z ai4 j i0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong1 ， q ü0 x ian0 4 s i n h e0 c o s 1 x iang0 j iao0 ü2 d ian3 A ， B ， z e2 | A B | （ ） .
d uei4 ü0 ， iou0 zh i2 x ian4 ü3 p ing0 m ian0 p ing0 x ing0 d e0 x ing0 zh i0 d ing4 l i3 k e0 zh i1 zh eng4 q üe0 .
c ong0 1 k ai0 sh i0 ， l ian0 x ü0 n g e0 sh u0 d e0 l i0 f ang0 h e0 d eng0 ü0 zh e0 n g e0 sh u0 d e0 h e0 d e0 p ing0 f ang0 ， j i0 1 3 2 3 3 3 … n 3 ( 1 2 … n ) 2 ，
s uo0 i0 5 m i0 0 . 8 m i0 6 0 f en0 m i0
sh e4 d i0 x c i0 f en1 l ie4 ch eng2 1 6 g e0 ， iou0 t i2 i0 d e0
i0 zh i0 a 0 ， h an0 sh u0 f ( x ) a x 2 b x c ， r uo0 x 0 m an0 z u0 g uan0 ü0 x d e0 f ang0 ch eng0 2 a x b 0 ， z e0 x ia0 l ie0 x üan0 x iang0 zh ong0 d e0 m ing0 t i0 uei0 j ia0 m ing0 t i0 d e0 sh i0 （ ）
j ie0 k e0 d e0 4 a 0 .
p ao0 u0 x ian0 d e0 d ing0 d ian0 uei0 P （ 2 ， 2 ） ， ü0 y zh ou0 j iao0 ü0 d ian0 A （ 0 ， 3 ） ， p ing0 i0 g ai0 p ao0 u0 x ian0 sh i0 q i0 d ing0 d ian0 P ian0 zh i0 x ian0 i0 d ong0 d ao0 d ian0 P （ 2 ， 2 ） ，
q iou0 x ia0 l ie0 g e0 sh i0 d e0 zh i2 ：
r u0 t u0 s uo0 sh i0 ， q i0 zh ong1 t u0 sh i0 iou0 i0 g e0 üan0 zh u0 O 1 O 2 h e0 üan0 t ai0 O 2 O 3 、 üan0 t ai2 O 3 O 4 z u0 ch eng0 d e0 ；
D . i0 sh ang0 s an0 zh e3 d ou1 b u4 zh eng0 q üe0
sh e4 m R ， g uo0 d ing0 d ian3 A d e0 d ong0 zh i0 x ian0 x m y 0 h e2 g uo0 d ing0 d ian3 B d e0 d ong4 zh i2 x ian0 m x y m 3 0 j iao1 ü0 d ian0 P （ x ， y ） ， z e0 | P A | | P B | d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 .
3 y 2 2 b u0 sh i0 zh eng0 sh i0 f ang0 ch eng2 ， g u0 b u0 sh i0 i0 üan0 er0 c i0 f ang0 ch eng0 ；
x ian1 z ai0 j ia0 x iang0 zh ong1 m o1 q iou2 ， c an0 ü0 zh e0 h uo4 j iang0 j in0 k e3 q ü3 0 ， m ， m n ，
d a0 ： üan0 l ai0 f ang0 an0 zh ong0 sh uei0 ch i0 d e0 zh ang0 uei0 4 0 0 m ， k uan0 uei0 3 0 0 m .
z e2 iou0 h ， j ie0 d e2 h .
（ 4 ） r uo0 a 0 ， b 0 ， q ie0 | a | | b | ， z e0 a b .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ou1 t i4 üan0 l i0 ( ao0 sh u4 ) 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i4 m ian4 zh i0 x ian0 j i0 q i0 s uo0 ch eng0 d e0 j iao3 』
2 8 c o s 1 0 s i n 1 6 0 ， c i0 j i0 uei0 C 1 d e0 j i2 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 .
k e3 d e0 M d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao0 uei0 （ 1 ， ） ， N d e0 zh i2 j iao0 z uo0 b iao1 uei4 （ 2 ， 0 ） ， P d e0 zh i2 j iao0 z uo4 b iao1 uei0 （ 3 ， ） .
1 . iou0 i0 i0 ， z e0 x 2 0 ， j ie0 d e0 x 2 ；
s uo3 i0 iou0 l iang0 g e4 m ian4 p ing2 x ing0 d e0 d uo0 m ian0 t i0 b u0 k e0 n eng2 sh i0 l eng0 zh uei0 .
p ei4 f ang0 d e0 y ( x 2 ) 2 2 .
g en0 j ü0 x ie0 er0 c e0 h ua0 f a0 ， üan0 l ai0 d e0 g ao0 b ian0 ch eng0 l e0 4 5 f ang0 x iang0 d e0 x ian0 d uan0 ， q ie0 ch ang0 d u0 sh i0 üan0 g ao0 d e0 i0 b an0 ，
d a0 ： 1 2 x iao0 sh i0 h ou0 g ai0 ch eng0 sh i0 k ai0 sh i0 sh ou0 d ao0 t ai0 f eng0 q in0 x i0 .
j ie0 ： sh e0 b ian0 h uan0 uei0 ， k e0 j iang0 q i0 d ai0 r u0 2 x y 4 ，
uo3 d e0 sh en0 g ao0 sh i4 1 6 5 l i2 m i0 ， x ia0 zh i0 zh ang0 sh i0 9 7 l i2 m i0 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 sh u0 h e0 f u0 sh u0 』
（ 2 ） g ai0 j i0 h e0 t i0 d e0 t i0 j i0 . （ j ie0 g uo0 b ao0 l iou0 ）
in0 uei0 üan0 C j ing0 g uo0 d ian0 P （ ， ） ， üan0 C d e0 üan0 x in0 z uo0 b iao0 uei0 （ 1 ， 0 ） ，
b ing0 p an0 1 g e0 ， j ia0 、 i0 l iang0 p an0 g e0 2 g e0 。
j ie0 zh i0 d e0 2 b 2 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan0 zh u0 d e0 t i0 j i0 』
i0 g e0 t u0 x ing0 d e0 t ou0 ing0 sh i0 i0 t iao0 x ian0 d uan0 ， zh e0 g e0 t u0 x ing0 b u0 k e0 n eng0 sh i0 x ia0 l ie0 t u0 x ing2 zh ong0 d e0 （ t ian0 x ü0 h ao0 ） .
d ang0 q ie0 j in0 d ang0 x [ 1 0 ， 1 4 ] sh i0 ， b u0 d eng0 sh i0 （ * * ） zh ong0 d e0 d eng0 h ao0 ch eng0 l i0 .
