2 sh u4 y x 2 4 x 1 ( x 2 ) 2 5 ，
k s i n 2 B s i n A s i n C 1 9 s i n B s i n C ， iou2 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 k e3 d e2 k b 2 a c 1 9 b c ，
üan2 x in1 z ai4 （ 1 , 0 ） q ie3 g uo4 j i2 d ian3 d e0 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
zh uan3 h ua4 ch eng2 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： 4 c o s ，
m ing4 t i2 “ r uo4 f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 ， z e2 f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 0 ， 2 k （ k Z ） sh ang4 d e0 d ian3 z ai4 t ong2 i1 t iao2 『 sh e4 x ian4 』 sh ang4 . 』
üan2 C 2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ sh i4 c an1 sh u4 ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 a 2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q ie3 m ing4 t i2 』
p ing2 m ian4 A B C p ing2 m ian4 B D E ；
j ie3 ： g en1 j ü4 s i n ( B A ) s i n B c o s A c o s B s i n A ，
【 t i2 sh i4 】 『 3 5 ， d an4 3 | 5 | ， j i2 iou2 “ a b ” b u4 n eng2 t uei1 ch u1 “ a | b | ” ， 『 ch ong1 f en4 』 x ing4 b u4 ch eng2 l i4 . 』
d ang1 a 0 sh i2 ， ( x ) d e0 t u2 x iang4 r u2 t u2 2 s uo3 sh i4 ， c i3 sh i2 ， ing1 iou3 b 0 ，
j ie3 ： iou2 z uo4 b iao1 b ian4 h uan4 g ong1 sh i4 ， k e3 d e2 r 2 .
（ 2 ） iou2 t i2 sh e4 ， b i4 x ü1 zh eng3 g ai3 d e0 m ei2 k uang4 sh u4 f u2 c ong2 er4 x iang4 f en1 b u4 B （ 5 ， 0 . 5 ）
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 zh i2 x ian4 l ： y k x b ， （ k 0 ， b 0 ） ， A （ x 1 ， y 1 ） ， B （ x 2 ， y 2 ） ， M （ x M ， y M ） .
g u4 k e3 sh e4 t 1 ， t 2 sh i4 sh ang4 sh u4 f ang1 ch eng2 d e0 l iang3 g e4 sh i2 sh u4 g en1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 n ian2 r uen4 n ian2 d e0 p an4 d uan4 f ang1 f a3 』
D . i2 g e4 sh i2 sh u4
j ie3 ： in1 uei4 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 j ia1 j ian3 f a3 』
sh e4 n 2 ， n N * ， iou3 x ü4 sh u4 z u3 （ a 1 ， a 2 ， … ， a n ） j ing1 m c i4 b ian4 h uan4 h ou4 d e2 d ao4 sh u4 z u3 （ b m ， 1 ， b m ， 2 ， … ， b m ， n ） ， q i2 zh ong1 b 1 ， i a i a i 1 ， b m ， i b m 1 ， i b m 1 ， i 1 （ i 1 ， 2 ， … ， n ） ， a n 1 a 1 ， b m 1 ， n 1 b m 1 ， 1 （ m 2 ） .
j ie3 ： （ 1 ） m ei3 j ia1 m ei2 k uang4 b i4 x ü1 zh eng3 g ai3 d e0 g ai4 l ü4 sh i4 1 0 . 5 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d e0 j ian3 f a3 』
d uei4 ü2 C ， C A B C zh i3 n eng2 p an4 d uan4 ch u1 A B A C ， b u4 n eng2 p an4 d uan4 ch u1 E B A C ， g u4 C x üan3 x iang4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ;
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d e0 j ia1 j ian3 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
ü2 sh i4 iou3 ，
d e2 g ong1 g ong4 x ian2 d e0 f ang1 ch eng2 ： 2 a x c o s 2 a y s i n a 2 ， j i2 x c o s y s i n 0 ，
p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4
（ 1 ） f en1 b ie2 q iou2 l iang3 zh ong3 ch ou1 q ü3 f ang1 sh i4 x ia4 d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 ；
s uo3 i3 g uo4 O 、 A 、 B s an1 d ian3 d e0 üan2 d e0 üan2 x in1 uei4 （ 1 ， 1 ） ， b an4 j ing4 uei4 ，
l ing4 i1 b ian1 z u2 g ou4 zh ang3 . x ian4 c ong2 zh ong1 j ie2 q ü3 j ü3 x ing2 A B C D （ r u2 t u2 j ia3 s uo3 sh i4 ） ，
j ie3 ： iou2 ü2 z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 ， x O y 4 5 ， z e2 A B C 4 5 ，
X a Y 2 a ( 4 Y ) a ( 8 Y ) ， d ang1 Y 0 ， 1 ， 2 ， 3 sh i2 ， d uei4 ing4 X 8 a ， 7 a ， 6 a ， 5 a .
d ang1 x 1 sh i2 ， f ( x ) x a z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 ， z e2 iou3 a 0 ，
d an4 d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) | f ( x ) | x x 2 x 0 ，
sh e4 a 0 ， | x 1 | ， | y 2 | ， q iou2 zh eng4 ： | 2 x y 4 | a .
g u4 üan2 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 y 0 ，
j ie3 ： sh e4 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y x （ x 0 ） ，
d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 f ( x ) ， d uei4 ü2 x R ， d ou1 iou3 f ( x ) f ( x ) ， q ie3 m an3 z u2 f ( 4 ) 2 ， f ( 2 ) m ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 k e3 i3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 .
l iang3 üan2 üan2 x in1 f en1 b ie2 uei4 C 1 ( 1 ， 0 ) ， C 2 ( 0 ， ) ，
ch ang2 f ang1 t i3 d e0 g ao1 uei4 2 （ c m ） ，
iou2 t i2 i4 k e3 d e2 .
d a2 ： t i2 s u4 h ou4 x ing2 sh i3 uan2 q üan2 ch eng2 x ü1 iao4 1 2 . 5 x iao3 sh i2 。
i3 zh i1 s i n ( ) c o s ( ) （ ） ， q iou2 x ia4 l ie4 g e4 sh i4 d e0 zh i2 .
d ang1 x 2 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 h ua4 uei4 ( x 2 ) x ( x 2 ) 2 ， j i2 x 2 3 x 0 ，
s uo3 i3 1 ， j ie3 d e2 m h uo4 m .
iou2 2 k e3 d e2 2 ( ) ，
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， O d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， g uo4 d ian3 （ 0 ， ） q ie3 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 d e0 zh i2 x ian4 l ü3 O j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
r u2 t u2 ， z ai4 O C M zh ong1 ， | O C | 3 ， | O M | ， | C M | 1 ， C O M | | ，
b a3 f ang1 ch eng2 y s i n x b ian4 uei4 y s i n 4 x d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 g ong1 sh i4 uei4
j ie3 ： iou2 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 x 2 2 a x 4 0 d uei4 i1 q ie4 x R h eng2 ch eng2 l i4 k e3 d e2 4 a 2 1 6 0 ，
（ 1 ） q ing3 x ie3 ch u1 s uo3 iou3 d e0 j i1 b en3 sh i4 j ian4 .
j ie3 ： f ang1 ch eng2 u2 sh i2 sh u4 g en1 sh i2 ， ing1 m an3 z u2 a 2 4 0 ， g u4 d ang1 a 0 sh i2 f u2 h e2 t iao2 j ian4 .
sh e4 x ， y ， z j ün1 uei4 zh eng4 sh i2 sh u4 ， q ie3 x y z 1 ， q iou2 zh eng4 ： x y y z z x .
j i2 2 s i n ( 1 ) ， g u4 2 s i n ( 1 ) uei4 s uo3 q iou2 üan2 D d e0 f ang1 ch eng2 .
j ie3 d e2 c （ f u4 zh i2 sh e3 q ü4 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 A C ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 B 1 C 1 C B n ei4 d e0 l iang3 t iao2 『 x iang1 j iao1 』 zh i2 x ian4 B C ， B 1 M . 』
j ie3 ： l ing4 2 x 2 1 5 ， j ie3 d e2 x ；
i3 zh i1 a 、 b sh i4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 r en4 i4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 .
d ian3 Q d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 ( uei4 c an1 sh u4 ) .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 zh i1 üan2 C j ing1 g uo4 d ian3 P （ ， ） ， üan2 x in1 uei4 zh i2 x ian4 s i n ( ) ü3 j i2 zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 ， q iou2 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
d ang1 a 0 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 a x b （ b 0 ） d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ ， ） .
zh u4 i4 d ao4 d ong4 zh i2 x ian4 x m y 0 h e2 d ong4 zh i2 x ian4 m x y m 3 0 sh i3 zh ong1 ch uei2 zh i2 ， P iou4 sh i4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 j iao1 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 d ing4 i4 j i2 q i2 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 』
（ 4 ） i3 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 i1 t iao2 zh i2 j iao3 b ian1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 k e3 i3 d e2 d ao4 i2 g e4 üan2 zh uei1 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 。
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， zh i2 x ian4 l ü3 p ao1 u4 x ian4 y 2 4 x x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
i4 zh eng4 M N P Q ， g en1 j ü4 g ong1 l i3 2 d e0 t uei1 l uen4 3 k e3 zh i1 l iang3 t iao2 p ing2 x ing2 zh i2 x ian4 k e3 i3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 ， g u4 t u2 x ing2 zh eng4 q üe4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t i3 j i1 、 r ong2 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t i3 j i1 、 r ong2 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
zh eng4 m ing2 ： D C A E C B ， D C A A C E B C E A C E ， D C E A C B ， z ai4 D C E h e2 A C B zh ong1 ， D C A C ， D C E A C B ， C E C B ， D C E A C B ， D E A B .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 er4 x iang4 sh i4 d ing4 l i3 k e3 d e2 a k ( 1 ) k ，
j ie3 b u4 d eng3 sh i4 z u3 k e3 d e2 x ；
（ 2 ） g uo4 d ian3 Q （ 1 ， 1 ） z uo4 zh i2 x ian4 j iao1 p ao1 u4 x ian4 C ü2 b u4 t ong2 ü2 R d e0 l iang3 d ian3 A ， B . r uo4 zh i2 x ian4 A R ， B R f en1 b ie2 j iao1 zh i2 x ian4 l ： y 2 x 2 ü2 M ， N l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 M N z uei4 x iao3 sh i2 zh i2 x ian4 A B d e0 f ang1 ch eng2 .
A . zh i2 x ian4 d uei4 ch en4
g u4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4
（ 1 ） q iou2 sh i2 sh u4 a ， b d e0 zh i2 ；
（ 1 ） n an2 sh eng1 x i3 h uan1 （ t i3 ü4 j ie2 m u4 ） d e0 r en2 sh u4 z uei4 d uo1 ， n ü3 sh eng1 x i3 h uan1 （ d ian4 sh i4 j ü4 ） d e0 r en2 sh u4 z uei4 d uo1 。
C . ( ) 2 ， f u2 h e2 t i2 i4 .
B . ch uen1 l ai2 f a1 j i3 zh i1
（ 2 ） r uo4 A C C B a c m ， q i2 t a1 t iao2 j ian4 b u4 b ian4 ， n i3 n eng2 q iou2 ch u1 x ian4 d uan4 M N d e0 ch ang2 d u4 m a0 ？ q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 . q ing3 iong4 i1 j ü4 j ian3 j ie2 d e0 h ua4 m iao2 sh u4 n i3 f a1 x ian4 d e0 j ie2 l uen4 .
i1 t ian1 z ao3 ch en2 d e0 q i4 uen1 sh i4 7 ， zh ong1 u3 iou4 sh ang4 sh eng1 l e0 1 1 ， u3 ie4 iou4 x ia4 j iang4 l e0 9 u3 ie4 d e0 q i4 uen1 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 P 、 Q d e0 j i2 j iao3 『 x iang1 d eng3 』 ， j i2 1 『 』 . 』
z ai4 zh e4 3 zh ong3 ch ang2 f ang1 x ing2 zh ong1 r en4 x üan3 2 g e4 l ai2 h ua4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
j ie3 ： d uei4 t u2 zh ong1 d e0 d ian3 b iao1 zh u4 r u2 x ia4 ， z e2 A C 5 m ， g uo4 d ian3 A z uo4 A B B C ü3 B .
j ie3 ： D E sh i4 x ian4 d uan4 B C d e0 ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 x ian4 ，
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( s i n 3 c o s ) 0 ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， l ü3 C x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， z e2 | A B | .
d ong4 m an4 k a3 p ian4 m ei3 t ao4 d e0 j ia4 g e2 uei4 4 . 9 5 üan2 ， m ai3 5 t ao4 x ü1 iao4 2 4 . 7 5 üan2 。
j ie3 ： t iao2 j ian4 d e0 f ou3 d ing4 uei4 y k z ，
h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( 2 x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ] sh ang4 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
z ai4 iou2 zh eng4 sh u4 z u3 ch eng2 d e0 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 ， r uo4 a 3 a 4 a 5 3 ， z e2 s i n ( l o g 3 a 1 l o g 3 a 2 … l o g 3 a 7 ） d e0 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g en1 j ü4 b i3 l i4 ch i3 z uo4 p ing2 m ian4 t u2 』
zh u4 z uo4 b iao1 P （ 1 6 ， ， 5 ） zh uan3 h uan4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 （ 1 ， f ( 1 ) ） ü3 d uei4 ch en4 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 『 x iao3 』 ü2 h uo4 d eng3 ü2 （ 3 ， f ( 3 ) ） ü3 d uei4 ch en4 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 . 』
j ie3 ： 4 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 9 6 0 j ian3 q ü4 8 0 ch u2 9 6 0 d e0 sh ang1 d e0 2 b ei4 ， ch a4 sh i4 d uo1 sh ao3 ， sh uo1 m ing2 z uei4 h ou4 j i4 s uan4 d e0 sh i4 『 j ian3 』 f a3 。 』
（ 1 ） c uo4 u4 ， g ai3 zh eng4 r u2 x ia4 ：
（ 4 ） i3 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 i1 t iao2 zh i2 j iao3 b ian1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 k e3 i3 d e2 d ao4 i2 g e4 üan2 zh uei1 。 （ ）
r u2 t u2 ， C D A B ü2 d ian3 D ， B E A C ü2 d ian3 E ， B E ， C D x iang1 j iao1 ü2 d ian3 D ， q ie3 A O p ing2 f en1 B A C . sh i4 sh uo1 m ing2 ： O B O C .
s uo3 i3 a ü3 b d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 uei4 p ing2 x ing2 h uo4 i4 m ian4 .
【 t i2 sh i4 】 『 b i3 j iao4 2 . 9 ü3 2 . 8 ， h ou4 m ian4 d e0 sh u4 üe4 d a4 d uei4 ing4 d e0 sh u4 üe4 『 x iao3 』 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
p ing2 m ian4 M N D p ing2 m ian4 P C D .
【 t i2 sh i4 】 『 i4 b an1 ， j iang1 sh ou1 r u4 iong4 『 zh eng4 』 sh u4 b iao3 sh i4 ， j iang1 zh i1 ch u1 iong4 『 f u4 』 sh u4 b iao3 sh i4 。 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， g uo4 d ian3 P （ ， ） z uo4 q ü3 x ian4 2 c o s d e0 q ie4 x ian4 l ， q iou2 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
B . d i4 er4 x iang4 x ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
q iou2 d e0 t i3 j i1 h e2 b iao3 m ian4 j i1
（ 2 ） r uo4 zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 üan2 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian2 A B d e0 zh ang3 .
【 t i2 sh i4 】 『 A D B C ， B D A D ， b iao3 sh i4 A D ü3 p ing2 m ian4 『 B C D 』 n ei4 d e0 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 . 』
b u4 d eng3 sh i4 f ( x 1 ) 0 d eng3 j ia4 uei4 f ( x 1 ) f ( 2 ) ， j i2 f ( | x 1 | ) f ( 2 ) .
【 t i2 sh i4 】 『 iao4 g uan1 zh ong4 z uei4 sh ao3 ， z e2 x ian1 j iang1 『 j ia3 』 p iao4 d e0 sh ou4 uan2 。 』
( 2 3 ) 2 ( 1 2 ) 2 2 ， g u4 d ian3 M ie3 z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 .
z ai4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， A C uei4 i1 t iao2 d uei4 j iao3 x ian4 ， r uo4 （ 2 ， 4 ） ， （ 1 ， 3 ） ， z e2 .
j ie3 ： r uo4 l o g 2 2 x 0 ， z e2 2 x 1 ， d e2 x 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ü3 zh en4 ü3 j ü3 zh en4 d e0 ch eng2 f a3 』
2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 b ian1 zh ang3 uei4 ： 2 4 2 4 3 （ c m ）
s uo3 i3 üan2 x in1 （ 2 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh e2 k ou4 uen4 t i2 ( ao4 sh u4 ) 』
j ie3 ： （ 1 ） g ua4 4 0 k e4 u4 p in3 sh i2 ， t an2 h uang2 ch ang2 d u4 uei4 2 8 c m 。
（ 2 ） l i4 iong4 s uan4 l iang3 c i4 d e0 s i1 x iang3 f ang1 f a3 h uo4 q i2 t a1 f ang1 f a3 zh eng4 m ing2 ： C 2 n 2 k C C ， q i2 zh ong1 [ ] sh i4 zh i3 b u4 ch ao1 g uo4 d e0 z uei4 d a4 zh eng3 sh u4 .
j ie3 ： f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， q ie3 d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) 2 x 2 x ，
D . üan2 zh uei1 、 üan2 t ai2 、 q iou2 、 b an4 q iou2
t 2 sh i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 ，
s i4 l eng2 zh uei1 d e0 g ao1 uei4 1 . 6 （ c m ） .
r uo4 a ， m ， l ， q ie3 m a ， l a ， c i3 sh i2 m ， l ， g u4 c uo4 u4 ；
（ 2 ） r uo4 A a 3 a 2 b 3 ， D ( a 2 b 1 5 ) ， E a 3 1 ， F a 2 b a 3 ， q ie3 x iang1 d uei4 l iang3 g e4 m ian4 s uo3 b iao3 sh i4 d e0 d ai4 sh u4 sh i4 d e0 zh i2 d ou1 x iang1 d eng3 ， q iou2 B ， C d ai4 b iao3 d e0 d ai4 sh u4 sh i4 .
z ai4 c ong2 zh e4 6 r en2 zh ong1 x üan3 2 r en2 d ang1 zh eng4 f u4 d uei4 zh ang3 ，
j i2 j ie3 d e2 a 2 ， b 4 ，
q n eng2 t uei1 ch u1 p ， q ie3 p b u4 n eng2 t uei1 ch u1 q ， j i2 q sh i4 p d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ，
g uo4 P ch uei2 zh i2 ü2 d e0 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ü2 ；
b u4 j i2 g e2 r en2 sh u4 n an2 sh eng1 b i3 n ü3 sh eng1 d uo1 1 r en2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i3 zh ong3 t e4 sh u1 d e0 j ü3 zh en4 b ian4 h uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 b i3 l i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou2 s an1 sh i4 t u2 h uan2 üan2 sh i2 u4 t u2 』
s an1 l eng2 zh uei1 S A B C uai4 j ie1 q iou2 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 4 ( ) 2 1 4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
j i4 h e2 x zh ou2 zh eng4 x iang4 s uo3 j ia1 d e0 j iao3 uei4 （ i3 h u2 d u4 uei4 d an1 uei4 ） ， z e2 | A M | 4 .
A B ü3 S C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d eng3 ü2 D C ü3 S C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
1 3 üan2 5 j iao3 1 3 . 5 üan2
D x üan3 x iang4 zh ong1 ， x üan2 zh uan3 zh i1 h ou4 d e2 d ao4 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 q iou2 .
r u2 t u2 ， P A ch uei2 zh i2 ü2 i3 A B uei4 zh i2 j ing4 d e0 üan2 s uo3 z ai4 d e0 p ing2 m ian4 ， C uei4 üan2 sh ang4 i4 ü2 A ， B d e0 r en4 i4 d ian3 ， z e2 x ia4 l ie4 g uan1 x i4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
in1 c i3 d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 k e3 b iao3 sh i4 uei4 x ia4 b iao3 ：
s uo3 i3 ， d e0 d e0 j ia1 j iao3 k e3 i3 uei4 0 h uo4 1 8 0 ，
j ie3 ： （ 1 ） l ian2 j ie1 A C ， A N ， B N .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 u3 x in1 』
（ 2 ） sh e4 P （ ， ） ， iou2 t i2 sh e4 j i2 （ 1 ） zh i1
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 u3 x in1 』
s uo3 i3 ü3 x ian3 sh i4 j ie2 g uo3 z uei4 j ie1 j in4 d e0 sh i4 2 . 6 .
r uo4 q ü1 x ian4 C 1 ü3 q ü1 x ian4 C 2 iou3 q ie3 j in3 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ，
f ou3 m ing4 t i2 ： r uo4 x 2 3 x 2 0 ， z e2 x 1 q ie3 x 2 ， zh en1 m ing4 t i2 ；
r u2 t u2 ， d ian3 C z ai4 x ian4 d uan4 A B sh ang4 ， d ian3 M ， N f en1 b ie2 sh i4 x ian4 d uan4 A C ， C B d e0 zh ong1 d ian3 .
z e2 ： Q 、 b 、 zh i1 j ian1 d e0 g uan1 x i4 k e3 j i4 z uo4 Q b .
n i4 f ou3 m ing4 t i2 ： r uo4 f ang1 ch eng2 m x 2 x n 0 m ei2 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ， z e2 m n 0 （ zh en1 m ing4 t i2 ） .
uo3 g uo2 g u3 d ai4 sh u4 x üe2 m ing2 zh u4 《 sh u4 sh u1 j iou3 zh ang1 》 zh ong1 iou3 “ t ian1 ch i2 p en2 c e4 ü3 ” t i2 ： z ai4 x ia4 ü3 sh i2 ， iong4 i2 g e4 üan2 t ai2 x ing2 d e0 t ian1 ch i2 p en2 j ie1 ü3 sh uei3 . t ian1 ch i2 p en2 p en2 k ou3 zh i2 j ing4 uei4 er4 ch i3 b a1 c uen4 ， p en2 d i3 zh i2 j ing4 uei4 i1 ch i3 er4 c uen4 ， p en2 sh en1 i1 ch i3 b a1 c uen4 . r uo4 p en2 zh ong1 j i1 sh uei3 sh en1 j iou3 c uen4 ， z e2 p ing2 d i4 j iang4 ü3 l iang4 sh i4 c uen4 .
l ing4 g ( m ) 2 t m t 2 ， z e2 g ( 1 ) 0 q ie3 g ( 1 ) 0 ，
“ r uo4 l g x 2 0 ， z e2 x 1 ” d e0 n i4 m ing4 t i2 ；
5 . m ei2 iou3 z uei4 x iao3 d e0 f u4 sh u4 ， ie3 m ei2 iou3 z uei4 d a4 d e0 zh eng4 sh u4 . üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
i3 zh i1 x ， y R ， x iang4 l iang4 sh i4 j ü3 zh en4 A d e0 sh u3 x ing4 t e4 zh eng1 zh i2 2 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 ， j ü3 zh en4 A i3 j i2 t a1 d e0 l ing4 i2 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 .
r en4 h e2 i2 g e4 iou3 l i3 sh u4 k e3 i3 x ie3 ch eng2 x iao3 sh u4 h uo4 zh e3 x iao3 sh u4 d e0 x ing2 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 A B C zh ong1 ， A B 『 』 B C . 』
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 P A p ing2 m ian4 A B C D ， q ie3 A B ， A D p ing2 m ian4 A B C D ，
z e2 A a ， a ch eng2 l i4 ， d an4 A b u4 ch eng2 l i4 ， g u4 c uo4 u4 ；
er2 V sh uei3 V üan2 zh uei1 V q iou2 ，
j ie3 ： （ 1 ） i3 A B b ian1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 s uo3 d e0 x üan2 zh uan3 t i3 sh i4 üan2 t ai2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
f ( x ) sh i4 （ ， ） sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ，
zh eng3 l i3 d e2 k 2 4 k 1 0 ，
q i2 zh ong1 c e4 m ian4 P A C d i3 m ian4 A B C ， q ie3 P A C A B C .
üan2 x in1 （ 0 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b u4 g uei1 z e2 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
m ing4 t i2 “ r uo4 a b b u4 uei4 l ing2 ， z e2 a ， b d ou1 b u4 uei4 l ing2 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 .
d a2 an4 ： 2 x h uo4 2 x 1 .
j ia1 d ian4 sh ang1 ch ang3 ch uen1 j ie2 c u4 x iao1 ， c ai3 d ian4 i1 l ü4 b a1 u3 zh e2 x iao1 sh ou4 。 r u2 g uo3 g u4 k e4 m ai3 i1 t ai2 b iao1 j ia4 4 2 0 0 üan2 d e0 c ai3 d ian4 ， n eng2 j ie2 sh eng3 d uo1 sh ao3 üan2 ？
i3 ， b ing3 b u4 x üan3 z uo4 D t i2 d e0 g ai4 l ü4 d ou1 sh i4 ，
z ong1 h e2 s uan4 sh i4 ： ( 3 4 4 6 ) ( 1 0 8 3 4 ) 5 9 2 0
C . zh i2 j iao3 t i1 x ing2
b u4 d eng3 sh i4 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 .
（ 1 ） r uo4 iao4 sh i3 x iou1 j ian4 d e0 x iao3 l u4 d e0 f ei4 iong4 z uei4 sh eng3 ， sh i4 q iou2 x iao3 l u4 d e0 z uei4 d uan3 ch ang2 d u4 ；
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 A z ai4 üan2 2 2 c o s 4 s i n 4 0 sh ang4 ， d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 0 ） ， z e2 | A P | d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t iao2 j ian4 ， d e2 A 2 ， 3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 』
i3 zh i1 i2 g e4 k ou3 d ai4 iou3 m g e4 b ai2 q iou2 ， n g e4 h ei1 q iou2 （ m ， n N ， n 2 ） ， zh e4 x ie1 q iou2 ch u2 ian2 s e4 uai4 q üan2 b u4 x iang1 t ong2 . x ian4 j iang1 k ou3 d ai4 zh ong1 d e0 q iou2 s uei2 j i1 d i4 zh u2 g e4 q ü3 ch u1 ， b ing4 f ang4 r u4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 b ian1 h ao4 uei4 1 ， 2 ， 3 … … ， m n d e0 ch ou1 t i4 n ei4 ， q i2 zh ong1 d i4 k c i4 q ü3 q iou2 f ang4 r u4 b ian1 h ao4 uei4 k d e0 ch ou1 t i4 （ k 1 ， 2 ， 3 … … ， m n ） .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q iou2 x ia4 l ie4 f ang1 ch eng2 s uo3 d uei4 ing4 d e0 t u2 x ing2 j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 d e0 t u2 x ing2 .
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， sh uo1 m ing2 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 『 zh i2 j ing4 』 ü3 t a1 d e0 『 g ao1 』 x iang1 d eng3 . 』
in1 uei4 P 1 （ x 1 ， y 1 ） z ai4 t uo3 üan2 x 2 1 sh ang4 ，
（ 1 ） j iang1 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 x üan3 z e2 q ia4 d ang4 d e0 c an1 sh u4 x ie3 ch u1 t a1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ；
i3 zh i1 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 2 ， 3 ） ， z e2 h an2 sh u4 f ( x 2 ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 .
A B C sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 .
in1 uei4 d ian3 C z ai4 d i4 s an1 x iang4 x ian4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 b i3 l i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 d e0 j i1 b en3 d ing4 l i3 j i2 q i2 i4 i4 』
in1 uei4 x 2 2 x 5 ( x 1 ) 2 4 0 h eng2 ch eng2 l i4 ， g u4 m ing4 t i2 p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
i3 zh i1 p ao1 u4 x ian4 y ( x 2 ) 2 3 k e3 i3 iou2 p ao1 u4 x ian4 y x 2 p ing2 i2 d e2 d ao4 ， z e2 x ia4 l ie4 p ing2 i2 g uo4 ch eng2 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
q b iao3 sh i4 i3 d e0 ch eng2 j i4 m ei2 iou3 ch ao1 g uo4 8 h uan2 ，
d ang1 x [ 1 ， 2 ] sh i2 ， sh e4 f ( x ) a x b （ a 0 ） ，
i3 zh i1 A B C l iang3 n ei4 j iao3 A ， B d e0 d uei4 b ian1 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 a ， b ， z e2 “ A B ” sh i4 “ a c o s A b c o s B ” d e0 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t u2 x ing2 d e0 j ian3 p in1 』
c i3 sh i2 y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 1 0 0 üan2 ， j i2 uei4 l e0 h uo4 d e2 z uei4 d a4 l i4 r uen4 2 1 0 0 üan2 ， m ei3 c i4 ing1 j in4 x i3 i1 f en3 5 0 0 b ao1 .
（ 2 ） r uo4 zh i2 x ian4 l ü3 q ü1 x ian4 C j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 t 1 2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ，
üan2 zh u4 、 üan2 zh uei1 、 üan2 t ai2 h e2 q iou2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4
d a2 an4 ： üan2 x ing2 ， q ü1 ； g ao1 。
j ie3 ： A 、 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 c uo4 u4 ；
üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d 2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 s i4 n ian2 j i2 zh i2 sh u4 k e1 sh u4 l iou4 n ian2 j i2 zh i2 sh u4 k e1 sh u4 『 3 』 ， q i2 zh ong1 l iou4 n ian2 j i2 zh i2 sh u4 2 4 0 k e1 。 』
j ie3 ： iou2 ü2 zh en1 f en1 sh u4 x iao3 ü2 1 ， z e2 i2 g e4 d a4 ü2 0 d e0 sh u4 ch u2 i3 i2 g e4 zh en1 f en1 sh u4 ， sh ang1 d a4 ü2 b ei4 ch u2 sh u4 。
（ 1 ） z ai4 t u2 zh ong1 h ua4 ch u1 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 ；
（ 3 ） in1 uei4 A B 4 O A O B s i n A O B ， s uo3 i3 O A O B A B ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 j iao3 h e2 ü3 ch a4 d e0 zh eng4 q ie1 g ong1 sh i4 』
【 t i2 sh i4 】 『 ü3 x i1 m ian4 x iang1 d uei4 d e0 m ian4 sh i4 『 d ong1 』 m ian4 。 』
zh eng3 l i3 k e3 d e2 2 5 x 2 3 6 y 2 0 .
x ia4 l ie4 s i4 g e4 h an2 sh u4 zh ong1 ou3 h an2 sh u4 d e0 x ü4 h ao4 uei4 .
g en1 j ü4 ch eng2 j i1 sh i4 1 d e0 sh u4 h u4 uei4 d ao4 sh u3 ， d e2 1 ( ) ，
（ 3 ） sh uei3 g uo3 d ian4 m ei3 t ian1 n eng2 m ai4 sh uei3 g uo3 3 8 q ian1 k e4 ， 6 t ian1 n eng2 j iang1 zh e4 x ie1 sh uei3 g uo3 m ai4 uan2 m a0 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 』
（ 1 ） sh e4 P uei4 x ian4 d uan4 M N d e0 zh ong1 d ian3 ， q iou2 zh i2 x ian4 O P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
d ai4 r u4 y b c o s ， d e2 x y a b .
j ie3 ： iou2 d ing4 i4 k e3 zh i1 g ai1 h an2 sh u4 sh i4 q iou2 a ， b zh ong1 j iao4 x iao3 d e0 n a4 g e4 ，
z e2 s i4 b ian1 x ing2 A B C D j i2 uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 A B C D d e0 zh i2 g uan1 t u2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
iou3 l iang3 g e4 b u4 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1 .
d ian3 （ 2 ， ） h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 0 ） .
d a2 ： sh uei3 sh en1 7 . 5 l i2 m i3 。
d ian3 Q d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 1 ） ，
j ie3 ： （ 1 ） x iao3 f ang1 zh eng4 q üe4 .
zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 A （ 3 ， ） ， B （ 3 ， ） ， z e2 zh i2 x ian4 l ü3 j i2 zh ou2 j ia1 j iao3 d eng3 ü2
i3 zh i1 d ian3 A （ 2 ， 3 ） ， B （ 5 ， 4 ） ， C （ 7 ， 1 0 ） ， r uo4 （ R ） ， sh i4 q iou2 uei4 h e2 zh i2 sh i2 ，
b i3 j iao4 x ia4 l ie4 g e4 z u3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 。
【 t i2 sh i4 】 『 x iang4 n an2 z ou3 j i4 z uo4 zh eng4 sh u4 ， x iang4 b ei3 z ou3 j i4 z uo4 『 f u4 』 sh u4 . 』
D . r en4 h e2 f ei1 f u4 sh i2 sh u4 d e0 x iang1 f an3 sh u4 d ou1 sh i4 f u4 sh u4
n ian2 ch an3 l iang4 zh i3 b iao1 d ing4 z ai4 2 0 0 d uen1 sh i2 ， m ei3 d uen1 p ing2 j ün1 ch eng2 b en3 z uei4 d i1 ， q ie3 z uei4 d i1 ch eng2 b en3 uei4 1 0 uan4 üan2 .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， zh i2 x ian4 l ü3 p ao1 u4 x ian4 y 2 4 x x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 x ing2 i1 j iou4 ch uei2 g ai3 x ie2 ， b iao3 sh i4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 zh ong1 x O y 『 4 5 』 . 』
k an4 t u2 t ian2 k ong4 。
i3 zh i1 j ü3 zh en4 M [ ] ， d ian3 （ 1 ， 1 ） z ai4 M d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 z uo4 iong4 x ia4 d e2 d ao4 d ian3 （ 1 ， 5 ） ， q iou2 j ü3 zh en4 M d e0 t e4 zh eng1 zh i2 .
j ie3 ： d uei4 ( 2 x 1 ) ( 3 x 2 ) x 2 2 zh an3 k ai1 ， d e2
（ 1 ） x ie3 ch u1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ；
j i2 j ü3 zh en4 A d e0 t e4 zh eng1 zh i2 uei4 4 h uo4 1 .
x ia4 m ian4 d uo1 m ian4 t i3 zh ong1 ， sh i4 l eng2 zh u4 d e0 iou3 （ ）
（ 2 ） iou2 （ 1 ） d e2 f ( ) f ( ) ， q ie3 f ( ) f ( ) ，
j iang1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 t iao2 b ian1 zh ang3 t ong2 sh i2 k uo4 d a4 t ong2 i1 b ei4 sh u4 ， d e2 d ao4 d e0 s an1 j iao3 x ing2 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 üan2 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
iou4 in1 uei4 P uei4 x ian4 d uan4 M N d e0 zh ong1 d ian3 ， s uo3 i3 P d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ，
q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 6 0
sh e4 m ian4 B D M d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x ， y ， z ） ，
k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 『 』 d i3 m ian4 j i1 g ao1 。 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， g uo4 d ian3 （ 2 ， ） z uo4 üan2 4 s i n d e0 q ie4 x ian4 ， z e2 q ie4 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 .
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) ， g ( x ) ， z e2 h e2 h an2 sh u4 f ( x ) g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 .
j ie3 ： zh eng4 l iou4 l eng2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 h ， d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 a ，
j ie3 ： g en1 j ü4 i3 zh i1 d eng3 sh i4 k e3 d e2
【 t i2 sh i4 】 『 l iang3 g e4 f u4 sh u4 b i3 j iao4 d a4 x iao3 ， f u4 h ao4 h ou4 m ian4 d e0 sh u4 üe4 d a4 ， zh e4 g e4 sh u4 üe4 『 x iao3 』 。 』
in1 uei4 x 2 y 2 z 6 ， s uo3 i3 x 2 y 2 z 2 4 ，
üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 d ，
s an1 j ia1 uen2 j ü4 d ian4 zh ong1 ， m ou3 zh ong3 l ian4 x i2 b en3 d e0 j ia4 g e2 d ou1 sh i4 0 . 5 üan2 b en3 。 er2 t ong2 j ie2 n a4 t ian1 ， s an1 j ia1 d ian4 f en1 b ie2 t uei1 ch u1 l e0 b u4 t ong2 d e0 iou1 h uei4 c uo4 sh i1 。
j ie3 ： A 、 iou2 S A S n eng2 p an4 d ing4 A B C h e2 D E F q üan2 d eng3 ；
iou2 l eng2 zh u4 d e0 t e4 d ian3 zh i1 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 s an1 l eng2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 b u4 i2 d ing4 uei4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ， s uo3 i3 m ing4 t i2 b u4 zh eng4 q üe4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 』
d i4 er4 c i4 ün4 x ing2 j ie2 g uo3 ： S ， n 6 ；
sh e4 sh u4 l ie4 { a n } m an3 z u2 a 1 0 ， a n a n 1 2 ， z e2 a 2 0 1 8 d e0 zh i2 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 l ing4 x 『 』 ， y 『 』 ， x iao1 q ü4 t d e2 d ao4 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 . 』
zh i2 x ian4 ， j i2 t a n ，
j ie3 ： g en1 j ü4 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 k e3 zh i1 ， üan2 j i3 h e2 t i3 sh i4 iou2 i2 g e4 zh i2 s an1 l eng2 zh u4 h e2 i1 g e4 b an4 üan2 z u3 h e2 er2 ch eng2 d e0 ，
i3 zh i1 4 a 2 ， l g x a ， z e2 x .
j iang1 （ 1 ， ） ， （ 2 ， 0 ） d ai4 r u4 ，
iou2 t i2 i4 zh i1 3 ，
C 1 ü3 C 2 d e0 i2 g e4 j iao1 d ian3 z ai4 j i2 zh ou2 sh ang4 ，
r u2 t u2 ， A B sh i4 üan2 O d e0 zh i2 j ing4 ， C ， D sh i4 üan2 O sh ang4 d e0 d ian3 ， C B A 6 0 ， A B D 4 5 ， x y ， z e2 x y .
z ai4 er4 c i4 h an2 sh u4 y x 2 2 x 1 d e0 t u2 x iang4 zh ong1 ， r uo4 y s uei2 x d e0 z eng1 d a4 er2 z eng1 d a4 ， z e2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ）
（ 3 ） m ou3 b an1 n an2 t ong2 x üe2 b i3 n ü3 t ong2 x üe2 sh ao3 （ ） 。
（ 2 ） q iou2 er4 m ian4 j iao3 B A 1 D A d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 .
c ong2 b iao3 zh ong1 k e3 i3 k an4 ch u1 p ao1 zh i4 l iang3 g e4 t ou2 z i3 d e2 d ao4 d ian3 sh u4 zh i1 h e2 sh i4 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 1 0 ， 1 1 ， 1 2 d e0 q ing2 k uang4 f en1 b ie2 iou3 1 zh ong3 ， 2 zh ong3 ， 3 zh ong3 ， 4 zh ong3 ， 5 zh ong3 ， 6 zh ong3 ， 5 zh ong3 ， 4 zh ong3 ， 3 zh ong3 ， 2 zh ong3 ， 1 zh ong3 ， z ong3 j ie2 g uo3 uei4 3 6 zh ong3 .
zh i2 j ie1 x ie3 ch u1 d e2 sh u4 。
j ie3 ： （ 1 ） d ang1 a 3 sh i2 ， f ( x ) 3 ， z e2 | x 3 | | x 2 | 3 ，
j i2 x y 0 ， j i2 g uo4 l iang3 üan2 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 0 .
sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 （ 2 ， ） .
i3 zh i1 ： r u2 t u2 ， E 、 F sh i4 A B C D d e0 d uei4 j iao3 x ian4 A C sh ang4 d e0 l iang3 d ian3 ， A E C F .
s uo3 i3 h an2 sh u4 y d e0 zh i2 ü4 uei4 { y | y R ， q ie3 y 2 } .
b iao3 sh i4 üan2 x in1 z ai4 j i2 d ian3 ， b an4 j ing4 uei4 1 d e0 üan2 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 y ， z e2 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 uei4 .
2 . x iao3 q iang2 x iang3 x üan3 sh i1 z i0 h e2 q i2 t a1 l iang3 iang4 uan2 j ü4 ， g ong4 iou3 d uo1 sh ao3 zh ong3 x üan3 f a3 ？
ch ang2 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， E uei4 A A 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， F uei4 B B 1 d e0 zh ong1 d ian3 ，
（ 3 ） iong4 r en4 i1 p ing2 m ian4 q ü4 j ie2 ch ang2 f ang1 t i3 ， q i2 j ie2 m ian4 x ing2 zh uang4 k e3 i3 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 ， s i4 b ian1 x ing2 ， u3 b ian1 x ing2 ， l iou4 b ian1 x ing2 ， in1 er2 sh uei3 m ian4 d e0 x ing2 zh uang4 k e3 i3 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 ， s i4 b ian1 x ing2 ， u3 b ian1 x ing2 ， l iou4 b ian1 x ing2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 j ün1 m ei3 t ian1 x iou1 ( 3 2 0 『 』 4 ) m i3 。 』
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 p in2 l ü4 d e0 j i4 s uan4 g ong1 sh i4 k e3 d e2
（ 3 ） iou2 m ao2 d uen4 sh uo1 m ing2 l e0 j ia3 sh e4 sh i4 c uo4 u4 d e0 ， c ong2 er2 d e2 d ao4 üan2 m ing4 t i2 d e0 j ie2 l uen4 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 .
j ie3 ： i3 d i3 b ian1 B A s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 uei4 x zh ou2 ， B A d e0 zh ong1 ch uei2 x ian4 uei4 y zh ou2 j ian4 l i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 .
zh eng4 f ang1 x ing2
uang2 sh u1 sh u1 t u2 b u4 l ü3 x ing2 。 m ei3 x iao3 sh i2 h ang2 z ou3 4 q ian1 m i3 ， m ei3 t ian1 z ou3 6 x iao3 sh i2 ， t a1 1 5 t ian1 n eng2 z ou3 d uo1 sh ao3 q ian1 m i3 ？
j ie3 ： b i3 l i4 ch i3 sh i4 ， b iao3 sh i4 sh i2 j i4 j ü4 l i2 sh i4 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 d e0 6 0 0 0 0 0 0 b ei4 ， z ai4 zh e4 f u2 d i4 t u2 sh ang4 ， 1 c m b iao3 sh i4 sh i2 j i4 j ü4 l i2 6 0 0 0 0 0 0 c m 6 0 k m 。
【 t i2 sh i4 】 『 s i4 l eng2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 ü3 d ing3 m ian4 j ün1 uei4 『 zh eng4 f ang1 x ing2 』 ， c e4 m ian4 d ou1 sh i4 『 d eng3 iao1 』 t i1 x ing2 . 』
zh i2 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， A B A C ， A B 2 ， A C 4 ， A A 1 2 ， .
i1 t i2 i4 d e2 q i2 zh ong1 0 ， 0 ， 1 ， 1 ，
r uo4 zh i2 x ian4 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 üan2 ： （ uei4 c an1 sh u4 ） x iang1 q ie4 ， n a4 m e0 zh i2 x ian4 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 （ ）
j ie3 ： sh i2 j ian1 j ü4 l i2 s u4 d u4 ， sh i2 j ian1 i2 d ing4 ， j ü4 l i2 h e2 s u4 d u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 ；
zh i2 x ian4 ， （ t uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 ü3 d ian3 P （ 2 ， 3 ） d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 sh i4 （ ）
1 . 7 8 ( 3 2 0 2 8 0 ) 1 5 d e0 ün4 s uan4 sh uen4 x ü4 sh i4 x ian1 s uan4 j ia1 f a3 ， z ai4 s uan4 ch u2 f a3 ， z uei4 h ou4 s uan4 j ian3 f a3 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ；
j ie3 ： （ 1 ） i3 A uei4 üan2 d ian3 ， A B 、 A D 、 A P f en1 b ie2 uei4 x 、 y 、 z zh ou2 ， j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
j ie3 ： sh e4 l iou4 n ian2 j i2 j üan1 sh u1 x b en3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 d e0 j i1 ou3 x ing4 』
（ 1 ） q iou2 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 ；
j ie3 ： l ian2 j ie1 A 1 C 1 ， A C ， z e2 A 1 C 1 A C ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 d e0 t ou2 ing3 k e3 n eng2 p ing2 x ing2
s uo3 i3 iao1 q iou2 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 sh i4 （ 3 ， 4 ） h uo4 （ 1 ， 2 ） .
d ian3 M d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， ） .
【 t i2 sh i4 】 『 p q ， p sh i4 q d e0 『 ch ong1 f en4 』 t iao2 j ian4 . 』
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 A （ 6 ， 2 ） ， B （ 8 ， 0 ） ， s uo3 i3 O A B uei4 i3 O B uei4 x ie2 b ian1 d e0 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
（ 2 ） r u2 g uo3 A O B q ü1 ü4 z uo4 uei2 b ao3 h u4 q ü1 ， i3 zh i1 b ao3 h u4 q ü1 d e0 m ian4 j i1 uei4 k m 2 ， A d ian3 j ü4 sh i4 zh ong1 x in1 d e0 j ü4 l i2 uei4 3 k m ， q iou2 n an2 x ü2 x in1 l u4 d e0 ch ang2 d u4 ；
i3 zh i1 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 2 s i n ( ) 4 0 ， q iou2 üan2 C d e0 b an4 j ing4 .
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 x 2 2 y 2 3 x 0 b ian4 uei4 x 2 8 2 y 2 3 x 0 ， h eng2 z uo4 b iao1 b u4 b ian4 ， z ong4 z uo4 b iao1 sh en1 ch ang2 uei4 üan2 l ai2 d e0 『 4 2 』 b ei4 . 』
g u4 g ong4 iou3 2 1 zh ong3 k e3 n eng2 ， j i2 uei4 2 1 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 』
j i4 s uan4 d e0 j ie2 g uo3 sh i4 （ ）
j ie3 ： d ang1 x 0 sh i2 ， y 0 ， d ang1 x 0 sh i2 ， y 0 ，
z ai4 zh i2 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 g en1 sh i4 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
（ 3 ） r uo4 l iang3 g e4 j iao3 uei4 t ong2 h u2 s uo3 d uei4 d e0 üan2 zh ou1 j iao3 ， z e2 t a1 m en0 b u4 x iang1 d eng3 .
( ) ( ) ( ) ( ) ， b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
h an2 sh u4 y d e0 f an3 h an2 sh u4 sh i4 （ ）
h ua4 j ian3 b i3 。
j ie3 ： g ong4 iou3 s i4 g e4 m ing4 t i2 ： ， ， ， .
g uo3 üan2 l i3 sh ou1 l e0 5 6 0 x iang1 p ing2 g uo3 ， iong4 i1 l iang4 k a3 ch e1 ün4 l e0 4 c i4 ， h ai2 sh eng4 2 4 0 x iang1 。 zh ao4 zh e4 iang4 j i4 s uan4 ， sh eng4 x ia4 d e0 p ing2 g uo3 h ai2 x ü1 iao4 ün4 j i3 c i4 ？
（ 2 ） iong4 t a1 m en0 p in1 ch eng2 i2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， b ian1 zh ang3 sh i4 6 f en1 m i3 ， zh ou1 ch ang2 sh i4 6 4 2 4 （ f en1 m i3 ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 』
s uo3 i3 x iao3 q iang2 ing1 g ai1 uei2 ch eng2 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
sh e4 iou3 zh i2 x ian4 m 、 n h e2 p ing2 m ian4 、 ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
j ie3 ： zh ong1 t u2 x ing2 m ei2 iou3 h ua4 ch u1 l iang3 p ing2 m ian4 d e0 j iao1 x ian4 ；
z ong1 sh ang4 ， d ou1 zh eng4 q üe4 ， c uo4 u4 d e0 sh i4 .
（ 2 ） d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 ；
D . m ian4 j i1 uei4 2 0
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
( x y ) ( x y ) 3 3 （ d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x y 1 sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ） ，
zh i3 ch u1 x ia4 l ie4 x ian4 x iang4 sh i4 b i4 r an2 x ian4 x iang4 、 h ai2 sh i4 s uei2 j i1 x ian4 x iang4 ；
C . r en4 h e2 sh i2 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 d ou1 sh i4 f ei1 f u4 sh u4
【 t i2 sh i4 】 『 sh ou1 r u4 ü3 『 zh i1 ch u1 』 i4 i4 x iang1 f an3 。 』
s uo3 i3 2 ， 3 sh i4 f ang1 ch eng2 k x 2 2 x 6 k 0 d e0 l iang3 g en1 ， q ie3 k 0 ，
j ie3 ： r uo4 a q a d ， a q 2 a 2 d ， z e2 q 1 （ sh e3 q ü4 ） .
l iou4 l eng2 zh u4 l iang3 d i3 m ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， l iou4 g e4 c e4 m ian4 zh ong1 ， m ei3 d uei4 x iang1 d uei4 d e0 c e4 m ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， g u4 g ong4 iou3 4 d uei4 m ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 .
s uo3 i3 ( a b ) ( a b ) ( 2 a b ) 0 ch eng2 l i4 ，
j i2 2 0 ， x 2 2 a x a 0 h eng2 ch eng2 l i4 ，
（ 2 ） z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 （ ü3 j i2 z uo4 b iao1 x i4 q ü3 x iang1 t ong2 d e0 ch ang2 d u4 d an1 uei4 ， q ie3 i3 j i2 d ian3 O uei4 üan2 d ian3 ， i3 j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 ） zh ong1 ， r uo4 Q uei4 x ian4 d uan4 O P d e0 zh ong1 d ian3 ， q iou2 d ian3 Q g uei3 j i4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
sh ao1 m ei2 d e0 z ong3 l iang4 i2 d ing4 ， m ei3 t ian1 d e0 sh ao1 m ei2 l iang4 h e2 s uo3 sh ao1 d e0 t ian1 sh u4
（ 1 ） i3 zh i1 f ( x 1 ) x 2 3 x 2 ， q iou2 f ( x ) .
l ian2 l i4 ， j ie3 d e2 C 6 0 ， A 1 6 .
k e3 d e2 q i2 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 4 x ， z e2 q i2 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 0 ） ， zh uen3 x ian4 uei4 x 1 ，
l ing4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
j ie3 ： f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 0 ， ） ， z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ） sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 sh i4 i2 g e4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 b iao3 m ian4 zh an3 k ai1 t u2 ， q ing3 h uei2 d a2 x ia4 l ie4 uen4 t i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 g ong1 sh i4 』
P B C sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
2 0 1 4 4 5 0 3 … … 2 ， 2 0 1 4 n ian2 b u2 sh i4 r uen4 n ian2 。
zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 1 0 0 g e4 b ian1 zh ang3 uei4 5 f en1 m i3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 ， iong4 『 ch eng2 』 f a3 。 』
j ie3 ： f ( x ) 1 ， d ing4 i4 ü4 uei4 { x R | x 1 } .
D . r uo4 a 2 b 2 q ie3 a b 0 ， z e2
r uo4 m ou3 ch an3 p in3 d e0 zh i2 j ing4 zh ang3 ü3 b iao1 zh uen3 zh i2 d e0 ch a4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 b u4 ch ao1 g uo4 1 m m sh i2 ，
i1 sh i2 ian4 sh i4 j ian3 c e4 A 、 B 、 C 、 D s i4 g e4 üan2 j ian4 d e0 zh i4 l iang4 （ d an1 uei4 ： k e4 ） ， ch ao1 g uo4 b iao1 zh uen3 zh i4 l iang4 d e0 k e4 sh u4 j i4 uei4 zh eng4 sh u4 ， b u4 z u2 b iao1 zh uen3 zh i4 l iang4 d e0 k e4 sh u4 j i4 uei4 f u4 sh u4 ， j ie2 g uo3 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， q i2 zh ong1 z uei4 j ie1 j in4 b iao1 zh uen3 zh i4 l iang4 d e0 üan2 j ian4 sh i4 （ ）
d i4 3 c i4 f en1 l ie4 ch eng2 2 3 g e4 ，
j ie3 ： s i4 l eng2 zh uei1 d i3 m ian4 g e4 b ian1 x iang1 d eng3 ，
（ 1 ） q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 zh i2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 f ang1 x ing2 zh ong1 A D ü3 A C d e0 j ia1 j iao3 sh i4 4 5 ， zh en1 sh i2 t u2 x ing2 zh ong1 A D ü3 A C d e0 j ia1 j iao3 sh i4 『 9 0 』 . 』
q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 sh i4 .
in1 c i3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
j i2 d ian3 O d e0 j i2 j ing4 ， j i2 j iao3 sh i4 r en4 i4 sh i2 sh u4 ， ing1 uei4 （ 0 ， ） ， g u4 sh i4 c uo4 d e0 ；
iou2 zh i2 x ian4 ü3 üan2 x iang1 q ie4 zh i1 ，
（ 2 ） d uei4 i4 b an1 d e0 n （ n 4 ） d e0 q ing2 x ing2 ， n i4 x ü4 sh u4 uei4 0 d e0 p ai2 l ie4 zh i3 iou3 i2 g e4 ： 1 2 … n ，
d uei4 ü2 üan2 m ing4 t i2 ： “ i3 zh i1 a 、 b 、 c R ， r uo4 a c 2 b c 2 ， z e2 a b ” i3 j i2 t a1 d e0 n i4 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2 、 n i4 f ou3 m ing4 t i2 ， zh en1 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 uei4 （ ）
（ 2 ） r uo4 x 、 y d ou1 uei4 zh eng4 sh u4 ， z x y ， z e2 z x .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 2 x ， g ( x )
j ie3 ： iou2 2 c o s d e2 2 2 c o s ， iou2 h u4 h ua4 g ong1 sh i4 d e2 x 2 y 2 2 x ， j i2 x 2 2 x y 2 0 ，
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q ü1 x ian4 4 c o s sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 ( c o s s i n ) 8 d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 .
j ie3 ： f en1 x i1 k e3 zh i1 ， s an1 j iao3 x ing2 d e0 l iang3 b ian1 i3 j i2 üan2 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 j ing4 i2 d ing4 x iang1 j iao1 ， er2 t i1 x ing2 d e0 l iang3 b ian1 i3 j i2 zh eng4 l iou4 b ian1 x ing2 d e0 l iang3 t iao2 b ian1 b u4 i2 d ing4 x iang1 j iao1 ， s uo3 i3 n eng2 b ao3 zh eng4 g ai1 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 .
s uo3 i3 a 0 sh i4 h an2 sh u4 y a x 2 x 1 z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
d ian3 E uei4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， E （ ， 1 ）
s uo3 i3 p ao1 u4 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 4 x .
C . i1 t iao2 zh i2 x ian4
D x üan3 x iang4 zh ong1 ， f ( 2 x ) 2 x ， 2 f ( x ) 2 ( x ) 2 x f ( 2 x ) ， g u4 D b u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s s i n 7 0 .
【 t i2 sh i4 】 『 uei2 ch eng2 üan2 zh u4 d e0 g ao1 k e3 i3 sh i4 6 ， ie3 k e3 i3 sh i4 『 8 』 . 』
s uo3 i3 i1 g ong4 iao4 uo4 sh ou3 2 8 c i4 。
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
b an4 j ing4 uei4 4 d e0 üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 .
j i2 z uo4 b iao1 d ian3 （ 2 ， ） h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 sh i2 ， iao4 x ian1 q iou2 ch u1 『 t a n 』 d e0 zh i2 ， z ai4 j ie2 h e2 d ian3 A s uo3 z ai4 d e0 x iang4 x ian4 ， q üe4 d ing4 d e0 d a4 x iao3 . 』
iou2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x ia4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 ， d e2 d 2 2 .
（ 3 ） iou2 m ao2 d uen4 sh uo1 m ing2 l e0 j ia3 sh e4 sh i4 d e0 ， c ong2 er2 d e2 d ao4 üan2 m ing4 t i2 d e0 j ie2 l uen4 sh i4 d e0 .
i2 m ian4 j i1 uei4 1 2 0 m 2 d e0 j ü3 x ing2 m iao2 p u3 ， t a1 d e0 zh ang3 b i3 k uan1 d uo1 2 m . m iao2 p u3 d e0 zh ang3 h e2 k uan1 g e4 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
in1 uei4 S D p ing2 m ian4 A B C ， q ü3 p ing2 m ian4 A B C d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 （ 0 ， 0 ， 1 ） ， sh e4 er4 m ian4 j iao3 S — B C — A d e0 d a4 x iao3 uei4 ， i4 d e2 | c o s | | | | | .
d eng4 l i4 j ia1 ： b a4 b a4 1 x iao3 sh i2 i3 x ia4 ， m a1 m a1 3 ～ 4 x iao3 sh i2 。
j ie3 ： j ie2 m ian4 j ing1 g uo4 l eng2 zh uei1 g e4 t iao2 c e4 l eng2 d e0 zh ong1 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ing1 q i1 j i3 d e0 uen4 t i2 ( ao4 sh u4 ) 』
s uo3 i3 zh i3 iou3 （ 2 ， ） b u2 sh i4 h e2 .
（ 2 ） iou2 i3 zh i1 b 2 c 2 a 2 b c ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
B . r u2 g uo3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 sh ang4 d e0 l iang3 d ian3 z ai4 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 ， n a4 m e0 zh e4 t iao2 zh i2 x ian4 z ai4 c i3 p ing2 m ian4 n ei4
zh eng4 m ing2 ： iou2 sh uang1 q ü1 x ian4 1 ， d e2
x ia4 zh ou1 l iou4 h uei4 x ia4 ü3 ， zh e4 sh i4 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 .
z ai4 A B C d i3 b ian1 B C 1 0 ， A B ， i3 B uei4 j i2 d ian3 ， B C uei4 j i2 zh ou2 ， q iou2 d ing3 d ian3 A d e0 g uei3 j i4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
z ong1 sh ang4 ， “ ” sh i4 “ ” d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
s uo3 i3 a x 2 2 x 4 0 ， h an2 sh u4 y a x 2 2 x 4 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 j i4 s uan4 q i4 k ai1 f ang1 』
t ong2 l i3 O ， A ie3 uei4 p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 ü3 p ing2 m ian4 A B 1 D 1 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 .
zh ong1 l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 ， z e2 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 z ai4 zh e4 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
iou2 t i2 i4 zh i1 ， üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ，
sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 üan2 t ai2 d e0 f u3 sh i4 t u2 sh i4 l iang3 g e4 t ong2 x in1 üan2 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 0 ，
g u4 c i3 j i3 h e2 t i3 g ong4 iou3 4 g e4 m u4 k uai4 z u3 ch eng2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
（ 1 ） “ r uo4 p ， z e2 q ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2
j ie3 ： in1 uei4 A { x | y 2 x 1 ， x R } R ， B { y | y x 2 0 ， x R } （ ， 9 ] ，
d a2 ： 6 t ian1 b u4 n eng2 j iang1 zh e4 x ie1 sh uei3 g uo3 m ai4 uan2 。
g ong4 iou3 3 d uei4 n ei4 c uo4 j iao3 ： B M F ü3 M N C 、 A M N ü3 M N D 、 A M N ü3 M N H ；
【 t i2 sh i4 】 『 1 g e4 l ai2 h uei2 sh i4 2 g e4 iou2 iong3 ch i2 zh ang3 ， q iou2 （ 8 2 ） g e4 2 0 0 m i3 iou3 d uo1 zh ang3 ， iong4 『 ch eng2 』 f a3 j i4 s uan4 。 』
j i4 d i4 n （ n N * ） c i4 p a2 x ing2 h ou4 x iao3 ch ong2 uei4 ü2 d ing3 d ian3 A ch u4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 p n .
i3 zh i1 d ian3 A （ 1 ， 0 ） ， F （ 1 ， 0 ） ， d ong4 d ian3 P m an3 z u2 2 | | .
A . iou3 x iang4 x ian4 d uan4 d e0 sh u4 l iang4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
（ 2 ） （ i ） d ang1 t uei4 f ei1 l ing2 ch ang2 sh u4 sh i2 ， üan2 f ang1 ch eng2 z u3 uei4 ，
j ie3 ： A . 2 x y 2 d e0 x i4 sh u4 sh i4 2 ， c i4 sh u4 sh i4 3 ， b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 d a3 j iou3 b a1 zh e2 ， j i2 iou1 h uei4 l e0 üan2 j ia4 d e0 ( 1 『 9 8 』 ) 。 』
s uo3 i3 q ian2 n t ian1 s uo3 zh i1 b u4 d e0 ch i3 sh u4 uei4 ( 2 n 1 ) .
A . in1 uei4 1 1 0 ， s uo3 i3 1 1 iou3 p ing2 f ang1 g en1 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i3 zh i1 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 sh i4 d uo1 sh ao3 ， q iou2 zh e4 g e4 sh u4 』
m ing4 t i2 “ a x 2 2 a x 3 0 b u4 ch eng2 l i4 ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ，
j ie3 ： d uei4 er4 c i4 h an2 sh u4 y x 2 2 x 1 p ei4 f ang1 ， d e2 y ( x 1 ) 2 2 .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 d ian3 P zh ong1 x in1 d uei4 ch en4 ， z e2 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 sh i4 .
in1 uei4 d e2 d ao4 d e0 h an2 sh u4 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 ， q ie3 0 ，
d a2 ： q ü4 uen2 er4 d ian4 b i3 j iao4 h e2 s uan4 。
g u4 s i4 b ian1 x ing2 O A B P b u4 n eng2 ch eng2 uei2 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
q ie3 z ai4 （ ， ） n ei4 x iang1 q ie4 ， q i2 q ie1 d ian3 uei4 A （ ， s i n ） ， （ ， ） .
d uei4 ü2 ， A B C D ， A B p ing2 m ian4 S C D ， C D p ing2 m ian4 S C D ，
r uo4 a b ， z e2 a h uo4 a ；
s uo3 b ao1 uei2 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 uei4 4 .
j ie3 ： t ong1 g uo4 d a4 l iang4 d e0 sh i4 ian4 k e3 i3 f a1 x ian4 ， zh eng4 m ian4 ch ao2 sh ang4 d e0 p in2 l ü4 z ai4 ch ang2 sh u4 0 . 5 f u4 j in4 b ai3 d ong4 ， g u4 zh i4 i1 c i4 ing4 b i4 zh eng4 m ian4 ch ao2 sh ang4 d e0 g ai4 l ü4 uei4 0 . 5 .
D x üan3 x iang4 zh ong1 ， r uo4 2 ， z e2 k e3 d e2 ， g u4 2 a 1 2 8 ， z e2 a ， g u4 c uo4 u4 .
q üan2 n ian2 d e0 z ong3 l i4 r uen4 uei4 y ( 3 . 4 0 2 . 8 0 ) 6 0 0 0 1 . 5 x 3 6 0 0 ( ) ， h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | 0 x 6 0 0 0 q ie3 x N } .
d a2 an4 ： ch eng2 ， ch u2 ， j ian3 ， 5 8 0 。
3 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 b ian1 zh ang3 uei4 ： 2 4 3 4 2 （ c m ）
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 l ian2 j ie1 d uei4 j iao3 x ian4 ， h ua4 ch u1 sh i4 i4 t u2 r u2 x ia4 ：
g en1 j ü4 x ie2 er4 c e4 m ian4 f a3 d e0 z uo4 f a3 k e3 d e2 üan2 l ai2 p ing2 x ing2 d e0 x ian4 d uan4 r eng2 r an2 p ing2 x ing2 ， g u4 x üan3 x iang4 D zh eng4 q üe4
iou2 x iang4 l iang4 x iang1 d eng3 d e0 d ing4 i4 k e3 d e2 k e3 i3 t uei1 ch u1 | | | | q ie3 ， f an3 g uo4 l ai2 ， | | | | q ie3 ， k e3 d e2 h uo4 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 .
q i2 ü2 d ou1 sh i4 h ei1 q iou2 . r uo4 m o1 zh ong1 j ia3 x iang1 zh ong1 d e0 h ong2 q iou2 ，
k e3 d e2 üan2 x in1 uei4 （ 1 ， 1 ） ， b an4 j ing4 d eng3 ü2 2 .
A . f u4 sh i2 sh u4
j i2 n k 1 sh i2 ， m ing4 t i2 ie3 ch eng2 l i4 ，
g u4 l ing2 x ia4 5 0 b i3 l ing2 x ia4 1 8 d i1
zh e4 g e4 zh eng4 sh u4 d e0 l iang3 g e4 p ing2 f ang1 g en1 f en1 b ie2 sh i4 2 a 1 h e2 a 5 ，
B . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4
i1 t iao2 zh i2 x ian4 z ai4 l iang3 g e4 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 zh ong1 d e0 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 ， z e2 z ai4 l ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 b i4 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 zh e4 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ；
H sh i4 A 1 B D d e0 uai4 x in1 .
s i4 b ian1 x iang1 d eng3 d e0 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 l ing2 x ing2 ；
x iao3 m ing2 h e2 x iao3 f ang1 j ie3 d a2 d e0 t i2 m u4 sh i4 ： “ x ian1 h ua4 j ian3 ， z ai4 q iou2 zh i2 ： 2 a ， q i2 zh ong1 a 9 ” .
d ian3 Q z ai4 q ie4 x ian4 sh ang4 ， s uo3 i3 y 1 y 0 2 ( x 0 x 1 ) ， y 2 y 0 2 ( x 0 x 2 ) ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r en2 m in2 b i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
s i4 b ian1 x ing2 A 1 M D N sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
3 0 0 p ing2 f ang1 l i2 m i3 （ ） p ing2 f ang1 f en1 m i3
D . p ao1 u4 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4 ， q ie3 g uo4 d ian3 （ 1 ， ）
s uo3 i3 zh i2 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y x ，
s uo3 i3 | M A | | M B | d e0 zh i2 uei4 1 8 .
j ie3 zh i1 d e2 ， a 1 2 ， c 2 ，
（ 2 ） C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 c o s ， s uo3 i3 d ian3 B d e0 z uo4 b iao1 k e3 sh e4 uei4 （ 4 c o s ， ） ， （ ， ） .
i3 zh i1 m ou3 t iao2 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ q i2 zh ong1 t uei4 c an1 sh u4 ， a R ） ， d ian3 M （ 5 ， 4 ） z ai4 g ai1 q ü1 x ian4 sh ang4 ， z e2 sh i2 sh u4 a .
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
ün4 s uan4 ， d e2 üan2 sh i4 3 0 ；
m ing4 t i2 “ x R ， 0 ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 .
z ai4 l i3 t ian2 sh ang4 x iao3 sh u4 。
c ong2 er2 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 uei4
a x 2 b x c 2 a x b h eng2 ch eng2 l i4 ， j i2 a x 2 ( b 2 a ) x ( c b ) 0 h eng2 ch eng2 l i4 .
B . 3 . 1 2 1 0 3 ， zh eng4 q üe4 ， f u2 h e2 iao1 q iou2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 d e0 g ai4 l ü4 j ia1 f a3 g ong1 sh i4 』
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） C 1 ， O ， M p ing2 m ian4 B D C 1 ， q ie3 C 1 ， O ， M p ing2 m ian4 A 1 A C C 1 ，
j i2 x k h uo4 x k ， k Z ， iou4 x [ ， ] ，
d ian3 （ 3 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d e0 j ü4 l i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 ün4 s uan4 l ü4 』
g u4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 O G F E d e0 m ian4 j i1 uei4 5 2 1 0 .
（ 2 ） i3 zh i1 f ( x ) sh i4 er4 c i4 h an2 sh u4 ， r uo4 f ( x 1 ) f ( x 1 ) 2 x 2 4 x 4 ， q iou2 f ( x ) .
B . r uo4 a b ， b c ， z e2 a c ， g u4 c uo4 u4 ；
r u2 g uo3 p ing2 m ian4 p ing2 m ian4 ， p ing2 m ian4 p ing2 m ian4 ， l ， n a4 m e0 l ；
（ 1 ） c ong2 h e2 zh ong1 i1 c i4 s uei2 j i1 q ü3 ch u1 2 g e4 q iou2 ， q iou2 q ü3 ch u1 d e0 2 g e4 q iou2 ian2 s e4 x iang4 t ong2 d e0 g ai4 l ü4 P ；
j ie3 ： q ü1 x ian4 C 1 ： ( c o s s i n ) 1 ， j i2 x y 1 ；
5 0 k m 5 0 0 0 0 0 0 c m ， g u4 zh e4 g e4 b i3 l i4 ch i3 uei4 ： 1 : 5 0 0 0 0 0 0 。
s uo3 i3 g ai1 sh i4 j ian4 sh i4 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 .
g u4 k e3 d e2 d uei4 ing4 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
d a2 ： zh e4 zh ong3 ch en4 i1 d e0 j in4 j ia4 sh i4 1 3 4 üan2 。
m ou3 sh ang1 d ian4 j in4 x ing2 j ie2 r i4 c u4 x iao1 ， s uo3 iou3 i1 f u2 d a3 b a1 zh e2 。 l i3 a1 i2 m ai3 l e0 i1 j ian4 i1 f u2 ， f u4 l e0 4 0 0 üan2 ， ing2 ie4 üan2 zh ao3 g ei3 t a1 2 0 üan2 。 zh e4 j ian4 i1 f u2 d e0 üan2 j ia4 sh i4 d uo1 sh ao3 üan2 ？
( 1 ) q iou2 p ao1 u4 x ian4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 ；
（ 2 ） l ing4 t 1 ， z e2 t [ 1 ， ] q ie3 x ( t 1 ) 2 ，
s uo3 i3 c ong2 g ai1 p i1 d ian4 q i4 zh ong1 r en4 x üan3 1 j ian4 ， q iou2 q i2 uei4 ” B ” x ing2 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
3 sh i2 2 5 f en1 （ ） sh i2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
s uo3 i3 d ian3 （ 2 ， 1 ） h e2 d ian3 （ 5 ， 0 ） d e0 j ü4 l i2 uei4 .
d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 （ ）
z e2 ， d ai4 r u4 t uo3 üan2 f ang1 ch eng2 1 ， d e2 x 2 y 2 1 ，
i3 zh i1 j i2 h e2 U { 1 ， 2 ， ， n } ( n N * ， n 2 ) ， d uei4 ü2 j i2 h e2 U d e0 l iang3 g e4 f ei1 k ong4 z i0 j i2 A ， B ， r uo4 A B ， z e2 ch eng1 （ A ， B ） uei4 j i2 h e2 U d e0 i1 z u3 “ h u4 ch i4 z i0 j i2 ” . j i4 j i2 h e2 U d e0 s uo3 iou3 “ h u4 ch i4 z i0 j i2 ” d e0 z u3 sh u4 uei4 f ( n ) （ sh i4 （ A ， B ） ü3 （ B ， A ） uei4 t ong2 i1 z u3 “ h u4 ch i4 z i0 j i2 ” ） .
iou2 ü2 x 0 ， g u4 m 3 ing1 sh e3 q ü4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 n ei4 j iao3 h e2 』
f en1 b ie2 z ai4 l iang3 g e4 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 h uo4 i4 m ian4 ， g u4 c uo4 u4 ；
（ 3 ） iou2 t i2 i4 zh i1 f ang1 ch eng2 1 k | x | z ai4 [ 0 ， 3 ] sh ang4 iou3 l iang3 g e4 b u4 t ong2 g en1 ，
x ia4 l ie4 er4 c i4 g en1 sh i4 zh ong1 ， sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 uei4 （ ）
n ian2 ch an3 l iang4 zh i3 b iao1 d ing4 z ai4 2 3 0 d uen1 sh i2 ， k e3 i3 h uo4 d e2 z uei4 d a4 l i4 r uen4 1 2 9 0 uan4 üan2 .
k ong1 j ian1 zh ong1 iou3 i2 g e4 j iao3 A d e0 l iang3 b ian1 h e2 l ing4 i2 g e4 j iao3 B d e0 l iang3 b ian1 f en1 b ie2 p ing2 x ing2 ， A 7 0 ， z e2 B .
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
üan2 sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 4 6 .
D . m o4 uei4 sh u4 sh i4 5 d e0 sh u4 i2 d ing4 n eng2 b ei4 5 zh eng3 ch u2
h ua4 i2 g e4 r uei4 j iao3 uei4 4 5 d e0 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 。
j ie3 ： sh e4 x üe2 x iao4 d e0 q i2 g an1 g ao1 uei4 x m i3
n a4 m e0 zh e4 l iang3 g e4 sh u4 j iou4 ing1 g ai1 sh i4 3 h e2 4 .
【 t i2 sh i4 】 『 “ r uo4 k 0 ， z e2 g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 x 2 2 x k 0 iou3 sh i2 g en1 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 d e0 t iao2 j ian4 h e2 j ie2 l uen4 sh i4 üan2 m ing4 t i2 t iao2 j ian4 h e2 『 j ie2 l uen4 』 d e0 f ou3 d ing4 . 』
r uo4 a 2 sh i2 ， üan2 b u4 d eng3 sh i4 uei4 4 x 1 0 ，
s uo3 i3 üan2 t ai2 d e0 t i3 j i1 V h ( r 1 2 r 1 r 2 r 2 2 ) 1 0 ( 1 0 2 1 0 2 0 2 0 2 ) （ c m 3 ） .
（ 4 ） sh e4 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 f u2 c ong2 zh eng4 t ai4 f en1 b u4 N ( 0 ， 1 ) ， r uo4 P ( 1 ) P ， z e2 p ( 1 0 ) p .
zh i2 x ian4 l ： x s i n 3 0 y c o s 1 5 0 1 0 d e0 x ie2 l ü4 sh i4 .
g u4 zh eng4 q üe4 .
iou4 in1 uei4 A D B C ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 t iao2 p ing2 x ing2 x ian4 zh ong1 d e0 i1 t iao2 p ing2 x ing2 ü2 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 ， l ing4 i1 t iao2 ie3 p ing2 x ing2 ü2 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 』
6 2 0 ü3 3 0 0 d e0 h e2 ch u2 i3 4 0 d e0 sh ang1 ， z ai4 ch eng2 7 ， j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
j ie3 ： （ 1 ） iou2 ， x iao1 q ü4 t ， k e3 d e2
r u2 g uo3 i2 g e4 üan2 sh i4 q üe4 d ing4 d e0 ， n a4 m e0 t a1 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 h e2 b ai3 x ian4 ie3 sh i4 q üe4 d ing4 d e0 ， d an4 x üan3 q ü3 b u4 t ong2 d e0 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， j ian4 k ai1 x ian4 h e2 b ai3 x ian4 d e0 uei4 zh i4 h uei4 b u4 t ong2 ，
s uo3 i3 y 3 s i n ( 2 x ) t u2 x iang4 x iang1 l in2 l iang3 d uei4 ch en4 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 uei4 .
q ü1 x ian4 C 1 ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 （ ， 0 ） z ai4 q ü1 x ian4 C 2 sh ang4 ， d ai4 r u4 q ü1 x ian4 C 2 d e0 f ang1 ch eng2 ， d e2 a .
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ，
A C B O O ， A C p ing2 m ian4 A B C ， B O p ing2 m ian4 A B C ，
g en1 j ü4 a b 0 ， sh uo1 m ing2 f u4 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 d a4 ü2 zh eng4 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ü3 b i4 iao4 t iao2 j ian4 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， d i3 m ian4 A B C D uei4 j ü3 x ing2 ， c e4 l eng2 P A d i3 m ian4 A B C D ， A B ， B C 1 ， P A 2 ， E uei4 P D d e0 zh ong1 d ian3 .
d a2 an4 ： p ing2 x ing2 .
d ang1 a 1 sh i2 ， f ( x ) sh i4 ou3 h an2 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 （ 2 ） d e0 m ing4 t i2 zh ong1 h an2 iou3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 “ c uen2 z ai4 ” ， in1 c i3 t a1 sh i4 『 t e4 』 ch eng1 m ing4 t i2 . 』
x ie3 ch u1 t u2 s e4 b u4 f en4 b iao3 sh i4 d e0 x iao3 sh u4 ， z ai4 b i3 j iao4 x iao3 sh u4 d a4 x iao3 。
x 2 y 2 1 0 0 ， j i2 C 1 uei4 üan2 x in1 z ai4 （ 0 ， 0 ） ， b an4 j ing4 d eng3 ü2 1 0 d e0 üan2 .
g uo4 zh i2 x ian4 ü3 q iou2 x in1 z uo4 j ie2 m ian4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 . g uo4 d ian3 O z uo4 O O ch uei2 zh i2 ü2 zh i2 x ian4 j iao1 ü2 d ian3 O ， z e2 O A 5 ， A O 3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 iou3 『 2 』 g e4 d i3 m ian4 h e2 『 1 』 g e4 c e4 m ian4 。 』
zh eng4 m ing2 ： m ing4 t i2 “ r uo4 a 2 b 2 2 a 4 b 3 0 ， z e2 a b 1 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 a b 1 ， z e2 a 2 b 2 2 a 4 b 3 0 ” .
r u2 t u2 ， b u2 sh i4 zh eng4 s i4 m ian4 t i3 d e0 zh an3 k ai1 t u2 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
j ie3 ： c ong2 j ian4 k ai1 x ian4 f ang1 ch eng2 k e3 zh i1 j i1 üan2 b an4 j ing4 uei4 6 ，
g u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 y zh ou2 d uei4 ch en4 ， b u3 q üan2 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
r u2 t u2 ， x ian1 j iang1 j ia3 r ong2 q i4 zh u4 m an3 sh uei3 ， z ai4 j iang1 sh uei3 d ao4 r u4 i3 r ong2 q i4 ， zh e4 sh i2 i3 r ong2 q i4 zh ong1 d e0 sh uei3 iou3 d uo1 g ao1 ? （ d an1 uei4 ： c m ）
i3 zh i1 a ， b ， c ， d uei4 iou3 l i3 sh u4 ， z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 uei4 zh i4 ， sh i4 h ua4 j ian3 ： | 2 a 3 b | | 3 b 2 a | | 2 b c | 2 | d | .
s uo3 i3 A B C sh i4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
f ang1 ch eng2 2 x 2 2 ( k 1 ) x k 0 iou3 l iang3 g e4 b u4 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1 ，
r u2 t u2 ， z ai4 p ing2 x ing2 l iou4 m ian4 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， A A 1 p ing2 m ian4 A B C D ， q ie3 A B A D 2 ， A A 1 ， B A D 1 2 0 .
j ie3 ： （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
h uan4 b iao3 h ou4 s uo3 x ü1 d ian4 f ei4 ： 0 . 5 5 5 0 0 . 3 0 2 0 3 3 . 5 （ üan2 ） ，
（ 2 ） sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 k sh i3 0 ？ r uo4 c uen2 z ai4 ， q iou2 k d e0 zh i2 ； r uo4 b u4 c uen2 z ai4 ， sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
（ 1 ） zh eng4 m ing2 ： p ing2 m ian4 D F C p ing2 m ian4 D 1 E C ；
b a3 i1 g en1 1 . 5 m i3 zh ang3 d e0 zh u2 g an1 zh i2 l i4 z ai4 d i4 sh ang4 ， l iang4 d e2 t a1 d e0 ing3 zh ang3 uei4 1 . 2 m i3 ， t ong2 sh i2 l iang4 d e2 x üe2 x iao4 d e0 q i2 g an1 d e0 ing3 zh ang3 sh i4 6 . 4 m i3 ， x üe2 x iao4 d e0 q i2 g an1 g ao1 d uo1 sh ao3 m i3 ？
（ 2 ） q iou2 6 g e4 m ian4 zh ong1 q ia4 h ao3 iou3 2 g e4 m ian4 x ü1 iao4 g eng1 h uan4 d e0 g ai4 l ü4 ；
d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4
in1 uei4 a b ， s uo3 i3 a ， b b u4 t ong2 sh i2 uei4 0 ，
g uo4 d ian3 P iou3 q ie3 j in3 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 l ， m d ou1 i4 m ian4 .
ch eng2 x i1 d ian4 ： 1 2 0 0 . 5 6 0 （ üan2 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
r uo4 a 、 b 、 c 0 ， q ie3 a ( a b c ) b c 4 2 ， z e2 2 a b c d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： in1 uei4 y s i n ( 2 x ) s i n 2 ( x ) ，
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 M （ 4 ， ） d ao4 q ü1 x ian4 c o s （ ） 2 sh ang4 d e0 d ian3 d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ü2 x ian2 d ing4 l i3 』
x ia4 t u2 sh i4 d ong4 u4 üan2 p ing2 m ian4 t u2 。
（ 2 ） d ang1 a 3 sh i2 ， q ü1 x ian4 C 1 ü3 q ü1 x ian4 C 2 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 A ， B l iang3 d ian3 d e0 j ü4 l i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
iou4 in1 uei4 M uei4 P C d e0 zh ong1 d ian3 ， s uo3 i3 M （ 1 ， 1 ， 2 ） .
z e2 a 1 h uo4 a 4 ， j i2 a 1 .