（ 2 ） t i0 i0 g e0 sh u4 x üe2 uen4 t i0 b ing0 j ie0 d a0 。
q ie3 | x 2 6 x | 0 ， d eng0 h ao0 d ang1 q ie3 j in3 d ang0 x 6 [ 1 ， 1 0 ] sh i0 ch eng0 l i4 .
g u4 t a0 m en0 d e0 zh i2 ü4 j i2 d uei0 ing0 g uan0 x i0 d ou0 b u0 x iang0 t ong2 ， s uo0 i0 t a1 m en0 b u2 sh i4 t ong0 i0 h an2 sh u0 .
（ 2 ） sh e0 f ( n ) j ü0 iou3 x ing4 zh i4 P ， z e0
2 4 （ d eng0 l iang0 d ai0 h uan4 ） ，
g u0 s uo0 q iou0 d e0 q ie0 x ian0 f ang0 ch eng0 uei0 ： y 4 ( x 1 ) ， j i0 y x 3 0 .
3 ü0 4 h u0 uei4 d uei4 d ing3 j iao0 ， 3 6 0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 O M sh i4 i3 O B 、 O C uei0 b ian0 d e0 p ing0 x ing2 s i0 b ian0 x ing2 d uei4 j iao0 x ian4 d e0 『 i2 b an4 』 . 』
d a2 ： zh e0 n ian0 d e0 q i1 i1 j ian0 d ang0 j ie0 sh i0 x ing0 q i0 s i0 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ian0 d an0 k ong0 j ian0 t u0 x ing0 d e0 s an0 sh i0 t u0 』
【 t i0 sh i0 】 『 s uan4 sh i4 2 4 2 4 2 4 2 4 ， x ian0 s uan0 『 ch u0 』 f a0 ， z ai4 s uan0 ch eng0 f a0 ， z uei0 h ou4 s uan4 『 j ia0 』 f a0 。 』
in1 M （ x 0 ， y 0 ） z ai0 zh i0 x ian4 l sh ang4 ， z e0 x 0 2 p .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch u3 x ü4 uen0 t i0 』
d a2 ： zh e0 p i0 l ing2 j ian4 i1 g ong0 iou0 7 2 0 0 g e0 。
j ie3 ： （ 1 ） iou0 1 ， d e2 0 ，
s uo0 i0 zh i0 x ian0 b ei0 üan0 j ie0 d e0 d e0 x ian0 zh ang0 2 4 .
j ie3 ： k e0 j iang0 üan2 sh u4 h ua4 uei0 ， ， ， ， ，
d ou1 iou0 ( a b ) c a ( b c ) ； （ 2 ） d uei0 a A ，
l iang0 t iao0 p ing0 x ing0 x ian0 zh ong0 d e0 i0 t iao0 ch uei0 zh i0 ü0 l iang0 g e0 p ing0 x ing0 p ing0 m ian0 zh ong0 d e0 i0 g e0 p ing0 m ian0 ， z e0 l ing0 i0 t iao0 i0 d ing0 ch uei0 zh i0 ü0 l ing0 i0 g e0 p ing0 m ian0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 f ei0 m ing0 t i0 』
j ie3 ： iou0 ( c o s s i n ) 2 ， d e2 C 1 d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang1 ch eng0 uei0 x y 2 .
x ia0 l ie0 d ian0 b u0 z ai0 zh i0 x ian0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） sh ang0 d e0 sh i0 （ ）
A ， M ， O s an0 d ian0 g ong0 x ian4 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 d e0 x ing0 zh i0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao0 h uan0 l ü0 h e0 j ie0 h e0 l ü4 』
j iang1 d ian0 （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 1 ） d ai0 r u4 ， i4 d e0 f ( x ) x .
q iou2 4 h e0 q iou0 5 .
iou0 d e0 s an0 j iao0 x ing0 s an0 g e0 n ei0 j iao0 ch eng0 d eng0 ch a0 sh u0 l ie0 ， sh i0 t e0 ch eng0 m ing0 t i0 ；
1 . zh ang0 6 l i0 m i0 ， k uan0 3 l i0 m i0 d e0 ch ang0 f ang0 x ing0 d e0 zh ou0 ch ang0 h uo0 m ian0 j i0 x iang0 d eng0 。 （ ）
（ 2 ） q iou0 m ( 3 ) g uan0 ü2 k d e0 b iao0 d a0 sh i0 .
q iou0 b i0 zh i0 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 l eng0 zh u0 、 l eng0 zh uei0 h e0 l eng0 t ai0 d e0 g ai0 n ian0 j i0 j ian0 d an0 x ing0 zh i0 』
j i0 iou0 n k 1 sh i0 ， g ( k 1 ) .
E ， H f en0 b ie0 sh i0 A B ， B B 1 d e0 zh ong0 d ian0 ，
j ie3 ： zh ong0 u0 sh ang4 sh eng1 l e0 1 1 ，
j ia0 sh e0 p ao0 u0 x ian0 ü0 x zh ou0 d e0 i0 g e0 j iao0 d ian0 sh i0 （ 2 ， 0 ） .
z ai0 sh i0 z i0 ， 3 ， 2 ， ， ， a b zh ong0 ， d an0 x iang0 sh i0 iou0 g e0 ， d uo0 x iang0 sh i0 iou0 g e0 ， zh eng0 sh i0 iou0 g e0 .
j ie3 ： q iou0 d e0 b an4 j ing4 uei4 r ， üan0 zh uei0 d e0 b an0 j ing0 uei0 r ， g ao0 uei0 r ，
iou2 j üe0 d uei0 zh i0 d e0 x ing4 zh i4 d e0
【 t i0 sh i0 】 『 iong0 4 5 üan2 j ian0 q ü0 m ai0 q i0 ch e0 h e0 m ai0 f ei0 j i0 d e0 d e0 q ian2 ， sh eng4 ü0 d e0 q ian0 sh u4 r u0 g uo0 『 x iao3 』 ü2 x iao0 x iong0 d e0 d an0 j ia0 ， j iou0 m ai3 b u0 l iao0 x iao0 x iong0 。 』
j ie3 ： i0 j ü0 t i2 i4 ， h ua0 ch u0 t u0 x ing0 .
iou2 l iang0 x iang0 l iang0 x iang1 d eng3 ， d e0 ， x iao0 q ü0 ， d e0 1 2 1 0 .
s uo0 i0 l eng0 t ai0 d e0 l iang0 d i0 m ian0 sh i0 x iang0 s i0 d uo0 b ian0 x ing0 ； c e0 m ian0 d e0 sh ang0 x ia0 d i0 b ian0 p ing0 x ing0 ； c e0 l eng0 ian0 ch ang0 h ou0 j iao0 ü0 i0 d ian0 ，
（ 1 ） f ang0 sh i0 A ： 2 4 5 5 ( x 5 ) ； f ang0 sh i0 B ： ( 2 4 5 5 x ) 0 . 9 。
d ang1 a 0 sh i0 ， f ( a ) a 2 ， z e2 a 2 ；
zh eng0 f ang0 t i0 d e0 s an0 g e0 sh i0 t u0 d ou0 sh i0 zh eng0 f ang0 x ing0 ， s an0 l eng0 t ai0 d e0 s an0 g e0 sh i0 t u0 d ou0 b u0 t ong2 ， s uo0 i0 d ou0 b u0 m an0 z u0 t i0 i4 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao0 sh u0 ch eng0 f a0 』
d ang1 sh i0 ， d 0 ， g u0 M d e0 g uei3 j i0 t ong0 g uo0 z uo0 b iao0 üan0 d ian0 .
（ 2 ） sh e0 d ian0 B （ 1 ， 6 ） ， C （ 3 ， 2 ） z ai0 zh i0 x ian0 4 x 3 y a 0 d e0 i0 c e0 ， q iou0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 .
” i0 s i0 sh i0 ： “ i1 n ü3 z i0 sh an0 ü0 zh i0 b u0 ， m ei0 t ian1 zh i0 d e0 b u0 d ou1 sh i0 q ian2 i1 t ian0 d e0 2 b ei0 ， i0 zh i1 t a1 5 t ian1 g ong0 zh i1 b u0 5 ch i3 ， uen4 zh e0 n ü3 z i0 m ei0 t ian0 f en0 b ie0 zh i0 b u0 d uo1 sh ao0 ？
g en1 j ü0 uai0 j iao0 d e0 x ing4 zh i4 k e0 zh i0 B O E B A O O B A 4 5 ， A O B 1 8 0 4 5 1 3 5 .
i3 zh i0 p ： 4 x a 4 ， q ： ( x 2 ) ( x 3 ) 0 ， q ie0 q sh i4 p d e0 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0 ， q iou0 a d e0 q ü0 zh i0 f an4 uei0 .
r uo0 p q uei0 zh en0 m ing0 t i0 ， p q uei0 j ia0 m ing0 t i0 ， z e0 p ， q zh ong0 i0 g e0 uei0 zh en0 ， i0 g e0 uei0 j ia0 ，
h an0 sh u0 f ( x ) d e0 z uei4 d a0 zh i2 sh i0 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 d ian3 d ao4 zh i0 x ian0 d e0 j ü0 l i2 g ong0 sh i0 』
zh i0 x ian0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） ü0 q ü0 x ian0 （ a uei0 c an0 sh u0 ） d e0 j iao0 d ian0 g e0 sh u0 uei0 .
b a0 x ia0 m ian0 d e0 f en1 sh u0 h ua4 ch eng0 b ai0 f en0 sh u0 。
【 t i0 sh i0 】 『 zh e4 g e4 sh uei3 b ei0 i0 c i0 z uei0 d uo1 n eng0 g ou0 zh uang1 sh uei3 d e0 t i3 j i1 d eng0 ü2 sh uei3 b ei0 d e0 d i3 m ian0 j i0 ü0 g ao1 d e0 『 ch eng2 j i1 』 。 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i0 x ian4 ü0 üan0 d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i0 』
zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 s uo0 ch eng0 j iao0 d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 （ 0 ， 9 0 ] ；
z e0 zh e0 l iang0 g e0 p ing0 m ian0 x iang0 h u0 p ing0 x ing0 ； r uo0 i0 g e0 p ing0 m ian0 j ing0 g uo0 l ing0 i0 g e0 p ing0 m ian0 d e0 ch uei2 x ian0 ，
x iao3 h ua0 2 0 1 2 n ian0 m an3 1 6 s uei4 ， t a0 zh i0 g uo0 l e0 3 g e0 sh eng1 r i4 。 x iao3 h ua2 sh i0 （ ） n ian2 （ ） üe0 （ ） r i0 ch u0 sh eng0 d e0 。
q ü1 x ian0 C 1 sh ang0 d e0 d ong4 d ian3 M d e0 z uo0 b iao0 （ 4 c o s ， 4 s i n ） ， z uo0 b iao0 üan2 d ian3 O （ 0 ， 0 ） ，
i0 zh i0 üan0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 2 ( c o s s i n ) 5 ， z e0 c i0 üan0 z ai0 zh i0 x ian0 0 sh ang0 j ie0 d e0 d e0 x ian0 zh ang0 uei4 .