（ 1 ） d eng3 d i3 d eng3 g ao1 d e0 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 i2 d ing4 b i3 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 d a4 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 。
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 ing1 j iao1 d e0 g e4 r en2 s uo3 d e0 sh uei4 j iou4 sh i4 q iou2 ( 1 5 0 0 『 』 8 0 0 ) d e0 2 0 sh i4 d uo1 sh ao3 ， iong4 『 ch eng2 』 f a3 。 』
i3 zh i1 j i2 h e2 P { a ， a q ， a q 2 } ， Q { a ， a d ， a 2 d } ， q i2 zh ong1 a 0 ， q ie3 a R ， r uo4 P Q ， z e2 sh i2 sh u4 q .
s uo3 i3 m u4 b iao1 h an2 sh u4 z 2 x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 2 ( 1 ) 5 .
b a3 f ang1 ch eng2 y s i n x b ian4 uei4 y s i n 4 x d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 g ong1 sh i4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i2 z uo4 b iao1 x i4 』
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 c o s h e2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ t uei4 c an1 sh u4 ） s uo3 b iao3 sh i4 d e0 t u2 x ing2 f en1 b ie2 sh i4 （ ）
c ong2 er2 sh u4 l ie4 { b n } d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 uei4 b n n 2 .
j ie3 ： （ 1 ） f 1 ( x ) | x 1 | | x 2 | sh i4 “ p ing2 d i3 x ing2 ” h an2 sh u4 ， c uen2 z ai4 q ü1 j ian1 1 ， 2 sh i3 d e0 f 1 ( x ) 1 ， z ai4 q ü1 j ian1 1 ， 2 uai4 ， f 1 ( x ) 1 ，
d uei4 ü2 f ang1 ch eng2 x 2 1 d e0 j ie3 sh i4 x 1 ， k e3 k an4 ch u1 iou3 l uo2 j i2 l ian2 j ie2 c i2 “ h uo4 ” .
iou2 s an1 sh i4 t u2 q iou2 m ian4 j i1 、 t i3 j i1
d ang1 a c ü3 b d ch eng2 l i4 sh i2 ， j ia3 sh e4 a b ， c d ，
i1 t i2 i4 d e2 [ ] [ ] [ ] ， [ ] [ ] [ ] ，
d ang1 2 sh i2 ， j i2 iou3 x [ 3 ， 4 ] sh i2 ，
i1 t iao2 ü3 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 d e0 x ian4 d uan4 ， q i2 ch ang2 d u4 uei4 1 0 c m ， l iang3 d uan1 d ian3 d ao4 p ing2 m ian4 a d e0 j ü4 l i2 f en1 b ie2 sh i4 2 c m ， 3 c m ， zh e4 t iao2 x ian4 d uan4 ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 sh i4 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 zh i1 f ( 1 ) 2 f ( 1 1 ) 2 f ( 0 ) 0 ，
iou3 i1 b iao1 zh uen3 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 ch i3 l uen2 ， ch i3 l uen2 d e0 ch i3 k uo4 x ian4 d e0 j i1 üan2 zh i2 j ing4 uei4 2 2 m m ， q iou2 ch i3 k uo4 x ian4 s uo3 z ai4 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
sh e4 ， uei4 b u4 g ong4 x ian4 x iang4 l iang4 ， 2 ， 4 ， 5 3 , z e2 x ia4 l ie4 g uan1 x i4 sh i4 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4
（ 1 ） b en3 ch ang3 g uan1 zh ong4 z uei4 sh ao3 iou3 d uo1 sh ao3 r en2 ？
iou2 zh i2 x ian4 ü3 üan2 x iang1 q ie4 zh i1 ，
s uo3 i3 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 zh ong1 ， B C A D .
s uo3 i3 d ian3 P z ai4 f ang1 ch eng2 x 2 ( y 1 ) 2 1 0 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh ang4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 ing4 iong4 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， l iou4 l eng2 zh u4 A B C D E F A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 zh ong1 ， d i3 m ian4 sh i4 zh eng4 l iou4 b ian1 x ing2 .
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 m u4 x in4 x i1 k e3 d e2 ， m x 2 m x 1 0 d uei4 r en4 i4 x R h eng2 ch eng2 l i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 7 2 9 7 ， b ei4 ch u2 sh u4 sh ou3 uei4 h e2 ch u2 sh u4 x iang1 d eng3 ， sh ang1 d e0 z uei4 g ao1 uei4 sh i4 『 b ai3 』 uei4 。 』
in1 uei4 a ， b sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ， zh i2 x ian4 c p ing2 x ing2 ü2 zh i2 x ian4 a ，
h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 f en1 b ie2 uei4 x 2 y 2 h e2 x 2 y 2 y 0 ， k e3 zh i1 b iao3 sh i4 l iang3 g e4 üan2 .
c an1 j ia1 iou2 x i4 zh e3 d e0 sh ou1 i4 X d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 uei4 E ( X ) k ( 1 ) 1 ( üan2 ) .
s uo3 i3 A d e0 n i4 j ü3 zh en4 A 1 .
g u4 d ian3 A d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ， ） .
（ 3 ） l eng2 t ai2 d e0 t i3 j i1 V ( S S ) h ( 5 2 3 2 ) 3 4 9 .
（ 2 ） c uen2 z ai4 i2 g e4 x 0 R ， sh i3 0 ；
C . n i3 h uei4 sh uo1 ing1 ü3 m a0 ？
in1 uei4 A B N P ， s uo3 i3 A B p ing2 m ian4 M N P ， s uo3 i3 zh eng4 q üe4 .
d ang1 x 0 2 ， y 0 2 sh i2 3 x 0 2 y 0 1 0 ， g u4 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
l ing4 x 1 ， j ie3 d e2 y ， z ，
j ie3 ： j ie2 m ian4 B C F E iou4 c e4 b u4 f en4 sh i4 l eng2 zh u4 ， in1 uei4 t a1 m an3 z u2 l eng2 zh u4 d e0 d ing4 i4 .
j ie3 ： sh e4 b ian4 h ua4 q ian2 h ou4 l iang3 q iou2 d e0 b an4 j ing4 f en1 b ie2 uei4 r 、 R ， z e2 iou3 ，
c i3 sh i2 ing1 iou3 2 k t 1 ， j i2 k ， g u4 d uei4 n t f en1 j i1 ou3 t ao3 l uen4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 sh u4 『 d a4 』 ü2 l ing2 ， f u4 sh u4 『 x iao3 』 ü2 l ing2 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
in1 uei4 zh e4 l iang3 d ian3 ch ong2 h e2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： d ang1 a 0 sh i2 ， üan2 f ang1 ch eng2 uei4 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 2 x 1 0 ， m an3 z u2 t i2 i4 ， s uo3 q iou2 üan2 s u4 j i2 uei4 f ang1 ch eng2 d e0 g en1 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
【 t i2 sh i4 】 『 d ang1 a h e2 b sh i4 uai4 x iang4 sh i2 ， 『 d 』 h e2 『 c 』 sh i4 n ei4 x iang4 . 』
d uei4 ü2 m ing4 t i2 “ r u2 g uo3 1 2 9 0 ， n a4 m e0 1 2 ” ， n eng2 sh uo1 m ing2 t a1 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 d e0 f an3 l i4 sh i4 （ ）
（ 3 ） n eng2 b ei4 5 zh eng3 ch u2 d e0 zh eng3 sh u4 m o4 uei4 sh u4 sh i4 0 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d a1 p ei4 zh ong1 d e0 x üe2 uen4 』
j ie3 ： d uei4 ü2 ， üan2 t ai2 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 ， g u4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
p ao1 zh i4 l iang3 m ei2 t ou2 z i3 ， q iou2 ：
d ang1 x 1 sh i2 ， y ， x üan3 x iang4 D c uo4 u4 .
zh i3 sh u4 h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 j ing1 g uo4 d ian3 （ 2 ， 4 ） ，
a b c （ d ang1 a b c sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ） .
D . l iang3 t iao2 zh i2 x ian4
d ang1 d ian3 D z ai4 d ian3 C d e0 z uo3 c e4 sh i2 ，
d a2 an4 ： üan2 zh u4 .
g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 zh i1 f ( 0 ) 2 s i n 1 ， z e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
g ai4 l ü4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4
j ü3 x ing2 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 .
i3 zh i1 0 ， h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( x ) z ai4 （ ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ， z e2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
j ie3 ： A . in1 uei4 a b 0 ， g en1 j ü4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 ， t ong2 sh i2 ch eng2 i3 i2 g e4 f u4 sh u4 ， üan2 b u4 d eng3 sh i4 f u2 h ao4 b ian4 h ao4 ， s uo3 i3 a 2 a b ， g u4 A c uo4 u4 ；
r u2 t u2 ， z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， i3 zh i1 P A p ing2 m ian4 A B C D ， q ie3 s i4 b ian1 x ing2 A B C D uei4 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 ， A B C B A D ， P A A D 2 ， A B B C 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
d i4 n c i4 sh i2 ， x i4 j ün1 f en1 l ie4 d e0 g e4 sh u4 uei4 2 n g e4 .
C . l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 ；
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 “ a b ” sh i4 “ a c b d ” d e0 b i4 iao4 er2 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
x iao3 x in1 j i4 h ua4 b a3 z i4 j i3 j i1 x ü4 d e0 5 0 0 0 üan2 q ian2 c uen2 r u4 in2 h ang2 ， c uen2 q i1 er4 n ian2 ， zh uen3 b ei4 d ao4 q i1 h ou4 b a3 l i4 x i1 j üan1 x ian4 g ei3 p in2 k uen4 d i4 q ü1 d e0 x iao3 p eng2 iou3 。 r u2 g uo3 n ian2 l i4 l ü4 an4 3 . 7 5 j i4 s uan4 ， d ao4 q i1 h ou4 t a1 k e3 i3 j üan1 ch u1 d uo1 sh ao3 üan2 ？
j ie3 ： d ang1 i3 j ü3 x ing2 b ian1 zh ang3 uei4 1 d e0 b ian1 uei4 zh ou2 ， s uo3 d e0 zh u4 t i3 d e0 c e4 m ian4 j i1 uei4 2 1 2 4 ，
j ia3 sh e4 d ang1 n k sh i2 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 ， j i2 f k ( x ) x k ( x 1 ) k … ( 1 ) k ( x k ) k k ！ .
iou4 P C p ing2 m ian4 P A C ，
z ai4 A B C n ei4 ， sh e4 B ， A ，
5 uei4 t ong2 x üe2 j in4 x ing2 t ou2 l an2 l ian4 x i2 ， zh i4 sh ao3 iao4 t ou2 j in4 d uo1 sh ao3 g e4 q iou2 c ai2 n eng2 b ao3 zh eng4 q i2 zh ong1 1 uei4 t ong2 x üe2 t ou2 j in4 1 0 g e4 q iou2 ？
s uo3 i3 f ( 7 ) j ü4 iou3 x ing4 zh i4 P .
i3 zh i1 d ong4 d ian3 P ， Q d ou1 z ai4 q ü1 x ian4 C ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 ， d uei4 ing4 c an1 sh u4 f en1 b ie2 uei4 t ü3 t 2 （ 0 2 ） ， M uei4 P Q d e0 zh ong1 d ian3 .
s uo3 i3 z uei4 d uan3 j ü4 l i2 uei4 1 .
i3 zh i1 j i2 z uo4 b iao1 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 d ian3 P （ 2 ， ） ， z e2 P g uan1 ü2 j i2 d ian3 d e0 d uei4 ch en4 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 ü3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ ）
p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ；
üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2
（ 1 ） j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) 2 d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 （ 2 ， 3 ） ，
j ie3 ： P A p ing2 m ian4 A B C ， B C p ing2 m ian4 A B C ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
D . 6 ü3 7 zh i1 j ian1
d ian3 D （ 4 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 k ong1 j ian1 t u2 x ing2 d e0 s an1 sh i4 t u2 』
g u4 d ang1 t 0 sh i2 ， | P C | q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 ， c i3 sh i2 d ian3 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， 0 ） .
d ang1 c o s ( ) 1 sh i2 ， d q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 ， q ie3 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
j ie3 ： x 2 x 2 0 h eng2 ch eng2 l i4 ，
m ou3 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 （ d an1 uei4 ： m ） ， q iou2 ：
（ 2 ） r uo4 d ian3 Q z ai4 üan2 C sh ang4 ün4 d ong4 ， d ian3 P z ai4 O Q d e0 ian2 ch ang2 x ian4 sh ang4 ， q ie3 2 ， q iou2 d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
j ie3 ： r en4 h e2 i2 g e4 s an1 j iao3 x ing2 zh i4 sh ao3 iou3 2 g e4 r uei4 j iao3 ， z uei4 d uo1 iou3 1 g e4 d uen4 j iao3 。
（ 2 ） p an4 d uan4 f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 （ 1 ， ） sh ang4 d e0 d an1 d iao4 x ing4 ；
l eng2 t ai2 sh i4 iou2 p ing2 x ing2 ü2 d i3 m ian4 d e0 p ing2 m ian4 j ie2 l eng2 zh uei1 s uo3 d e0 d ao4 d e0 p ing2 m ian4 ü3 d i3 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 b u4 f en4 ， D c uo4 u4 .
j ie3 ： sh e4 m ei3 ch uang2 m ei3 uan3 sh ou1 f ei4 ing1 t i2 g ao1 x g e4 2 üan2 ， g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 ： ( 1 0 2 x ) ( 1 0 0 1 0 x ) 1 1 2 0 ，
d ang1 a b sh i2 ， a | b | b u4 i2 d ing4 ch eng2 l i4 ；
B x üan3 x iang4 zh ong1 ， x üan2 zh uan3 zh i1 h ou4 d e2 d ao4 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 üan2 zh u4 ；
d ai4 r u4 （ * ） d e2 2 2 k 2 3 2 k 2 0 ， j i2 2 k 3 ， c i3 sh i2 k u2 zh eng4 zh eng3 sh u4 j ie3 .
z ai4 i1 c i4 t iao4 s an3 x ün4 l ian4 zh ong1 ， j ia3 、 i3 l iang3 uei4 x üe2 üan2 g e4 t iao4 i1 c i4 ， sh e4 m ing4 t i2 p sh i4 “ j ia3 j iang4 l uo4 z ai4 zh i3 d ing4 f an4 uei2 ” ， q sh i4 “ i3 j iang4 l uo4 z ai4 zh i3 d ing4 f an4 uei2 ” ， z e2 m ing4 t i2 “ zh i4 sh ao3 iou3 i1 uei4 x üe2 üan2 m ei2 iou3 j iang4 l uo4 z ai4 zh i3 d ing4 f an4 uei2 ” k e3 b iao3 sh i4 uei4 （ ） .
E sh i4 A 1 A d e0 zh ong1 d ian3 ， G sh i4 B B 1 zh ong1 d ian3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 t ong3 d e0 t i3 j i1 d i3 m ian4 j i1 『 』 g ao1 ， q i2 zh ong1 iou2 t ong3 d e0 g ao1 uei4 3 d m 。 』
j ie3 ： d uo1 x iang4 sh i4 1 2 x x 2 x 3 sh i4 iou2 d an1 x iang4 sh i4 1 ， 2 x ， x 2 ， x 3 d e0 h e2 z u3 ch eng2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 6 0 2 ， x ü1 z ai4 6 2 sh ang1 d e0 m o4 uei3 t ian1 j ia1 『 1 』 g e4 0 。 』
（ 1 ） j ie3 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 2 ；
q ： c uen2 z ai4 i2 g e4 sh i2 sh u4 x 0 ， sh i3 d e0 x 0 1 0 ；
m ou3 b ai3 h uo4 sh ang1 d ian4 g ao3 c u4 x iao1 h uo2 d ong4 ， s uo3 iou3 sh ang1 p in3 d ou1 an4 b a1 u3 zh e2 ch u1 sh ou4 。 i1 b u4 sh e4 x iang4 j i1 üan2 j ia4 5 0 0 0 üan2 ， i1 h e2 sh u4 m a3 l u4 x iang4 d ai4 üan2 j ia4 3 0 üan2 。 b a4 b a4 d ai4 l e0 4 5 0 0 üan2 ， x iang3 m ai3 i1 b u4 sh e4 x iang4 j i1 h e2 1 0 h e2 sh u4 m a3 l u4 x iang4 d ai4 ， t a1 d ai4 d e0 q ian2 g ou4 m a0 ？
（ 2 ） d ang1 （ 0 ， ） sh i2 ， q iou2 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 O g ong1 g ong4 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 .
r uo4 z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 l iang3 b ian1 sh ang4 r en4 zh ao3 l iang3 d ian3 ， g uo4 zh e4 l iang3 d ian3 h e2 s an1 l eng2 zh uei1 d e0 d ing3 d ian3 d e0 j ie2 m ian4 ， j iou4 h uei4 b a3 s an1 l eng2 zh uei1 f en1 ch eng2 i2 g e4 s an1 l eng2 zh uei1 h e2 i2 g e4 s i4 l eng2 zh uei1 ，
sh i4 j ian4 A ： q ü3 ch u1 d e0 l iang3 j ian4 ch an3 p in3 d ou1 sh i4 zh eng4 p in3 ；
in1 uei4 j ia3 sh u4 b i3 i3 sh u4 d uo1 ，
M uei4 p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 ü3 p ing2 m ian4 A B 1 D 1 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 .
x ing1 q i1 t ian1 ， x iao3 l iang4 q ü4 j iao1 iou2 。
d a2 an4 ： （ uei4 c an1 sh u4 ） .
j iang1 l iang3 sh i4 x iang1 j ia1 d e2 2 ( a 2 b 2 ) 8 ， j i2 a 2 b 2 4 ，
j iang1 s an1 g e4 x iao3 q iou2 q üan2 b u4 f ang4 r u4 l iang3 g e4 h e2 z i0 zh ong1 ， i2 g e4 h e2 z i0 f ang4 i2 g e4 q iou2 ， i2 g e4 h e2 z i0 f ang4 l iang3 g e4 q iou2 ， q i2 zh ong1 iou3 i2 g e4 h e2 z i0 l i3 iou3 i2 g e4 i3 sh ang4 d e0 q iou2 ， zh e4 g e4 j ie2 g uo3 i2 d ing4 f a1 sh eng1 ， sh i4 b i4 r an2 x ian4 x iang4 ；
A D 1 A 1 D P ， P sh i4 A D 1 d e0 zh ong1 d ian3 .
B 、 sh i4 i2 g e4 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 ， i1 uei4 t ong2 x üe2 z uo4 zh i4 ing4 b i4 sh i4 ian4 ， zh i4 6 c i4 ， b u4 i2 d ing4 iou3 3 c i4 “ zh eng4 m ian4 ch ao2 sh ang4 ” ， s uo3 i3 c uo4 u4 ；
h an2 sh u4 f ( x ) ( m 2 m 1 ) x 2 m 3 sh i4 m i4 h an2 sh u4 ， q ie3 z ai4 x （ 0 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， z e2 sh i2 sh u4 m .
（ 3 ） s uei2 j i1 sh i4 j ian4 . m ou3 r en2 g ou4 m ai3 f u2 l i4 c ai3 p iao4 5 zh u4 ， k e3 n eng2 zh ong4 j iang3 ， ie3 k e3 n eng2 uei4 zh ong4 j iang3 ；
i3 zh i1 j i2 h e2 A { x ， x y ， x y } ， B { 0 ， | x | ， y } ， q ie3 A B ， z e2 x ， y .
n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ，
j ie3 ： l ian2 j ie1 B 1 D 1 ， z e2 E uei4 B 1 D 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， l ian2 j ie1 A B 1 ， z e2 E F A B 1 .
（ 2 ） r u2 g uo3 zh ong1 u3 x iou1 x i1 1 x iao3 sh i2 ， q üan2 t ian1 k ai1 g uan3 d uo1 zh ang3 sh i2 j ian1 。 （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ）
j ie3 ： j iang1 p ao1 u4 x ian4 y x 2 4 x （ 4 x 0 ） ian2 y zh ou2 zh e2 d ie2 h ou4 d e2 l ing4 i1 t iao2 p ao1 u4 x ian4 y x 2 4 x （ 0 x 4 ） ， h ua4 ch u1 h an2 sh u4 t u2 x iang4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
j ie3 ： g ong4 iou3 6 d uei4 t ong2 uei4 j iao3 ： E M B ü3 E N D 、 E M A ü3 E N C 、 A M N ü3 C N F 、 B M F ü3 D N F 、 E M B ü3 E N H 、 B M N ü3 H N F ；
j ie3 ： in1 uei4 a 0 ，
d ang1 a 1 sh i2 ， zh i2 x ian4 l d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 4 y 3 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
j ie3 ： i3 zh i1 l iang3 g e4 x iang1 l in2 d e0 z uei4 g ao1 d ian3 h e2 z uei4 d i1 d ian3 d e0 j ü4 l i2 uei4 5 ， k e3 d e2 5 ， j ie3 d e2 T 6 .
z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 h ou4 ， q ü1 x ian4 C b ian4 uei4 q ü1 x ian4 ( x 5 ) 2 ( y 6 ) 2 1 ， q iou2 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 ， b ing4 p an4 d uan4 q i2 x ing2 zh uang4 .
（ 2 ） r uo4 d ian3 M （ 3 ， 0 ） z ai4 zh i2 x ian4 l sh ang4 ， q iou2 t ， b ing4 sh uo1 m ing2 t d e0 j i3 h e2 i4 i4 .
d ang1 c o s 1 sh i2 q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 4 .
s uo3 i3 q ü1 x ian4 C 2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 a 0 .
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 x ie3 ch u1 n i4 m ing4 t i2 sh i2 ， j iang1 üan2 m ing4 t i2 d e0 “ m n 0 ” h e2 “ f ang1 ch eng2 m x 2 x n 0 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ” d e0 uei4 zh i4 『 j iao1 h uan4 』 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 1 5 . 1 2 . 7 ， x iao3 sh u3 d ian3 d uei4 q i2 ， sh i2 f en1 uei4 b u4 g ou4 j ian3 ， x iang4 『 g e4 』 uei4 j ie4 1 。 』
g u4 s uo3 d e0 zh u4 t i3 d e0 d i3 m ian4 j i1 S S sh an4 x ing2 O E F S O E F R 2 R 2 s i n 1 2 0 ，
x 2 5 0 b u2 sh i4 zh eng3 sh i4 f ang1 ch eng2 ， g u4 b u2 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ；
d ian3 sh u4 zh i1 h e2 uei4 5 ü3 d ian3 sh u4 zh i1 h e2 uei4 9 d e0 g ai4 l ü4 j ün1 uei4 ；
j ie3 ： ü3 j i2 z uo4 b iao1 （ 2 ， ） x iang1 t ong2 d e0 d ian3 k e3 i3 b iao3 sh i4 uei4 （ 2 ， 2 k ） （ k Z ） ，
ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 、 x iang1 j iao1 h uo4 i4 m ian4 ，
j ie3 ： iou2 ü2 “ x ， y d ou1 sh i4 ou3 sh u4 ” d e0 f ou3 d ing4 b iao3 d a2 uei4 “ x ， y b u4 d ou1 sh i4 ou3 sh u4 ” ， “ x y sh i4 ou3 sh u4 ” d e0 f ou3 d ing4 b iao3 d a2 uei4 “ x y b u2 sh i4 ou3 sh u4 ” ，
j ie3 ： c ong2 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 ， j i1 üan2 b an4 j ing4 uei4 1 ， zh i2 j ing4 uei4 2 ；
9 sh i2 3 0 f en1 2 sh i2 1 1 sh i2 3 0 f en1
d a2 an4 ： { x | 3 x 3 q ie3 x 2 } .
（ 2 ） g ai1 sh i4 n an2 ing1 ch u1 sh eng1 d e0 g ai4 l ü4 üe1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
i1 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 ， ch u2 sh u4 sh i4 3 ， t a1 k e3 n eng2 d e0 ü2 sh u4 sh i4 （ ） 。
j iang1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x ia4 d e0 f ang1 ch eng2 g uan1 ü2 x zh ou2 d uei4 ch en4 d e2 x 2 y 1 ，
A . p 、 q d ou1 sh i4 j ia3 m ing4 t i2
【 t i2 sh i4 】 『 x üan2 zh uan3 j iao3 d e0 zh ou1 q i1 uei4 『 2 k 』 h uo4 ( 2 k 1 ) . 』
s uo3 i3 z ai4 t u1 n b ian1 x ing2 n ei4 j iao3 zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 4 g e4 sh i4 r uei4 j iao3 b u4 ch eng2 l i4 ，
s uo3 i3 q iou2 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 4 ( ) 2 3 a 2 .
【 t i2 sh i4 】 『 iao4 sh i3 uei2 l an2 z uei4 d uan3 ， j i2 zh ou1 ch ang2 z uei4 『 d uan3 』 。 』
iou2 l eng2 zh u4 d e0 t e4 d ian3 k e3 zh i1 ， l eng2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 d e0 x ing2 ch eng2 uen4 t i2 』
f ou3 z e2 h uo2 d ong4 zh ong1 zh i3 .
p ing2 x ing2 t ou2 ing3 d e0 t ou2 ing3 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， zh ong1 x in1 t ou2 ing3 d e0 t ou2 ing3 x ian4 x iang1 j iao1 ü2 i4 d ian3 ；
j ie3 f ang1 ch eng2 。
d a4 j iang1 d ong1 q ü4 l ang4 t ao2 j in3 ， q ian1 g u3 f eng1 l iou2 sh u4 r en2 u4 ；
d ang1 t sh i2 ， x y iou3 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 1 ； d ang1 t sh i2 ， x y iou3 z uei4 d a4 zh i2 uei4 9 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 d ian3 M 、 N d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 sh i4 （ 2 ， 0 ） ， （ ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 t u2 zh ong1 j ian4 t ou2 zh i3 x iang4 『 b ei3 』 ， sh uo1 m ing2 b ian4 r en4 f ang1 x iang4 d e0 i1 j ü4 sh i4 sh ang4 『 b ei3 』 x ia4 n an2 ， z uo3 x i1 iou4 d ong1 。 』
B D B 1 D 1 ， q ie3 B D p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ， B 1 D 1 p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ，
d ang1 s i n ( ) 1 sh i2 ， S q ü3 z uei4 d a4 zh i2 ， S m a x 5 2 ；
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) ， g ( x ) ， z e2 f ( x ) g ( x ) .
【 t i2 sh i4 】 『 x ia4 u3 2 sh i2 2 『 』 1 2 sh i2 。 』
j ie3 ： in1 uei4 a ， b h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ， c ， d h u4 uei4 d ao4 sh u3 ， m d e0 j üe2 d uei4 zh i2 sh i4 1 ，
m ou3 b an1 l ian2 h uan1 uan3 h uei4 uan2 t ou2 q iou2 iou2 x i4 ，
（ 1 ） sh i4 q iou2 b ian1 h ao4 uei4 2 d e0 ch ou1 t i4 n ei4 f ang4 d e0 sh i4 h ei1 q iou2 d e0 g ai4 l ü4 p ；
l ing4 y 1 ， j ie3 d e2 z 1 ， x 1 .
in1 uei4 d ian3 d e0 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 r eng2 sh i4 d ian3 ， s uo3 i3 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 d e0 t ou2 ing3 b u4 k e3 n eng2 p ing2 x ing2 ， g u4 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
er4 c i4 h an2 sh u4 y a x 2 b x c （ a 0 ） d e0 k ai1 k ou3 f ang1 x iang4 ü3 a d e0 q ü3 zh i2 iou3 g uan1 ， d ang1 a 0 sh i2 ， k ai1 k ou3 x iang4 sh ang4 ， d ang1 a 0 sh i2 ， k ai1 k ou3 x iang4 x ia4 ， sh i4 s uei2 j i1 x ian4 x iang4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
h ai3 sh ang4 iou3 A 、 B 、 C s an1 g e4 x iao3 d ao3 ， A 、 B x iang1 j ü4 5 h ai3 l i3 ， c ong2 A d ao3 uang4 C h e2 B ch eng2 4 5 sh i4 j iao3 ， c ong2 B d ao3 uang4 C h e2 A ch eng2 7 5 sh i4 j iao3 ， z e2 B 、 C l iang3 d ao3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 sh i4 h ai3 l i3 .
j ie3 ： d ian3 （ 3 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， 3 ） .
E 、 H 、 G 、 F sh i4 d uei4 ing4 b ian1 d e0 zh ong1 d ian3 ，
r u2 t u2 ， z e2 zh i2 x ian4 A B h e2 p ing2 m ian4 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 p ing2 x ing2 h uo4 x iang1 j iao1 .
C 、 f u2 h e2 A A S ， n eng2 p an4 d ing4 A B C A B C ；
s uo3 i3 d ang1 0 t 5 sh i2 ， s 5 2 t ，
j ie3 ： （ ） iou2 d ian3 M 、 N d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 sh i4 （ 2 ， 0 ） ， （ ） ，
iong4 sh u4 sh i4 j i4 s uan4 。 （ z uei4 h ou4 i1 t i2 iao4 ian4 s uan4 )
z ong1 h e2 s uan4 sh i4 ： ( 4 6 0 8 8 0 ) 2 0 5 3 3 5
d ang1 sh i2 ， sh e4 x ian4 l ü3 C 1 ， C 2 d e0 l iang3 g e4 j iao1 d ian3 A 2 ， B 2 f en1 b ie2 ü3 A 1 ， B 1 g uan1 ü2 x zh ou2 d uei4 ch en4 ， in1 c i3 s i4 b ian1 x ing2 A 1 A 2 B 2 B 1 uei4 t i1 x ing2 .
s an1 d ian3 g ong4 x ian4
ch e1 l uen2 d e0 zh ou1 ch ang2 i2 d ing4 ， x ing2 sh i3 d e0 l u4 ch eng2 ch e1 l uen2 d e0 zh uan3 sh u4 ch e1 l uen2 d e0 zh ou1 ch ang2 （ i2 d ing4 ） ， s uo3 i3 x ing2 sh i3 d e0 l u4 ch eng2 h e2 ch e1 l uen2 d e0 zh uan3 sh u4 ch eng2 zh e4 zh eng4 b i3 l i4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 i1 f u2 t u2 b a3 zh eng4 f ang1 x ing2 p ing2 j ün1 f en1 ch eng2 1 0 f en4 ， i1 f en4 sh i4 0 . 1 ， in1 ing3 b u4 f en4 zh an4 『 7 』 f en4 。 』
g ei3 d ing4 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ：
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 6 üe4 1 r i4 d ao4 7 üe4 1 r i4 zh i1 j ian1 d e0 t ian1 sh u4 ch u2 i3 i1 zh ou1 d e0 t ian1 sh u4 ， 『 sh ang1 』 uei4 j ing1 g uo4 d e0 x ing1 q i1 sh u4 ， 『 ü2 sh u4 』 uei4 sh eng4 ü2 d e0 t ian1 sh u4 。 』
d ang1 sh i2 ， d 0 ， g u4 M d e0 g uei3 j i4 t ong1 g uo4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 .
b u4 d eng3 sh i4 a x b （ b 0 ） d e0 j ie3 j i2 b u4 k e3 n eng2 sh i4 （ ， ） .
j iang1 y 3 s i n ( 2 x ) an4 zh ao4 ： b ian4 h uan4 h ou4 ，
j ie3 ： j ü3 zh en4 A d e0 t e4 zh eng1 d uo1 x iang4 sh i4 uei4 f ( ) 2 5 6 ( 2 ) ( 3 ) ，
q iou2 d e0 t ou2 ing3 sh i4 üan2 .
r uo4 i3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 x ian4 d uan4 y 1 x （ 0 x 1 ） d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
x ia4 l ie4 s i4 g e4 x üan3 x iang4 zh ong1 d e0 t u2 x ing2 b iao3 sh i4 l iang3 g e4 x iang1 j iao1 p ing2 m ian4 ， q i2 zh ong1 h ua4 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
（ 1 ） r u2 t u2 ， in1 uei4 E ， F f en1 b ie2 uei4 l eng2 A B ， B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
d uei4 ü2 ， ( 9 x 2 1 6 y 2 ) ( 3 x 4 y ) 3 x 4 y ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
t u2 （ 2 ） zh ong1 c ， d ü3 a ， b d e0 j iao1 d ian3 ch ong2 h e2 ， g u4 c i3 sh i2 c ， d x iang1 j iao1 .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 ， zh i2 x ian4 uei4 y x t a n ， üan2 uei4 ( x 4 ) 2 y 2 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 x ing2 x iang4 l iang4 ü3 g ong4 x ian4 x iang4 l iang4 』
j ie3 ： sh e4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 { a n } d e0 g ong1 ch ai1 uei4 d ， a 1 1 ，
r uo4 n uei4 j i1 sh u4 ， sh e4 n 2 k 1 （ k N * ） ， z e2 1 n 2 1 ( 2 k 1 ) 2 4 k 2 4 k 2 2 m ，
d ang1 sh i2 ， sh e4 x ian4 l ü3 C 1 ， C 2 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 0 ， 1 ） （ 0 ， b ） ，
i3 i2 g e4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 d i3 b ian1 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 uei4 x üan2 zh uan3 zh ou2 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 s uo3 d e0 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 （ ）
iou2 uan2 q üan2 p ing2 f ang1 g ong1 sh i4 zh an3 k ai1 ， d e2
c ong2 h an2 iou3 l iang3 j ian4 zh eng4 p in3 a 1 ， a 2 h e2 i1 j ian4 c i4 p in3 b 1 d e0 s an1 j ian4 ch an3 p in3 zh ong1 m ei3 c i4 r en4 q ü3 i1 j ian4 ， m ei3 c i4 q ü3 ch u1 h ou4 b u4 f ang4 h uei2 ， l ian2 x ü4 q ü3 l iang3 c i4 .
A D p ing2 m ian4 A C 1 D ， A 1 E p ing2 m ian4 A C 1 D ，
（ 1 ） x ie3 ch u1 f ( 6 ) d e0 zh i2 ；
i4 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 x a ch u4 q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 ， j i2 a 1 5 ， j ie3 d e2 a 6 .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 sh i4 q ü1 x ian4 O A B ， q i2 zh ong1 d ian3 O ， A ， B d e0 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 0 ， 0 ） ， （ 1 ， 2 ） ， （ 3 ， 1 ） ， z e2 d e0 zh i2 d eng3 ü2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
j ie3 ： r u2 x ia4 t u2 ， ，
（ 2 ） r uo4 k 0 ， q ie3 b u4 d eng3 sh i4 d uei4 i1 q ie4 2 x 3 d ou1 ch eng2 l i4 ， q iou2 sh i2 sh u4 k d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
g u4 üan2 x in1 C （ ， 0 ） ， b an4 j ing4 r .
j ie3 d a2 t i2 ：
（ 1 ） d a4 m en2 d e0 b ei3 m ian4 iou3 h ou2 sh an1 h e2 l ao3 h u3 g uan3 ； x iong2 m ao1 g uan3 z ai4 h ou2 sh an1 d e0 x i1 m ian4 ， h ou2 sh an1 d e0 d ong1 m ian4 iou3 b ao4 g uan3 ； d ong4 u4 üan2 d e0 x i1 n an2 j iao3 iou3 x ing1 x ing1 g uan3 ， l u4 g uan3 z ai4 d ong4 u4 üan2 d e0 d ong1 b ei3 j iao3 。
C . l eng2 zh uei1 j in3 iou3 i2 g e4 d i3 m ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
（ 1 ） “ r uo4 x y 0 ， z e2 x ， y h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 ；
l ing2 d ian3 s an1 er4 x ie3 z uo4 （ 0 . 3 2 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 』
iou2 s an1 j iao3 h an2 sh u4 h e2 x iang4 l iang4 d e0 zh i1 sh i2 ， k e3 d e2 （ 4 c o s ， 4 s i n ） .
m ou3 ch ang3 sh eng1 ch an3 h ua4 g ong1 üan2 l iao4 ， d ang1 n ian2 ch an3 l iang4 z ai4 1 5 0 d uen1 d ao4 2 5 0 d uen1 sh i2 ， n ian2 sh eng1 ch an3 z ong3 ch eng2 b en3 y （ uan4 üan2 ） ü3 n ian2 ch an3 l iang4 x （ d uen1 ） zh i1 j ian1 d e0 g uan1 x i4 k e3 j in4 s i4 b iao3 sh i4 uei4 y 3 0 x 4 0 0 0 ，
r en4 i4 i2 g e4 sh i2 sh u4 z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 d ou1 （ ）
in1 c i3 ， d ang1 x ， y 3 sh i2 q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 1 8 .
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 1 . 4 2 . 3 ， 4 ü3 『 3 』 d uei4 q i2 ， ie3 j iou4 sh i4 x iang1 t ong2 sh u4 uei4 d uei4 q i2 。 』
c ong2 er2 d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 sh i4 E 5 0 . 5 2 . 5 ，
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 h ua4 ch eng2 x iao3 sh u4 ， iong4 1 6 ch u2 i3 『 2 5 』 。 』
iong4 j ian3 b ian4 f ang1 f a3 j i4 s uan4 。
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q iou2 g uo4 t uo3 üan2 （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 iou4 j iao1 d ian3 ， q ie3 ü3 zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） p ing2 x ing2 d e0 zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 .
s uo3 i3 x ian4 d uan4 P Q zh ong1 d ian3 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 1 .
t ong2 l i3 p an4 d uan4 A 、 B 、 C ， j ün1 zh eng4 q üe4 .
q ü1 x ian4 C 1 ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 （ ， 0 ） z ai4 q ü1 x ian4 C 2 sh ang4 ， d ai4 r u4 q ü1 x ian4 C 2 d e0 f ang1 ch eng2 ， d e2 a .
【 t i2 sh i4 】 『 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3 ， 『 sh u3 ü2 』 zh u4 t i3 ， 『 ie3 sh u3 ü2 』 l eng2 zh u4 . 』
j ie3 ： in1 uei4 g ong1 r en2 z u3 zh uang1 d i4 A j ian4 ch an3 p in3 iong4 sh i2 1 5 f en1 zh ong1 ，
S üan2 zh u4 : S üan2 zh uei1 2 : 1 .
iou4 A D p ing2 m ian4 P A D ，
d a2 an4 ： n ； 6 （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 c e4 m ian4 j i1 『 2 』 g e4 d i3 m ian4 j i1 。 』
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 ， q ü3 x iang1 t ong2 d e0 d an1 uei4 ch ang2 d u4 ， j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 q ü1 x ian4 C 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ [ 0 ， 2 ] ） ， uei4 c an1 sh u4 ） ， q ü1 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 s i n ( ) a （ a R ） ， r uo4 q ü1 x ian4 C 1 ü3 q ü1 x ian4 C 2 iou3 q ie3 j in3 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 zh i2 .
u2 l i3 sh u4 sh i4 ， ， ， t a1 m en0 d e0 j i1 uei4 2 ，
j ie3 ： g en1 j ü4 sh i2 sh u4 j i2 j üe2 d uei4 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 d e2 ： sh i2 sh u4 zh ong1 u2 z uei4 d a4 j i2 z uei4 x iao3 d e0 sh u4 ， j üe2 d uei4 zh i2 u2 z uei4 d a4 d e0 sh u4 ， iou2 j üe2 d uei4 zh i2 d e0 f ei1 f u4 x ing4 d e2 D zh eng4 q üe4 .
t a1 b iao3 sh i4 üan2 x in1 uei4 （ ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 d e0 üan2 .
j ie3 ： in1 uei4 h u4 uei4 n i4 f ou3 m ing4 t i2 d e0 l iang3 g e4 m ing4 t i2 d e0 zh en1 j ia3 x ing4 x iang1 t ong2 ， er2 “ x ing4 f u2 d e0 r en2 m en0 d ou1 iong1 iou3 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 “ b u4 iong1 iou3 d e0 r en2 m en0 b u4 x ing4 f u2 ” .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
A . l iang3 t iao2 zh i2 x ian4
r uo4 a b 0 ， q ie3 a b 1 ， z e2 x ia4 l ie4 b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 d e0 sh i4 （ ）
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l 1 ： x a y 2 0 h e2 l 2 ： ( a 2 ) x 3 y 6 a 0 ， z e2 l 1 l 2 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 a .
3 ） r uo4 k 1 6 t 2 ， z e2 k 6 t 1 ， c i3 sh i2 iou3 f ( k 1 ) f ( k ) 2 k 2 2 ( k 1 ) 2 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 ；
j ie3 ： iou2 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 zh i1 sh i2 k e3 zh i1
V üan2 zh uei1 r 3 ， V b an4 q iou2 r 3 r 3 ，
p ing2 x ing2 t ou2 ing3 j i2 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 z uo4 t u2 f a3
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， i3 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 q ü1 x ian4 C ： s i n 2 2 a c o s （ a 0 ） ， g uo4 d ian3 P （ 2 ， 4 ） d e0 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t sh i4 c an1 sh u4 ） ， zh i2 x ian4 l ü3 q ü1 x ian4 C f en1 b ie2 j iao1 ü2 M 、 N l iang3 d ian3 .
g u4 zh ou1 ch ang2 zh i1 b i3 ： 6 r : 4 r 3 : 2 。
h ua4 j ian3 ( 2 ) d e2 （ ）
（ 2 ） sh e4 X uei4 j ia3 、 i3 、 b ing3 s an1 r en2 zh ong1 x üan3 x iou1 《 sh u4 x üe2 sh i3 》 d e0 r en2 sh u4 ， q iou2 X d e0 f en1 b u4 l ie4 h e2 sh u4 x üe2 q i1 uang4 E ( X ) .
i2 g e4 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 b an4 j ing4 k uo4 d a4 d ao4 t a1 d e0 2 b ei4 ， g ao1 b u4 b ian4 。 zh e4 g e4 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 j i1 j iou4 k uo4 d a4 d ao4 t a1 d e0 （ ） 。
d a2 an4 ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 』
（ 1 ） b a3 üan2 O 1 h e2 üan2 O 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 b i3 l i4 』
j iang1 d ian3 B （ 0 ， ） d e0 z uo4 b iao1 d ai4 r u4 ，
t iao2 j ian4 ： l iang3 g e4 j iao3 sh i4 d eng3 j iao3 d e0 ü2 j iao3 ；
s uo3 i3 S t i1 x ing2 A B C D ( A D B C ) A B ( 1 1 ) 2 .
r uo4 zh i2 x ian4 l ü3 p ing2 m ian4 b u4 p ing2 x ing2 ， z e2 l ü3 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 r en4 i4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d ou1 b u4 p ing2 x ing2 ；
g u4 zh i2 x ian4 l b ei4 üan2 C j ie2 d e2 d e0 x ian4 d uan4 zh ang3 2 2 .
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 zh i1 g ai1 j i3 h e2 t i3 sh i4 i2 g e4 üan2 zh u4 d e0 ， q i2 zh ong1 g ai1 üan2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 3 ， d i3 m ian4 üan2 b an4 j ing4 sh i4 2 ，
（ 1 ） j iang1 M ， N ， P s an1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 ；
i2 x iang4 ， d e2 ： 2 4 x ，
B . r uo4 x y sh i4 ou3 sh u4 ， z e2 x ü3 y d ou1 b u2 sh i4 ou3 sh u4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
s uo3 i3 p p q ， j i2 q 1 .
D . l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 x iang1 d eng3
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 c o s s i n 1 0 . i3 j i2 d ian3 uei4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 ， j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， t uo3 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） q iou2 zh i2 x ian4 l h e2 t uo3 üan2 C x iang1 j iao1 s uo3 ch eng2 x ian2 d e0 x ian2 zh ang3 .
j ie3 ： iao4 sh i3 üan2 b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 ， zh i3 iao4 ( ) 2 ( ) 2 ，
j ie3 ： i3 üan2 d e0 üan2 x in1 uei4 üan2 d ian3 ， i1 t iao2 b an4 j ing4 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 uei4 x zh ou2 ， j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 .
s uo3 i3 er4 m ian4 j iao3 A D F C d e0 d a4 x iao3 uei4 1 2 0 .
j ie3 ： g en1 j ü4 l eng2 zh u4 d e0 d ing4 i4 ， j i2 iou3 l iang3 g e4 m ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， q i2 ü2 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 d uo1 b ian1 x ing2 ， b ing4 q ie3 m ei3 x iang1 l in2 l iang3 g e4 d uo1 b ian1 x ing2 d e0 g ong1 g ong4 b ian1 d ou1 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， iou2 zh e4 x ie1 m ian4 s uo3 uei2 ch eng2 d e0 d uo1 m ian4 t i3 j iao4 z uo4 l eng2 zh u4 ， k e3 d e2 4 g e4 t u2 d ou1 m an3 z u2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 x iang4 sh i4 d ing4 l i3 』
A 1 B 1 A 1 C 1 ， D sh i4 B 1 C 1 d e0 zh ong1 d ian3 ，
A . d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4
z ai4 üan2 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， A D A C ， A C B C ，
x ia4 l ie4 t u2 x ing2 ： s an1 j iao3 x ing2 ； zh i2 x ian4 ； p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ； s i4 m ian4 t i3 ； q iou2 . q i2 zh ong1 ， t ou2 ing3 b u4 k e3 n eng2 sh i4 x ian4 d uan4 d e0 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 f ang1 g en1 』
（ 4 ） 4 . 0 0 ， 1 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 4 . 0 0
üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 sh i4 { x | x 6 h uo4 x 0 } .
l ing2 x ing2 d uei4 j iao3 x ian4 B D P C .
p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， p sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 ü3 t uei1 l uen4 』
s uo3 i3 g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 t i3 j i1 d eng3 ü2 2 2 3 2 .
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 C D 1 B A 1 ， zh i1 『 A 1 B C 1 』 sh i4 B C 1 ü3 C D 1 s uo3 ch eng2 j iao3 . 』
（ 1 ） x iao3 ch ong2 z uei4 h ou4 sh i4 f ou3 h uei2 d ao4 l e0 ch u1 f a1 d ian3 O ？
s uo3 i3 x 0 ， b u4 f ang2 sh e4 y z 1 ，
j iang1 sh i4 x iang1 j ia1 k e3 d e2 a 5 b 5 c 5 d 5 a b c d ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b c d 1 sh i2 ， q ü3 d eng3 h ao4 .
j ie3 ： i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 k x 2 6 x 9 0 iou3 l iang3 g e4 b u4 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i3 、 d uei4 sh u4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 x ie4 f a3 』
j ie3 ： j iang1 d ian3 M （ 2 ， 1 ） d ai4 r u4 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 zh ong1 ， k e3 d e2
f en1 b ie2 z ai4 l iang3 g e4 x iang1 j iao1 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
in1 c i3 a n 1 ü3 a n t ong2 h ao4 ， a 1 0 ，
s uo3 i3 j iang1 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 uei4 i1 zh ang3 uei4 2 ， k uan1 uei4 2 d e0 j ü3 x ing2 .
b a3 y 0 d ai4 r u4 ， d e2 c o s 1 ，
b a3 y x b d ai4 r u4 d e2 5 x 2 2 b x b 2 1 6 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
D . 0 sh i4 d an1 x iang4 sh i4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
（ 2 1 ， ， ） sh i4 p ing2 m ian4 D E F d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
d ian3 M d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 2 x 2 p x y 2 0 （ x 0 ） .
（ 3 ） m ing4 t i2 r d e0 f ou3 d ing4 sh i4 ： c uen2 z ai4 i1 d uei4 d eng3 üan2 ， q i2 m ian4 j i1 h uo4 zh ou1 ch ang2 b u4 x iang1 d eng3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 d e0 q ian2 n x iang4 h e2 』
p ing2 m ian4 A B E p ing2 m ian4 B B 1 C C 1 .
r u2 t u2 ， r uo4 d ian3 Q z ai4 b an4 j ing4 A P sh ang4 （ h uo4 z ai4 b an4 j ing4 A P d e0 ian2 ch ang2 x ian4 sh ang4 ） ， d ang1 ch e1 l uen2 g uen3 d ong4 sh i2 ， d ian3 Q d e0 g uei3 j i4 ch eng1 uei2 b ian4 f u2 p ing2 b ai3 x ian4 ， q ü3 | A Q | h uo4 | A Q | ， q ing3 t uei1 ch u1 Q d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
r uo4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 h e2 d i4 s an1 g e4 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 ， z e2 l iang3 t iao2 j iao1 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 .
g uo2 j ia1 an1 q üan2 j i1 g uan1 j ian1 t ing1 l u4 in1 j i1 j i4 l u4 l e0 l iang3 g e4 j ian4 d ie2 d e0 t an2 h ua4 ，
s uo3 i3 x 2 2 y 2 3 z 2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 k e3 i3 z uo4 d ing4 l i3 d e0 iou3 （ ）
q i4 ch e1 d e0 “ r an2 iou2 x iao4 l ü4 ” sh i4 zh i3 q i4 ch e1 m ei3 x iao1 h ao4 1 sh eng1 q i4 iou2 x ing2 sh i3 d e0 l i3 ch eng2 ， x ia4 t u2 m iao2 sh u4 l e0 j ia3 、 i3 、 b ing3 s an1 l iang4 q i4 ch e1 z ai4 b u4 t ong2 s u4 d u4 x ia4 d e0 r an2 iou2 x iao4 l ü4 q ing2 k uang4 . x ia4 l ie4 x ü4 sh u4 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
A . i2 g e4 üan2 ü3 i1 t iao2 zh i2 x ian4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch u2 i3 l iang3 uei4 sh u4 』
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 sh e4 x ian4 ü3 q ü1 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， z e2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ong1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 .
z ai4 A B C zh ong1 ， M uei4 B C b ian1 sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， N uei4 A M d e0 zh ong1 d ian3 ， ， z e2 d e0 zh i2 uei4 .
iou2 g en1 ü3 x i4 sh u4 d e0 g uan1 x i4 ， d e2 t 1 t 2 ， t 1 t 2 ，
iao4 d e0 d ao4 h an2 sh u4 f ( x ) 2 a x 1 （ a 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
a ， g u4 zh eng4 q üe4 .
iou2 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 3 x y b 0 ， k e3 d e2 1 a 3 ，
A . üan2 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2
s uo3 i3 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 a .
（ 2 ） z ai4 0 . 8 h ou4 m ian4 t ian1 sh ang4 l iang3 g e4 0 ， t a1 d e0 d a4 x iao3 b u4 b ian4 ， sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： z ai4 x zh ou2 d e0 zh eng4 f ang1 x iang4 sh ang4 q ü3 d ian3 M 1 ， sh i3 O M 1 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
sh e4 sh i4 j ian4 D { A M A C } ，
【 t i2 sh i4 】 『 g uo4 zh i2 x ian4 uai4 i4 d ian3 iou3 q ie3 zh i3 iou3 『 i1 』 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 i3 zh i1 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ， t i2 m u4 zh ong1 d ian3 M 、 P sh i4 zh i2 x ian4 A B uai4 d e0 l iang3 d ian3 . 』
z ai4 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， 2 ， 4 ， 5 3 ， q i2 zh ong1 ， sh i4 b u4 g ong4 x ian4 d e0 x iang4 l iang4 ， z e2 s i4 b ian1 x ing2 A B C D d e0 x ing2 zh uang4 sh i4 .
d ang1 1 2 sh i2 ， iou2 er4 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 z u3 d e2 i2 g e4 f ei1 l ing2 j ie3 ，
k e3 d e2 üan2 x in1 uei4 （ 0 ， 2 ） ，
d ing1 d ing1 m ei3 t ian1 z ao3 sh ang4 z ong3 sh i4 x ian1 c ong2 j ia1 ch u1 f a1 z ou3 d ao4 d ong1 d ong1 j ia1 ， r an2 h ou4 h e2 d ong1 d ong1 i4 q i3 d ao4 x üe2 x iao4 ， f ang4 x üe2 h ou4 l iang3 g e4 r en2 ian2 üan2 l u4 f en1 b ie2 h uei2 j ia1 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j in4 s i4 sh u4 』
zh ou1 ch ang2 1 6 l i2 m i3
D . j i2 d ian3 zh ong1 x in1 d uei4 ch en4
m ing4 t i2 p d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 ： r uo4 sh u4 l ie4 { a n } b u2 sh i4 d i4 z eng1 sh u4 l ie4 ， z e2 a 1 a 2 a 3 b u4 ch eng2 l i4 ， sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
iou4 iou2 y b c o s zh i1 ， y [ | b | ， | b | ] ，
i1 zh ong3 h ua1 f en3 k e1 l i4 zh i2 j ing4 üe1 uei4 0 . 0 0 0 0 0 6 5 m i3 ， sh u4 z i4 0 . 0 0 0 0 0 6 5 iong4 k e1 x üe2 j i4 sh u4 f a3 b iao3 sh i4 uei4 （ ）
2 x y d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ s q r t { 7 3 } ] .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 』
2 . iao4 d ian4 z ai4 sh i2 z i4 l u4 k ou3 d e0 （ d ong1 b ei3 ） j iao3 ， sh i2 z i4 l u4 k ou3 d e0 x i1 b ei3 j iao3 iou3 （ ch ao1 sh i4 ） ， sh u1 d ian4 z ai4 sh i2 z i4 l u4 k ou3 d e0 （ x i1 n an2 ） j iao3 ， h ua1 d ian4 z ai4 sh i2 z i4 l u4 k ou3 d e0 （ d ong1 n an2 ） j iao3 。
A B C uei4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 .
ie3 k e3 i3 k an4 z uo4 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3 q ie1 g e1 h ou4 d e0 i1 b u4 f en4 ， z uei4 zh ang3 d e0 i1 t iao2 l eng2 j i2 uei4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 t i3 d uei4 j iao3 x ian4 .
s uo3 i3 m ei3 g e4 m ian4 d ou1 k e3 i3 sh i4 d uen4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 x ian4 A 1 x B 1 y C 1 0 ü3 zh i2 x ian4 A 2 x B 2 y C 2 0 z ai4 x ie2 l ü4 c uen2 z ai4 sh i2 ， p ing2 x ing2 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 『 』 . 』
z ai4 A B C zh ong1 ， A uei4 q i2 n ei4 j iao3 ， sh e4 （ ， s i n A ） ， （ c o s A ， ） ， q ie3 ， z e2 s i n A c o s A d e0 zh i2 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
C . n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 “ zh ou1 q i1 h an2 sh u4 sh i4 d an1 d iao4 h an2 sh u4 ”
in1 uei4 c 1 ， c k c 1 ， c t c k ch eng2 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ，
j ie3 ： A 、 r u2 t u2 （ 1 ） s uo3 sh i4 ， iou2 l iang3 g e4 j ie2 g ou4 x iang1 t ong2 d e0 s an1 l eng2 zh uei1 d ie2 f ang4 z ai4 i4 q i3 g ou4 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 ， g e4 m ian4 d ou1 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 ， d an4 t a1 b u2 sh i4 l eng2 zh uei1 ， g u4 A c uo4 u4 ；
j i2 | 3 | | 3 | ， b i4 iao4 x ing4 ch eng2 l i4 .
g ai1 t ong2 x üe2 t ou2 ch u1 d e0 q iou2 sh u4 uei4 X .
C ： d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 ： 3 . 1 4 9 . 4 2 2 9 . 5 7 8 8
r uo4 a 0 ， f ( x ) 2 a x ( 6 a 2 ) ， l ing4 f ( x ) 0 ， j ie3 d e2 x ，
i3 zh i1 d ian3 A ， zh i2 x ian4 a ， p ing2 m ian4 ， z e2 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 b iao3 sh u4 b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
ch u2 q ü4 z uei4 d i3 x ia4 d e0 i1 c eng2 ，
d a2 ： c an1 j ia1 uen2 u4 zh an3 l an3 d e0 sh i1 sh eng1 i1 g ong4 iou3 6 2 5 r en2 。
d ian3 M d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
c i3 sh i2 zh i2 x ian4 C Q ü3 D P s uo3 ch eng2 j iao3 q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 C ， iou2 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 d e0 d ing4 i4 zh i1 A ü3 B sh i4 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 ， s uo3 i3 C b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
sh e4 s uo3 q iou2 x ian2 zh ang3 uei4 l ，
sh u4 x üe2 q i1 uang4 E ( ) 0 1 2 3 .
D . 5 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 ， g u4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 .
f ang1 ch eng2 3 x 2 5 x 4 d e0 er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 、 i1 c i4 x iang4 x i4 sh u4 j i2 ch ang2 sh u4 x iang4 zh i1 h e2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 』
i2 g e4 zh eng4 sh u4 iou3 g e4 p ing2 f ang1 g en1 ， iou3 g e4 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 .
j i2 h e2 h an2 sh u4 f ( x ) g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { 4 } .
（ 2 ） 0 . 5 0 3 j ing1 q üe4 d ao4 q ian1 f en1 uei4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 i3 zh i1 m ei3 m iao3 d e0 l iou2 s u4 ， q iou2 5 f en1 zh ong1 l ang4 f ei4 d e0 sh uei3 ， iao4 j iang1 5 f en1 zh ong1 h ua4 uei4 『 3 0 0 』 m iao3 j i4 s uan4 。 』
d ang1 1 0 sh i2 ， S A O B d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 a b .
x ia4 l ie4 er4 c i4 g en1 sh i4 zh ong1 ü3 sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 sh i4 （ ）
（ 1 ） d ian3 sh u4 zh i1 h e2 uei4 4 d e0 b ei4 sh u4 d e0 g ai4 l ü4 ；
q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 x 0 ， i3 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 .
（ 2 ） r u2 g uo3 iao1 q iou2 sh a1 ch e1 j ü4 l i2 b u4 ch ao1 g uo4 2 5 . 2 m i3 ， q iou2 x ing2 sh i3 d e0 z uei4 d a4 s u4 d u4 .
（ 1 ） p an4 d uan4 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 j i1 ou3 x ing4 ；
x ia4 l ie4 g uan1 ü2 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 、 l eng2 t ai2 d e0 sh uo1 f a3 ： l eng2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 k e3 i3 b u2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ； l eng2 t ai2 d e0 c e4 m ian4 i1 d ing4 b u2 h uei4 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ； l eng2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 zh i3 n eng2 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 ；
j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， i4 d e2 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， C （ ， 1 ， 0 ） ， D （ 0 ， 2 ， 0 ） ， A 1 （ 0 ， 0 ， 2 ） ， E （ ， 0 ， 0 ） ， F （ ， ， 1 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 2 . 4 3 d u2 sh u4 sh i2 ， zh eng3 sh u4 b u4 f en4 an4 zh eng3 sh u4 d e0 d u2 f a3 d u2 ， x iao3 sh u3 d ian3 d u2 z uo4 d ian3 ， x iao3 sh u4 b u4 f en4 c ong2 『 sh i2 f en1 』 uei4 q i3 ， sh i4 j i3 j iou4 d u2 j i3 。 』
iou2 s an1 j iao3 x ing2 A B C uei4 r uei4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， z e2 c o s B 0 ， c o s C 0 ，
iou2 t a n B t a n C 2 t a n B t a n C k e3 d e2 t a n A t a n B t a n C ，
üan2 x in1 uei4 （ 1 ， 2 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
q iou2 x ia4 l ie4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 ：
j ie3 ： g en1 j ü4 zh i3 sh u4 h an2 sh u4 t u2 x iang4 d e0 x ing4 zh i4 ， k e3 zh i1 y a x （ a 0 ） d e0 t u2 x iang4 z ai4 d i4 i1 、 er4 x iang4 x ian4 .
iou2 f ei1 f u4 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 x 2 ， g u4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 i1 t iao2 sh e4 x ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
n ei4 d e0 s uo3 iou3 zh i2 x ian4 ü3 a b u4 ch uei2 zh i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
x ian1 z ai4 i3 x iang1 zh ong1 m o1 q iou2 ， c an1 ü4 zh e3 h uo4 j iang3 j in1 k e3 q ü3 0 ， n ， m n ，
d a2 an4 ： （ 6 ， 0 ） h e2 （ 6 ， 0 ） .
j ie3 ： iou2 | x 1 | 2 k e3 d e2 x 1 2 h uo4 x 1 2 ， j i2 x 1 h uo4 x 3 .
【 t i2 sh i4 】 『 c a 0 ， z e2 | c a | 『 a c 』 . 』
（ 1 ） sh uo1 m ing2 C 1 sh i4 n a3 i1 zh ong3 q ü1 x ian4 ， b ing4 j iang1 C 1 d e0 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 1 8 t ian1 x iou1 d e0 ch ang2 d u4 b i3 4 0 0 m i3 『 x iao3 』 sh i2 ， f u2 h e2 t i2 i4 ， f an3 zh i1 『 b u4 』 f u2 h e2 t i2 i4 。 』
j ie3 ： j iang1 üan2 f ang1 ch eng2 b ian4 x ing2 ch eng2 4 s i n c o s 4 c o s s i n ，
g u4 n k 1 sh i2 ， y z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 x ie2 x ian4 P D z ai4 p ing2 m ian4 A B C D n ei4 d e0 sh e4 ing3 sh i4 『 A D 』 . 』
j ie3 ： in1 uei4 s i n ( ) 2 ， s uo3 i3 ( c o s s i n ) 2 ， s uo3 i3 x y 2 ，
（ 2 ） r uo4 d ian3 A z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 ， d ian3 B （ 3 ， 0 ） ， d ang1 d ian3 A z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 ün4 d ong4 sh i2 ， q iou2 A B d e0 zh ong1 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
p ： t i1 x ing2 m ei2 iou3 i1 z u3 d uei4 b ian1 p ing2 x ing2 .
（ 4 ） i4 zh i1 g ai1 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 .
sh uei3 m ian4 d e0 x ing2 zh uang4 j iou4 sh i4 iong4 i2 g e4 ü3 l eng2 （ q ing1 x ie2 sh i2 g u4 d ing4 b u4 d ong4 d e0 l eng2 ） p ing2 x ing2 d e0 p ing2 m ian4 j ie2 ch ang2 f ang1 t i3 sh i2 j ie2 m ian4 d e0 x ing2 zh uang4 ，
s uo3 i3 x 2 2 y 2 3 z 2 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 ，
z ai4 l i3 t ian2 sh ang4 “ ” “ ” h uo4 “ ” 。
x iao3 l iang4 ： 4 5 3 8 7 （ k g ） ， j i4 z uo4 7 k g
l ian2 j ie1 C 1 E ， E F ， C 1 F ， z e2 g uo4 C 1 E F d e0 j ie2 m ian4 j iang1 j i3 h e2 t i3 f en1 ch eng2 l iang3 b u4 f en4 ， q i2 zh ong1 i1 b u4 f en4 sh i4 l eng2 zh u4 A B C E F C 1 ， q i2 l eng2 zh ang3 uei4 2 ；
r uo4 b u4 d eng3 sh i4 k s i n 2 B s i n A s i n C 1 9 s i n B s i n C d uei4 r en4 i4 A B C d ou1 ch eng2 l i4 ， z e2 sh i2 sh u4 k d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
x iang1 j iao1 ü2 d ian3 R ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
m ou3 ch u3 x ü4 s uo3 z ai4 i1 x iao3 sh i2 n ei4 b an4 l i3 l e0 s i4 b i3 ie4 u4 ： c uen2 k uan3 2 0 0 üan2 ， q ü3 k uan3 1 2 0 üan2 ， c uen2 k uan3 4 0 üan2 ， q ü3 k uan3 8 0 üan2 ， iong4 zh eng4 、 f u4 sh u4 b iao3 sh i4 i1 c i4 sh i4 .
x ie3 ch u1 i2 g e4 f u4 sh u4 ， sh i3 zh e4 g e4 sh u4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 x iao3 ü2 3 ： .
zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 1 ， q i2 ü3 x zh ou2 j iao1 d ian3 uei4 （ a ， 0 ） 、 （ a ， 0 ） .
s uo3 i3 d ian3 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） .
r u2 t u2 ， sh e4 A B sh i4 O d e0 x ian2 ， C D sh i4 O d e0 zh i2 j ing4 ， q ie3 C D ü3 A B x iang1 j iao1 ， j i4 m | S C A B S D A B | ， n S O A B ， z e2 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 P A P C ， P A P B ， P C P B 『 P 』 ， P A p ing2 m ian4 P B C . 』
f 2 ( x ) x | x 2 | b u2 sh i4 “ p ing2 d i3 x ing2 ” h an2 sh u4 ， l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
z ai4 A B C zh ong1 ， r uo4 0 ， z e2 A B C sh i4 d uen4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 .
s an1 g e4 c e4 m ian4 S A B ， S B C ， S A C l iang3 l iang3 ch uei2 zh i2 ，
i3 zh i1 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 .
i3 q i2 zh ong1 s an1 g e4 l uen4 d uan4 z uo4 uei2 t iao2 j ian4 ， ü2 x ia4 i2 g e4 l uen4 d uan4 z uo4 uei2 j ie2 l uen4 ， x ie3 ch u1 n i3 r en4 uei2 zh eng4 q üe4 d e0 i2 g e4 m ing4 t i2 （ iong4 x ü4 h ao4 b iao3 sh i4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 sh u4 h e2 f u4 sh u4 』
i3 zh i1 sh u4 l ie4 { a n } d e0 q ian2 n x iang4 h e2 S n p n q （ p 0 q ie3 p 1 ） ， q iou2 zh eng4 ： sh u4 l ie4 { a n } uei4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 uei4 q 1 .
C C 1 ü3 A E g ong4 m ian4 ；
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， l ian2 j ie1 üan2 d ian3 O h e2 p ao1 u4 x ian4 y x 2 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 M ， ian2 ch ang2 O M d ao4 d ian3 P ， sh i3 | O M | | M P | ， q iou2 P d ian3 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 ， b ing4 sh uo1 m ing2 sh i4 sh en2 m e0 q ü1 x ian4 .
b u4 c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 a ， sh i3 p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
d ang1 x 0 sh i2 ， x ， er2 y t x ， j i2 y .
j ie3 ： （ 1 ） d ang1 k 4 sh i2 ， d i4 4 c eng2 b iao1 zh u4 sh u4 z i4 i1 c i4 uei4 x üan3 x 1 、 x 2 、 x 3 、 x 4 ，
2 ） r uo4 k 1 6 t 1 ， z e2 k 6 t ， c i3 sh i2 iou3 f ( k 1 ) f ( k ) 1 k 2 1 ( k 1 ) 2 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 ；
j ie3 ： d ang1 a 3 sh i2 ， A { 1 ， 3 } ， A B ch eng2 l i4 ；
sh i4 m ing4 t i2 ， in1 uei4 x 2 4 x 5 ( x 2 ) 2 1 0 h eng2 ch eng2 l i4 ， s uo3 i3 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ；
E F h e2 G H x iang1 j iao1 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 4 c o s d e2 2 4 c o s ，
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 d ian3 P （ x ， y ） ， z e2 （ x 1 ， y ） ， （ x 1 ， y ） ， （ 2 ， 0 ） .
B . i2 g e4 d ian3 h e2 i1 t iao2 zh i2 x ian4
A . ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
B . 4 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 r u2 g uo3 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 d ou1 ü3 d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n a4 m e0 zh e4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ie3 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 』
j ie3 ： i3 d i4 m ian4 uei4 x zh ou2 ， z uo3 b ian1 d e0 sh u4 uei4 y zh ou2 j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 ( x 6 ) 2 y 2 2 5 ， üan2 x in1 C （ 6 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d ，
【 t i2 sh i4 】 『 x iao3 h uang2 c ong2 iong3 d ao4 d e0 i1 d uan1 iou2 d ao4 l ing4 i1 d uan1 x ü1 iao4 （ 『 3 0 』 6 3 ） m iao3 。 』
D . r uo4 x y b u2 sh i4 ou3 sh u4 ， z e2 x ü3 y d ou1 b u2 sh i4 ou3 sh u4
üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 2 ( s i n c o s ) 4 0 ，
d a2 ： x iao3 ch ang2 f ang1 x ing2 m ian4 j i1 b i3 d a4 ch ang2 f ang1 x ing2 m ian4 j i1 x iao3 。
s i4 b ian1 x ing2 A E F C uei4 j ü3 x ing2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 d e2 d ao4 c n zh ong1 g e4 x iang4 d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 k e3 d e2 c n z uei4 d a4 sh i2 n d e0 zh i2 ， k e3 j iang1 c n 1 ü3 c n 『 z uo4 ch a4 』 . 』
j ie3 ： ch an3 zh i2 z eng1 j ia1 1 0 uan4 üan2 d e0 i4 i4 sh i4 ch an3 zh i2 j ian3 sh ao3 1 0 uan4 üan2 .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 2 c o s d e0 ch uei2 zh i2 ü2 j i2 zh ou2 d e0 l iang3 t iao2 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 f en1 b ie2 uei4 （ ）
d uei4 ü2 C ， k ong1 j ian1 zh ong1 ， r u2 g uo3 l iang3 g e4 j iao3 d e0 l iang3 b ian1 f en1 b ie2 d uei4 ing4 p ing2 x ing2 ， n a4 m e0 zh e4 l iang3 g e4 j iao3 x iang1 d eng3 h uo4 h u4 b u3 ， b u2 sh i4 g ong1 l i3 ；
【 t i2 sh i4 】 『 i1 t iao2 zh i2 x ian4 h e2 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 zh ong1 d e0 i1 t iao2 p ing2 x ing2 ， t a1 h e2 l ing4 i1 t iao2 x iang1 j iao1 h uo4 『 i4 m ian4 』 . 』
üan2 （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 p ing2 b ai3 x ian4 sh ang4 i4 d ian3 d e0 z ong4 z uo4 b iao1 uei4 0 ， n a4 m e0 q i2 h eng2 z uo4 b iao1 k e3 n eng2 sh i4 （ ）
（ 2 ） iong4 t a1 m en0 p in1 ch eng2 i2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
l ian2 j ie1 B D ， z e2 C 1 B D uei4 zh i2 x ian4 B C 1 h e2 p ing2 m ian4 A 1 B C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 .
üan2 d ian3 d ao4 x iang1 j iao1 x ian2 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 3 ， x ian2 zh ang3 d e0 i2 b an4 uei4 ，
sh i4 i2 g e4 s i4 l eng2 zh u4 ； sh i4 i2 g e4 iou2 l iang3 g e4 s an1 l eng2 zh uei1 z u3 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 ； sh i4 i2 g e4 u3 l eng2 zh uei1 .
（ 2 ） q iou2 f ang1 ch eng2 f ( x ) 0 z ai4 （ 0 ， ] n ei4 d e0 s uo3 iou3 j ie3 .
A . g ai1 zh i2 x ian4 sh ang4 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 d ian3 z ai4 p ing2 m ian4 n ei4
k an4 t u2 x ie3 f en1 sh u4 h uo4 x iao3 sh u4 。
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 i1 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 j i2 『 9 』 g e4 d e0 m ian4 j i1 h e2 。 』
（ 2 ） r uo4 b i3 s ai4 j ie2 g uo3 uei4 q iou2 3 : 0 h uo4 3 : 1 ， z e2 sh eng4 l i4 f ang1 d e2 3 f en1 、 d uei4 f ang1 d e2 0 f en1 ； r uo4 b i3 s ai4 j ie2 g uo3 uei4 3 : 2 ， z e2 sh eng4 l i4 f ang1 d e2 2 f en1 、 d uei4 f ang1 d e2 1 f en1 . q iou2 j ia3 d uei4 d e2 f en1 X d e0 f en1 b u4 l ie4 j i2 sh u4 x üe2 q i1 uang4 .
y 2 x 3 z ai4 [ ， 1 ） sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 ，
4 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 sh i4 （ ）
d ang1 a 0 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 a x b （ b 0 ） d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ ， ） ；
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 üan2 zh uei1 t i3 d e0 g ao1 uei4 h c m ，
iou4 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 R sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
（ 2 ） u2 l i3 sh u4 j i2 h e2 { }
i3 zh i1 A ， B uei4 t uo3 üan2 1 （ a b 0 ） sh ang4 l iang3 d ian3 ， O A O B （ O uei4 üan2 d ian3 ） .
j ie3 ： x iao1 q ü4 c an1 sh u4 ， d e2 üan2 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x ) 2 ( y 1 ) 2 9 .
m ing4 t i2 “ i3 zh i1 a ， b d ou1 sh i4 sh i2 sh u4 ， r uo4 a b 0 ， z e2 a ， b b u4 q üan2 uei4 0 ” d e0 n i4 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2 ü3 n i4 f ou3 m ing4 t i2 zh ong1 ， j ia3 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 sh i4 （ ）
j ie3 ： d ang1 a 1 sh i2 ， h an2 sh u4 f ( x ) a x b z ai4 [ 1 ， 0 ] sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ，
j ie3 ： c ong2 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， … ， 1 0 zh e4 sh i2 g e4 sh u4 z i4 zh ong1 r en4 q ü3 i2 g e4 ， n a4 m e0 “ zh e4 g e4 sh u4 sh i4 5 d e0 b ei4 sh u4 ” zh e4 i1 sh i4 j ian4 sh i4 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 .
【 t i2 sh i4 】 『 a p sh i4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 d e0 d e0 i1 x iang4 ， z e2 a p a 1 『 ( p 1 ) 』 d . 』
（ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 4 ） g ong4 1 2 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 q ing2 k uang4 .
d e0 m ian4 j i1 ： r 3 2 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 r 3 2 2 r 1 r 2 ，
b a3 q ü1 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， x iao1 q ü4 c an1 sh u4 ， h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y ( x 2 ) 2 ，
p uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
s uo3 i3 p ing2 m ian4 A C D p ing2 m ian4 B D E .
d a2 ： x ü1 iao4 1 8 8 . 4 p ing2 f ang1 l i2 m i3 d e0 zh i3 ；
C d ian3 d e0 、 f en1 b ie2 uei4 | O C | j i2 C O A ， B d ian3 d e0 、 f en1 b ie2 uei4 ，
j ie3 ： in1 uei4 ( 1 ) 2 ( 1 ) 5 1 ( 1 ) 1 ， s uo3 i3 A c uo4 u4 ；
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ a uei4 c an1 sh u4 ） ， i3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ， sh i4 q iou2 zh i2 x ian4 l ü3 q ü1 x ian4 C d e0 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 .
j ie3 d e2 h uo4 .
d uei4 ü2 ， j ia3 sh e4 a 1 ， q ie3 b 1 ， z e2 a b 2 ü3 a b 2 m ao2 d uen4 ， iou2 c i3 k e3 d e2 j ia3 sh e4 b u4 ch eng2 l i4 ， g u4 a ， b zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 d a4 ü2 1 ；
q i2 zh ong1 A uei4 k ong1 j i2 d e0 zh ong3 sh u4 uei4 2 n ， B uei4 k ong1 j i2 d e0 zh ong3 sh u4 uei4 2 n ，
C . x ie2 b ian1 zh ang3 uei4 5
j ie3 ： c ong2 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 ， j i1 üan2 b an4 j ing4 uei4 1 ， zh i2 j ing4 uei4 2 ；
z ai4 R t A C B ， R t A D B zh ong1 ， A B 2 ， z e2 C O D O 1 ，
B C E d e0 zh ou1 ch ang2 B E C E B C 1 4 1 4 2 4 5 2 .
z ai4 i2 g e4 zh ang3 6 d m 、 k uan1 3 d m 、 g ao1 5 d m d e0 ch ang2 f ang1 t i3 b o1 l i2 ü2 g ang1 zh ong1 f ang4 r u4 i1 x ie1 e2 l uan3 sh i2 （ q üan2 b u4 j in4 m o4 ） ， sh uei3 m ian4 sh ang4 sh eng1 l e0 2 c m 。 zh e4 x ie1 e2 l uan3 sh i2 d e0 t i3 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 l i4 f ang1 l i2 m i3 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 』
n i3 zh i1 d ao4 m a0 ？
z ai4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 ， sh e4 S n uei4 t a1 d e0 q ian2 n x iang4 h e2 ， r uo4 S 1 5 0 ， S 1 6 0 ， q ie3 d ian3 A ( 3 ， a 3 ) ü3 B ( 5 ， a 5 ) d ou1 z ai4 x ie2 l ü4 uei4 2 d e0 zh i2 x ian4 l sh ang4 ， z e2 a 1 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 .
（ 3 ） z ai4 x ian4 d uan4 B C 1 c uen2 z ai4 d ian3 D ， sh i3 d e0 A D A 1 B ， q iou2 d e0 zh i2 .
sh e4 A B d e0 zh ong1 d ian3 M （ x ， y ） ， z e2 M d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 uei4 t ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i4 iong4 d ao3 sh u4 q iou2 h an2 sh u4 d e0 j i2 zh i2 、 z uei4 zh i2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 d e0 d ian3 x ie2 sh i4 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch u2 f a3 』
iong4 h uo3 ch ai2 b ang4 b ai3 “ j in1 ü2 ” ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， an4 zh ao4 t u2 zh ong1 d e0 g uei1 l ü4 ， d i4 n g e4 “ j in1 ü2 ” x ü1 iao4 h uo3 ch ai2 b ang4 d e0 g en1 sh u4 uei4 .
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： h an2 sh u4 f ( x ) ( 2 a 1 ) x b z ai4 R sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ； m ing4 t i2 q ： h an2 sh u4 g ( x ) x 2 a x z ai4 [ 1 ， 2 ] sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ， r uo4 p q uei4 zh en1 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
j ie3 ： （ 1 ） sh i4 j ian4 “ X 0 ” b iao3 sh i4 “ iou3 f ang4 h uei2 d e0 m o1 q iou2 3 c i4 ， s uo3 zh i3 d ing4 d e0 b o1 l i2 q iou2 zh i3 ch u1 x ian4 1 c i4 ” ，
g u4 g uan1 ü2 “ x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 ” ， b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
sh e4 m ， n sh i4 l iang3 t iao2 b u4 t ong2 d e0 zh i2 x ian4 ， ， sh i4 l iang3 g e4 b u4 t ong2 d e0 p ing2 m ian4 . x ia4 l ie4 n eng2 sh i3 m a ch eng2 l i4 d e0 t iao2 j ian4 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
D . m ian4 j i1 b u4 d eng3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 b u4 q üan2 d eng3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ü2 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
（ 2 ） iou2 f ( x ) d e0 b iao3 d a2 sh i4 j i2 t u2 x iang4 ， d ang1 f ( x ) 1 sh i2 ， k e3 d e2 x 1 h uo4 x 3 ；
a ü3 u2 g ong1 g ong4 d ian3 ， zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 sh u4 l iang4 j i1 d e0 x ing4 zh i4 j i2 q i2 ün4 s uan4 l ü4 』
j ie3 ： sh e4 l iang3 t iao2 i4 m ian4 zh i2 x ian4 f en1 b ie2 uei4 a ， b ， ü3 a ， b x iang1 j iao1 d e0 zh i2 x ian4 f en1 b ie2 uei4 c ， d ；
h ua4 j ian3 zh eng3 l i3 ， d e2 2 6 c o s ( ) 8 0 uei4 üan2 C d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
p sh i4 q d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ；
j ie3 ： i3 j i2 z uo4 b iao1 x i4 d e0 j i2 d ian3 uei4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 O ， i3 j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 ， j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y .
in1 uei4 a b ， s uo3 i3 a ， b b u4 t ong2 sh i2 uei4 0 ，
r uo4 A B d e0 zh ong1 d ian3 M d ao4 p ing2 m ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 4 c m ， d ian3 A d ao4 p ing2 m ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 6 c m ， z e2 d ian3 B d ao4 p ing2 m ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 c m .
（ 2 ） üan2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 sh i4 i2 g e4 q ü3 m ian4 ， d an4 zh an3 k ai1 h ou4 d e0 x ing2 zh uang4 h e2 üan2 zh u4 c e4 m ian4 d e0 x ing2 zh uang4 b u4 t ong2 。 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
（ 1 ） 9 9 8 1 （ p ing2 f ang1 l i2 m i3 ）
iou2 ü2 üan2 C 2 d e0 b an4 j ing4 uei4 1 ，
m ou3 iou2 q i1 g ong1 s i1 iong4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 uei4 3 d m 、 g ao1 4 . 2 d m d e0 t ie3 p i2 t ong3 sh eng4 f ang4 iou2 q i1 ， zh i4 z uo4 zh e4 iang4 d e0 i2 g e4 iou2 q i1 t ong3 zh i4 sh ao3 x ü1 iao4 d uo1 sh ao3 t ie3 p i2 ？ （ d e2 sh u4 b ao3 l iou2 i1 uei4 x iao3 sh u4 ）
j ie3 ： （ 1 ） （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
zh i2 x ian4 0 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y 0 ，
C . c uen2 z ai4 x 0 R ， sh i3 d e0 c o s x 0 1
d ian3 Q z u3 ch eng2 d e0 j i2 h e2 sh i4 d ing4 üan2 h u2 d e0 z uo3 sh ang4 b u4 f en4 ， j i2 .
sh e4 l g 2 a ， l g 3 b ， n a4 m e0 l g .
（ 1 ） x ie3 ch u1 zh e4 g e4 sh i4 ian4 d e0 s uo3 iou3 k e3 n eng2 d e0 j ie2 g uo3 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 k ou3 j üe2 』
（ 3 ） i3 C D b ian1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 s uo3 d e0 d e0 x üan2 zh uan3 t i3 uei4 i1 z u3 h e2 t i3 ， sh ang4 b u4 uei4 üan2 zh uei1 ， x ia4 b u4 uei4 üan2 t ai2 ， z ai4 ua1 q ü4 i2 g e4 x iao3 üan2 zh uei1 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 3 ， k e3 j iang1 3 k an4 ch eng2 f en1 m u3 sh i4 『 1 』 d e0 f en1 sh u4 ， f en4 z i3 ü3 f en4 z i3 x iang1 ch eng2 ， f en1 m u3 ü3 f en1 m u3 x iang1 ch eng2 ， n eng2 üe1 f en1 d e0 iao4 üe1 f en1 。 』
zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y ( x 1 ) .
n i4 m ing4 t i2 uei4 j ia3 ， B x iang4 b u4 zh eng4 q üe4 .
（ 2 ） iou2 （ 1 ） k e3 zh i1 x y 2 c o s 2 s i n
d ai4 r u4 x 2 2 y 2 1 zh ong1 ， d e2 ( x a y ) 2 2 ( b x y ) 2 1 ，
C . i4 m ian4 h uo4 x iang1 j iao1
x ie3 ch u1 i2 g e4 d a4 ü2 1 q ie3 x iao3 ü2 2 d e0 u2 l i3 sh u4 .
j i2 k e3 d e2 d ao4 ： ，
h an2 sh u4 y s i n x d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 f ang1 ch eng2 uei4 x k ， k Z ；
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 h ua4 t u2 sh i2 ， p ing2 x ing2 g ai3 『 x ie2 』 ch uei2 i1 j iou4 ， h eng2 d eng3 z ong4 『 b an4 』 sh u4 b u4 b ian4 . 』
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 f ( x ) 2 ，
j ie3 ： i2 g e4 sh i2 uei4 sh u4 ， z uei4 g ao1 uei4 sh ang4 sh i4 z uei4 x iao3 d e0 h e2 sh u4 ， sh i2 uan4 uei4 sh ang4 sh i4 z uei4 x iao3 d e0 zh i4 sh u4 ， g e4 uei4 sh ang4 sh i4 z uei4 d a4 d e0 i1 uei4 sh u4 ， q i2 ü2 g e4 uei4 sh ang4 d ou1 sh i4 l ing2 ， zh e4 g e4 sh u4 x ie3 z uo4 4 0 0 0 2 0 0 0 0 9 ， d u2 z uo4 s i4 sh i2 i4 l ing2 er4 sh i2 uan4 l ing2 j iou3 。
s uo3 i3 t u2 x ing2 i3 d e0 m ian4 j i1 sh i4 2 0 4 （ c m 2 ） 。
i3 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 ， j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， l iang3 zh ong3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 q ü3 x iang1 t ong2 d e0 ch ang2 d u4 d an1 uei4 . i3 zh i1 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 ， （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 4 c o s ， z e2 zh i2 x ian4 l b ei4 üan2 C j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 （ ）
j ie3 d e2 r ， z e2 2 r ，
（ 1 ） j ie3 ： b u4 d eng3 sh i4 3 x 2 2 x 8 ， j i2 ， j ie3 d e2
r u2 t u2 ， P A p ing2 m ian4 A B C ， A C B C ， z e2 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 d e0 p ing2 m ian4 iou3 d uei4 .
d ang1 x sh i2 ， 1 q ü3 zh i2 z uei4 x iao3 ， zh e4 g e4 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 l ie4 q ian2 n x iang4 h e2 、 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 j i2 d i4 t uei1 sh i4 』
m 2 m 1 ， j ie3 d e2 m 2 h uo4 m 1 ，
r uo4 p ing2 m ian4 n ei4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 n ei4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 f en1 b ie2 p ing2 x ing2 ， z e2 .
iou2 g en1 ü3 x i4 sh u4 g uan1 x i4 k e3 d e2 ， ， ，
d ang1 d ian3 D z ai4 d ian3 C d e0 iou4 c e4 sh i2 ，
q ian2 s an1 z u3 d uei4 ing4 d e0 z ong3 j ia4 ü3 b en3 sh u4 d e0 b i3 zh i2 x iang1 d eng3 ， g ai1 b i3 zh i2 b iao3 sh i4 《 x iao3 ai4 d i2 sh eng1 》 d e0 d an1 j ia4 。
C zh ong1 ， y d e0 zh i2 ü4 uei4 （ ， 0 ） （ 0 ， ） ；
j ie3 ： S üan2 zh u4 2 ( ) 2 2 a a 2 ，
q ü1 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 x 2 y 0 .
g u4 sh i4 x üan2 zh uan3 t i3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) l o g 3 ( ) ， z e2 f ang1 ch eng2 f 1 ( x ) 4 d e0 j ie3 x .
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 c o s 2 0 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 uei4 （ ）
f en1 b ie2 z ai4 l iang3 g e4 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 n ei4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ；
üan2 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
（ 1 ） r uo4 “ p q ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 d e0 z uo4 b iao1 ün4 s uan4 』
d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 l iang3 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 4 c m h e2 2 c m ， z e2 zh e4 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 （ ） c m 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
s uo3 i3 p ing2 m ian4 D F C p ing2 m ian4 D 1 E C .
iou2 （ 1 ） k e3 zh i1 f ( x ) 2 x 2 x uei4 z eng1 h an2 sh u4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 P （ x ， y ） ， z e2 t a n 『 』 . 』
i3 zh i1 f ( x ) sh i4 d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( x 2 ) f ( 1 x ) ， q iou2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 r en4 sh i2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 ün4 s uan4 l ü4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ian4 d uan4 zh ong1 d ian3 d e0 d ing4 i4 j i2 ing4 iong4 』
r uo4 f ang1 ch eng2 ( m 3 ) x 2 n 1 x 1 0 sh i4 g uan1 ü2 x d e0 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ， z e2 m ， n .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 ing4 iong4 』
zh eng3 sh u4 x ， y m an3 z u2 a h eng2 ch eng2 l i4 ， z e2 a d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
y x 1 ， g u4 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 j i2 x y 1 0 .
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 2 ） s uo3 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 ü3 j ü4 ： k ong1 j i2 sh i4 r en4 h e2 j i2 h e2 d e0 zh en1 z i0 j i2 ； h an2 sh u4 y a x 1 sh i4 zh i3 sh u4 h an2 sh u4 m a0 ？ zh eng4 f ang1 x ing2 j i4 sh i4 j ü3 x ing2 iou4 sh i4 l ing2 x ing2 ； l ao3 sh i1 x ie3 d e0 f en3 b i3 z i4 zh en1 p iao4 l iang4 ！ r uo4 x R ， z e2 x 2 4 x 5 0 ； z uo4 A B A B . q i2 zh ong1 uei4 m ing4 t i2 d e0 x ü4 h ao4 sh i4 ， uei4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 x ü4 h ao4 sh i4 .
C . ( a 9 b ) ( a 9 b ) a 2 8 1 b 2 ， g u4 c uo4 u4 ；
g ong4 iou3 3 6 g e4 b u4 t ong2 d e0 j ie2 g uo3 ， q i2 zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 5 d ian3 h uo4 6 d ian3 d e0 j ie2 g uo3 r u2 b iao3 zh ong1 in1 ing3 b u4 f en4 s uo3 sh i4 ， g ong4 iou3 2 0 g e4 ，
sh i2 sh u4 a ， b m an3 z u2 a b ， q iou2 zh eng4 a 4 b 4 a b ( a 2 b 2 ) .
z ai4 E B F ü3 P C F zh ong1 ， in1 uei4 A B C B C P ， B F C F ， B F E C F P ，
k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4
i3 t ai2 f eng1 zh ong1 x in1 B uei4 üan2 x in1 ， i3 2 5 0 q ian1 m i3 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 sh ang4 h uo4 üan2 n ei4 d e0 d ian3 j iang4 z ao1 sh ou4 t ai2 f eng1 ing3 x iang3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 s uo3 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ang3 sh i4 d i3 m ian4 üan2 d e0 『 zh ou1 ch ang2 』 ， k uan1 sh i4 üan2 zh u4 d e0 『 g ao1 』 。 』
in1 c i3 i2 g e4 s an1 l eng2 zh uei1 k e3 i3 iou2 i2 g e4 s an1 l eng2 zh uei1 h e2 i2 g e4 s i4 l eng2 zh uei1 p in1 h e2 er2 ch eng2 ， g u4 x üan3 x iang4 A d e0 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
iou2 2 ， d e2 2 0 ， j i2 0 ， j ie3 d e2 2 x 5 .
n ei4 b u4 c uen2 z ai4 ü3 a p ing2 x ing2 d e0 zh i2 x ian4 ；
zh i3 iou3 d ang1 c b sh i2 ， c a ， g u4 c uo4 u4 .
j ie3 ： d uei4 ü2 ， | a | | b | | a b | 1 ， s uo3 i3 | a | | b | 1 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
z e2 üan2 x in1 C z ai4 zh i2 x ian4 sh ang4 ， | A B | 2 .
j ie3 ： sh e4 i3 sh u4 sh i4 1 。
j ie3 ： in1 uei4 m ei3 g e4 t i2 m u4 iou3 4 g e4 b ei4 x üan3 d a2 an4 ， q ie3 zh i3 iou3 i2 g e4 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ， s uo3 i3 s uei2 j i1 x üan3 i2 g e4 d a2 an4 j iou4 n eng2 d a2 d uei4 d e0 g ai4 l ü4 uei4
i3 zh i1 p ing2 m ian4 p ing2 m ian4 l ， E A ü2 A ， E B ü2 B ， a ， a A B ， z e2 zh i2 x ian4 a ü3 l d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
l i4 iong4 g e1 b u3 f a3 k e3 zh i1 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 P A d uan4 s ao3 g uo4 d e0 q ü1 ü4 （ in1 ing3 b u4 f en4 ） d e0 m ian4 j i1 uei4 ： 4 1 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 』
q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j in4 s i4 sh u4 』
B . 1 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 1
zh i2 x ian4 l sh ang4 l iang3 d ian3 M ， N d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 2 ， 0 ） ， （ 0 ， ） ，
j ie3 d e2 k 0 h uo4 .
r uo4 d ong4 d ian3 （ x ， y ） z ai4 q ü1 x ian4 1 （ b 0 ） sh ang4 b ian4 h ua4 ， z e2 x 2 2 y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 l iang3 g e4 b an1 j i2 z ai4 6 0 f en1 zh ong1 i3 x ia4 uan2 ch eng2 z uo4 ie4 d e0 r en2 sh u4 z uei4 『 d uo1 』 。 』
zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 3 0 ，
x 2 y 2 x y ， j i2 üan2 O d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 x y 0 .
（ 2 ） h ou2 sh an1 d e0 x i1 b ei3 f ang1 x iang4 iou3 （ ） ， d a4 x iang4 g uan3 z ai4 h ou2 sh an1 d e0 （ ） f ang1 x iang4 。
【 t i2 sh i4 】 『 sh uei3 t a3 ch u3 m an3 sh uei3 h ou4 sh uei3 d e0 zh ong4 l iang4 üan2 zh uei1 x ing2 sh uei3 t a3 d e0 t i3 j i1 『 』 m ei3 l i4 f ang1 m i3 sh uei3 d e0 zh ong4 l iang4 。 』
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 x 、 y 、 z j ün1 uei4 zh eng4 sh u4 ，
m ou3 r i4 g u3 sh i4 sh ang4 sh eng1 2 0 0 d ian3 j i4 z uo4 2 0 0 ， n a4 m e0 g u3 sh i4 x ia4 j iang4 6 0 d ian3 ， j i4 z uo4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
i3 zh i1 i2 g e4 üan2 d e0 b ai3 x ian4 g uo4 i2 d ing4 d ian3 （ 2 ， 0 ） ， q ing3 x ie3 ch u1 g ai1 üan2 d e0 b an4 j ing4 z uei4 d a4 sh i2 g ai1 b ai3 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 i3 j i2 d uei4 ing4 d e0 üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
i3 zh i1 x 、 y m an3 z u2 x 2 ( y 1 ) 2 1 ， q iou2 ：
zh eng4 m ing2 ： z uo4 ch a4 d e2 a 4 b 4 a b ( a 2 b 2 ) a 3 ( a b ) b 3 ( b a ) ( a b ) 2 ( a 2 a b b 2 )
er2 | x 1 | | x 2 | b iao3 sh i4 sh u4 zh ou2 sh ang4 d e0 x d uei4 ing4 d ian3 d ao4 1 d uei4 ing4 d ian3 d e0 j ü4 l i2 j ian3 q ü4 t a1 d ao4 2 d uei4 ing4 d ian3 d e0 j ü4 l i2 ，
h ua4 ch u1 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 h e2 zh eng4 f ang1 x ing2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 。
k e3 d e2 ： s i4 m ian4 t i3 A B C D d e0 zh eng4 sh i4 t u2 uei4 ，
i3 zh i1 a ， b R ， q ie3 a 3 b 6 0 ， z e2 2 a d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
m ei3 g e4 üan2 zh u4 g ao1 4 . 5 3 1 . 5 （ f en1 m i3 ） ，
d a2 an4 ： c o s s i n 1 （ 2 s i n ( ) 1 h uo4 2 c o s ( ) 1 ） .
d i4 2 c eng2 b iao1 zh u4 sh u4 z i4 i1 c i4 uei4 x 1 2 x 2 x 3 、 x 2 2 x 3 x 4 ，
d a2 an4 ： s i4 l eng2 t ai2 .
j ie3 ： （ 1 ） h uan4 b iao3 q ian2 s uo3 x ü1 d ian4 f ei4 ： 0 . 5 2 ( 5 0 2 0 ) 3 6 . 4 （ üan2 ） ，
A . 0 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 0
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 4 s i n 2 5 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
d a2 an4 ： u2 sh u4 .
iou4 in1 uei4 x 2 ， s uo3 i3 a ( 2 k s i n 2 k ) 2 ，
iou4 M N p ing2 m ian4 B C E ， P Q p ing2 m ian4 B C E ，
4 f en1 m i3 0 . 4 m i3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n ian2 、 üe4 、 r i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ t uei4 c an1 sh u4 ， a R ） ， d ian3 M （ 3 ， 4 ） z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 .
（ 1 ） A D E h e2 A D F g uan1 ü2 zh i2 x ian4 A D d uei4 ch en4 m a0 ？
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 r en4 sh i2 』
【 t i2 sh i4 】 『 1 m i3 『 1 0 』 f en1 m i3 。 』
（ A ， B ， C ） sh i4 i2 g e4 z uei4 x iao3 x iang1 j iao1 d e0 iou3 x ü4 s an1 üan2 z u3 .
6 f en1 m i3 3 f en1 m i3 9 f en1 m i3 ， 9 f en1 m i3 0 . 9 m i3 ， 0 . 9 m i3 0 . 8 m i3 ，
（ 2 ） ch u1 x ian4 d ian3 sh u4 zh i1 h e2 uei4 j i1 sh u4 d e0 g ai4 l ü4 ；
b a3 1 2 8 g ai3 x ie3 ch eng2 b i3 l i4 sh i4 sh i4 （ ） 。
（ 1 ） t ao3 l uen4 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 j i1 ou3 x ing4 ；
x ia4 l ie4 g e4 sh u4 zh ong1 m ei2 iou3 p ing2 f ang1 g en1 d e0 sh i4 （ ）
t u2 sh u1 uei3 üan2 t ong3 j i4 l e0 b an1 j i2 zh ong1 d ing4 üe4 《 x iao3 ai4 d i2 sh eng1 》 z a2 zh i4 d e0 q ing2 k uang4 ， b ing4 q ie3 zh i4 ch eng2 l e0 b iao3 g e2 。
j ie3 ： iou2 c o s s i n ， k e3 zh i1 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 x 2 y 2 x y 0 ， j i2 ( x ) 2 ( y ) 2 .
x ia4 l ie4 g e4 sh i4 i2 d ing4 ch eng2 l i4 d e0 sh i4 （ ）
j ie2 h e2 zh i3 sh u4 h an2 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 ( ) x 1 0 ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 m x 1 d e0 l iang3 g e4 l ing2 d ian3 f en1 b ie2 z ai4 q ü1 j ian1 （ 0 ， 1 ） h e2 （ 1 ， 2 ） ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 f en1 sh u4 h ua4 ch eng2 x iao3 sh u4 sh i4 『 0 . 1 』 。 』
iou4 d ian3 M z ai4 d i4 g ua4 x ian4 ，
j ie3 b u4 d eng3 sh i4 1 2 .
j ie3 ： r uo4 2 x 2 y 5 ， z e2 2 5 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 j iao3 x ing2 b ian1 d e0 g uan1 x i4 』
（ 2 ） iao1 q iou2 j ie2 g uo3 d eng3 ü2 6 9 0 ： 2 3 0 1 4 4 1 4 4 4 3 （ ） 。
s uo3 i3 üan2 x in1 （ 2 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d 1 ，
r u2 t u2 ， A B C D ， A B C D ， d ian3 B 、 E 、 F 、 D z ai4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 sh ang4 ， A C ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh ong1 ch eng2 l i4 d e0 iou3 （ ）
j ie3 ： iou2 ü2 [ A : E ] [ E : A 1 ] ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 k ong1 j ian1 t u2 x ing2 d e0 s an1 sh i4 t u2 』
d a2 ： d i4 s an1 ch ang3 d ian4 ing3 1 4 : 3 0 k ai1 sh i3 f ang4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 1 ， m u3 x ian4 zh ang3 uei4 2 ，
（ 1 ， 1 ， 1 ） sh i4 p ing2 m ian4 P C D d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 .
【 t i2 sh i4 】 『 x [ 2 ， 4 ] sh i2 ， f ( x ) 0 ， f ( x ) d an1 d iao4 d i4 『 j ian3 』 . 』
z ong1 sh ang4 k e3 d e2 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） h uo4 （ ， ） h uo4 （ ， ） h uo4 （ ， ） .
m ing4 t i2 s sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， zh eng4 q üe4 .
q i2 ü2 n k g e4 üan2 s u4 ch ong2 x in1 p ai2 l ie4 ， b ing4 q ie3 sh i3 q i2 ü2 n k g e4 üan2 s u4 uei4 zh i4 d ou1 iao4 g ai3 b ian4 ，
（ 2 ） j iang1 M d ian3 z uo4 b iao1 d ai4 r u4 l f ang1 ch eng2 ， zh i1 M d ian3 z ai4 l sh ang4 ， A 、 B d uei4 ing4 c an1 sh u4 f en1 b ie2 uei4 t 1 ， t 2 ， z e2 | M A | | M B | | t 1 | | t 2 | | t 1 t 2 | .
i1 üan2 n c i4 f ang1 ch eng2 g en1 ü3 x i4 sh u4 d e0 g uan1 x i4
j ie3 ： m ing4 t i2 “ x y 0 ” sh i4 zh i3 x 0 q ie3 y 0 .
【 t i2 sh i4 】 『 3 f en1 m i3 （ 3 『 1 0 』 ） m i3 。 』
j ie3 ： sh e4 g ai1 üan2 zh uei1 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 d e0 b ian1 zh ang3 uei4 2 a ， z e2 üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 üan2 b an4 j ing4 uei4 a ，
j ie3 ： iou2 j ü3 zh en4 A sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 1 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 uei4 ，
i1 f u2 d i4 t u2 d e0 b i3 l i4 ch i3 sh i4 1 : 8 0 0 0 0 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 A （ 2 ， ） ü3 B （ 2 ， ） zh i1 j ian1 d e0 j ü4 l i2 uei4 （ ）
p ing2 m ian4 P A E sh ang4 p ing2 m ian4 A B C ， z e2 zh eng4 q üe4 .
（ 1 ） q iou2 t a1 d e0 f an3 h an2 sh u4 ；
d a2 an4 ： （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 x ie2 er4 c e4 h ua4 f a3 ： z ai4 i3 zh i1 t u2 x ing2 zh ong1 p ing2 x ing2 ü2 y zh ou2 d e0 x ian4 d uan4 ， z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 h ua4 ch eng2 『 p ing2 x ing2 』 ü2 y zh ou2 ， q ie3 ch ang2 d u4 uei4 üan2 l ai2 d e0 『 i2 b an4 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
（ 2 ） 1 ü3 3 ， 3 ü3 4 n e0 ？
B . b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
g u4 d a4 üe1 2 x iao3 sh i2 h ou4 ， q i4 x iang4 t ai2 A s uo3 z ai4 d i4 j iang1 z ao1 sh ou4 t ai2 f eng1 ing3 x iang3 ， d a4 üe1 ch i2 x ü4 6 g e4 b an4 x iao3 sh i2 .
j ie3 ： sh e4 g ai1 r ong2 q i4 zh ang3 h e2 k uan1 f en1 b ie2 uei4 a m ， b m ， ch eng2 b en3 uei4 y üan2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 』
z e2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 9 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
t u2 sh i4 iou2 i2 g e4 üan2 zh uei1 O 4 O 5 ， i2 g e4 üan2 zh u4 O 3 O 4 j i2 c ong2 i2 g e4 üan2 t ai2 O 1 O 3 zh ong1 ua1 q ü4 üan2 zh uei1 O 1 O 2 h ou4 sh eng4 ü2 d e0 b u4 f en4 z u3 ch eng2 d e0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 sh u4 uen4 t i2 zh i1 k ai1 f ang4 x ing2 l iang3 d uan1 d ou1 zh ong3 ( ao4 sh u4 ) 』
q iou2 f ( x ) 2 l o g 2 x （ 0 x 1 ） d e0 z uei4 zh i2 .
j ie3 ： uei4 u2 l i3 sh u4 sh i2 ， a sh i4 k ai1 f ang1 k ai1 b u4 j in4 d e0 sh u4 ， j i2 a sh i4 i2 g e4 zh eng4 d e0 f ei1 uan2 q üan2 p ing2 f ang1 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 3 p ing2 f ang1 f en1 m i3 h ua4 ch eng2 i3 p ing2 f ang1 l i2 m i3 z uo4 d an1 uei4 d e0 sh u4 『 ch eng2 』 i3 d an1 uei4 zh i1 j ian1 d e0 j in4 l ü4 1 0 0 。 』
sh i2 z i4 l u4 k ou3 d e0 zh ong1 iang1 sh i4 j iao1 t ong1 zh i3 h uei1 g ang3 ， d ong1 b ei3 j iao3 sh i4 b ao4 t ing2 ， d ong1 n an2 j iao3 sh i4 ch ao1 sh i4 ； j iao1 t ong1 zh i3 h uei1 g ang3 d e0 x i1 b ei3 f ang1 x iang4 sh i4 iou2 j ü2 ， x i1 n an2 f ang1 x iang4 sh i4 t u2 sh u1 g uan3 。 ch ao1 sh i4 d e0 d ong1 m ian4 sh i4 x üe2 x iao4 ， x üe2 x iao4 d e0 b ei3 m ian4 sh i4 in1 x iang4 d ian4 。
【 t i2 sh i4 】 『 s uo3 q iou2 g ai4 l ü4 h ou4 ch e1 sh i2 j ian1 『 』 x iang1 l in2 l iang3 ch e1 d ao4 zh an4 sh i2 j ian1 j ian4 g e2 。 』
j ie3 ： iou2 ü2 f ( x ) a x （ a 0 ， q ie3 a 1 ） z ai4 1 ， 2 sh ang4 sh i4 d an1 d iao4 h an2 sh u4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d an1 x iang4 sh i4 』
s i4 t iao2 b ian1 j ün1 x iang1 d eng3 d e0 s i4 b ian1 x ing2 k e3 n eng2 sh i4 k ong1 j ian1 s i4 b ian1 x ing2 ，
c an1 j ia1 zh e3 k e3 x iang1 ing4 h uo4 d e2 iou2 x i4 f ei4 d e0 0 b ei4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 an4 A B z ai4 p ing2 m ian4 d e0 『 t ong2 』 c e4 h ai2 sh i4 i4 c e4 t ao3 l uen4 ， r uo4 A ， B z ai4 p ing2 m ian4 d e0 l iang3 c e4 ， z ai4 f en1 zh ong1 d ian3 ü3 A z ai4 t ong2 i1 c e4 h e2 zh ong1 d ian3 ü3 B z ai4 t ong2 i1 c e4 . 』
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： x a y 1 0 （ a R ） sh i4 üan2 C ： x 2 y 2 4 x 2 y 1 0 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 . g uo4 d ian3 A （ 4 ， a ） z uo4 üan2 C d e0 i1 t iao2 q ie4 x ian4 ， q ie1 d ian3 uei4 B ， z e2 A B .
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 O A x ， O B y ， A B y 1 ， z ai4 O A B zh ong1 ， iou2 ü2 x ian2 d ing4 l i3 d e2 x 2 y 2 2 x y c o s 1 2 0 ( y 1 ) 2 ，
（ 2 ） x ie3 ch u1 t u2 zh ong1 s uo3 iou3 n ei4 c uo4 j iao3 、 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 .
g u4 y s i n ( x ) z ai4 [ ， ] d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 ch ang2 f ang1 t i3 iou2 x iang1 d e0 t i3 j i1 zh ang3 k uan1 『 』 g ao1 。 』
（ 3 ） A B A D ， b ing4 q ie3 A B E D uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
zh ong1 m ian4 sh ang4 ， sh i2 zh en1 zh uan3 4 q üan1 ， f en1 zh en1 zh uan3 d uo1 sh ao3 q üan1 ？
j ie3 ： f ang1 ch eng2 x 2 3 x 1 0 d e0 l iang3 g e4 g en1 sh i4 x 1 、 x 2 ，
l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4
B C E d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 7 ，
C . f u4 sh u4 m ei2 iou3 p ing2 f ang1 g en1 ， g u4 c uo4 u4 ；
j iang1 zh e4 5 g e4 x iao3 sh u4 t ian2 z ai4 x ia4 m ian4 h e2 sh i4 d e0 k uo4 h ao4 zh ong1 。
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 ， j iang1 q ü1 x ian4 C 1 、 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 d e2 ，
sh e4 P d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） ， z e2 | P A | 2 | P B | 2 | P C | 2 ( x ) 2 y 2 ( x ) 2 y 2 x 2 ( y a ) 2
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x 0 ， y a sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ， j i2 s uo3 q iou2 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 a 2 ， c i3 sh i2 P d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， a ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
iong4 2 0 : 1 d e0 b i3 l i4 ch i3 ， b a3 i2 g e4 4 h ao2 m i3 zh ang3 d e0 sh ou3 b iao3 l ing2 j ian4 h ua4 z ai4 t u2 zh i3 sh ang4 ， t u2 zh i3 sh ang4 l ing2 j ian4 d e0 ch ang2 d u4 sh i4 （ ） 。
uo3 m en0 zh i1 d ao4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 y z d uei4 ch en4 d e0 l iang3 g e4 h an2 sh u4 h u4 uei4 f an3 h an2 sh u4 ， z e2 üan2 d e0 b ai3 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） g uan1 ü2 zh i2 x ian4 y z d uei4 ch en4 d e0 q ü1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 .
（ 2 ） g uo4 P 0 z uo4 üan2 d e0 q ie4 x ian4 ， q iou2 q ie4 x ian4 zh ang3 .
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C 1 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y k | x | 2 . i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， q ü1 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 2 c o s 3 0 .
l iou4 l eng2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 zh ong1 ， h u4 x iang1 p ing2 x ing2 d e0 m ian4 iou3 d uei4
f en1 b ie2 i3 A B ， A D ， A P uei4 x ， y ， z zh ou2 j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ，
in1 c i3 ， i4 m ian4 zh i2 x ian4 B P ü3 A C 1 s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
j ie3 ： m ing4 t i2 “ r uo4 a A ， z e2 b B ” d e0 n i4 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 b B ， z e2 a A ” .
（ 3 ） 1 sh i4 f ang1 ch eng2 x 3 x 2 x 1 0 d e0 g en1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
x ia4 m ian4 sh i4 m ou3 sh i4 i1 t iao2 zh u3 iao4 j ie1 d ao4 p ing2 m ian4 t u2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j üe2 d uei4 zh i2 s an1 j iao3 b u4 d eng3 sh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 üan2 zh u4 m ian4 d e0 j ie2 x ian4 』
r u2 g uo3 sh u4 zh ou2 sh ang4 d e0 d ian3 A b iao3 sh i4 ， d ian3 B b iao3 sh i4 1 ， n a4 m e0 l i2 üan2 d ian3 j iao4 j in4 d e0 d ian3 sh i4 .
r u2 t u2 ， E 、 F f en1 b ie2 sh i4 ch ang2 f ang1 t i3 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D d e0 l eng2 A 1 A 、 C 1 C d e0 zh ong1 d ian3 ， q iou2 zh eng4 ： s i4 b ian1 x ing2 B 1 E D F sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 k e3 d e2
3 0 0 p ing2 f ang1 l i2 m i3 3 p ing2 f ang1 f en1 m i3
（ 2 ） y s i n x z ai4 [ 0 ， ] sh ang4 sh i4 x ian1 z eng1 h ou4 j ian3 d e0 ， q ie3 [ 1 ， 3 ] [ 0 ， ] ，
j i2 . ， iou4 ， n k 1 （ k 1 q ie3 k N * ） sh i2 . d eng3 sh i4 ie3 ch eng2 l i4 . iou2 d e0 ， d uei4 r en4 i4 n N * h eng2 ch eng2 l i4 . l ing4 x ， j iang1 q i2 d ai4 r u4 sh ang4 sh i4 d e2 ， . s uo3 i3 ， d uei4 r en4 i4 n N * ， d eng3 sh i4 d ou1 ch eng2 l i4 .
üan2 C ： 2 c o s d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 x 0 ， j i2 ( x ) 2 y 2 2 ，
r uo4 ( a b ) 2 5 ， ( a b ) 2 3 ， z e2 a 2 b 2 ü3 a b d e0 zh i2 f en1 b ie2 sh i4 （ ）
（ 3 ） r uo4 F uei4 l eng2 P C sh ang4 i4 d ian3 ， m an3 z u2 B F A C ， q iou2 er4 m ian4 j iao3 F A B P d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 .
x ia4 l ie4 ü3 j ü4 zh ong1 sh i4 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
s uo3 i3 h an2 sh u4 y 3 s i n x 2 2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 5 .
j ie3 ： r uo4 a b ， z e2 a c b c ， zh eng4 q üe4 ；
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b c ， q ie3 ( a b ) 2 ( b c ) 2 ( a c ) 2 3 sh i2 ， sh i4 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 0 i3 n ei4 sh u4 d e0 j in4 uei4 j ia1 f a3 』
iou2 k e1 x i1 b u4 d eng3 sh i4 ， d e2 ( 1 ) 2 ( 3 1 ) ( x 2 1 4 x ) 6 4 ，
r u2 t u2 ， j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 { ， ， } ，
j ie3 ： iou2 m i4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 m 2 m 1 1 ，
（ 2 ） r u2 t u2 ， l ian2 j ie1 C E . iou2 （ 1 ） ， zh i1 E （ 1 ， 0 ， 1 ） ， z e2 （ 2 ， 1 ， 0 ） ， （ 1 ， 1 ， 1 ） .
C . j iang1 （ ， ） d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 ， d e2 ， j ie3 d e2 ， f u2 h e2 t i2 i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 d e0 iou3 ü2 sh u4 ch u2 f a3 』
3 5 0 0 0 0 l i2 m i3 （ ） q ian1 m i3
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 d e2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j iao3 d e0 ün4 s uan4 』
s uo3 i3 d ang1 g uan1 c e4 d ian3 A 、 B c e4 d e2 A C 、 B C j ü4 l i2 f en1 b ie2 uei4 2 、 4 sh i2 ， ing1 x iang4 h ang2 t ian1 q i4 f a1 ch u1 b ian4 g uei3 zh i3 l ing4 .
q iou2 uei4 zh i1 sh u4 x 。
A . b an4 j ing4 uei4 5 d e0 üan2 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2
ie3 k e3 iou2 ，
j ie3 ： z ai4 zh i2 x ian4 l ： a x y 7 0 , sh ang4 q ü3 d ian3 A （ 0 ， 7 ） ， B （ 1 ， 7 a ） ，
b u2 sh i4 üan2 zh u4 ， sh i4 üan2 zh uei1 ， sh i4 üan2 zh u4 ， b u2 sh i4 üan2 t ai2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
r u2 t u2 ， z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， p ao1 u4 x ian4 s uo3 b iao3 sh i4 d e0 h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y 2 ( x h ) 2 k ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
j i2 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
ch ao1 ch u1 6 0 l i4 f ang1 m i3 d e0 m ei2 q i4 iong4 l iang4 uei4 x 6 0 ，
j ie3 ： iou2 zh eng4 sh i4 t u2 ， f u3 sh i4 t u2 k e3 zh i1 ， g ai1 j i3 h e2 t i3 uei4 j ian3 d an1 j i3 h e2 t i3 d e0 z u3 h e2 t i3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t u2 x ing2 d e0 f ang4 d a4 ü3 s uo1 x iao3 』
ch ang2 f ang1 t i3 d e0 t ou2 ing3 b u4 k e3 n eng2 sh i4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 ， g u4 f u2 h e2 t i2 i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 』
g u4 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 .
（ 0 ） h e2 （ 0 ） h uo4 （ R ） h uo4 （ R ） .
j ie3 ： t uo3 üan2 k e3 h ua4 uei4 1
üan2 zh uei1 d e0 g ao1 h ，
D . i2 g e4 s i4 l eng2 t ai2 k e3 i3 iou2 l iang3 g e4 s i4 l eng2 t ai2 p in1 h e2 er2 ch eng2
iou2 t i2 sh e4 k e3 d e2 ( a b c ) 2 1 ， ü2 sh i4 iou3 a 2 b 2 c 2 2 a b 2 b c 2 c a 1 .
（ 1 ） uen4 n ong2 i4 üan2 d e0 z uei4 d a4 m ian4 j i1 n eng2 d a2 d ao4 d uo1 sh ao3 ？
zh i2 j ie1 x ie3 ch u1 d e2 sh u4 。
zh eng4 m ing2 ： in1 uei4 F C D 1 3 0 ， D 5 0 ，
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 2 s i n d e0 üan2 x in1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ ）
j ie3 ： sh i2 sh u4 b ao1 k uo4 iou3 l i3 sh u4 h e2 u2 l i3 sh u4 .
d a2 ： j ia3 x üan3 z uo4 D t i2 ， q ie3 i3 ， b ing3 d ou1 b u4 x üan3 z uo4 D t i2 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
sh e4 zh i4 d ian3 ian2 i3 üan2 d ian3 uei4 üan2 x in1 ， b an4 j ing4 uei4 2 d e0 üan2 z uo4 ün2 j iao3 s u4 d u4 ün4 d ong4 ， j iao3 s u4 d u4 uei4 r a d s . sh i4 i3 sh i2 j ian1 t uei4 c an1 sh u4 ， j ian4 l i4 zh i4 d ian3 ün4 d ong4 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
（ 1 ） r u2 t u2 ， i3 zh i1 f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ) d e0 t u2 x iang4 ， q ing3 j ü4 c i3 z ai4 g ai1 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 b u3 q üan2 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 d ing4 i4 ü4 n ei4 d e0 t u2 x iang4 ， b ing4 sh uo1 m ing2 n i3 d e0 z uo4 t u2 i1 j ü4 ；
d ang1 a 2 sh i2 ， b ， d ang1 a 2 sh i2 ， b 1 ，
j ie3 ： m ing4 t i2 “ p ： x 0 ， x 2 2 x ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 ： x 0 0 ， x 0 2 .
zh e4 k uai4 c ai4 d i4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 p ing2 f ang1 m i3 ？
d i4 er4 c i4 p a2 x ing2 iou4 iou2 q i2 s uo3 z ai4 d ing3 d ian3 d eng3 k e3 n eng2 d i4 p a2 x iang4 q i2 t a1 s an1 d ian3 zh ong1 d e0 r en4 i4 i4 d ian3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 ü2 sh en1 g ao1 g ei3 ch u1 d e0 sh i4 s an1 uei4 sh u4 ， z e2 x üan3 z e2 ch ang2 d u4 d an1 uei4 『 l i2 m i3 』 。 』
（ 1 ） q iou2 h an2 sh u4 ( x ) z ai4 [ 2 ， 2 ] sh ang4 d e0 z uei4 d a4 zh i2 ；
C O A d ou1 sh i4 d uen4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
iou2 s i4 g e4 m ian4 uei2 ch eng2 d e0 f eng1 b i4 t u2 x ing2 zh i3 n eng2 sh i4 s an1 l eng2 zh uei1 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 uei4 ou3 h an2 sh u4 ， z e2 sh i2 sh u4 a .
iou2 d e0 ， d uei4 i1 q ie4 n N * j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 .
r u2 t u2 ， p ing2 m ian4 j iao3 uei4 r uei4 j iao3 d e0 er4 m ian4 j iao3 E F ， A E F ， A G ， G A E 4 5 . r uo4 A G ü3 s uo3 ch eng2 j iao3 uei4 3 0 ， z e2 er4 m ian4 j iao3 E F d e0 p ing2 m ian4 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 .
（ 4 ） üan2 m ing4 t i2 d e0 n i4 m ing4 t i2 “ x iang1 d eng3 d e0 j iao3 sh i4 d uei4 d ing3 j iao3 ” ， sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
d e2 4 x 2 y 1 a 2 0 ， j i2 C 3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 x 2 y 1 a 2 0 .
g u4 d ian3 M d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 6 ) 2 y 2 4 .
（ 1 ） x ie3 ch u1 zh e4 g e4 sh i4 ian4 d e0 j i1 b en3 sh i4 j ian4 k ong1 j ian1 ；
B z ai4 üan2 sh ang4 h uo4 üan2 n ei4 sh i2 ， q i4 x iang4 t ai2 j iang1 sh ou4 t ai2 f eng1 ing3 x iang3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 b i3 l i4 』
üan2 f ang1 ch eng2 z uo3 b ian1 b ian4 x ing2 uei4 ： ( 2 x 3 ) ( x 5 ) 0 ，
in1 x iang4 d ian4
（ 2 ） j ie3 ： 2 ü3 k ch uei2 zh i2 ，
q i2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 “ r uo4 f ang1 ch eng2 x 2 x a 0 u2 sh i2 sh u4 g en1 ， z e2 a 0 ” .
i1 g ong4 iou3 6 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 zh uang1 f a3 。 t a1 m en0 sh i4 ：
zh i2 x ian4 A C d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 ： x 7 y 1 1 0 ，
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 “ j ia3 x üan3 z uo4 D t i2 ， q ie3 i3 ， b ing3 d ou1 b u4 x üan3 z uo4 D t i2 ” uei4 sh i4 j ian4 E ，
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 j i1 üan2 zh uei1 d e0 g ao1 『 』 。 』
z e2 ch eng1 f a3 z e2 “ ” uei4 j i2 h e2 A sh ang4 d e0 i2 g e4 d ai4 sh u4 ün4 s uan4 . r uo4 A sh ang4 d e0 d ai4 sh u4 ün4 s uan4 “ ” h ai2 m an3 z u2 ： （ 1 ） d uei4 a ，
in1 uei4 x iang4 l iang4 [ ] sh i4 j ü3 zh en4 A d e0 sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 1 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 ，
g en1 j ü4 t u2 zh ong1 t u2 s e4 b u4 f en4 x ie3 x iao3 sh u4 ， z ai4 b i3 j iao4 x iao3 sh u4 d a4 x iao3 。
zh eng4 m ing2 ： r uo4 “ a 2 4 b 2 2 a 1 0 ， z e2 a 2 b 1 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 “ r uo4 a 2 b 1 ， z e2 a 2 4 b 2 2 a 1 0 ” ，
h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 j i2 q iou2 f a3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 d ing4 i4 j i2 q i2 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 』
j iang1 x ia4 m ian4 t u2 zh ong1 t u2 s e4 b u4 f en4 iong4 x iao3 sh u4 b iao3 sh i4 ch u1 l ai2 。
x ia4 m ian4 m ei3 g e4 d e0 b ian1 zh ang3 d ou1 d ai4 b iao3 1 l i2 m i3 。
C . p ao1 u4 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4 ， q ie3 g uo4 d ian3 （ 1 ， ）
（ 2 ） n i3 n eng2 x ie3 ch u1 d ing1 d ing1 h e2 d ong1 d ong1 m ei3 t ian1 s uo3 z ou3 l u4 ch eng2 d e0 b i3 m a0 ？
j ie3 ： i1 j ü4 f en1 x i1 k e3 d e2 s uan4 sh i4 9 2 5 5 2 9 2 5 ( 5 2 ) ün4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 j ie2 h e2 l ü4 。
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 R t P B C zh ong1 ， P B 2 『 P C 』 2 B C 2 . 』
i2 g e4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 sh i4 i2 g e4 d i3 j iao3 uei4 4 5 、 iao1 h e2 sh ang4 d i3 zh ang3 j ün1 uei4 1 d e0 d eng3 iao1 t i1 x ing2 ， z e2 g ai1 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 uei4 .
zh eng3 l i3 d e2 t 2 3 t 9 0 ，
d a2 ： j iou3 p ing2 d e0 r ong2 j i1 sh i4 1 5 7 0 h ao2 sh eng1 。
i3 zh i1 q ü1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， r uo4 i3 c i3 q ü1 x ian4 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 』
p an4 d uan4 x ia4 l ie4 g e4 sh i4 ian4 zh ong1 d e0 j i1 b en3 sh i4 j ian4 g e4 sh u4 ， b ing4 zh i3 ch u1 iou3 n ei3 x ie1 j i1 b en3 sh i4 j ian4 .
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 2 4 k e3 i3 x ie3 ch eng2 『 2 』 2 6 . 』
（ 1 ） d ang1 B E zh ang3 uei4 1 f en1 m i3 sh i2 ， q iou2 zh e2 j üan3 ch eng2 d e0 b ao1 zh uang1 h e2 d e0 r ong2 j i1 .
C . i2 g e4 r uei4 j iao3 、 i2 g e4 zh i2 j iao3
7 q ian1 m i3 （ ） l i2 m i3
s uo3 i3 y 0 sh i2 ， x ； d ang1 y 0 ， x 2 y ，
A . t uo3 üan2 d e0 i1 b u4 f en4
d ang1 m 1 sh i2 ， h an2 sh u4 f ( x ) x 3 ， 2 x 2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 x in1 d e0 j i2 j iao3 sh i4 sh i4 d i4 『 s i4 』 x iang4 x ian4 j iao3 . 』
s uo3 i3 q ü1 x ian4 d uan4 F B C d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y 2 s i n ( x ) （ 4 x 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
j ie3 ： sh e4 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y x （ x 0 ） ，
g u4 zh eng4 q üe4 .
zh i2 x ian4 c ， d f en1 b ie2 ü3 a ， b d ou1 x iang1 j iao1 ， k e3 n eng2 c uen2 z ai4 i3 x ia4 l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 ：
d ang1 x ， y ， j i2 C d ian3 z ai4 d i4 s i4 x iang4 x ian4 sh i2 ， ，
j ie3 ： m ing4 t i2 p ： x ( x 3 ) 0 ，
j ing1 c e4 l iang2 d e2 zh i1 ， x üe2 x iao4 d ao4 ch ao1 sh i4 d e0 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 sh i4 1 . 7 c m ， z e2 sh i2 j i4 j ü4 l i2 uei4 1 . 7 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 c m 3 4 0 m ；
sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ， k ong1 j ian1 sh ang4 zh i2 x ian4 d e0 p ing2 x ing2 j ü4 iou3 ch uan2 d i4 x ing4 ；
j ie3 ： （ 1 ） d eng3 d i3 d eng3 g ao1 d e0 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 sh i4 üan2 zh uei1 t i3 j i1 d e0 3 b ei4 。 g u4 üan2 t i2 c uo4 u4 。
in1 uei4 C 1 C B 1 B ， E sh i4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
j ie3 ： üan2 sh i4 ( x 2 ) 2 a 2 x 4 a 2 .
g u4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4
t ong2 x üe2 m en0 z uo4 c ao1 ， m ei3 x ing2 zh an4 2 0 r en2 ， zh eng4 h ao3 zh an4 1 8 x ing2 。 r u2 g uo3 iao4 j ian3 sh ao3 3 x ing2 ， m ei3 x ing2 ing1 g ai1 zh an4 d uo1 sh ao3 r en2 ？
zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） b ei4 üan2 x 2 y 2 9 j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 2 .
i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 l iang3 g e4 p ing2 x ing2 p ing2 m ian4 zh ong1 d e0 i2 g e4 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 ， z e2 zh e4 t iao2 zh i2 x ian4 k e3 n eng2 ü3 l ing4 i1 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 ， ie3 k e3 n eng2 z ai4 l ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 n ei4 ， s uo3 i3 m ing4 t i2 c uo4 u4 ；
q iou2 zh eng4 ： x ian4 d uan4 P Q d e0 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 p ， p ） ；
（ 1 ） d ian3 P z ai4 d i4 i1 、 s an1 x iang4 x ian4 d e0 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 sh ang4 ，
iou2 l eng2 t ai2 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 l eng2 t ai2 d e0 c e4 m ian4 sh i4 t i1 x ing2 ， c e4 l eng2 ian2 ch ang2 h ou4 j iao1 ü2 i4 d ian3 ， g u4 c uo4 u4 ， zh eng4 q üe4 ；
g u4 ch eng2 l i4 d e0 t iao2 j ian4 sh i4 5 x 5
zh ong1 r uo4 ， zh i3 iou3 d ang1 a 0 ， b 0 sh i2 ch eng2 l i4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
， j i4 s uan4 d e0 ch u1 0 a 4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
zh i2 x ian4 x sh i4 h an2 sh u4 y s i n x d e0 i1 t iao2 d uei4 ch en4 zh ou2 ；
j ie3 ： üan2 2 s i n d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 zh uan3 h ua4 ch eng2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： x 2 y 2 2 y ， j i2 x 2 ( y 1 ) 2 1 .
| A B | | A O | | B O | 3 ， A B ü3 j i2 zh ou2 zh eng4 f ang1 x iang4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 .
j ie3 ： in1 uei4 a 0 m ei2 iou3 i4 i4 ， g u4 m ing4 t i2 c uo4 u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 1 p ing2 f ang1 m i3 『 1 0 0 』 p ing2 f ang1 f en1 m i3 。 』
（ 3 ） j ia3 i3 üe1 d ing4 ： r uo4 j ia3 ch ou1 d ao4 d e0 p ai2 d e0 p ai2 m ian4 sh u4 z i4 b i3 i3 d a4 ， z e2 j ia3 sh eng4 ， f ou3 z e2 i3 sh eng4 ， n i3 r en4 uei2 c i3 iou2 x i4 sh i4 f ou3 g ong1 p ing2 ？ uei4 sh en2 m e0 ？
【 t i2 sh i4 】 『 A O 『 』 s an1 j iao3 x ing2 d e0 g ao1 x ian4 . 』
m an3 z u2 i2 g e4 ch eng2 k e4 h ou4 ch e1 sh i2 j ian1 b u4 ch ao1 g uo4 3 f en1 zh ong1 d e0 sh i4 j ian4 b ao1 h an2 d e0 sh i2 j ian1 ch ang2 d u4 sh i4 3 ，
üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 ( x 6 ) 2 y 2 2 5 ， üan2 x in1 C （ 6 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d ，
A E 、 A F f en1 b ie2 uei4 A B C h e2 A C D d e0 zh ong1 x ian4 ，
z e2 iou3 t ， t 2 x ， z e2 iou3 y 2 4 x ，
g en1 j ü4 “ p ing2 i2 ün4 d ong4 zh ong1 ， d uei4 ing4 d ian3 d e0 l ian2 x ian4 x ian4 d uan4 p ing2 x ing2 （ h uo4 z ai4 t ong2 i1 zh i2 x ian4 sh ang4 ） q ie3 x iang1 d eng3 ” k e3 d e2 ： A A B B C C ；
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 （ 1 ， 0 ） sh i4 h an2 sh u4 y f ( x ) t u2 x iang4 d e0 d uei4 ch en4 zh ong1 x in1 ， z e2 d ian3 （ 1 ， 0 ） 『 z ai4 』 h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( x ) d e0 t u2 x iang4 sh ang4 . 』
in1 c i3 z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ] sh ang4 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 c o s .
l ian2 j ie1 A D ， P D ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
t ong2 l i3 k e3 zh eng4 B D 1 B 1 C ，
r uo4 m ou3 k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 t i3 j i1 sh i4 （ ）
j ie3 ： g en1 j ü4 ch eng2 x ü4 k uang1 t u2 ün4 x ing2 k e3 zh i1 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n ian2 、 üe4 、 r i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
g en1 j ü4 g ou1 g u3 d ing4 l i3 zh i1 ， d uei4 j iao3 x ian4 zh ang3 uei4 2 .
j ie3 ： q ü3 A B d e0 zh ong1 d ian3 uei4 C ， z e2 | | 2 | | ，
（ 2 ） d ang1 A C B D sh i2 ， q iou2 s an1 l eng2 zh uei1 C A B D d e0 g ao1 .
k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 O x y z zh ong1 ， x ia4 l ie4 zh u4 z uo4 b iao1 d uei4 ing4 d e0 d ian3 z ai4 p ing2 m ian4 y O z n ei4 d e0 sh i4 （ ）
c ong2 zh ong1 s uei2 j i1 x üan3 ch u1 i2 g e4 ch eng2 üan2 ， q iou2 ：
j ie3 ： 1 0 2 5 （ l i2 m i3 ）
x ia4 m ian4 iong4 sh u4 x üe2 g uei1 n a4 f a3 zh eng4 m ing2 T n [ 8 n 2 ( 1 ) n ] ，
j iang1 i2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 ian2 b u4 t ong2 f ang1 x iang4 p ing2 i2 d e2 d ao4 d e0 j i3 h e2 t i3 d ou1 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3 .
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： P D p ing2 m ian4 E A C .
r uo4 g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 4 x 2 x m 2 0 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 .
iou2 2 x uei4 z eng1 h an2 sh u4 ， g u4 2 x 1 2 x 2 ， 0 .
（ 1 ） zh eng4 m ing2 ： p ao1 u4 x ian4 C z ai4 d ian3 N ch u4 d e0 q ie4 x ian4 ü3 A B p ing2 x ing2 ；
C . l eng2 zh u4 j i2 sh i4 l iang3 g e4 d i3 m ian4 q üan2 d eng3 q ie3 q i2 ü2 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 j ü3 x ing2 d e0 d uo1 m ian4 t i3
j ie3 ： d ang1 x 0 ， y 3 sh i2 ， m an3 z u2 x y 3 ， d an4 x 1 q ie3 y 2 b u4 ch eng2 l i4 ， j i2 ch ong1 f en4 x ing4 b u4 ch eng2 l i4 ，
g uo4 d ian3 （ 1 ， 0 ） q ie3 ü3 zh i2 x ian4 x y 0 ch uei2 zh i2 d e0 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 ： y x 1 ，
（ 2 ） iou2 ü2 q ü1 x ian4 C 1 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y k | x | 2 ， z e2 ： g ai1 zh i2 x ian4 g uan1 ü2 y zh ou2 d uei4 ch en4 ， q ie3 h eng2 g uo4 d ing4 d ian3 （ 0 ， 2 ）
s ong4 uan2 j ü4 。
r uo4 y a x b （ a 0 ） iou3 f an3 h an2 sh u4 q ie3 t a1 d e0 f an3 h an2 sh u4 j iou4 sh i4 y a x b b en3 sh en1 ， q iou2 a ， b ing1 m an3 z u2 d e0 t iao2 j ian4 .
x ia4 l ie4 sh i4 j ian4 zh ong1 ， s uei2 j i1 sh i4 j ian4 d e0 g e4 sh u4 uei4 （ ）
iou4 f ( x ) sh i4 d ing4 i4 ü4 uei4 R d e0 j i1 h an2 sh u4 ，
u3 n ian2 j i2 （ 3 ） b an1 ： 6 0 f en1 zh ong1 i3 x ia4 2 8 r en2 ， 6 0 ～ 9 0 f en1 zh ong1 1 5 r en2 ， 9 0 f en1 zh ong1 i3 sh ang4 7 r en2 。
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 x ian4 b ei4 üan2 j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 d e0 『 i2 b an4 』 ， üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 ü3 b an4 j ing4 z u3 ch eng2 『 zh i2 j iao3 』 s an1 j iao3 x ing2 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f ang1 ch eng2 d e0 j ie3 h e2 j ie3 f ang1 ch eng2 』
in1 uei4 2 2 4 ， s uo3 i3 zh e4 g e4 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 b an4 j ing4 sh i4 2 c m 。
j ie3 ： zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 sh i4 x y 1 ， q ü1 x ian4 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 sh i4 x 2 y 2 9 ，
üan2 d e0 üan2 x in1 uei4 （ 0 ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 4 .
g u4 d a2 an4 uei4 1 .
l ing4 t ， z e2 iou3 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
z ai4 r uei4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 A B C zh ong1 ， r uo4 s i n A 2 s i n B s i n C ， z e2 t a n A t a n B t a n C d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 ch u1 d eng3 h an2 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 zh i1 ， f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
j ie3 ： ch u1 q in2 r en2 sh u4 ： 5 0 1 4 9 （ r en2 ）
j üe2 d uei4 zh i2 d a4 ü2 4 q ie3 x iao3 ü2 7 d e0 s uo3 iou3 zh eng3 sh u4 d e0 h e2 sh i4 0 .
iou2 （ 1 ） zh i1 O M d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y x ，
z ai4 A B C zh ong1 ， i3 zh i1 a 5 ， b 2 ， C 3 0 ， z e2 c .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
（ 2 ） r uo4 üan2 O sh ang4 d ian3 M d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 ， q iou2 d ian3 M d e0 z uo4 b iao1 .
i3 p an2 3 g e4 ， j ia3 、 b ing3 l iang3 p an2 g e4 i2 g e4 ；
d ang1 a 0 sh i2 ， g ( x ) a x b z ai4 [ 1 ， 1 ] sh ang4 sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 1 . 4 9 0 . 0 7 sh i2 ， x ü1 j iang1 『 x iao3 sh u3 d ian3 』 d uei4 q i2 ， ie3 j iou4 sh i4 j iang4 x iang4 t ong2 sh u4 uei4 d uei4 q i2 。 』
【 t i2 sh i4 】 『 iao4 x ie3 d e0 x iao3 sh u4 x iao3 ü2 1 ， z e2 q i2 zh eng3 sh u4 b u4 f en4 uei4 『 0 』 。 』
（ 2 ） t uo3 üan2 d e0 iou4 j iao1 d ian3 uei4 （ 1 ， 0 ） ，
x üe2 x iao4 k e1 j i4 x iao3 z u3 z ai4 j i4 s uan4 j i1 sh ang4 m o2 n i3 h ang2 t ian1 q i4 b ian4 g uei3 f an3 h uei2 sh i4 ian4 . sh e4 j i4 f ang1 an4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ： h ang2 t ian1 q i4 ün4 x ing2 （ an4 sh uen4 sh i2 zh en1 f ang1 x iang4 ） d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 1 ，
【 t i2 sh i4 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 ： a b c b ( a 『 』 c ) b 。 』
z e2 “ 5 5 ” sh i4 p q x ing2 sh i4 d e0 x in1 m ing4 t i2 ， t a1 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
g u4 d ian3 M d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 ） .
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， x 2 y d e0 zh i2 uei4 1 h uo4 9 .
【 t i2 sh i4 】 『 iao1 q iou2 q i4 ch e1 i1 c i4 k e3 i3 j iang1 n a3 l iang3 x iang1 h uo4 u4 ün4 z ou3 ， x ü1 q iou2 ch u1 n a3 l iang3 x iang1 h uo4 u4 d e0 zh i4 l iang4 zh i1 h e2 b i3 2 d uen1 『 x iao3 』 。 』
1 （ d ang1 q ie3 j in3 d ang1 b 2 4 a 2 sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 ） ，
l ing4 a 1 ， z e2 k e3 d e2 p ing2 m ian4 Q B D d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ 1 ， 1 ， ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 r en4 sh i2 』
i3 zh i1 m ou3 zh ong3 x ing2 h ao4 d e0 1 0 0 zh ang1 zh i3 d e0 h ou4 d u4 üe1 uei4 1 c m ， n a4 m e0 zh e4 zh ong3 x ing2 h ao4 d e0 zh i3 1 3 i4 zh ang1 zh i3 d e0 h ou4 d u4 üe1 uei4 k m . （ iong4 k e1 x üe2 j i4 sh u4 f a3 b iao3 sh i4 ）
p ing2 m ian4 P A E sh ang4 p ing2 m ian4 A B C .
j ie3 d a2 t i2 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 d e0 x ing2 ch eng2 uen4 t i2 』
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( 2 x ) （ | | ） d e0 t u2 x iang4 x iang4 z uo3 p ing2 i2 g e4 d an1 uei4 h ou4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 3 5 üan2 8 j iao3 3 5 üan2 『 』 8 j iao3 。 』
j ie3 ： d ang1 t 0 sh i2 ， x 2 ， y 1 ；
g ai1 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 d e0 m ian4 j i1 uei4 1 .
h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 .
s uo3 i3 q ü3 （ 1 ， 0 ， 1 ） .
B . （ t uei4 c an1 sh u4 ）
j ie3 ： d uei4 ü2 ， iou2 b 2 4 a c 0 k e3 zh i1 er4 c i4 h an2 sh u4 t u2 x iang4 ü3 x zh ou2 c uen2 z ai4 j iao1 d ian3 ， g u4 h an2 sh u4 f ( x ) iou3 l ing2 d ian3 ， ch ong1 f en4 x ing4 ch eng2 l i4 ； d ang1 h an2 sh u4 f ( x ) iou3 l ing2 d ian3 sh i2 ， b 2 4 a c 0 ， b i4 iao4 x ing4 ch eng2 l i4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 b ao3 x ian3 f ei4 t ou2 b ao3 j in1 e2 『 』 n ian2 b ao3 x ian3 f ei4 l ü4 『 』 n ian2 sh u4 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ü3 x ing4 zh i4 』
in1 uei4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 uei4 ，
2 . 6 l i2 m i3 0 . 2 6 f en1 m i3
d a2 an4 ： s uei2 j i1 .
g uan1 ch a2 x ia4 l ie4 s i4 zh ang1 t u2 p ian4 ， j ie2 h e2 s uo3 x üe2 zh i1 sh i2 sh uo1 ch u1 zh e4 s i4 g e4 j ian4 zh u4 u4 zh u3 iao4 d e0 j ie2 g ou4 t e4 zh eng1 .
j i2 zh ou2 sh i4 i1 t iao2 sh e4 x ian4 ；
j ie3 ： j iang1 s uo3 g ei3 d e0 s an1 g e4 sh i4 z i0 h ua4 uei4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 uei4 ：
p ing2 m ian4 M N G p ing2 m ian4 A C D .
m ing4 t i2 “ n N * ， f ( n ) N * q ie3 f ( n ) n ” d e0 f ou3 d ing4 x ing2 sh i4 sh i4 .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ： p sh i4 “ j ia3 m ei2 iou3 j iang4 l uo4 z ai4 zh i3 d ing4 f an4 uei2 ” ， q sh i4 “ i3 m ei2 iou3 j iang4 l uo4 z ai4 zh i3 d ing4 f an4 uei2 ” ，
（ 2 ） b i3 j iao4 l iang3 zh ong3 ch ou1 q ü3 f ang1 sh i4 ch ou1 d ao4 d e0 b u4 h e2 g e2 p in3 p ing2 j ün1 sh u4 d e0 d a4 x iao3 ？ b ing4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
i3 zh i1 j ian3 x ie2 ün4 d ong4 f ( x ) 2 s i n ( x ) （ | | ） d e0 t u2 x iang4 j ing1 g uo4 d ian3 （ 0 ， 1 ） ， z e2 g ai1 j ian3 x ie2 ün4 d ong4 d e0 ch u1 x iang1 uei4 .
ü2 sh i4 iou3 a b c .
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ch eng1 uei2 g ong1 l i3 d e0 sh i4 （ ）
iou2 t i2 i4 zh i1 ， A ü3 B x iang1 h u4 d u2 l i4 ， q ie3 P ( A ) 0 . 6 ， P ( B ) 0 . 7 5 ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh ong1 S A O r ao4 『 S O 』 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 k e3 i3 d e2 d ao4 t u2 zh ong1 d e0 üan2 zh uei1 . 』
g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 d e2 0 ， x [ 0 ， 2 ] .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 g ai3 x ie3 h e2 sh eng3 l üe4 uei3 sh u4 』
i3 zh i1 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 O sh i4 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 ， A （ 6 ， 2 ） ， B （ 8 ， 0 ） ， üan2 C sh i4 O A B d e0 uai4 j ie1 üan2 ， g uo4 d ian3 （ 2 ， 6 ） d e0 zh i2 x ian4 l b ei4 üan2 s uo3 j ie2 d e2 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
x 0 [ 1 ， 2 ] ， sh i3 d e0 a x 0 2 2 x 0 ch eng2 l i4 .
（ 2 ） i3 zh i1 sh i2 sh u4 m [ ] ， q iou2 zh i2 x ian4 A B d e0 q ing1 x ie2 j iao3 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
l ian2 x ü4 4 g e4 d ie1 t ing2 h ou4 j ia4 g e2 uei4 a ( 1 1 0 ) 4 0 . 6 5 6 1 a ，
zh eng4 m ing2 ： g en1 j ü4 t i2 i4 h ua4 ch u1 t u2 x ing2 ， z uo4 P M A B j iao1 B E ü2 M ， z uo4 Q N A B j iao1 B C ü2 N ， l ian2 j ie1 M N .
z e2 d i3 m ian4 m ian4 j i1 S a b 4 m 2 ， y 2 0 S 1 0 [ 2 ( a b ) ] 2 0 ( a b ) 8 0 ，
s uo3 i3 zh i3 iou3 （ 2 ， ） b u2 sh i4 h e2 .
b a3 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， x iao1 q ü4 c an1 sh u4 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 4 ，
（ 2 ） q iou2 er4 m ian4 j iao3 N P C B d e0 ü2 x ian2 zh i2 .
（ 2 ） q iou2 zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 c e4 m ian4 j i1 .
A . g uan1 ü2 j i2 zh ou2 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 d uei4 ch en4
【 t i2 sh i4 】 『 l eng2 t ai2 d e0 t i3 j i1 『 ( S sh ang4 S x ia4 ) 』 h . 』
d ang1 x 2 sh i2 ， m ei3 ch uang2 sh ou1 f ei4 t i2 g ao1 4 üan2 ， d ang1 x 3 sh i2 ， m ei3 ch uang2 sh ou1 f ei4 t i2 g ao1 6 üan2 ，
zh ou1 ch ang2 x iang1 t ong2 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh ang3 ü3 k uan1 d e0 ch a4 üe4 x iao3 ， m ian4 j i1 üe4 d a4 。
j ie3 d e2 （ b u4 h e2 t i2 i4 d e0 sh e3 q ü4 ） .
（ 2 ） zh i2 x ian4 C 3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 0 ， q i2 zh ong1 0 m an3 z u2 t a n 0 2 ， r uo4 q ü1 x ian4 C 1 ü3 C 2 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 d ou1 z ai4 C 3 sh ang4 ， q iou2 a .
r uo4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 l eng2 zh ang3 uei4 ， z e2 i3 g ai1 zh eng4 f ang1 t i3 g e4 g e4 m ian4 d e0 zh ong1 x in1 uei4 d ing3 d ian3 d e0 t u1 d uo1 m ian4 t i3 d e0 t i3 j i1 uei4 （ ）
s i4 b ian1 x ing2 A M N E sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
（ 1 ） q iou2 f ( x ) d e0 j ie3 x i1 sh i4 ；
x ia4 l ie4 z ai4 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 d e0 d ian3 sh i4 （ ）
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
d ang1 a 0 sh i2 ， k e3 d e2 x a y 1 0 d e0 t u2 x iang4 r u2 x ia4 ：
s uo3 i3 x ia4 d ie1 6 0 d ian3 ing1 j i4 z uo4 6 0 .
z e2 d ang1 n k 1 sh i2 ， F k 1 ( x ) [ ( 1 ) i ]
i4 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 x a ch u4 q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 ， j i2 a 1 5 ， j ie3 d e2 a 4 .
k e3 i3 j iang1 t uo3 üan2 1 b ian4 uei4 üan2 x 2 y 2 4 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 zh ong1 j ie4 f ei4 zh an4 f ang2 u1 sh ou4 j ia4 d e0 2 ， q iou2 f ang2 u1 d e0 sh ou4 j ia4 ， iong4 『 ch u2 』 f a3 j i4 s uan4 。 』
j ia3 sh e4 zh e4 f en4 g ao3 j ian4 sh i4 1 。
r uo4 a 2 sh i2 ， üan2 b u4 d eng3 sh i4 uei4 1 0 ， u2 j ie3 ，
（ 2 ） d e2 iou1 、 l iang2 d eng3 j i2 d e0 n an2 sh eng1 b i3 n ü3 sh eng1 （ ） r en2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 』
（ 1 ） q iou2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ；
q i2 f ou3 m ing4 t i2 uei4 “ r uo4 i2 g e4 h an2 sh u4 b u2 sh i4 d an1 d iao4 h an2 sh u4 ， z e2 g ai1 h an2 sh u4 sh i4 zh ou1 q i1 h an2 sh u4 ” ， j i2 “ b u4 d an1 d iao4 d e0 h an2 sh u4 sh i4 zh ou1 q i1 h an2 sh u4 ” ， g u4 B c uo4 u4 ；
a 1 ， b 1 ， z e2 a b 2 ， b u2 sh i4 u2 l i3 sh u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 b i3 l i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 s an1 g e4 j iao3 sh i4 zh i2 j iao3 d e0 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 j ü3 x ing2 』
j ie3 ： zh i2 x ian4 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 3 2 0 0 4 ， x ian1 s uan4 3 2 4 ， z ai4 g ei3 sh ang1 d e0 m o4 uei3 t ian1 sh ang4 『 2 』 g e4 0 。 』
s uo3 i3 2 x y 8 c o s 3 s i n s i n ( ) （ iou2 t a n q üe4 d ing4 ） ，
z ai4 A B C zh ong1 ， j iao3 A ， B ， C ， s uo3 d uei4 d e0 b ian1 f en1 b ie2 uei4 a ， b ， c ， q ie3 c o s A ， t a n ( B A ) .
E sh i4 A 1 A d e0 zh ong1 d ian3 ， G sh i4 B B 1 zh ong1 d ian3 ，
g uan1 ch a2 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 f an1 zh e2 q ian2 h ou4 x iang1 d uei4 uei4 zh i4 d e0 b ian4 h ua4 ，
（ 2 ） q iou2 iou2 x i4 j ie2 sh u4 sh i2 j ü2 sh u4 X d e0 f en1 b u4 l ie4 h e2 sh u4 x üe2 q i1 uang4 e2 E ( X ) .
j ie3 ： r u2 t u2 .
q ü3 B B 1 d e0 zh ong1 d ian3 H ， l ian2 j ie1 E H ， D H ，
j ie3 ： （ 1 ） j iang1 d ian3 P z uo4 b iao1 d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 x 2 ( y 1 ) 2 1 0 d e0 z uo3 b ian1 ， k e3 d e2
4 [ s ， t ] ， zh e4 ü3 0 s 1 t 3 m ao2 d uen4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 i2 g e4 t u2 zh ong1 f en1 sh u4 d e0 f en1 m u3 sh i4 1 0 sh i2 ， f en4 z i3 『 d eng3 』 ü2 in1 ing3 b u4 f en4 d e0 f en4 sh u4 。 』
（ 3 ） z ong3 j ia4 h e2 b en3 sh u4 d e0 b i3 zh i2 uei4 d ing4 zh i2 ， z e2 《 x iao3 ai4 d i2 sh eng1 》 d e0 z ong3 j ia4 h e2 b en3 sh u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 。
b u4 d eng3 sh i4 x 2 3 x 4 0 d e0 j ie3 j i2 uei4 . （ iong4 q ü1 j ian1 b iao3 sh i4 ）
（ 2 ） r uo4 C sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 l d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 ， q iou2 a .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( 2 x ) （ 0 x ） ， q ie3 f ( ) f ( ) （ ） ， z e2 .
i1 c i4 m o1 i2 g e4 q iou2 ； k e3 x üan3 z e2 x ian1 m o1 j ia3 x iang1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( x 2 ) f ( x ) ， d ang1 x （ 0 ， 2 ） sh i2 ， f ( x ) x 2 ， z e2 f ( 7 ) .
g u4 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ， ） .
s ， t uei4 f ang1 ch eng2 x 2 3 x 1 0 d e0 l iang3 g en1 ，
m ou3 p in3 p ai2 l an2 q iou2 d a3 b a1 zh e2 h ou4 ， sh ou4 j ia4 uei4 1 2 0 üan2 。 zh e4 zh ong3 p in3 p ai2 d e0 l an2 q iou2 d e0 üan2 j ia4 sh i4 d uo1 sh ao3 üan2 ？
sh uo1 ch u1 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 j i3 h e2 t i3 d e0 zh u3 iao4 j ie2 g ou4 t e4 zh eng1 .
（ 1 ） q iou2 ch uan2 d e0 h ang2 x ing2 s u4 d u4 sh i4 m ei3 x iao3 sh i2 d uo1 sh ao3 q ian1 m i3 ？
sh e4 f ( x ) ， z e2 f ( 5 ) d e0 zh i2 uei4 （ ）
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 2 c o s d e0 ch uei2 zh i2 ü2 j i2 zh ou2 d e0 l iang3 t iao2 q ie4 x ian4 f ang1 ch eng2 f en1 b ie2 uei4 （ ）
d a2 an4 ： x iang1 j iao1 h uo4 i4 m ian4 .
（ 2 ） d ong1 d ong1 j ia1 d ao4 x üe2 x iao4 d e0 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 sh i4 4 . 2 l i2 m i3 。
l ing2 d ian3 s an1 er4 x ie3 z uo4 （ ）
h ang2 x ing2 0 . 5 x iao3 sh i2 d e0 l u4 ch eng2 uei4 8 n m i l e ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 t i3 、 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 t e4 zh eng1 』
d ong4 u4 x in4 h ao4 d e0 ch uan2 b o1 s u4 d u4 sh i4 1 k m s ，
iou2 üan2 t ai2 d e0 b iao3 m ian4 j i1 g ong1 sh i4 k e3 d e2 ：
r u2 g uo3 x iang4 n an2 z ou3 5 m ， j i4 z uo4 5 m ， n a4 m e0 x iang4 b ei3 z ou3 8 m ing1 j i4 z uo4 （ ） 。
r uo4 ， z e2 2 c o s ， j ie3 d e2 ，
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) ( 2 a 1 ) x b sh i4 R sh ang4 d e0 j ian3 h an2 sh u4 ， z e2 iou3 （ ）
in1 uei4 N uei4 A M zh ong1 d ian3 ，
f ( x ) z ai4 （ 1 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 .
iao4 j i4 x ü4 uang3 q ian2 h ua2 x ing2 i1 d uan4 j ü4 l i2 c ai2 n eng2 t ing2 x ia4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i4 t i3 t u2 x ing2 d e0 q ie4 f en1 ( ao4 sh u4 ) 』
d a2 an4 ： 1 üe4 f en4 x iao1 sh ou4 d e0 b ing1 x iang1 b i3 c ai3 d ian4 d uo1 ； 1 üe4 f en4 x iao1 sh ou4 d e0 c ai3 d ian4 b i3 b ing1 x iang1 sh ao3 1 5 。
i4 ian4 zh eng4 üan2 x in1 b u4 z ai4 zh i2 x ian4 3 x y 2 0 sh ang4 ，
iou3 l iang3 g e4 m ian4 p ing2 x ing2 ， q i2 ü2 g e4 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 j i3 h e2 t i3 j iao4 l eng2 zh u4 ；
s uo3 i3 g ong4 iou3 8 zh ong3 b iao1 zh u4 f ang1 f a3 .
iou2 x i4 f ei4 b ei4 m o4 sh ou1 ； d ang1 s uo3 zh i3 d ing4 d e0 b o1 l i2 q iou2 ch u1 x ian4 1 c i4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 A C ü3 p ing2 m ian4 P A B 『 ch uei2 zh i2 』 ， h an2 A C d e0 p ing2 m ian4 ü3 P A B 『 ch uei2 zh i2 』 . 』
（ ） iou2 t i2 i4 k e3 d e2 d ang4 zh i2 x ian4 x y 4 0 d e0 p ing2 x ing2 x ian4 ü3 t uo3 üan2 x iang1 q ie4 sh i2 ， | P Q | q ü3 d e0 z uei4 zh i2 ，
D x iang4 ， m o4 uei4 sh u4 sh i4 5 d e0 sh u4 i2 d ing4 n eng2 b ei4 5 zh eng3 ch u2 d e0 n i4 m ing4 t i2 sh i4 ： b ei4 5 n eng2 zh eng3 ch u2 d e0 sh u4 z i4 d e0 m o4 uei4 sh u4 sh i4 5 ， sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， g u4 D x iang4 m ei2 iou3 n i4 d ing4 l i3 .
（ 1 ） üan2 zh u4 iou3 u2 sh u4 t iao2 g ao1 ， er2 üan2 zh uei1 zh i3 iou3 i1 t iao2 g ao1 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
g u4 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， 1 ） sh i2 ， P d ao4 s an1 g e4 j ü1 m in2 q ü1 d e0 “ L l u4 j ing4 ” ch ang2 d u4 zh i1 h e2 z uei4 x iao3 ， q ie3 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 4 5 .
d ang1 0 a 1 sh i2 ， h an2 sh u4 f ( x ) a x b z ai4 [ 1 ， 0 ] sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 ，
0 ] d e0 t u2 x iang4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
（ 1 ） l ie4 ch u1 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 X d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 ；
g u4 üan2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 y ， j i2 x 2 ( y 1 ) 2 1 ， üan2 x in1 uei4 （ 0 ， 1 ） ， b an4 j ing4 uei4 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 j i2 q i2 g uan1 x i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 i4 i4 』
d a2 an4 ： 0 h uo4 1 h uo4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
d ang1 2 ， j i2 sh i2 ， A O B d e0 m ian4 j i1 q ü3 z uei4 d a4 zh i2 ， z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 .
d ang1 zh i2 x ian4 l d e0 x ie2 l ü4 k c uen2 z ai4 sh i2 ， sh e4 zh i2 x ian4 l uei4 y k x m （ k ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
【 t i2 sh i4 】 『 uei2 c ai4 d i4 b u4 f en4 d e0 sh eng2 z i0 d e0 ch ang2 d u4 d eng3 ü2 zh eng4 f ang1 x ing2 c ai4 d i4 d e0 『 zh ou1 ch ang2 』 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 』
（ 2 ） zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 g ong4 iou3 j i3 g e4 m ian4 ， m ei3 g e4 m ian4 d e0 s an1 j iao3 x ing2 iou3 h e2 t e4 d ian3 ？
j ie3 ： z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， g uo4 d ian3 P （ 1 ， ） zh uan3 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 ： P （ 1 ， 0 ） ，
g u4 er4 m ian4 j iao3 F A B P d e0 zh eng4 x ian2 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ing4 i4 x in1 ün4 s uan4 』
iou2 g en1 ü3 x i4 sh u4 d e0 g uan1 x i4 k e3 d e2 t 1 t 2 4 ， t 1 t 2 4 ，
z e2 P d ian3 d e0 z uo4 b iao1 sh i4 （ 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
d ang1 a 1 sh i2 ， a 3 | a 3 | ， s uo3 i3 D c uo4 u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
【 t i2 sh i4 】 『 （ r ， ） h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 （ x ， y ） sh i2 ， x r 『 c o s 』 ， y r 『 s i n 』 ， t i2 zh ong1 r 4 ， . 』
j ie3 d e2 p h uo4 p .
g u4 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh e4 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 zh ong1 d e0 b ei4 ch u2 sh u4 ch u2 sh u4 『 』 sh ang1 『 』 ü2 sh u4 。 』
（ 2 ） q ü1 x ian4 C 1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 （ R ， 0 ） ， q i2 zh ong1 0 .
（ 1 ） q iou2 C 1 ü3 C 2 j iao1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 ；
s uo3 i3 s an1 j iao3 x ing2 j ia3 d e0 d i3 sh i4 2 3 5 （ c m ） 。
s uo3 i3 d ian3 A z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 ， d ian3 B b u4 z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 .
r u2 t u2 ， d ian3 D 、 E f en1 b ie2 z ai4 A B 、 B C sh ang4 ， D E A C ， A F B C ， 1 7 0 . q iou2 2 d e0 d u4 sh u4 .
l ing4 y 0 ， z e2 x ， j i2 P （ ， 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
q iou2 x ia4 l ie4 g e4 sh u4 d e0 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 .
j ie3 ： z uo4 ch u1 g ai1 zh i2 g uan1 t u2 d e0 üan2 t u2 x ing2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 0 ， 5 ） .
s uo3 i3 d ang1 n 1 sh i2 ， d n q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 d 1 0 ， ü2 sh i4 a 0 .
k an4 d ao4 i2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 ， z ai4 m ian4 sh ang4 iou3 i1 t iao2 d uei4 j iao3 x ian4 ， d uei4 j iao3 x ian4 sh i4 iou2 z uo3 sh ang4 j iao3 d ao4 iou4 x ia4 j iao3 d e0 x ian4 .
r uo4 f ( x ) ， z e2 m an3 z u2 f ( x ) 0 d e0 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 b a3 2 6 h ua4 ch eng2 x iao3 sh u4 sh i2 ， j iang1 2 6 d e0 x iao3 sh u3 d ian3 x iang4 z uo3 i2 d ong4 『 l iang3 』 uei4 ， q ü4 d iao4 b ai3 f en1 h ao4 。 』
d a2 ： d e2 p iao4 z uei4 d uo1 d e0 h ou4 x üan3 r en2 zh i4 sh ao3 d e2 1 1 p iao4 。
B . iou3 l iang3 g e4 m ian4 p ing2 x ing2 ， q i2 ü2 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 j i3 h e2 t i3 j iao4 l eng2 zh u4
： f ( n ) 2 n 1 （ n Z ） ü3 g ( n ) 2 n 1 （ n Z ） d e0 d ing4 i4 ü4 d ou1 sh i4 Z ， zh i2 ü4 ie3 x iang1 t ong2 ， d an4 d uei4 ing4 f a3 z e2 b u4 t ong2 ， g u4 b u2 sh i4 x iang1 d eng3 h an2 sh u4 ；
i3 zh i1 x iang4 l iang4 （ 1 ， 3 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ k 1 ， k 2 ） ， r uo4 A ， B ， C s an1 d ian3 n eng2 g ou4 ch eng2 s an1 j iao3 x ing2 ， z e2 sh i2 sh u4 k ing1 m an3 z u2 d e0 t iao2 j ian4 sh i4 .
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 b a a b .
in1 c i3 m an3 z u2 l eng2 zh ang3 uei4 1 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 f u3 sh i4 t u2 sh i4 i2 g e4 m ian4 j i1 uei4 1 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， z e2 g ai1 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 d e0 m ian4 j i1 d e0 f an4 uei2 uei4 [ 1 ， ] .