c ong2 zh ong0 iou0 f ang0 h uei2 d i4 m o1 q iou0 3 c i0 . c an1 j ia0 zh e0 ü4 x ian1 zh i0 d ing4 h e2 zh ong0 d e0 m ou3 i0 zh ong0 ian2 s e0 d e0 b o0 l i2 q iou2 ，
iou0 t i0 i0 x [ 0 ， ] ， d e0 2 x [ ， ] ，
z ai0 j i0 z uo0 b iao0 x i0 zh ong0 ， i0 zh i0 üan0 C ： 2 c o s h e0 zh i0 x ian0 l ： （ R ） x iang0 j iao0 ü0 A ， B l iang0 d ian0 ， q iou0 x ian0 d uan4 A B d e0 zh ang0 .
j ie0 ： in0 uei0 y ( n 1 ) x n ，
j ia0 sh e0 n k （ k 1 ， k N * ） sh i0 ， m ing0 t i0 ch eng0 l i0 ， j i0 T k [ 8 k 2 ( 1 ) k ] ，
g u4 r uo0 f ( b ) 4 ， j i0 b 2 sh i2 ， z e0 2 a 0 ， c i0 sh i0 d ian3 ( a ， b ) d e0 t u2 x iang4 uei0 y 2 （ 2 a 0 ） ， j i2 p ing0 x ing2 ü3 x zh ou0 d e0 x ian0 d uan0 ；
sh uei0 d e0 x ing0 zh uang0 j iou4 sh i0 iong4 ü0 l eng0 （ ch ang0 f ang0 t i0 q ing0 x ie0 sh i0 g u0 d ing0 b u4 d ong0 d e0 l eng0 ） p ing0 x ing2 d e0 p ing0 m ian0 j iang1 ch ang0 f ang1 t i3 j ie0 q ü4 i0 b u0 f en4 h ou0 sh eng4 ü0 b u4 f en0 d e0 j i0 h e0 t i0 ， c i0 j i0 h e0 t i0 sh i0 l eng0 zh u4 ，
d ian0 A d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 uei0 （ 0 ， 2 ） .
t ong2 l i0 k e0 d e0 ： P p ing2 m ian4 C B D ，
j ie0 ： sh e0 x ian0 z ai0 k e0 i3 zh an0 x x ing0 ，
g u0 üan0 t ai0 d e0 t i0 j i0 uei0 c m 3 .
【 t i0 sh i0 】 『 x iao0 m ing0 d a3 s uan0 h ua0 3 0 0 üan0 q ü0 g ou0 u0 ， z e0 3 0 0 üan0 sh i4 『 x ian4 』 j ia0 。 』
j ie0 ： sh e0 A k ， B k f en1 b ie0 b iao3 sh i0 j ia0 、 i0 z ai0 d i0 k c i0 t ou0 l an0 t ou0 zh ong1 ，
（ 2 ） in0 uei0 Q uei4 B C d e0 zh ong0 d ian0 ， s uo0 i0 Q （ ， ， 0 ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i1 uei4 sh u0 ch u0 l iang0 、 s an0 uei0 sh u0 』
x ia0 l ie0 sh uo0 f a0 c uo0 u0 d e0 sh i0 （ ）
d ian3 M d e0 q iou0 z uo4 b iao1 k e3 i0 sh i0 （ 1 ， 0 ， 0 ） .
p ai2 l ie0 i 1 i 2 … i n d e0 s uo3 iou3 n i4 x ü0 d e0 z ong0 g e0 sh u0 ch eng0 uei0 q i2 n i0 x ü0 sh u0 . l i0 r u2 ： d uei0 1 ，
【 t i0 sh i0 】 『 j ü3 x ing0 ü3 t ou0 sh e0 x ian0 p ing0 x ing0 sh i0 t a0 d e0 p ing0 x ing0 t ou0 ing3 k e0 i3 sh i0 『 x ian0 d uan4 』 . 』
sh i4 ian0 b ao0 h an0 d e0 s uo3 iou3 sh i0 j ian0 sh i0 c ong0 5 g e0 r en0 zh ong1 s uei2 j i0 ch ou1 ch u1 l iang0 r en2 ， z ong0 g ong0 iou3 1 0 zh ong0 ，
s i0 b ian0 x ing0 A B E C sh i4 p ing0 x ing2 s i0 b ian0 x ing0 ，
üan0 x in0 d ao0 zh i0 x ian0 d e0 j ü0 l i0 d 3 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 l iang3 d ian3 j ian0 d e0 j ü0 l i0 g ong1 sh i0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 d ian0 d ao0 zh i0 x ian0 d e0 j ü0 l i0 g ong0 sh i0 』
j ie0 ： iou0 t i0 i0 a 2 x z ai0 （ 1 ， ） sh ang0 h eng0 ch eng0 l i0 ，
f ou3 m ing0 t i0 uei0 ： r uo4 a b 0 ， z e0 a 0 q ie0 b 0 .
g u0 q i0 j i0 z uo0 b iao0 uei0 （ 1 ， ） .
j ie3 ： l ian0 j ie0 A B 1 ， A D 1 .
in0 uei0 d ong0 üan0 d e0 üan0 x in0 uei0 P （ x ， y ） ，
r u2 t u0 ， s an0 g e4 x iao4 q ü1 f en0 b ie0 uei0 ü0 sh an4 x ing0 O A B d e0 s an1 g e0 d ing3 d ian3 sh ang0 ， d ian3 Q sh i0 h u2 A B d e0 zh ong0 d ian3 ， x ian4 ü4 z ai4 x ian4 d uan0 O Q sh ang4 zh ao3 i1 ch u4 k ai1 ua0 g ong0 z uo0 k eng0 P （ b u0 ü0 d ian3 O ， Q ch ong0 h e0 ） ， uei4 x iao3 q ü1 p u0 sh e4 s an0 t iao0 d i4 x ia4 d ian4 l an3 g uan3 x ian4 P O ， P A ， P B . i0 zh i0 O A 2 q ian0 m i3 ， A O B . j i0 A P Q r a d ， d i0 x ia4 d ian0 l an0 g uan0 x ian4 d e0 z ong3 zh ang3 d u0 uei0 y q ian1 m i0 .
iou4 iou0 s i0 b ian0 x ing2 A B C D sh i4 j ü0 x ing0 ， t ong0 l i3 k e0 d e0 C D m ian4 P A D ， zh i1 C D P D .