【 t i2 sh i4 】 『 d eng3 d i3 d eng3 g ao1 d e0 üan2 zh u4 t i3 j i1 sh i4 üan2 zh uei1 t i3 j i1 d e0 3 b ei4 ， sh uo1 m ing2 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 b i3 üan2 zh uei1 d a4 d e0 b u4 f en4 sh i4 üan2 zh uei1 t i3 j i1 d e0 『 2 』 b ei4 。 』
zh i2 x ian4 ü3 üan2 x iang1 j iao1 d an4 b u4 g uo4 üan2 x in1 .
【 t i2 sh i4 】 『 x ian1 s uan4 1 2 4 ü3 3 8 d e0 h e2 ， z ai4 z ai4 d e2 sh u4 1 6 2 zh ong1 『 6 』 d e0 iou4 x ia4 j iao3 d ian3 sh ang4 x iao3 sh u3 d ian3 。 』
d ang1 m n 0 q ie3 m 0 ， j i2 m n 0 sh i2 f ang1 ch eng2 uei4 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 .
sh e4 x 1 、 x 2 （ 1 ， ） ， r en4 q ü3 1 x 1 x 2 ， z e2 x 2 x 1 0 ，
（ 3 ） q ia4 h ao3 iou3 i1 c i4 j i1 zh ong4 l e0 f ei1 j i1 b ao1 h an2 l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 ： i1 sh i4 d i4 i1 c i4 m ei2 iou3 j i1 zh ong4 f ei1 j i1 ， d i4 er4 c i4 j i1 zh ong4 l e0 f ei1 j i1 ， c i3 sh i2 b iao3 sh i4 uei4 p q ； er4 sh i4 d i4 i1 c i4 j i1 zh ong4 l e0 f ei1 j i1 er2 d i4 er4 c i4 m ei2 iou3 j i1 zh ong4 f ei1 j i1 ， c i3 sh i2 m ing4 t i2 b iao3 sh i4 uei4 p q ；
sh i4 l iang3 b ian1 p ing2 f ang1 j ie2 h e2 sh i4 d e2 y 2 x 2 2 x ，
r uo4 x 0 ， z e2 h an2 sh u4 f ( x ) x d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ian4 r en4 f ang1 x iang4 』
j ie3 ： h an2 sh u4 t u2 x iang4 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 x 1 ， er2 ( x 1 1 ) ( x 2 1 ) x 1 x 2 2 3 a 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 x ing4 zh i4 』
f ( x ) z ai4 [ 0 ， ) sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ， q ie3 2 3 4 ，
j iang1 q i2 d ai4 r u4 x y 2 0 ， d e2 2 x y 2 0 ，
d uei4 f ang1 ch eng2 l iang3 b ian1 t ong2 sh i2 p ing2 f ang1 k e3 d e2 x 2 x ，
j ie3 ： f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ，
3 p ing2 f ang1 f en1 m i3 3 0 0 p ing2 f ang1 l i2 m i3
d uei4 ü2 j i2 h e2 B ， 4 ( a 1 ) 2 4 ( a 2 5 ) 8 a 2 4 .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 4 s i n d e0 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 （ R ） d e0 j ü4 l i2 sh i4 .
zh i2 x ian4 l d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y x 4 .
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， E ， F ， G ， H f en1 b ie2 sh i4 s uo3 z ai4 l eng2 d e0 zh ong1 d ian3 ， q ing3 s i1 k ao3 b ing4 h uei2 d a2 x ia4 m ian4 d e0 uen4 t i2 ：
j ie3 ： g en1 j ü4 i1 üan2 i1 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 d ing4 i4 ， k e3 zh i1 ：
m ing4 t i2 “ r uo4 a b 0 ， z e2 a 0 ” ü3 m ing4 t i2 “ r uo4 a 0 ， z e2 a b 0 ” sh i4 h u4 n i4 m ing4 t i2 .
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A [ ] ， l ie4 x iang4 l iang4 X [ ] ， B [ ] ， r uo4 A X B ， zh i2 j ie1 x ie3 ch u1 A 1 ， b ing4 q iou2 ch u1 X .
（ 2 ） iou2 t i2 i4 zh i1 ， zh i2 x ian4 P A h e2 zh i2 x ian4 P B d e0 x ie2 l ü4 c uen2 z ai4 ， q ie3 h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ，
h an2 sh u4 y x d e0 zh i2 ü4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 d e0 zh i2 g uan1 t u2 』
z ai4 j ü3 x ing2 B 1 B C C 1 zh ong1 ， C 1 F C D a ， B 1 C 1 C F 2 a ，
i3 zh i1 s an1 g e4 p ing2 m ian4 ， ， ， i1 t iao2 zh i2 x ian4 l ， x ia4 l ie4 t iao2 j ian4 k e3 i3 d e2 d ao4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 g en1 d e0 p an4 b ie2 sh i4 』
g u4 q iou2 q ü3 ch u1 h ou4 sh uei3 m ian4 d e0 g ao1 uei4 r .
x ü3 y ch eng2 （ ） b i3 l i4 。
【 t i2 sh i4 】 『 3 1 2 d e0 b ai3 uei4 sh u4 z i4 b i3 6 x iao3 ， sh ang1 d e0 z uei4 g ao1 uei4 sh i4 『 sh i2 』 uei4 。 』
A 、 B 、 C zh e4 s an1 g e4 j iao3 d ou1 x iao3 ü2 6 0 b u4 ch eng2 l i4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 sh u4 h e2 f u4 sh u4 』
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 l ing2 d ian3 g e4 sh u4 j iou4 sh i4 h an2 sh u4 g ( x ) ü3 h ( x ) t u2 x iang4 d e0 j iao1 d ian3 g e4 sh u4 .
sh e4 j i2 h e2 A { ( x ， y ) | y 2 x 1 0 } ， B { ( x ， y ) | 4 x 2 2 x 2 y 5 0 } ， C { ( x ， y ) | y k x b } ， uen4 ： sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 k ， b N ， sh i3 d e0 ( A B ) C ， b ing4 zh eng4 m ing2 n i3 d e0 j ie2 l uen4 .
zh ong1 ， r uo4 a b ， b ， z e2 a ie3 k e3 n eng2 ch eng2 l i4 ， g u4 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 f en1 x 1 、 x 1 h e2 0 x 『 1 』 s an1 zh ong3 q ing2 k uang4 j in4 x ing2 t ao3 l uen4 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 n ian2 j iang4 sh uei3 l iang4 z ai4 [ 1 0 0 ～ 2 0 0 ） （ m m ） f an4 uei2 n ei4 ， b ao1 h an2 n ian2 j iang4 sh uei3 l iang4 z ai4 『 [ 1 0 0 ～ 1 5 0 ） 』 h e2 『 [ 1 5 0 ～ 2 0 0 ） 』 l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 . 』
sh e4 S n uei4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 { a n } d e0 q ian2 n x iang4 h e2 ， a 1 2 8 ， S 9 9 ， z e2 S 1 6 .
F sh i4 C 1 C sh ang4 d e0 zh ong1 d ian3 ， G sh i4 B B 1 zh ong1 d ian3 ，
j ie3 ： in1 uei4 üan2 zh u4 d i3 m ian4 üan2 d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 2 ， g ao1 uei4 2 ，
s uo3 i3 d ing3 d ian3 C d e0 g uei3 j i4 sh i4 A B d e0 ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 x ian4 （ ch u2 q ü4 j iao1 d ian3 ） ， j i2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 q ü4 d iao4 i4 d ian3 .
d ian3 P d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ， ） ，
g u4 d a2 an4 uei4 ： 。
üan2 x 2 ( y 1 ) 2 2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
A C ， B D q üe4 d ing4 d e0 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 j iao1 ü2 C D ， q ie3 C D ü3 A B x iang1 j iao1 ü2 d ian3 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
z e2 m an3 z u2 a 1 q ie3 a 4 ， j i2 a 4 .
（ 2 ） r en4 x üan3 3 m ing2 x ia4 g ang3 r en2 üan2 ， j i4 X uei4 3 r en2 zh ong1 c an1 j ia1 g uo4 p ei2 x ün4 d e0 r en2 sh u4 ， q iou2 X d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 h e2 q i1 uang4 .
1 üe4 sh u1 c ai4 d e0 j ia4 g e2 b i3 1 2 üe4 sh ang4 zh ang3 l e0 1 2 。
x d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 4 ，
sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 l ing2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ；
d ian3 P d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ uei4 c an1 sh u4 ， q ie3 0 2 ） ，
sh e4 B C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y x t ， d ai4 r u4 t uo3 üan2 f ang1 ch eng2 3 x 2 4 y 2 1 2 ，
（ 2 ） ian2 ch ang2 C D d ao4 F ， ian2 ch ang2 D C d ao4 G ， l ian2 j ie1 E F 、 E G ， sh i3 d e0 E F E G ， zh eng4 m ing2 ： A ， B ， G ， F s i4 d ian3 g ong4 üan2 .
i3 zh i1 x 0 ， y 0 ， q ie3 2 x y 6 ， q iou2 4 x 2 y 2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
g ai4 l ü4 d e0 i4 i4
j iang1 sh ang4 m ian4 d e0 j ie2 g uo3 d ai4 r u4 （ * ） ， d e2 x 2 4 .
r u2 t u2 ， ian2 ch ang2 A B C d e0 zh ong1 x ian4 A D d ao4 E ， sh i3 D E A D ， l ian2 j ie2 B E 、 E C ， n a4 m e0 z ai4 s i4 b ian1 x ing2 A B E C zh ong1 q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 g ong4 iou3 （ ）
s uo3 q iou2 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ， 5 ） .
j ie3 ： d ang1 a 0 sh i2 ， f ( a ) a 2 2 ， z e2 a ，
i3 zh i1 üan2 d e0 zh i2 j ing4 uei4 2 ， q i2 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 b iao1 zh uen3 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d uei4 ing4 d e0 q ü1 x ian4 sh ang4 l iang3 d ian3 A 、 B d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 f en1 b ie2 sh i4 h e2 ， q iou2 A 、 B l iang3 d ian3 d e0 j ü4 l i2 .
d a2 an4 ： 3 6 ， 8 1 p ing2 f ang1 f en1 m i3 。
C . 5 ü3 6 zh i1 j ian1
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 2 s i n ( ) d e0 t u2 x ing2 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 s an1 l eng2 zh u4 s an1 t iao2 c e4 l eng2 x iang1 d eng3 ， d i3 m ian4 uei4 r en4 i4 『 s an1 j iao3 x ing2 』 . 』
iou2 ü2 g ou4 ch eng2 A B C ， g u4 y 0 ，
r u2 t u2 ， i1 l iang4 q i4 ch e1 z ai4 i1 t iao2 sh uei3 p ing2 d e0 g ong1 l u4 sh ang4 x iang4 zh eng4 x i1 x ing2 sh i3 ， d ao4 A ch u4 sh i2 c e4 d e2 g ong1 l u4 b ei3 c e4 i1 sh an1 d ing3 D z ai4 x i1 p ian1 b ei3 3 0 d e0 f ang1 x iang4 sh ang4 ， x ing2 sh i3 6 0 0 m h ou4 d ao4 d a2 B ch u4 ， c e4 d e2 c i3 sh an1 d ing3 z ai4 x i1 p ian1 b ei3 7 5 d e0 f ang1 x iang4 sh ang4 ， iang3 j iao3 uei4 3 0 ， z e2 c i3 sh an1 d e0 g ao1 d u4 C D m .
d ang1 d uei4 i2 g e4 m ing4 t i2 zh i2 j ie1 j in4 x ing2 zh eng4 m ing2 h en3 k uen4 n an2 sh i2 ， uang3 uang3 c ai3 iong4 .
j ie3 ： ü3 d ian3 （ 3 ， ） g uan1 ü2 j i2 zh ou2 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 d uei4 ch en4 d ian3 d e0 j i2 j ing4 ü3 d ian3 （ 3 ， ） x iang1 d eng3 ， j i2 j iao3 ü3 d ian3 （ 3 ， ） h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ，
f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 ou3 h an2 sh u4 ，
B . b i4 iao4 er2 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
x iao4 üan2 d e0 i1 b ian1 d eng3 j ü4 l i2 d i4 ch a1 zh e0 c ai3 q i2 ， d i4 1 m ian4 c ai3 q i2 ü3 d i4 1 0 m ian4 c ai3 q i2 x iang1 j ü4 1 0 0 m 。 d i4 1 m ian4 c ai3 q i2 ü3 d i4 5 5 m ian4 c ai3 q i2 x iang1 j ü4 d uo1 sh ao3 m i3 ？
z e2 g uang3 ch ang3 d ao4 t i3 ü4 g uan3 d e0 sh i2 j i4 j ü4 l i2 sh i4 2 4 0 0 m i3 ， i1 üan4 d ao4 t i3 ü4 g uan3 d e0 sh i2 j i4 j ü4 l i2 sh i4 1 6 0 0 m i3 ， uen2 h ua4 g uan3 d ao4 t i3 ü4 g uan3 d e0 sh i2 j i4 j ü4 l i2 sh i4 1 8 0 0 m i3 。
j ie3 ： g en1 j ü4 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 x ing4 zh i4 ，
j ie3 ： （ 1 ） zh eng4 m ing2 ： d ang1 C D sh i2 ， q ü3 A B d e0 zh ong1 d ian3 O ，
j ie3 d e2 m 2 h uo4 1 ，
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) s i n ( ) 2 c o s 2 1 .
in1 uei4 A B ü3 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 6 0 ， s uo3 i3 B A C 6 0 .
（ 3 ） b iao3 zh ong1 x iang1 g uan1 l ian2 d e0 l iang3 zh ong3 l iang4 ch eng2 f an3 b i3 l i4 g uan1 x i4 m a0 ？ uei4 sh en2 m e0 ？
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 x 8 d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 P d ian3 d e0 h eng2 z uo4 b iao1 ü3 8 d e0 ch a4 d e0 『 j üe2 d uei4 zh i2 』 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 i1 g en1 t ong1 f eng1 g uan3 zh i4 sh ao3 x ü1 iao4 t ie3 p i2 d e0 m ian4 j i1 （ d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 『 』 5 ） i1 g en1 t ong1 f eng1 g uan3 d e0 g ao1 。 』
j ie3 ： sh e4 q i2 g an1 g ao1 x m ， z e2 t a n ， t a n ， t a n ，
zh i2 x ian4 l ： x iao1 q ü4 x i4 sh u4 t ， d e2 x y 6 .
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） A D D 1 A 1 uei4 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
s uo3 i3 j ü3 zh en4 A ，
（ 1 ） q iou2 d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 C d e0 f ang1 ch eng2 .
d ao4 l i3 sh i4 ： “ zh i4 sh ao3 iou3 1 m ing2 n an2 sh eng1 ” b ao1 k uo4 “ 1 m ing2 n an2 sh eng1 、 1 m ing2 n ü3 sh eng1 ” h e2 “ 2 m ing2 d ou1 sh i4 n an2 sh eng1 ” l iang3 zh ong3 j ie2 g uo3 ， t a1 ü3 “ q üan2 sh i4 n ü3 sh eng1 ” b u4 k e3 n eng2 t ong2 sh i2 f a1 sh eng1 ， d an4 q i2 b ing4 sh i4 j ian4 sh i4 b i4 r an2 sh i4 j ian4 ， s uo3 i3 sh i4 d uei4 l i4 sh i4 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i4 iong4 sh u4 zh ou2 b i3 j iao4 iou3 l i3 sh u4 d a4 x iao3 』
（ ， 1 ） uei4 d i4 i1 x iang4 x ian4 d e0 d ian3 ，
1 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 b ian1 zh ang3 uei4 ： 2 4 4 6 （ c m ）
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s ( ) 1 ， M ， N f en1 b ie2 uei4 C ü3 x zh ou2 ， y zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 .
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 2 s i n ( ) d e0 t u2 x ing2 sh i4 （ ）
q i2 zh ong1 h ang2 zh ou1 sh i4 r en2 k ou3 üe1 zh an4 q üan2 sh eng3 r en2 k ou3 d e0 1 3 . 4 ， h ang2 zh ou1 sh i4 r en2 k ou3 s i4 sh e3 u3 r u4 d ao4 uan4 uei4 üe1 sh i4 6 2 7 uan4 r en2 。
（ 2 ） j iang1 i1 z u3 iang4 b en3 sh u4 j ü4 zh ong1 d e0 m ei3 g e4 sh u4 j ü4 d ou1 j ia1 sh ang4 t ong2 i1 g e4 ch ang2 sh u4 h ou4 ， sh u4 j ü4 d e0 l i2 s an4 ch eng2 d u4 b u4 b ian4 ， z e2 iang4 b en3 f ang1 ch a4 b u4 b ian4 ， g u4 （ 2 ） zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： iou2 t i2 i4 zh i1 ： d i4 er4 g e4 t u2 d e0 h uo3 ch ai2 b ang4 b i3 d i4 i2 g e4 t u2 d e0 d uo1 6 g en1 ， d i4 s an1 g e4 t u2 d e0 h uo3 ch ai2 b ang4 b i3 d i4 er4 g e4 t u2 d e0 d uo1 6 g en1 ， er2 d i4 i2 g e4 t u2 d e0 h uo3 ch ai2 b ang4 d e0 g en1 sh u4 uei4 2 6 ，
z ong1 h e2 ， k e3 zh i1 d uei4 r en4 h e2 zh eng4 zh eng3 sh u4 n ， m ing4 t i2 ch eng2 l i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
d ang1 a 1 sh i2 ， f ( x ) z ai4 （ 1 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ；
b a3 f ang1 ch eng2 y s i n x b ian4 uei4 y s i n 4 x d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 g ong1 sh i4 uei4 .
（ 2 ） j iang1 zh i2 x ian4 ü3 üan2 O l ian2 l i4 k e3 d e2 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t u2 x ing2 d e0 f ang4 d a4 ü3 s uo1 x iao3 』
（ 2 ） r uo4 m 2 z e2 iou3 x 2 2 x 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 sh u4 l iang4 j i1 d e0 x ing4 zh i4 j i2 q i2 ün4 s uan4 l ü4 』
2 8 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 y 2 x sh i2 iou3 z uei4 x iao3 zh i2 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 8 .
D . i1 t iao2 zh i2 x ian4 h e2 i1 t iao2 sh e4 x ian4
d ang1 | a | | b | sh i2 ， iou3 | a | | b | 0 ，
z e2 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
l ian2 l i4 d e2 f ang1 ch eng2 z u3 uei4 ， x iao1 q ü4 y k e3 d e2 ( 1 4 k 2 ) x 2 8 k m x 4 m 2 1 6 0 .
（ 2 ） r uo4 g ai1 h an2 sh u4 h ai2 j ing1 g uo4 d ian3 （ 2 ， ） ， sh i4 q üe4 d ing4 m d e0 zh i2 ， b ing4 q iou2 m an3 z u2 t iao2 j ian4 f ( 2 a ) f ( a 1 ) d e0 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
q ü1 x ian4 ing1 uei4 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4 .
（ 4 ） sh i4 j ian4 “ ch u1 x ian4 d ian3 sh u4 x iang1 d eng3 ” b ao1 h an2 i3 x ia4 6 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 ：
g u4 ch ang2 sh u4 x iang4 uei4 T 4 ( 1 ) 3 2 3 1 6 0 ，
in1 uei4 q ： x 0 R ， a 2 a x 0 3 0 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ，
d ang1 P F C O sh i2 ， i3 O 、 C 、 P 、 F uei4 d ing3 d ian3 d e0 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 m ian4 sh ang4 d e0 g ou1 g u3 d ing4 l i3 』
【 t i2 sh i4 】 『 ü4 q iou2 ch u1 A 1 B ü3 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 ， k ao3 l ü4 q iou2 ch u1 A 1 B z ai4 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D n ei4 d e0 『 sh e4 ing3 』 . 』
z ong1 h e2 s uan4 sh i4 ：
zh ong1 ， g uo4 d ian3 P ü3 l ， m d ou1 ch uei2 zh i2 d e0 zh i2 x ian4 zh i3 iou3 i1 t iao2 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 n ian2 r uen4 n ian2 d e0 p an4 d uan4 f ang1 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
z ai4 A B C n ei4 ， sh e4 B ， A ，
j ie3 ： c uen2 z ai4 x R ， sh i3 2 x 2 3 a x 9 0 uei4 j ia3 m ing4 t i2 ，
D . i3 sh ang4 d ou1 c uo4
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 h uo4 sh i2 ， q ü3 d ao4 “ ” .
in1 uei4 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 d ian3 P zh ong1 x in1 d uei4 ch en4 ，
j i2 ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 2 ， üan2 C d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 2 ） ， b an4 j ing4 uei4 r ， q ü3 x üan2 zh uan3 j iao3 uei4 c an1 sh u4 ，
j ie3 ： A 、 f u2 h e2 S S S ， n eng2 p an4 d ing4 A B C A B C ；
d i4 er4 x ing2 d i4 i1 x ing2 ( )
（ 2 ） sh e4 d ian3 P z ai4 C 1 sh ang4 ， d ian3 Q d ao4 C 2 sh ang4 ， q iou2 | P Q | d e0 z uei4 x iao3 zh i2 j i2 c i3 sh i2 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 .
g ai1 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 i3 （ ， 1 ） uei4 üan2 x in1 ， i3 2 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 ，
（ 1 ） q iou2 ch u1 b iao3 zh ong1 zh ong3 z i0 f a1 ia2 d e0 g e4 g e4 p in2 l ü4 （ f a1 ia2 l ü4 ） ；
3 . x iao3 h uang2 h e2 x iao3 l i3 sh uei2 iou2 d e2 g eng4 k uai4 ？
g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 d e2 2 2 ，
d a2 ： zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 8 1 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。
zh ao4 x iang4 j i1 d e0 zh i1 j ia4 zh i3 x ü1 s an1 t iao2 t uei3 d e0 üan2 l i3 sh i4
s uo3 i3 6 f en1 m i3 3 f en1 m i3 0 . 8 m i3
g u4 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 O d e0 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） .
A . r uo4 a 2 b 2 0 ， z e2 a 0 q ie3 b 0
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 j ia1 、 j ian3 f a3 f a3 z e2 j i2 j i3 h e2 i4 i4 』
z ai4 A B C zh ong1 ， n ei4 j iao3 A ， B ， C s uo3 d uei4 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 a ， b ， c ， c o s B .
iou2 ü2 m ei3 p a2 x ing2 1 c m ， j iang3 l i4 i1 l i4 zh i1 m a2 ， s uo3 i3 x iao3 ch ong2 i1 g ong4 d e2 d ao4 zh i1 m a2 d e0 l i4 sh u4 uei4 5 4 1 5 4 （ l i4 ）
f en1 d uan4 h an2 sh u4 d e0 ing4 iong4
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) a x x a （ a 0 ， q ie3 a 1 ） iou3 l iang3 g e4 l ing2 d ian3 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
q iou2 1 h e2 q iou2 2 ， q iou2 1 h e2 q iou2 3 ， q iou2 1 h e2 q iou2 4 ， q iou2 1 h e2 q iou2 5 ，
“ x 2 4 x 0 ” d e0 i2 g e4 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 uei4 （ ）
u2 f a3 zh eng4 m ing2 ch eng2 l i4 .
sh e4 P （ x ， y ） ， z e2 M sh i4 O P d e0 zh ong1 d ian3 ，
s uo3 i3 d ang1 m 1 sh i2 ， | M N | m i n ，
j iang1 d ai4 r u4 2 2 c o s 4 s i n 4 0 ， d e2
f ang1 ch eng2 2 x 2 5 x 1 0 d e0 j ie3 sh i4 .
j ie3 ： d uei4 ü2 A ， y x d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R ， y ( ) 2 d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ 0 ， ） ， l iang3 g e4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 b u4 t ong2 ， g u4 q i2 b u2 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 ；
p an4 d uan4 x ia4 l ie4 ü3 j ü4 sh i4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 ， b ing4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2
“ x 1 ” b u4 n eng2 d e2 d ao4 “ x 2 ” ， er2 “ x 2 ” k e3 i3 d e2 d ao4 “ x 1 ” ， z e2 “ x 1 ” sh i4 “ x 2 ” d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ， z e2 m ing4 t i2 q sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
C . j iang1 sh u1 f a3 j ia1 d e0 zh en1 j i4 iong4 d ian4 d eng1 g uang1 t ou2 ing3 d ao4 q iang2 b i4 sh ang4
【 t i2 sh i4 】 『 s uan4 sh i4 an4 x ian1 『 ch eng2 ch u2 』 ， h ou4 j ia1 j ian3 d e0 sh uen4 x ü4 j i4 s uan4 。 』
S j i2 uei4 in1 ing3 b u4 f en4 m ian4 j i1 d e0 j in4 s i4 zh i2 .
j ie3 ： （ ） iou2 2 s i n d e2 2 2 s i n ，
（ 1 ） x ie3 ch u1 b iao3 sh i4 q ü1 ü4 D d e0 b u4 d eng3 sh i4 z u3 ；
zh eng4 m ing2 ： z uo4 ch a4 d e2 a 4 b 4 a b ( a 2 b 2 ) a 3 ( a b ) b 3 ( b a ) ( a b ) 2 ( a 2 a b b 2 )
s uo3 i3 A 1 B 1 C 1 ü3 A B C s uo3 z ai4 d e0 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 ，
m an3 z u2 t iao2 j ian4 f ( 2 a ) f ( a 1 ) d e0 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ 1 ， ） .
【 t i2 sh i4 】 『 zh ao4 x iang4 j i1 d e0 s an1 t iao2 t uei3 ü3 d i3 m ian4 j ie1 ch u4 d e0 d uan1 d ian3 『 b u4 z ai4 』 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 sh ang4 . 』
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 zh i1 üan2 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ；
g u4 t a1 sh u3 ü2 zh i4 sh ao3 2 g e4 x iao3 z u3 d e0 g ai4 l ü4 P ；
（ t uei4 c an1 sh u4 ） ；
iou2 t i2 i4 d e2 [ ( x 3 ) 2 ( y ) 2 ] [ ( x 3 ) 2 ( y ) 2 ] x 2 y 2 ，
r uo4 | x 1 | | x 2 | … | x n | 1 ， j i2 x 1 ， x 2 ， x 3 ， … ， x n zh ong1 iou3 n 1 g e4 q ü3 z i4 j i2 h e2 P ， 1 g e4 q ü3 z i4 j i2 h e2 Q ，
i1 g ong4 iou3 d uo1 sh ao3 g e4 b u4 t ong2 d e0 h e2 ？ b a3 t a1 m en0 x ie3 ch u1 l ai2 。
x ie3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 d e0 f ou3 d ing4 ， b ing4 p an4 d uan4 q i2 zh en1 j ia3 .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 M N d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 0 y 2 ( x x 0 ) .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
üan2 sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 4 6 .
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， l ian2 j ie1 A C .
s uo3 i3 x [ x ] 1 ， g u4 B zh eng4 q üe4 ；
üan2 x in1 C d ao4 zh i2 x ian4 j ü4 l i2 uei4 d ，
d a2 an4 ： p ing2 x ing2 h uo4 i4 m ian4 .
B 、 d uei4 ch en4 zh ou2 z ai4 y zh ou2 iou4 c e4 ， x 0 ， z e2 b 0 ， s uo3 i3 B x üan3 x iang4 c uo4 u4 ；
t uo3 üan2 g uo4 d ian3 H （ ， ） ，
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 i2 g e4 t u2 x ing2 iou3 8 g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 ， z e2 m ian4 j i1 sh i4 『 8 』 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。 』
（ 2 ） z ai4 x ia4 b iao3 zh ong1 t ian2 ch u1 m ei3 ch ang3 d ian4 ing3 k ai1 sh i3 f ang4 ing4 d e0 sh i2 j ian1 。
g u4 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ 0 ， ] [ 1 ， ） .
s an1 j iao3 x ing2 A B C r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
2 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 sh i4 2 ；
A . iou3 l iang3 g e4 m ian4 p ing2 x ing2 ， q i2 ü2 g e4 m ian4 d ou1 sh i4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 j i3 h e2 t i3 j iao4 l eng2 zh u4
【 t i2 sh i4 】 『 y u v ， y u 『 』 v ， 1 sh i4 ch ang2 sh u4 ， z e2 1 『 0 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 、 f en1 sh u4 h e2 b ai3 f en1 sh u4 d e0 h u4 h ua4 』
（ 2 ） x üe2 x iao4 j üe2 d ing4 z ai4 zh e4 6 m ing2 x üe2 sh eng1 zh ong1 s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 2 m ing2 x üe2 sh eng1 j ie1 sh ou4 k ao3 g uan1 D d e0 m ian4 sh i4 ， sh e4 d i4 s i4 z u3 zh ong1 iou3 m ing2 x üe2 sh eng1 b ei4 k ao3 g uan1 D m ian4 sh i4 ， q iou2 d e0 f en1 b u4 l ie4 h e2 sh u4 x üe2 q i1 uang4 .
B . r uo4 y k x ， z e2 x ü3 y ch eng2 f an3 b i3 l i4 g uan1 x i4
z ai4 k uo4 h ao4 l i3 t ian2 sh ang4 üan2 zh u4 d e0 g e4 b u4 f en4 m ing2 ch eng1 。
üan2 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 ( x ) 2 ( y ) 2 1 .
j ie3 ： （ 1 ） zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 d e0 zh i2 g uan1 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 h u4 b u3 ， l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 』
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 ： q iou2 m ian4 sh ang4 s i4 g e4 b u4 t ong2 d e0 d ian3 i1 d ing4 b u4 z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ； q iou2 d e0 b an4 j ing4 sh i4 q iou2 m ian4 sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 h e2 q iou2 x in1 d e0 l ian2 x ian4 d uan4 ； iong4 i2 g e4 p ing2 m ian4 q ü4 j ie2 q iou2 ， d e2 d ao4 d e0 j ie2 m ian4 sh i4 i2 g e4 üan2 m ian4 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
t u2 （ 1 ） zh ong1 c ， d ü3 a ， b d e0 j iao1 d ian3 b u4 ch ong2 h e2 ， g u4 c i3 sh i2 c ， d i4 m ian4 ；
g u4 x ing2 sh i3 d e0 z uei4 d a4 s u4 d u4 sh i4 7 0 q ian1 m i3 sh i2 .
i1 zh ong3 h ua4 t uo3 üan2 d e0 g ong1 j ü4 r u2 t u2 1 s uo3 sh i4 ，
m ou3 l ü3 sh e4 iou3 1 0 0 zh ang1 ch uang2 uei4 ， m ei3 ch uang2 m ei3 uan3 sh ou1 f ei4 1 0 üan2 ， ch uang2 uei4 k e3 q üan2 b u4 z u1 ch u1 . r uo4 m ei3 ch uang2 m ei3 uan3 sh ou1 f ei4 t i2 g ao1 2 üan2 ， z e2 j ian3 sh ao3 1 0 zh ang1 ch uang2 uei4 z u1 ch u1 ； r uo4 m ei3 ch uang2 m ei3 uan3 sh ou1 f ei4 z ai4 t i2 g ao1 2 üan2 ， z e2 z ai4 j ian3 sh ao3 1 0 zh ang1 ch uang2 uei4 z u1 ch u1 . i3 m ei3 c i4 t i2 g ao1 2 üan2 d e0 zh e4 zh ong3 f ang1 sh i4 b ian4 h ua4 x ia4 q ü4 ， uei4 l e0 h uo4 d e2 1 1 2 0 üan2 d e0 l i4 r uen4 ， m ei3 ch uang2 m ei3 uan3 sh ou1 f ei4 ing1 t i2 g ao1 d uo1 sh ao3 üan2 ？
in1 uei4 d ang1 d ian3 A ， B ， C z ai4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 sh ang4 sh i2 ， r uo4 d ian3 A 、 B 、 C 、 D g ong4 m ian4 ， d ian3 A ， B ， C ， E g ong4 m ian4 ， z e2 A ， B ， C ， D ， E b u4 i2 d ing4 g ong4 m ian4 ， s uo3 i3 c uo4 u4 ；
（ 1 ） r uo4 zh i2 x ian4 a 、 b m ei2 iou3 g ong1 g ong4 d ian3 ， z e2 zh i2 x ian4 a 、 b d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 ；
j i2 x ian4 d uan4 A B ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 3 0 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 sh ang4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
【 t i2 sh i4 】 『 h ua4 p ing2 m ian4 A B C D ü3 ， n ei4 c uen2 z ai4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 A B 『 p ing2 x ing2 』 . 』
k e3 d e2 üan2 x in1 C （ ， ） ，
（ 2 ） zh eng4 m ing2 üan2 x in1 g uei3 j i4 ü3 d ong4 üan2 x iang1 j iao1 s uo3 d e0 d e0 g ong1 g ong4 x ian2 zh ang3 uei4 d ing4 zh i2 .
i3 zh i1 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C d e0 s uo3 iou3 l eng2 zh ang3 d ou1 x iang1 d eng3 ， x ian4 ian2 P A ， P B ， P C s an1 t iao2 c e4 l eng2 j ian3 k ai1 ， j iang1 q i2 b iao3 m ian4 zh an3 k ai1 ch eng2 i2 g e4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 ， r uo4 zh e4 g e4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 uai4 j ie1 üan2 d e0 b an4 j ing4 uei4 2 ， z e2 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C d e0 t i3 j i1 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 A z uo4 A E B C ü2 E ， l ian2 j ie2 P E ， B C p ing2 m ian4 『 P A E 』 ， 『 A P E 』 sh i4 zh i2 x ian4 A P ü3 p ing2 m ian4 P B C s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 . 』
s an1 d ian3 g ong4 x ian4
j ie3 ： üan2 sh i4
d ian3 A （ 3 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
“ d ian3 P z ai4 zh i2 x ian4 m sh ang4 ， m z ai4 p ing2 m ian4 n ei4 ” k e3 b iao3 sh i4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en1 p ei4 l ü4 』
q iou2 b i3 zh i2 。
j ie3 ： i2 g e4 zh eng4 sh u4 d e0 l iang3 g e4 p ing2 f ang1 g en1 f en1 b ie2 sh i4 x 1 h e2 x 5 ， z e2 ( x 1 ) ( x 5 ) d e0 zh i2 d eng3 ü2 0 .
x ia4 l ie4 g e4 x üan3 x iang4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 zh ong1 ， t ong1 g uo4 uei2 r ao4 d ing4 zh i2 x ian4 l x üan2 zh uan3 k e3 d e2 d ao4 t u2 s uo3 sh i4 j i3 h e2 t i3 d e0 sh i4 （ ）
6 d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 r u2 x ia4 .
iou2 i3 zh i1 t （ 1 2 t ， 2 2 t ） ，
j ing1 g uo4 b ian4 h uan4 h ou4 ， d uei4 ing4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 3 x y 0 .
zh ong1 ， g uo4 d ian3 P ü3 l ， m d ou1 i4 m ian4 d e0 zh i2 x ian4 iou3 u2 sh u4 t iao2 ， g u4 c uo4 u4 .
s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 x ie2 l ü4 uei4 ， ü2 sh i4 s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ao1 j i3 h e2 f en1 b u4 』
sh e4 d ian3 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 0 ， 2 ） ， z e2 d ian3 M d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ ）
j ie3 ： b u4 g ong4 x ian4 d e0 s an1 d ian3 q üe4 d ing4 i2 g e4 p ing2 m ian4 ， g ong4 x ian4 d e0 s an1 d ian3 q üe4 d ing4 u2 sh u4 g e4 p ing2 m ian4 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A ， B ， q iou2 j ü3 zh en4 A 1 B .
E G sh i4 F E B d e0 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 ，
x ing2 sh i3 sh i2 j ian1 i2 d ing4 ， x ing2 sh i3 d e0 l u4 ch eng2 h e2 s u4 d u4
p q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， p q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， x ia4 l ie4 s i4 d uei4 j ie2 m ian4 zh ong1 b i3 c i3 p ing2 x ing2 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
d ian3 （ 0 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 x y 1 0 d e0 j ü4 l i2 uei4 d .
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 [ 0 ， 2 ] sh ang4 q ia4 iou3 2 g e4 l ing2 d ian3 ， z e2 2 ，
s uo3 i3 k e3 i3 k uen3 ch eng2 1 5 k uen3 ， h ai2 sh eng4 1 b en3 。
（ 7 ） üan2 zh uei1 iou3 ： .
zh uan3 h ua4 ch eng2 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： 2 .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， j iang1 p ao1 u4 x ian4 y x 2 ( m 1 ) x m （ m 1 ） ian2 y zh ou2 x iang4 x ia4 p ing2 i2 3 g e4 d an1 uei4 ， z e2 p ing2 i2 h ou4 d e2 d ao4 d e0 p ao1 u4 x ian4 d e0 d ing3 d ian3 i2 d ing4 z ai4 （ ）
iou4 iou2 sh i2 j i4 k e3 zh i1 a 0 ， s uo3 i3 a （ k N ） . i4 zh i1 ， d ang1 k 1 sh i2 ， a q ü3 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
zh i2 x ian4 l ü3 q ü1 x ian4 C d e0 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ） .
p in2 l ü4 sh i4 g ai4 l ü4 d e0 j in4 s i4 zh i2 ， g ai4 l ü4 sh i4 p in2 l ü4 d e0 uen3 d ing4 zh i2 .
【 t i2 sh i4 】 『 B D ü3 p ing2 m ian4 C B 1 D 1 n ei4 d e0 i1 t iao2 zh i2 x ian4 B 1 D 1 p ing2 x ing2 ， m an3 z u2 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 『 p ing2 x ing2 』 d e0 p an4 d ing4 d ing4 l i3 . 』
x iao1 q ü4 t k e3 d e2 zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 y x a .
d ang1 k 2 sh i2 ， S O P Q 8 ( ) 8 ( 1 ) 8 ， j i2 S O P Q 8 ；
j ie3 ： sh e4 b ei4 m o4 sh uei3 f u4 g ai4 d e0 sh u4 uei4 x ， iou2 sh u4 zh ou2 k e3 d e2 ： 4 x 2 ， g uan1 ch a2 g e4 g e4 x üan3 x iang4 k e3 d e2 ： 3 m an3 z u2 t i2 i4 .
iou2 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d r k e3 d e2
B . zh ou1 ch ang2 uei4 2 5
z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh ong1 ， P A p ing2 m ian4 A B C ， A B C zh ong1 iou3 B C A C ， z e2 z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 d e0 b iao3 m ian4 zh ong1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 iou3 g e4 .
（ 1 ） q iou2 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 y A s i n （ x ） d e0 t u2 x iang4 b ian4 h uan4 』
（ 2 ） q ü1 x ian4 C 1 ， C 2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 1 h e2 y 2 1 .
C . c uen2 z ai4 i2 g e4 b u4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 d e0 sh u4 sh i4 ou3 sh u4
a b b 2 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
j ie3 ： q ü3 d uei4 ing4 d ian3 l ian2 x ian4 ， r u2 t u2 ：
q iou2 x ia4 m ian4 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 。
（ 1 ） j iang1 q ü1 x ian4 C 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ， j iang1 q ü1 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1
（ 2 ） X k e3 n eng2 d e0 q ü3 zh i2 uei4 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 m ing4 t i2 sh i4 ch en2 sh u4 j ü4 q ie3 n eng2 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 ， 『 b u4 n eng2 』 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 . 』
i4 m ian4 zh i2 x ian4 M N ü3 P C s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 .
j ie3 ： j iang1 d ai4 r u4 ( x 5 ) 2 ( y 6 ) 2 1 ，
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) | x | | x a | ， x R ， r uo4 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) a z ai4 R sh ang4 h eng2 ch eng2 l i4 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 z uei4 d a4 zh i2 .
d i4 s an1 c i4 j ie2 q ü4 sh eng4 x ia4 d e0 i2 b an4 h ou4 sh eng4 x ia4 l e0 m ；
j ie3 ： iou2 4 x 2 y 2 4 ， d e2 x 2 1 .
【 t i2 sh i4 】 『 3 ， t a1 sh i4 『 iou3 』 l i3 sh u4 . 』
j ie3 ： üan2 iou3 u2 sh u4 t iao2 d uei4 ch en4 zh ou2 ， b an4 üan2 x ing2 iou3 1 t iao2 d uei4 ch en4 zh ou2 。
z e2 c uen2 z ai4 l iang3 l iang3 b u4 t ong2 d e0 x ， y ， z S ， sh i3 d e0 A B { x } ， B C { y } ， C A { z } .
b a3 zh i2 x ian4 c o s ( ) 2 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， d e2 x y 4 0 .
3 . b a4 b a4 h e2 m a1 m a1 ing1 j in3 l iang4 p ing2 j ün1 f en1 p ei4 j ia1 u4 。 （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ）
【 t i2 sh i4 】 『 m ing4 t i2 sh i4 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 ， t a1 d e0 f ou3 d ing4 sh i4 『 t e4 ch eng1 』 m ing4 t i2 . 』
d ian3 B d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 zh ou2 zh ong1 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 』
d ang1 x l n 4 sh i2 ， f ( x ) 0 ， f ( x ) d i4 j ian3 ，
j ie3 d e2 x 3 h uo4 x 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
sh i2 sh u4 x ， y m an3 z u2 3 x 2 2 y 2 6 x ， z e2 x 2 y 2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 （ ）
（ 3 ） m ei3 g e4 m ian4 d e0 s an1 j iao3 x ing2 m ian4 j i1 uei4 d uo1 sh ao3 ？
B . d uen4 j iao3 z ong3 b i3 zh i2 j iao3 d a4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 ch eng2 （ ch u2 ） j ia1 、 j ian3 d e0 l iang3 b u4 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
b iao3 sh i4 üan2 x in1 z ai4 j i2 d ian3 ， b an4 j ing4 uei4 1 d e0 üan2 .
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 uei4 j ian3 h an2 sh u4 ，
（ 2 ） z ai4 b i3 l i4 ch i3 zh ong1 ， t u2 sh ang4 j ü4 l i2 z ong3 sh i4 x iao3 ü2 sh i2 j i4 j ü4 l i2 。 （ ）
x iao3 zh eng4 f ang1 t i3 ü3 d a4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 zh i1 b i3 sh i4 ( 2 a 2 a 6 ) : ( 5 a 5 a 6 ) 4 : 2 5 ；
j ie3 ： z ai4 ch i4 d ao4 p ing2 m ian4 sh ang4 ， x üan3 q ü3 d i4 q iou2 q iou2 x in1 uei4 j i2 d ian3 ， i3 O uei4 üan2 d ian3 q ie3 ü3 l ing2 z i0 u3 x ian4 x iang1 j iao1 d e0 sh e4 x ian4 O x uei4 j i2 zh ou2 ， j ian4 l i4 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 ， r u2 t u2 .
in1 uei4 A C p ing2 m ian4 A C D ，
（ 1 ） q iou2 j i2 h e2 P 1 1 zh ong1 üan2 s u4 d e0 g e4 sh u4 ；
B . r uo4 l o g a 2 0 ， z e2 h an2 sh u4 f ( x ) l o g a x （ a 0 ， a 1 ） z ai4 q i2 d ing4 i4 ü4 n ei4 b u2 sh i4 j ian3 h an2 sh u4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 、 f an3 b i3 l i4 d e0 ing4 iong4 』
üan2 d e0 b an4 j ing4 uei4 4 ，
i3 zh i1 l iang3 d ian3 A （ 1 ， 2 ） ， B （ m ， 3 ） .
s i4 b ian1 x ing2 A B C 1 D 1 b u2 sh i4 l ing2 x ing2 ，
i3 zh i1 x iang4 l iang4 ， ， z e2 “ ” sh i4 “ ” d e0 t iao2 j ian4 .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， r uo4 zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） g uo4 t uo3 üan2 C ： （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 iou4 d ing3 d ian3 ， z e2 ch ang2 sh u4 a d e0 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 üan2 er4 c i4 b u4 d eng3 sh i4 j i2 j ian3 d an1 d e0 g ao1 c i4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 x ie4 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
C . ü3 y zh ou2 p ing2 x ing2 d e0 x ian4 d uan4 ch ang2 d u4 b ian4 uei4 üan2 l ai2 d e0 i2 b an4
（ 2 ） m an3 z u2 t iao2 j ian4 “ uei4 zh eng3 sh u4 ” zh e4 i1 sh i4 j ian4 b ao1 h an2 n a3 j i3 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 ？
A B d ao4 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D j ü4 l i2 d eng3 ü2 A d ao4 g ai1 p ing2 m ian4 d e0 j ü4 l i2 ， d eng3 ü2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
g ai1 zh i2 x ian4 d e0 x ie2 l ü4 k 2 .
（ 1 ） sh e4 P uei4 x ian4 d uan4 M N d e0 zh ong1 d ian3 ， q iou2 zh i2 x ian4 O P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
d a2 ： ch ang2 f ang1 t i3 d e0 g ao1 uei4 a .
j ia3 sh e4 n k ， k N * sh i2 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 ， j i2 f k ( x ) .
（ 3 ） d ian3 A g uan1 ü2 zh i2 x ian4 d e0 d uei4 ch en4 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ 3 ， ） .
iou2 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 ， d e2 a 2 b 2 2 a b ， b 2 c 2 2 b c ， a 2 c 2 2 a c ，
（ 1 ） x ie3 ch u1 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
（ 1 ） z ai4 i2 g e4 b i3 l i4 zh ong1 ， l iang3 g e4 uai4 x iang4 d e0 j i1 d eng3 ü2 l iang3 g e4 n ei4 x iang4 d e0 j i1 ， s uo3 i3 l iang3 g e4 uai4 x iang4 d e0 j i1 j ian3 q ü4 l iang3 g e4 n ei4 x iang4 d e0 j i1 ， ch a4 sh i4 0 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
2 ， g u4 ch eng2 l i4 .
（ 2 ） q iou2 b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 0 d e0 j ie3 j i2 .
h an2 sh u4 iou3 l iang3 g e4 b u4 t ong2 d e0 l ing2 d ian3 ，
D . l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 g e4 p ing2 m ian4
d a2 an4 ： l ing2 x ing2 .
s uo3 q iou2 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， 1 ， 3 ） .
j ie3 ： in1 uei4 h an2 sh u4 y x 0 d e0 d ing4 i4 ü4 sh i4 { x | x 0 } ， s uo3 i3 h an2 sh u4 y x 0 d e0 t u2 x iang4 sh i4 zh i2 x ian4 y 1 sh ang4 ch u2 q ü4 d ian3 （ 0 ， 1 ） h ou4 ü2 x ia4 d e0 b u4 f en4 ， s uo3 i3 c uo4 u4 .
a 0 ， q ü1 x ian4 C 1 ü3 q ü1 x ian4 C 2 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 z ai4 x zh ou2 sh ang4 ，
A . z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ， h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 i2 d ing4 x iang1 j iao1
p ing2 j ün1 m ei3 l iang4 ch e1 m ei3 c i4 ün4 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 ？
l i3 l ao3 sh i1 d e0 sh en1 g ao1 sh i4 1 7 0 （ l i2 m i3 ）
（ 1 ） h an2 sh u4 f ( x ) x [ x ] ， x [ 2 ， 2 ] ； q iou2 f ( ) h e2 f ( ) ；
j ie3 ： A . 0 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 0 ， zh eng4 q üe4 ；
（ 2 ） j iang1 zh i2 x ian4 ü3 üan2 O f ang1 ch eng2 l ian2 l i4 k e3 d e2 ：
G H ü3 M N b u2 sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 .
d a2 an4 ： ch an3 zh i2 j ian3 sh ao3 1 0 uan4 üan2 .
d a2 an4 ： f en1 sh u4 ， f u4 iou3 l i3 sh u4 ， l ing2 .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： x y 1 z ai4 j ü3 zh en4 A [ ] d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 z uo4 iong4 x ia4 b ian4 uei4 zh i2 x ian4 l ： x y 1 ， q iou2 j ü3 zh en4 A .
h ai3 m en2 c uen1 x iou1 zh u4 i1 t iao2 zh ang3 8 0 m d e0 f ang2 h ong2 d i1 b a4 （ r u2 x ia4 t u2 ） 。 h eng2 j ie2 m ian4 sh i4 i2 g e4 t i1 x ing2 ， sh ang4 d i3 k uan1 4 m ， x ia4 d i3 k uan1 2 6 m ， g ao1 5 m ， zh u4 zh e4 t iao2 f ang2 h ong2 d i1 b a4 x ü1 t u3 sh i2 d uo1 sh ao3 l i4 f ang1 m i3 ？
g u4 d a2 an4 uei4 （ ， 0 ] ， [ 1 ， ） ； [ 0 ， 1 ] .
d ang1 k 1 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 u2 j ie3 ；
b a3 i1 k uai4 üan2 zh u4 x ing2 m u4 k uai4 x üe1 ch eng2 i2 g e4 d eng3 d i3 d eng3 g ao1 d e0 üan2 zh uei1 ， zh e4 g e4 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 sh i4 1 0 . 5 d m 3 ， x üe1 q ü4 b u4 f en4 d e0 t i3 j i1 sh i4 （ ） d m 3 。
【 t i2 sh i4 】 『 a b 『 2 』 （ a 0 ， b 0 ） ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a b sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 ， b en3 t i2 zh ong1 a x ， b 『 』 . 』
A ， M ， O ， A 1 s i4 d ian3 g ong4 m ian4 ；
C . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
j i2 g u4 d ing4 d ian3 A d ao4 d ian4 x ian4 g an1 d i3 b u4 B d e0 j ü4 l i2 uei4 4 m i3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang1 s i4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
l i4 iong4 s uei2 j i1 m o2 n i3 f a3 j in4 s i4 j i4 s uan4 t u2 zh ong1 in1 ing3 b u4 f en4 （ q ü1 x ian4 y l o g 3 x ü3 x 3 j i2 x zh ou2 uei2 ch eng2 d e0 t u2 x ing2 ） d e0 m ian4 j i1 .
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 3 x ， j i2 x sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 .
D . x ， y b u4 d ou1 sh i4 0
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
A C . A B C d e0 s an1 b ian1 s uo3 uei2 ch eng2 d e0 q ü1 ü4 j i4 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 ü3 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 』
zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4
uei4 l e0 q üe4 d ing4 m ou3 l ei4 zh ong3 z i0 d e0 f a1 ia2 l ü4 ， c ong2 i1 d a4 p i1 zh ong3 z i0 zh ong1 ch ou1 ch u1 r uo4 g an1 p i1 z uo4 f a1 ia2 sh i4 ian4 ， q i2 j ie2 g uo3 r u2 x ia4 ：
B . i2 g e4 iou3 l i3 sh u4
h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： 2 2 x 5 ，
k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4
j ie3 ： d ang1 t 0 sh i2 ， x t 2 ， t 0 sh i2 ， x t 2 ，
j ie3 ： sh e4 zh e4 g e4 sh u4 uei4 a .
g u4 c i3 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 b an4 j ing4 uei4 1 d e0 b an4 q iou2 m ian4 .
g en1 j ü4 uei2 d a2 d ing4 l i3 k e3 d e2 x 1 x 2 b 1 2 3 ， x 1 x 2 2 ，
iou2 t u2 k e3 zh i1 l iang3 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 z u3 ch eng2 d e0 j iao3 iou3 l iang3 g e4 ， j i2 B O E ü3 A O B .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 』
j ie3 ： i3 zh i1 A B C ， q iou2 zh eng4 ： A 、 B 、 C zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 n ei4 j iao3 d a4 ü2 h uo4 d eng3 ü2 6 0 .
A D x iang1 q ie4 ü2 d ian3 M ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
r u2 t u2 ， E F A D ， 1 2 ， B A C 8 0 . q iou2 A G D d e0 d u4 sh u4 .
j ie3 ： sh e4 zh a4 iou2 3 t ， x ü1 iao4 zh i1 m a2 x q ian1 k e4 。
a 1 ） d e0 t u2 x iang4 h eng2 g uo4 （ 0 ，
i3 zh i1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 A （ 3 ， ） ， B （ 0 ， ） ， C （ 2 ， 2 ） ， q iou2 t a1 m en0 d e0 j i2 z uo4 b iao1 （ j i2 j iao3 [ 0 ， 2 ） ） .
j ing1 g uo4 p ing2 i2 ， t u2 x ing2 sh ang4 b u4 t ong2 d e0 d ian3 i2 d ong4 d e0 j ü4 l i2 x iang1 t ong2 .
s uo3 i3 g ai1 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 i3 （ 0 ， 1 ） uei4 üan2 x in1 ， i3 1 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 .
【 t i2 sh i4 】 『 m n ， n ， z e2 m 『 』 . 』
（ 4 ） f u4 sh i2 sh u4 j i2 h e2 { 3 . ， ， }
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 sh u4 l iang4 j i1 d e0 x ing4 zh i4 j i2 q i2 ün4 s uan4 l ü4 』
zh uan3 h uan4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： x 2 y 2 2 x 3 0 ，
j ie3 ： sh e4 P （ x 0 ， y 0 ） uei4 üan2 C ： x 2 y 2 1 sh ang4 d e0 r en4 i4 i4 d ian3 ， z ai4 j ü3 zh en4 A （ a 0 ， b 0 ） d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 x ia4 d e2 d ao4 d e0 d ian3 uei4 P 1 （ x 1 ， y 1 ） ，
j ie3 ： （ 1 ） m ing4 t i2 p d e0 f ou3 d ing4 sh i4 ： c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 m ， sh i3 d e0 x 2 x m 0 m ei2 iou3 sh i2 sh u4 g en1 .
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 .
x ia4 m ian4 g e4 z u3 b i3 zh ong1 ， （ ） zh ong1 l iang3 g e4 b i3 k e3 i3 z u3 ch eng2 b i3 l i4 。
d ang1 c o s A 0 sh i2 ， A ， B ， iou4 c ， d e2 b ，
sh e4 p ing2 m ian4 a ü3 p ing2 m ian4 x iang1 j iao1 ü2 l ， zh i2 x ian4 a ， zh i2 x ian4 b ， a b M ， z e2 M l .
iou2 l eng2 zh u4 d e0 d ing4 i4 zh i1 ， uei4 l eng2 zh u4 .
r uo4 A B C d e0 n ei4 j iao3 A ， B ， C m an3 z u2 6 s i n A 4 s i n B 3 s i n C ， z e2 c o s B .
c ong2 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， … ， 1 0 zh e4 sh i2 g e4 sh u4 z i4 zh ong1 r en4 q ü3 i2 g e4 ， n a4 m e0 “ zh e4 g e4 sh u4 sh i4 5 d e0 b ei4 sh u4 ” zh e4 i1 sh i4 j ian4 sh i4 sh i4 j ian4 .
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 D ， d ang1 a 0 q ie3 b 0 sh i2 ， a b 0 ， j ie2 h e2 a 2 b 2 k e3 zh i1 a b ， z e2 ， g u4 D b u4 zh eng4 q üe4 .
C . ch ong1 f en4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
t uo3 üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 1 .
s uo3 i3 q i2 zh eng4 q ie1 zh i2 uei4 .
（ 2 ） A B C d e0 d i3 b ian1 uei4 A C ， g ao1 uei4 2 ，
sh i2 sh u4 iou3 （ ）
j ie3 ： j i1 sh u4 ü3 j i1 sh u4 d e0 h e2 sh i4 ou3 sh u4 ， j i1 sh u4 ü3 j i1 sh u4 d e0 ch a4 sh i4 ou3 sh u4 ， ou3 sh u4 ü3 j i1 sh u4 d e0 h e2 sh i4 j i1 sh u4 ， ou3 sh u4 ü3 j i1 sh u4 d e0 j i1 sh i4 ou3 sh u4 。
3 . 1 2 5 1 7 8 1 2 5 8 1 7 ， ün4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 j ie2 h e2 l ü4 ， g u4 üan2 t i2 x ü4 sh u4 c uo4 u4 。
j ie3 ： f ( x ) sh i4 d ing4 i4 z ai4 R sh ang4 q ie3 zh ou1 q i1 uei4 2 d e0 h an2 sh u4 ， f ( x )
z e2 d ian3 C g uei3 j i4 uei4 t uo3 üan2 ， q ie3 2 a 4 ， 2 c 2 ，
j ie3 ： sh e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 b ian1 uei4 a ， b ， c ， c uei4 x ie2 b ian1 ， z e2 c 2 a 2 b 2 .
in1 uei4 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C 1 d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ 0 ， 0 ， 1 ） .
iou4 E ， F f en1 b ie2 uei4 P A h e2 B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
D . üan2 、 zh i2 x ian4
z ong1 sh ang4 k e3 d e2 b 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 l i3 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
m k 1 sh i2 ， j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 .
c ong2 er2 zh i2 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2 0 .
z e2 q ü1 x ian4 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 2 a x （ a 0 ） .
（ 2 ） üan2 m ing4 t i2 j i2 f ( x ) | x 4 | z ai4 [ 1 ， 2 ] sh ang4 h eng2 ch eng2 l i4 ， d eng3 j ia4 ü2 | x a | 2 x 4 x z ai4 [ 1 ， 2 ] sh ang4 h eng2 ch eng2 l i4 ，
（ 2 ） sh e4 p ing2 m ian4 P A 1 C d e0 f a3 x iang4 l iang4 （ x 1 ， y 1 ， z 1 ） ， （ 1 ， 0 ， 2 2 ） ，
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 ， j i2 y 3 x sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh e4 g e4 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 k e3 n eng2 sh i4 1 5 . 7 c m ， ie3 k e3 n eng2 sh i4 『 3 . 1 4 』 c m 。 』
A C p ing2 m ian4 B 1 C 1 C B ， B C 1 p ing2 m ian4 B 1 C 1 C B ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
r u2 g uo3 a b 0 ， n a4 m e0 x ia4 l ie4 b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 d e0 sh i4 （ ）
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) 2 x 1 ü3 h an2 sh u4 y g ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x 2 ch eng2 zh ou2 d uei4 ch en4 t u2 x ing2 ， z e2 h an2 sh u4 y g ( x ) d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 .
d ang1 s i n 0 sh i2 ， | F A | | F B | q ü3 z uei4 d a4 zh i2 9 ，
i2 g e4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 n i4 m ing4 t i2 b u4 i2 d ing4 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， r u2 ： üan2 m ing4 t i2 “ r u2 g uo3 l iang3 g e4 j iao3 sh i4 d uei4 d ing3 j iao3 ， n a4 m e0 t a1 m en0 x iang1 d eng3 ” sh i4 i2 g e4 zh en1 m ing4 t i2 ， t a1 d e0 n i4 m ing4 t i2 “ r u2 g uo3 l iang3 g e4 j iao3 x iang1 d eng3 ， n a4 m e0 t a1 m en0 sh i4 d uei4 d ing3 j iao3 ” q üe4 sh i4 i2 g e4 j ia3 m ing4 t i2 ， d a2 an4 C zh eng4 q üe4 ；
ü2 sh i4 k e3 zh i1 sh u4 l ie4 d e0 t ong1 sh i4 uei4 ： ( 1 ) n 1 ( 2 n 1 ) x n ，
（ 1 ） q ia4 h ao3 iou3 l iang3 j ia1 m ei2 k uang4 b i4 x ü1 zh eng3 g ai3 d e0 g ai4 l ü4 ；
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A [ ]
i3 zh i1 zh eng4 l iou4 l eng2 t ai2 d e0 sh ang4 、 x ia4 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 uei4 2 h e2 4 ， g ao1 uei4 2 ， z e2 t i3 j i1 uei4 （ ）
m ou3 x üe2 x i2 x iao3 z u3 iou2 x üe2 sh eng1 h e2 j iao4 sh i1 z u3 ch eng2 ， r en2 üan2 g ou4 ch eng2 t ong2 sh i2 m an3 z u2 i3 x ia4 s an1 g e4 t iao2 j ian4 ：
j ie3 ： iou2 i3 zh i1 A D uei4 g ong1 g ong4 b ian1 ， j i2 A D A D .
i3 zh i1 üan2 C ： x 2 y 2 1 z ai4 j ü3 zh en4 A （ a 0 ， b 0 ） d uei4 ing4 d e0 sh en1 ia1 b ian4 h uan4 x ia4 b ian4 uei4 t uo3 üan2 x 2 1 ， sh i4 q iou2 a ， b d e0 zh i2 .
d ang1 n 6 sh i2 ， 6 ， j i2 6 .
B . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 zh i1
（ 1 ） r uo4 f ( x ) uei4 j i1 h an2 sh u4 ， z e2 f ( x ) f ( x ) . j i2 a a .
B . g ai1 zh i2 x ian4 sh ang4 iou3 u2 q iong2 d uo1 g e4 d ian3 z ai4 p ing2 m ian4 n ei4
sh i2 sh u4 d e0 ch u2 f a3 sh i4 sh i2 sh u4 j i2 sh ang4 d e0 i2 g e4 d ai4 sh u4 ün4 s uan4 ；
g en1 j ü4 l eng2 zh u4 h e2 l eng2 zh uei1 d e0 t e4 d ian3 k e3 zh i1 zh eng4 q üe4 ；
E uei4 P C d e0 zh ong1 d ian3 ，
j ie3 ： n i4 m ing4 t i2 ： r uo4 x 1 q ie3 x 2 ， z e2 x 2 3 x 2 0 ， zh en1 m ing4 t i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i4 m ian4 zh i2 x ian4 j i2 q i2 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t e4 sh u1 j iao3 d e0 s an1 j iao3 h an2 sh u4 zh i2 』
（ 1 ） h ua4 2 g e4 b u4 x iang1 t ong2 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 ， 1 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， sh i3 t a1 m en0 d e0 m ian4 j i1 d ou1 sh i4 1 6 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。
【 t i2 sh i4 】 『 d ang1 p m ing4 t i2 h e2 q m ing4 t i2 iou3 i2 g e4 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 sh i2 ， z e2 p q uei4 『 zh en1 』 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 1 2 5 ü3 1 2 5 zh ong1 d ou1 iou3 ch eng2 sh u4 1 2 5 ， n i4 iong4 ch eng2 f a3 『 f en1 p ei4 』 l ü4 j iang1 sh i4 z i0 b ian4 uei4 1 2 5 ( ) 。 』
s uo3 i3 x 2 y 2 z 2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh ang3 、 zh eng4 f ang1 t i3 t i3 j i1 d e0 j i4 s uan4 』
3 . n i3 h ai2 n eng2 t i2 i2 g e4 sh u4 x üe2 uen4 t i2 b ing4 j ie3 d a2 m a0 ？
iou2 i3 zh i1 k e3 d e2 2 ， z e2 g ong1 ch ai1 d 2 ，
j ie3 ： l ing4 t x ， z e2 iou2 x a ， d e2 t a .
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 j i1 d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 『 』 g ao1 。 』
z ai4 x ia4 l ie4 g e4 sh i4 zh ong1 ， k e3 i3 iong4 l iang3 sh u4 h e2 ü3 zh e4 l iang3 sh u4 ch a4 d e0 ch eng2 f a3 g ong1 sh i4 j i4 s uan4 d e0 sh i4 （ ）
0 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 0 ；
i3 zh i1 a ， b ， c j ün1 uei4 zh eng4 sh u4 ， zh eng4 m ing2 ： a 2 b 2 c 2 ( ) 2 6 ， b ing4 q üe4 d ing4 a ， b ， c uei4 h e2 zh i2 sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
j i2 x 1 sh i2 ， ( ) iou3 z uei4 x iao3 zh i2 2 .
j ie3 ： l eng2 zh u4 、 l eng2 t ai2 d e0 sh ang4 x ia4 d i3 m ian4 sh i4 p ing2 x ing2 d e0 ， er2 l eng2 zh uei1 d e0 r en4 i4 l iang3 m ian4 j ün1 b u4 p ing2 x ing2 ，
（ 2 ） q iou2 X d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 .
（ 1 ） q iou2 f ( x ) d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 ；
iou4 in1 uei4 E F A C q ie3 A C B 1 C C ，
üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 ： d 2 ，
g u4 s uo3 q iou2 j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4
【 t i2 sh i4 】 『 x iang4 l iang4 j ia1 、 j ian3 f a3 z uen1 x ün2 s an1 j iao3 x ing2 f a3 z e2 ， zh ao3 zh uen3 q i3 d ian3 h e2 zh ong1 d ian3 ， z e2 『 』 . 』
j ie3 ： üan2 8 s i n ， j i2 2 8 s i n ，
b a3 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 g ai3 x ie3 ch eng2 “ r uo4 p ， z e2 q ” d e0 x ing2 sh i4 .
d a2 ： üan2 zh u4 x ing2 l ing2 j ian4 d e0 g ao1 sh i4 2 f en1 m i3 ， zh i4 l iang4 sh i4 1 9 5 q ian1 k e4 。
z ai4 üan2 C ： x 2 y 2 2 x 2 y 7 0 sh ang4 z ong3 iou3 s i4 g e4 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 l ： 3 x 4 y m 0 d e0 j ü4 l i2 sh i4 1 ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
b u4 i2 d ing4 c uen2 z ai4 f u4 sh u4 ， sh i3 .
j ie3 ： k e3 iou2 ，
g u4 g ai1 h an2 sh u4 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 ： x .
B uei4 sh eng3 l üe4 l iang4 c i2 d e0 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 ， q ie3 uei4 zh en1 m ing4 t i2 .
d ian3 P ， H ， F f en1 b ie2 uei4 A C ， C D ， A D d e0 zh ong1 d ian3 .
j ie3 ： iou2 f ( x ) ( m 1 ) x 2 6 m x 2 uei4 ou3 h an2 sh u4 ， k e3 zh i1 f ( x ) f ( x ) ，
（ 2 ） r en4 i4 i2 g e4 üan2 s u4 zh i3 n eng2 z ai4 j i2 h e2 A ， B ， C C U ( A B ) zh i1 i1 zh ong1 ，
d uei4 ü2 q ü1 j ian1 [ 1 ， 2 ] sh ang4 d e0 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 ， A （ 1 ， 1 ） ， B （ 2 ， 4 ） ，
q iou2 uei4 zh i1 sh u4 x 。
zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1
zh i2 x ian4 A R ： y 2 ( x 1 ) ， j i2 y 2 ( x 1 ) ，
uang2 d an1 j ia1 ： b a4 b a4 1 ～ 2 x iao3 sh i2 ， m a1 m a1 2 ～ 3 x iao3 sh i2 。
h ua4 ch u1 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 l d e0 t u2 x iang4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ，
d uei4 ü2 ， h uen4 x iao2 l e0 p ing2 h ua4 m ian4 ü3 b an4 p ing2 m ian4 d e0 g ai4 n ian4 ， c uo4 u4 ；
z e2 üan2 C d e0 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d ，
d ang1 a sh i2 ， p q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 ， z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 üan2 er4 c i4 b u4 d eng3 sh i4 j i2 j ian3 d an1 d e0 g ao1 c i4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 x ie4 f a3 』
t ong1 g uo4 m ou3 g e4 f a3 z e2 “ ” ，
l ing4 h ( x ) l o g 2 x ， k e3 zh i1 h ( x ) z ai4 d ing4 i4 ü4 sh ang4 uei4 d an1 d iao4 z eng1 h an2 sh u4 ，
j ie3 ： （ 1 ） iou2 i3 zh i1 k e3 d e2 P ( X 3 ) p 3 ( 1 p ) 3 ，
z e2 g uo4 P q ie3 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 d e0 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 ： y x 1 ，
D . （ t uei4 c an1 sh u4 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l in2 b u3 j iao3 』
t ong2 l i3 k e3 d e2 2 0 1 4 n ian2 ， 2 0 1 5 n ian2 h e2 2 0 1 6 n ian2 n an2 ing1 ch u1 sh eng1 d e0 p in2 l ü4 f en1 b ie2 uei4 0 . 5 2 1 ， 0 . 5 1 2 ， 0 . 5 1 3 .
d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 ( m n ) 2 2 2 a m ( m n ) c o s m 2 ( a 2 r 2 ) 0 ， t a1 b iao3 sh i4 i2 g e4 üan2 .
（ 1 ） p an4 d uan4 A B C d e0 x ing2 zh uang4 ；
r u2 g uo3 a b ， n a4 m e0 a b 0 ；
t ong2 l i3 k e3 zh eng4 B l 3 ， C l 3 ， C ，
d uei4 ü2 ， üan2 zh u4 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 j ü3 x ing2 ， k e3 d e2 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
i3 zh i1 | x | 2 ， | y | 2 ， q iou2 zh eng4 ： | 4 x y | 2 | x y | .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 ， d e2 N C D C M B ，
l iang3 sh i4 x iang1 ch u2 b ing4 k ai1 f ang1 d e2 d ao4 ： s ( s 3 ) t ( t 3 ) ，
【 t i2 sh i4 】 『 h an2 sh u4 y A s i n ( x ) d e0 zh ou1 q i1 T 『 』 . 』 .
iou2 p ing2 m ian4 j i3 h e2 zh i1 sh i2 k e3 zh i1 ， d ang1 P d ian3 uei4 zh i2 x ian4 A B ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 sh i2 ， y m i n d （ A ， B ） .
iou4 iou2 （ 1 ） k e3 zh i1 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 uei4 üan2 x in1 z ai4 üan2 d ian3 b an4 j ing4 uei4 2 d e0 üan2 ， üan2 d ian3 （ 0 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 x y 1 0 d e0 j ü4 l i2 uei4 ，
s uo3 i3 g e4 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 O （ 0 ， 0 ） ， A （ 3 0 0 ， 0 ） ， C （ 6 0 0 ， ） ， D （ 3 0 0 ， ） ， E （ 3 0 0 ， ） ， F （ 3 0 0 ， ） ， G （ 1 5 0 ， ） .
9 0 m iao3 2 f en1 zh ong1
j i2 h e2 A { x | 0 } ， B { x | | x b | a } ， r uo4 “ a 1 ” sh i4 “ A B ” d e0 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ， z e2 b d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
q i2 zh ong1 sh i4 j ian4 A b ao1 h an2 d e0 sh i4 j ian4 iou3 （ 1 ， 5 ） ， （ 1 ， 6 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 5 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 2 ） ， （ 6 ， 1 ） g ong4 1 1 zh ong3 .
j ie3 ： （ 1 ） h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x 0 } ， g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ， q ie3 f ( x ) x ( x ) f ( x ) ，
üan2 x 2 y 2 a 2 d e0 üan2 x in1 d ao4 g ong1 g ong4 x ian2 d e0 j ü4 l i2 d uei4 d ing4 zh i2 ，
er4 c i4 h an2 sh u4 y x 2 4 x 1 d e0 t u2 x iang4 zh ong1 ， r uo4 y s uei2 x d e0 z eng1 d a4 er2 j ian3 x iao3 ， z e2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ）
d ian3 P d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， ） .
üan2 m ing4 t i2 “ r uo4 x 2 4 ， z e2 2 x 2 ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， g u4 q i2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 ie3 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
j ie3 ： c ong2 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 ， j i1 üan2 b an4 j ing4 uei4 1 ， zh i2 j ing4 uei4 2 ；
i3 zh i1 h an2 sh u4 y s i n ( 2 x ) （ ） z ai4 x sh i2 q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 ， z e2 d e0 zh i2 sh i4 .
r uo4 y ( 3 a 1 ) x 2 z ai4 （ ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， z e2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ）
zh e4 g e4 t uo3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ： ， （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 | P B | | P C | ， | P B | | P A | 4 ，
m ou3 sh i4 ch eng2 ch u1 z u1 ch e1 j i4 f ei4 g uei1 d ing4 ： 2 g ong1 l i3 i3 n ei4 5 üan2 ， ch ao1 g uo4 2 g ong1 l i3 b u4 ch ao1 g uo4 8 g ong1 l i3 d e0 b u4 f en4 an4 m ei3 g ong1 l i3 1 . 6 üan2 j i4 f ei4 ， ch ao1 g uo4 8 g ong1 l i3 i3 h ou4 an4 m ei3 g ong1 l i3 2 . 4 üan2 j i4 f ei4 . r uo4 j ia3 、 i3 l iang3 d i4 x iang1 j ü4 1 0 g ong1 l i3 ， z e2 ch eng2 ch u1 z u1 ch e1 c ong2 j ia3 d i4 d ao4 i3 d i4 g ong4 x ü1 iao4 zh i1 f u4 ch eng2 ch e1 f ei4 uei4 d uo1 sh ao3 üan2 ？
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ü3 d ian3 A （ 3 ， ） g uan1 ü2 j i2 zh ou2 s uo3 z ai4 d e0 zh i2 x ian4 d uei4 ch en4 d e0 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ ）
s uo3 i3 d ian3 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ， z e2 P d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） ，
x iao3 zh eng4 f ang1 t i3 ü3 d a4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 t i3 j i1 zh i1 b i3 sh i4 ( 2 a 2 a 2 a ) : ( 5 a 5 a 5 a ) 8 : 1 2 5 。
j ie3 ： （ 1 ） i1 t i2 i4 iou3 1 a 0 ， j ie3 d e2 a 1 .
j ie3 ： d ang1 x 0 sh i2 ， h an2 sh u4 y 2 x 3 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
b a4 b a4 h e2 x iao3 m ing2 d e0 n ian2 l ing2 b u4 ch eng2 b i3 l i4 ， in1 uei4 b a4 b a4 d e0 n ian2 l ing2 x iao3 m ing2 d e0 n ian2 l ing2 2 8 s uei4 。
k e3 d e2 j ie2 m ian4 ü3 zh eng4 f ang1 t i3 g e4 m ian4 d e0 j iao1 x ian4 f en1 b ie2 uei4 E F ，
s ： d uei4 r en4 i4 j iao3 ， d ou1 iou3 s i n 2 c o s 2 1 .
（ 1 ） q iou2 f ( x ) d e0 j ie3 x i1 sh i4 ；
（ 1 ） j iang1 y b iao3 sh i4 ch eng2 d e0 h an2 sh u4 ， b ing4 x ie3 ch u1 d e0 f an4 uei2 ；
D . i3 sh ang4 d ou1 b u2 sh i4
【 t i2 sh i4 】 『 d uei4 ， j iang1 üan2 m ing4 t i2 h ua4 uei4 “ r uo4 p z e2 q ” d e0 x ing2 sh i4 ， p d uei4 ing4 d e0 sh i4 m ing4 t i2 d e0 『 t iao2 j ian4 』 ， q d uei4 ing4 d e0 sh i4 m ing4 t i2 d e0 『 j ie2 l uen4 』 . 』
s uo3 i3 A B C sh i4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ，
r u2 t u2 ， s i4 l eng2 zh uei1 S A B C D d e0 d i3 m ian4 A B C D uei4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， S D d i3 m ian4 A B C D ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 iou3 g e4 .
d ian3 （ 1 ， ） z ai4 d i4 s i4 x iang4 x ian4 ，
zh i2 x ian4 a ü3 p ing2 m ian4 u2 l uen4 uei4 zh i4 g uan1 x i4 z en3 iang4 ， n ei4 i2 d ing4 c uen2 z ai4 u2 sh u4 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 a ch uei2 zh i2 ， g u4 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 b ei4 j iao3 d e0 zh eng4 x ian2 、 ü2 x ian2 、 zh eng4 q ie1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
2 x 2 3 y 6 0 h an2 iou3 l iang3 g e4 uei4 zh i1 sh u4 ， b u2 sh i4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 ；
z ong1 sh ang4 k e3 d e2 x 4 ， j i2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 （ ， 4 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 ü3 g ao1 x iang1 d eng3 sh i2 ， c e4 m ian4 zh an3 k ai1 t u2 sh i4 『 zh eng4 f ang1 』 x ing2 。 』
iong4 sh u4 sh i4 j i4 s uan4 。
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( 1 ) x ， z e2 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 j ie3 x i1 sh i4 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 zh ou2 zh ong1 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 』
r uo4 f ang1 ch eng2 g ( f ( x ) ) a 0 d e0 sh i2 sh u4 g en1 d e0 g e4 sh u4 iou3 4 g e4 ， z e2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
ch ang2 f ang1 x ing2
s an1 l eng2 zh uei1 d e0 g ao1 uei4 2 ，
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 y f ( x ) ， （ x a ， q ie3 a ）
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) 2 x 3 x 2 ， sh e4 sh u4 l ie4 { a n } m an3 z u2 ： a 1 ， a n 1 f ( a n ) .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 üan2 n c i4 f ang1 ch eng2 g en1 ü3 x i4 sh u4 d e0 g uan1 x i4 』
（ 1 ） in1 uei4 “ p q ” uei4 zh en1 ，
d a2 ： d ong1 d ong1 m ei3 t ian1 b i3 d ing1 d ing1 sh ao3 z ou3 6 4 0 m i3 。
r u2 t u2 ， z ai4 s an1 l eng2 zh u4 A B C — A B C zh ong1 ， r uo4 E ， F f en1 b ie2 uei4 A B ， A C d e0 zh ong1 d ian3 ， p ing2 m ian4 E B B F j iang1 s an1 l eng2 zh u4 f en1 ch eng2 t i3 j i1 uei4 V 1 （ l eng2 t ai2 A E F A C B d e0 t i3 j i1 ） ， V 2 d e0 l iang3 b u4 f en4 ， q iou2 V 1 : V 2 .
d a2 an4 ： 7 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ， 1 2 l i2 m i3 ； 5 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ， 1 2 l i2 m i3 。
y 1 2 1 1 （ d ang1 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 ） .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 i1 l eng2 zh ang3 uei4 4 c m d e0 zh eng4 f ang1 t i3 ， r uo4 z ai4 q i2 zh ong1 i2 g e4 m ian4 d e0 zh ong1 x in1 uei4 zh i4 sh ang4 ， ua1 i2 g e4 zh i2 j ing4 uei4 2 c m 、 sh en1 uei4 1 c m d e0 üan2 zh u4 x ing2 d e0 d ong4 ， q iou2 ua1 d ong4 h ou4 j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 ？ （ q ü3 3 . 1 4 ）
A 、 B 、 D s an1 d ian3 g ong4 x ian4 .
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 i1 t u2 x ing2 sh i4 iou2 『 1 2 』 g e4 zh ang3 uei4 1 l i2 m i3 d e0 x ian4 d uan4 uei2 ch eng2 d e0 。 』
iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ： B C 3 c m ， A B 4 c m ， d ian3 A h e2 d ian3 C f en1 b ie2 sh i4 t ie3 s i1 d e0 q i3 、 zh i3 uei4 zh i4 ，
（ 2 ） g en1 j ü4 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 k e3 i3 d e2 d ao4 d uei4 ing4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ，
r uo4 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 s i n 4 c o s ， i3 j i2 d ian3 uei4 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 j ian4 l i4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 g ai1 q ü1 x ian4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i4 f ang1 g en1 』
d a2 ： r u2 g uo3 g ai3 iong4 b ian1 zh ang3 uei4 5 0 c m d e0 f ang1 zh uan1 ， x ü1 iao4 2 1 6 k uai4 。
S E D A S A B O S A F O ， S F A B S s i4 b ian1 x ing2 D E O F S A F O ，
2 . i1 g ong4 iou3 1 0 zh ong3 b u4 t ong2 p ai2 f a3 。
sh e4 zh i2 x ian4 l ü3 t uo3 üan2 1 x iang1 j iao1 ü2 d ian3 P 、 Q l iang3 d ian3 ， z e2 sh uei3 g ou1 k e3 n eng2 b ei4 n ong2 i4 üan2 uei2 j in4 d e0 b u4 f en4 uei4 P Q .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i4 m ian4 zh i2 x ian4 j i2 q i2 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
g en1 j ü4 t i2 i4 ， d e2 0 . 5 5 a 0 . 3 ( 7 0 a ) 0 . 5 5 b 0 . 3 ( 7 0 b ) 5 ，
g u4 2 a b d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 8 .
（ 3 ） F ( x ) m x ， x 2 ， ） ， sh i4 “ p ing2 d i3 x ing2 ” h an2 sh u4 ， x 2 2 x n ( m x c ) 2 ，
l i4 iong4 m iao2 d ian3 f a3 z uo4 ch u1 y x 2 2 x 2 d e0 t u2 x iang4 ， r an2 h ou4 j ie2 ch u1 x ü1 iao4 d e0 t u2 x iang4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
d ang1 sh uan1 z i0 D z ai4 h ua2 c ao2 A B n ei4 z uo4 uang3 f u4 ün4 d ong4 sh i2 ，
j ie3 ： （ 1 ） j iang1 t uo3 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 1 ，
s i4 iang3 x iao3 z u3 iang3 d e0 b ai2 t u4 h e2 h ei1 t u4 i1 g ong4 iou3 3 6 zh i3 ， q i2 zh ong1 h ei1 t u4 d e0 zh i3 sh u4 sh i4 b ai2 t u4 d e0 。 h ei1 t u4 h e2 b ai2 t u4 g e4 iou3 d uo1 sh ao3 zh i3 ？
iou4 E F 、 E G sh i4 p ing2 m ian4 E F G n ei4 d e0 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 ，
ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 sh i4 | | | | q ie3 ；
iong4 f en1 c eng2 ch ou1 iang4 d e0 f ang1 f a3 x üan3 q ü3 6 r en2 z u3 ch eng2 i2 g e4 h uo2 d ong4 d uei4 ，
j ie3 ： iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 g ai1 h an2 sh u4 d e0 zh ou1 q i1 uei4 ，
b an1 m a3 ， d a4 x iang4 ， l ao3 h u3 ， sh i1 z i0
zh e4 g e4 f ang1 ch eng2 z u3 u2 j ie3 ， in1 c i3 d ian3 Q b u4 z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 .
2 1 3 0 ， g u4 d ian3 M z ai4 zh i2 x ian4 l sh ang4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 sh eng4 x ia4 d e0 q ian2 x iao3 m ing2 d e0 z ong3 q ian2 sh u4 uen2 j ü4 h e2 d an1 j ia4 『 』 g ang1 b i3 d an1 j ia4 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 b i3 l i4 』
iou4 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， ） ，
m 2 m uei4 ou3 sh u4 ，
iou2 f u2 h ao4 h an2 sh u4 s g n x ，
s uo3 i3 f ( 3 ) f ( 2 ) ， f 1 ( 3 ) f 1 ( 2 ) ， j i2 b a .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) uei4 j i1 h an2 sh u4 ， z e2 b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 4 d e0 j ie3 j i2 uei4 .
sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 j ü3 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， zh eng4 q üe4 ；
m ing4 t i2 “ d uei4 r en4 i4 x R ， a x 2 2 a x 3 0 b u4 ch eng2 l i4 ” sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 uan4 i3 n ei4 sh u4 d e0 j ia1 j ian3 f a3 』
j ie3 ： m ing4 t i2 “ r uo4 f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 ， z e2 f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 f ( x ) b u2 sh i4 j i1 h an2 sh u4 ， z e2 f ( x ) b u2 sh i4 j i1 h an2 sh u4 ” .
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
（ 2 ） x ie3 ch u1 f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 2 ， 2 ] sh ang4 d e0 b iao3 d a2 sh i4 .
d uei4 b i3 f ang1 ch eng2 x 2 4 x y 2 y 2 1 ， c ong2 er2 ，
x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 d e0 g e4 sh u4 uei4 （ ）
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 h an2 sh u4 f ( x ) a x 1 （ x 0 ） d e0 t u2 x iang4 j ing1 g uo4 d ian3 （ 2 ， ） ，
j ie3 ： f ( x ) s i n x z ai4 q ü1 j ian1 （ 0 ， ） sh ang4 sh i4 t u1 h an2 sh u4 ， q ie3 A 、 B 、 C （ 0 ， ） ，
y 2 b iao3 sh i4 i1 t iao2 p ing2 x ing2 ü2 x zh ou2 d e0 zh i2 x ian4 ，
P d ian3 d e0 g uei3 j i4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 c o s ， [ ， ] .
【 t i2 sh i4 】 『 1 2 . 4 0 . 3 ， j i4 s uan4 sh i2 j iang1 『 x iang1 t ong2 』 sh u4 uei4 sh ang4 d e0 sh u4 x iang1 j ia1 ， c ong2 z uei4 『 d i1 』 uei4 s uan4 q i3 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 üan2 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
i3 zh i1 A B C ， A （ 2 ， 0 ） ， B （ 0 ， 2 ） ， d i4 s an1 g e4 d ing3 d ian3 C z ai4 q ü1 x ian4 y 3 x 2 1 sh ang4 i2 d ong4 ， q iou2 A B C d e0 zh ong4 x in1 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
d a2 ： q i4 ch e1 i1 c i4 k e3 i3 j iang1 i3 x iang1 h e2 b ing3 x iang1 h uo4 u4 ün4 z ou3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ü3 x ing4 zh i4 』
【 t i2 sh i4 】 『 F C D ü3 D sh i4 zh i2 x ian4 F C h e2 zh i2 x ian4 E D b ei4 zh i2 x ian4 C D s uo3 j ie2 d e0 i1 d uei4 『 t ong2 p ang2 n ei4 』 j iao3 . 』
d ang1 a 0 sh i2 ， f ( a ) a 2 4 ， z e2 a 2 ；
s uo3 i3 z ong3 ün4 f ei4 ü3 z ong3 c uen2 ch u3 f ei4 zh i1 h e2 f ( x ) 6 n 4 x 4 x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ian4 d uan4 d e0 h e2 ch a4 』
g u4 zh i2 x ian4 E F ü3 P C sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 .
er4 c i4 h an2 sh u4 g ( x ) 3 x 2 2 x .
iou2 p ao1 u4 x ian4 d e0 d ing4 i4 d e2 | A B | p ，
j ie3 ： j iang1 x 2 y 2 2 ， x c o s d ai4 r u4 x 2 y 2 2 x 0 zh ong1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
j ie3 ： （ ） iou2 q ü1 x ian4 C 1 ： ， d e2 ，
A . d ， e d ou1 sh i4 h ao3 d ian3
z e2 d ian3 Q d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 6 ， ） .
【 t i2 sh i4 】 『 m ai3 c ai3 d ian4 sh i2 j i4 x ü1 iao4 d e0 q ian2 sh u4 b iao1 j ia4 『 』 zh e2 k ou4 8 5 。 』
i2 g e4 b i3 d e0 q ian2 x iang4 sh i4 4 ， b i3 zh i2 sh i4 0 . 7 5 ， t a1 d e0 h ou4 x iang4 sh i4 （ ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
j ie3 ： j ü3 zh en4 M d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 d uei4 ing4 d e0 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 uei4 ，
r uo4 i2 g e4 üan2 zh uei1 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ， q i2 m ian4 j i1 uei4 ， z e2 zh e4 g e4 üan2 zh uei1 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 j i2 q iou2 f a3 』
j ie3 ： （ 1 ） A D E h e2 A D F g uan1 ü2 zh i2 x ian4 A D d uei4 ch en4 . l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
d a2 an4 ： （ 1 ） p ing2 x ing2 ； （ 2 ） x iang1 j iao1 ； （ 3 ） ch ong2 h e2 .
iou2 ü2 c an1 sh u4 d e0 r en4 i4 x ing4 ， k e3 q ü3 x 2 c o s ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 』
i3 zh i1 l iang3 g e4 iou3 l i3 sh u4 a ， b ， r u2 g uo3 a b 0 ， q ie3 a b 0 ， n a4 m e0 （ ）
s uo3 i3 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 V r 2 h ( ) 2 4 .
t e4 zh eng1 d uo1 x iang4 sh i4 f ( ) ( 2 ) ( 1 ) 6 2 3 4 ( 4 ) ( 1 ) .
j ie3 ： j iang1 zh i2 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ， 0 ） h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ou1 t i4 üan2 l i3 ( ao4 sh u4 ) 』
j i2 a [ ( ) 2 x ( ) x ] z ai4 x （ ， 1 ] sh ang4 h eng2 ch eng2 l i4 .
f ( x ) d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 .
l ian2 l i4 f ang1 ch eng2 ， x iao1 üan2 ， d e2 t 2 y 2 ( 2 t 2 1 6 ) y t 2 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 d e0 iou3 ü2 sh u4 ch u2 f a3 』
E F p ing2 m ian4 A B C ， A B p ing2 m ian4 A B C ，
f ang1 ch eng2 （ ） d e0 l iang3 g en1 uei4 y 1 ， 2 p ， c ong2 er2 y 0 p .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
a ， b 1 ， c 2 ， l ian2 l i4 f ang1 ch eng2 z u3 j ie3 d e2 a 0 ， b ， c ，
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 S c e4 2 r l ， b en3 t i2 zh ong1 ， r 『 1 』 ， l 『 2 』 . 』
üan2 x in1 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 sh i4 （ 1 ， 0 ） ， b an4 j ing4 zh ang3 uei4 1 .
（ 2 ） in1 uei4 zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ）
【 t i2 sh i4 】 『 zh e4 b u4 f en4 m ian4 j i1 z uei4 d a4 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 sh i4 『 1 2 』 f en1 m i3 。 』
s uo3 i3 f ( x ) z ai4 x [ 1 ， 5 ] sh ang4 sh i4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( x ) m i n f ( 5 ) 5 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
er2 0 ， 3 4 ， j ün1 b u4 f u2 h e2 iao1 q iou2 ，
C . x ian1 x iang4 iou4 p ing2 i2 2 g e4 d an1 uei4 ， z ai4 x iang4 x ia4 p ing2 i2 3 g e4 d an1 uei4
B . i2 g e4 zh eng4 sh u4 d e0 x iang1 f an3 sh u4 j iou4 sh i4 f u4 sh u4 ， zh eng4 q üe4 ；
z e2 A 、 B l iang3 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ 0 ， 1 ） ， （ ， ） ，
g u4 B zh eng4 q üe4 .
j ie3 ： m ing4 t i2 uei4 “ r uo4 p ， z e2 q ” d e0 x ing2 sh i4 ， q i2 zh ong1 p sh i4 t iao2 j ian4 ， q sh i4 j ie2 l uen4 .
q ： s uo3 iou3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 d ou1 sh i4 l ing2 x ing2 .
r uo4 | a | 2 ， | b | 3 ， q ie3 a b 0 ， z e2 | a b | .
C . üan4 j ün1 d uo1 c ai3 x ie2
er2 y s i n ( x ) s i n [ ( x ) ] ， k e3 zh i1 y s i n x d e0 t u2 x iang4 x iang4 z uo3 p ing2 i2 g e4 d an1 uei4 zh i1 h ou4 k e3 d e2 y s i n ( x ) d e0 t u2 x iang4 ，
sh e4 zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 P （ 3 ， 3 ） ， q ie3 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 .
d ang1 m 1 sh i2 ， h an2 sh u4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y x 4 .
S A B D 1 ， sh e4 s an1 l eng2 zh uei1 C A B D d e0 g ao1 uei4 h ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 i1 üan2 i1 c i4 b u4 d eng3 sh i4 』
in1 uei4 s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 g uo4 d ian3 （ 1 ， 0 ） ， x ie2 l ü4 k 2 ，
d uei4 ü2 ， i4 d e2 A 1 B C D 1 ， B C 1 A D 1 ， c ong2 er2 i4 d e2 p ing2 m ian4 A 1 B C 1 p ing2 m ian4 A C D 1 ， g u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
in1 uei4 D sh i4 B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
j ie3 ： 3 7 1 2 3 （ r en2 ） … … 1 （ r en2 ）
（ 2 ） r uo4 f i ( x ) （ i N ） ， q iou2 zh eng4 ： F n ( x ) （ n N * ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 x iang4 f en1 b u4 ü3 n c i4 d u2 l i4 ch ong2 f u4 sh i4 ian4 d e0 m o2 x ing2 』
sh uei3 g uo3 d ian4 iou3 l i2 6 7 q ian1 k e4 ， p ing2 g uo3 d e0 zh i4 l iang4 sh i4 l i2 d e0 3 b ei4 。
【 t i2 sh i4 】 『 g ei3 | t ( 1 t ) | p ing2 f ang1 ， d e2 d ao4 g uan1 ü2 t d e0 『 er4 』 c i4 h an2 sh u4 ， h ua4 uei4 d ing3 d ian3 sh i4 j ie3 d a2 . 』
f ou3 z e2 sh i4 uei4 b u4 h e2 g e2 p in3 . z ai4 j in4 q i1 i1 c i4 ch an3 p in3 ch ou1 iang4 j ian3 ch a2 zh ong1 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ： a 6 h uo4 a 4 .
h ong2 g uang1 x iao3 x üe2 z ai4 s an1 、 u3 n ian2 j i2 g e4 x üan3 i2 g e4 b an1 ， d iao4 ch a2 l e0 zh e4 l iang3 g e4 b an1 d e0 t ong2 x üe2 m ei3 t ian1 uan2 ch eng2 j ia1 t ing2 z uo4 ie4 s uo3 iong4 d e0 sh i2 j ian1 ， x ia4 m ian4 sh i4 d iao4 ch a2 j i4 l u4 。
j ie3 ： y ( 3 a 1 ) x 2 z ai4 （ ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ，
iou2 ü2 2 x 2 x b u4 h eng2 d eng3 ü2 0 ， g u4 iou3 1 a 0 ， j i2 a 1 ，
【 t i2 sh i4 】 『 j ia3 sh e4 g uo4 d ian3 P iou3 zh i2 x ian4 n ü3 l ， m d ou1 p ing2 x ing2 ， z e2 l 『 』 m ， ch u1 x ian4 m ao2 d uen4 . 』
z ai4 B B 1 sh ang4 q ü3 F sh i3 B F 2 ；
x ing1 q i1 l iou4 sh ang4 u3 ， m a1 m a1 c ong2 j ia1 l i3 ch u1 f a1 ， d a3 s uan4 x ian1 d ao4 iou2 j ü2 h uei4 k uan3 ， z ai4 q ü4 ch ao1 sh i4 g ou4 u4 。
x ia4 m ian4 t u2 x ing2 s uo3 b iao3 sh i4 d e0 j i3 h e2 t i3 zh ong1 ， b u2 sh i4 l eng2 zh uei1 d e0 uei4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
C . m ou3 d i4 f a1 x ing2 f u2 l i4 c ai3 p iao4 ， q i2 h uei2 b ao4 l ü4 uei4 4 7 ， iou3 r en2 h ua1 l e0 1 0 0 üan2 q ian2 m ai3 c ai3 p iao4 ， i2 d ing4 h uei4 iou3 4 7 üan2 d e0 h uei2 b ao4
r u2 t u2 ， i3 z uo3 b ian1 t u2 an4 zh ong1 d a4 üan2 d e0 üan2 x in1 uei4 x üan2 zh uan3 zh ong1 x in1 ， j iang1 t u2 an4 an4 f ang1 x iang4 x üan2 zh uan3 j i2 k e3 d e2 d ao4 iou4 b ian1 d e0 t u2 an4 .
d i4 1 c i4 f en1 l ie4 ch eng2 2 1 g e4 ，
（ 2 ） g en1 j ü4 l iang3 d ian3 j ian1 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 d e2 d （ 0 2 ） .
j ie3 ： （ 1 ） i1 t i2 i4 k e3 d e2 （ 2 ， 2 ） ，
、 zh ong1 d e0 t u2 x ing2 m ei2 iou3 an4 zh ao4 sh i2 、 x ü1 x ian4 h ua4 f a3 üan2 z e2 q ü4 h ua4 ， ie3 b u4 zh eng4 q üe4 ， zh eng4 q üe4 .
（ 2 ） iong4 sh u4 x üe2 g uei1 n a4 f a3 zh eng4 m ing2 ，
r uo4 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 p c o s ( ) 3 ， q ü1 x ian4 C ： 1 sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 d ， z e2 d d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
D F sh ang4 p ing2 m ian4 P A E ；
j ie3 ： zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y m 0 ，
1 9 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 1 4 ； 1 4 sh i4 1 9 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 ； 1 9 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 1 4 ； 1 4 sh i4 1 9 6 d e0 p ing2 f ang1 g en1 .
r uo4 h an2 sh u4 y s i n x z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， 2 ] sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ， z e2 sh i2 sh u4 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
z ai4 f ang1 ch eng2 （ a ， b uei4 zh eng4 ch ang2 sh u4 ） zh ong1 ，
f ang1 ch eng2 x 2 2 x 8 0 iou3 l iang3 g e4 sh i2 g en1 ；
s uo3 i3 g ai1 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 d e0 m ian4 j i1 k e3 n eng2 d eng3 ü2 .
A . i2 g e4 d ian3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
B . l u4 d eng1 d i3 x ia4 i2 g e4 b ian4 zh ang3 d e0 sh en1 ing3
g u4 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 x .
s uo3 i3 d ang1 0 b sh i2 ， zh i2 x ian4 y x b ü3 zh e4 l iang3 t iao2 p ao1 u4 x ian4 g ong4 iou3 3 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 .
（ 2 ） i1 q iou2 g ang1 h ao3 f ang4 j in4 g ai1 üan2 zh uei1 zh ong1 ， q iou2 zh e4 g e4 q iou2 d e0 b an4 j ing4 i3 j i2 c i3 sh i2 üan2 zh uei1 sh eng4 ü2 k ong1 j ian1 d e0 t i3 j i1 .
i3 zh i1 d ian3 A （ 4 ， 1 ） ， B （ 1 ， 5 ） ， z e2 ü3 x iang4 l iang4 f ang1 x iang4 x iang1 t ong2 d e0 d an1 uei4 x iang4 l iang4 uei4 .
A E B D F C ， A E C F （ ch eng2 l i4 ） ， B E D F （ ch eng2 l i4 ） .
d uei4 ü2 B ， l ， q ie3 l ， l sh i2 ， l iang3 p ing2 m ian4 k e3 n eng2 x iang1 j iao1 ， s uo3 i3 B b u4 f u2 h e2 t iao2 j ian4 ；
B C P C ， g u4 zh eng4 q üe4 .
B C 1 ü3 A D s uo3 ch eng2 j iao3 uei4 4 5 .
z uo4 A B ch uei2 zh i2 ü2 x zh ou2 ， g uo4 M d ian3 z uo4 A B d e0 ch uei2 x ian4 .
i3 zh i1 sh i2 sh u4 x ， y ， z m an3 z u2 3 x 2 y z 1 ， q iou2 x 2 2 y 2 3 z 2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
in1 c i3 y 2 x ， j i2 q ü1 x ian4 C 1 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 x .
i3 zh i1 z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh ong1 ， d i3 m ian4 A B C uei4 b ian1 zh ang3 sh i4 2 c m d e0 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 ， P A p ing2 m ian4 A B C ， q ie3 P A 1 c m ， B C d e0 zh ong1 d ian3 uei4 D ， n a4 m e0 zh i2 x ian4 P D ü3 p ing2 m ian4 A B C s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 .
y f ( x ) ü3 y f ( t ) b iao3 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 ；
（ 2 ） t u2 zh ong1 in1 ing3 b u4 f en4 r ao4 B C b ian1 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 x üan2 zh uan3 i1 zh ou1 s uo3 d e0 x üan2 zh uan3 t i3 d e0 t i3 j i1 .
s uo3 i3 j ian4 sh e4 in2 h ang2 ü3 b ai3 h uo4 d a4 l ou2 d e0 sh i2 j i4 j ü4 l i2 sh i4 1 6 0 m 。
【 t i2 sh i4 】 『 an4 “ sh ang4 b ei3 x ia4 n an2 z uo3 『 x i1 』 iou4 『 d ong1 』 ” zh i2 j ie1 q üe4 d ing4 x üe2 x iao4 g e4 b u4 m en2 d e0 uei4 zh i4 。 』
x ie3 ch u1 x ia4 l ie4 f ang1 ch eng2 d e0 g en1 ：
x ie3 ch u1 m ing4 t i2 “ g e4 uei4 sh u4 z i4 zh i1 h e2 sh i4 3 d e0 b ei4 sh u4 d e0 zh eng4 zh eng3 sh u4 ， n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 ” d e0 n i4 m ing4 t i2 uei4 .
x 1 m an3 z u2 f ang1 ch eng2 a x 2 b x c 0 ， z e2 a b c 0 .
d ian3 A d ao4 zh i2 x ian4 x y 1 0 d e0 j ü4 l i2 uei4 d .
zh en1 m ing4 t i2 iou3 .
iong4 sh u4 sh i4 j i4 s uan4 。
l ing4 3 k 2 ， z e2 k 5 ， g u4 h an2 iou3 x 2 d e0 x iang4 uei4 1 2 x 2 ，
d ang1 a 0 ， b 0 ， 1 sh i2 ， k e3 i3 t uei1 ch u1 a b ，
j ie3 ： üan2 sh i4 x 2 y 3 x 2 y 2
g u4 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x 2 q ie3 x 1 } .
sh e4 x 1 c o s ， y s i n （ uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2
（ 3 ） q iou2 iou3 ： ； （ 4 ） l eng2 zh u4 iou3 ： ；
（ 2 ） b u2 sh i4 m ing4 t i2 ， t a1 sh i4 i2 g e4 z uo4 t u2 b u4 zh ou4 ， m ei2 iou3 d uei4 sh i4 q ing2 z uo4 ch u1 p an4 d uan4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
ch ao1 ch u1 d e0 f ei4 iong4 sh i4 1 . 2 ( x 6 0 ) 1 . 2 x 7 2 üan2 ，
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， c ai1 x iang3 ch eng2 l i4 .
iou2 t u2 x iang4 k e3 zh i1 d ang1 zh i2 x ian4 y x b j ing1 g uo4 üan2 d ian3 sh i2 ， iou3 l iang3 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， c i3 sh i2 b 0 ，
j ie3 ： g en1 j ü4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， d e2 d ao4 d ian3 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ， 0 ） .
üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 sh i4 d .
iou2 h e2 ch a4 h ua4 j i1 g ong1 sh i4 d e2 c o s 2 A c o s 2 B 2 s i n ( A B ) s i n ( A B ) ， d ai4 r u4 sh ang4 sh i4 d e2 ， s i n ( A B ) s i n ( A B ) s i n A s i n C ，
1 . g en1 j ü4 d iao4 ch a2 j i4 l u4 t ian2 b iao3 。
p ing2 m ian4 E F G p ing2 m ian4 A B C .
i3 O uei4 B C D d e0 ch uei2 x in1 ， l ian2 j ie2 D O ， z e2 B C D O .
g u4 t a n A T F d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 1 ， g u4 A T F d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 j ia3 sh ang1 ch ang3 q üan2 ch ang3 j iou3 zh e2 iou1 h uei4 sh ou4 h uo4 ， j i2 sh ou4 j ia4 sh i4 üan2 j ia4 d e0 『 9 0 』 。 』
m ing4 t i2 （ 4 ） uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
r u2 t u2 ， j ü3 x ing2 c ao3 p ing2 A M P N zh ong1 ， d ian3 C z ai4 d uei4 j iao3 x ian4 M N sh ang4 . C D ch uei2 zh i2 ü2 A N ü2 d ian3 D ， C B ch uei2 zh i2 ü2 A M ü2 d ian3 B ， | C D | | A B | 3 m i3 ， | A D | | B C | 2 m i3 ， sh e4 | D N | x m i3 ， | B M | y m i3 . q iou2 zh e4 k uai4 j ü3 x ing2 c ao3 p ing2 A M P N m ian4 j i1 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
d ang1 a 0 sh i2 ， d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 1 .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 』
j ie3 ： in1 uei4 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 4 c o s ，
d ian3 P z ai4 d i4 s i4 x iang4 x ian4 ， 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
D . 5 sh i4 2 5 d e0 p ing2 f ang1 g en1 ， zh eng4 q üe4 .
d a2 an4 ： t i1 x ing2 .
【 t i2 sh i4 】 『 2 ， j iang1 2 k an4 ch eng2 f en1 m u3 sh i4 『 1 』 d e0 f en1 sh u4 ， ch u2 i3 i2 g e4 f en1 sh u4 ， d eng3 ü2 ch eng2 i3 zh e4 g e4 f en1 sh u4 d e0 『 d ao4 』 sh u4 。 』
j ie3 ： sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i2 g e4 d ing3 d ian3 （ a ， 0 ） d ao4 j iao4 j in4 j iao1 d ian3 （ c ， 0 ） d e0 j ü4 l i2 uei4 1 ，
sh e4 x R ， z e2 b u4 d eng3 sh i4 | x 3 | 1 d e0 j ie3 j i2 uei4 .
s uo3 i3 j i2 h e2 uei4 { ， ， ， } .
j ie3 ： in1 uei4 üan2 O d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
（ 2 ） d i4 4 z u3 ing1 iou3 2 r en2 j in4 r u4 m ian4 sh i4 ， z e2 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 d e0 k e3 n eng2 q ü3 zh i2 uei4 0 ， 1 ， 2 ，
C . ü3 g ong4 x ian4
j ie3 ： d uei4 ü2 x üan3 x iang4 A ， c ong2 t u2 zh ong1 k e3 i3 k an4 ch u1 d ang1 i3 ch e1 d e0 s u4 d u4 d a4 ü2 4 0 q ian1 m i3 x iao3 sh i2 sh i2 ， i3 ch e1 m ei3 x iao1 h ao4 1 sh eng1 q i4 iou2 ， x ing2 sh i3 l i3 ch eng2 d ou1 ch ao1 g uo4 5 q ian1 m i3 ， z e2 A c uo4 u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 m ei3 g e4 t ong2 x üe2 d ou1 iao4 ü3 q i2 ü2 『 4 』 g e4 t ong2 x üe2 uo4 sh ou3 。 』
t ong2 l i3 k e3 d e2 p ing2 m ian4 P B C p ing2 m ian4 P A B p ing2 m ian4 P A D p ing2 m ian4 P A B
zh eng4 m ing2 ： l iang3 l iang3 x iang1 j iao1 q ie3 b u4 g ong4 d ian3 d e0 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 .
sh eng1 q i2 t ai2
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， A B C j iou4 sh i4 s uo3 iao1 q iou2 z uo4 d e0 s an1 j iao3 x ing2 .
h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 .
d ang1 sh i2 ， l ü3 O j iao1 ü2 l iang3 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i4 』
j iang1 i1 m ei2 zh i4 d i4 j ün1 ün2 q ie3 s i4 g e4 m ian4 sh ang4 f en1 b ie2 b iao1 iou3 1 ， 2 ， 3 ， 4 d e0 zh eng4 s i4 m ian4 t i3 x ian1 h ou4 p ao1 zh i4 l iang3 c i4 ， q i2 d i3 m ian4 l uo4 ü2 zh uo1 m ian4 sh ang4 ， j i4 d i4 i1 c i4 ch ao2 x ia4 m ian4 d e0 sh u4 z i4 uei4 x ， d i4 er4 c i4 ch ao2 x ia4 m ian4 d e0 sh u4 z i4 uei4 y ， iong4 （ x ， y ） b iao3 sh i4 i2 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ü3 zh en4 ü3 j ü3 zh en4 d e0 ch eng2 f a3 』
c ong2 zh ong1 q ü3 l iang3 g e4 b u4 t ong2 d e0 sh u4 g ong4 iou3 4 5 zh ong3 q ing2 k uang4 ，
iou4 s i4 b ian1 x ing2 E F G H sh i4 l ing2 x ing2 ，
zh eng4 m ing2 ： g en1 j ü4 t i2 i4 h ua4 ch u1 t u2 x ing2 ， q ü3 P D d e0 zh ong1 d ian3 E ， l ian2 j ie1 A E ， N E ， r u2 t u2 .
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， sh e4 q i2 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 a ， z e2 c e4 l eng2 zh ang3 uei4 2 a ，
（ 3 ） g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 b iao3 m ian4 sh i4 iou2 2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 h e2 4 g e4 q üan2 d eng3 d e0 d eng3 iao1 t i1 x ing2 g ou4 ch eng2 d e0 .
g en1 j ü4 sh ang4 m ian4 d e0 x in4 x i1 t i2 ch u1 i2 g e4 sh u4 x üe2 uen4 t i2 b ing4 j ie3 d a2 。
r u2 t u2 ， z ai4 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， D sh i4 l eng2 C C 1 d e0 zh ong1 d ian3 ， uen4 z ai4 l eng2 A B sh ang4 sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 i4 d ian3 E ， sh i3 D E p ing2 m ian4 A B 1 C 1 ？ r uo4 c uen2 z ai4 ， q ing3 q üe4 d ing4 d ian3 E d e0 uei4 zh i4 b ing4 zh eng4 m ing2 ； r uo4 b u4 c uen2 z ai4 ， q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
【 t i2 sh i4 】 『 t uo3 üan2 zh ang3 b an4 zh ou2 d e0 ch ang2 d u4 O N 『 』 M N ， d uan3 b an4 zh ou2 d e0 ch ang2 d u4 M N 『 』 N O . 』
j ie3 ： j iang1 d ai4 r u4 x 2 y 2 1 zh ong1 ， k e3 d e2
s uo3 i3 üan2 x in1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ 2 ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 』
x iang4 l iang4 z ai4 x iang4 l iang4 f ang1 x iang4 sh ang4 d e0 t ou2 ing3 uei4 1 ，
sh e4 h an2 sh u4 zh ou1 q i1 uei4 T ，
sh e4 p ao1 u4 x ian4 y 2 2 p x d e0 zh uen3 x ian4 uei4 l ， j iao1 d ian3 uei4 F ， d ing3 d ian3 uei4 O ， P uei4 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 r en4 i4 d ian3 ， P Q l ü2 Q ， q iou2 Q F ü3 O P d e0 j iao1 d ian3 M d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
d uei4 ü2 ， zh eng4 iou3 l i3 sh u4 sh i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 h e2 zh eng4 f en1 sh u4 d e0 t ong3 ch eng1 ， zh eng4 q üe4 ；
c i3 sh i2 4 x 2 1 2 x 9 0 ， j ie3 d e2 x ，
g u4 h an2 sh u4 y 3 3 x d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 3 2 .
üan2 iou3 （ ） t iao2 d uei4 ch en4 zh ou2 ， b an4 üan2 iou3 （ ） t iao2 d uei4 ch en4 zh ou2 。
r u2 t u2 ， k e3 b iao3 sh i4 h an2 sh u4 t u2 x iang4 d e0 sh i4 （ ）
A . ch ong1 f en4 er2 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
s uo3 i3 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 ，
j ie3 ： iou2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 t uo3 üan2 d e0 b iao1 zh uen3 f ang1 ch eng2 uei4 1 （ a b 0 ） .
l ie4 b iao3 r u2 x ia4 ：
（ 3 ） zh eng4 m ing2 ： b a3 sh u4 l ie4 1 ， 2 ， … ， n zh ong1 r en4 q ü3 k g e4 üan2 s u4 uei4 zh i4 b u4 d ong4 ， z e2 iou3 zh ong3 ；
q ü1 x ian4 C ： 1 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 1 ， uei4 üan2 .
（ 2 ） i4 b an1 x ing2 sh i4 uei4 x 2 x 2 0 ， er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 uei4 1 ， i1 c i4 x iang4 x i4 sh u4 uei4 1 ， ch ang2 sh u4 x iang4 uei4 2 ；
l i3 m ing2 d iao4 ch a2 l e0 b en3 b an1 1 0 m ing2 x üe2 sh eng1 d e0 f u4 m u3 z uo4 j ia1 u4 h uo2 d e0 sh i2 j ian1 ， j i4 l u4 r u2 x ia4 ：
d a2 ： x ian4 z ai4 zh e4 zh ong3 sh ang1 p in3 m ai4 ch u1 i1 j ian4 sh i4 p ei2 l e0 ， p ei2 l e0 4 üan2 。
iou2 n b n 1 ( n 1 ) b n n ( n 1 ) l iang3 b ian1 t ong2 ch u2 i3 n ( n 1 ) ， d e2 1 ，
（ ） p an4 d uan4 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 d e0 d ing4 i4 』
B . iou3 x iang4 x ian4 d uan4 d e0 sh u4 l iang4
【 t i2 sh i4 】 『 3 2 5 7 iou3 ü2 sh u4 ， ü2 sh u4 b i3 『 ch u2 』 sh u4 x iao3 。 』
j ie3 ： j ia3 sh u4 i3 sh u4 0 . 7 5 ，
j ie3 ： g en1 j ü4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 d e0 g ai4 n ian4 k e3 zh i1 （ m uei4 c an1 sh u4 ） sh i4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
z ai4 d eng3 iao1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 P A D zh ong1 ， A E sh i4 x ie2 b ian1 sh ang4 d e0 zh ong1 x ian4 ，
d a2 ： zh i4 z uo4 zh e4 iang4 d e0 i2 g e4 iou2 q i1 t ong3 zh i4 sh ao3 x ü1 iao4 5 3 . 7 t ie3 p i2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
sh e4 s an1 l eng2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 h ， d i3 m ian4 m ian4 j i1 uei4 S ， t i3 j i1 uei4 V ，
j ie3 ： iou2 s an1 sh i4 t u2 k e3 zh i1 ， g ai1 j i3 h e2 t i3 uei4 i2 g e4 l eng2 zh ang3 uei4 4 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 h e2 i2 g e4 d i3 b ian1 zh ang3 uei4 4 ， g ao1 uei4 2 d e0 zh eng4 s i4 l eng2 zh uei1 d e0 z u3 h e2 t i3 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ，
n ei4 A B C d e0 s an1 g e4 d ing3 d ian3 d ao4 B d e0 j ü4 l i2 x iang1 d eng3
x ia4 l ie4 j i3 h e2 t i3 d e0 j ie2 m ian4 i2 d ing4 sh i4 üan2 m ian4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
（ 2 ） zh uei1 t i3 iou3 ： ；
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 j i1 『 2 』 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 j i1 。 』
c ong2 k ai1 sh i3 3 0 s ch u4 q i3 ，
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . r uo4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 p c o s 4 d e0 zh i2 x ian4 ü3 q ü1 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， z e2 | A B | .
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
d a2 an4 ： r uo4 i2 g e4 h an2 sh u4 sh i4 j i1 h an2 sh u4 ， z e2 zh e4 g e4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 h e2 t u2 x iang4 j ün1 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 .
n a4 m e0 f ( 2 x 1 ) f ( x ) d eng3 j ia4 ü2 ： | 2 x 1 | | x | ，
in1 P h e2 Q sh i2 p ao1 u4 x ian4 C sh ang4 d e0 x iang1 i4 l iang3 d ian3 ， z e2 y 1 y 2 ，
P D E d e0 zh ou1 ch ang2 P D D E P E B D D E E C B C 5 c m .
s uo3 i3 c o s b iao3 sh i4 l iang3 t iao2 sh e4 x ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 ü3 t uei1 l uen4 』
a ü3 m ei2 iou3 g ong1 g ong4 d ian3 .
j i2 q üe4 d ing4 d e0 b d e0 zh i2 k e3 i3 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 1 üan2 2 j iao3 h ua4 uei4 i3 “ üan2 ” uei4 d an1 uei4 d e0 sh u4 ， j iang1 2 ch u2 i3 『 1 0 』 z ai4 j ia1 1 。 』
m ou3 b an1 m ou3 c i4 sh u4 x üe2 c e4 sh i4 d e0 j i2 g e2 l ü4 sh i4 9 0 . x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
iao4 、 t ong2 sh i2 u2 j ie3 ， z e2 1 b .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 ch u1 b u4 r en4 sh i2 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
（ 1 ） h ua4 C 1 ， C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 f en1 b ie2 p an4 d uan4 q ü1 x ian4 d e0 x ing2 zh uang4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p in2 l ü4 f en1 b u4 b iao3 』
j ie3 ： s an1 g e4 üan2 zh u4 d e0 sh ang4 m ian4 j ia1 q i3 l ai2 j iou4 sh i4 b an4 j ing4 4 f en1 m i3 d e0 üan2 zh u4 d e0 sh ang4 m ian4 d e0 m ian4 j i1 ： 4 4 3 . 1 4 5 0 . 2 4 （ p ing2 f ang1 f en1 m i3 ）
r u2 t u2 ， i3 zh i1 l iang3 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 A B C D h e2 D C E F b u4 z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ， M ， N f en1 b ie2 uei4 A B ， D F d e0 zh ong1 d ian3 . r uo4 C D 2 ， p ing2 m ian4 A B C D p ing2 m ian4 D C E F ， z e2 x ian4 d uan4 M N d e0 zh ang3 uei4 .
iou2 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 ， d e2 f ( x ) 2 2 0 .
k e3 r ang4 d ian3 C ian2 O C u2 x ian4 k ao4 j in4 d ian3 O ，
d a2 an4 ： 2 h uo4 1 4 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 sh u4 d e0 l iang3 g e4 p ing2 f ang1 g en1 h u4 uei4 『 x iang1 f an3 』 sh u4 。 』
D . l iang3 d i3 m ian4 p ing2 x ing2 ， c e4 l eng2 ian2 ch ang2 h ou4 j iao1 ü2 i4 d ian3 d e0 d uo1 m ian4 t i3
r u2 t u2 ， z ai4 A B C zh ong1 ， ， P sh i4 B N sh ang4 d e0 i4 d ian3 ， r uo4 m ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 zh i2 uei4 .
j ie3 ： j iang1 üan2 f ang1 ch eng2 b ian4 x ing2 ch eng2 4 s i n c o s 4 c o s s i n ，
2 3 ， f u2 h e2 iao1 q iou2 .
x iao1 q ü4 t k e3 d e2 zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 y x a .
2 5 6 1 5 0 （ p ing2 f ang1 m i3 ） 1 5 0 0 0 （ p ing2 f ang1 f en1 m i3 ）
zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4
j ie3 ： g uan1 ü2 m i4 h an2 sh u4 y x k j i2 q i2 t u2 x iang4 ：
g ( x ) z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ， z ai4 （ ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 ü3 t uei1 l uen4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 x ing2 x ian4 d e0 d ing4 i4 』
ü2 sh i4 k e3 zh i1 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t ong2 uei4 j iao3 、 n ei4 c uo4 j iao3 、 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 』
【 t i2 sh i4 】 『 a 2 b 2 ( a b ) 2 2 a b ， zh eng4 m ing2 a 2 b 2 ， zh uan3 h ua4 uei4 q iou2 『 a b 』 d e0 z uei4 d a4 zh i2 . 』
d ang1 a 1 sh i2 ， B { 2 ， 2 } ， m an3 z u2 t iao2 j ian4 ；
（ 3 ） b a3 i2 g e4 üan2 zh u4 x üe1 ch eng2 z uei4 d a4 d e0 üan2 zh uei1 ， iao4 x üe1 q ü4 t a1 t i3 j i1 d e0 。 （ ）
h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 ou3 h an2 sh u4 .
【 t i2 sh i4 】 『 t ai2 f eng1 zh ong1 x in1 sh i4 i4 zh i2 i2 d ong4 d e0 ， er2 q i4 x iang4 t ai2 A d e0 uei4 zh i4 sh i4 g u4 d ing4 d e0 ， i3 『 q i4 x iang4 t ai2 A 』 uei4 üan2 x in1 j ian4 l i4 z uo4 b iao1 x i4 j iao4 uei2 j ian3 b ian4 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 j ian3 sh ao3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 5 0 . 2 4 d m 2 sh i4 j ie2 q ü4 d e0 g ao1 uei4 『 4 』 c m d e0 üan2 zh u4 t i3 d e0 c e4 m ian4 j i1 。 』
l ian2 l i4 k e3 d e2 a 2 ， h 0 . 5 .
A x üan3 x iang4 zh ong1 ， x üan2 zh uan3 zh i1 h ou4 d e2 d ao4 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 üan2 zh uei1 ；
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 b an4 j ing4 k uo4 d a4 2 b ei4 ， d i3 m ian4 j i1 j iou4 k uo4 d a4 l e0 『 4 』 b ei4 。 』
d a2 an4 ： g ao1 ， d i3 ， c e4 ； g ao1 ， c e4 ， d i3 。
p ing2 m ian4 E H D p ing2 m ian4 A B 1 C 1 .
P （ x ， y ） sh i4 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 ， z e2 P d ao4 zh i2 x ian4 x y 4 0 d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 x iang4 l iang4 d e0 z uo4 b iao1 ün4 s uan4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 』
sh uang1 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 j ian4 j in4 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 .
sh i4 z i0 ( ) 5 zh ong1 ， d i3 sh u4 sh i4 ， zh i3 sh u4 sh i4 ， m i4 sh i4 ， k e3 d u2 z uo4 ， ün4 s uan4 d e0 j ie2 g uo3 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
a ü3 n ei4 d e0 s uo3 iou3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 h uo4 i4 m ian4 ， c uo4 u4
d a2 an4 ： p ing2 x ing2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
z e2 h ( x ) l o g 2 x d e0 l ing2 d ian3 z ai4 q ü1 j ian1 （ 1 ， 2 ） sh ang4 ， j i2 f ang1 ch eng2 f ( x ) f ( x ) 2 d e0 j ie3 s uo3 z ai4 d e0 q ü1 j ian1 sh i4 （ 1 ， 2 ） .
j ie3 ： j ie3 x 2 4 x 3 0 ， d e2 1 x 3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 n ian2 、 üe4 、 r i4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， d ang1 zh i2 x ian4 l ü3 t uo3 üan2 C z ai4 s i4 g e4 d ing3 d ian3 ch u4 x iang1 q ie4 sh i2 ， O P Q d e0 m ian4 j i1 q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 8 .
【 t i2 sh i4 】 『 l eng2 zh ang3 uei4 2 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 t i3 d uei4 j iao3 x ian4 zh ang3 d eng3 ü2 ( 2 2 2 2 2 2 ) k ai1 『 p ing2 』 f ang1 . 』
g uo4 P ch uei2 zh i2 ü2 d e0 zh i2 x ian4 z ai4 n ei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 b iao3 sh i4 uan3 sh ang4 8 sh i2 ， g ei3 x iao3 sh i2 sh u4 j ia1 『 1 2 』 ， b ing4 q ü4 d iao4 m ing2 c i2 “ uan3 sh ang4 ” 。 』
s uo3 i3 A P ü3 A Q s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 uei4 .
（ 2 ） d ang1 a c sh i2 ， f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 uei4 x 2 y 2 x 0 ， q i2 g uei3 j i4 sh i4 i3 （ ， 0 ） uei4 üan2 x in1 ， uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 ， d an4 b u4 b ao1 k uo4 d ian3 （ 0 ， 0 ） h e2 （ ， 0 ） .
j ie3 ： in1 uei4 f ( x ) sh i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
d a2 an4 ： { x | 2 x h uo4 2 x } .
j ie3 ： iou2 i3 zh i1 zh ong1 s i4 m ian4 t i3 A B C D d e0 s i4 g e4 d ing3 d ian3 sh i4 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 s i4 g e4 d ing3 d ian3 ，
n i4 m ing4 t i2 sh i4 ： d uei4 j iao3 x ian4 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 d e0 s i4 b ian1 x ing2 sh i4 l ing2 x ing2 ， zh e4 sh i4 i2 g e4 j ia3 m ing4 t i2 ，
（ 1 ） x iao3 l i3 d e0 c ai3 d ai4 zh ang3 d uo1 sh ao3 m i3 ？
d uei4 ü2 B ， iou2 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 d e0 b ian1 p ing2 x ing2 ， z e2 z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 r eng2 r an2 p ing2 x ing2 ， g u4 B zh eng4 q üe4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 y A s i n （ x ） c an1 sh u4 d e0 u4 l i3 i4 i4 』
in1 uei4 4 5 ， 1 2 0 ， 2 1 0 ， 2 5 2 j ün1 sh i4 3 d e0 b ei4 sh u4 ，
z ong1 sh ang4 ： sh i2 sh u4 k d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 ( ， 3 ) { 6 }
（ 1 ） q iou2 i4 m ian4 zh i2 x ian4 A 1 B ü3 C 1 D s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 ；
h ua4 j ian3 d e2 ， y 2 5 x ， uei4 p ao1 u4 x ian4 f ang1 ch eng2 .
A E C D uei4 l ing2 x ing2 ， O E O D ，
sh e4 d ian3 P （ x ， y ） sh i4 t uo3 üan2 2 x 2 3 y 2 1 2 sh ang4 d e0 i2 g e4 d ong4 d ian3 ， z e2 x 2 y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
z e2 h an2 sh u4 f ( x ) d eng3 j ia4 uei4 y g ( t ) t 2 k t k 3 ， z ai4 t 0 sh i2 iou3 uei2 i1 l ing2 d ian3 ，
x üan3 x iang4 C zh ong1 ， 2 : 1 . 7 5 8 : 7 ， s uo3 i3 k e3 i3 z u3 ch eng2 b i3 l i4 。
j iang1 （ 3 ， 0 ） d ai4 r u4 y x a zh ong1 k e3 d e2 ： 0 3 a ，
sh e4 0 x 1 ， z e2 a ， b 1 x ， c zh ong1 z uei4 d a4 d e0 i2 g e4 sh i4 .
r u2 t u2 ， g uo4 A x iang4 p ing2 m ian4 B C D z uo4 ch uei2 x ian4 A O ， l ian2 j ie2 B O b ing4 ian2 ch ang2 ü3 C D j iao1 ü2 d ian3 E ， l ian2 j ie2 C O b ing4 ian2 ch ang2 ü3 B D j iao1 ü2 d ian3 F ， l ian2 j ie2 A F ， A E ，
M N P A ， iou4 N sh i4 A C d e0 zh ong1 d ian3 ，
sh e4 O z ai4 A B C d e0 n ei4 b u4 ， D uei4 A B d e0 zh ong1 d ian3 ， q ie3 2 ， z e2 A B C d e0 m ian4 j i1 ü3 A O C d e0 m ian4 j i1 d e0 b i3 zh i2 uei4 .
d a2 an4 ： 1 0 0 0 0 h ao2 sh eng1 .
l eng2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 V S d i3 m ian4 j i1 h 6 2 1 2 .
g u4 x ian2 zh ang3 2 2 2 .
zh e4 i1 x ian4 d uan4 b i3 l i4 ch i3 b iao3 sh i4 d i4 t u2 sh ang4 d e0 1 c m x iang1 d ang1 ü2 sh i2 j i4 j ü4 l i2 （ ） k m 。 iong4 f en1 sh u4 x ing2 sh i4 b iao3 sh i4 zh e4 g e4 b i3 l i4 ch i3 sh i4 （ ） 。
（ 1 ） q iou2 üan2 O h e2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
s uo3 i3 üan2 t u2 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 uei4 ( a 3 a ) 2 8 a c m .
（ 1 ） sh i2 z i4 l u4 k ou3 d e0 x i1 n an2 j iao3 sh i4 b ao4 t ing2 ， x i1 b ei3 j iao3 sh i4 in2 h ang2 ； iou2 j ü2 z ai4 sh i2 z i4 l u4 k ou3 ü3 x i1 n an2 x iang1 d uei4 d e0 f ang1 x iang4 sh ang4 。 t u2 sh u1 g uan3 z ai4 sh i2 z i4 l u4 k ou3 ü3 x i1 b ei3 x iang1 d uei4 d e0 f ang1 x iang4 sh ang4 。
z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q iou2 j iang1 q ü1 x ian4 x 2 2 y 2 3 x 0 b ian4 ch eng2 q ü1 x ian4 x 2 8 y 2 1 2 x 0 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 .
d ing4 i4 ü4 zh ong1 b u4 b ao1 h an2 2 sh i2 ， h an2 sh u4 t u2 x iang4 ü3 x 2 m ei2 iou3 j iao1 d ian3 （ r u2 t u2 s uo3 sh i4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 i2 g e4 t u2 x ing2 ， 0 . 4 b iao3 sh i4 j iang1 i2 g e4 üan2 p ing2 j ün1 f en1 ch eng2 1 0 f en4 ， t u2 q i2 zh ong1 d e0 『 4 』 f en4 。 』
zh eng4 m ing2 ： （ 1 ） iou2 a 2 b 2 2 a b ， b 2 c 2 2 b c ， c 2 a 2 2 c a ， d e2 a 2 b 2 c 2 a b b c c a .
b ao3 g uan3 sh i4
（ 2 ） f ( x ) ， g ( x ) ， f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x 0 } ， er2 g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R ，
g u4 m ei3 ch uang2 m ei3 uan3 sh ou1 f ei4 ing1 t i2 g ao1 4 üan2 h uo4 6 üan2 .
（ 1 ） x iao3 zh ang1 j ia1 sh ang4 g e4 üe4 “ f eng1 sh i2 ” iong4 d ian4 5 0 d u4 ， “ g u3 sh i2 ” iong4 d ian4 2 0 d u4 ， r uo4 sh ang4 üe4 ch u1 h uan4 b iao3 ， z e2 x iang1 d uei4 ü2 h uan4 b iao3 q ian2 x iao3 zh ang1 j ia1 d e0 d ian4 f ei4 sh i4 z eng1 d uo1 l e0 h ai2 sh i4 j ian3 sh ao3 l e0 ？ z eng1 d uo1 h uo4 j ian3 sh ao3 l e0 d uo1 sh ao3 üan2 ？ q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
j ie3 ： d uei4 r en4 i4 n N * ， S n { 2 ， 3 } ， k e3 d e2
d ai4 r u4 d e2 2 6 c o s ( ) 8 0 ，
j iang1 d ai4 r u4 y zh ong1 ，
i3 zh i1 zh eng4 sh i2 sh u4 a ， b ， c ， d m an3 z u2 a b c d 1 .
（ 2 ） d ian3 A g uan1 ü2 j i2 d ian3 d uei4 ch en4 d e0 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ 3 ， ） ；
t ian2 b iao3 b ing4 j ie3 d a2 uen4 t i2 。
【 t i2 sh i4 】 『 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 h ou4 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 k uan1 j iou4 sh i4 üan2 zh u4 d e0 『 g ao1 』 。 』
s uo3 i3 n an2 sh eng1 r en2 sh u4 z uei4 d a4 uei4 7 ， n ü3 sh eng1 r en2 sh u4 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 6 .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 ， k e3 d e2 üan2 d e0 b an4 j ing4 r 2 ， q i2 j ian4 j in4 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ uei4 c an1 sh u4 ） .
d ang1 2 x 2 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 h ua4 uei4 ( 2 x ) x ( x 2 ) 2 ， j i2 x 2 x 0 ，
iou2 m n ， n ， d e2 m h uo4 m ， s uo3 i3 c uo4 u4 .
（ 1 ） r uo4 q 1 ， q iou2 T 2 0 1 9 d e0 zh i2 ；
（ 2 ） g uo4 q ü1 x ian4 C sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 P z uo4 ü3 l j ia1 j iao3 uei4 3 0 d e0 zh i2 x ian4 ， j iao1 l ü2 d ian3 A ， q iou2 | P A | d e0 z uei4 d a4 zh i2 ü3 z uei4 x iao3 zh i2 .
in1 uei4 C E sh i4 O d e0 q ie4 x ian4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 i3 zh i1 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 j ing1 g uo4 d ian3 （ 0 ， 1 ） ， z e2 k e3 l i4 iong4 『 d ai4 d ing4 x i4 sh u4 』 f a3 q üe4 d ing4 ch u1 x iang1 d e0 zh i2 . 』
（ 2 ） M d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 0 ） ， N d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， ） ，
s uo3 i3 C 2 M N d e0 m ian4 j i1 .
j ie3 ： iou3 3 d uei4 .
iou4 t i2 i4 d e2 A （ 2 ， 0 ） ，
t ong2 l i3 k e3 d e2 S B 4 0 ， s uo3 i3 A B S B S A 2 0 .
m ou3 ch e1 j ian1 iao4 j ia1 g ong1 i1 p i1 l ing2 j ian4 ， d i4 i1 t ian1 j ia1 g ong1 l e0 z ong3 sh u4 d e0 ， d i4 er4 t ian1 b i3 d i4 i1 t ian1 d uo1 j ia1 g ong1 l e0 1 8 0 g e4 ， l iang3 t ian1 g ong4 j ia1 g ong1 l ing2 j ian4 9 0 0 g e4 。 zh e4 p i1 l ing2 j ian4 i1 g ong4 iou3 d uo1 sh ao3 g e4 ？
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ie3 h uei4 b ian4 h ua4 ， j ian4 k ai1 x ian4 h e2 z uo4 b iao1 zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 g e4 sh u4 ie3 h uei4 b u4 t ong2 ，
zh ao4 q iang2 j ia1 ： b a4 b a4 1 x iao3 sh i2 i3 x ia4 ， m a1 m a1 1 ～ 2 x iao3 sh i2 。
s an1 g e4 r uei4 j iao3 d u4 sh u4 h e2 k e3 n eng2 sh i4 1 8 0 ， g u4 B k e3 n eng2 ；
d uei4 ü2 ， l ing2 h e2 zh eng4 zh eng3 sh u4 t ong3 ch eng1 uei4 z i4 r an2 sh u4 k e3 zh i1 ： 0 sh i4 ou3 sh u4 ， ie3 sh i4 z i4 r an2 sh u4 ， c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
r u2 t u2 ， A 、 F 、 E 、 B s i4 d ian3 g ong4 x ian4 ， A C C E ， B D D F ， A E B F ， A C B D ， q iou2 zh eng4 ： A C F B D E .
j in4 er2 k e3 d e2 x 2 q ie3 3 x 2 x 3 ， h uo4 2 x 3 q ie3 3 x x 2 3 ， h uo4 x 3 q ie3 x 3 x 2 3 .
zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 .
【 t i2 sh i4 】 『 p ing2 j ün1 m ei3 l iang4 ch e1 m ei3 c i4 ün4 d e0 zh i4 l iang4 h uo4 u4 z ong3 zh i4 l iang4 『 』 ch e1 d e0 l iang4 sh u4 『 』 m ei3 l iang4 ch e1 ün4 d e0 c i4 sh u4 。 』
（ 4 ） x iao3 m ing2 c ong2 d a4 m en2 j in4 r u4 x ian1 d ao4 h ou2 sh an1 ， z ai4 ian2 h ou2 sh an1 d e0 x i1 b ei3 f ang1 x iang4 d ao4 sh i1 g uan3 ， r an2 h ou4 d ao4 l ao3 h u3 g uan3 。 q ing3 n i3 iong4 j ian4 t ou2 z ai4 t u2 zh ong4 b iao1 ch u1 x iao3 m ing2 d e0 x ing2 z ou3 l u4 x ian4 。
q ü1 x ian4 A E F G H d e0 zh ang3 sh i4 5 .
in1 c i3 M 1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s ， （ 0 ） ，
x iao3 m ing2 g ei3 b an1 sh ang4 sh e4 j i4 q iang2 b ao4 ， q iang2 b ao4 sh i4 ch ang2 f ang1 x ing2 ， zh ang3 1 8 f en1 m i3 ， k uan1 sh i4 1 2 f en1 m i3 。 uei4 l e0 b ian4 ü2 k an1 d eng1 g ao3 j ian4 ， x iao3 m ing2 b a3 q iang2 b ao4 f en1 ch eng2 l e0 l iang3 b u4 f en4 ， i1 b u4 f en4 sh i4 i2 g e4 m ian4 j i1 z uei4 d a4 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， l ing4 i1 b u4 f en4 sh i4 sh en2 m e0 t u2 x ing2 ？ zh e4 l iang3 b u4 f en4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 g e4 sh i4 d uo1 sh ao3 ？
i3 zh i1 0 x 1 ， 0 y 1 ， q iou2 zh eng4 ：
C . zh e4 g e4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 j i4 h u4 x iang1 p ing2 f en1 ， ie3 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ian4 d uan4 zh ong1 d ian3 d e0 d ing4 i4 j i2 ing4 iong4 』
sh e4 p ing2 m ian4 A E F d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x 0 ， y 0 ， z 0 ） ，
B . b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
z e2 sh i2 sh u4 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 3 .
（ 2 ） q iou2 j ü3 zh en4 M d e0 t e4 zh eng1 zh i2 .
r u2 g uo3 i2 g e4 üan2 t ai2 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 k uo4 d a4 d ao4 üan2 l ai2 d e0 n b ei4 ， l iang3 d i3 m ian4 b an4 j ing4 d ou1 s uo1 x iao3 uei4 üan2 l ai2 d e0 ， n a4 m e0 t a1 d e0 c e4 m ian4 j i1 uei4 üan2 l ai2 d e0 b ei4 .
uei4 c an1 sh u4 ， üan2 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 uei4 y b t ( x a t ) t a n ， b iao3 sh i4 zh i2 x ian4 ；
i3 zh i1 q ie3 ü3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 uei4 d ， zh i2 x ian4 a ü3 x iang1 j iao1 ü2 d ian3 A ， ü3 x iang1 j iao1 ü2 d ian3 B . r uo4 A B d ， z e2 zh i2 x ian4 a ü3 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 d e0 d a4 x iao3 uei4 .
（ 4 ） ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 i2 d ing4 p ing2 x ing2 m a0 ？
g u4 d a2 an4 uei4 n eng2 b ei4 3 zh eng3 ch u2 d e0 zh eng4 zh eng3 sh u4 g e4 uei4 sh u4 z i4 zh i1 h e2 sh i4 3 d e0 b ei4 sh u4 .
C . r uo4 a 0 q ie3 b 0 ， z e2 a 2 b 2 0
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
j ie3 d e2 3 x 3 q ie3 x 2 ，
g ai1 q ü1 x ian4 d uan4 sh i4 h an2 sh u4 y A s i n ( x ) （ A 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 b i3 j iao4 （ j ie4 zh u4 üan2 j iao3 f en1 b ei4 j ing3 ） 』
j ie3 ： b a3 1 2 8 g ai3 x ie3 ch eng2 b i3 l i4 sh i4 sh i4 : 1 2 : 8 。
（ 3 ） z ong3 j ia4 h e2 b en3 sh u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4 m a0 ？ uei4 sh en2 m e0 ？
d ang1 d ian3 C z ai4 d ian3 D iou4 c e4 sh i2 .
j ie3 ： r u2 t u2 ， g uo4 j i2 d ian3 q ie3 ch uei2 zh i2 ü2 j i2 zh ou2 d e0 zh i2 x ian4 j iou4 sh i4 zh i2 x ian4 .
r en2 d e0 n ian2 l ing2 ü3 sh en1 g ao1 b u4 ch eng2 b i3 l i4 。
j ie3 ： iou2 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
k ong1 j ian1 t u2 x ing2 j ing1 g uo4 zh ong1 x in1 t ou2 ing3 h ou4 ， zh i2 x ian4 b ian4 ch eng2 zh i2 x ian4 ， d an4 p ing2 x ing2 x ian4 k e3 n eng2 b ian4 ch eng2 l e0 x iang1 j iao1 d e0 zh i2 x ian4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 3 0 0 2 9 sh i2 ， j iang1 2 9 k an4 ch eng2 zh eng3 sh i2 sh u4 『 3 0 』 j i4 s uan4 。 』
（ 1 ） d i4 t u2 sh ang4 d e0 x ian4 d uan4 b i3 l i4 ch i3 sh i4 ， b a3 t a1 g ai3 ch eng2 sh u4 zh i2 b i3 l i4 ch i3 sh i4 。 （ ）
（ 2 ） sh e4 B E x ， z e2 R 2 x ， s uo3 i3 s uo3 d e0 zh u4 t i3 d e0 d i3 m ian4 j i1 S S sh an4 x ing2 O E F S O E F R 2 R 2 s i n 1 2 0 ( ) x 2 ，
g u4 | P M | | P N | d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ 4 ， 4 ] .
【 t i2 sh i4 】 『 r u2 g uo3 a b ， b ， z e2 a h uo4 a 『 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
（ 2 ） M N ü3 p ing2 m ian4 P A D sh i4 f ou3 p ing2 x ing2 ？ sh i4 zh eng4 m ing2 n i3 d e0 j ie2 l uen4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch u2 f a3 』
iou2 t i2 i4 ， d e2 | c o s ， | ，
q iou2 zh eng4 ： zh i2 x ian4 l 1 ， l 2 ， l 3 z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 .
p q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， q uei4 j ia3 ，
d a2 ： t a1 9 : 1 2 n eng2 d ao4 ch ao1 sh i4 。
z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 b iao3 sh i4 d ao4 üan2 d ian3 d e0 j ü4 l i2 uei4 3 g e4 d an1 uei4 ch ang2 d u4 d e0 sh u4 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 0 d e0 z uo3 b ian1 b iao3 sh i4 『 f u4 』 sh u4 ， iou4 b ian1 b iao3 sh i4 zh eng4 sh u4 . 』
ü3 üan2 zh i3 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 zh i2 x ian4 sh i4 üan2 d e0 q ie4 x ian4 ， sh i4 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 ， k e3 d e2 2 ， 3 ，
g u4 x iao3 l u4 d e0 z uei4 d uan3 ch ang2 d u4 uei4 （ 4 2 ） （ b ai3 m i3 ） .
j ie3 ： n eng2 j i4 s uan4 ch u1 zh e4 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 . g uo4 ch eng2 r u2 x ia4 ：
p ing2 m ian4 A D C p ing2 m ian4 B C D ；
j ie3 ： s uo3 g ei3 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 uei4 ( 2 ) ( s i n ) 0 ， j i2 2 h uo4 s i n ，
【 t i2 sh i4 】 『 q ing3 c an1 k ao3 j iao4 c ai2 j ie3 d a2 。 』
d uan3 g an1 O N k e3 r ao4 O zh uan4 d ong4 . zh ang3 g an1 M N t ong1 g uo4 N ch u4 d e0 j iao3 l ian4 ü3 O N l ian2 j ie1 ，
A . d ang1 B D C D ， A B A C sh i2 ， l i4 iong4 S S S zh eng4 m ing2 A B D A C D ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
5 z u3 zh ong1 iong4 f en1 c eng2 ch ou1 iang4 ch ou1 q ü3 6 m ing2 x üe2 sh eng1 j in4 r u4 d i4 er4 l uen2 m ian4 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 t iao4 d e2 üe4 g ao1 ， m ing2 c i4 üe4 『 q ian2 』 。 』
iou2 t i2 i4 zh i1
iou2 ü2 c i3 zh i2 x ian4 h e2 zh i2 x ian4 4 x k y 1 ch uei2 zh i2 ， z e2 iou3 ( ) ( ) 1 ，
f a1 ia2 d e0 p in2 l ü4 f en1 b ie2 uei4 0 . 9 6 ， 0 . 8 5 7 ， 0 . 8 9 2 ， 0 . 9 1 3 ， 0 . 9 0 3 ， 0 . 9 0 4 ；
C . A h e2 B sh i4 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3
【 t i2 sh i4 】 『 A E z ai4 p ing2 m ian4 A B C n ei4 ， B 1 C 1 z ai4 p ing2 m ian4 『 B B 1 C 1 C 』 h e2 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C 1 n ei4 . 』
b i3 j iao4 y s i n x ü3 y s i n 4 x ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
s uo3 i3 ” sh i4 “ a 1 x b 1 0 ü3 a 2 x b 2 0 j ie3 j i2 x iang1 t ong2 ” d e0 b i4 iao4 t iao2 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
j ie3 ： sh e4 zh i2 x ian4 x y 1 0 r en4 i4 i4 d ian3 P （ x ， y ） z ai4 b ian4 h uan4 T A d e0 z uo4 iong4 x ia4 b ian4 x ing2 d ian3 P （ x ， y ）
g u4 sh i3 iong4 l uo2 j i2 l ian4 j ie1 c i2 d e0 m ing4 t i2 iou3 3 g e4 .
（ 2 ） q iou2 er4 m ian4 j iao3 A P C D d e0 ü2 x ian2 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 k e1 x üe2 j i4 sh u4 f a3 b iao3 sh i4 j iao4 d a4 d e0 sh u4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
j ie3 d e2 x 2 q ie3 x 3 ，
x ia4 m ian4 m ei3 zh ang1 k a3 p ian4 sh ang4 d ou1 iou3 1 g e4 sh u4 z i4 。
j ia3 sh e4 n k （ k 4 ） sh i2 ， g ( k ) ， j i2 iou3 … ，
d a2 an4 ： t e4 ch eng1 m ing4 t i2 ； j ia3 ； x R ， x 2 2 x 5 0 .
sh i2 sh u4 a ， b z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 b iao3 sh i4 d e0 uei4 zh i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 （ ）
j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . i3 zh i1 sh e4 x ian4 ü3 q ü1 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， z e2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ong1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 .
B . f ang1 ch eng2 f （ x ， y ） 0 d e0 q ü1 x ian4 b u4 i2 d ing4 sh i4 C
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
c i3 d ian3 q ü3 z i4 ，
（ 4 ） iou3 i2 g e4 j iao3 ， sh i3 s i n 1 .
d ang1 x 2 x 0 sh i2 ， x 2 b u4 i2 d ing4 ch eng2 l i4 ，
d uei4 ü2 ， iou2 b 2 4 a c 0 k e3 zh i1 er4 c i4 h an2 sh u4 ü3 x zh ou2 m ei2 iou3 j iao1 d ian3 ， g u4 h an2 sh u4 f ( x ) m ei2 iou3 l ing2 d ian3 ， ch ong1 f en4 x ing4 ch eng2 l i4 ； d ang1 h an2 sh u4 f ( x ) m ei2 iou3 l ing2 d ian3 sh i2 ， b 2 4 a c 0 ， b i4 iao4 x ing4 ch eng2 l i4 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
f ang1 an4 i1 g eng4 j ie2 sh eng3 c ai2 l iao4 . l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
（ 1 ） t i3 d uei4 j iao3 x ian4 x iang1 d eng3 d e0 s i4 l eng2 zh u4 sh i4 ch ang2 f ang1 t i3 .
【 t i2 sh i4 】 『 x ian1 j i4 s uan4 k uo4 h ao4 l i3 d e0 『 j ian3 』 f a3 ， z ai4 s uan4 k uo4 h ao4 uai4 d e0 ch eng2 f a3 。 』
（ 2 ） z ai4 üan2 sh ang4 s uo3 iou3 d ian3 （ x ， y ） zh ong1 ， x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 h e2 z uei4 x iao3 zh i2 .
A . （ uei4 c an1 sh u4 ）
D . d uei4 ü2 t ong2 i1 g e4 üan2 ， r u2 g uo3 j ian4 l i4 d e0 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 uei4 zh i4 b u4 t ong2 ， h ua4 ch u1 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 x ing2 zh uang4 j iou4 b u4 t ong2
D . zh i3 iou3 i2 g e4 sh i2 sh u4 g en1
i4 m ian4 zh i2 x ian4 D B 1 ü3 E F s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 9 0 .
d a2 an4 ： ， 5 ， ( ) 5 ， d e0 5 c i4 f ang1 ， .
（ 1 ） q iou2 C h e2 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
g ai1 p ao1 u4 x ian4 d ing3 d ian3 z uo4 b iao1 sh i4 （ ， m ） ，
A x üan3 x iang4 zh ong1 ， 2 k b iao3 sh i4 ou3 sh u4 ， iou3 k e3 n eng2 sh i4 8 d e0 zh eng3 sh u4 b ei4 ， g u4 c uo4 ；
r uo4 a 1 ， b 1 ， a 2 ， b 2 R ， q ie3 d ou1 b u4 uei4 l ing2 q ie3 a 1 x b 1 0 ü3 a 2 x b 2 0 j ie3 j i2 x iang1 t ong2 ， c i3 sh i2 ，
d ian3 P z ai4 i3 A uei4 j i2 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 0 ， 6 0 ） .
r uo4 h an2 sh u4 y a x ( b 1 ) （ a 0 ， q ie3 a 1 ） d e0 t u2 x iang4 b u4 j ing1 g uo4 d i4 er4 x iang4 x ian4 ， z e2 iou3 （ ）
sh i2 j i4 j ü4 l i2 sh i4 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 d e0 1 0 0 0 0 0 b ei4 ， zh e4 f u2 d i4 t u2 d e0 b i3 l i4 ch i3 sh i4 （ ） 。
B 1 E D F sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
d ang1 a sh i2 ， f ( x ) a iou3 3 g e4 j ie3 ， c i3 sh i2 S 2 ；
d uei4 ü2 k ong1 j ian1 d e0 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 ， g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 s i4 g e4 t iao2 j ian4 ， q i2 zh ong1 n eng2 sh i3 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 g ong4 m ian4 d e0 t iao2 j ian4 iou3 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
i3 zh i1 x iang4 l iang4 ， m an3 z u2 | | | | 1 ， | k | | k | （ k 0 ， k R ） .
sh e4 F 1 ， F 2 f en1 b ie2 uei4 t uo3 üan2 C ： 1 （ a b 0 ） d e0 z uo3 、 iou4 j iao1 d ian3 .
【 t i2 sh i4 】 『 l iou4 k e1 b an4 j ing4 uei4 d e0 sh i2 x in1 q iou2 x ing2 q iao3 k e4 l i4 t i3 j i1 『 d eng3 ü2 』 üan2 zh uei1 x ing2 sh i2 x in1 q iao3 k e4 l i4 d e0 t i3 j i1 . 』
s uo3 i3 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 ( m n ) 2 2 2 a m ( m n ) c o s m 2 ( a 2 r 2 ) 0 ，
h e2 z i0 zh ong1 g ong4 zh uang1 iou3 g e4 s e4 d e0 b o1 l i2 q iou2 1 2 g e4 ， q i2 zh ong1 iou3 5 g e4 h ong2 q iou2 ， 4 g e4 h ei1 q iou2 ， 2 g e4 b ai2 q iou2 ， 1 g e4 l ü4 q iou2 ， c ong2 zh ong1 q ü3 ch u1 i2 g e4 q iou2 ， i3 zh i1 q ü3 ch u1 d e0 q iou2 sh i4 h ong2 q iou2 、 h ei1 q iou2 、 b ai2 q iou2 、 l ü4 q iou2 d e0 g ai4 l ü4 f en1 b ie2 uei4 、 、 、 ， q iou2 ：
（ 3 ） ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ang3 i2 d ing4 ， zh ou1 ch ang2 ü3 k uan1 b u4 ch eng2 b i3 l i4 ， g u4 c uo4 u4 。
k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4
q iou2 x ia4 l ie4 g e4 sh i4 d e0 zh i2 .
z uo3 m ian4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 8 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ， iou4 m ian4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 6 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。
d a2 an4 ： l ing2 d ian3 b a1 i1 ； er4 d ian3 s an1 u3 ； 0 . 3 2 ； 1 5 . 2 6 。
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 ： ，
s uo3 i3 ， 2 d e0 d ao4 sh u3 sh i4 ， 2 . 5 d e0 d ao4 sh u3 sh i4 .
s uo3 i3 d ing4 i4 ü4 b u4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ，
sh e4 f ( x ) 5 | x | ， z e2 sh i3 d e0 f ( 2 x 1 ) f ( x ) ch eng2 l i4 d e0 x q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ， g uo4 i4 d ian3 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 i3 zh i1 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 』
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： x 0 ， x 2 2 x ， z e2 m ing4 t i2 p uei4 （ ）
z e2 zh eng4 s an1 l eng2 zh uei1 c e4 m ian4 d e0 x ie2 g ao1 uei4 ，
zh ong1 ü3 j ü4 b u4 n eng2 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 ， g u4 b u2 sh i4 m ing4 t i2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 p an4 d ing4 m ian4 m ian4 p ing2 x ing2 ， zh ao3 d ao4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 b i4 x ü1 『 x iang1 j iao1 』 ， b u4 n eng2 sh i4 p ing2 x ing2 x ian4 . 』
C 3 （ l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， t ong2 uei4 j iao3 x iang1 d eng3 ） ，
（ 1 ） P M l iang3 d ian3 j ian1 d e0 j ü4 l i2 | P M | ；
x ia4 l ie4 g e4 z u3 er4 c i4 g en1 sh i4 zh ong1 ， sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 d e0 sh i4 （ ）
i3 zh i1 m ， a ， b ， a b A ， z e2 zh i2 x ian4 m ü3 A d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 iong4 f u2 h ao4 b iao3 sh i4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 』
j ie3 ： iou2 k e1 x i1 b u4 d eng3 sh i4 k e3 zh i1 ， ( ) 2 ( 1 1 1 ) ( 3 a 1 3 b 1 3 c 1 ) .
t a1 m en0 d e0 h e2 f ( x ) | x 1 | | x a | d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 x 1 d uei4 ch en4 ，
er2 l i4 zh i1 n ian2 d u1 d ong1 u2 ， z ao3 sh i4 ing1 n ian2 l iang3 uei4 sh u4 ；
（ 2 ） “ 2 g e4 d ou1 sh i4 b ai2 q iou2 ” b ao1 h an2 j i3 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 ？
s uo3 i3 ， q i2 zh ong1 zh en1 m ing4 t i2 d e0 x ü4 h ao4 sh i4 .
z ai4 j ian3 q ü4 t u2 zh ong1 in1 ing3 b u4 f en4 ，
s uo3 i3 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 X d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 r u2 x ia4 b iao3 ：
j ie3 ： f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 ，
c ong2 f an3 m ian4 k en3 d ing4 l e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 i4 m ian4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 zh i1 ， x i4 j ün1
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i4 m ian4 zh i2 x ian4 j i2 q i2 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
j ie3 ： zh ong1 g uo2 x iang1 g ang3 d e0 z ong3 m ian4 j i1 sh i4 sh i2 i1 i4 l ing2 s an1 b ai3 uan4 p ing2 f ang1 m i3 ， x ie3 z uo4 1 1 0 3 0 0 0 0 0 0 p ing2 f ang1 m i3 ， g ai3 x ie3 ch eng2 iong4 “ i4 p ing2 f ang1 m i3 ” z uo4 d an1 uei4 d e0 sh u4 sh i4 1 1 . 0 3 i4 p ing2 f ang1 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 sh u4 uen4 t i2 zh i1 k ai1 f ang4 x ing2 l iang3 d uan1 d ou1 b u4 zh ong3 ( ao4 sh u4 ) 』
iou4 A A 1 p ing2 m ian4 A B C ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
（ 1 ） q iou2 ch u1 b ， c d e0 zh i2 ， b ing4 x ie3 ch u1 c i3 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 ；
C . g e4 c e4 m ian4 d ou1 sh i4 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 s i4 l eng2 zh u4 i2 d ing4 sh i4 zh eng4 f ang1 t i3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i2 z uo4 b iao1 x i4 』
c i3 üan2 d e0 üan2 x in1 uei4 （ 1 ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 1 ， q ie3 üan2 C g uo4 d ian3 A （ 2 ， 0 ） .
i3 zh i1 üan2 C ： x 2 y 2 2 x 4 y 0 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 3 x a y 1 1 0 d uei4 ch en4 ， z e2 üan2 C zh ong1 i3 （ ， ） uei4 zh ong1 d ian3 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 （ ）
d a2 an4 ： 3 ， 1 0 sh i2 ， 2 4 sh i2 ， 0 sh i2 。
d e2 d ao4 4 x 2 1 6 s i n 2 1 6 ， ü2 sh i4 4 x 2 1 6 1 6 s i n 2 1 6 c o s 2 ，
D ， ( x 2 y ) ( x y 2 ) b u4 f u2 h e2 l iang3 sh u4 zh i1 h e2 ü3 l iang3 sh u4 zh i1 ch a4 d e0 j i1 d e0 x ing2 sh i4 ， g u4 c uo4 u4 .
iou2 t i2 i4 ， d e2 m m 2 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
g ei3 ch u1 m ing4 t i2 ： f ang1 ch eng2 x 2 a x 1 0 m ei2 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ， z e2 sh i3 g ai1 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 a d e0 i2 g e4 zh i2 k e3 i3 sh i4 （ ）
j ie3 ： iou2 t i2 i4 h an2 sh u4 f ( x ) ， g ( x ) x 3 ，
d uei4 D ， d uei4 ü2 t ong2 i1 g e4 üan2 b u4 l uen4 z ai4 sh en2 m e0 d i4 f ang1 j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， h ua4 ch u1 d e0 t u2 x ing2 d a4 x iao3 h e2 x ing2 zh uang4 d ou1 sh i4 i1 iang4 d e0 ， zh i3 iou3 f ang1 ch eng2 d e0 x ing2 sh i4 j i2 t u2 x ing2 z ai4 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 d e0 uei4 zh i4 k e3 n eng2 b u4 t ong2 ， g u4 D c uo4 u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f ei1 m ing4 t i2 』
d ian3 P z ai4 p ing2 m ian4 A B D ü3 p ing2 m ian4 C B D d e0 j iao1 x ian4 sh ang4 ， j i2 P B D ，
s uo3 q iou2 d e0 g ai4 l ü4 P .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 x üan2 zh uan3 b ian4 h uan4 z uo4 t u2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i4 b an1 x ing2 sh i4 d e0 k e1 x i1 b u4 d eng3 sh i4 』
d a2 an4 ： ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 .
iou2 ， x iao1 q ü4 t ， k e3 d e2 x y 1 ， j i2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 b iao3 sh i4 zh i2 x ian4 .
zh i2 j ie1 x ie3 ch u1 d e2 sh u4 。
sh e4 p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ， r sh i4 q d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ， s sh i4 r d e0 ch ong1 iao4 t iao2 j ian4 ， z e2 s sh i4 p d e0 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 7 c m h ua4 uei4 d uo1 sh ao3 m ， sh i4 d i1 j i2 d an1 uei4 h ua4 g ao1 j i2 d an1 uei4 ， x ü1 『 ch u2 i3 』 j in4 l ü4 。 』
j ie3 ： A E B D ü2 E ， C F B D ü2 F ，
D . l iou4 l eng2 zh uei1
d a2 ： zh i4 sh ao3 x ü1 iao4 t ie3 p i2 3 2 . 4 p ing2 f ang1 m i3 。
i3 zh i1 x ， y m an3 z u2 x 2 ( y 1 ) 2 1 ， q iou2 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
O sh i4 h ua2 c ao2 A B d e0 zh ong1 d ian3 ，
r u2 t u2 ， z ai4 k ong1 j ian1 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， E ， H f en1 b ie2 sh i4 B C ， A B d e0 zh ong1 d ian3 ， F z ai4 C D sh ang4 ， G z ai4 A D sh ang4 ， q ie3 iou3 D F : F C D G : G A 2 : 3 ， q iou2 zh eng4 ： E F ， G H ， B D j iao1 ü2 i4 d ian3 .
ü2 sh i4 k e3 d e2 z uei4 zh ang3 l eng2 zh ang3 uei4 2 .
l ing4 f ( ) 0 ， d e2 1 h uo4 2 1 ，
h ua4 ü3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y d uei4 ing4 z uo4 b iao1 x i4 x O y sh i2 ， x O y b i4 x ü1 sh i4 4 5 ；
sh e4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 D A ü3 P E s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 ， z e2 c o s | | | | ，
q iou2 zh eng4 ： sh uang1 q ü1 x ian4 1 （ a 0 ， b 0 ） sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 d ao4 l iang3 j ian4 j in4 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d e0 ch eng2 j i1 sh i4 i2 g e4 d ing4 zh i2 .
b ai2 t u4 ： 3 6 ( 1 ) 2 0 （ zh i3 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 d e0 j i1 ou3 x ing4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ，
x ia4 l ie4 j ü4 z i0 sh i4 m ing4 t i2 m a0 ？ r uo4 sh i4 ， b a3 t a1 g ai3 x ie3 ch eng2 “ r u2 g uo3 … … n a4 m e0 … … ” d e0 x ing2 sh i4 ， b ing4 p an4 d uan4 m ing4 t i2 d e0 zh en1 j ia3 .
iou2 x ian4 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 x ing4 zh i4 d e2 A B C D ， A B E F ，
r an2 h ou4 m o1 q iou2 . d ang1 s uo3 zh i3 d ing4 d e0 b o1 l i2 q iou2 b u4 ch u1 x ian4 sh i2 ，
z e2 g ai1 h an2 sh u4 t u2 x iang4 uei4 5 g e4 d ian3 ， zh e4 x ie1 d ian3 z ai4 zh i2 x ian4 y 1 x sh ang4 .
B . i3 x iang1 t ong2 s u4 d u4 x ing2 sh i3 x iang1 t ong2 l u4 ch eng2 ， s an1 l iang4 ch e1 zh ong1 ， j ia3 ch e1 x iao1 h ao4 q i4 iou2 z uei4 d uo1
B . ou3 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 y zh ou2 d uei4 ch en4
j ie3 ： in1 uei4 m ian4 j i1 x iang1 d eng3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 b u4 i2 d ing4 q üan2 d eng3 ， in1 c i3 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
C . u2 sh i2 sh u4 g en1
j ie3 ： i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 i4 b an1 sh i4 uei4 a x 2 b x c 0 （ a 0 ） .