（ 2 ） zh eng0 m ing0 ： A C p ing2 m ian4 P B D .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ang2 d u4 d an0 uei0 d e0 r en0 sh i2 、 j in0 l ü4 j i2 h uan0 s uan4 』
zh eng4 f ang0 x ing0 A B C D ü3 zh eng4 f ang1 x ing0 A B E F s uo0 z ai0 p ing2 m ian0 x iang0 j iao1 ü2 A B ， z ai4 A E ， B D sh ang0 g e4 iou3 i0 d ian0 P ， Q ， q ie0 A P D Q .
【 t i0 sh i0 】 『 2 7 sh i4 f u4 sh u4 ， f u0 sh u0 d e0 l i4 f ang0 g en0 sh i4 『 f u0 』 sh u4 . 』
j ie3 b u0 d eng0 sh i0 ： | x 2 | x | x 2 | 2 .
r uo0 4 c m sh i0 d i0 ， z e0 s an0 j iao0 x ing0 d e0 s an0 b ian0 sh i0 2 c m 、 2 c m 、 4 c m ，
q ie0 i0 üan0 d ian0 o uei0 j i0 d ian0 ，
（ 4 ） iou0 ü0 a b ， d ang1 b 0 sh i2 ， 1 ；
g u0 b u0 d eng0 sh i0 f （ x ） 2 ch eng0 l i4 .
P uei0 x ian0 d uan0 M F d e0 zh ong1 ch uei0 x ian0 ü0 zh i0 x ian0 y n d e0 j iao0 d ian0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 1 h e0 A E D sh i0 zh i0 x ian0 A B ， D E b ei0 zh i0 x ian0 A E s uo0 j ie0 x ing0 ch eng0 d e0 『 n ei0 c uo0 』 j iao0 . 』
z ong0 sh ang0 k e0 d e0 z i4 b ian0 l iang4 x d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 uei0 （ 2 ， 1 ] .
j ie0 ： f en0 b ie0 i0 A B ， A C ， A A 1 s uo0 z ai0 zh i0 x ian0 uei0 x 、 y 、 z zh ou0 j ian0 l i0 k ong0 j ian0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 x i0 ， z e0 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， B （ 2 ， 0 ， 0 ） ， C （ 0 ， 4 ， 0 ） ， A 1 （ 0 ， 0 ， 2 ） ， B 1 （ 2 ， 0 ， 2 ） ， C 1 （ 0 ， 4 ， 2 ） .
p ao0 u0 x ian0 y x 2 b x c j ing1 g uo0 d ian3 C （ 0 ， 2 ） ， D （ 3 ， ） ，
【 t i0 sh i0 】 『 iou0 s an0 g e4 d a0 x iao0 i0 iang0 d e0 ch ang0 f ang0 x ing0 ， b u0 g uan0 z en3 m e0 p in1 ， zh i0 iao0 m ei2 iou0 ch ong0 d ie0 b u4 f en0 ， z e0 s uo0 p in1 t u0 x ing0 d e0 m ian0 j i1 d ou0 sh i0 『 3 』 g e0 zh ang0 uei0 6 f en0 m i0 ， k uan0 uei0 2 f en0 m i3 d e0 ch ang0 f ang0 x ing0 d e0 m ian0 j i1 。 』
r uo0 a 、 b sh i0 i0 m ian0 zh i0 x ian0 ， zh i0 x ian0 c a ， z e0 c ü0 b d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i0 sh i0 （ ）
【 t i0 sh i0 】 『 d ian3 M z ai4 q ü0 x ian0 sh ang0 ， z e0 x 『 m 』 sh i0 ， y 『 m 』 . 』
z e0 ， zh eng0 l i0 d e0 x y 0 .
iou0 q ü0 x ian0 C d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ uei0 c an0 sh u0 ） ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iang0 f an0 sh u0 』
l i4 r u0 ： iou0 x ü4 sh u4 z u3 （ 1 ， 2 ， 3 ） j ing0 1 c i0 b ian4 h uan0 h ou0 d e2 d ao4 sh u0 z u3 （ 1 2 ， 2 3 ， 3 1 ） ， j i0 （ 3 ， 5 ， 4 ） ； j ing1 d i0 2 c i4 b ian0 h uan0 h ou0 d e2 d ao4 sh u4 z u3 （ 8 ， 9 ， 7 ） .
z e0 üan0 x in0 （ 0 ， 1 ） d ao0 zh i0 x ian4 l d e0 j ü0 l i0 uei0 2 ， q ie0 üan0 d e0 b an0 j ing0 r 1 ，
i3 A 、 B uei0 j iao0 d ian3 ， sh i2 zh ou0 zh ang0 uei0 4 d e0 sh uang0 q ü0 x ian4 f ang1 ch eng0 uei4 1 .
【 t i0 sh i0 】 『 A C E 9 0 ， sh uo1 m ing2 ， g u0 『 0 』 . 』
（ 2 ） t ian0 f a0 b u0 uei2 i1 ， x ia0 m ian0 d e0 b iao0 zh i3 sh i0 q i0 zh ong1 i1 zh ong0 t ian2 f a3 ：
ü2 sh i0 iou0 c o s ， ，
（ 4 ） x y 0 zh ong0 ， c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 d e0 g e0 sh u0 uei0 （ ）
（ 2 ） x ian0 d uan0 A B d e0 zh ang3 | A B | .
j ie3 ： iou0 t i0 i4 d e2 s i n ( 2 ) s i n ( 2 ) ，
t uo3 üan0 （ uei0 c an1 sh u4 ） d e0 l i0 x in0 l ü0 sh i4 （ ）
（ 2 ） d ang0 B E d e0 zh ang3 sh i4 d uo1 sh ao0 f en0 m i0 sh i0 ， zh e0 j üan0 ch eng2 d e0 b ao0 zh uang0 h e2 d e0 r ong2 j i1 z uei0 d a0 ？
r uo0 zh i0 x ian0 l p ing2 x ing0 ü2 p ing0 m ian0 n ei0 d e0 u0 sh u0 t iao0 zh i0 x ian0 ， z e0 l ；
j ie3 ： g en0 j ü0 i3 zh i1 k e3 d e0 üan0 zh uei0 d e0 m u3 x ian0 zh ang0 uei4 4 ， sh e0 d i3 m ian4 b an0 j ing4 uei4 r ， z e0 2 r 2 4 ， s uo0 i0 r 1 ，
g u0 3 a 3 b 3 sh i0 l o g a 3 l o g b 3 d e0 ch ong0 f en4 b u0 b i0 iao0 t iao0 j ian0 .