（ 1 ） q iou2 n ian2 j iang4 sh uei3 l iang4 z ai4 [ 1 0 0 ， 2 0 0 ） （ m m ） f an4 uei2 n ei4 d e0 g ai4 l ü4 ；
l i3 l ao3 sh i1 b en3 üe4 h uo4 d e2 g ao3 f ei4 1 5 0 0 üan2 ， ch ao1 g uo4 8 0 0 üan2 b u4 f en4 iao4 an4 zh ao4 2 0 d e0 sh uei4 l ü4 j iao1 n a4 g e4 r en2 s uo3 d e0 sh uei4 ， l i3 l ao3 sh i1 b en3 üe4 sh i2 j i4 h uo4 d e2 g ao3 f ei4 d uo1 sh ao3 üan2 ？
s uo3 i3 g ong3 g ao1 uei4 2 r 2 ， zh ou1 q i1 uei4 2 .
i3 zh i1 zh i2 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 s i n ( ) ， z e2 j i2 d ian3 d ao4 g ai1 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 sh i4 .
j ie3 ： g en1 j ü4 g ou1 g u3 d ing4 l i3 d e0 n i4 d ing4 l i3 k e3 d e2 ：
j ie3 ： j iang1 zh an3 k ai1 t u2 h uan2 üan2 uei4 zh eng4 f ang1 t i3 ， d ang1 d i4 l iou4 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 z ai4 ， ， d e0 uei4 zh i4 sh i4 ， m an3 z u2 t i2 i4 .
l iang3 üan2 x iang1 j iao1 .
s uo3 i3 d ian3 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 2 ） ，
g en1 j ü4 j i2 z uo4 b iao1 d i4 d ing4 i4 k e3 d e2 | A O | | B O | 3 ， A O B 6 0 ， j i2 A O B uei4 d eng3 b ian1 s an1 j iao3 x ing2 ，
j ie3 ： ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ou1 ch ang2 2 （ zh ang3 k uan1 ） ，
s uo3 i3 d i4 i1 c eng2 b iao1 zh u4 sh u4 z i4 uei4 x 0 x 1 3 x 2 3 x 3 x 4 .
x ia4 l ie4 t u2 x iang4 k e3 i3 b iao3 sh i4 i3 M { x | 0 x 1 } uei4 d ing4 i4 ü4 ， i3 N { y | 0 y 1 } uei4 zh i2 ü4 d e0 h an2 sh u4 d e0 sh i4 （ ）
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ， m ， n ü3 p ing2 m ian4 ， g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 ： r uo4 l ü3 b u4 x iang1 j iao1 ， z e2 l ü3 b u4 ch uei2 zh i2 ； r uo4 l m ， m ， n ， z e2 l m ； r uo4 m n ， n ， z e2 m . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 uei4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 d e0 i4 i4 h e2 j i1 b en3 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： f ( x ) x 2 uei4 ou3 h an2 sh u4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 iou3 g uan1 g ai4 n ian4 』
d a2 ： 5 x iao3 sh i2 c ai2 n eng2 h uei2 d ao4 sh ang4 iou2 。
zh eng4 m ing2 b u4 d eng3 sh i4 （ a 2 ） s uo3 iong4 d e0 z uei4 h e2 sh i4 d e0 f ang1 f a3 sh i4 .
d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 ( x ) 2 y 2 .
d a2 an4 ： : 1 2 : 8 （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
P ( x ) d e0 t u2 x iang4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
j ie3 ： iou2 t i2 ， l ian2 l i4 f ang1 ch eng2 d e2 ， j ie3 d e2 ，
r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) sh i4 h an2 sh u4 y （ 0 x 1 ） d e0 f an3 h an2 sh u4 ， z e2 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 uei4 （ ）
j ie3 ： g en1 j ü4 zh i3 sh u4 h an2 sh u4 zh i2 ü4 uei4 （ 0 ， ） ， d e2 m ing4 t i2 p sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ，
d ang1 r ong2 j i1 uei4 2 l i4 f ang1 m i3 sh i2 ，
i3 zh i1 zh i2 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 s i n ( ) ， q iou2 j i2 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 .
iou2 üan2 m ing4 t i2 ü3 q i2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 t ong2 zh en1 j ia3 ， k e3 zh i1 q i2 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 q i2 f ou3 m ing4 t i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
j i2 h an2 sh u4 d e0 zh i2 ü4 uei4 { y | 2 y 1 1 } .
g u4 g ong4 iou3 i3 sh ang4 1 0 g e4 j i1 b en3 sh i4 j ian4 .
d uei4 ü2 D ， ( 2 ) 2 4 0 ， z e2 f ang1 ch eng2 iou3 l iang3 g e4 b u4 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1 .
q i2 zh ong1 s i4 b ian1 x ing2 A B E A h e2 s i4 b ian1 x ing2 D C F D sh i4 d i3 m ian4 ， A D ， E F ， B C ， A D uei4 c e4 l eng2 .
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 j i2 z uo4 b iao1 ü3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 f ang1 f a3 ， A （ 2 ， ） 、 B （ 2 ， ） 、 C （ 2 ， ） ，
s uo3 i3 x 2 y 2 4 x ， k e3 h ua4 uei4 ( x 2 ) 2 y 2 4 ，
z uo4 R G | | B 1 D 1 j iao1 C 1 D 1 ü2 d ian3 G ， l ian2 j ie2 Q P b ing4 ian2 ch ang2 ü3 C B d e0 ian2 ch ang2 x ian4 ü2 d ian3 M ，
zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 （ R ） ， 2 s i n ( ) j i2 2 ( s i n c o s ) ，
（ 1 ） üan2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h e2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ；
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 8 s i n sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 （ R ） j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 .
r uo4 0 ， z e2 2 c o s ， j ie3 d e2 ，
B . d ang1 A D B A D C sh i2 ， b u4 n eng2 zh eng4 m ing2 A B D A C D ， g u4 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 d u4 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
d a2 ： i3 r ong2 q i4 zh ong1 d e0 sh uei3 g ao1 4 l i2 m i3 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ou1 t i4 üan2 l i3 ( ao4 sh u4 ) 』
x ia4 l ie4 s i4 g e4 m ing4 t i2 zh ong1 ， zh en1 m ing4 t i2 sh i4 （ ）
d ang1 x 4 sh i2 ， üan2 sh i4 ( 4 ) 2 3 ( 4 ) 6 1 6 1 2 6 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x 3 ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 [ a ， a 2 ] ， j i2 a x a 2 ，
ch eng2 k e4 d ao4 d a2 q i4 ch e1 zh an4 d e0 r en4 i1 sh i2 k e4 d ou1 sh i4 d eng3 k e3 n eng2 d e0 ，
s uo3 i3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
D . iou2 ü2 c d ， z e2 c d ， iou4 a b ， z e2 a c b d ， g u4 zh eng4 q üe4 .
z ai4 j ü3 x ing2 A B C D zh ong1 ， E sh i4 B C b ian1 d e0 zh ong1 d ian3 ， d ian3 F z ai4 b ian1 C D sh ang4
j ie3 ： （ 1 ） x iao3 l u4 d e0 ch ang2 d u4 l O A O B A B （ 4 0 0 A B ） m i3 .
iou2 zh i1 ， d 1 ( x ) 2 4 ， g u4 d 1 ( x ) d 2 ( y ) 4 5 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x 3 ， y 1 sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 、 f an3 b i3 l i4 d e0 ing4 iong4 』
C . ， c uo4 u4 ， j ie2 g uo3 uei4 ；
y c o s x z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ，
g en1 j ü4 “ p ing2 i2 ün4 d ong4 b u4 g ai3 b ian4 t u2 x ing2 d e0 x ing2 zh uang4 、 d a4 x iao3 ， p ing2 i2 q ian2 h ou4 d e0 l iang3 g e4 t u2 x ing2 uan2 q üan2 x iang1 t ong2 ” k e3 d e2 ： A B C ü3 A B C d e0 d a4 x iao3 、 x ing2 zh uang4 uan2 q üan2 x iang1 t ong2 .
s uo3 i3 j ia3 sh u4 sh i4 ： 1 ( 1 ) ，
（ 2 ） sh e4 P d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 t ， t ） .
p ing2 m ian4 sh i4 k e3 i3 u2 x ian4 ian2 zh an3 d e0 ， in1 c i3 sh ou3 j i1 p ing2 b u2 sh i4 p ing2 m ian4 ；
d a2 ： b en3 ch ang3 g uan1 zh ong4 z uei4 sh ao3 iou3 2 7 0 r en2 。
i3 zh i1 m i4 h an2 sh u4 y x （ m Z ） d e0 t u2 x iang4 ü3 x zh ou2 、 y zh ou2 d ou1 u2 g ong1 g ong4 d ian3 ， q ie3 g uan1 ü2 y zh ou2 d uei4 ch en4 ， z e2 m d e0 zh i2 uei4 ， m i4 h an2 sh u4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 .
M N A B （ ch uei2 zh i2 d e0 d ing4 i4 ） .
s uo3 i3 s uo3 q iou2 zh i2 x ian4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 0 2 ( x 1 ) ， j i2 2 x y 2 0 .
D . b u4 c uen2 z ai4
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 （ ü3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y q ü3 x iang1 t ong2 d e0 ch ang2 d u4 d an1 uei4 ， q ie3 i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， i3 x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 ） zh ong1 ， üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 2 s i n .
“ r uo4 a b ， z e2 a 2 b 2 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 ；
j ie3 ： sh e4 sh i2 j i4 m ei3 t ian1 zh uang1 p ei4 d ian4 d ong4 z i4 x ing2 ch e1 x l iang4 。
d ian3 A d ao4 üan2 x in1 E d e0 j ü4 l i2 d 4 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 h an2 sh u4 y A s i n （ x ） d e0 t u2 x iang4 b ian4 h uan4 』
j ie3 ： g ai1 t u2 x ing2 b ei4 p ing2 j ün1 f en1 ch eng2 l iou4 b u4 f en4 ， in1 c i3 m ei3 b u4 f en4 s uo3 zh an4 d e0 üan2 x in1 j iao3 uei4 3 6 0 6 6 0 ，
d uei4 ü2 ， er4 m ian4 j iao3 d e0 p ing2 m ian4 j iao3 b u2 sh i4 z uei4 x iao3 j iao3 ， c uo4 u4 ；
f ( x ) g ( x ) d e0 zh i2 ü4 uei4 （ 3 ， 1 ] .
j i3 zh i1 a b 0 ， q ie3 a 4 b 1 ， z e2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
3 . m ei2 iou3 g uei1 d ing4 zh eng4 f ang1 x iang4 ， z e2 2 0 m i3 j iou4 b u4 i2 d ing4 b iao3 sh i4 x iang4 d ong1 z ou3 2 0 m i3 . üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
（ 2 ） d ong4 m an4 k a3 p ian4 m ei3 t ao4 d e0 j ia4 g e2 uei4 （ ） üan2 ， m ai3 5 t ao4 x ü1 iao4 （ ） üan2 。
iou3 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， d i4 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 h e2 zh e4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 d ou1 x iang1 j iao1 .
zh ong1 r uo4 ， z e2 a b 2 ， g u4 a b ， g u4 zh eng4 q üe4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 l iang4 j i1 d e0 z uo4 b iao1 b iao3 sh i4 』
h ua1 t an2 m ian4 j i1 ： 3 0 1 0 3 0 0 （ p ing2 f ang1 m i3 ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 』
d uei4 ü2 ， iong4 r en4 i4 d e0 p ing2 m ian4 q ü4 j ie2 q iou2 ， d e2 d ao4 d e0 j ie2 m ian4 j ün1 uei4 üan2 ， k e3 d e2 f u2 h e2 t i2 i4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 、 üan2 zh uei1 、 üan2 t ai2 h e2 q iou2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
D . x ian1 x iang4 iou4 p ing2 i2 2 g e4 d an1 uei4 ， z ai4 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 3 g e4 d an1 uei4
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C ： ( uei4 c an1 sh u4 ) . i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 ， j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 . q iou2 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 z uei4 d a4 j ü4 l i2 .
üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： 2 6 c o s .
d a2 ： b u4 x ü1 iao4 d uo1 ün4 i1 c i4 。
ü2 sh i4 k e3 d e2 f ( f ( 3 ) ) 0 .
3 3 9 （ p ing2 f ang1 m i3 ） ，
j i2 s uo3 q iou2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 1 ， ） .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t uo3 üan2 sh ang4 d ian3 A d ao4 F 1 ， F 2 d e0 j ü4 l i2 zh i1 h e2 sh i4 4 ，
s uo3 i3 sh i2 sh u4 k d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 ( 0 ， ] .
s uo3 i3 G B H 4 5 ， j i2 er4 m ian4 j iao3 E F d e0 d a4 x iao3 uei4 4 5 .
iou2 t i2 i4 ， d e2 A B C C D E ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 r en4 sh i2 』
q ü1 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t sh i4 c an1 sh u4 ） ， z e2 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
x ing1 m an3 z u2 ： 1 x 3 ， x Z .
s uo3 i3 a 0 sh i4 h an2 sh u4 y a x 2 x 1 z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 d e0 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 sh eng1 ch eng2 g uo4 ch eng2 j i2 q i2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
i3 zh i1 f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ， q ie3 d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) x | x 2 | ， q iou2 d ang1 x 0 sh i2 ， f ( x ) .
s uo3 i3 j ü3 zh en4 A d e0 l ing4 i2 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 uei4 1 .
g u4 üan2 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 y 0 ，
sh e4 p ing2 m ian4 A P Q d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x ， y ， z ） ，
b a3 3 6 、 2 7 、 1 1 、 0 、 4 5 、 3 9 、 2 、 9 1 、 8 3 、 9 、 3 2 、 7 4 zh e4 x ie1 sh u4 t ian2 r u4 zh i3 d ing4 d e0 k uang1 l i3 。
（ 1 ） q i4 ch e1 i1 c i4 k e3 i3 j iang1 n a3 l iang3 x iang1 h uo4 u4 ün4 z ou3 ？
j ie3 ： iou2 s an1 sh i4 t u2 zh i1 j i3 h e2 t i3 sh i4 zh i2 s i4 l eng2 zh u4 ， iou2 f u3 sh i4 t u2 zh i1 d i4 m an4 sh i4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 ： sh ang4 d i3 、 x ia4 d i3 f en1 b ie2 uei4 1 、 3 ， t i1 x ing2 d e0 g ao1 uei4 1 ， z e2 iao1 zh ang3 uei4 ， q ie3 zh i2 s i4 l eng2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 2 .
m ou3 x ing4 q ü4 x iao3 z u3 iou3 2 m ing2 n an2 sh eng1 h e2 3 m ing2 n ü3 sh eng1 ， x ian4 c ong2 zh ong1 r en4 x üan3 2 m ing2 x üe2 sh eng1 q ü4 c an1 j ia1 h uo2 d ong4 ， z e2 q ia4 h ao3 x üan3 zh ong1 2 m ing2 n ü3 sh eng1 d e0 g ai4 l ü4 uei4 .
i2 g e4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 b iao3 m ian4 zh an3 k ai1 t u2 d e0 u3 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 r u2 t u2 in1 ing3 b u4 f en4 ， d i4 l iou4 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 z ai4 b ian1 h ao4 1 5 d e0 sh i4 d ang4 uei4 j ü1 ， z e2 s uo3 iou3 k e3 n eng2 d e0 uei4 zh i4 b ian1 h ao4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh ang3 、 zh eng4 f ang1 t i3 t i3 j i1 d e0 j i4 s uan4 』
i3 zh i1 sh u4 l ie4 { a n } m an3 z u2 d uei4 r en4 i4 d e0 n N * ， d ou1 iou3 a n ( q n a n 1 ) 2 q n a n a n 1 a n 1 ( 1 q n a n 1 ) ， q ie3 a n 1 a n 0 ， q i2 zh ong1 a 1 2 ， q 0 . j i4 T n a 1 q a 2 q 2 a 3 … q n 1 a n .
【 t i2 sh i4 】 『 i2 g e4 üan2 zh u4 x üe1 ch eng2 d e0 z uei4 d a4 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 sh i4 g ai1 üan2 zh u4 t i3 j i1 d e0 『 』 。 』
j ie3 ： 1 ， ， 0 . 1 0 1 0 0 1 … sh i4 u2 l i3 sh u4 ， q i2 ü2 d e0 sh i4 iou3 l i3 sh u4
B 、 f u2 h e2 S A S ， n eng2 p an4 d ing4 A B C A B C ；
D . “ d a4 ” d e0 b iao1 zh uen3 b u4 q üe4 d ing4 ， u2 f a3 p an4 d uan4 zh en1 j ia3 ， g u4 g ai1 x üan3 x iang4 b u4 m an3 z u2 t i2 i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 j iao3 h e2 ü3 ch a4 d e0 zh eng4 x ian2 g ong1 sh i4 』
l ü3 ， s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 x iang1 d eng3 .
s uo3 i3 c o s b iao3 sh i4 l iang3 t iao2 sh e4 x ian4 .
j ie3 ： in1 uei4 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 2 4 ， s uo3 i3 l eng2 zh ang3 uei4 2 ， s uo3 i3 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 n ei4 q ie4 q iou2 d e0 zh i2 j ing4 uei4 2 ，
i2 g e4 sh u4 ch u2 i3 5 d eng3 ü2 0 ， zh e4 g e4 sh u4 sh i4 0 。
【 t i2 sh i4 】 『 l ing4 d ao3 h an2 sh u4 f ( x ) uei4 0 q iou2 j ie3 x ， k e3 d e2 z uei4 zh i2 d ian3 uei4 x 『 2 』 . 』
“ q üan2 d eng3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 x iang1 d eng3 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 ；
i3 zh i1 A （ 4 s i n ， 6 c o s ） ， B （ 4 c o s ， 6 s i n ） ， d ang1 uei4 i1 q ie4 sh i2 sh u4 sh i2 ， x ian4 d uan4 A B d e0 zh ong1 d ian3 g uei3 j i4 uei4 （ ）
iou4 iou2 g ai1 üan2 g uo4 d ian3 （ 1 ， 0 ） ， d e2 q i2 b an4 j ing4 uei4 1 ，
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： m ， n uei4 zh i2 x ian4 ， uei4 p ing2 m ian4 ， r uo4 m n ， n ， z e2 m ； m ing4 t i2 q ： r uo4 a b ， z e2 a c b c ， z e2 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
d uei4 ü2 ， D D 1 B D D ， z e2 p ing2 m ian4 B 1 D 1 D ü3 p ing2 m ian4 B D A 1 x iang1 j iao1 ， g u4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
（ 1 ） g uo4 d ian3 A （ 2 ， 0 ） p ing2 x ing2 ü2 y zh ou2 d e0 zh i2 x ian4 ü3 f ang1 ch eng2 | x | 2 zh i1 j ian1 d e0 g uan1 x i4 ；
j ie3 ： zh i2 x ian4 a b ， q ie3 a p ing2 m ian4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
d ang1 y 0 sh i2 ， t ， er2 x 2 5 t ， j i2 x ， d e2 ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 uei4 （ ， 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： zh ou1 ch ang2 x iang1 d eng3 d e0 ch ang2 f ang1 x ing2 h e2 zh eng4 f ang1 x ing2 ， zh eng4 f ang1 x ing2 m ian4 j i1 z uei4 d a4 ，
k e3 h ua4 uei4 2 1 3 x 2 3 ，
j ie3 ： üan2 h an2 sh u4 k e3 h ua4 uei4 f ( x ) | x 3 | | x 3 | ， q i2 t u2 x iang4 uei4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 c e4 l iang2 b u4 g uei1 z e2 u4 t i3 d e0 t i3 j i1 』
【 t i2 sh i4 】 『 P d ao4 A 、 B 、 C d e0 j ü4 l i2 x iang1 d eng3 sh uo1 m ing2 P z ai4 d i3 m ian4 d e0 t ou2 ing3 d ian3 d ao4 zh e4 s an1 d ian3 d e0 j ü4 l i2 『 x iang1 d eng3 』 . 』
d a2 ： b u4 n eng2 m ai3 x iao3 x iong2 。
7 8 . 5 ( 1 5 3 0 2 5 ) 1 5 7 0 （ l i4 f ang1 l i2 m i3 ）
d ang1 a uei4 f u4 sh u4 sh i2 ， a 3 ( a ) 3 ， s uo3 i3 B c uo4 u4 ；
iou2 h an2 sh u4 f ( x ) ( 5 2 a ) x sh i4 j ian3 h an2 sh u4 k e3 d e2 5 2 a 1 ， z e2 a 2 .
m ou3 g ong1 g ong4 q i4 ch e1 zh an4 m ei3 g e2 5 m i n iou3 i1 l iang4 q i4 ch e1 t ong1 g uo4 ， ch eng2 k e4 d ao4 d a2 q i4 ch e1 zh an4 d e0 r en4 i1 sh i2 k e4 d ou1 sh i4 d eng3 k e3 n eng2 d e0 ， ch eng2 k e4 h ou4 ch e1 sh i2 j ian1 b u4 ch ao1 g uo4 3 m i n d e0 g ai4 l ü4 sh i4 .
g uan1 ü2 j i2 zh ou2 d uei4 ch en4 h ou4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 .
d ang1 m 2 sh i2 ， m 2 2 m 3 3 ， z e2 y x 3 ， q ie3 iou3 x 0 ，
（ 3 ） sh i4 q üan2 ch eng1 m ing4 t i2 ，
（ 2 ） r uo4 A B 3 ， B C 4 ， d ang1 2 sh i2 ， q iou2 D F d e0 zh ang3
p ao1 u4 x ian4 k ai1 k ou3 x iang4 x ia4 ，
j ie3 x i1 ： j iang1 zh i2 x ian4 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x ia4 d e0 f ang1 ch eng2 k e3 d e2 c o s 2 s i n 1 j i2 uei4 x 2 y 1 ，
iou4 p ing2 m ian4 A 1 C 1 D d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ 3 ， 0 ， 1 ） ，
（ 2 ） in1 uei4 f ( x ) | x 1 | | x a | | ( x 1 ) ( x a ) | | a 1 | . （ d ang1 x 1 sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ）
s uo3 i3 h uang2 h ua1 b i3 h ong2 h ua1 sh ao3 。
h ( x ) zh ong1 h an2 x m x iang4 d e0 x i4 sh u4 ， j i2 sh i4 d eng3 sh i4 z uo3 b ian1 h an2 x m 2 x iang4 d e0 x i4 sh u4 ，
g uo4 d ian3 P c uen2 z ai4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 l ， m d ou1 x iang1 j iao1 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 b i3 zh i2 h e2 h ua4 j ian3 b i3 』
h an2 sh u4 f ( 2 x 1 ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ 1 ， ） .
j iang1 d ian3 （ ， 0 ） d ai4 r u4 k e3 d e2 ： s i n ( ) 0 ，
s an1 l eng2 zh uei1 S A B C uai4 j ie1 q iou2 d e0 b an4 j ing4 uei4 ，
s ai4 d ao4 d e0 q ian2 i1 b u4 f en4 uei4 q ü1 x ian4 d uan4 F B C ，
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 k e3 d e2 e ，
s uo3 i3 d ang1 k 2 k 1 1 sh i2 ， d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
（ 1 ） q iou2 g uan1 ü2 k d e0 j ie3 x i1 sh i4 f ( k ) ；
l eng2 t ai2 b u4 j ü4 b ei4 d e0 x ing4 zh i4 sh i4 （ ）
m ing4 t i2 “ g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 a x 2 2 x 1 0 iou3 l iang3 g e4 b u4 d eng3 sh i2 sh u4 j ie3 ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 .
ün4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 f en1 p ei4 l ü4 d e0 sh i4 ：
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 er4 j ie1 j ü3 zh en4 M [ ] ，
iou2 y 0 ， d e2 x 2 h uo4 .
（ 1 ） q iou2 zh i2 x ian4 A B ü3 C P s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 ü2 x ian2 zh i2 ；
（ 2 ） iou2 t i2 i4 d e2 X B ( 5 ， ) ，
j iang1 （ 3 ， 0 ） d ai4 r u4 y x a zh ong1 k e3 d e2 ： 0 3 a ，
s uo3 i3 g uo4 d ian3 P d e0 q ie4 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 3 0 .
j ie3 ： zh ong1 ， 2 1 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， 1 3 uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， z e2 2 1 h uo4 1 3 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ；
f ( x ) sh i4 （ ， ） sh ang4 d e0 j i1 h an2 sh u4 ，
p ing2 m ian4 A B D p ing2 m ian4 A D C ；
b u4 f ang2 q ü3 z 1 1 ， z e2 x 2 2 2 ， y 1 2 ，
j i2 t a1 m en0 s uo3 z ou3 d e0 l u4 ch eng2 b i3 sh i4 4 : 3 。
zh i2 j ie1 x ie3 ch u1 d e2 sh u4 。
d ang1 n 1 sh i2 ， iou2 sh ang4 k e3 zh i1 d eng3 sh i4 ch eng2 l i4 ；
t d e0 j i3 h e2 i4 i4 uei4 d e0 sh u4 l iang4 ，
s uo3 i3 ü3 zh i2 x ian4 E F p ing2 x ing2 d e0 m ian4 iou3 A 1 A B B 1 ， B 1 B C C 1 ， C 1 C D D 1 ， D 1 D A A 1 ， g ong4 4 g e4 .
h an2 sh u4 h ua4 uei4 y t ( t 0 ) ，
g u4 zh e4 g e4 g uo4 ch eng2 iao4 j ing1 g uo4 2 x iao3 sh i2 .
i3 zh i1 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 l eng2 zh ang3 uei4 1 ， d ian3 P sh i4 m ian4 A A 1 D 1 D d e0 zh ong1 x in1 ， d ian3 Q sh i4 m ian4 A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 B 1 D 1 sh ang4 i4 d ian3 ， q ie3 P Q p ing2 m ian4 A A 1 B 1 B ， z e2 x ian4 d uan4 P Q d e0 zh ang3 uei4 .
（ 3 ） m ou3 m ei2 k uang4 b ei4 g uan1 b i4 ，
s uo3 i3 “ x 2 ” sh i4 “ x 1 ” d e0 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 ing4 iong4 』
i3 zh i1 l eng2 zh ang3 uei4 1 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 f u3 sh i4 t u2 sh i4 i2 g e4 m ian4 j i1 uei4 1 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， z e2 g ai1 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 d e0 m ian4 j i1 k e3 n eng2 d eng3 ü2 （ ）
zh e4 ü3 t i2 m u4 zh ong1 g ei3 d ing4 d e0 A P B A P C m ao2 d uen4 ，
j ie3 ： p ao1 u4 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 t i3 、 zh eng4 f ang1 t i3 t i3 j i1 d e0 j i4 s uan4 』
r u2 g uo3 p ing2 m ian4 ， n a4 m e0 p ing2 m ian4 n ei4 i2 d ing4 c uen2 z ai4 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ü2 p ing2 m ian4 ；
j iang1 x c o s ， y s i n d ai4 r u4 sh ang4 sh i4 ， d e2
d ian3 P 、 Q 、 R 、 M 、 N d uei4 ing4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x ia4 d e0 d ian3 uei4 （ 1 ， ） ， （ 1 ， ） ， （ 1 ， ） ， （ 1 ， ） ， （ 1 ， ） ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 ü3 h an2 sh u4 h ( x ) x 2 d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 d ian3 A （ 0 ， 1 ） d uei4 ch en4 .
j i2 d ang1 sh i2 ， d ian3 P z ai4 d i4 i1 、 s an1 x iang4 x ian4 d e0 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 sh ang4 .
a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 7 ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t e4 sh u1 j iao3 d e0 s an1 j iao3 h an2 sh u4 zh i2 』
iou4 M N p ing2 m ian4 M N Q ，
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 d i3 m ian4 j i1 g ao1 『 』 ， b en3 t i2 zh ong1 üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 j i1 sh i4 1 2 . 5 d m 2 ， g ao1 sh i4 6 d m 。 』
z ai4 l i3 t ian2 sh ang4 “ ” “ ” h uo4 “ ” 。
r en2 d e0 n ian2 l ing2 h e2 t a1 （ t a1 ） d e0 t i3 zh ong4 （ ） b i3 l i4 。
zh e4 g e4 zh eng4 s an1 l eng2 zh uei1 d e0 b iao3 m ian4 j i1 S d i3 m ian4 S c e4 m ian4 2 3 .
j iang1 x ia4 m ian4 f ang1 g e2 r en4 i4 t u2 sh ang4 h ong2 、 h uang2 、 b ai2 s an1 zh ong3 ian2 s e4 zh ong1 d e0 i1 zh ong3 ， u2 l uen4 z en3 iang4 t u2 zh i4 sh ao3 iou3 l iang3 l ie4 d e0 ian2 s e4 sh i4 x iang1 t ong2 d e0 。 sh i4 i1 sh i4 ， b ing4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 。
s i n A s i n B s i n C d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 .
zh i2 x ian4 c o s 2 s i n 1 b u4 j ing1 g uo4 （ ）
（ 1 ） iong4 x （ q ian1 k e4 ） b iao3 sh i4 g ai1 l iang2 sh i2 d ian4 j ing1 x iao1 x iao3 m ai4 d e0 n ian2 l i4 r uen4 y （ üan2 ） ；
z e2 p ing2 m ian4 P C D d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 （ 0 ， 1 ， 1 ） ，
m ei3 i2 g e4 x iang1 z i0 zh ong1 zh i3 iou3 i2 g e4 h ong2 q iou2 ，
s uo3 i3 z ai4 s i n ( ) zh ong1 l ing4 0 ， d e2 1 ，
j ie3 ： d ian3 C 1 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ， ） .
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， zh i3 iou3 zh eng4 q üe4 .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， i3 zh i1 A B C F C D 1 3 0 ， B C D 8 0 ， D 5 0 ， sh i4 zh eng4 m ing2 ： A B E D .
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 3 ， q ü3 d ao4 z uei4 d a4 zh i2 sh i2 x d e0 j i2 h e2 uei4 { x | x 5 k ， k Z } .
s uo3 i3 d ian3 M d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） ， j i2 M （ 2 m 2 1 ， 2 m ） . i4 d e2 S （ 1 ， y 1 ） ， N （ 1 ， 0 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 ü3 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 g uan1 x i4 』
（ 2 ） iou2 （ 1 ） k e3 zh i1 ， （ 0 ， 1 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ， 0 ） ， （ 2 ， 2 ， 2 ） .
（ 1 ） q iou2 p 2 d e0 zh i2 .
j iang1 d ian3 B （ ， ） d ai4 r u4 ， d e2
1 9 4 9 n ian2 1 9 8 0 n ian2 2 0 0 0 n ian2 2 0 0 9 n ian2 2 0 1 4 n ian2 2 0 2 0 n ian2
j ie3 ： （ 1 ） d ian3 M sh i4 q ü1 x ian4 C 1 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 ，
d a2 ： j in1 n ian2 sh ou1 sh uei3 d ao4 2 8 7 5 0 q ian1 k e4 。
zh i2 x ian4 A B d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 ： 7 x 5 y 2 3 0 ，
r uo4 sh i2 sh u4 x ， y ， z m an3 z u2 x 2 y z 1 ， q iou2 x 2 y 2 z 2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
A B C A D C d e0 l i3 iou2 sh i4 “ H L ” .
g en1 j ü4 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 h e2 zh ong1 x in1 t ou2 ing3 d e0 t e4 d ian3 ， j ie2 h e2 t u2 x ing2 k e3 d e2 “ L ” 、 “ K ” ü3 “ N ” sh u3 zh ong1 x in1 t ou2 ing3 ， C sh u3 ü2 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh i2 x ian4 l d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 3 0 ， x ie2 l ü4 uei4 『 』 . 』
i t ） sh i4 p ai2 l ie4 i 1 i 2 … i n d e0 i2 g e4 n i4 x ü4 ，
a d e0 f an4 uei2 uei4 （ ， 2 ] （ 4 ， ） .
A ， M ， O s an1 d ian3 g ong4 x ian4 ； A ， M ， O ， A 1 s i4 d ian3 g ong4 m ian4 ； A ， O ， C ， M s i4 d ian3 g ong4 m ian4 ； B ， B 1 ， O ， M s i4 d ian3 g ong4 m ian4 . q i2 zh ong1 c uo4 u4 d e0 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 ， g en1 j ü4 f an3 h an2 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 ， j i2 q iou2 f ( 4 ) d e0 zh i2
z ai4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 zh ong1 ， iou2 g ou1 g u3 d ing4 l i3 k e3 d e2 ： a 2 6 2 8 2 1 0 0 ，
r uo4 x 0 ， z e2 h an2 sh u4 f ( x ) x d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
（ 2 ） zh i2 x ian4 C 3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 （ R ） ， k e3 d e2 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 ： y x
j ie3 ： sh e4 d ian3 C s uo3 b iao3 sh i4 d e0 sh u4 uei4 x ，
j ie3 ： in1 uei4 a ， b ， c uei4 zh eng4 sh i2 sh u4 ，
iou2 k e3 zh i1 ： d uei4 r en4 i4 m N * ， b m ， i a i j C ， q i2 zh ong1 i 1 ， 2 ， … ， n
zh i2 x ian4 2 y x 2 d e0 x ie2 l ü4 uei4 .
i2 g e4 l eng2 zh uei1 d e0 g e4 t iao2 l eng2 d ou1 x iang1 d eng3 ， n a4 m e0 zh e4 g e4 l eng2 zh uei1 b i4 b u2 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 A B C d e0 x ie2 er4 c e4 zh i2 g uan1 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， i3 zh i1 A C 3 ， B C 2 ， z e2 A B b ian1 sh ang4 d e0 zh ong1 x ian4 d e0 sh i2 j i4 ch ang2 d u4 uei4 （ ）
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 h ua4 ch u1 t u2 x ing2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh ang3 、 zh eng4 f ang1 t i3 t i3 j i1 d e0 j i4 s uan4 』
zh i1 f u4 d e0 b ao3 x ian3 f ei4 iong4 uei4 8 q ian1 üan2 .
s uo3 i3 B d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
d ang1 k 0 sh i2 ， r u2 m i4 h an2 sh u4 y x 1 q i2 t u2 x iang4 b u4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 y x d uei4 ch en4 ； g u4 c uo4 u4 ；
s uo3 i3 a c ü3 b d d e0 d a4 x iao3 u2 f a3 b i3 j iao4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 i3 d i3 m ian4 üan2 x in1 uei4 üan2 d ian3 j ian4 l i4 z uo4 b iao1 x i4 ， zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 l iang3 d ing3 d ian3 z ai4 『 z 』 zh ou2 sh ang4 ， l iang3 d ian3 j ü4 l i2 『 b u4 』 b ian4 . 』
j ü3 x ing2 d e0 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 k e3 i3 sh i4 x ian4 d uan4 、 j ü3 x ing2 、 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， g u4 c uo4 u4 ；
（ 2 ） r uo4 i3 üan2 d ian3 O uei4 üan2 x in1 ， b an4 j ing4 uei4 1 d e0 üan2 d e0 n ei4 b u4 sh i4 b ao3 h u4 q ü1 ， “ L l u4 j ing4 ” b u4 n eng2 j in4 r u4 b ao3 h u4 q ü1 ， q ing3 q üe4 d ing4 d ian3 P d e0 uei4 zh i4 ， sh i3 q i2 d ao4 s an1 g e4 j ü1 m in2 q ü1 d e0 “ L l u4 j ing4 ” ch ang2 d u4 zh i1 h e2 z uei4 x iao3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： f ( 7 ) j ü4 iou3 x ing4 zh i4 P .
l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 d e0 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 sh i4 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 g e4 sh u4 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 b ai3 x ian4 d e0 sh eng1 ch eng2 g uo4 ch eng2 j i2 q i2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
（ 2 ） sh uei3 d e0 x ing2 zh uang4 ie3 b u4 d uan4 b ian4 h ua4 ， k e3 i3 sh i4 l eng2 zh u4 ， ie3 k e3 n eng2 b ian4 uei4 l eng2 t ai2 h uo4 l eng2 zh uei1 ， d uei4 m a0 ？
iou4 in1 uei4 n 2 0 1 5 ， iou2 ü2 4 4 2 2 0 1 5 2 4 5 2 ，
h an2 sh u4 f ( x ) t a n x （ 0 ） d e0 t u2 x iang4 d e0 x iang1 l in2 l iang3 zh i1 j ie2 zh i2 x ian4 y 2 s uo3 d e0 x ian4 d uan4 zh ang3 uei4 ， z e2 f ( ) .
m a3 x iao3 h u3 b a3 2 1 ( 2 ) c uo4 x ie3 ch eng2 l e0 2 1 2 ， zh e4 iang4 d e2 d ao4 d e0 j ie2 g uo3 ü3 zh eng4 q üe4 j ie2 g uo3 x iang1 ch a4 （ ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 』
z e2 d ang1 0 x 1 sh i2 ， h an2 sh u4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ，
g u4 d a2 an4 uei4 [ 1 ， 1 ） [ 3 ， ] .
r u2 t u2 ， p ing2 m ian4 A B C p ing2 m ian4 B C D ， B A C B D C 9 0 ， q ie3 A C B D D C a ， z e2 A D .
C . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
i3 zh i1 ch ang2 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， d i3 m ian4 zh eng4 f ang1 x ing2 A B C D d e0 b ian1 zh ang3 uei4 1 ， l eng2 A A 1 d e0 zh ang3 uei4 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， j ian4 l i4 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 A x y z ， A x uei4 j i2 zh ou2 ， q iou2 d ian3 C d e0 zh u4 z uo4 b iao1 h e2 q iou2 z uo4 b iao1 .
ü4 sh i3 f ( x ) f ( 0 ) h eng2 ch eng2 l i4 ， x ü1 iou3 2 a a 2 ， j i2 ( a 1 ) ( a 2 ) 0 ， j i2 0 a 2 .
（ 1 ） m ei3 t ian1 i1 g ong4 n eng2 f ang4 j i3 ch ang3 ？
j ie3 ： （ 1 ） g en1 j ü4 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 ， k e3 sh e4 k （ k 0 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ao3 sh u4 d e0 s i4 z e2 ün4 s uan4 f a3 z e2 』
j ie3 ： j iang1 üan2 b u4 d eng3 sh i4 j in4 x ing2 b ian4 x ing2 k e3 d e2
j ie3 ： （ 1 ） in1 uei4 f ( x ) uei4 z eng1 h an2 sh u4 ，
（ 2 ） iou2 t i2 i4 d e2 ： A ü3 D x iang1 d uei4 ， B ü3 F x iang1 d uei4 ， C ü3 E x iang1 d uei4 ，
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， s i4 m ian4 t i3 A B C D d e0 s i4 g e4 d ing3 d ian3 sh i4 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 s i4 g e4 d ing3 d ian3 （ ch ang2 f ang1 t i3 sh i4 x ü1 n i3 t u2 x ing2 ， q i3 f u3 zh u4 z uo4 iong4 ） ， z e2 s i4 m ian4 t i3 A B C D d e0 s an1 sh i4 t u2 sh i4 （ iong4 d ai4 b iao3 t u2 x ing2 ） （ ）
0 . 0 0 8 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 （ ）
d ian3 （ 0 ， 0 ） d ao4 zh i2 x ian4 x y 1 0 d e0 j ü4 l i2 uei4 d .
d ing1 d ing1 h e2 d ong1 d ong1 l iang3 r en2 s uo3 f u4 d e0 q ian2 sh u4 d e0 b i3 9 : 1 8 1 : 2
（ 2 ） d ian3 sh u4 zh i1 h e2 d a4 ü2 5 er2 x iao3 ü2 1 0 d e0 g ai4 l ü4 ；
s uo3 iou3 d e0 x üan3 f a3 iou3 1 5 zh ong3 ， zh e4 l iang3 r en2 t i3 zh ong4 b u4 z ai4 t ong2 i1 z u3 n ei4 d e0 x üan3 f a3 iou3 1 1 zh ong3 ，
d ang1 s i n 1 sh i2 ， | F A | | F B | q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 .
zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 2 y x 2 ，
z e2 c o s ， ， j ie3 d e2 2 .
（ 3 ） d eng3 d i3 d eng3 g ao1 h uo4 t ong2 d i3 d eng3 g ao1 d e0 üan2 zh u4 ü3 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 b i3 sh i4 3 : 1 ， g u4 c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 d e0 l uo2 j i2 l ian2 j ie2 c i2 』
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh uei1 d e0 g ao1 k e3 k an4 z uo4 x ie2 b ian1 uei4 『 2 』 ， zh i2 j iao3 b ian1 uei4 1 d e0 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 l ing4 i1 t iao2 zh i2 j iao3 b ian1 . 』
j ie3 ： （ 1 ） b a3 j i2 z uo4 b iao1 x i4 x ia4 d e0 d ian3 P （ 4 ， ） h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， d e2 P （ 0 ， 4 ） ， in1 uei4 d ian3 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 （ 0 ， 4 ） m an3 z u2 zh i2 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 x y 4 0 ， s uo3 i3 d ian3 P z ai4 zh i2 x ian4 l sh ang4 .
k e3 zh i1 z 3 x y z ai4 zh i2 x ian4 x 2 h e2 2 x y c 0 d e0 j iao1 d ian3 B （ 2 ， 4 c ） ch u4 q ü3 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 ， j i2 z m i n 3 2 4 c 5 ， j ie3 d e2 c 5 .
j ie3 d e2 m 2 h uo4 m .
in1 uei4 ( ) ( 2 7 ) 9 ， s uo3 i3 C c uo4 u4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ü3 q ü1 x ian4 （ uei4 c an1 sh u4 ） x iang1 j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 4 s i n ， g uo4 d ian3 （ 4 ， ） z uo4 q ü3 x ian4 C d e0 q ie4 x ian4 ， z e2 q ie4 x ian4 zh ang3 uei4 （ ）
d ang1 n 3 sh i2 zh e4 3 g e4 j i1 sh u4 uei4 3 ， 1 ， 1
üan2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： x 2 y 2 4 y 0 ，
f u3 sh i4 t u2 ing1 g ai1 h ua4 ch u1 b u4 k e3 sh i4 l uen2 k uo4 x ian4 （ iong4 x ü1 x ian4 b iao3 sh i4 ） .
3 d e0 i2 g e4 p ai2 l ie4 2 3 1 ，
（ 4 ） i2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 an4 3 : 1 f ang4 d a4 h ou4 ， zh ou1 ch ang2 k uo4 d a4 l e0 3 b ei4 ， m ian4 j i1 k uo4 d a4 l e0 9 b ei4 ， g u4 c uo4 u4 。
j ie3 ： iou2 t i2 i4 b u4 d eng3 sh i4 | f ( x 1 ) | 1 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | 1 x 2 } .
a 1 ） d e0 t u2 x iang4 ，
r uo4 p uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， z e2 x 3 ，
j ie3 ： in1 uei4 x 2 m 2 3 sh i4 1 x 4 d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ，
iou4 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ，
r u2 g uo3 b a3 l iou4 （ 1 ） b an1 n an2 sh eng1 d e0 p ing2 j ün1 t i3 zh ong4 j i4 uei4 0 k g ， ch ao1 g uo4 d e0 j i4 z uo4 zh eng4 sh u4 ， b u4 z u2 d e0 j i4 uei4 f u4 sh u4 ， q ing3 t ian2 b iao3 。
s uo3 i3 y z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ， z e2 2 z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 zh i4 d uo1 i1 j ie3 .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q iou2 g uo4 t uo3 üan2 （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 iou4 j iao1 d ian3 ， q ie3 ü3 zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） p ing2 x ing2 d e0 zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 r en4 sh i2 』
iou2 zh i1 p 2 b 0 ， z e2 p 2 ( 2 2 p ) 0 ，
p an4 d uan4 x ia4 l ie4 g e4 d uei4 sh i4 j ian4 sh i4 f ou3 sh i4 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 ， sh i4 f ou3 sh i4 d uei4 l i4 sh i4 j ian4 ， b ing4 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
g u4 A B b ian1 sh ang4 d e0 zh ong1 x ian4 zh ang3 uei4 2 . 5 .
j ie3 ： f ang1 f a3 i1 ：
r uo4 üan2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 t u2 sh i4 üan2 x in1 j iao3 uei4 1 2 0 ， b an4 j ing4 uei4 l d e0 sh an4 x ing2 ， z e2 zh e4 g e4 üan2 zh uei1 d e0 b iao3 m ian4 j i1 ü3 c e4 m ian4 j i1 zh i1 b i3 sh i4 （ ）
j ie3 ： D E ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 A B ，
x iao3 l i3 ü3 x iao3 h ong2 d e0 s u4 d u4 b i3 sh i4 ： : ( 1 1 ) 1 1 : 8 。
（ 2 ） “ r uo4 q ， z e2 p ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2
（ 2 ） s uei2 j i1 b ian4 l iang4 x b iao3 sh i4 z uei4 h ou4 i2 g e4 q ü3 ch u1 d e0 h ei1 q iou2 s uo3 z ai4 ch ou1 t i4 b ian1 h ao4 d e0 d ao4 sh u3 ， E ( x ) sh i4 x d e0 sh u4 x üe2 q i1 uang4 ， zh eng4 m ing2 E ( x ) .
in1 uei4 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 （ 0 ， ） sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 ， g u4 f ( x ) x 3 ， z e2 m 2 .
r uo4 | x 1 | | x 2 | … | x n | m ， j i2 x 1 ， x 2 ， x 3 ， … ， x n zh ong1 iou3 n m g e4 q ü3 z i4 j i2 h e2 P ， m g e4 q ü3 z i4 j i2 h e2 Q ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
iou2 t i2 i4 d e2 ： x y 2 ， x y 1 ， z e2 x 2 y 2 ( x y ) 2 2 x y ( 2 ) 2 2 1 1 0 .
j ie3 ： sh e4 x 1 、 x 2 R ， q ie3 x 1 x 2 ， iou2 h an2 sh u4 f ( x ) ( 2 a 1 ) x b sh i4 R sh ang4 d e0 j ian3 h an2 sh u4 ， k e3 zh i1
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 m 3 h uo4 1 .
r uo4 a b ， z e2 a 3 b 3 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
r uo4 zh i2 x ian4 y x b ü3 zh e4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 g ong4 iou3 3 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ，
r uo4 x iang4 l iang4 ， m an3 z u2 | | 1 ， | | 2 ， | | | | ， z e2 | t ( 1 t ) | （ t R ） d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 i1 g ong4 n eng2 m ai4 d e0 q ian2 sh u4 m ei3 x iang1 d e0 zh ong4 l iang4 x iang1 sh u4 『 』 m ei3 q ian1 k e4 p ing2 g uo3 d e0 q ian2 sh u4 。 』
j ie3 ： （ 1 ） sh e4 M （ ， ） sh i4 üan2 C sh ang4 ch u2 j i2 d ian3 uai4 d e0 r en4 i4 i4 d ian3 ， l ian2 j ie1 O M ， C M .
（ 2 ） b u4 n eng2 . l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
j ie3 ： （ 1 ） iou2 i3 zh i1 d e2 ， b l o g a 8 2 ， b l o g a 1 1 ， （ a 0 q ie3 a 1 ） ，
（ 2 ） n eng2 b ei4 1 0 zh eng3 ch u2 d e0 sh u4 j i4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 ， iou4 n eng2 b ei4 5 zh eng3 ch u2 .
（ 3 ） g ai1 h uang1 m o4 sh ang4 iou3 i1 t iao2 sh uei3 g ou1 l q ia4 h ao3 j ing1 g uo4 d ian3 A ， q ie3 ü3 A B ch eng2 3 0 d e0 j iao3 ， x ian4 iao4 d uei4 zh eng3 t iao2 sh uei3 g ou1 j in4 x ing2 j ia1 g u4 g ai3 z ao4 ， d an4 k ao3 l ü4 d ao4 j in1 h ou4 n ong2 i4 üan2 d e0 sh uei3 g ou1 iao4 ch ong2 x in1 g ai3 z ao4 ， s uo3 i3 d uei4 sh uei3 g ou1 k e3 n eng2 b ei4 n ong2 i4 üan2 uei2 j in4 d e0 b u4 f en4 z an4 b u4 j ia1 g u4 ， uen4 z an4 b u4 j ia1 g u4 d e0 b u4 f en4 iou3 d uo1 zh ang3 ？
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， zh i2 x ian4 l ： x 1 ， d ian3 T （ 3 ， 0 ） . d ong4 d ian3 P m an3 z u2 P S l ， ch uei2 z u2 uei4 S ， q ie3 0 . sh e4 d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 uei4 q ü1 x ian4 C .
in1 uei4 p 0 ， q ie3 p 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 t u2 x iang4 x iang1 l in2 l iang3 d uei4 ch en4 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 d e0 『 i2 b an4 』 . 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong1 ， P A d i3 m ian4 A B C D ， q ie3 d i3 m ian4 g e4 b ian1 d ou1 x iang1 d eng3 ， M sh i4 P C sh ang4 d e0 i1 d ong4 d ian3 ， d ang1 d ian3 M m an3 z u2 sh i2 ， p ing2 m ian4 M B D p ing2 m ian4 P C D . （ zh i3 iao4 t ian2 x ie3 i2 g e4 n i3 r en4 uei2 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 t iao2 j ian4 j i2 k e3 ） .
j ie3 ： m ing4 t i2 d e0 t iao2 j ian4 sh i4 “ l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 g e4 p ing2 m ian4 ” .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
r u2 t u2 ， z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 D A B C zh ong1 ， r uo4 A B C B ， A D C D ， E sh i4 A C d e0 zh ong1 d ian3 ， z e2 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
j ie3 ： d ai4 sh u4 sh i4 a 1 d e0 zh i2 ü3 3 h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ，
t iao2 j ian4 b u4 z u2 ， zh eng4 m ing2 b u4 ch u1 j ie2 l uen4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 k ai1 sh i3 sh i2 k e4 『 』 j ing1 g uo4 sh i2 j ian1 j ie2 sh u4 sh i2 k e4 。 』
s uo3 q iou2 j i3 h e2 t i3 d e0 t i3 j i1
j ie3 ： in1 uei4 üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
j ie3 ： j ie3 5 x 1 a d e2 x ， j i2 p ： x ，
（ 3 ） 2 1 0 0 sh i4 g e4 d a4 sh u4 ；
y s i n x d e0 d an1 d iao4 d i4 z eng1 q ü1 j ian1 uei4 [ 2 k ， 2 k ] ， k Z ，
üan2 zh u4 d e0 sh ang4 、 x ia4 l iang3 g e4 d i3 m ian4 sh i4 （ ） ， q ie3 m ian4 j i1 d a4 x iao3 （ ） 。 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 sh i4 g e4 （ ） m ian4 ， zh an3 k ai1 h ou4 k e3 n eng2 sh i4 i2 g e4 （ ） x ing2 ， ie3 k e3 n eng2 sh i4 i2 g e4 （ ） x ing2 。
in1 uei4 zh i2 x ian4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
j ie3 ： zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 0 ，
j ie3 ： x [ 1 ， 0 ] sh i2 ， sh e4 h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y k x b ， g en1 j ü4 t u2 x iang4 k e3 d e2
f en1 d uan4 h an2 sh u4 d e0 ing4 iong4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 』
sh e4 （ x ， y ， z ） uei4 p ing2 m ian4 A Q C 1 d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 ，
iou2 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 x ing4 zh i4 ， d e2 A C A 1 C 1 ， A C A 1 C 1
A . d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 P ü3 d i3 m ian4 A B C D 『 n eng2 』 g ou4 ch eng2 s i4 l eng2 zh uei1 . 』
m ou3 sh ang1 ch ang3 x iao1 sh ou4 m ou3 zh ong3 p in3 p ai2 d e0 k ong1 t iao2 q i4 ， m ei3 zh ou1 zh ou1 ch u1 g ou4 j in4 i2 d ing4 sh u4 l iang4 d e0 k ong1 t iao2 q i4 ， sh ang1 ch ang3 m ei3 x iao1 sh ou4 i1 t ai2 k ong1 t iao2 q i4 k e3 h uo4 l i4 5 0 0 üan2 ， r uo4 g ong1 d a4 ü2 q iou2 ， z e2 m ei3 t ai2 d uo1 ü2 d e0 k ong1 t iao2 q i4 x ü1 j iao1 b ao3 g uan3 f ei4 1 0 0 üan2 ； r uo4 g ong1 b u4 ing4 q iou2 ， z e2 k e3 c ong2 q i2 t a1 sh ang1 d ian4 t iao2 j i4 g ong1 ing4 ， c i3 sh i2 m ei3 t ai2 k ong1 t iao2 q i4 j in3 h uo4 l i4 r uen4 2 0 0 üan2 .
m ing4 t i2 “ q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 d ou1 sh i4 f ang1 ch eng2 f （ x ， y ） 0 d e0 j ie3 ” sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ， x ia4 l ie4 m ing4 t i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
s uo3 i3 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 ch eng2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 x 2 2 y .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
zh i3 sh u4 h an2 sh u4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 sh i4 f ( x ) 2 x ，
g u4 d ang1 c an1 sh u4 q ü3 sh i2 d uei4 ing4 d e0 q ü1 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 sh i4 （ ， 3 ） .
4 g e4 b an4 x iao3 sh i2 sh i4 2 x iao3 sh i2 ，
l i3 sh i1 f u4 z ai4 1 7 : 1 0 j ia1 g ong1 uan2 i1 p i1 l ing2 j ian4 。 t a1 j ia1 g ong1 zh e4 p i1 l ing2 j ian4 iong4 l e0 4 x iao3 sh i2 4 0 f en1 ， l i3 sh i1 f u4 sh i4 c ong2 sh en2 m e0 sh i2 j ian1 k ai1 sh i3 j ia1 g ong1 d e0 ？
z e2 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 ： y x 2 x 2
d uei4 ü2 ， t i1 x ing2 i2 d ing4 sh i4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 ， zh eng4 q üe4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 』
（ 2 ） i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 ， sh e4 l 3 ： ( c o s s i n ) 0 ， M uei4 l 3 ü3 C d e0 j iao1 d ian3 ， q iou2 M d e0 j i2 j ing4 .
【 t i2 sh i4 】 『 b i3 j iao4 8 、 1 7 、 1 2 、 6 ， z uei4 d a4 d e0 sh u4 sh i4 『 1 7 』 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
d ang1 c o s 0 sh i2 ， l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 1 .
P d ian3 d e0 g uei3 j i4 sh i4 p ao1 u4 x ian4 ， j iao1 d ian3 uei4 F （ 1 ， 0 ） ， zh uen3 x ian4 uei4 zh i2 x ian4 x 1 ，
（ 3 ） d i4 er4 、 s i4 x iang4 x ian4 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 d ou1 m an3 z u2 x y 0 ， f an3 zh i1 ， i3 f ang1 ch eng2 x y 0 d e0 j ie3 uei4 z uo4 b iao1 d i4 d ian3 d ou1 z ai4 d i4 er4 、 s i4 x iang4 x ian4 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 sh ang4 ， in1 c i3 d i4 er4 、 s i4 x iang4 x ian4 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 sh i4 x y 0 .
i3 zh i1 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 4 c o s ， i3 j i2 d ian3 uei4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 üan2 d ian3 ， j i2 zh ou2 uei4 x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 ， j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ， zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 sh i4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， r uo4 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C x iang1 q ie4 ， q iou2 sh i2 sh u4 m d e0 zh i2 .
4 3 0 0 0 l i2 m i3 （ ） m i3
A B C d e0 m ian4 j i1 b c s i n A 1 5 1 3 7 8 .
z ai4 sh u4 0 ， ， ， 3 . 1 4 1 5 9 ， 0 . ， ， zh ong1 ， u2 l i3 sh u4 d e0 g e4 sh u4 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 iong4 h an2 t d e0 sh i4 z i0 b iao3 sh i4 ch u1 y ， t ong1 g uo4 g ou4 z ao4 『 j i1 b en3 b u4 d eng3 sh i4 』 l ai2 q iou2 ch u1 y d e0 z uei4 x iao3 zh i2 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d a1 p ei4 zh ong1 d e0 x üe2 uen4 』
t a1 d e0 x ia4 b u4 sh i4 i2 g e4 d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 1 ， g ao1 uei4 2 d e0 üan2 zh u4 ， sh ang4 b u4 sh i4 i2 g e4 d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 1 ， m u3 x ian4 zh ang3 uei4 2 ， g ao1 uei4 d e0 üan2 zh uei1 ；
t ong2 l i3 f ang1 ch eng2 y 2 a x 2 b x c d e0 l iang3 g e4 j ie3 x 3 ， x 4 ie3 iao4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 ，
sh e4 P （ x ， y ） ， z e2 iou2 t i2 i4 k e3 d e2 ：
z ai4 A D C h e2 A E B zh ong1 ，
ch ong1 f en4 x ing4 ： iou2 x y 0 j i2 x y ， d e2 ， j i2 .
sh ang4 u3 8 : 0 0 z ai4 A d i4 ， 8 : 3 0 z ai4 B d i4 ，
C . A ü3 B h u4 ch i4
iou4 üan2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 b 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 zh i2 g uan1 t u2 』
g u4 zh eng4 q üe4 .
（ 2 ） r uo4 d ian3 P （ x ， y ） z ai4 g ai1 üan2 sh ang4 ， q iou2 x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 h e2 z uei4 x iao3 zh i2 .
sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 zh eng4 s i4 m ian4 t i3 d e0 zh eng4 sh i4 t u2 h e2 z uo3 sh i4 t u2 sh i4 d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 ， g u4 b u4 zh eng4 q üe4 ；
r u2 t u2 ， s i4 b ian1 x ing2 A B D C sh i4 O d e0 n ei4 j ie1 s i4 b ian1 x ing2 ， B D C 1 2 0 ， A B A C ， l ian2 j ie1 d uei4 j iao3 x ian4 A D ， B C ， d ian3 F z ai4 x ian4 d uan4 B D d e0 ian2 ch ang2 x ian4 sh ang4 ， q ie3 C F D F ， O d e0 q ie4 x ian4 C E j iao1 B F ü2 d ian3 E .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
k e3 d e2 b an4 j ing4 r 6 ，
j iao4 u4 ch u4
（ 2 ） z ai4 l eng2 C 1 D 1 sh ang4 sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 i4 d ian3 F ， sh i3 B 1 F p ing2 m ian4 A 1 B E ？ b ing4 zh eng4 m ing2 n i3 d e0 j ie2 l uen4 .
j ie3 ： q ü1 x ian4 4 c o s j i2 x 2 y 2 4 x 0 ， ( x 2 ) 2 y 2 4 ， b iao3 sh i4 üan2 x in1 uei4 （ 2 ， 0 ） ， b an4 j ing4 d eng3 ü2 2 d e0 üan2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
（ 3 ） q ü3 s uo3 iou3 l u4 ch eng2 d e0 j üe2 d uei4 zh i2 ， d e2
P d ao4 zh i2 x ian4 A B j ü4 l i2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
r u2 t u2 ， z ai4 A B C zh ong1 ， M D ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 A B ü2 d ian3 M ， j iao1 B C ü2 d ian3 D ， N E ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 A C ü2 d ian3 N ， j iao1 B C ü2 d ian3 E . r uo4 B A C 1 3 0 ， z e2 D A E （ ）
q i2 t u2 x iang4 i1 d ing4 b u4 t ong1 g uo4 d i4 s i4 x iang4 x ian4 ； in1 uei4 x 0 sh i2 ， y x 0 ， g u4 m i4 h an2 sh u4 t u2 x iang4 b u4 k e3 n eng2 ch u1 x ian4 z ai4 d i4 s i4 x iang4 x ian4 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
s uo3 i3 g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 t i3 j i1 uei4 V 2 2 2 1 2 2 4 .
s uo3 i3 d i3 m ian4 m ian4 j i1 uei4 R 2 S .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 O P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 0 .
r u2 t u2 ， x ia4 l ie4 7 zh ong3 j i3 h e2 t i3 ：
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， sh i4 b i4 r an2 x ian4 x iang4 d e0 uei4 ， sh i4 s uei2 j i1 x ian4 x iang4 d e0 uei4 .
f en1 b ie2 uei4 ü2 p ing2 m ian4 x O y n ei4 s an1 d ian3 A （ 3 ，
D . l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3
s uo3 i3 “ q i2 h e2 uei4 j i1 sh u4 ” d e0 g ai4 l ü4 uei4 P .
j ie3 ： d ian3 D 、 E f en1 b ie2 sh i4 A B 、 A C b ian1 d e0 ch uei2 zh i2 p ing2 f en1 x ian4 ü3 B C d e0 j iao1 d ian3 ，
z e2 ch eng1 P iou1 ü2 P . r u2 g uo3 zh ong1 d e0 d ian3 Q m an3 z u2 ： b u4 c uen2 z ai4 zh ong1 d e0 q i2 t a1 d ian3 iou1 ü2 Q ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
【 t i2 sh i4 】 『 d ang1 x 1 sh i2 ， h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 （ 1 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 『 j ian3 』 . 』
B . b u4 m an3 z u2 t iao2 j ian4 ， ie3 b u4 m an3 z u2 j ie2 l uen4 ， g u4 x üan3 x iang4 B c uo4 u4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 ü3 h u4 ü2 ， z e2 d e0 zh eng4 q ie1 zh i2 ü3 d e0 zh eng4 q ie1 zh i2 d e0 ch eng2 j i1 uei4 『 1 』 . 』
C 、 r u2 a 3 ， b 4 ， | a | | b | ， a b ， g u4 x üan3 x iang4 c uo4 u4 ；
i3 zh i1 2 a b 5 ， a b ， q iou2 4 a 2 b 2 1 d e0 zh i2 .
j ie3 ： h ua4 ch u1 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ， l ian2 j ie1 A C ， z e2 A C B D .
z e2 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， Q d ao4 j i2 zh ou2 s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 uei4 | y | 3 .
j ie3 ： r u2 t u2 ， l ian2 j ie1 A 1 C 1 、 B 1 D 1 j iao1 ü2 d ian3 O ， q ü3 D D 1 d e0 zh ong1 d ian3 G ， l ian2 j ie1 O G 、 A 1 G 、 C 1 G .
d i4 i1 x ing2 2
in1 uei4 f ang1 ch eng2 x 2 2 x k 0 u2 sh i2 g en1 4 4 k 0 k 1 ， t uei1 b u4 ch u1 k 0 ，
iou4 M N p ing2 m ian4 M N D ，
r uo4 zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 g ai1 zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 （ ）
sh e4 C d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） ， z e2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 、 f en1 sh u4 h e2 b ai3 f en1 sh u4 d e0 h u4 h ua4 』
j ie3 ： A B C ian2 B C f ang1 x iang4 p ing2 i2 zh i4 D E F ch u4 ，
j ie3 ： i3 O uei4 üan2 d ian3 ， A B 、 O D s uo3 z ai4 zh i2 x ian4 f en1 b ie2 uei4 x zh ou2 、 y zh ou2 ， j ian4 l i4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
p ： b u4 l uen4 m q ü3 h e2 sh i2 sh u4 ， f ang1 ch eng2 x 2 x m 0 b i4 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ；
i3 zh i1 h an2 sh u4 f 1 ( x ) ， d uei4 r en4 i4 zh eng4 zh eng3 sh u4 n ， iou3 f n 1 ( x ) ， q iou2 f ang1 ch eng2 f n ( x ) 2 x d e0 s uo3 iou3 j ie3 .
in1 uei4 7 k 1 sh i4 ou3 sh u4 ，
（ 2 ） ch uei2 zh i2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ；
x q ü3 f ei1 l ing2 sh i2 sh u4 .
s uo3 i3 S t i1 x ing2 A B C D ( A D B C ) A B 2 .
s uo3 i3 M d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 4 ， 2 ） .
r u2 g uo3 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 D sh ang4 sh i4 t u1 h an2 sh u4 ， n a4 m e0 d uei4 ü2 q ü1 j ian1 D n ei4 d e0 r en4 i4 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， d ou1 iou3 . r uo4 y s i n x z ai4 q ü1 j ian1 （ 0 ， ） sh ang4 sh i4 t u1 h an2 sh u4 ， n a4 m e0 z ai4 A B C zh ong1 ， s i n A s i n B s i n C d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 sh i2 ， z ai4 j i4 s uan4 q i4 sh ang4 x ian1 an4 4 2 5 ， z ai4 an4 ， z uei4 h ou4 an4 『 d eng3 h ao4 』 . 』
s uo3 i3 C 2 ü3 C 3 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 0 ） h e2 （ ， ） .
j ie3 ： d uei4 ü2 ， f en1 b ie2 l ian2 j ie1 M N ， P Q ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
s uo3 i3 q ü3 （ 2 ， 0 ， 1 ） .
b ei4 ch u2 sh u4 i2 d ing4 ， ch u2 sh u4 ü3 sh ang1 ch eng2 f an3 b i3 l i4 。
d ian3 C （ ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， 0 ） .
d ian3 A d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 3 ） ， q ie3 A B ü3 x zh ou2 p ing2 x ing2 ，
i1 t ian1 ， x iao3 m ing2 m ai3 l e0 i1 zh ang1 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 uei4 2 6 0 c m d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 ， h ou4 3 0 c m d e0 ch uang2 d ian4 h uei2 j ia1 . d ao4 l e0 j ia1 m en2 k ou3 ， c ai2 f a1 x ian4 m en2 k ou3 zh i3 iou3 2 4 2 c m g ao1 ， k uan1 1 0 0 c m . n i3 r en4 uei2 x iao3 m ing2 n eng2 n a4 j in4 u1 m a0 ？ uei4 sh en2 m e0 .
i1 j ü4 t i2 i4 ， b a3 h eng2 z uo4 b iao1 sh en1 ch ang2 uei4 üan2 l ai2 d e0 2 b ei4 ， d e2 d ao4 t uo3 üan2 d e0 f ang1 ch eng2 y 2 3 6 ，
in1 uei4 p q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ，
j ie3 ： sh e4 a p ， a q uei4 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 { a n } zh ong1 d e0 r en4 i4 l iang3 x iang4 ， i1 t i2 i4 a k a p a q ，
d ian3 P （ 2 ， ） z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x ia4 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ，
B . c e4 m ian4 d ou1 sh i4 t i1 x ing2
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 iong4 、 『 』 b iao3 sh i4 ch u1 l ai2 ， zh ao3 d ao4 h e2 d e0 g uan1 x i4 . 』
d uei4 ü2 ， f u4 sh u4 d ou1 x iao3 ü2 0 ， zh eng4 q üe4 .
【 t i2 sh i4 】 『 8 g e4 d an1 üan2 d e0 m ei3 i1 c eng2 iou3 ( 8 『 』 4 ) h u4 j ü1 m in2 。 』
sh e4 h an2 sh u4 f ( x ) | x | | x a | （ a 0 ） .
zh e4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 k e3 n eng2 z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ， g u4 c uo4 u4 .
A . ch ong1 iao4 t iao2 j ian4
g u4 B ch eng2 sh i4 ch u3 ü2 uei1 x ian3 q ü1 n ei4 d e0 sh i2 j ian1 uei4 1 （ x iao3 sh i2 ） .
r uo4 üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 j i1 h e2 t i3 j i1 d e0 zh i2 d ou1 sh i4 1 2 ， z e2 g ai1 üan2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 .
j ie3 ： g en1 j ü4 iou3 x iao4 sh u4 z i4 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 j iang1 0 . 1 5 3 8 4 6 1 5 3 j ing1 q üe4 d ao4 0 . 0 0 1 ， d e2 0 . 1 5 4 .
üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） ， b an4 j ing4 zh ang3 uei4 1 ，
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . q ü1 x ian4 C 1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( c o s s i n ) 2 ， q ü1 x ian4 C 2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， z e2 C 1 ü3 C 2 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 .
g uo4 p ing2 m ian4 q ü1 ü4 n ei4 i4 d ian3 P z uo4 üan2 O ： x 2 y 2 1 d e0 l iang3 t iao2 q ie4 x ian4 ， q ie1 d ian3 f en1 b ie2 uei4 A ， B ， j i4 A P B ， d ang1 z uei4 x iao3 sh i2 ， d ian3 P z uo4 b iao1 uei4 .
q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
i2 g e4 p i2 x ie2 zh an3 sh i4 t ai2 sh i4 iou2 s an1 g e4 g ao1 d u4 x iang1 d eng3 、 d i3 m ian4 b an4 j ing4 f en1 b ie2 sh i4 2 f en1 m i3 、 3 f en1 m i3 h e2 4 f en1 m i3 d e0 üan2 zh u4 d ie2 ch eng2 ， x ian4 z ai4 iao4 g ei3 zh e4 g e4 zh an3 sh i4 t ai2 （ ü3 d i4 m ian4 ch ong2 h e2 d e0 m ian4 ch u2 uai4 ） t u2 sh ang4 iou2 q i1 ， i1 g ong4 iao4 t u2 d uo1 sh ao3 p ing2 f ang1 f en1 m i3 ？
p ing2 m ian4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 ü3 t uei1 l uen4
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 x ing4 zh i4 』
（ 2 ） m ei3 c i4 j in4 h uo4 l iang4 uei4 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 sh i2 ， n eng2 sh i3 n ian2 l i4 r uen4 y z uei4 d a4 ？
iong4 s an1 g e4 zh ang3 3 c m 、 k uan1 2 c m 、 g ao1 1 c m d e0 ch ang2 f ang1 t i3 p in1 ch eng2 i2 g e4 b iao3 m ian4 j i1 z uei4 d a4 d e0 ch ang2 f ang1 t i3 。 zh e4 g e4 d a4 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 sh i4 （ ） c m 2 。
z ai4 B zh ong1 ， in1 uei4 [ x ] uei4 b u4 d a4 ü2 x d e0 z uei4 d a4 zh eng3 sh u4 ，
ün4 iong4 l e0 ch eng2 f a3 f en1 p ei4 l ü4 d e0 sh i4 ： 7 5 4 3 2 5 4 3 ( 7 5 2 5 ) 4 3 ； 9 9 1 0 2 9 9 1 0 0 9 9 2 ； 9 4 1 0 0 9 4 1 9 4 ( 1 0 0 1 ) 。
j ie3 ： m ing4 t i2 “ r uo4 a b ， z e2 a 1 b 1 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 a b ， z e2 a 1 b 1 ” .
j ie3 ： m ing4 t i2 p d e0 f ou3 d ing4 sh i4 p ： x 0 R ， a x 0 2 a x 0 1 0 ch eng2 l i4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
z e2 i3 zh i1 t u2 x ing2 sh i4 A d e0 zh an3 k ai1 t u2 。
r u2 t u2 ， g uo4 d ian3 A z uo4 A E B C ü2 E ， l ian2 j ie2 P E .
i3 zh i1 m i4 h an2 sh u4 f ( x ) x 2 m 3 （ m Z ） uei4 ou3 h an2 sh u4 ， q ie3 z ai4 q ü1 j ian1 （ 0 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， q iou2 f ( x ) d e0 j ie3 x i1 sh i4 ， b ing4 t ao3 l uen4 g ( x ) a d e0 j i1 ou3 x ing4 .
iang2 iang2 ： 4 6 4 5 1 （ k g ） ， j i4 z uo4 1 k g
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
üan2 2 c o s d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 2 x 0 ， j i2 ( x 1 ) 2 y 2 1 .
d ang1 g ong1 z uo4 k eng1 P ü3 O d e0 j ü4 l i2 uei2 sh i2 ， d i4 x ia4 d ian4 l an3 g uan3 x ian4 d e0 z ong3 zh ang3 d u4 z uei4 x iao3 .
（ 2 ） q iou2 A B C d e0 m ian4 j i1 .
j ie3 ： in1 uei4 zh i2 x ian4 y a x b g uo4 i1 、 er4 、 s i4 x iang4 x ian4 ，
（ 2 ） q iou2 zh i2 x ian4 B C 1 h e2 p ing2 m ian4 A 1 B C s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 d a4 x iao3 .
（ 6 ） 2 0 3 0 n ian2 6 üe4 1 r i4 sh ang4 h ai3 h uei4 x ia4 ü3 .
b a3 x ia4 m ian4 d eng3 sh i4 g ai3 x ie3 ch eng2 b i3 l i4 sh i4 。
j ie3 ： q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ r ， ， ） ，
s uo3 i3 ， j i2 f ( k ) （ k 0 ） .
g ai4 l ü4 d e0 ing4 iong4
j ie3 ： （ 1 ） p q ： t i1 x ing2 iou3 i1 z u3 d uei4 b ian1 p ing2 x ing2 q ie3 iou3 i1 z u3 d uei4 b ian1 x iang1 d eng3 .
j i2 C 1 ü3 C 2 d e0 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 4 ） .
z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， i3 zh i1 A B 1 ， z e2 d ian3 C d ao4 p ing2 m ian4 B 1 B D D 1 d e0 j ü4 l i2 uei4 ， A B d ao4 p ing2 m ian4 A 1 B 1 C D d e0 j ü4 l i2 uei4 .
iou2 zh i2 x ian4 s i n ( ) 1 d e2 ：
g u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 .
C d ian3 d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， ， 0 ） ；
A . g uan1 ü2 zh ong1 x in1 d uei4 ch en4 d e0 l iang3 g e4 t u2 x ing2 q üan2 d eng3
g en1 j ü4 j i2 h e2 j iao1 j i2 d e0 d ing4 i4 ， d e2 A B { x | 2 x 7 } .
x iao1 q ü4 k k e3 d e2 ， x 2 y 2 4 ， j i2 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 t i3 、 zh uei1 t i3 、 t ai2 t i3 d e0 t i3 j i1 』
（ 2 ） q iou2 t a1 b u4 ch eng2 f ei1 j i1 q ü4 d e0 g ai4 l ü4 ；
iou4 d ian3 B z ai4 üan2 ( x 2 ) 2 y 2 2 ， j i2 x 2 y 2 4 x 2 0 sh ang4 ，
d i4 k c eng2 iou3 k g e4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 ，
（ 2 ） q iou2 g uo4 d ian3 C （ 1 ， 0 ） q ie3 ü3 zh i2 x ian4 A B p ing2 x ing2 d e0 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
j i2 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 uei4 （ ， 1 ） （ 1 ， 3 ） .
d a2 an4 ： h uo4 .
j ie3 ： （ 1 ） zh e4 l iang3 g e4 b an1 “ z ai4 x ing1 q i1 i1 b u4 t ong2 sh i2 sh ang4 z ong1 h e2 sh i2 j ian4 k e4 ” d e0 g ai4 l ü4 P 1 .
【 t i2 sh i4 】 『 『 B A C 』 sh i4 A B ü3 p ing2 m ian4 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 . 』
z ai4 R t D C F h e2 R t D E B zh ong1 ，
【 t i2 sh i4 】 『 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 d e0 x iang1 j iao1 x ian4 f en1 b ie2 p ing2 x ing2 ü2 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 ， d an4 l iang3 g e4 p ing2 m ian4 『 b u4 』 p ing2 x ing2 . 』
g u4 d ian3 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ 2 ， ） h uo4 （ 2 ， ） .
s uo3 i3 zh e4 s i4 g e4 sh u4 d ou1 q ü3 0 h uo4 s an1 g e4 q ü3 1 i2 g e4 q ü3 0 ，
j ie3 ： iou2 t i2 t u2 k e3 zh i1 ， g ai1 j i3 h e2 t i3 uei4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 s an1 l eng2 zh uei1 ， q i2 zh ong1 p ing2 m ian4 A C D p ing2 m ian4 B C D ，
i1 d ao4 ch u2 f a3 s uan4 sh i4 ， t a1 k e3 n eng2 d e0 ü2 sh u4 iou3 1 、 2 、 3 、 4 zh e4 s i4 g e4 sh u4 ， zh e4 d ao4 t i2 d e0 ch u2 sh u4 sh i4 （ ） 。
s uo3 i3 l sh ang4 d e0 l iang3 g e4 d ian3 M 、 N z ai4 p ing2 m ian4 n ei4 ，
r u2 t u2 ， A B C D ， F G B 1 5 4 ， F G p ing2 f en1 E F D ， z e2 A E F d e0 d u4 sh u4 d eng3 ü2 （ ）
m ing4 t i2 p ： x R ， f ( x ) m ， z e2 m ing4 t i2 p d e0 f ou3 d ing4 p sh i4 .
（ 2 ） c uo4 u4 ， g ai3 zh eng4 r u2 x ia4 ：
【 t i2 sh i4 】 『 b en3 x i1 b en3 j in1 b en3 j in1 『 』 c uen2 q i1 『 』 l i4 l ü4 。 』
q ie3 O A O B . x ian4 sh e4 j i4 sh i1 z ai4 zh i1 j ia4 O B sh ang4 zh uang1 d ian3 p u3 t ong1 zh u1 b ao3 ，
in1 uei4 C ： 4 c o s ， s uo3 i3 2 4 c o s ，
（ 2 ） s i4 b ian1 x ing2 O A B P n eng2 f ou3 uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ？ r uo4 n eng2 ， q iou2 ch u1 x iang1 ing4 d e0 t zh i2 ； r uo4 b u4 n eng2 ， q ing3 sh uo1 m ing2 l i3 iou2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
j iang1 d ian3 d ai4 r u4 ian4 zh eng4 d e2 （ ， ） sh i4 h e2 f ang1 ch eng2 .
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 d ian3 O sh i4 A 、 B d e0 『 zh ong1 』 d ian3 ， O C A B ， zh i2 x ian4 O C ü3 zh i2 x ian4 zh i2 x ian4 A B d e0 x ie2 l ü4 zh i1 j i1 uei4 『 1 』 . 』
g u4 s uo3 q iou2 f an3 h an2 sh u4 uei4 y （ x R ， q ie3 x 3 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 r en4 sh i2 』
（ 2 ） iou2 （ 1 ） zh i1 m ei3 g e4 m ian4 x ü1 iao4 g eng1 h uan4 d e0 g ai4 l ü4 j ün1 uei4 ，
r uo4 zh eng4 sh i2 sh u4 x 、 y m an3 z u2 2 x y 6 x y ， z e2 x y d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 .
z ai4 k ong1 j ian1 l iang3 l iang3 x iang1 j iao1 d e0 s an1 t iao2 zh i2 x ian4 b i4 g ong4 m ian4 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
j ie3 ： in1 uei4 f ( 2 x ) 3 ， s uo3 i3 f ( x ) 3 .
j iao4 sh i4 q iang2 m ian4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 1 5 （ p ing2 f ang1 m i3 ）
h an2 sh u4 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 uei4 [ 2 ， 2 ] .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 p an4 d ing4 』
iou2 （ 2 ） zh i1 ， g ( x ) z ai4 [ 3 ， 4 ] sh ang4 sh i4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 h an2 sh u4 ，
sh e4 ， j ün1 uei4 d an1 uei4 x iang4 l iang4 ， z e2 “ | 3 | | 3 | ” sh i4 “ ” d e0 （ ）
in1 uei4 { a n } uei4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 ，
y f ( x ) g ( x ) f ( x ) f ( 2 x ) b ， s uo3 i3 y f ( x ) g ( x ) q ia4 iou3 4 g e4 l ing2 d ian3 d eng3 j ia4 ü2 f ang1 ch eng2 f ( x ) f ( 2 x ) b 0 iou3 4 g e4 b u4 t ong2 d e0 j ie3 ， j i2 h an2 sh u4 y b ü3 h an2 sh u4 h ( x ) f ( x ) f ( 2 x ) d e0 t u2 x iang4 d e0 4 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， iou2 t u2 x iang4
x iao1 q ü4 c an1 sh u4 d e2 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 i4 i4 』
iou3 d e0 x iang4 l iang4 f ang1 x iang4 b u4 q üe4 d ing4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch u2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 d e0 iou3 ü2 sh u4 ch u2 f a3 』
0 . 4 m i3 4 0 l i2 m i3
z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh ong1 ， d ing3 d ian3 P z ai4 p ing2 m ian4 A B C n ei4 d e0 sh e4 ing3 sh i4 A B C d e0 uai4 x in1 ， z e2 s an1 t iao2 c e4 l eng2 P A ， P B ， P C d e0 d a4 x iao3 g uan1 x i4 sh i4 .
b u4 d eng3 sh i4 4 | 3 x 2 | 8 d e0 j ie3 j i2 uei4 .
j ü4 b ei4 x ia4 l ie4 n ei3 g e4 t iao2 j ian4 d e0 d uo1 m ian4 t i3 sh i4 l eng2 t ai2 （ ）
d eng3 j ia4 b ian4 x ing2 uei4
【 t i2 sh i4 】 『 l u4 ch eng2 s u4 d u4 『 』 sh i2 j ian1 。 』
j iang1 y x k ü3 y 2 4 x l ian2 l i4 zh eng3 l i3 k e3 d e2
（ 2 ） q iou2 j ing1 g uo4 l iang3 üan2 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 』
M sh i4 A B d e0 zh ong1 d ian3 .