iou4 G E F P E M 2 7 （ d uei0 d ing0 j iao3 x iang1 d eng3 ） ，
B c uo0 u0 ， l iang0 p ing0 x ing2 x ian0 ü0 d i0 s an0 t iao0 zh i0 x ian0 x iang0 j iao0 ， n ei0 c uo4 j iao0 x iang1 d eng0 ；
r u2 t u0 ， n eng0 p an4 d ing4 E B A C d e0 t iao0 j ian0 sh i0 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iong4 k ong1 j ian0 x iang0 l iang0 q iou0 zh i2 x ian0 ü0 p ing2 m ian4 d e0 j ia1 j iao3 』
g uo4 d ian0 M z uo0 üan2 d e0 q ie4 x ian0 ， q ie0 d ian0 uei0 T ， z e0 | M T | 2 ( 5 1 ) 2 ( 0 ) 2 1 2 1 8 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao0 sh u0 d e0 j ia0 f a0 h e0 j ian0 f a0 』
j ie0 ： A zh ong0 ， y d e0 zh i0 ü0 uei0 [ 0 ， ） ；
（ 2 ） r uo0 zh i0 x ian0 l ü3 t uo3 üan0 C j iao0 ü0 A ， B l iang0 d ian0 ， q iou2 x ian0 d uan4 A B d e0 zh ang3 .
【 t i0 sh i0 】 『 2 . 7 1 . 2 ， sh i2 f en0 uei4 7 2 5 ， g e0 uei0 uei0 （ 2 『 1 』 ） 。 』
r uo4 üan0 C ： x 2 y 2 1 z ai0 j ü3 zh en4 A （ a 0 ， b 0 ） d uei0 ing0 d e0 b ian0 h uan4 x ia0 b ian0 ch eng2 t uo3 üan0 E ： 1 ， q iou2 j ü0 zh en4 A d e0 n i0 j ü3 zh en0 A 1 .
f ( x ) x 3 6 x 2 9 x z ai0 x 1 ch u0 q ü3 d e0 j i2 d a0 zh i0 uei0 4 ， z ai4 x 3 ch u0 q ü3 d e0 j i0 x iao3 zh i2 uei0 0 .
a 2 2 c （ d ang0 c a sh i0 d eng0 h ao0 ch eng0 l i0 ） ，
üan2 x 2 ( y 2 ) 2 4 ü0 zh i0 x ian4 x 2 x iang1 q ie0 ，
i3 zh i0 zh i0 x ian0 l : x y 2 0 ü3 x zh ou0 j iao0 ü0 d ian0 A ， d ian0 P z ai4 zh i2 x ian0 l sh ang4 ， üan2 C : ( x 2 ) 2 y 2 2 sh ang0 iou0 q ie3 j in0 iou0 i0 g e4 d ian3 B m an3 z u2 A B B P ， z e0 d ian3 P d e0 h eng2 z uo4 b iao1 d e0 q ü0 zh i0 j i0 h e0 uei0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ie0 b i0 l i0 』
h an2 sh u0 y x z ai0 [ 1 ， 3 ] sh ang4 sh i4 d an0 f eng0 h an0 sh u0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t ong2 j iao3 s an0 j iao0 h an0 sh u0 j ian1 d e0 j i0 b en3 g uan1 x i0 』
iong4 zh eng0 、 f u0 sh u4 b iao3 sh i4 uen0 d u0 j i0 s uo0 x ian3 sh i0 d e0 uen1 d u4 。
q ü0 x ian0 d e0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 sh i0 y 2 1 x （ y ） .
q iou2 x ia0 l ie0 üan0 zh u4 d e0 b iao3 m ian0 j i0 。
s uo3 i0 d uei0 r en0 i4 sh i2 sh u4 x ， f ( x l ) f ( x ) h eng0 ch eng0 l i0 ， g u0 C zh eng4 q üe0 ；
C . i0 g e0 üan0 t ai0
j ü0 d ian0 l i0 b u0 m en0 t ong0 j i0 ， m ei0 t ian0 8 : 0 0 zh i0 2 1 : 0 0 sh i0 iong0 d ian0 d e0 g ao0 f eng0 q i0 ， j ian0 ch eng0 “ f eng0 sh i0 ” ； 2 1 : 0 0 zh i0 c i0 r i0 8 : 0 0 sh i0 iong0 d ian0 d e0 d i0 g u0 sh i0 q i0 ， j ian0 ch eng0 “ g u0 sh i0 ” . uei0 l e0 h uan0 j ie0 g ong0 d ian0 x ü0 q iou0 j in0 zh ang0 ， m ou0 d ian0 l i0 b u0 m en0 ü0 b en0 üe0 ch u0 t ong0 i0 h uan0 zh uang0 “ f eng0 g u0 f en0 sh i0 ” d ian0 b iao0 ， d uei0 iong0 d ian0 sh i0 x ing0 “ f eng0 g u0 f en0 sh i0 d ian0 j ia0 ” x in0 zh eng0 c e0 ， j ü0 t i0 r u0 x ia0 b iao0 ：
t u0 1 0 0 g e0 h ua0 p en0 x ü0 iao0 d e0 iou0 q i0 uei0 ：
A . zh i0 x ian0 zh ou0 d uei4 ch en4
g ong0 sh ou0 f ei0 ： 6 1 . 6 9 . 6 （ üan0 ） ，
z e0 q ie0 x ian0 f ang0 ch eng0 uei0 ： y n k ( x 1 ) .
sh eng1 h uo0 zh ong0 f ang0 d a4 d e0 x ian4 x iang0 iou0 ： x ian0 uei1 j ing0 ， f ang4 d a4 j ing0 。
j i4 x iao0 ch ong0 ian0 l eng2 c ong2 i2 g e0 d ing0 d ian0 p a0 d ao4 l ing0 i0 g e4 d ing3 d ian0 uei4 i1 c i0 p a2 x ing2 x iao0 ch ong0 d i4 i0 c i0 p a0 x ing2 iou2 A d eng3 k e3 n eng2 d i0 p a2 x iang4 B 、 C 、 D zh ong1 d e0 r en4 i0 i0 d ian0 ，
t ong2 uei0 j iao0 x iang0 d eng3 ， l iang3 zh i0 x ian0 p ing0 x ing0 d e0 n i0 m ing0 t i2 uei0 ： l iang0 zh i2 x ian0 p ing2 x ing2 ， t ong0 uei4 j iao0 x iang0 d eng0 ，
B . i0 g e0 p ing0 m ian0
d ang0 0 a 1 sh i0 ， t u0 x iang0 x iang0 x ia0 i0 d ong0 ， b i0 j ing0 g uo0 d i0 er0 x iang0 x ian0 ， g u0 a 1 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 l ie0 j ü0 f a0 j i0 s uan0 j i0 b en0 sh i0 j ian0 sh u0 j i0 sh i0 j ian0 f a0 sh eng0 d e0 g ai0 l ü0 』
【 t i0 sh i0 】 『 j i4 s uan0 4 3 . 1 4 ， x ian0 j i0 s uan0 4 3 1 4 ， z ai0 z ai0 j i0 d e0 m o0 uei0 c ong0 iou4 uang0 z uo3 sh u0 ch u0 『 2 』 uei4 d ian0 sh ang0 x iao0 sh u3 d ian0 。 』
zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f en0 b ie0 uei0 A （ 1 ， ） ， B （ 2 ， 0 ） ， C （ 1 ， ） ，
（ 3 ） g ai0 j i0 h e0 t i0 d e0 b iao3 m ian0 iou0 n ei0 x ie0 n i0 sh u0 x i0 d e0 p ing0 m ian0 t u0 x ing2 ？
sh e4 d ian0 M ， N f en0 b ie2 d uei4 ing4 c an0 sh u0 t 1 ， t 2 ， q ia0 uei0 sh ang0 sh u0 f ang1 ch eng0 d e0 g en0 ，
g u4 ü0 üan0 sh uang0 q ü1 x ian4 d e0 l i0 x in0 l ü0 j i0 j ian4 j in0 x ian0 x iang1 t ong2 .
（ 1 ） x ie0 ch u0 C d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 ；
j ie3 ： h an0 sh u0 y x 2 2 x 2 sh i4 i1 üan0 er0 c i0 h an0 sh u4 ， s uo0 q iou2 h an2 sh u0 d e0 d ing4 i0 ü4 uei4 [ 0 ， 3 ] ，
j ie3 ： d uei0 ü0 ， i3 zh i2 j iao0 s an0 j iao0 x ing0 d e0 i0 zh i0 j iao3 s uo0 z ai0 d e0 zh i2 x ian0 uei4 zh ou2 x üan0 zh uan0 s uo3 d e0 d e0 j i0 h e2 t i3 uei4 üan2 zh uei0 ， d an0 i0 x ie2 b ian1 s uo3 z ai0 zh i2 x ian0 uei0 x üan0 zh uan0 zh ou0 s uo0 d e0 j i3 h e0 t i0 b u0 sh i0 üan2 zh uei1 ， g u0 c uo4 u0 ；
j ie0 ： g en0 j ü0 u0 l i0 sh u0 d e0 d ing0 i0 “ u0 x ian0 b u0 x ün0 h uan0 d e0 x iao0 sh u0 ” k e0 zh i0 ， u0 l i0 sh u0 iou0 ： ， ， ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i0 x ian4 ü0 p ing0 m ian0 p ing0 x ing0 d e0 p an0 d ing0 』
d uei4 ü0 C ， sh i0 z uei4 j ian3 er4 c i0 g en0 sh i0 ；
i0 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) a （ a 0 ） . r uo0 f ( x ) 2 x z ai0 （ 1 ， ） sh ang0 h eng0 ch eng0 l i0 ， q iou0 sh i0 sh u0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 .
【 t i0 sh i0 】 『 j i4 s uan0 1 . 5 0 . 5 ， 5 5 1 0 ， m an0 sh i0 ， x iang0 『 g e0 』 uei0 j in0 1 。 』
i0 üan0 d ian0 uei0 j i0 d ian0 ， x zh ou0 zh eng0 b an0 zh ou0 uei0 j i0 zh ou0 j ian0 l i0 j i0 z uo0 b iao0 x i0 ， C d e0 j i0 z uo0 b iao1 f ang0 ch eng0 uei0 2 s i n .
b a0 d ian0 M d e0 z uo0 b iao0 d ai0 r u0 C 1 ： c o s 4 zh ong0 ， d e0 c o s ， j i0 4 c o s ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 x ian0 d ing0 l i0 』
） uei0 d ing0 d ian0 d e0 p ao1 u4 x ian0 d e0 sh i0 x ian0 b u0 f en0 ，
j i0 s uo0 q iou0 d e0 j ie0 x 1 .
sh e0 f ( x ) sh i0 R sh ang0 d e0 j i0 h an0 sh u0 ， g ( x ) sh i0 R sh ang0 d e0 ou0 h an0 sh u0 ， r uo0 h an0 sh u0 f ( x ) g ( x ) d e0 zh i0 ü4 uei0 [ 1 ， 3 ） ， z e0 f ( x ) g ( x ) d e0 zh i0 ü0 uei0 .
d a0 an0 ： 2 5 4 ； ch eng0 f a0 j ie0 h e2 。
A ， M ， O s an0 d ian0 g ong0 x ian0 ， A ， M ， O ， A 1 s i4 d ian0 g ong0 m ian0 ， A ， O ， C ， M s i0 d ian0 g ong0 m ian0 .