（ 1 ） x ie3 ch u1 q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ， zh i2 x ian4 l d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 j iang1 üan2 m ing4 t i2 d e0 t iao2 j ian4 h e2 j ie2 l uen4 t ong2 sh i2 『 f ou3 d ing4 』 . 』
f u3 sh i4 t u2 ü3 z uo3 sh i4 t u2 r u2 x ia4 .
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
( 2 x ) 6 d e0 zh an3 k ai1 sh i4 zh ong1 ch ang2 sh u4 x iang4 uei4 （ iong4 sh u4 z i4 z uo4 d a2 ） .
iou2 m ， n ， k e3 d e2 m n ， iou4 l m ， s uo3 i3 l n ， s uo3 i3 zh eng4 q üe4 ；
zh i2 ü4 uei4 [ ， 2 ] .
sh i4 x ie3 ch u1 h an2 sh u4 f ( x ) x d e0 x ing4 zh i4 ， b ing4 z uo4 ch u1 t a1 d e0 d a4 zh i4 t u2 x iang4 .
（ 1 ） j iang1 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 x üan3 z e2 q ia4 d ang4 d e0 c an1 sh u4 x ie3 ch u1 t a1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 ；
q ü3 p ing2 m ian4 A A 1 B d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ 0 ， 1 ， 0 ） ，
（ 2 ） iong4 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 b iao3 sh i4 g ai1 uang3 m in2 g ou4 m ai3 sh ang1 p in3 d e0 zh ong3 sh u4 ， q iou2 d e0 g ai4 l ü4 f en1 b u4 h e2 sh u4 x üe2 q i1 uang4 .
in1 uei4 x R ， x 2 x 0 h eng2 ch eng2 l i4 ， s uo3 i3 p sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i3 h e2 g ai4 x ing2 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 A B ， C D ， E F ， M N C D ü2 d ian3 M ， M N E F ü2 d ian3 N ， r uo4 C M G A G M 1 8 0 ， sh i4 sh uo1 m ing2 A B E F .
x ia4 m ian4 m ei3 g e4 d e0 m ian4 j i1 d ai4 b iao3 1 p ing2 f ang1 l i2 m i3 ， z ai4 k uo4 h ao4 zh ong1 t ian2 ch u1 t u2 s e4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 。
z ai4 b i3 l i4 ch i3 sh i4 d e0 t u2 sh ang4 ， i2 g e4 ch ang2 f ang1 x ing2 c ao1 ch ang3 d e0 zh ang3 sh i4 7 c m ， k uan1 sh i4 4 c m 。 c ao1 ch ang3 d e0 sh i2 j i4 m ian4 j i1 sh i4 （ ） 。
s uei2 j i1 ch ou1 q ü3 5 0 0 0 j ian4 j in4 x ing2 j ian3 c e4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 k ou3 j üe2 q iou2 sh ang1 』
z e2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ， 0 t ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
D 、 in1 uei4 0 d e0 x iang1 f an3 sh u4 h ai2 sh i4 0 ， q ie3 0 sh i4 f ei1 f u4 sh u4 ， s uo3 i3 c i3 x üan3 x iang4 c uo4 u4 .
d ing4 i4 ü4 h e2 zh i2 ü4 d ou1 x iang1 t ong2 d e0 l iang3 g e4 h an2 sh u4 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4
s uo3 i3 m ing4 t i2 “ r uo4 y k x ， z e2 x ü3 y ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4 ” d e0 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 “ r uo4 y k x ， z e2 x ü3 y b u4 ch eng2 zh eng4 b i3 l i4 g uan1 x i4 ” .
t i1 x ing2 d e0 p ing2 x ing2 t ou2 ing3 i2 d ing4 sh i4 t i1 x ing2
zh uan3 h ua4 uei4 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： s i n c o s 1 ，
【 t i2 sh i4 】 『 s uan4 sh i4 zh ong1 iou3 k uo4 h ao4 ， x ian1 s uan4 k uo4 h ao4 『 n ei4 』 d e0 ， z ai4 s uan4 k uo4 h ao4 『 uai4 』 d e0 。 』
l iang3 b ian1 t ong2 sh i2 l i4 f ang1 ， d e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i4 m ian4 zh i2 x ian4 j i2 q i2 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
x ia4 m ian4 sh i4 j ie1 d ao4 p ing2 m ian4 sh i4 i4 t u2 ， g en1 j ü4 m iao2 sh u4 j iang1 g e4 d an1 uei4 d e0 x ü4 h ao4 t ian2 z ai4 ch ang2 f ang1 x ing2 zh ong1 。
r uo4 p zh en1 q j ia3 ， z e2 ， c i3 sh i2 a b u4 c uen2 z ai4 ；
j ie3 ： （ 1 ） n eng2 b ei4 5 zh eng3 ch u2 d e0 sh u4 ， b u4 i2 d ing4 n eng2 b ei4 1 0 zh eng3 ch u2 ， sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ， g u4 b u4 n eng2 z uo4 uei2 d ing4 l i3 ；
j ie2 h e2 （ 1 ） k e3 zh i1 ， l iang3 zh i2 x ian4 d e0 x ie2 l ü4 x iang1 d eng3 ， g u4 l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， g uo4 d ian3 P （ 1 ， ） q ie3 q ing1 x ie2 j iao3 uei4 d e0 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 r en4 sh i2 』
【 t i2 sh i4 】 『 l i4 iong4 2 ， sh e4 ch u1 d ian3 『 E 』 d e0 z uo4 b iao1 ， j i2 k e3 q iou2 ch u1 h e2 d e0 z uo4 b iao1 . 』
j ie3 ： iou2 ü2 1 8 3 6 9 ， k e3 zh i1 1 8 : 6 9 : 3 ， 1 8 : 9 6 : 3 ， 6 : 1 8 3 : 9 ， 9 : 1 8 3 : 6 。
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ t uei4 c an1 sh u4 ） s uo3 b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
5 . ， 2 6 0 g e4 b o1 l uo2 ， m ei3 x iang1 zh uang1 2 1 g e4 ， 2 6 0 2 1 1 2 g e4 8 g e4 ， 1 3 g e4 m u4 x iang1 j iou4 n eng2 b a3 zh e4 x ie1 b o1 l uo2 zh uang1 uan2 。
k an4 t u2 t ian2 k ong4 。
h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 d e0 q iou2 j ie3 j i2 ch ang2 iong4 f ang1 f a3
l ian2 l i4 p ao1 u4 x ian4 f ang1 ch eng2 ，
z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， zh i2 x ian4 x 2 y 2 b ian4 ch eng2 zh i2 x ian4 2 x y 4 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 sh i4 （ ）
sh e4 j ü3 zh en4 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 uei4 2 ， r uo4 q ü1 x ian4 C z ai4 j ü3 zh en4 M b ian4 h uan4 x ia4 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 1 ， q iou2 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 .
j ie3 ： （ 1 ） Q uei4 h u2 A B d e0 zh ong1 d ian3 ， iou2 d uei4 ch en4 x ing4 k e3 d e2 P A P B ， A O P B O P ， A P O ， O A P ，
iou4 M uei4 A B d e0 zh ong1 d ian3 ，
g u4 A ， B ， G ， F s i4 d ian3 g ong4 üan2 .
u3 n ian2 j i2 z u3 zh i1 ch uen1 iou2 ， sh i1 sh eng1 i1 g ong4 1 0 4 r en2 。 g uo4 h e2 sh i2 m a3 t ou2 d e0 ch uan2 zh i1 n eng2 z ai4 k e4 9 r en2 。
r u2 t u2 ， z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， h an2 sh u4 y s i n ( x ) （ 0 ， 0 ） d e0 t u2 x iang4 ü3 x zh ou2 d e0 j iao1 d ian3 A ， B ， C m an3 z u2 O A O C 2 O B ， z e2 .
i3 zh i1 d ian3 P uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 A B C D s uo3 z ai4 p ing2 m ian4 sh ang4 i4 d ian3 ， q ie3 m an3 z u2 2 0 ， 0 ， z e2 .
（ 4 ） b u4 d eng3 sh i4 x 2 3 x 1 0 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 { x | 2 x 5 } ， b u4 d eng3 sh i4 x 2 3 x 1 0 1 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 { x | 0 x 3 } ，
g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 ：
【 t i2 sh i4 】 『 r uo4 üan2 zh uei1 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 uei4 l ， d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 r ， in1 uei4 üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 d eng3 ü2 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 t u2 d e0 h u2 zh ang3 ， j i2 2 r 『 』 . 』
q sh i4 p d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ，
ch ao1 sh i4 ün4 l ai2 j ü2 z i0 、 p ing2 g uo3 h e2 l i2 i1 g ong4 3 3 0 k g 。 j ü2 z i0 h e2 p ing2 g uo3 d e0 zh i4 l iang4 b i3 sh i4 5 : 6 ， l i2 d e0 zh i4 l iang4 sh i4 p ing2 g uo3 d e0 。 j ü2 z i0 b i3 l i2 d uo1 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 ？
z ong1 h e2 k e3 zh i1 x 4 sh i4 f k 1 ( x ) 2 x d e0 j ie3 ；
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 i4 zh i1 ： x B a t 1 c o s ， x C a t 2 c o s .
sh e4 m ian4 A A 1 D f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ x 2 ， y 2 ， z 2 ） . ， j i2 ， j i2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 “ r uo4 p ， z e2 q ” zh ong1 ， 『 p 』 sh i4 t i2 sh e4 ， 『 q 』 sh i4 j ie2 l uen4 . 』
s uo3 i3 g ai1 uang3 m in2 zh i4 sh ao3 g ou4 m ai3 2 zh ong3 sh ang1 p in3 d e0 g ai4 l ü4 uei4 P ( A 3 ) P ( A 2 ) .
j ie3 ： （ 1 ） üan2 x in1 C （ 3 ， ） ，
in1 uei4 c e4 m ian4 A B B 1 A 1 sh i4 j ü3 x ing2 ， M sh i4 A 1 B d e0 zh ong1 d ian3 ， l ian2 j ie1 A B 1 ， z e2 d ian3 M sh i4 A B 1 d e0 zh ong1 d ian3 ，
z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ， x ia4 l ie4 s i4 d uei4 j ie2 m ian4 zh ong1 b i3 c i3 p ing2 x ing2 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
ü2 sh i4 d ang1 n N * ， iou3 T n [ 8 n 2 ( 1 ) n ] .
j ie3 ： （ 1 ） j ia3 、 i3 、 b ing3 s an1 r en2 c ong2 s i4 m en2 k e4 ch eng2 zh ong1 g e4 r en4 x üan3 i1 m en2 ， g ong4 iou3 4 3 6 4 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 x üan3 f a3 ，
j ie3 ： iou2 y ， d e2 x ，
（ 3 ） sh i4 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 ， in1 uei4 zh e4 l iang3 zh ong3 q ing2 k uang4 b u4 n eng2 t ong2 sh i2 f a1 sh eng1 ， d an4 sh i4 j ie2 g uo3 b ing4 b u4 j in3 j in3 iou3 zh e4 l iang3 zh ong3 k e3 n eng2 ， p i4 r u2 h ai2 iou3 d i4 s an1 zh ong3 k e3 n eng2 ： q üan2 b u4 uei4 h ong2 q iou2 ， s uo3 i3 b u2 sh i4 d uei4 l i4 sh i4 j ian4 ；
B x üan3 x iang4 zh ong1 ， 1 5 sh i4 j i1 sh u4 ， g u4 c uo4 ；
（ uei4 c an1 sh u4 ） b iao3 sh i4 d e0 sh i4 （ ）
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
r uo4 0 x 1 ， z e2 l n x 0 ， ü2 sh i4 2 a x 1 0 ， j i2 a ( ) m i n ，
s uo3 i3 d uei4 f en1 j ie4 d ian3 ， h an2 iou3 h ao3 d ian3 d e0 b u4 f en4 uei4 c uen2 iou1 f an4 uei2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 l ie4 ü3 h an2 sh u4 、 j ie3 x i1 j i3 h e2 、 b u4 d eng3 sh i4 d eng3 zh i1 sh i2 d e0 z ong1 h e2 ing4 iong4 』
in1 uei4 A B C B ， q ie3 E sh i4 A C d e0 zh ong1 d ian3 ，
z uei4 x iao3 d e0 z i4 r an2 sh u4 sh i4 ， j üe2 d uei4 zh i2 z uei4 x iao3 d e0 sh u4 sh i4 ， j üe2 d uei4 zh i2 x iao3 ü2 5 . 5 q ie3 d a4 ü2 2 d e0 zh eng3 sh u4 iou3 .
j ie3 ： A . 4 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 ， g u4 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
d uei4 ü2 er4 c i4 h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 b x c ( a 0 ) ， x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
n ei4 r en4 i4 i1 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ü2 ， z e2 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
【 t i2 sh i4 】 『 r ang4 9 5 6 0 4 0 5 x ian1 s uan4 j ian3 f a3 ， b i4 x ü1 j iang1 j ian3 f a3 f ang4 z ai4 『 x iao3 k uo4 h ao4 』 l i3 m ian4 。 』
g u4 d a2 an4 uei4 j ia3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 i2 g e4 sh u4 d e0 b ai3 f en1 zh i1 j i3 』
iou4 u3 ie4 x ia4 j iang4 l e0 9 ，
i3 zh i1 f ( 1 ) x 2 ， q iou2 f ( x 1 ) .
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 ： x iang1 d eng3 d e0 j iao3 ， z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 r eng2 x iang1 d eng3 ； ch ang2 d u4 x iang1 d eng3 d e0 x ian4 d uan4 ， z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 ch ang2 d u4 r eng2 x iang1 d eng3 ； r uo4 l iang3 t iao2 x ian4 d uan4 p ing2 x ing2 ， z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 d uei4 ing4 d e0 x ian4 d uan4 r eng2 p ing2 x ing2 ； r uo4 l iang3 t iao2 x ian4 d uan4 ch uei2 zh i2 ， z e2 z ai4 zh i2 g uan1 t u2 zh ong1 d uei4 ing4 d e0 x ian4 d uan4 ie3 h u4 x iang1 ch uei2 zh i2 . q i2 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
f ( x ) h e2 g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 b u4 t ong2 ， g u4 b u2 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 .
d ing4 i4 ün4 s uan4 ： m n m n 2 m n 1 . l i4 r u2 ： 4 2 4 2 2 4 2 1 7 . z e2 f ang1 ch eng2 1 x 0 d e0 g en1 d e0 q ing2 k uang4 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） （ * ） .
s i4 b ian1 x ing2 B 1 C 1 C B sh i4 l ing2 x ing2 ，
【 t i2 sh i4 】 『 1 9 8 0 n eng2 b ei4 4 zh eng3 ch u2 ， t a1 sh i4 『 r uen4 』 n ian2 。 』
j ie3 ： d ang1 a 0 ， b 0 sh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 a x b （ b 0 ） d e0 j ie3 j i2 sh i4 ；
j ia3 、 i3 l iang3 ch e1 f en1 b ie2 c ong2 A 、 B l iang3 d i4 t ong2 sh i2 ch u1 f a1 x iang1 x iang4 er2 x ing2 ， j ia3 ch e1 m ei3 sh i2 h ang2 8 0 k m ， i3 ch e1 m ei3 sh i2 h ang2 6 5 k m ， x ing2 sh i3 3 sh i2 ， l iang3 ch e1 h ai2 x iang1 j ü4 4 5 k m ， A 、 B l iang3 d i4 x iang1 j ü4 d uo1 sh ao3 q ian1 m i3 ？
r u2 t u2 ， t u2 x ing2 uei2 r ao4 z i4 j i3 d e0 x üan2 zh uan3 zh ong1 x in1 z uei4 sh ao3 x ü1 x üan2 zh uan3 （ ） zh i1 h ou4 ， n eng2 g ou4 ü3 t a1 z i4 sh en1 x iang1 ch ong2 h e2 .
r u2 t u2 ， D A C h e2 B sh i4 t ong2 uei4 j iao3 ， d an4 D A C B .
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 d e2 ： x 2 0 0 0 . 0 1 2 ，
zh i2 x ian4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， M 0 （ 1 ， 2 ） h e2 M （ x ， y ） sh i4 g ai1 zh i2 x ian4 sh ang4 d e0 d ing4 d ian3 h e2 d ong4 d ian3 ， z e2 t d e0 j i3 h e2 i4 i4 sh i4 （ ）
（ 4 ） h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | x 1 } ， b u4 g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iong4 k ou3 j üe2 q iou2 sh ang1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t ong2 uei4 j iao3 、 n ei4 c uo4 j iao3 、 t ong2 p ang2 n ei4 j iao3 』
r u2 t u2 ， z ai4 A B C zh ong1 ， B C 5 c m ， B P 、 C P f en1 b ie2 sh i4 A B C h e2 A C B d e0 j iao3 p ing2 f en1 x ian4 ， q ie3 P D A B ， P E A C ， z e2 P D E d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 c m
x iang4 l iang4 b u4 k e3 i3 b i3 j iao4 d a4 x iao3 ；
in1 uei4 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 uei4 zh eng4 f ang1 t i3 ，
l eng2 t ai2 d e0 sh ang4 d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 ü3 x ia4 d i3 m ian4 d e0 m ian4 j i1 zh i1 b i3 i2 d ing4 x iao3 ü2 1 .
【 t i2 sh i4 】 『 q p ， p q ， z e2 { x | 1 m x 1 m ， m 0 } sh i4 { x | 2 x 1 0 } d e0 『 zh en1 z i0 』 j i2 . 』
【 t i2 sh i4 】 『 l eng2 zh u4 d e0 c e4 l eng2 d ou1 h u4 x iang1 『 p ing2 x ing2 』 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch u2 f a3 』
s i4 b ian1 x ing2 B 1 O E F uei4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ，
x ian3 r an2 iou3 | P M | | O P | | O M | 7 3 4 ，
d a2 ： zh eng3 g e4 sh u1 ie4 p ing2 d e0 r ong2 j i1 sh i4 1 5 0 h ao2 sh eng1 。
t ong2 l i3 k e3 d e2 p ing2 m ian4 D V C d e0 i2 g e4 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ 3 ， 0 ， 2 ） ，
C . l iang3 d i3 m ian4 p ing2 x ing2 d e0 d uo1 m ian4 t i3
（ 2 ） sh e4 zh i2 x ian4 l ü3 t uo3 üan2 C j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 | F A | | F B | d e0 z uei4 d a4 zh i2 ü3 z uei4 x iao3 zh i2 .
3 . sh u1 d ian4 h e2 h ua1 d ian4 d ou1 z ai4 l i3 f a4 d ian4 d e0 （ d ong1 ） m ian4 ， iou2 j ü2 h e2 ch ao1 sh i4 d ou1 z ai4 iao4 d ian4 d e0 （ x i1 ） m ian4 。
g u4 | P A | | P B | d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 5 .
i3 zh i1 A ， B sh i4 q iou2 O d e0 q iou2 m ian4 sh ang4 l iang3 d ian3 ， A O B 9 0 ， C uei4 g ai1 q iou2 m ian4 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 . r uo4 s an1 l eng2 zh uei1 O A B C t i3 j i1 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 ， z e2 q iou2 O d e0 b iao3 m ian4 j i1 uei4 .
A . r en4 h e2 m ing4 t i2 d ou1 iou3 n i4 m ing4 t i2
j ie3 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， sh e4 d ian3 C d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ x ， y ） ， A B O ， g uo4 d ian3 C z uo4 x zh ou2 d e0 ch uei2 x ian4 j iao1 x zh ou2 ü2 M ，
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， m ing4 t i2 zh eng4 q üe4
j ie3 ： r u2 t u2 ， k ong1 j ian1 s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， E 、 F 、 G 、 H f en1 b ie2 sh i4 A B 、 B C 、 C D 、 A D d e0 zh ong1 d ian3 .
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 R t O A B zh ong1 ， A B 2 O A 2 『 』 O B 2 . 』
（ 1 ） sh e4 y 4 s i n ， uei4 c an1 sh u4 ；
z ai4 y zh ou2 sh ang4 q ü3 d ian3 M 2 ， sh i3 O M 2 2 ，
iou2 ( 1 x ) n 1 ( 1 x ) n ( x … x n 1 ) ( x … x n ) k e3 zh i1 ， ( 1 x ) n 1 ( 1 x ) n d e0 zh an3 k ai1 sh i4 zh ong1 h an2 x n d e0 x iang4 d e0 x i4 sh u4 uei4 … ，
（ 2 ） iou3 l iang3 g e4 n ei4 j iao3 sh i4 4 5 d e0 s an1 j iao3 x ing2 sh i4 d eng3 iao1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 ü3 『 t ong2 i1 t iao2 』 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 . 』
r u2 t u2 sh i4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 A B C d e0 zh i2 g uan1 t u2 A B C ， A B y zh ou2 ， z e2 A B C d e0 x ing2 zh uang4 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 .
t i1 x ing2 i2 d ing4 sh i4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 ；
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) a x 3 2 x d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 （ 2 ， 5 ） ， z e2 f ( 2 ) .
m ing4 t i2 “ x 0 （ 0 ， ） ， l n x 0 x 0 1 ” d e0 f ou3 d ing4 sh i4 （ ）
s uo3 i3 i4 d e2 F G P C ， E G A B ， F G P C 1 ， E G A B 1 ，
d i4 3 g e4 sh u4 ： 1 0 3 2 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 g en1 sh i4 ch eng2 f a3 』
t 2 z ai4 [ 1 ， 2 ] sh ang4 d i4 j ian3 ， z ai4 [ 2 ， ） sh ang4 d i4 z eng1 ，
s uo3 i3 l i4 r uen4 X d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4 ：
j ing1 g uo4 k ong1 j ian1 r en4 i4 s an1 d ian3 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i2 g e4 p ing2 m ian4 ；
j i2 2 x a 2 x 2 x a 2 x 0 ， ( 2 x 2 x ) ( 1 a ) 0 d uei4 ü2 r en4 i4 d e0 x R d ou1 ch eng2 l i4 .
iou2 B E A F ， G sh i4 F A d e0 zh ong1 d ian3 zh i1 ， B E G F ，
A . j ia3 sh e4 üan2 m ing4 t i2 j ie2 l uen4 zh eng4 q üe4
（ 1 ） c e4 l iang2 t u2 sh ang4 d e0 j ü4 l i2 （ j ie2 g uo3 b ao3 l iou2 zh eng3 l i2 m i3 sh u4 ） ， b iao1 z ai4 t u2 sh ang4 。
r uo4 p ： x ( x 3 ) 0 sh i4 q ： 2 x 3 m d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
in1 c i3 ， 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 2 ) 0 ， j ie3 d e2 ，
d uei4 ü2 D ， y ( ) 3 d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R ， y d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 （ ， 0 ） （ 0 ， ） ， l iang3 g e4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 b u4 t ong2 ， g u4 q i2 b u2 sh i4 t ong2 i1 h an2 sh u4 .
j iang1 l ing2 x ing2 ian2 m ou3 i1 f ang1 x iang4 p ing2 i2 x ing2 ch eng2 d e0 j i3 h e2 t i3 sh i4 .
zh e4 zh ong3 f ang1 f a3 ch eng1 uei2 “ s uan4 l iang3 c i4 ” d e0 s i1 x iang3 f ang1 f a3 . l i4 iong4 zh e4 zh ong3 f ang1 f a3 ，
n i4 m ing4 t i2 ： r uo4 f ang1 ch eng2 m x 2 x n 0 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ， z e2 m n 0 （ j ia3 m ing4 t i2 ） ；
c ao1 ch ang3 d e0 sh i2 j i4 m ian4 j i1 ： 7 0 4 0 2 8 0 0 （ m 2 ）
2 . 4 g e4 r en2 m ei3 2 g e4 r en2 t ong1 i1 c i4 d ian4 h ua4 ， i1 g ong4 iao4 t ong1 1 2 c i4 d ian4 h ua4 。 （ ）
üan2 C sh ang4 g e4 d ian3 d ao4 l d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 2 2 .
（ 3 ） in1 uei4 d uei4 ch en4 zh ou2 z ai4 1 d e0 iou4 b ian1 ， s uo3 i3 1 ， iou4 a 0 ， s uo3 i3 2 a b 0 ， zh eng4 q üe4 ；
D . j i4 b u4 ch ong1 f en4 ie3 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
j i2 d ang1 n k 1 sh i2 ， m ing4 t i2 ch eng2 l i4 .
g u4 d uei4 r en4 i4 d e0 x （ ， ） ， d ou1 iou3 f ( x ) f ( x ) ，
5 0 0 0 0 0 0 l i2 m i3 5 0 q ian1 m i3
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， A B C sh i4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 A B C d e0 zh i2 g uan1 t u2 ， z e2 z ai4 A B C d e0 s an1 b ian1 j i2 zh ong1 x ian4 A D zh ong1 ， z uei4 zh ang3 d e0 x ian4 d uan4 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 d a3 q i1 zh e2 k uei1 b en3 d e0 q ian2 sh u4 ü3 d a3 b a1 zh e2 zh uan4 d e0 q ian2 sh u4 zh i1 h e2 sh i4 b iao1 j ia4 d e0 （ 8 0 『 』 7 0 ） 。 』
r u2 g uo3 p ing2 m ian4 ， n a4 m e0 p ing2 m ian4 n ei4 s uo3 iou3 zh i2 x ian4 d ou1 ch uei2 zh i2 ü2 p ing2 m ian4 .
h uang2 h e2 zh ang3 üe1 5 4 6 4 （ ） 。
s i4 b ian1 x ing2 B C F E sh i4 t i1 x ing2 .
“ r uo4 x y 0 ， z e2 x ， y h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4 ” d e0 n i4 m ing4 t i2 ；
j ie3 ： in1 uei4 A B ， 0 B ，
z e2 d uei4 m ei3 i2 g e4 k ， t 1 h e2 2 k t 1 b i4 r an2 sh u3 ü2 j i2 h e2 M ， q ie3 t h e2 2 k t ， … ， k h e2 k g ong4 iou3 t 1 k z u3 sh u4 ， m ei3 i1 z u3 sh u4 zh ong1 d e0 l iang3 g e4 sh u4 b i4 r an2 t ong2 sh i2 sh u3 ü2 h uo4 b u4 sh u3 ü2 j i2 h e2 M ，
g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ： p q ； p q ； p q ； p q . z e2 q i2 zh ong1 zh en1 m ing4 t i2 d e0 g e4 sh u4 uei4 （ ）
in1 uei4 d ian3 P d e0 h eng2 z uo4 b iao1 x 1 i2 d ing4 sh i4 g ai1 f ang1 ch eng2 d e0 j ie3 ，
d e0 p ing2 f ang1 d eng3 ü2 t a1 b en3 sh en1 ； d e0 l i4 f ang1 d eng3 ü2 t a1 b en3 sh en1 ； i2 g e4 sh u4 d e0 p ing2 f ang1 h e2 t a1 d e0 l i4 f ang1 x iang1 d eng3 d e0 sh u4 sh i4 .
O uei4 C D d e0 zh ong1 d ian3 .
j ie3 ： sh e4 d ian3 A d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ r ， ， ） .
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， q ü1 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s s i n 0 （ 0 ， 0 2 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ， n ei4 c uo4 j iao3 x iang1 d eng3 』
【 t i2 sh i4 】 『 3 2 b iao3 sh i4 2 g e4 『 3 』 x iang1 ch eng2 。 』
zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 k ， （ k N ） ，
（ 2 ） r uo4 d ian3 P z ai4 zh i2 x ian4 O Q sh ang4 ün4 d ong4 ， q ie3 m an3 z u2 O Q : Q P ， q iou2 d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
r u2 t u2 ， P A p ing2 m ian4 A B C ， A C B C ， A B 2 ， B C ， P B ， z e2 er4 m ian4 j iao3 P B C A d e0 d a4 x iao3 uei4 .
A . r uei4 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d e0 n ei4 j iao3 sh i4 r uei4 j iao3 h uo4 d uen4 j iao3
z ai4 A C D h e2 B C F zh ong1 ， C A C B ， A C D B C F ， C D C F ，
（ 2 ） j iang1 üan2 C ： 2 c o s ( 1 ) an4 n i4 sh i2 zh en1 x üan2 zh uan3 d e2 d ao4 üan2 D ： 2 c o s ( 1 ) ，
g u4 d a2 an4 uei4 .
sh e4 a 、 b （ 0 ， ） ， q ie3 a b a b 1 ， z e2 iou3 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 f ang1 g en1 』
m ou3 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， r uo4 g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 t i3 j i1 uei4 ， z e2 t u2 zh ong1 d e0 x d e0 zh i2 uei4 （ ）
iong4 f an3 zh eng4 f a3 zh eng4 m ing2 ： s an1 j iao3 x ing2 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 n ei4 j iao3 d a4 ü2 d eng3 ü2 6 0 .
j ie3 ： d ian3 （ 2 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao1 h uan4 l ü4 h e2 j ie2 h e2 l ü4 』
t uo3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2
（ 2 ） r uo4 E ， F ， G ， H s i4 d ian3 g ong4 m ian4 ， z en3 iang4 c ai2 n eng2 h ua4 ch u1 g uo4 s i4 d ian3 E ， F ， G ， H d e0 p ing2 m ian4 j ie2 zh eng4 f ang1 t i3 s uo3 d e0 d e0 j ie2 m ian4 ？
z ong1 sh ang4 ， s i4 g e4 m ing4 t i2 j ün1 uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
s uo3 i3 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 sh i4 （ 1 ， 2 ） .
（ 1 ） 1 5 1 5 6 2 2 1 3 （ p ing2 f ang1 f en1 m i3 ）
d ian3 （ 3 ， ） g uan1 ü2 （ R ） d uei4 ch en4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， ） .
r uo4 q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， z e2 2 { x 2 a } ， g u4 2 2 a ， j i2 a 4 .
【 t i2 sh i4 】 『 d i4 1 c i4 k ai1 sh i3 f ang4 sh uei3 ü3 d i4 3 c i4 k ai1 sh i3 f ang4 sh uei3 zh ong1 j ian1 j ian4 g e2 『 8 』 x iao3 sh i2 。 』
D . b u4 n eng2 p an4 d ing4
iou2 ü2 A B C uei4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， z e2 d ian3 O sh i4 x ie2 b ian1 B C d e0 zh ong1 d ian3 ， l ian2 j ie2 P O 、 A O ，
r uo4 z ai4 t sh i2 ， g ai1 ch eng2 sh i4 sh ou4 d ao4 t ai2 f eng1 d e0 q in1 x i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ü3 b i4 iao4 t iao2 j ian4 』
q ia4 h ao3 x üan3 zh ong1 2 m ing2 n ü3 sh eng1 d e0 q ing2 k uang4 sh u4 iou3 3 zh ong3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 ch ang2 f ang1 t i3 sh ang4 x ia4 d i3 m ian4 ü3 t ong2 i1 g e4 c e4 m ian4 d e0 j iao1 x ian4 g ong4 x ian4 ， l iang3 t iao2 j iao1 x ian4 『 b u2 sh i4 』 i4 m ian4 zh i2 x ian4 . 』
d a2 ： 1 zh i1 g ang1 b i3 1 9 üan2 q ian2 。
d a2 an4 ： （ 1 ） p ing2 x ing2 ； （ 2 ） i4 m ian4 ； （ 3 ） x iang1 j iao1 ； （ 4 ） i4 m ian4 .
iou2 C ， D z ai4 x ian4 d uan4 A B sh ang4 ， q ie3 | A C | | B D | ， d e2 ：
j ie3 ： iou2 t u2 x iang4 k e3 d e2 A 1 ， ( ) ， z e2 2 ，
i3 zh i1 üan2 M ： x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 ， z e2 üan2 x in1 M d ao4 zh i2 x ian4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） d e0 j ü4 l i2 uei4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 j iao1 h uan4 9 5 h e2 1 2 d e0 uei4 zh i4 ， j i1 『 b u4 b ian4 』 。 』
h an2 sh u4 y d e0 f an3 h an2 sh u4 sh i4 .
P 1 O P 2 uei4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 ü3 t uei1 l uen4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 、 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 ü3 k ong1 j ian1 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 d e0 q ü1 b ie2 』
s uo3 i3 n d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 4 4 2 2 1 9 3 4 ， c i3 sh i2 k 9 8 9 h uo4 9 4 5 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x ian4 d uan4 zh ong1 d ian3 d e0 d ing4 i4 j i2 ing4 iong4 』
iou4 S ( i 1 ) ( 2 i 1 ) ( i 1 ) ( 2 i 1 ) b u2 sh i4 2 i 2 d e0 b ei4 sh u4 ， er2 a ( i 1 ) ( 2 i 1 ) j ( 2 i 2 ) （ j 1 ， 2 ， … ， 2 i 2 ） ，
（ 2 ） j iang1 M （ 3 ， 0 ） d ai4 r u4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， d e2 t 4 ，
sh e4 m ing4 t i2 p ： h an2 sh u4 y s i n 2 x d e0 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 ； m ing4 t i2 q ： h an2 sh u4 y c o s x d e0 t u2 x iang4 g uan1 ü2 zh i2 x ian4 x d uei4 ch en4 . z e2 x ia4 l ie4 p an4 d uan4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
m ing4 t i2 “ r uo4 a b 0 ， z e2 a 0 ” ü3 m ing4 t i2 “ r uo4 a 0 ， z e2 a b 0 ” sh i4 m ing4 t i2 . （ t ian2 “ h u4 n i4 ” “ h u4 f ou3 ” “ h u4 uei4 n i4 f ou3 ” ）
j i4 s uan4 ， d e2 2 .
üan2 m ing4 t i2 d e0 n i4 m ing4 t i2 uei4 ： “ sh e4 a 、 b 、 c R ， r uo4 a b ， z e2 a c 2 b c 2 ” ， q i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， in1 uei4 d ang1 c 0 sh i2 ， m ing4 t i2 b u4 ch eng2 l i4 ， z e2 üan2 m ing4 t i2 d e0 f ou3 m ing4 t i2 uei4 j ia3 m ing4 t i2 .
【 t i2 sh i4 】 『 q iou2 i1 g ong4 iou3 d uo1 sh ao3 m i3 ， iong4 『 j ia1 』 f a3 。 』
j ie3 ： （ 1 ） b i4 r an2 sh i4 j ian4 . p ing2 m ian4 s i4 b ian1 x ing2 d e0 n ei4 j iao3 h e2 i2 d ing4 sh i4 3 6 0 ；
l ing4 t a n B t a n C t ， iou2 A ， B ， C uei4 r uei4 j iao3 k e3 d e2 t a n A 0 ， t a n B 0 ， t a n C 0 ，
（ 2 ） r uo4 f ( x ) x 2 z ai4 [ 1 ， 2 ] sh ang4 “ k j ie1 x ian4 x ing4 j in4 s i4 ” ， q iou2 sh i2 sh u4 k d e0 z uei4 x iao3 zh i2 .
r uo4 2 6 a 3 3 b 6 2 c ， q iou2 zh eng4 ： .
sh uei3 d e0 t i3 j i1 3 . 1 4 5 2 1 2 3 1 4 （ l i4 f ang1 l i2 m i3 ） ，
“ r uo4 l g x 2 0 ， z e2 x 1 ” d e0 n i4 m ing4 t i2 ： “ r uo4 x 1 ， z e2 l g x 2 0 ” ， zh en1 m ing4 t i2 .
i1 t i2 i4 d e2 ： 3 n 2 2 5 ( n 2 ) 2 ( n 4 ) 2 ，
j ie3 ： iou2 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 a x 1 （ a 0 ， a 1 ） d e0 j ie3 j i2 sh i4 { x | x 0 } ， zh i1 0 a 1 .
g en1 j ü4 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 ：
s uo3 i3 S üan2 t ai2 c e4 ( x 4 x ) l ( 2 8 ) 1 0 1 0 0 .
A . x ian1 x iang4 z uo3 p ing2 i2 2 g e4 d an1 uei4 ， z ai4 x iang4 sh ang4 p ing2 i2 3 g e4 d an1 uei4
【 t i2 sh i4 】 『 j iang1 6 0 0 p ing2 j ün1 f en1 ch eng2 3 f en4 ， iong4 『 ch u2 』 f a3 q iou2 ch u1 1 t ian1 iong4 d ian4 l iang4 。 』
j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 c o s （ R ） b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 sh i4 （ ）
j ia3 i3 b ing3
r uo4 g uan1 ü2 x d e0 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 x 2 2 x m 0 iou3 sh i2 sh u4 g en1 ， z e2 sh i2 sh u4 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
s uo3 i3 D F d e0 zh ang3 uei4 3 1 .
（ 2 ） üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， ( uei4 c an1 sh u4 ) ， sh i4 p an4 d uan4 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 .
t ong2 l i3 sh e4 x 1 、 x 2 （ ， 1 ） ， r en4 q ü3 x 1 x 2 1 ， z e2 x 2 x 1 0 ，
1 üan2 5 j iao3 1 . 5 üan2
【 t i2 sh i4 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 d i3 m ian4 j i1 g ao1 『 』 ， b en3 t i2 zh ong1 üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 j i1 sh i4 1 2 . 5 d m 2 、 g ao1 sh i4 6 d m 。 』
【 t i2 sh i4 】 『 j i4 s uan4 1 5 2 6 ， x iang1 t ong2 sh u4 uei4 d uei4 q i2 ， g e4 uei4 sh ang4 5 ch eng2 6 m an3 s an1 sh i2 ， x ü1 x iang4 sh i2 uei4 j in4 『 3 』 。 』
z ai4 b iao1 zh uen3 h ua4 d e0 k ao3 sh i4 zh ong1 d e0 d an1 x üan3 t i2 i4 b an1 sh i4 c ong2 A ， B ， C ， D s i4 g e4 x üan3 x iang4 zh ong1 x üan3 z e2 i2 g e4 zh eng4 q üe4 d a2 an4 . r u2 g uo3 k ao3 sh eng1 zh ang3 uo4 l e0 k ao3 ch a2 d e0 n ei4 r ong2 ， t a1 k e3 i3 x üan3 z e2 uei2 i1 zh eng4 q üe4 d e0 d a2 an4 . j ia3 sh e4 k ao3 sh eng1 b u2 h uei4 z uo4 ， t a1 s uei2 j i1 d i4 x üan3 z e2 i2 g e4 d a2 an4 ， z e2 t a1 d a2 d uei4 d e0 g ai4 l ü4 sh i4 .
j ie3 ： d ang1 x 0 sh i2 ， 0 ch eng2 l i4 ；
s uo3 i3 üan2 x in1 C d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） .
z e2 üan2 t u2 x ing2 zh ong1 O C A B 3 （ c m ） ， O A B C 1 c m ，
m ing2 b ian4 sh i4 f ei1
i3 zh i1 j ü3 zh en4 M [ ] ， q iou2 n i4 j ü3 zh en4 M 1 d e0 t e4 zh eng1 zh i2 .
sh e4 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C d e0 l ing4 i2 g e4 j iao1 d ian3 uei4 B ， z e2 R t O A B zh ong1 ， | A B | 2 c o s 3 0 .
j ie3 ： sh e4 q i2 zh ong1 d e0 i2 g e4 sh u4 uei4 x ， z e2 l ing4 i2 g e4 sh i4 7 x ，
x R ， x 2 ； t i1 x ing2 sh i4 b u2 sh i4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 n e0 ？ 2 2 0 1 8 sh i4 i2 g e4 h en3 d a4 d e0 sh u4 ； 4 sh i4 j i2 h e2 { 2 ， 3 ， 4 ） zh ong1 d e0 üan2 s u4 ； z uo4 A B C A B c .
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) ，
zh eng4 m ing2 ： j ia3 sh e4 P B P C b u4 ch eng2 l i4 ， z e2 P B P C .
üan2 sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 D d r 2 4 6 .
r u2 g uo3 p ing2 m ian4 uai4 iou3 l iang3 d ian3 A ， B ， t a1 m en0 d ao4 p ing2 m ian4 d e0 j ü4 l i2 d ou1 sh i4 a ， n a4 m e0 zh i2 x ian4 A B h e2 p ing2 m ian4 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
j ie3 ： g en1 j ü4 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 d e2 ( a 1 ) 2 ( a 1 ) ( a 4 ) ，
s uo3 i3 d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 sh i4 g uo4 d ian3 M q ie3 ch uei2 zh i2 ü2 zh i2 x ian4 x y 4 0 d e0 zh i2 x ian4 .
r uo4 1 ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh ong1 b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 c uo4 u4 d e0 sh i4 （ ）
s i4 g e4 zh i2 l i4 z ai4 d i4 m ian4 sh ang4 d e0 z i4 m u3 g uang3 g ao4 p ai2 z ai4 b u4 t ong2 q ing2 k uang4 x ia4 ， z ai4 d i4 m ian4 sh ang4 d e0 t ou2 ing3 （ in1 ing3 b u4 f en4 ） x iao4 g uo3 r u2 t u2 . z e2 z ai4 z i4 m u3 L 、 K 、 C d e0 t ou2 ing3 zh ong1 ， ü3 z i4 m u3 N sh u3 t ong2 i1 zh ong3 t ou2 ing3 d e0 iou3 （ ）
s uo3 i3 iou3 l i3 sh u4 d e0 h e2 ü3 u2 l i3 sh u4 d e0 j i1 d e0 ch a4 1 2 .
s i4 b ian1 x ing2 E F G H sh i4 j ü3 x ing2 .
d a4 üan2 ü3 x iao3 üan2 d e0 b an4 j ing4 zh i1 b i3 sh i4 3 : 2 ， n a4 m e0 d a4 üan2 ü3 x iao3 üan2 d e0 zh ou1 ch ang2 d e0 b i3 sh i4 （ ） ， d a4 üan2 ü3 x iao3 üan2 d e0 m ian4 j i1 d e0 b i3 sh i4 （ ） 。
m an3 z u2 d e0 zh i2 x ian4 a ü3 p ing2 m ian4 k e3 i3 x iang1 j iao1 ， g u4 c uo4 u4 ；
D . 6 x 2 m 2 x m 3 x m ， g u4 c uo4 u4 .
f ( x ) f ( x ) q ie3 z ai4 （ ， 0 ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 .
g u4 s i4 m ian4 t i3 A B C D d e0 s an1 sh i4 t u2 sh i4 ，
g u4 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 （ 1 ， ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f an3 b i3 l i4 』
x iong2 g uan3 z ai4 j ia3 sh an1 d e0 （ ） f ang1 x iang4 ， j ia3 sh an1 d e0 d ong1 n an2 f ang1 x iang4 iou3 （ ） ； d ong4 u4 üan2 d e0 x i1 n an2 j iao3 iou3 （ ） ， h ou2 g uan3 z ai4 d ong4 u4 üan2 d e0 （ ） j iao3 。 sh e2 g uan3 z ai4 x iang4 g uan3 d e0 （ ） m ian4 。
j ie3 ： （ 1 ） d ang1 n 3 sh i2 ， M { 1 ， 2 ， 3 } ， S 3 1 ， T 3 2 ， 2 ，
j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 A d e0 j i2 z uo4 b iao1 sh i4 （ 3 ， ） ， z e2
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j üe2 d uei4 zh i2 』
d ai4 r u4 x y k ， d e2 k x y 1 .
q ü3 i3 d ian3 O uei4 d uan1 d ian3 d e0 s an1 t iao2 x ian4 d uan4 O A ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 j ia1 、 j ian3 f a3 f a3 z e2 j i2 j i3 h e2 i4 i4 』
i1 t ian1 z ao3 ch en2 d e0 q i4 uen1 sh i4 7 ， zh ong1 u3 iou4 sh ang4 sh eng1 l e0 1 1 ， u3 ie4 iou4 x ia4 j iang4 l e0 9 u3 ie4 d e0 q i4 uen1 sh i4 （ ）
B . zh i2 x ian4 d uei4 ch en4
（ zh u4 ： p ing2 d i4 j iang4 ü3 l iang4 d eng3 ü2 p en2 zh ong1 j i1 sh uei3 t i3 j i1 ch u2 i3 p en2 k ou3 m ian4 j i1 ； i1 ch i3 d eng3 ü2 sh i2 c uen4 ）
（ 2 ） j iang1 l iang3 üan2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 x iang1 j ian3 ， d e2 j ing1 g uo4 l iang3 üan2 j iao1 d ian3 d e0 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 .
【 t i2 sh i4 】 『 6 sh i2 l iang3 ch uan2 s uo3 x ing2 l u4 ch eng2 『 』 9 3 l iang3 d i4 j ü4 l i2 。 』
（ 2 ） d ang1 A C B D sh i2 ， iou2 i3 zh i1 A C B C ，
r u2 t u2 sh i4 i2 g e4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 uei4 2 0 c m d e0 zh uang1 iou3 i1 b u4 f en4 sh uei3 d e0 üan2 zh u4 x ing2 b o1 l i2 b ei1 ， sh uei3 zh ong1 f ang4 zh e0 i2 g e4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 uei4 6 c m ， g ao1 uei4 2 0 c m d e0 üan2 zh uei1 x ing2 q ian1 ch uei2 ， q ie3 sh uei3 m ian4 g ao1 ü2 üan2 zh uei1 d ing3 b u4 ， d ang1 q ian1 ch uei2 c ong2 sh uei3 zh ong1 q ü3 ch u1 h ou4 ， b ei1 l i3 d e0 sh uei3 j iang1 x ia4 j iang4 d uo1 sh ao3 ？
s uo3 i3 a c b d ， ü3 t i2 sh e4 m ao2 d uen4 ，
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ： zh e4 g e4 t u2 x ing2 b u4 k e3 n eng2 sh i4 .
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C 1 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， q ü1 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s 6 s i n .
x ian4 d uan4 A B zh ong1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） .
i3 zh i1 i1 üan2 er4 c i4 f ang1 ch eng2 x 2 3 x 1 0 d e0 l iang3 g e4 g en1 uei4 x 1 ， x 2 ， n a4 m e0 ( 1 x 1 ) ( 1 x 2 ) d e0 zh i2 d eng3 ü2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 l i4 ch i3 d e0 ing4 iong4 』
i3 zh i1 üan2 zh uei1 d i3 m ian4 üan2 d e0 b an4 j ing4 uei4 1 ， c e4 m ian4 zh an3 k ai1 t u2 sh i4 i2 g e4 üan2 x in1 j iao3 uei4 1 2 0 d e0 sh an4 x ing2 ， z e2 g ai1 üan2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 j i1 sh i4 .
s uo3 i3 x 2 y 2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 1 1 6 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 1 1 6 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 b i3 zh i2 h e2 h ua4 j ian3 b i3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ： üan2 zh uei1 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 sh i4 s uo3 iou3 g uo4 d ing3 d ian3 d e0 j ie2 m ian4 zh ong1 m ian4 j i1 z uei4 d a4 d e0 i2 g e4 ； üan2 zh u4 d e0 s uo3 iou3 p ing2 x ing2 ü2 d i3 m ian4 d e0 j ie2 m ian4 d ou1 sh i4 üan2 ； üan2 t ai2 d e0 l iang3 g e4 d i3 m ian4 k e3 i3 b u4 p ing2 x ing2 . q i2 zh ong1 ， zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
s uo3 i3 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 [ 1 ， 0 ] .
（ 1 ） q iou2 h ao4 m ian4 x ü1 iao4 g eng1 h uan4 d e0 g ai4 l ü4 ；
（ 2 ） r uo4 h an2 sh u4 f ( x ) c o s ( x ) c o s s i n ( x ) s i n ， q iou2 h an2 sh u4 g ( x ) f ( 2 x ) 2 f 2 ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ] sh ang4 d e0 zh i2 ü4 .
（ ） q iou2 P D ü3 p ing2 m ian4 A B C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 uei4 4 5 ， q iou2 zh eng4 ： M N p ing2 m ian4 P C D .
sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 ， d ang1 zh eng4 sh i4 t u2 uei4 zh eng4 f ang1 x ing2 sh i2 ， q i2 m ian4 j i1 z uei4 x iao3 uei4 1 ；
r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 zh ong1 ， P ， Q ， M ， N f en1 b ie2 sh i4 s uo3 z ai4 l eng2 d e0 zh ong1 d ian3 ， z e2 zh e4 s i4 g e4 d ian3 g ong4 m ian4 d e0 t u2 x ing2 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
üan2 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 .
（ 2 ） m ian4 P A D d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 x iang4 l iang4 （ 0 ， 3 ， 0 ） ， sh e4 m ian4 B D M ü3 m ian4 P A D s uo3 ch eng2 d e0 r uei4 er4 m ian4 j iao3 uei4 ，
（ 2 ） d ang1 （ ） i2 d ing4 d e0 sh i2 h ou4 ， f en1 t ang2 d e0 r en2 sh u4 ü3 m ei3 r en2 f en1 d e0 d e0 sh u4 l iang4 ch eng2 （ ） g uan1 x i4 。
（ 3 ） üan2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 h ou4 sh i4 i2 g e4 d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 。 （ ）
zh ong1 ， 2 5 sh i4 5 d e0 b ei4 sh u4 ， z e2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 ；
B . in1 uei4 3 2 9 0 ， s uo3 i3 3 2 m ei2 iou3 p ing2 f ang1 g en1 ， g u4 b en3 x üan3 x iang4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
（ 1 ） i3 1 5 . 7 d m uei4 g ao1 ， 1 2 . 5 6 d m uei4 d i3 m ian4 zh ou1 ch ang2 ， r ong2 j i1 uei4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ü2 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4 』
g u4 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 h e2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 d i4 h u4 h ua4 』
iou2 t i2 i4 k e3 zh i1 ： ，
j iang1 q ü1 x ian4 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 2 ) 2 y 2 4 ， z e2 üan2 C d e0 üan2 x in1 uei4 （ 2 ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 2 .
r u2 t u2 ， j iang1 A B C ian2 B C f ang1 x iang4 p ing2 i2 zh i4 D E F ch u4 . r uo4 E C 2 B E 2 ， z e2 C F d e0 zh ang3 uei4 .
（ 2 ） d ao4 x zh ou2 j ü4 l i2 uei4 3 d e0 d ian3 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 sh i4 y 3 h uo4 y 3 ， s uo3 i3 j ie2 l uen4 c uo4 u4 ；
A . üan2 zh uei1 d e0 d i3 m ian4 m ian4 j i1 g ao1 t i3 j i1 3 ， in1 c i3 ， üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 i2 d ing4 ， d i3 m ian4 m ian4 j i1 ü3 g ao1 ch eng2 f an3 b i3 l i4 g uan1 x i4 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j üe2 d uei4 zh i2 』
d a2 an4 ： 3 0 0 ， 4 ， 2 ， 4 ， 1 0 . 5 ， p ing2 f ang1 f en1 m i3 ， l i2 m i3 。
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 B ， x 2 2 x 1 ( x 1 ) 2 2 ， d ang1 x 3 sh i2 ， ( x 1 ) 2 2 0 ， s uo3 i3 c i3 m ing4 t i2 ch eng2 l i4 ， g u4 B zh eng4 q üe4 ；
（ 1 ） x ie3 ch u1 C d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 q iou2 M ， N d e0 j i2 z uo4 b iao1 ；
D . A ü3 B h u4 uei4 d uei4 l i4 sh i4 j ian4
m ou3 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， t a1 d e0 t i3 j i1 uei4 （ ）
x iong2 g uan3 z ai4 j ia3 sh an1 d e0 （ x i1 b ei3 ） f ang1 x iang4 ， j ia3 sh an1 d e0 d ong1 n an2 f ang1 x iang4 iou3 （ x iang4 g uan3 ） ； d ong4 u4 üan2 d e0 x i1 n an2 j iao3 iou3 （ sh e2 g uan3 ） ， h ou2 g uan3 z ai4 d ong4 u4 üan2 d e0 （ d ong1 b ei3 ） j iao3 。 sh e2 g uan3 z ai4 x iang4 g uan3 d e0 （ x i1 ） m ian4 。
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z ai4 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh ong1 ， P A P B P C B C ， q ie3 B A C 9 0 ， q iou2 P A ü3 d i3 m ian4 A B C s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 d a4 x iao3 .
p ing2 m ian4 B D C 1 p ing2 m ian4 B 1 D 1 A .
B D p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
j ie3 ： iou2 t i2 i4 p ， q zh ong1 iou3 q ie3 j in3 iou3 i1 uei4 zh en1 ， i1 uei4 j ia3 .
j ie3 ： iou2 5 2 ， z e2 f ( 5 ) 5 1 4 .
d ang1 A B x zh ou2 sh i2 ， | F A | | F B | p ， sh ang4 sh i4 ch eng2 l i4 .
【 t i2 sh i4 】 『 zh uan3 h ua4 uei4 q iou2 f ( x ) z ai4 『 （ 1 ， 2 ） 』 sh ang4 d e0 h an2 sh u4 j ie3 x i1 sh i4 ， z ai4 iong4 （ 『 x 1 』 ） d ai4 t i4 x . 』
j ie3 ： sh e4 x ian4 z ai4 k e3 i3 d uo1 m ai3 x g e4 zh e4 zh ong3 l iou1 l iou1 q iou2 ， z e2
D . f ei1 f u4 sh i2 sh u4
( x 3 2 ) ( y 2 1 ) 3 x 2 y ， j i2 x 3 y 2 3 3 x 2 y ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x y 1 sh i2 q ü3 d eng3 h ao4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 ing4 iong4 』
j i2 d ian3 d uei4 ing4 d e0 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 0 ， 0 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ü2 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 ( ao4 sh u4 ) 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
B . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4
j ü2 sh u4 X d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4
üan2 b u4 d eng3 sh i4 k e3 h ua4 uei4 x 3 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch eng2 f a3 』
b 2 2 a （ d ang1 a b sh i2 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ） ；
A （ a ， 0 ） ， B （ a ， 0 ） （ a 0 ） ， sh e4 d ing3 d ian3 C （ x ， y ） ， iou2 ü2 A B C uei4 zh i2 j iao3 d e0 s an1 j iao3 x ing2 ，
zh eng4 x ian2 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 h e2 x ing4 zh i4
j ie3 ： g en1 j ü4 p ing2 f ang1 ch a4 g ong1 sh i4 d e2 m 2 1 6 n 2 ( m 4 n ) ( m 4 n ) .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 （ 3 ， ） g uan1 ü2 （ R ） d uei4 ch en4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ ）
s uo3 i3 a 2 sh i2 b 3 ， a 2 sh i2 b 3 ，
f u4 sh u4 iou3 ： 1 ， 3 . 1 4 ， 1 . 7 3 2 ，
h uen4 h e2 ün4 s uan4 。
（ 2 ） üan2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 sh i4 üan2 ， c e4 m ian4 sh i4 i2 g e4 q ü3 m ian4 ， g u4 üan2 t i2 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 ；
h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ： 2 2 x 5 ，
（ 2 ） x ie3 ch u1 n i4 f ou3 m ing4 t i2 ， p an4 d uan4 q i2 zh en1 j ia3 ， b ing4 zh eng4 m ing2 n i3 d e0 j ie2 l uen4 .
j ie3 ： （ 1 ） j ie2 h e2 d ian3 A （ 4 ， 1 ） ， B （ 1 ， 6 ） ， C （ 3 ， 2 ） d e0 z uo4 b iao1 k e3 d e2
r uo4 j iang1 s an1 g e4 sh u4 、 、 ， b iao3 sh i4 z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 ， q i2 zh ong1 n eng2 b ei4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 sh u4 zh ou2 sh ang4 m o4 j i4 f u4 g ai4 d e0 sh u4 sh i4 n a3 i2 g e4 ？
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 zh eng4 q üe4 d e0 m ing4 t i2 uei4 （ 2 ） 、 （ 4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
j iang1 d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 d ai4 r u4 ，
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 i 2 k sh i2 ， x i k ( ) k uei4 ch ang2 sh u4 .
m ou3 üe4 d uei4 c an1 j ia1 i1 h u4 uai4 in1 üe4 j ie2 ， zh uen3 b ei4 c ong2 3 sh ou3 üan2 ch uang4 x in1 q ü1 h e2 5 sh ou3 j ing1 d ian3 g e1 q ü3 zh ong1 s uei2 j i1 x üan3 z e2 4 sh ou3 j in4 x ing2 ian3 ch ang4 .
A ， l i4 iong4 ü2 x ian2 d ing4 l i3 k e3 d e2 a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A 5 ，
d ao4 O z zh ou2 d e0 j ü4 l i2 uei4 2 .
iou4 u3 ie4 x ia4 j iang4 l e0 9 ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 sh i4 （ ）
j ie3 ： | P Q | 1 ， A P F 1 d e0 n ei4 q ie1 üan2 z ai4 b ian1 P F 1 sh ang4 d e0 q ie1 d ian3 uei4 Q ，
j ie3 ： l ing4 x t ， z e2 y 2 t 1 ， k e3 d e2
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， p q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 ， q i2 t a1 d ou1 sh i4 j ia3 m ing4 t i2 .
d a2 ： t a1 z ai4 j ia3 sh ang1 ch ang3 g ou4 u4 h e2 s uan4 i1 x ie1 。
j iang1 d ai4 r u4 sh ang4 sh i4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l iang3 j iao3 h e2 ü3 ch a4 d e0 zh eng4 x ian2 g ong1 sh i4 』
A . t uo3 üan2 d e0 i1 b u4 f en4
y x 1 ， g u4 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 j i2 x y 1 0 .
iou4 A C 1 p ing2 m ian4 A C C 1 A 1 ，
d uei4 ü2 D ， y c o s ( 2 x ) c o s 2 x ， T ， g ai1 h an2 sh u4 sh i4 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 d e0 ou3 h an2 sh u4 ；
m ou3 sh ang1 ch ang3 1 0 üe4 f en4 ing2 ie4 e2 uei4 8 5 0 uan4 üan2 ， r u2 g uo3 an4 ing2 ie4 e2 d e0 5 j iao1 n a4 ing2 ie4 sh uei4 ， n a4 m e0 zh e4 j ia1 sh ang1 ch ang3 zh e4 g e4 üe4 iao4 j iao1 n a4 ing2 ie4 sh uei4 d uo1 sh ao3 uan4 üan2 ？
1 9 0 0 4 0 0 4 … … 3 0 0 ， 1 9 0 0 n ian2 b u2 sh i4 r uen4 n ian2 ；
sh e4 O uei4 d i3 m ian4 zh ong1 x in1 ， z e2 d ing3 d ian3 z ai4 d i3 m ian4 sh ang4 d e0 sh e4 ing3 zh eng4 h ao3 l uo4 z ai4 d i3 m ian4 d e0 zh ong1 x in1 O sh ang4 ，
（ 3 ） l ing4 t 1 ， z e2 t [ 1 ， 1 ] q ie3 x ( t 1 ) 2 ，
i3 zh i1 h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 2 a x 4 （ 3 a 0 ） ， q i2 t u2 x iang4 sh ang4 l iang3 d ian3 d e0 h eng2 z uo4 b iao1 uei4 x 1 ， x 2 ， m an3 z u2 x 1 x 2 ， q ie3 x 1 x 2 1 a ， z e2 （ ）
g u4 b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 5 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | x 0 ， h uo4 x 5 } .
（ 3 ） iou2 ü2 t ou2 z i3 g e4 iou3 3 g e4 ou3 sh u4 ， 3 g e4 j i1 sh u4 ，
B . r uo4 a 2 b 2 0 ， z e2 a 0 h uo4 b 0
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh ou1 j iao3 d ing4 l i3 』
s uo3 i3 b u4 d eng3 sh i4 uei4 3 x 2 ( 3 ) 6 0 ， j i2 3 x 1 2 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i2 h e2 d e0 h an2 i4 ü3 b iao3 sh i4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ch u2 f a3 』
【 t i2 sh i4 】 『 y u v ， y u 『 』 v ， 1 sh i4 ch ang2 sh u4 ， z e2 1 『 0 』 . 』
s uo3 i3 ， j i2 x y 6 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 h e2 f en1 sh u4 d e0 h u4 h ua4 』
x ia4 l ie4 m ing4 t i2 c uo4 u4 d e0 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
in1 uei4 P （ 1 ， 1 ） m an3 z u2 ( x 1 ) 2 y 2 1 ， z e2 d ian3 P z ai4 üan2 sh ang4 ，
b u4 d eng3 sh i4 z u3 d e0 j ie3 j i2 k e3 iong4 P 、 Q b iao3 sh i4 uei4 P C I Q .
“ p ” j ia3 ， “ q ” uei4 zh en1 ， “ p q ie3 q ” j ia3 ， “ p h uo4 q ” zh en1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 』
【 t i2 sh i4 】 『 k ai1 g uan3 sh i2 j ian1 x ia4 b an1 sh i2 j ian1 『 』 sh ang4 b an1 sh i2 j ian1 。 』
【 t i2 sh i4 】 『 ， z e2 c uen2 z ai4 sh i2 sh u4 ， sh i3 『 』 . 』
A z ai4 ü3 d e0 j iao1 x ian4 m sh ang4 ， j i2 A m .
sh i2 sh u4 a ， b ， c ， d m an3 z u2 x ia4 l ie4 s an1 g e4 t iao2 j ian4 ： d c ； a b c d ； a d b c ， z e2 j iang1 a ， b ， c ， d an4 zh ao4 c ong2 x iao3 d ao4 d a4 d e0 c i4 x ü4 p ai2 l ie4 uei4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng4 x ian2 d ing4 l i3 』
g u4 c ü3 b d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 i4 m ian4 h uo4 x iang1 j iao1 .
i3 zh i1 üan2 zh uei1 d e0 c e4 m ian4 j i1 zh an3 k ai1 t u2 sh i4 i2 g e4 üan2 x in1 j iao3 uei4 1 2 0 q ie3 m ian4 j i1 uei4 3 d e0 sh an4 x ing2 ， z e2 g ai1 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 d eng3 ü2 .
g uan1 ch a2 ， an4 g uei1 l ü4 x ie3 sh u4 ： 2 ， 5 ， 1 0 ， 1 7 ， ， .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 x iao3 sh u4 d e0 j ia1 f a3 h e2 j ian3 f a3 』
A B S d e0 uai4 j iao3 uei4 7 5 ， S A B 3 0 ，
j ie3 ： in1 uei4 P A ， P B ， P C l iang3 l iang3 ch uei2 zh i2 ，
（ 1 ） j ia3 sh e4 sh i4 zh eng4 q üe4 d e0 ；
q ü3 O B t ， t uei4 c an1 sh u4 ， 0 t a ，
【 t i2 sh i4 】 『 O Q h e2 O P zh i1 j ian1 d e0 j ia1 j iao3 uei4 『 』 . 』
i3 zh i1 üan2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 4 c o s ( ) 6 0 .
g u4 zh e4 g e4 ch ang2 f ang1 t i3 d e0 b iao3 m ian4 j i1 sh i4 5 8 p ing2 f ang1 l i2 m i3 。
sh e4 j i1 ün4 d ong4 üan2 m ei3 c i4 sh e4 j i1 m ing4 zh ong4 d e0 h uan2 sh u4 k e3 n eng2 uei4 1 h uan2 、 2 h uan2 d eng3 ü2 ， sh i4 s uei2 j i1 x ian4 x iang4 ；
A . zh eng4 sh u4 ü3 f u4 sh u4 h u4 uei4 x iang1 f an3 sh u4
z uo4 A O E B O D 3 0 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， s uei2 j i1 sh i4 ian4 zh ong1 ， sh e4 x ian4 O C k e3 n eng2 l uo4 z ai4 sh an4 m ian4 A O B n ei4 r en4 i4 i1 t iao2 sh e4 x ian4 sh ang4 ，
z e2 üan2 uen4 t i2 d eng3 j ia4 ü2
j ie3 ： g en1 j ü4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 d e0 g ai4 n ian4 k e3 zh i1 ： x üan3 x iang4 D zh ong1 h an2 iou3 “ c uen2 z ai4 ” ， g u4 D sh i4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
j ing1 j ian3 ian4 ， d ian3 P （ 2 ， ） z ai4 q ü1 x ian4 c o s ( ) 2 sh ang4 ，
s uo3 i3 M 1 d e0 üan2 x in1 uei4 （ 1 ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 1 ， f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 y 2 1 ， （ 1 x 2 ， y 0 ） ，
（ 2 ） q iou2 M d e0 n i4 j ü3 zh en4 M 1 .
（ 2 ） r uo4 “ p q ” uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
d a2 ： j ia3 sh u1 g uei4 m ei3 c eng2 f ang4 d e0 sh u1 g eng4 d uo1 ， d uo1 6 b en3 。
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
iou2 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 d ing4 i4 ， d e2 h u2 d e0 zh ang3 h e2 x ian4 d uan4 A M d e0 zh ang3 x iang4 d eng3 .
j ie3 f ang1 ch eng2 z u3 ， d e2 ， h uo4 ，
n a3 i1 zh ong3 f ang1 an4 g eng4 sh eng3 c ai2 l iao4 ？ uei4 sh en2 m e0 ？
sh e4 q iou2 d e0 b an4 j ing4 uei4 R c m ， iou2 O C D A C B ， d e2 ，
d ai4 r u4 x a ( t s i n t ) ， d e2 x a ( 2 k s i n 2 k ) .
r u2 t u2 ， i3 zh i1 sh uang1 q ü1 x ian4 1 （ a 0 ， b 0 ） d e0 z uo3 、 iou4 j iao1 d ian3 f en1 b ie2 uei4 F 1 ， F 2 ， | F 1 F 2 | 4 ， d ian3 P sh i4 sh uang1 q ü1 x ian4 iou4 zh i1 sh ang4 d e0 i4 d ian3 ， F 2 P ü3 y zh ou2 j iao1 ü2 d ian3 A ， A P F 1 d e0 n ei4 q ie1 üan2 z ai4 b ian1 P F 1 sh ang4 d e0 q ie1 d ian3 uei4 Q . r uo4 | P Q | 1 ， z e2 sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 l i2 x in1 l ü4 sh i4 （ ）
s i4 b ian1 x ing2 A B C D sh i4 l ing2 x ing2 .
j ia3 sh e4 E F ü3 P C b u2 sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ， j i2 E F ü3 P C g ong4 m ian4 ，
d uei4 ü2 D ， r u2 g uo3 l iang3 g e4 b u4 ch ong2 h e2 d e0 p ing2 m ian4 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 ， n a4 m e0 t a1 m en0 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i1 t iao2 g uo4 g ai1 d ian3 d e0 g ong1 g ong4 zh i2 x ian4 ， sh i4 g ong1 l i3 3 .
（ 4 ） zh i4 sh ao3 iou3 i1 c i4 j i1 zh ong4 l e0 f ei1 j i1 ， s uo3 i3 j i2 d i4 i1 c i4 j i1 zh ong4 f ei1 j i1 h uo4 d i4 er4 c i4 j i1 zh ong4 f ei1 j i1 ， h uo4 zh e3 l iang3 c i4 d ou1 j i1 zh ong4 l e0 f ei1 j i1 ， s uo3 i3 m ing4 t i2 u k e3 b iao3 sh i4 uei4 p q .
d a2 an4 ： ch uei2 .
（ 1 ） zh eng4 m ing2 ： r u2 t u2 s uo3 sh i4 ，
j ie3 ： l sh ang4 d e0 d ian3 P 1 d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 uei4 t 1 ， z e2 P 1 （ a t 1 ， b t 1 ） ，
d e0 p ing2 f ang1 g en1 sh i4 （ ）
s uo3 i3 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 sh i4 （ ， ） .
iou2 m ian4 P A D m ian4 A B C D A D ， iou2 m ian4 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4 d ing4 l i3 ， d e2 P O m ian4 A B C D .
iou2 x 3 0 ， 4 x 0 ， k e3 d e2 3 x 4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j i2 z uo4 b iao1 k e4 h ua4 d ian3 d e0 uei4 zh i4 』
sh e4 j ü3 zh en4 M d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 zh i2 d uei4 ing4 d e0 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 uei4 ， q iou2 m ü3 d e0 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q iou2 z uo4 b iao1 k e4 h ua4 d ian3 d e0 uei4 zh i4 』
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 . zh i2 x ian4 l ： s i n ( ) m （ m R ） ， üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） . d ang1 üan2 x in1 C d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei2 sh i2 ， q iou2 m d e0 zh i2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g u3 d ian3 g ai4 x ing2 j i2 q i2 g ai4 l ü4 j i4 s uan4 g ong1 sh i4 』
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 （ q i2 zh ong1 a ， b b iao3 sh i4 zh i2 x ian4 ， b iao3 sh i4 p ing2 m ian4 ） zh ong1 ， zh eng4 q üe4 sh uo1 f a3 d e0 g e4 sh u4 uei4 .
zh eng4 m ing2 ： j ia3 sh e4 B E M E ， z ai4 M B E zh ong1 z e2 iou3 E M B M B E 4 5 ，
x ia4 l ie4 g e4 t i2 zh ong1 ， l iang3 zh ong3 l iang4 ch eng2 f an3 b i3 l i4 g uan1 x i4 d e0 sh i4 （ ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 ü3 x ie2 l ü4 』
i3 zh i1 z ai4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 d e0 s an1 l eng2 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong1 ， g uo4 A 1 B 1 d e0 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 A B C j iao1 ü2 zh i2 x ian4 D E ， z e2 D E ü3 A B d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 sh i4 .
j ie3 ： p ao1 i1 m ei2 j ün1 ün2 ing4 b i4 ， l uo4 d i4 h ou4 k e3 n eng2 zh eng4 m ian4 ch ao2 sh ang4 ， ie3 k e3 n eng2 f an3 m ian4 ch ao2 sh ang4 ，
m ing4 t i2 “ r uo4 x 2 4 ， z e2 2 x 2 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 uei4 .
D . 1 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 1
i3 sh u4 : j ia3 sh u4 : 1 8 : 2 5 。
A d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 4 ） .
sh e4 j i2 h e2 A { 1 ， 2 } ， B { 1 ， 2 ， 3 } ， C { 2 ， 3 ， 4 } ， z e2 ( A B ) C （ ）
2 . 5 0 . 3 6 8 0 7 2 （ p ing2 f ang1 m i3 ）
d a2 an4 ： 0 h uo4 1 .
j ie3 ： j iang1 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ） b ian4 x ing2 h ou4 k e3 d e2 ：
8 d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 2 ；
j ie3 d e2 h uo4 ，
（ 1 ） q iou2 m d e0 zh i2 ；
（ 2 ） l ing4 t 1 ， z e2 t [ 1 ， ] q ie3 x ( t 1 ) 2 ，
er4 x iang4 sh i4 ( a ) 6 d e0 zh an3 k ai1 sh i4 t ong1 x iang4 uei4 T k 1 ( 2 ) 6 k ( ) k ( 1 ) k 2 6 k x 3 k ， l ing4 3 k 0 ， z e2 k 3 ，
r uo4 sh i2 sh u4 x ， y m an3 z u2 1 ， z e2 z x y d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 ， z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
t 2 sh i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
s uo3 i3 n ， j i2 a n .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh u4 l iang4 j i1 d e0 z uo4 b iao1 b iao3 sh i4 』
sh e4 t ong2 q iou2 d e0 b an4 j ing4 uei4 R ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 b iao3 m ian4 j i1 』
g uo4 d ian3 （ 1 ， 0 ） q ie3 ü3 zh i2 x ian4 x 2 y 2 0 ch uei2 zh i2 d e0 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 sh i4 .
（ 1 ） q iou2 j ia3 x üan3 z uo4 D t i2 ， q ie3 i3 、 b ing3 d ou1 b u4 x üan3 z uo4 D t i2 d e0 g ai4 l ü4 ；
（ 2 ） j i4 s uan4 d e0 b 2 ， b 3 .
{ } sh i4 sh ou3 x iang4 uei4 1 ， g ong1 ch ai1 uei4 1 d e0 d eng3 ch a1 sh u4 l ie4 ，
t a1 sh i4 i3 （ 1 ， 2 ） uei4 üan2 x in1 ， 1 uei4 b an4 j ing4 d e0 üan2 ， h ua4 ch u1 t u2 x ing2 ， l ian2 j ie1 üan2 x in1 O ü3 d ian3 P ， j iao1 üan2 ü2 d ian3 A ， c i3 sh i2 | A P | q ü3 z uei4 x iao3 zh i2 ， A d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， 1 ） ，
g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 j i3 g e4 m ing4 t i2 ：
g en1 j ü4 q iou2 b an4 j ing4 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou2 s an1 sh i4 t u2 q iou2 m ian4 j i1 、 t i3 j i1 』
s uo3 i3 üan2 x in1 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 ， 0 ） .
i3 zh i1 i2 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 s an1 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 sh i4 1 2 c m 、 1 6 c m 、 2 0 c m ， n i3 n eng2 j i4 s uan4 ch u1 zh e4 g e4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 m ian4 j i1 m a0 ？
sh e4 x ， y ， z 0 ， m an3 z u2 x y z y 2 z 2 8 ， z e2 l o g 4 x l o g 2 y l o g 2 z d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 .
i3 zh i1 zh eng4 sh u4 x ， y m an3 z u2 x 2 ( x y ) h eng2 ch eng2 l i4 ， z e2 sh i2 sh u4 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 .
r uo4 f ( x ) sh i4 R sh ang4 d e0 z eng1 h an2 sh u4 ， q ie3 f ( 1 ) 4 ， f ( 2 ) 2 ， sh e4 P { x | f ( x t ) 1 3 } ， Q { x | f ( x ) 4 } . r uo4 “ x P ” sh i4 “ x Q ” d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ， z e2 sh i2 sh u4 t d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
l ian2 j ie2 Q F ， s uo3 i3 j ie2 m ian4 P Q F G R E uei4 zh eng4 l iou4 b ian1 x ing2 .
（ 1 ） uang2 sh u1 sh u1 m ai3 l e0 n a3 i1 zh ong3 sh ang1 p in3 ？
p an4 b ie2 sh i4 ( ) 2 4 1 1 2 ，
n i4 m ing4 t i2 ： r uo4 x 2 4 x 3 0 ， z e2 x 3 ；
sh e4 q iou2 O d e0 b an4 j ing4 uei4 R ， s uo3 i3
b u4 f ang2 q ü3 （ 1 ， 0 ， 1 ） .
sh e4 d ian3 （ 3 ， ） g uan1 ü2 （ R ） d e0 d uei4 ch en4 d ian3 uei4 N （ ， ） ，
（ 2 ） b u4 g ong1 p ing2 . l i3 iou2 r u2 x ia4 ：
j ie3 ： （ 1 ） iou2 t i2 i4 d e2 ，
B . k e3 n eng2 sh i4 8 c m
zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 ü3 x ie2 l ü4
z ong1 sh ang4 zh i1 ， X iou3 f en1 b u4 l ie4 uei4 ：
（ 2 ） zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
f ang1 ch eng2 （ * ） c uen2 z ai4 l iang3 g e4 b u4 d eng3 sh i2 g en1 ， sh e4 uei4 k 1 ， k 2 .
（ 1 ） q iou2 zh eng4 ： M N p ing2 m ian4 A 1 B C ；
üan2 zh u4 zh ong1 sh uei3 d e0 g ao1 3 1 4 ( 3 . 1 4 5 2 ) 4 （ l i2 m i3 ） 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i4 m ian4 zh i2 x ian4 j i2 q i2 s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 』
x ia4 m ian4 sh i4 4 m ing2 t ong2 x üe2 t iao4 g ao1 ch eng2 j i4 t ong3 j i4 b iao3 ， z ai4 b iao3 x ia4 d e0 k uo4 h ao4 zh ong1 t ian2 sh ang4 sh i4 d ang4 d e0 x ing4 m ing2 。
（ 4 ） f u4 sh i2 sh u4 j i2 h e2 { }
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t i3 j i1 、 r ong2 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
i3 zh i1 zh eng4 sh u4 x ， y m an3 z u2 x 2 2 x y 3 0 ， z e2 2 x y d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 .
g uan1 ü2 m i4 h an2 sh u4 y x k j i2 q i2 t u2 x iang4 ， iou3 x ia4 l ie4 s i4 g e4 m ing4 t i2 ：
i3 zh i1 sh uang1 q ü1 x ian4 C ： 1 （ a 0 ， b 0 ） ， t a1 d e0 i2 g e4 d ing3 d ian3 d ao4 j iao4 j in4 j iao1 d ian3 d e0 j ü4 l i2 uei4 1 ， i2 g e4 j iao1 d ian3 d ao4 j ian4 j in4 x ian4 d e0 j ü4 l i2 sh i4 ， z e2 sh uang1 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j in4 s i4 sh u4 d e0 r en4 sh i2 （ zh eng3 sh u4 ） 』
r uo4 i2 g e4 l eng2 zh ang3 uei4 2 d e0 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 b a1 g e4 d ing3 d ian3 z ai4 t ong2 i1 g e4 q iou2 m ian4 sh ang4 ， z e2 g ai1 q iou2 d e0 t i3 j i1 uei4 .
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C 1 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s ( ) 1 ， q ü1 x ian4 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s ( ) ， p an4 d uan4 l iang3 q ü1 x ian4 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4 .
（ 2 ） h an2 sh u4 f ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R ， g uan1 ü2 üan2 d ian3 d uei4 ch en4 ， iou4 f ( x ) 2 | x | 2 | x | f ( x ) ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l i2 s an4 x ing2 s uei2 j i1 b ian4 l iang4 d e0 q i1 uang4 ü3 f ang1 ch a4 』
B 、 r u2 t u2 （ 2 ） 、 （ 3 ） s uo3 sh i4 ， r uo4 A B C b u2 sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， h uo4 sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 d an4 x üan2 zh uan3 zh ou2 b u2 sh i4 zh i2 j iao3 b ian1 ， s uo3 d e0 d e0 j i3 h e2 t i3 d ou1 b u2 sh i4 üan2 zh uei1 ， g u4 B c uo4 u4 ；
i3 zh i1 ou3 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ） sh ang4 d an1 d iao4 d i4 j ian3 ， f ( 2 ) 0 . r uo4 f ( x 1 ) 0 ， z e2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 .
zh i2 x ian4 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 2 y x 2 ，
iou2 d e0 ： t x 2 ， d ai4 r u4 b ing4 zh eng3 l i3 d e2 ： 2 x y 6 0 .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， d ian3 （ 2 ， ） d ao4 üan2 2 c o s d e0 üan2 x in1 d e0 j ü4 l i2 uei4 （ ）
（ 2 ） d ang1 a 1 sh i2 ， q iou2 f 1 ( 2 ) .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b ian4 r en4 f ang1 x iang4 』
s uo3 i3 s i4 b ian1 x ing2 uei4 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 .
（ 1 ） z ai4 i2 g e4 b i3 l i4 zh ong1 ， l iang3 g e4 uai4 x iang4 d e0 j i1 j ian3 q ü4 l iang3 g e4 n ei4 x iang4 d e0 j i1 ， j ie2 g uo3 sh i4 0 。 （ ）
j ie3 ： iou2 y 3 x d e2 y 3 x ， （ x ， y ） （ x ， y ） ，
g u4 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 { x | 2 x 5 h uo4 x 5 } .
x 2 x 1 ( x ) 2 0 ， s uo3 i3 m ing4 t i2 q d e0 f ou3 d ing4 sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
j ie3 ： iou2 ü2 ch eng2 l i4 ，
g ei3 d ing4 sh i2 sh u4 x ， d ing4 i4 [ x ] uei4 b u4 d a4 ü2 x d e0 z uei4 d a4 zh eng3 sh u4 ， z e2 x ia4 l ie4 j ie2 l uen4 zh ong1 b u4 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
sh u4 zh ou2 sh ang4 r en4 i4 i4 d ian3 d ou1 b iao3 sh i4 （ ）
【 t i2 sh i4 】 『 i3 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 d e0 b u4 ü3 『 d i3 』 ch uei2 zh i2 d e0 iao1 uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 s uo3 d e0 d e0 x üan2 zh uan3 t i3 b u2 sh i4 üan2 t ai2 . 』
i3 zh i1 q ü1 x ian4 C ü3 q ü1 x ian4 5 c o s 5 s i n g uan1 ü2 j i2 d ian3 d uei4 ch en4 ， z e2 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
j ie3 ： m ing4 t i2 p ： g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 x 2 2 a x 1 0 iou3 l iang3 g e4 d a4 ü2 1 d e0 sh i2 sh u4 g en1 ，
z e2 sh i4 uei4 h e2 g e2 p in3 ，
（ 0 ， 2 ， 1 ） . sh e4 p ing2 m ian4 Q B D d e0 f a3 x iang4 l iang4 uei4 （ a ， b ， c ） .
p ： x R ， x 3 1 0 ， sh i4 j ia3 m ing4 t i2 ，
P A p ing2 m ian4 A B C ， A D p ing2 m ian4 A B C ，
（ 1 ） sh e4 A h e2 B l iang3 d ian3 d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 uei4 t 1 h e2 t 2 ，
D . a ， b sh i4 f en1 j ie4 d ian3
A . （ t uei4 c an1 sh u4 ）
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， zh i2 x ian4 g uo4 d ian3 （ 1 ， 0 ） q ie3 ü3 zh i2 x ian4 （ R ） ch uei2 zh i2 ， z e2 zh i2 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 .
zh eng4 m ing2 ： a ， b ， c ， d sh i4 zh eng4 sh i2 sh u4 ， q ie3 a b c d 1 ，
s uo3 i3 a 2 c 2 0 ， b 2 c 2 0 ， j i2 c 2 b 2 0 ，
j ie3 ： iou2 ü2 b u4 n eng2 p an4 d uan4 i3 f ang1 ch eng2 f ( x ， y ) 0 d e0 j ie3 uei4 z uo4 b iao1 d i4 d ian3 sh i4 f ou3 d ou1 z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 ， g u4 f ang1 ch eng2 f ( x ， y ) 0 d e0 q ü1 x ian4 b u4 i2 d ing4 sh i4 C ，
【 t i2 sh i4 】 『 g ong4 x iou1 d e0 t ian1 sh u4 『 』 i3 j ing1 x iou1 l e0 d e0 t ian1 sh u4 h ai2 iao4 x iou1 d e0 t ian1 sh u4 。 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 ü3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 』
j ie3 ： iou2 t i2 i4 d e2 ， y ，
zh i2 j iao3 b ian1 A B ，
i2 g e4 sh e4 j i1 ün4 d ong4 üan2 m ei3 c i4 sh e4 j i1 m ing4 zh ong4 d e0 h uan2 sh u4 ；
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ uei4 c an1 sh u4 ） ， zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 ， （ t uei4 c an1 sh u4 ） （ 1 ） q iou2 C h e2 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
j ie3 ： d ian3 A （ 2 ， ） ü3 B （ 2 ， ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 （ ， 1 ） （ ， 1 ） ，
j ie3 ： sh e4 zh e4 g e4 l iang3 uei4 sh u4 g e4 sh u4 sh ang4 d e0 sh u4 z i4 uei4 x ， z e2 sh i2 uei4 sh ang4 d e0 sh u4 z i4 uei4 ( x 3 ) ， g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 ：
（ 1 ） b a3 0 . 0 2 5 g ai3 x ie3 ch eng2 2 5 ， n a4 m e0 üan2 l ai2 d e0 sh u4 j iou4 k uo4 d a4 d ao4 t a1 d e0 1 0 0 0 b ei4 。 （ ）
j ie3 ： sh e4 d ian3 M d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， z ）
d uei4 ü2 B ， b ei4 k ai1 f ang1 sh i4 a 2 b h an2 iou3 n eng2 k ai1 d e2 j in3 f ang1 d e0 in1 sh i4 a 2 ， g u4 b u2 sh i4 z uei4 j ian3 er4 c i4 g en1 sh i4 ；
x 2 y 2 r 2 sh i4 i2 g e4 üan2 x in1 uei4 （ 0 ， 0 ） ， b an4 j ing4 uei4 r d e0 üan2 ，
j ie3 ： q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ，
i3 zh i1 p ： g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 a x 1 （ a 0 ， q ie3 a 1 ） d e0 j ie3 j i2 sh i4 { x | x 0 } ， q ： h an2 sh u4 y l g ( a x 2 x a ) d e0 d ing4 i4 ü4 uei4 R . r uo4 p q uei4 zh en1 m ing4 t i2 ， p q uei4 j ia3 m ing4 t i2 ， q iou2 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
m ing4 t i2 ： “ r uo4 a 2 b 2 0 ， z e2 a 0 q ie3 b 0 ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 sh i4 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g uan1 ü2 ch eng2 f ang1 d e0 ü4 b ei4 zh i1 sh i2 ( ao4 sh u4 ) 』
（ 1 ） q iou2 j ü3 zh en4 M ；
A . ü2 x ian2 zh i2
zh eng4 m ing2 ： l ian2 j ie1 E H 、 A C 、 F G .
s uo3 i3 p ao1 u4 x ian4 d e0 d ing3 d ian3 z uo4 b iao1 sh i4 （ ， ） .
C 1 ， O ， M s an1 d ian3 g ong4 x ian4 .
j ie3 ： （ 1 ） h an2 sh u4 f ( x ) x [ x ] ， x [ 2 ， 2 ] ，
h ua4 j ian3 ， d e2 A d ian3 g uei3 j i4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 1 0 2 0 c o s .
5 8 （ p ing2 f ang1 l i2 m i3 ）
d e2 d ao4 h an2 sh u4 y s i n [ 2 ( x ) ] s i n ( 2 x ) d e0 t u2 x iang4 ，
sh e4 a 0 ， | x 1 | ， | y 2 | ， q iou2 zh eng4 ： | 2 x y 4 | a .
l eng2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 V ( 3 ) 2 2 9 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 』
i3 zh i1 ： a 2 ， x R ， q iou2 zh eng4 ： | x 1 a | | x a | 3 .
s uo3 i3 1 3 c o s （ 1 0 ） uei4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
z ong1 sh ang4 k e3 zh i1 ， üan2 zh u4 d e0 t i3 j i1 uei4 h uo4 .
（ 1 ） r uo4 q ü1 x ian4 C 1 ü3 q ü1 x ian4 C 2 iou3 i2 g e4 g ong1 g ong4 d ian3 z ai4 x zh ou2 sh ang4 ， q iou2 a d e0 zh i2 ；
g en1 j ü4 t i2 sh e4 t iao2 j ian4 ， k e3 d e2 A C r ， P C 3 r ，
zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 s i n ( ) m ， j i2 c o s s i n m ，
g u4 d ing4 i4 ü4 uei4 （ ， ） .
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) x 2 m x 1 d e0 d uei4 ch en4 zh ou2 uei4 x ，
g en1 j ü4 d an1 x iang4 sh i4 d e0 d ing4 i4 k e3 zh i1 x 1 b u2 sh i4 d an1 x iang4 sh i4 ， g u4 C c uo4 u4 ；
g u4 f ( x ) z ai4 q ü1 j ian1 [ 0 ， ） sh ang4 sh i4 r uo4 j ian3 h an2 sh u4 .
j ie3 ： d an1 x iang4 sh i4 d e0 x i4 sh u4 sh i4 ， c i4 sh u4 sh i4 3 .
（ 2 ） b u2 sh i4 m ing4 t i2 ， b u4 n eng2 p an4 d uan4 zh en1 j ia3
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian3 d an1 q ü1 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 』
j ie3 ： sh e4 g ai3 b ian4 zh i1 q ian2 üan2 t ai2 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 uei4 l ， sh ang4 d i3 b an4 j ing4 uei4 r ， x ia4 d i3 b an4 j ing4 uei4 R ， z e2 g ai1 üan2 t ai2 d e0 c e4 m ian4 j i1 ( r R ) l ，
d a2 an4 ： m 2 h uo4 m 3 .
s uo3 i3 a 2 n n 1 h eng2 ch eng2 l i4 ， j i4 d n 2 n n 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ing1 q üe4 d u4 』
j ie2 h e2 zh i1 F n ( x ) （ n N * ） .
r u2 t u2 ， i2 g e4 g uang3 g ao4 q i4 q iou2 b ei4 i1 sh u4 r u4 sh e4 j iao3 uei4 4 5 d e0 p ing2 x ing2 g uang1 x ian4 zh ao4 sh e4 ， q i2 t ou2 ing3 sh i4 i2 g e4 z uei4 zh ang3 d e0 x ian2 zh ang3 uei4 5 m d e0 t uo3 üan2 ， z e2 zh e4 g e4 g uang3 g ao4 q i4 q iou2 d e0 zh i2 j ing4 sh i4 m .
d uei4 ü2 ， iao4 sh i3 h an2 sh u4 iou3 i4 i4 ， z e2 ing1 m an3 z u2 x 2 0 q ie3 1 x 0 ， l ian2 l i4 l iang3 g e4 b u4 d eng3 sh i4 k e3 zh i1 u2 j ie3 ， s uo3 i3 z ai4 y b u2 sh i4 x d e0 h an2 sh u4 .
j ie3 ： g en1 j ü4 iou3 l i3 sh u4 d e0 d ing4 i4 ， k e3 zh i1 ， iou3 l i3 sh u4 b iao3 sh i4 iou3 x ian4 x iao3 sh u4 h uo4 zh e3 u2 x ian4 x ün2 h uan2 x iao3 sh u4 .
sh i2 sh u4 x ， y ， z m an3 z u2 x 0 ， y 0 ， z 0 ， q iou2 zh eng4 ： .
sh ang4 m ian4 i1 p ai2 sh i2 j ian1 sh i4 iong4 p u3 t ong1 j i4 sh i2 f a3 b iao3 sh i4 d e0 sh i2 j ian1 ， x ia4 m ian4 i1 p ai2 sh i2 j ian1 sh i4 iong4 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 b iao3 sh i4 d e0 sh i2 j ian1 ， j iang1 d uei4 ing4 d e0 sh i2 j ian1 l ian2 q i3 l ai2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ü3 b i4 iao4 t iao2 j ian4 』
1 . d ai4 iou3 “ ” h ao4 d e0 sh u4 b u4 i2 d ing4 d ou1 sh i4 zh eng4 sh u4 ， r u2 ( 5 ) 5 ， sh i4 i2 g e4 f u4 sh u4 . üan2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
q i2 z uei4 x iao3 zh i2 uei4 3 ， g u4 iou3 m 3 .
d a2 an4 ： p ing2 x ing2 h uo4 x iang1 j iao1 .
j ie3 ： j iang1 2 s i n d ai4 r u4 c o s 1 d e2 s i n 2 1 .
B . s i n 4 5 1 ， sh i4 m ing4 t i2 ；
j ie2 h e2 zh ong1 d e0 j ie2 l uen4 k e3 zh i1 ， d ian3 H sh i4 A B C d e0 ch uei2 x in1 ， zh eng4 q üe4 .
M N G A C D ， q i2 x iang1 s i4 b i3 uei4 1 : 3 .
t ong2 l i3 k e3 d e2 ， F G B D ，
d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 l j ü4 l i2 d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 2 .
j ie3 ： i3 zh i1 m i4 h an2 sh u4 f ( x ) x a d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 （ 4 ， 2 ） ， z e2
zh i4 z uo4 zh e4 g e4 sh u3 p ian4 t ong3 d e0 c e4 m ian4 b iao1 q ian1 ， x ü1 iao4 d uo1 d a4 m ian4 j i1 d e0 zh i3 ？ zh e4 g e4 sh u3 p ian4 t ong3 d e0 r ong2 j i1 sh i4 d uo1 sh ao3 sh eng1 ？
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， d ian3 P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ， r uo4 i3 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， z e2 d ian3 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 k e3 i3 sh i4 （ ） .
B . j ia3 sh e4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 t ong2 i1 d i3 sh ang4 l iang3 j iao3 b u4 d eng3
S c e4 m ian4 3 2 2 ， S d i3 m ian4 2 2 ，
iou2 z uo4 b iao1 b ian4 h uan4 g ong1 sh i4 ， k e3 d e2 r ，
i3 zh i1 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 ( a 2 4 ) x 2 ( a 2 ) x 1 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 k ong1 j i2 ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
sh e4 sh eng2 z i0 s uo3 z ai4 p ao1 u4 x ian4 d e0 j ie3 x i1 sh i4 uei4 y a ( x 1 ) 2 h （ a 0 ） ， sh eng2 z i0 d e0 z uei4 d i1 d ian3 j ü4 d i3 m ian4 d e0 j ü4 l i2 j iou4 sh i4 h ，
【 t i2 sh i4 】 『 iao4 x ian1 q iou2 h e2 ， h ou4 q iou2 sh ang1 ü3 j i1 ， q iou2 h e2 b u4 f en4 x ü1 iao4 t ian1 sh ang4 『 k uo4 h ao4 』 。 』
B . zh i3 iou3 sh i4 zh i2 x ian4
j ie3 ： 4 h ao2 m i3 0 . 4 l i2 m i3
（ 2 ） q iou2 S M N G : S A C D d e0 zh i2 .
iou2 t i2 i4 zh i1 ， D E : B E 1 : 3 D F : A B ，
（ 2 ） q iou2 A B zh ong1 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
、 6 5 、 、 、 、 0 . 9 、 2 7 zh ong1 ， z uei4 d a4 d e0 sh u4 sh i4 （ ） ， z uei4 x iao3 d e0 sh u4 sh i4 （ ） ， z uei4 j ie1 j in4 d e0 sh u4 sh i4 （ ） 。
j ie3 ： r uo4 x 1 ， z e2 2 ( x 1 ) 1 0 ， s uo3 i3 x ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
i3 zh i1 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， r uo4 y 1 ， z e2 x .
“ x 2 2 x 8 0 ” sh i4 “ x 5 ” d e0 b i4 iao4 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ， j i2 q sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
M d ao4 O A d e0 j ü4 l i2 uei4 1 . 5 c m ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t i3 j i1 、 r ong2 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
（ 2 ） iou2 （ 1 ） k e3 d e2 ， P d ian3 ü3 Q d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 ， .
j ie3 ： 2 （ d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x y sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 ） ， x 0 ， y 0 ，
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 sh i4 （ ）
s uo3 i3 üan2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 ， d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 ，
【 t i2 sh i4 】 『 A 1 B ü3 B C 1 sh i4 p ing2 m ian4 A 1 B C 1 zh ong1 d e0 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 ， 『 p ing2 x ing2 』 ü2 p ing2 m ian4 A C D 1 zh ong1 d e0 l iang3 t iao2 x iang1 j iao1 zh i2 x ian4 C D 1 ü3 A D 1 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iang4 l iang4 d e0 m o2 』
r uo4 d an1 x iang4 sh i4 2 x m 1 y 2 ü3 d an1 x iang4 sh i4 x 2 y n 1 sh i4 t ong2 l ei4 x iang4 ， z e2 m n .
（ 2 ） t ian2 b iao3 r u2 x ia4 。
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ c an1 sh u4 t R ） ， üan2 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ c an1 sh u4 [ 0 ， 2 ] ） ， z e2 üan2 C d e0 üan2 x in1 z uo4 b iao1 uei4 ， üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 uei4 .
X d e0 f en1 b u4 l ie4 uei4
s uo3 i3 f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 .
zh eng4 sh u4 iou3 （ ） 。
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， s i4 b ian1 x ing2 A B C D zh ong1 ， d ang1 A 1 8 0 sh i2 A D B C ， d ang1 A 1 8 0 sh i2 A B C D .
d uei4 ü2 C ， y c o s 2 2 x 1 c o s 4 x 2 ， T ， g ai1 h an2 sh u4 sh i4 z uei4 x iao3 zh eng4 zh ou1 q i1 uei4 d e0 f ei1 q i2 f ei1 ou3 h an2 sh u4 ；
j ie3 ： i4 zh i1 d i3 m ian4 zh eng4 s an1 j iao3 x ing2 d e0 zh ong1 x in1 d ao4 i1 b ian1 d e0 j ü4 l i2 uei4 2 ，
sh e4 x iang1 j iao1 x ian2 zh ang3 uei4 d ，
iou2 d e0 x M ， t ong2 l i3 x N ，
s uo3 i3 üan2 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 1 ) 2 ( y ) 2 9 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
üan2 d e0 m ian4 j i1 uei4 1 6 ，
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， üan2 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 ( x 6 ) 2 y 2 2 5 .
j i4 s uan4 8 9 3 2 5 4 sh i2 ， k e3 i3 x ian1 s uan4 （ 2 5 4 ） ， in1 uei4 t a1 m en0 d e0 j i1 sh i4 zh eng3 b ai3 sh u4 ， zh e4 sh i4 ün4 iong4 l e0 （ ch eng2 f a3 j ie2 h e2 ） l ü4 。
in1 uei4 x iang4 l iang4 ü3 2 g ong4 x ian4 ，
r u2 t u2 ， sh e4 üan2 O d e0 b an4 j ing4 uei4 r ， d ian3 M c ong2 ch u1 sh i3 uei4 zh i4 M 0 （ t 0 sh i2 d e0 uei4 zh i4 ） ch u1 f a1 ， an4 n i4 sh i2 zh en1 f ang1 x iang4 z ai4 üan2 O sh ang4 z uo4 ün2 s u4 üan2 zh ou1 ün4 d ong4 ， sh e4 M （ x ， y ） ， d ian3 M zh uan3 g uo4 d e0 j iao3 d u4 sh i4 ， z e2 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， zh e4 j iou4 sh i4 üan2 x in1 z ai4 üan2 d ian3 ， b an4 j ing4 uei4 r d e0 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 .
zh ong1 ， r uo4 a ， b ， z e2 a ， b h ai2 iou3 k e3 n eng2 i4 m ian4 ， g u4 sh uo1 f a3 c uo4 u4 .
B . in1 uei4 a b 0 ， a b 0 ， g en1 j ü4 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j i1 b en3 x ing4 zh i4 k e3 zh i1 ， t ong2 sh i2 ch eng2 i3 i2 g e4 f u4 sh u4 ， üan2 b u4 d eng3 sh i4 b ian4 h ao4 ， s uo3 i3 a b b 2 ， g u4 B zh eng4 q üe4 ；
x üan2 zh uan3 s uo3 d e0 q iou2 d e0 t i3 j i1 V q iou2 ( ) 3 ，
i3 zh i1 j i3 h e2 t i3 d e0 zh u3 sh i4 t u2 h e2 f u3 sh i4 t u2 r u2 t u2 s uo3 sh i4 .
x ia4 l ie4 g e4 d uei4 h an2 sh u4 zh ong1 ， sh i4 x iang1 d eng3 h an2 sh u4 d e0 x ü4 h ao4 sh i4 .
A ， B l iang3 d ian3 j ü4 l i2 | A B | 2 2 .
z e2 j ü3 zh en4 A sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 3 d e0 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 uei4 ；
（ ） i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian3 ， x zh ou2 zh eng4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， q iou2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
z e2 q i2 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 c o s s i n 1 （ 2 s i n ( ) 1 h uo4 2 c o s ( ) 1 ） .
sh e4 S n sh i4 sh u4 l ie4 { a n } d e0 q ian2 n x iang4 h e2 ， q ie3 a 1 1 ， S n ， z e2 sh u4 l ie4 { a n } d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 a n .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 ü3 ch u2 f a3 d e0 g uan1 x i4 』
zh i2 x ian4 c o s ( ) d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x ia4 d e0 f ang1 ch eng2 sh i4 ( c o s ) x ( s i n ) y a 0 ， q i2 x ie2 l ü4 sh i4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
i3 zh i1 d ian3 P d e0 zh u4 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， 5 ） ， d ian3 B d e0 q iou2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， ） ， q iou2 zh e4 l iang3 g e4 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 .
r u2 t u2 ， i2 g e4 sh uei3 p ing2 f ang4 zh i4 d e0 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 x ie2 er4 c e4 zh i2 g uan1 t u2 sh i4 i2 g e4 d i3 j iao3 uei4 4 5 、 iao1 h e2 sh ang4 d i3 zh ang3 j ün1 uei4 1 d e0 d eng3 iao1 t i1 x ing2 ， z e2 zh e4 g e4 p ing2 m ian4 t u2 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 （ ）
（ 1 ） d ang1 a 3 sh i2 ， q iou2 b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) 3 d e0 j ie3 j i2 ；
G A 1 G C 1 ， O uei4 A 1 C 1 d e0 zh ong1 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 m ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
（ 1 ） b a3 O 1 h e2 O 2 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ；
S A ü3 p ing2 m ian4 A B C D s uo3 ch eng2 d e0 j iao3 sh i4 S A D ；
j ie3 ： （ 1 ） f ( 7 ) d e0 zh an3 k ai1 sh i4 zh ong1 d i4 er4 、 s an1 、 s i4 x iang4 d e0 er4 c i4 x iang4 x i4 sh u4 f en1 b ie2 uei4 7 ， 2 1 ， 3 5 .
d ang1 0 a b sh i2 ， a 5 b 5 ， a b 0 ， k e3 d e2 ( a b ) ( a 5 b 5 ) 0 ， g u4 a 6 b 6 a b ( a 4 b 4 ) ，
j ie3 ： in1 uei4 c o s ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 q ian2 n x iang4 h e2 』
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ） b iao3 sh i4 d e0 t u2 x ing2 sh i4 .
（ 2 ） zh eng4 m ing2 ： iou2 f ang1 ch eng2 ，
q i2 f ou3 d ing4 sh i4 i2 g e4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 ，
r uo4 g uan1 ü2 x d e0 b u4 d eng3 sh i4 | a x 2 | 3 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | x } ， z e2 a .
r u2 t u2 ， z ai4 A B C zh ong1 ， A B A C ， B A C 4 0 ， A D sh i4 B A C d e0 p ing2 f en1 x ian4 ， D E A B ， D F A C ， ch uei2 z u2 f en1 b ie2 uei4 E 、 F ， q ing3 n i3 iong4 d uei4 ch en4 h e2 x üan2 zh uan3 d e0 zh i1 sh i2 h uei2 d a2 x ia4 l ie4 uen4 t i2 ：
j ie3 ： g en1 j ü4 t iao2 j ian4 k e3 zh i1 üan2 d e0 b ai3 x ian4 f ang1 ch eng2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4
B 1 D 1 p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ， B D p ing2 m ian4 C B 1 D 1 ，
， ， j ün1 d a4 ü2 0 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ie3 b i3 l i4 』
in1 uei4 h an2 sh u4 f ( x ) z ai4 [ 0 ， ] sh ang4 uei4 z eng1 h an2 sh u4 .
d ing1 d ing1 h e2 d ong1 d ong1 d ao4 ch ao1 sh i4 g ou4 m ai3 t ong2 i1 zh ong3 in3 l iao4 。
x 0 h uo4 x y 1 0 ， b iao3 sh i4 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 .
p ao1 u4 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 y a iou3 l iang3 g e4 j iao1 d ian3 ，
j ie3 ： iou2 P （ ， ， z ） ， d ang1 sh i2 ， d ian3 P z ai4 p ing2 m ian4 y O z n ei4 .
B . b i4 iao4 er2 b u4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
3 p ing2 f ang1 m i3 3 0 0 p ing2 f ang1 f en1 m i3 4 0 0 p ing2 f ang1 l i2 m i3 4 p ing2 f ang1 f en1 m i3
g u4 j iao1 d ian3 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） .
i3 zh i1 A B sh i4 zh i2 j iao3 t i1 x ing2 A B C D zh ong1 ü3 d i3 b ian1 ch uei2 zh i2 d e0 i1 iao1 （ r u2 t u2 ） . f en1 b ie2 i3 A B ， B C ， C D ， D A uei4 zh ou2 x üan2 zh uan3 ， sh i4 sh i4 sh uo1 m ing2 s uo3 d e0 j i3 h e2 t i3 g e4 sh i4 sh en2 m e0 iang4 d e0 .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 l d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 s i n ( 3 0 ) 1 h uo4 c o s ( 6 0 ) 1 .
t a1 d e0 n i4 m ing4 t i2 、 f ou3 m ing4 t i2 、 n i4 f ou3 m ing4 t i2 r u2 x ia4 ：
iou2 x y k e3 d e2 | x | | y | ，
j ie3 ： （ 1 ） q ü1 x ian4 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 er4 c i4 h an2 sh u4 d e0 t u2 x iang4 ü3 x ing4 zh i4 』
D zh ong1 ， x t a n t ， g en1 j ü4 zh eng4 q ie1 h an2 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 k e3 d e2 x 0 .
z e2 k e3 h uo4 j iang3 j in1 m üan2 ； r uo4 m o1 zh ong1 i3 x iang1 zh ong1 d e0 h ong2 q iou2 ，
x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 （ ）
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ uei4 c an1 sh u4 ） h ua4 uei4 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 （ ）
g u4 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 sh i4 ， c i3 sh i2 q ie3 a 0 ， j ie2 h e2 a b 2 ， d e2 a 2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 ü3 b i4 iao4 t iao2 j ian4 』
i3 zh i1 j i2 h e2 X { 1 ， 2 ， 3 } ， Y n { 1 ， 2 ， 3 ， … ， n } （ n N * ） ， sh e4 S n { ( a ， b ) | a zh eng3 ch u2 b h uo4 b zh eng3 ch u2 a ， a X ， b Y n } . l ing4 f ( n ) b iao3 sh i4 j i2 h e2 S n s uo3 h an2 üan2 s u4 d e0 g e4 sh u4 .
（ 1 ） q iou2 j ü3 zh en4 M ；
l iang3 b ian1 t ong2 sh i2 ch u2 i3 x d e0 x i4 sh u4 8 ， d e2 x .
B x üan3 x iang4 zh ong1 ， f ( 2 x ) 2 x | 2 x | ， 2 f ( x ) 2 ( x | x | ) 2 x | 2 x | f ( 2 x ) ， g u4 B b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
iou2 j i2 h e2 d e0 g uan1 x i4 ， A B A A B ， z e2 A B sh i4 A d e0 z i0 j i2 ， t ong2 sh i2 ie3 sh i4 A B d e0 z i0 j i2 ， uei4 zh en1 m ing4 t i2 .
（ 2 ） d ian3 P z ai4 d i4 s an1 x iang4 x ian4 n ei4 .
z i4 j i2 d ian3 O r en4 i4 z uo4 i1 t iao2 sh e4 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 c o s 3 x iang1 j iao1 ü2 d ian3 M ， z ai4 sh e4 x ian4 O M sh ang4 q ü3 d ian3 P ， sh i3 d e0 O M O P 1 2 ， q iou2 d ong4 d ian3 P d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 b a3 t a1 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 .
（ 3 ） g en1 j ü4 t i2 i4 k e3 d e2 D E D F a ， E F a ，
【 t i2 sh i4 】 『 d ang1 j ie2 m ian4 p ing2 x ing2 ü2 zh eng4 f ang1 t i3 d e0 i2 g e4 c e4 m ian4 sh i2 ， j ie2 m ian4 uei4 üan2 zh ong1 h an2 iou3 i2 g e4 『 zh eng4 f ang1 x ing2 』 . 』
d ang1 0 x 1 sh i2 ， x y 1 ， j i2 y x 1 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 sh eng1 ch eng2 g uo4 ch eng2 j i2 q i2 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 』
s uo3 i3 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 l d e0 j ü4 l i2 d 2 ，
（ 1 ） sh uei3 m ian4 d e0 x ing2 zh uang4 b u4 d uan4 b ian4 h ua4 ， k e3 n eng2 sh i4 j ü3 x ing2 ， ie3 k e3 n eng2 b ian4 ch eng2 b u2 sh i4 j ü3 x ing2 d e0 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 ， d uei4 m a0 ？
j ie3 ： M （ 2 ， 2 ） uei4 x ian4 d uan4 Q R d e0 zh ong1 d ian3 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 d e0 d ian3 x ie2 sh i4 f ang1 ch eng2 』
j iang1 x ia4 m ian4 d e0 n ian2 f en4 t ian2 z ai4 h e2 sh i4 d e0 q üan1 n ei4 。
g en1 j ü4 t i2 i4 d e2 | C A | | C B | 4 | A B | 2 ，
i2 g e4 b i3 l i4 d e0 n ei4 x iang4 zh i1 j i1 sh i4 4 . 5 ， q ing3 x ie3 ch u1 l iang3 g e4 zh e4 iang4 d e0 b i3 l i4 。
d a2 ： zh e4 k uai4 c ai4 d i4 d e0 m ian4 j i1 sh i4 8 1 p ing2 f ang1 m i3 。
sh e4 A O B d e0 b ian1 O B sh ang4 d e0 g ao1 uei4 h ，
j ie3 ： iou2 h an2 sh u4 f ( x ) a x 3 2 x d e0 t u2 x iang4 g uo4 d ian3 （ 2 ， 5 ） ， d e2 5 a ( 2 ) 3 2 ( 2 ) ，
i3 zh i1 f ( x ) x ， g ( x ) ， q iou2 P ( x ) f ( x ) g ( x ) ， b ing4 l i4 iong4 f ( x ) ü3 g ( x ) d e0 t u2 x iang4 z uo4 ch u1 P ( x ) d e0 t u2 x iang4 .
j ie3 ： in1 uei4 c e4 l eng2 zh ang3 uei4 a d e0 zh eng4 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C d e0 c e4 m ian4 d ou1 sh i4 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ， q ie3 s i4 g e4 d ing3 d ian3 d ou1 z ai4 i2 g e4 q iou2 m ian4 sh ang4 ，
（ 3 ） d ao4 l iang3 z uo4 b iao1 zh ou2 d e0 j ü4 l i2 d e0 ch eng2 j i1 d eng3 ü2 1 d e0 d ian3 d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 x y 1 ；
m ing4 t i2 （ 1 ） sh i4 zh en1 m ing4 t i2 .
d ian3 P d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 2 c o s ， 2 s i n ） ，
z e2 ： üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 y k x 2 d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 b an4 j ing4 2 .
j iang1 t a1 d ai4 r u4 1 8 c o s 1 zh ong1 d e2 2 8 c o s ， g u4 M d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 sh i4 4 c o s （ d ian3 （ 0 ， ） ch u2 uai4 ） .
z e2 sh i2 j ian1 （ d ing4 zh i2 ） ，
i3 zh i1 d ai4 zh ong1 zh uang1 iou3 d a4 x iao3 x iang1 t ong2 d e0 2 g e4 b ai2 q iou2 、 2 g e4 h ong2 q iou2 h e2 1 g e4 h uang2 q iou2 . i1 x iang4 iou2 x i4 g uei1 d ing4 ： m ei3 g e4 b ai2 q iou2 、 h ong2 q iou2 h e2 h uang2 q iou2 d e0 f en1 zh i2 f en1 b ie2 sh i4 0 f en1 、 1 f en1 h e2 2 f en1 ，
C d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 ， C 1 C 2 5 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ing4 t i2 h e2 m ing4 t i2 d e0 zh en1 zh i2 』
d a2 ： i1 g ong4 iao4 uo4 1 0 c i4 sh ou3 。
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） x ian4 i3 z uo4 b iao1 üan2 d ian3 O uei4 j i2 d ian3 ， i3 x zh ou2 f ei1 f u4 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou2 j ian4 l i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 ， sh e4 üan2 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 2 c o s ， zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C j iao1 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian2 A B d e0 zh ang3 .
z u3 ch eng2 d e0 b i3 l i4 sh i4 2 : 1 2 6 : 3 6 （ d a2 an4 b u4 uei2 i1 ） 。
d a2 ： h ua1 t an2 h e2 c ao3 p i2 d e0 m ian4 j i1 f en1 b ie2 uei4 3 0 0 p ing2 f ang1 m i3 、 3 3 0 0 p ing2 f ang1 m i3 。
j ie3 ： t iao2 j ian4 p ： x 1 h uo4 x 3 ， t iao2 j ian4 q ： x a ，
d uei4 ü2 ， 2 3 ( 2 ) 2 2 5 ， g u4 c uo4 u4 ；
s uo3 i3 zh i2 x ian4 l ü3 üan2 C x iang1 j iao1 .
q ie3 d ang1 V 2 sh i2 ， 8 0 0 0 ，
g u4 s i4 b ian1 x ing2 A 1 A 2 B 2 B 1 d e0 m ian4 j i1 uei4 .
( a 2 4 ) x 2 ( a 2 ) x 1 0 d e0 j ie3 j i2 sh i4 k ong1 j i2 ，
（ 1 ） x ie3 ch u1 q ü1 x ian4 C h e2 zh i2 x ian4 l d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ；
x iao3 ü2 h uo4 d eng3 ü2
j ie3 ： d ang1 3 x 1 sh i2 ， h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 t u2 x iang4 sh i4 i1 t iao2 x ian4 d uan4 （ iou4 d uan1 d ian3 ch u2 uai4 ） .
（ 2 ） sh e4 x iao3 zh ang1 j ia1 zh e4 g e4 üe4 sh i3 iong4 “ f eng1 sh i2 ” d ian4 sh i4 x d u4 ， z e2 “ g u3 sh i2 ” d ian4 uei4 （ 9 5 x ） d u4 ，
s uo3 i3 g ai1 x iao3 z u3 r en2 sh u4 z uei4 x iao3 uei4 ： 3 5 4 1 2 .
s uo3 i3 zh i2 x ian4 O P d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 0 .
x ia4 l ie4 ü3 j ü4 uei4 m ing4 t i2 d e0 iou3 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
d ang1 ing4 b i4 d e0 zh ong1 x in1 l uo4 r u4 t u2 zh ong1 i3 3 c m uei4 b ian1 zh ang3 d e0 zh eng4 f ang1 x ing2 q ü1 ü4 sh i2 ， z e2 sh i4 ian4 ch eng2 g ong1 ，
（ 4 ） d ang1 x 1 sh i2 ， y a b c 0 ， zh eng4 q üe4 ；
i3 zh i1 j ü3 zh en4 [ ] ， [ ] ， x iang4 l iang4 [ ] ， x ， y uei4 sh i2 sh u4 . r uo4 A B ， q iou2 x y d e0 zh i2 .
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， q ü3 C D d e0 zh ong1 d ian3 Q ， l ian2 j ie2 N Q ， M Q .
B . 6 ü3 7 zh i1 j ian1
j i2 m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ ， ] .
g ei3 ch u1 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 t uo3 üan2 d e0 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
j ie3 ： （ 1 ） b a3 y 4 s i n d ai4 r u4 f ang1 ch eng2 4 x 2 y 2 1 6 zh ong1 ，
j ie3 ： p ing2 x ing2 t ou2 ing3 d e0 t ou2 ing3 x ian4 h u4 x iang1 p ing2 x ing2 ， zh ong1 x in1 t ou2 ing3 d e0 t ou2 ing3 x ian4 j iao1 ü2 i4 d ian3 ， g u4 zh eng4 q üe4 ；
（ 2 ） x ie3 ch u1 p ing2 i2 h ou4 üan2 d e0 p ing2 b ai3 x ian4 f ang1 ch eng2 .
b ing3 i3 j ia3
j ie3 ： in1 uei4 h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 ( 6 a 2 ) x 3 z ai4 [ 2 ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 h an2 sh u4 ， z e2 a 0 .
ü2 sh i4 iou3 a b c .
j ie3 ： q ü1 x ian4 C 1 ：
（ 2 ） r uo4 j iang1 i1 z u3 iang4 b en3 sh u4 j ü4 zh ong1 d e0 m ei3 g e4 sh u4 j ü4 d ou1 j ia1 sh ang4 t ong2 i1 g e4 ch ang2 sh u4 h ou4 ， z e2 iang4 b en3 d e0 f ang1 ch a4 b u4 b ian4 ；
C . ch ong1 f en4 b i4 iao4 t iao2 j ian4
g u4 g ong4 iou3 2 m zh ong3 k e3 n eng2 ， j i2 uei4 2 m ；
D . sh uang1 q ü1 x ian4 d e0 i1 b u4 f en4
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 C d ao4 d ian3 A ， B l iang3 d ian3 d e0 j ü4 l i2 zh i1 h e2 uei4 『 d ing4 』 zh i2 ， j ü4 l i2 zh i1 h e2 b i3 A B ch ang2 d u4 『 d a4 』 . 』
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A ， B ， sh e4 M A B .
【 t i2 sh i4 】 『 A 1 B 1 C 1 ü3 A B C d e0 s an1 b ian1 d ou1 d uei4 ing4 ch eng2 b i3 l i4 ， l iang3 g e4 s an1 j iao3 x ing2 『 x iang1 s i4 』 . 』
r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 x ing2 S G 1 G 2 G 3 zh ong1 ， E ， F f en1 b ie2 sh i4 b ian1 G 1 G 2 ， G 2 G 3 d e0 zh ong1 d ian3 ， D sh i4 E F d e0 zh ong1 d ian3 ， x ian4 ian2 S E ， S F j i2 E F b a3 zh e4 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 zh e2 ch eng2 i2 g e4 j i3 h e2 t i3 （ r u2 t u2 ） ， sh i3 G 1 ， G 2 ， G 3 s an1 d ian3 ch ong2 h e2 ü2 d ian3 G ， z e2 x ia4 m ian4 j ie2 l uen4 ch eng2 l i4 d e0 iou3 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
（ 2 ） q iou2 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 j ian3 q ü1 j ian1 ， b ing4 zh i3 ch u1 f ( x ) d e0 z uei4 d a4 zh i2 j i2 q ü3 d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i2 x d e0 j i2 h e2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 f en1 sh i4 iou3 i4 i4 ， z e2 f en1 m u3 x 2 b u4 n eng2 uei4 『 0 』 . 』
d e2 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ( x ) 2 y 2 ，
j ie3 d e2 ： x 1 h uo4 x ，
1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m i3 1 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 q ian1 m i3 ，
r uo4 P （ 2 ， ） sh i4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 d e0 i4 d ian3 ， z e2 Q （ 2 ， ） 、 R （ 2 ， ） 、 M （ 2 ， ） 、 N （ 2 ， 2 k ） （ k Z ） s i4 d ian3 zh ong1 ü3 P d ian3 ch ong2 h e2 d e0 d ian3 iou3 （ ）
d i4 i1 b u4 s uan4 j ian3 f a3 ， d i4 er4 b u4 s uan4 ch eng2 f a3 ， d i4 s an1 b u4 s uan4 ch u2 f a3 ， d e2 sh u4 sh i4 4 2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 r en4 sh i2 』
（ 2 ） d ao4 x zh ou2 j ü4 l i2 uei4 3 d e0 zh i2 x ian4 f ang1 ch eng2 uei4 y 3 ；
iou4 zh i2 x ian4 l g uo4 d ian3 P （ 3 ， ） ， A 、 B l iang3 d ian3 d uei4 ing4 d e0 c an1 sh u4 f en1 b ie2 uei4 t 1 ， t 2 ，
j ie3 ： h an2 sh u4 f ( x ) c o s ( x ) （ 0 ） ， r uo4 f ( x ) f ( ) d uei4 r en4 i4 d e0 sh i2 sh u4 x d ou1 ch eng2 l i4 ，
k ong1 j ian1 zh ong1 zh i2 x ian4 ü3 zh i2 x ian4 zh i1 j ian1 d e0 uei4 zh i4 g uan1 x i4
（ 1 ） sh i4 q üe4 d ing4 g ai1 h an2 sh u4 d e0 d ing4 i4 ü4 ， b ing4 zh i3 m ing2 g ai1 h an2 sh u4 z ai4 q i2 d ing4 i4 ü4 sh ang4 d e0 d an1 d iao4 x ing4 ；
i2 g e4 d ong4 d ian3 P d ao4 zh i2 x ian4 x 8 d e0 j ü4 l i2 sh i4 t a1 d ao4 d ian3 A （ 2 ， 0 ） j ü4 l i2 d e0 2 b ei4 ， q iou2 d ong4 d ian3 P d e0 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 .
j ie3 ： r u2 t u2 ， z ai4 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong1 ，
in1 uei4 g ao1 uei4 8 ， s uo3 i3 z ai4 zh ou2 j ie2 m ian4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 zh ong1 ，
（ 1 ） q iou2 zh i2 x ian4 B D 1 ü3 p ing2 m ian4 A C s uo3 ch eng2 j iao3 d e0 zh eng4 q ie1 zh i2 uei4 ；
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh u4 z uo4 b iao1 x i4 ü3 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 』
r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， d ian3 P sh i4 zh i2 x ian4 A B uai4 i4 d ian3 ， zh i2 x ian4 P A A B ， ch uei2 z u2 uei4 d ian3 A ， d ian3 C uei4 zh i2 x ian4 A B sh ang4 d e0 i2 g e4 d ian3 .
d a2 an4 ： 0 h uo4 1 .
【 t i2 sh i4 】 『 z ai4 E A H zh ong1 ， 『 E A H 』 sh i4 A E h e2 A H d e0 j ia1 j iao3 . 』
s i4 b ian1 x ing2 E F G H sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 p ing2 x ing2 x iang4 l iang4 ü3 g ong4 x ian4 x iang4 l iang4 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 s an1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 uei4 sh u4 』
zh i2 x ian4 P A 1 ： y 1 x ， l ing4 y 0 ， d e2 x N ；
j i2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( ) ( 1 ) 0 h eng2 ch eng2 l i4 .
r uo4 d ai4 sh u4 sh i4 6 a m b 4 sh i4 l iou4 c i4 d an1 x iang4 sh i4 ， z e2 m .
（ 1 ） j ie3 ： sh u4 l ie4 1 ， 2 ， 3 zh ong1 b ao3 ch i2 q i2 zh ong1 1 g e4 üan2 s u4 uei4 zh i4 b u4 d ong4 d e0 p ai2 l ie4 zh i3 iou3 1 ， 3 ， 2 h uo4 3 ， 2 ， 1 h uo4 2 ， 1 ， 3 ，
i2 g e4 üan2 zh u4 d e0 m u3 x ian4 zh ang3 uei4 5 ， d i3 m ian4 b an4 j ing4 uei4 2 ， z e2 üan2 zh u4 d e0 zh ou2 j ie2 m ian4 j i1 uei4 .
in1 uei4 C ： 4 c o s ， s uo3 i3 2 4 c o s ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 m ian4 j i1 d an1 uei4 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
（ 1 ） üan2 zh u4 d e0 c e4 m ian4 zh an3 k ai1 h ou4 sh i4 ch ang2 f ang1 x ing2 h uo4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， üan2 t i2 sh uo1 f a3 c uo4 u4 ；
d an4 u2 l uen4 r u2 h e2 d ou1 b u4 n eng2 j ie2 ch u1 .
g u4 c uo4 u4 ；
d ang1 d ian3 C k ao4 j in4 d ian3 B sh i2 ， r u2 x ia4 t u2 .
j ie3 ： | 4 | 4 ， 3 ， z ai4 sh u4 zh ou2 sh ang4 b iao3 sh i4 r u2 t u2 s uo3 sh i4 ：
r u2 g uo3 z ai4 m ei3 b ian1 sh ang4 f ang4 3 p en2 h ua1 g ong4 x ü1 iao4 6 p en2 h ua1 ， j i2 3 3 3 ；
g u4 d e2 d ao4 d e0 l iang3 uei4 sh u4 uei4 1 0 b a .
V x üan2 zh uan3 t i3 V üan2 zh uei1 V q iou2 .
d ian3 A （ 1 ， ） zh uan3 h ua4 uei4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 d eng3 b i3 sh u4 l ie4 d e0 t ong1 x iang4 g ong1 sh i4 』
g uan1 ü2 x d e0 f ang1 ch eng2 a x 2 b x c a iou3 l iang3 g e4 b u4 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en1 ， g u4 zh eng4 q üe4 .
j ie3 ： （ 1 ） d ian3 M sh i4 q ü1 x ian4 C 1 sh ang4 d e0 d ong4 d ian3 ，
（ 1 ） p ： b 0 ， q ： h an2 sh u4 f ( x ) a x 2 b x c sh i4 ou3 h an2 sh u4 ；
zh i2 x ian4 d e0 x ie2 l ü4 k ，
k ong1 j ian1 s i4 b ian1 x ing2 ；
l ing4 M （ 3 ， ） ， s uo3 i3 E （ ， ） .
d a2 ： x üe2 x iao4 d e0 q i2 g an1 g ao1 8 m i3 。
i3 zh i1 m ing4 t i2 p ： d uei4 r en4 i4 x R ， z ong3 iou3 2 x 0 ； q ： “ x 1 ” sh i4 “ x 2 ” d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ， z e2 x ia4 l ie4 m ing4 t i2 uei4 zh en1 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
i3 zh i1 h an2 sh u4 f 0 ( x ) ( a 0 ， a c b d 0 ) . sh e4 f n ( x ) uei4 f n 1 ( x ) d e0 d ao3 sh u4 ， n N * .
j ie3 ： z ai4 8 ， 2 . 0 1 ， ， 3 ， 0 ， 0 . 2 5 ， 5 0 ， 1 zh ong1 f ei1 f u4 sh u4 iou3 ： 2 . 0 1 ， ， 3 ， 0 ， 1 ， g ong4 5 g e4 .
（ 1 ） d ang1 a c sh i2 ， P d ian3 d e0 g uei3 j i4 uei4 y zh ou2 （ ch u2 q ü4 üan2 d ian3 ） ；
i3 zh i1 zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） h eng2 g uo4 t uo3 üan2 C ： （ uei4 c an1 sh u4 ） d e0 iou4 j iao1 d ian3 F .
D . b u4 z ai4 q ü1 x ian4 C sh ang4 d e0 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 iou3 x ie1 sh i4 h e2 f ( x ， y ) 0 ， iou3 x ie1 b u2 sh i4 h e2 f ( x ， y ) 0
x iao3 m ing2 d e0 j ie3 d a2 sh i4 ： üan2 sh i4 2 a 2 a ( 1 a ) a 1 1 0 .
g u4 d a2 an4 uei4 4 .
B D B 1 D 1 ， B D p ing2 m ian4 A C C 1 ， A C 1 p ing2 m ian4 A C C 1 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 x iao3 sh u4 ch eng2 f a3 』
d ang1 q ie3 j in3 d ang1 a c a b ， j i2 b c sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， sh i4 q iou2 zh i2 x ian4 l ü3 q ü1 x ian4 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 ， b ing4 q iou2 ch u1 t a1 m en0 d e0 g ong1 g ong4 d ian3 d e0 z uo4 b iao1 .
g ei3 ch u1 sh i4 j ian4 A ü3 B d e0 g uan1 x i4 sh i4 i4 t u2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， z e2 （ ）
s uo3 h ua4 h an2 sh u4 t u2 x iang4 r u2 t u2 1 .
（ 2 ） üan2 zh uei1 t i3 j i1 sh i4 ü3 t a1 d eng3 d i3 d eng3 g ao1 d e0 üan2 zh u4 t i3 j i1 d e0 ， g u4 üan2 sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 。
x iao3 l in2 j ia1 p u4 k e4 t ing1 d i4 m ian4 g ang1 h ao3 iong4 l e0 1 0 0 k uai4 f ang1 zh uan1 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 q üan2 ch eng1 l iang4 c i2 ü3 c uen2 z ai4 l iang4 c i2 』
m ian4 j i1 d an1 uei4 h uan4 s uan4 。
j ie3 ： iou2 t i2 i4 zh i1 zh i2 x ian4 h e2 t uo3 üan2 f ang1 ch eng2 k e3 h ua4 uei4 ：
d uei4 ü2 ， b i4 x ü1 iong4 p ing2 x ing2 ü2 üan2 zh uei1 d i3 m ian4 d e0 p ing2 m ian4 j ie2 üan2 zh uei1 c ai2 n eng2 d e2 ch u1 i2 g e4 üan2 zh uei1 h e2 i2 g e4 üan2 t ai2 ， g u4 c uo4 u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g u1 s uan4 u2 l i3 sh u4 d e0 d a4 x iao3 』
i1 g en1 t ie3 s i1 uei2 ch eng2 zh ang3 f ang1 x ing2 ， t a1 x iang1 l in2 l iang3 b ian1 d e0 ch ang2 d u4 h e2 sh i4 1 8 f en1 m i3 ， t a1 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 （ ） f en1 m i3 ； r u2 g uo3 b a3 t a1 uei2 ch eng2 i2 g e4 zh eng4 f ang1 x ing2 ， zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian4 j i1 sh i4 （ ） 。
j i4 s uan4 x ia4 m ian4 g e4 t i2 。
q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 x 2 （ 1 x 1 ） ，
（ 3 ） r u2 g uo3 x iao3 l i4 x ian1 x iang4 d ong1 z ou3 l e0 4 m ， z ai4 x iang4 x i1 z ou3 l e0 8 m ， zh e4 sh i2 x iao3 l i4 d e0 uei4 zh i4 b iao3 sh i4 uei4 4 m 。
j ia3 、 i3 l iang3 zh i1 p ai2 q iou2 d uei4 j in4 x ing2 b i3 s ai4 ， üe1 d ing4 x ian1 sh eng4 3 j ü2 zh e3 h uo4 d e2 b i3 s ai4 d e0 sh eng4 l i4 ， b i3 s ai4 s uei2 j i2 j ie2 sh u4 .
j ie3 ： sh e4 d ian3 P （ x ， y ） z ai4 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4 ： d e0 z uo4 iong4 x ia4 d e2 d ao4 P （ x ， y ） ，
j ie3 ： zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， ，
z ai4 k uo4 h ao4 l i3 t ian2 sh ang4 “ j i1 sh u4 ” h uo4 “ ou3 sh u4 ” 。
A . 1 0 g e4 t ong2 x üe2 zh ong1 d a4 üe1 iou3 9 g e4 t ong2 x üe2 j i2 g e2
h an2 sh u4 t u2 x iang4 k ai1 k ou3 x iang4 x ia4
j ie3 ： zh i3 sh u4 h an2 sh u4 f ( x ) a x （ a 0 ，
j ie3 ： （ 1 ） r uo4 i2 g e4 s i4 l eng2 zh u4 d e0 d uei4 j iao3 x ian4 x iang1 d eng3 ， z e2 zh e4 g e4 s i4 l eng2 zh u4 sh i4 ch ang2 f ang1 t i3 ， j ia3 m ing4 t i2 ；
r u2 t u2 ， i3 zh i1 p ao1 u4 x ian4 y 2 2 p x （ p 0 ） d e0 j iao1 d ian3 uei4 F ， g uo4 F d e0 zh i2 x ian4 j iao1 p ao1 u4 x ian4 ü2 A ， B l iang3 d ian3 .
j ie3 ： sh e4 g ai1 g ong1 s i1 i1 n ian2 n ei4 z ong3 g ong4 g ou4 m ai3 n c i4 h uo4 u4 ， z e2 n ，
s uo3 i3 C 2 n 2 k C C ch eng2 l i4 .
iou2 l ei4 j ia1 f a3 j ie3 d e2 f ( t ) ，
d a2 an4 ： z ai4 t ong2 i1 p ing2 m ian4 n ei4 ， g uo4 i4 d ian3 iou3 q ie3 zh i3 iou3 i1 t iao2 zh i2 x ian4 ü3 i3 zh i1 zh i2 x ian4 ch uei2 zh i2 .
【 t i2 sh i4 】 『 s i4 b ian1 x ing2 d i4 s i4 g e4 d ing3 d ian3 z ai4 l ing4 uai4 s an1 d ian3 q üe4 d ing4 d e0 p ing2 m ian4 uai4 sh i2 ， s i4 b ian1 sh i4 『 k ong1 j ian1 』 t u2 x ing2 . 』
m ou3 k ong1 j ian1 j i3 h e2 t i3 d e0 zh u3 sh i4 t u2 sh i4 s an1 j iao3 x ing2 ， z e2 g ai1 j i3 h e2 t i3 b u4 k e3 n eng2 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 f en1 sh u4 d e0 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
j i2 d ang1 a b c sh i2 ， üan2 sh i4 d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， üan2 4 b ei4 zh i2 x ian4 f en1 ch eng2 l iang3 b u4 f en4 d e0 m ian4 j i1 zh i1 b i3 sh i4 .
（ 1 ） q iou2 ， ， ， d e0 zh i2 ；
p sh i4 q d e0 ch ong1 f en4 b u4 b i4 iao4 t iao2 j ian4 ，
l ing4 iou3 i4 d ian3 ，
【 t i2 sh i4 】 『 zh eng4 f ang1 t i3 h e2 z i0 d e0 m ian4 d uei4 j iao3 x ian4 d ou1 『 x iang1 d eng3 』 . 』
sh u4 zh ou2 sh ang4 A 、 B l iang3 d ian3 b iao3 sh i4 d e0 sh u4 f en1 b ie2 uei4 1 h e2 ，
“ 5 5 ” sh i4 x ing2 sh i4 d e0 x in1 m ing4 t i2 ， t a1 sh i4 m ing4 t i2 .
f ( x ) uei4 ou3 h an2 sh u4 ， T .
j ie3 ： d an1 x iang4 sh i4 2 x m 1 y 2 ü3 d an1 x iang4 sh i4 x 2 y n 1 sh i4 t ong2 l ei4 x iang4 ，
（ 3 ） üan2 zh u4 ü3 üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 b i3 sh i4 3 : 1 。 （ ）
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 sh i2 、 f en1 、 m iao3 d e0 r en4 sh i2 、 j in4 l ü4 j i2 h uan4 s uan4 』
【 t i2 sh i4 】 『 n ei3 g e4 f ei1 f u4 sh u4 d e0 『 p ing2 f ang1 』 d eng3 ü2 1 2 1 ， n a4 m e0 g ai1 sh u4 j iou4 sh i4 1 2 1 d e0 s uan4 sh u4 p ing2 f ang1 g en1 . 』
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 iou3 q ü4 d e0 zh e2 d ie2 』
r uo4 n 4 ， iou2 S 3 { 2 ， 3 } ， k e3 d e2 sh u4 l ie4 d e0 q ian2 s i4 x iang4 uei4 2 ， 0 ， 0 ， 0 ； h uo4 2 ， 0 ， 0 ， 1 ；
A . i1 t iao2 sh e4 x ian4
（ 3 ） C E ， D 1 F ， D A s an1 x ian4 g ong4 d ian3 .
j ie3 d e2 x 1 h uo4 x 2 ，
j ie3 ： A 、 m ou3 r en2 d a3 b a3 ， sh e4 j i1 1 0 c i4 ， j i1 zh ong4 7 c i4 ， n a4 m e0 c i3 r en2 zh ong1 b a3 d e0 p in2 l ü4 uei4 ， sh i4 i2 g e4 s uei2 j i1 sh i4 j ian4 ， b u4 n eng2 sh uo1 g ai4 l ü4 j iou4 sh i4 ， s uo3 i3 c uo4 u4 ；
s i4 m ian4 t i3 d e0 s i4 g e4 d ing3 d ian3 sh ou3 uei3 x iang1 l ian2 ， k e3 i3 sh i4 s i4 t iao2 x ian4 d uan4 ， d an4 zh e4 s i4 t iao2 x ian4 d uan4 b u4 g ong4 m ian4 ， g u4 c uo4 u4 .
d ang1 x 0 sh i2 ， y ， c i3 sh i2 q ü1 x ian4 sh i4 j iang1 q ü1 x ian4 y i3 x uei4 d uei4 ch en4 zh ou2 z uo4 d uei4 ch en4 d e2 d ao4 d e0 .
q ie4 x ian4 l d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x y 2
（ 2 ） f 1 ( x ) z ai4 [ 0 ， 1 ) sh ang4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 .
k ong1 j ian1 s i4 b ian1 x ing2 d e0 l iang3 t iao2 d uei4 j iao3 x ian4 x iang1 h u4 ch uei2 zh i2 ， sh uen4 c i4 l ian2 j ie2 s i4 b ian1 zh ong1 d ian3 s uo3 d e0 d e0 s i4 b ian1 x ing2 i2 d ing4 sh i4 （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
z ai4 j i2 z uo4 b iao1 x i4 zh ong1 ， q iou2 üan2 2 4 s i n 5 0 j ie2 zh i2 x ian4 （ R ） s uo3 d e0 x ian4 d uan4 zh ang3 .
s uo3 i3 A B C sh i4 d eng3 iao1 s an1 j iao3 x ing2 .
g en1 j ü4 p ao1 u4 x ian4 sh ang4 d e0 d ian3 d ao4 j iao1 d ian3 d e0 j ü4 l i2 d eng3 ü2 g ai1 d ian3 d ao4 zh uen3 x ian4 d e0 j ü4 l i2 ，
t ong2 l i3 zh eng4 d e2 ， C D B C N M ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 d e0 q ing1 x ie2 j iao3 ü3 x ie2 l ü4 』
s uo3 i3 t a1 d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 d e0 t iao2 j ian4 sh i4 ： a ， b zh ong1 zh i4 sh ao3 iou3 i2 g e4 uei4 l ing2 ， j ie2 l uen4 sh i4 ： a b uei4 l ing2 .
d uei4 ü2 x üan3 x iang4 B ， iou2 t u2 i3 zh i1 2 h e2 3 sh i4 l in2 b u3 j iao3 ， s uo3 i3 B f u2 h e2 t i2 i4 ；
g u4 “ x 5 ” sh i4 “ B A ” d e0 i2 g e4 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4 .
j i2 x 2 y 1 ， g u4 p ai2 ch u2 C .
g uei1 z e2 r u2 x ia4 ： m ei3 r en2 z uei4 d uo1 k e3 l ian2 x ü4 t ou2 5 zh i3 q iou2 ，
B 1 E D F sh i4 p ing2 x ing2 s i4 b ian1 x ing2 .
l i3 l ao3 sh i1 iong4 1 0 0 üan2 q ian2 m ai3 l e0 i1 d ai4 f u4 in4 zh i3 ， 1 h e2 d a3 in4 m o4 sh uei3 h e2 l iang3 zh i1 g ang1 b i3 ， i3 zh i1 i1 d ai4 f u4 in4 zh i3 1 8 üan2 ， 1 h e2 d a3 in4 m o4 sh uei3 4 4 üan2 。 1 zh i1 g ang1 b i3 d uo1 sh ao3 üan2 ？
（ 1 ） q iou2 b o2 u4 g uan3 zh i1 f u4 z ong3 f ei4 iong4 y ü3 b ao3 h u4 zh ao4 r ong2 j i1 V zh i1 j ian1 d e0 h an2 sh u4 g uan1 x i4 sh i4 ；
B x üan3 x iang4 3 ， s uo3 i3 ü3 b u2 sh i4 t ong2 l ei4 er4 c i4 g en1 sh i4 ， g u4 b u4 f u2 h e2 t i2 i4 ；
j ie3 ： （ 1 ） f ang1 p ian4 4 iong4 4 b iao3 sh i4 ， z e2 j ia3 i3 er4 r en2 ch ou1 d ao4 d e0 p ai2 d e0 s uo3 iou3 q ing2 k uang4 uei4 ：
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 üan2 zh u4 d e0 r en4 sh i2 』
r uo4 y s uei2 x d e0 z eng1 d a4 er2 j ian3 x iao3 ， z e2 x d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 x 2 .
iou2 m i4 h an2 sh u4 d e0 x ing4 zh i4 zh i1 ， g ai1 h an2 sh u4 z ai4 d ing4 i4 ü4 n ei4 d an1 d iao4 d i4 z eng1 .
d ang1 a 0 sh i2 ， x a a 2 a 2 ， d ang1 q ie3 j in3 d ang1 x ， j i2 x 3 sh i2 ， d eng3 h ao4 ch eng2 l i4 .
sh e4 l sh i4 zh i2 er4 m ian4 j iao3 ， zh i2 x ian4 a ， zh i2 x ian4 b ， a ， b ü3 l d ou1 b u4 ch uei2 zh i2 ， n a4 m e0 x ia4 l ie4 sh uo1 f a3 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 sh i4 . （ t ian2 x ü4 h ao4 ）
i3 zh i1 z ai4 q iou2 z uo4 b iao1 x i4 O x y z zh ong1 ， M （ 6 ， ， ） ， N （ 6 ， ， ） ， q iou2 | M N | .
p ing2 x ing2 ü2 t ong2 i1 t iao2 zh i2 x ian4 d e0 l iang3 t iao2 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ；
p ing2 m ian4 sh i4 j üe2 d uei4 d e0 p ing2 、 u2 h ou4 d u4 d e0 ， k e3 i3 u2 x ian4 ian2 zh an3 d e0 ch ou1 x iang4 sh u4 x üe2 g ai4 n ian4 ， sh uo1 f a3 zh eng4 q üe4 .
d ao4 l i3 sh i4 ： z ai4 s uo3 x üan3 d e0 2 m ing2 t ong2 x üe2 zh ong1 ， “ q ia4 iou3 1 m ing2 n ü3 sh eng1 ” sh i2 zh i4 sh i4 x üan3 ch u1 d e0 sh i4 “ 1 m ing2 n an2 sh eng1 h e2 1 m ing2 n ü3 sh eng1 ” ， t a1 ü3 “ q ia4 iou3 2 m ing2 n an2 sh eng1 ” b u4 k e3 n eng2 t ong2 sh i2 f a1 sh eng1 ， s uo3 i3 sh i4 i1 d uei4 h u4 ch i4 sh i4 j ian4 . d an4 q i2 b ing4 sh i4 j ian4 b u2 sh i4 b i4 r an2 sh i4 j ian4 ， s uo3 i3 b u2 sh i4 d uei4 l i4 sh i4 j ian4 .
d uei4 ü2 ， l ian2 j ie2 G M ， i4 zh i1 G M H N ， g u4 G H ü3 M N b u2 sh i4 i4 m ian4 zh i2 x ian4 ；
x ia4 l ie4 ü3 j ü4 zh ong1 ， b u2 sh i4 m ing4 t i2 d e0 sh i4 （ ）
（ 2 ） j ing1 g uo4 sh en1 s uo1 h uo4 p ing2 i2 b ian4 h uan4 ， a a 1 * 4 3 ， b b 1 * 3 ， f en1 b ie2 d e2 d ao4 [ 3 ， 1 ] h e2 [ 0 ， 3 ] n ei4 d e0 j ün1 ün2 s uei2 j i1 sh u4 .
d ai4 r u4 y 2 2 x ， d e2 t 2 4 ( 2 ) t 1 6 0 ，
d a2 an4 ： r uo4 a b ， z e2 a 1 b 1 .
【 t i2 sh i4 】 『 x ia4 u3 4 sh i2 h ua4 uei4 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 sh i4 ( 4 『 1 2 』 ) sh i2 。 』
sh e4 G ( x ) ， z e2 G ( x ) ， g u4 G ( x ) z ai4 （ 0 ， e ） sh ang4 sh i4 z eng1 j ia1 d e0 ， z ai4 （ e ， ） sh ang4 sh i4 j ian3 sh ao3 d e0 ，
s uo3 i3 sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 1 2 d e0 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 uei4 ；
（ 3 ） sh e4 ， d e0 j ia1 j iao3 uei4 ， z e2 c o s ( k ) [ ( ) 2 ] .
【 t i2 sh i4 】 『 B E A 1 E E ， t ong1 g uo4 zh eng4 m ing2 『 B E 』 p ing2 m ian4 A C 1 D ， zh eng4 m ing2 p ing2 m ian4 A 1 B E p ing2 m ian4 A C 1 D . 』
d uei4 ü2 D ， u2 l uen4 m 、 n q ü3 h e2 zh i2 ， D d ou1 ch eng2 l i4 ， s uo3 i3 x üan3 x iang4 D zh eng4 q üe4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i4 z e2 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
r u2 g uo3 p ing2 m ian4 ， n a4 m e0 p ing2 m ian4 n ei4 i2 d ing4 c uen2 z ai4 zh i2 x ian4 p ing2 x ing2 ü2 p ing2 m ian4 ， m ing4 t i2 zh eng4 q üe4 ；
p an4 d uan4 x ia4 l ie4 h an2 sh u4 d e0 j i1 ou3 x ing4 .
d a2 an4 ： q ian1 m i3 ， k e4 ， p ing2 f ang1 m i3 。
zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 x ing4 zh i4
p an4 d uan4 （ d uei4 d e0 z ai4 k uo4 h ao4 l i3 h ua4 “ ” ， c uo4 d e0 h ua4 “ ” ） 。
j ie3 ： iou3 d e0 zh i4 sh u4 sh i4 ou3 sh u4 ， sh i4 t e4 ch eng1 m ing4 t i2 ；
d ang1 a 0 sh i2 ， y 3 ch eng2 l i4 ；
j ie2 g uo3 f a1 x ian4 iou3 5 0 j ian4 b u4 h e2 g e2 p in3 j i4 s uan4 zh e4 5 0 j ian4 b u4 h e2 g e2 p in3 d e0 zh i2 j ing4 zh ang3 ü3 b iao1 zh uen3 zh i2 d e0 ch a4 （ d an1 uei4 ： m m ） ，
f en1 x i1 k e3 zh i1 zh ong1 s i4 d ian3 g ong4 m ian4 ， s i4 d ian3 j ün1 b u4 g ong4 m ian4 .
x 2 4 x 5 0 ， j ie3 d e2 x 5 h uo4 x 1 ，
（ ） q iou2 C 1 ü3 C 2 j iao1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao1 （ 0 ， 0 2 ） .
【 t i2 sh i4 】 『 x ie2 s an1 l eng2 zh u4 d e0 d i3 m ian4 sh i4 『 s an1 j iao3 』 x ing2 ， x ie2 s an1 l eng2 zh u4 d e0 g ao1 sh i4 『 2 』 . 』
z ai4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i4 x O y zh ong1 ， q ü1 x ian4 C d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） ， zh i2 x ian4 l d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei4 c an1 sh u4 ） .
j ie3 ： A . d e0 l i4 f ang1 g en1 sh i4 ， zh eng4 q üe4 ；
【 t i2 sh i4 】 『 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 d eng3 ü2 ( 2 n 1 ) d e0 z uei4 『 d a4 』 zh i2 . 』
q ie4 x ian4 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 sh i4 c o s 2 .
s uo3 i3 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ uei4 c an1 sh u4 ） .
s uo3 i3 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 1 ， 6 ] .
j ie3 ： sh e4 m i4 h an2 sh u4 f ( x ) x a （ a uei4 ch ang2 sh u4 ） ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 l eng2 zh u4 、 l eng2 zh uei1 h e2 l eng2 t ai2 d e0 g ai4 n ian4 j i2 j ian3 d an1 x ing4 zh i4 』
z ong1 sh ang4 s uo3 sh u4 ， a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 a 3 .
üan2 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie3 j i2 uei4 { x | 2 x h uo4 2 x } .
üan2 x in1 C 1 （ 2 ， 2 ） ， b an4 j ing4 r 1 2 .
【 t i2 sh i4 】 『 A h e2 3 z ai4 j ie2 x ian4 A B d e0 t ong2 p ang2 ， b ei4 j ie2 l iang3 zh i2 x ian4 A C h e2 l d e0 『 t ong2 』 c e4 . 』
（ 1 ） q iou2 h ang2 t ian1 q i4 b ian4 g uei3 h ou4 d e0 ün4 x ing2 g uei3 j i4 s uo3 z ai4 d e0 q ü1 x ian4 f ang1 ch eng2 ；
【 t i2 sh i4 】 『 p n eng2 t uei1 ch u1 q ， z e2 p sh i4 q d e0 『 ch ong1 f en4 』 t iao2 j ian4 . 』
j ie3 ： g en1 j ü4 t i2 m u4 x in4 x i1 ， z uo4 ch u1 t u2 x ing2 ， r u2 t u2 s uo3 sh i4 ， D sh i4 B C d e0 zh ong1 d ian3 .
g u4 zh e4 g e4 j i3 h e2 t i3 uei4 s i4 l eng2 t ai2 .
B . b i4 iao4 f ei1 ch ong1 f en4 t iao2 j ian4
s uo3 i3 y m a x 5 ， c i3 sh i2 s i n x ，
【 t i2 sh i4 】 『 iou2 2 c o s d e2 d ao4 2 2 c o s ， q i2 zh ong1 2 x 2 y 2 ， c o s 『 x 』 . 』
c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 （ 0 t 5 ） b iao3 sh i4 d e0 q ü1 x ian4 uei4 （ ）
s uo3 q iou2 j ü3 zh en4 M [ ] .
（ 3 ） x ie3 ch u1 d ing1 d ing1 h e2 d ong1 d ong1 l iang3 r en2 s uo3 m ai3 d e0 in3 l iao4 d e0 p ing2 sh u4 b i3 i3 j i2 t a1 m en0 s uo3 f u4 d e0 q ian2 sh u4 d e0 b i3 。 zh e4 l iang3 g e4 b i3 n eng2 z u3 ch eng2 b i3 l i4 m a0 ？
m d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 sh i4 [ 9 ， ） .
x R ， sh i3 d e0 x 2 4 x a 0 ， k e3 zh i1 1 6 4 a 0 ， z e2 a 4 .
z ai4 l i3 t ian2 sh ang4 “ ” “ ” h uo4 “ ” 。
x üan3 x iou1 ： j ü3 zh en4 ü3 b ian4 h uan4
（ 3 ） h ai2 k e3 i3 d e2 d ao4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 sh i4 3 c m 、 g ao1 sh i4 4 c m d e0 üan2 zh u4 。
（ 2 ） i3 zh i1 d ian3 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f en1 b ie2 uei4 A （ 3 ， ） ， B （ 0 ， ） ， C （ 2 ， 2 ） ， q iou2 t a1 m en0 d e0 j i2 z uo4 b iao1 （ 0 ， 0 2 ） .
（ 2 ） iou2 （ 1 ） zh i1 ， d ang1 k 2 sh i2 ，
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 i1 uei4 sh u4 ch eng2 l iang3 、 s an1 uei4 sh u4 』
iou4 d ian3 D z ai4 zh i2 x ian4 F H sh ang4 ，
A 1 ， C 1 ， C ， A s i4 d ian3 g ong4 m ian4 ，
j ie3 ： üan2 8 s i n ， j i2 2 8 s i n ，
l iang4 i1 l iang4 x ia4 t u2 zh ong1 x üe2 x iao4 d ao4 ch ao1 sh i4 、 g ong1 üan2 、 i1 üan4 、 t u2 sh u1 g uan3 d e0 t u2 sh ang4 j ü4 l i2 ， g en1 j ü4 b i3 l i4 ch i3 s uan4 ch u1 t a1 m en0 zh i1 j ian1 d e0 sh i2 j i4 j ü4 l i2 。
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 b i3 d e0 r en4 sh i2 』
i3 zh i1 j ü3 zh en4 A （ c ， d uei4 sh i2 sh u4 ） . r uo4 j ü3 zh en4 A sh u3 ü2 t e4 zh eng1 zh i2 2 ， 3 d e0 i2 g e4 t e4 zh eng1 x iang4 l iang4 f en1 b ie2 uei4 ， ， q iou2 j ü3 zh en4 A d e0 n i4 j ü3 zh en4 A 1 .
l iang3 zh ong3 ch ou1 q ü3 f ang1 sh i4 ch ou1 d ao4 d e0 b u4 h e2 g e2 p in3 d e0 p ing2 j ün1 sh u4 x iang1 d eng3 ， j ün1 uei4 （ g e4 ） .
uen4 r uo4 i3 j ian4 A s uo3 z ai4 d i4 uei4 j i2 d ian3 ，
p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 zh ou2 zh ong1 d e0 sh en1 s uo1 b ian4 h uan4
（ 3 ） d ang1 U R ， A ( u B ) A ， q iou2 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
r uo4 “ x y h uo4 x y ， z e2 | x | | y | ” d e0 n i4 f ou3 m ing4 t i2 .
x iao3 x iong2 h ua2 ch uan2 c ong2 sh ang4 iou2 d ao4 x ia4 iou2 q ü4 m ai3 m u4 t ou0 ， sh uen4 sh uei3 m ei3 x iao3 sh i2 h ang2 x ing2 2 5 k m ， 3 x iao3 sh i2 d ao4 d a2 。 c ong2 x ia4 iou2 h uei2 d ao4 sh ang4 iou2 ， n i4 sh uei3 m ei3 x iao3 sh i2 h ang2 x ing2 1 5 k m 。 j i3 x iao3 sh i2 c ai2 n eng2 h uei2 d ao4 sh ang4 iou2 ？
j ie3 ： iou2 üan2 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 x 2 ( y 1 ) 2 1 d e2 üan2 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 uei4 （ [ 0 ， 2 ） ） .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 g uei3 j i4 f ang1 ch eng2 』
g ai1 g ong1 z uo4 r en2 üan2 sh eng1 ch eng1 t a1 uan2 q üan2 sh i4 u2 i4 zh ong1 an4 c uo4 l e0 j ian4 ，
in1 uei4 q ü1 x ian4 C j ie2 zh i2 x ian4 l s uo3 d e0 x ian4 d uan4 d e0 zh ong1 d ian3 （ 1 ， 2 ） z ai4 C n ei4 ，
j ie3 ： A 、 in1 uei4 0 m ei2 iou3 d ao4 sh u3 ， s uo3 i3 c i3 x üan3 x iang4 c uo4 u4 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh i2 x ian4 ü3 p ing2 m ian4 ch uei2 zh i2 d e0 p an4 d ing4 』
j i4 ch ou1 q ü3 d e0 b u4 h e2 g e2 ch an3 p in3 sh u4 uei4 .
j ia3 、 i3 、 b ing3 f en1 b ie2 c ong2 A ， B ， C ， D s i4 d ao4 t i2 zh ong1 d u2 l i4 d i4 x üan3 z uo4 l iang3 d ao4 t i2 ， q i2 zh ong1 j ia3 b i4 x üan3 B t i2 .
C E ， D 1 F ， D A j iao1 ü2 i4 d ian3 ， j i2 C E 、 D 1 F 、 D A s an1 x ian4 g ong4 d ian3 .
【 t i2 sh i4 】 『 d ian3 M d e0 j i2 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ） ， q i2 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 uei4 （ 『 c o s 』 ， 『 s i n 』 ） . 』
j ie3 ： üan2 t ai2 d e0 h eng2 j ie2 m ian4 uei4 d eng3 iao1 t i1 x ing2 ， sh ang4 d i3 uei4 2 8 c uen4 ， x ia4 d i3 uei4 1 2 c uen4 ， iou2 zh ong1 uei4 x ian4 k e3 zh i1 p en2 zh ong1 j i1 sh uei3 d e0 sh ang4 d i3 m ian4 zh i2 j ing4 uei4 2 0 c uen4 ，
（ 2 ） r uo4 i2 g e4 sh u4 n eng2 b ei4 1 0 zh eng3 ch u2 ， z e2 t a1 j i4 n eng2 b ei4 2 zh eng3 ch u2 ， ie3 n eng2 b ei4 5 zh eng3 ch u2 ， zh en1 m ing4 t i2 ；
j iang1 t 0 d ai4 r u4 zh ong1 ，
h ua4 zh i2 x ian4 （ R ） d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 0 ，
r u2 t u2 ， uang3 g e2 zh i3 sh ang4 x iao3 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 b ian1 zh ang3 uei4 1 ， c u1 sh i2 x ian4 h ua4 ch u1 d e0 sh i4 m ou3 j i3 h e2 t i3 d e0 s an1 sh i4 t u2 ， z e2 g ai1 j i3 h e2 t i3 d e0 t i3 j i1 uei4 （ ）
z ai4 p ing2 m ian4 zh i2 j iao3 x i4 x O y zh ong1 ， zh i2 x ian4 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） ， ü3 q ü1 x ian4 C ： （ k uei4 c an1 sh u4 ） j iao1 ü2 A ， B l iang3 d ian3 ， q iou2 x ian4 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
【 zh i1 sh i2 d ian3 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 ch eng2 （ ch u2 ） j ia1 、 j ian3 d e0 l iang3 b u4 h uen4 h e2 ün4 s uan4 』
g u4 O A B sh i4 i3 O B uei4 x ie2 b ian1 d e0 d eng3 iao1 zh i2 j iao3 s an1 j iao3 x ing2 ，
i3 zh i1 sh u4 l ie4 { a n } d e0 q ian2 n x iang4 h e2 uei4 S n ， m an3 z u2 S n 2 a n 1 ， n N . sh u4 l ie4 { b n } m an3 z u2 n b n 1 ( n 1 ) b n n ( n 1 ) ， n N * ， q ie3 b 1 1 .
uo4 sh ou3 iou2 x i4 。
（ 3 ） d ang1 a sh i2 ， r uo4 d uei4 ü2 [ 3 ， 4 ] sh ang4 d e0 m ei3 i2 g e4 x d e0 zh i2 ， b u4 d eng3 sh i4 f ( x ) ( ) x b h eng2 ch eng2 l i4 ， q iou2 sh i2 sh u4 b d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 .
h e2 d eng3 ü2 3 0 d e0 sh u4 iou3 7 h e2 2 3 ， 1 1 h e2 2 9 ， 1 3 h e2 1 7 g ong4 3 zh ong3 ，
zh eng3 l i3 d e2 zh i2 x ian4 l d e0 zh i2 x ian4 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng2 uei4 x y 4 .
d ang1 d ian3 D z ai4 d ian3 C d e0 iou4 c e4 sh i2 ，
t d e0 j i3 h e2 i4 i4 uei4 d e0 sh u4 l iang4 .
d d e0 z uei4 d a4 zh i2 uei4 üan2 x in1 d ao4 zh i2 x ian4 d e0 j ü4 l i2 j ia1 b an4 j ing4 ， j i2 uei4 d m a x 1 3 1 .
d uei4 r en4 i4 d e0 x R ， sh i3 2 x 2 3 a x 9 0 h eng2 ch eng2 l i4 ，
s uo3 i3 q ü1 x ian4 C 1 d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng2 uei4 ( x ) 2 ( y 3 ) 2 4 .
j iao4 sh i1 b an4 g ong1 sh i4
h an2 sh u4 f ( x ) l o g ( a x 2 2 x 4 ) （ a R ） ， r uo4 f ( x ) d e0 zh i2 ü4 uei4 （ ， 1 ] ， z e2 a d e0 zh i2 uei4 .
（ 2 ） üan2 zh u4 d e0 g ao1 b u4 b ian4 ， d i3 m ian4 b an4 j ing4 k uo4 d a4 2 b ei4 ， t i3 j i1 ie3 k uo4 d a4 2 b ei4 。 （ ）
f ( x ) sh i4 j i1 h an2 sh u4 ，
1 f ( x ) g ( x ) 3 ， q ie3 f ( x ) ， g ( x ) d e0 d ing4 i4 ü4 d ou1 uei4 R ，
m ou3 ch e1 j ian1 f en1 p i1 sh eng1 ch an3 m ou3 zh ong3 ch an3 p in3 ， m ei3 p i1 d e0 sh eng1 ch an3 zh uen3 b ei4 f ei4 iong4 uei4 8 0 0 üan2 . r uo4 m ei3 p i1 sh eng1 ch an3 x j ian4 ， z e2 p ing2 j ün1 c ang1 ch u3 sh i2 j ian1 uei4 t ian1 ， q ie3 m ei3 j ian4 ch an3 p in3 m ei3 t ian1 d e0 c ang1 ch u3 f ei4 iong4 uei4 1 üan2 . uei4 sh i3 p ing2 j ün1 d ao4 m ei3 j ian4 ch an3 p in3 d e0 sh eng1 ch an3 zh uen3 b ei4 f ei4 iong4 ü3 c ang1 ch u3 f ei4 iong4 zh i1 h e2 z uei4 x iao3 ， m ei3 p i1 ing1 sh eng1 ch an3 ch an3 p in3 （ ）
c e4 l iang2 ch ao1 sh i4 d e0 zh ang3 sh i4 6 l i2 m i3 ， k uan1 sh i4 1 l i2 m i3 ， c e4 l iang2 h ua1 t an2 d e0 z uei4 zh ang3 b ian1 sh i4 3 l i2 m i3 ， g ai1 b ian1 sh ang4 d e0 g ao1 sh i4 1 . 2 l i2 m i3 。
A . iou3 k e3 n eng2 iou3 i2 g e4 d ian3 ü3 t a1 d uei4 ing4
【 t i2 sh i4 】 『 j ü3 x ing2 d e0 d uei4 b ian1 p ing2 x ing2 ， j i2 B C 『 A D 』 . 』
r uo4 a 0 ， f ( x ) 2 a x ( 6 a 2 ) ， l ing4 f ( x ) 0 ， j ie3 d e2 x ，