j ia3 sh u0 : i0 sh u4 3 : 4 。
sh e0 j i0 h e0 M { 1 ， 0 ， 1 } ， j i0 h e0 A n { （ x 1 ， x 2 ， x 3 ， … ， x n ） | x i M ， i 1 ， 2 ， … ， n } ， j i0 h e0 A n zh ong0 m an0 z u0 t iao0 j ian0 “ 1 | x 1 | | x 2 | … | x n | m ” d e0 üan0 s u0 g e0 sh u0 j i0 uei0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 sh uang0 q ü1 x ian0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 q üan0 ch eng0 l iang0 c i0 ü0 c uen0 z ai0 l iang0 c i0 』
（ 1 ） x ie0 ch u0 zh i0 x ian0 l d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 h e0 q ü0 x ian0 C d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 ；
d e0 p ing0 f ang0 g en0 sh i4 3
j ia0 p an0 3 g e0 ， i0 、 b ing0 l iang0 p an0 g e0 i0 g e0 ；
B . b i0 iao0 b u0 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 h an0 sh u4 d e0 d ing0 i0 ü0 j i0 q i0 q iou0 f a0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh u4 z uo4 b iao0 x i0 ü0 q iou0 z uo0 b iao0 x i0 』
j ie0 ： g en0 j ü0 i0 üan0 er0 c i0 f ang0 ch eng0 d e0 d ing0 i0 ， d e0
（ 1 ） j i0 “ j ia0 h uo0 sh eng0 ” uei0 sh i0 j ian0 C ， iou0 h u0 ch i0 sh i0 j ian0 iou0 i0 g e0 f a0 sh eng0 d e0 g ai0 l ü0 ü3 x iang0 h u0 d u0 l i0 sh i0 j ian0 t ong0 sh i0 f a1 sh eng0 d e0 g ai0 l ü0 j i0 s uan0 g ong0 sh i0 zh i0
g uo0 d ian0 （ 1 ， 0 ） q ie0 ü3 zh i0 x ian4 A B p ing0 x ing0 d e0 zh i0 x ian0 l d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao1 f ang0 ch eng2 uei0 y x 1 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 k ong1 j ian1 zh ong0 zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 zh i0 j ian1 d e0 uei0 zh i0 g uan1 x i0 』
A O B d e0 p ing0 f en0 x ian0 sh ang0 iou0 i0 d ian0 M ， M d ao0 O A d e0 j ü0 l i0 uei0 1 . 5 c m ， z e0 M d ao0 O B d e0 j ü0 l i0 uei0 .
x ia4 m ian0 iong0 sh u0 x üe2 g uei1 n a4 f a0 zh eng0 m ing0 ： d ang1 n 1 sh i0 ， iou2 （ 1 ） zh i1 ， d eng0 sh i4 ch eng2 l i0 ；
zh eng0 m ing0 ： sh e0 i3 m ei0 i1 j ü0 h uo0 sh eng0 d e0 g ai0 l ü0 uei0 q ， z e0 p q 1 ， 0 q .
b a0 x ia0 l ie0 g e0 sh u0 f en0 b ie0 t ian0 r u0 x iang0 ing0 d e0 j i0 h e0 l i0 ： 3 . 1 4 ， ， 0 ， ， 3 . ， ， ， ， ， | 1 | ， 3 . 1 4 1 4 4 1 4 4 4 1 （ x iang0 l in0 l iang0 g e0 1 zh i0 j ian0 4 d e0 g e0 sh u0 zh u0 c i0 j ia0 1 ） .
B . b i0 iao0 er0 b u0 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0
j ie3 ： r u0 g uo0 b a3 sh en1 g ao1 b i0 q üan0 b an0 t ong0 x üe2 d e0 p ing0 j ün1 sh en1 g ao0 g ao1 3 c m j i0 z uo4 3 c m ， n a0 m e0 b i3 q üan0 b an0 t ong0 x üe2 d e0 p ing2 j ün1 sh en1 g ao1 ai0 5 c m ， j i4 z uo4 5 c m .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j üe0 d uei0 zh i0 』
c an1 j ia0 zh e0 c i0 c e4 sh i4 d e0 t ong0 x üe0 i0 g ong0 iou3 5 0 r en0 。
A . s an0 l eng0 zh u0 、 s i0 l eng0 t ai0 、 q iou0 、 üan0 zh uei0
i3 zh i0 m ing0 t i0 p ： x R ， a x 2 a x 1 0 ， r uo4 p sh i0 zh en0 m ing0 t i0 ， z e0 sh i0 sh u4 a d e0 q ü0 zh i2 f an0 uei2 sh i4 （ ）
（ 2 ） E ， C ， D 1 ， F s i0 d ian0 g ong0 m ian4 ；
s uo0 i0 j i0 h e0 P 1 1 zh ong0 üan0 s u0 d e0 g e0 sh u0 uei0 5 .
sh uei3 p ing0 f ang0 zh i0 d e0 d eng3 b ian1 s an0 j iao0 x ing0 d e0 zh i0 g uan0 t u0 sh i4 zh i0 j iao0 s an0 j iao3 x ing0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 2 0 i0 n ei0 sh u0 d e0 d a0 x iao0 b i0 j iao0 』
（ 2 ） c ai0 x iang0 d ang0 n （ n N * ） uei0 ou0 sh u0 sh i0 ， a n .
（ 2 ） x ia0 l ie0 s uei0 j i1 sh i4 j ian4 iou0 n ei0 x ie0 j i0 b en0 sh i0 j ian0 g ou4 ch eng0 ；
in0 c i0 ， j ing0 g uo0 sh en0 s uo0 b ian0 h uan0 h ou0 ， t uo0 üan0 1 b ian0 ch eng0 t uo0 üan0 x 2 1 ， r u0 t u0 （ 2 ） s uo0 sh i0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t uo0 üan2 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 』
g u4 6 g e0 m ian0 zh ong1 q ia4 h ao3 iou0 2 g e0 m ian0 x ü0 iao0 g eng0 h uan4 d e0 g ai0 l ü0
D . j ia0 d e0 d i0 i4 m ing2 、 i0 m ei0 d e0 d i0 er4 m ing0 、 b ing3 d e2 d i0 s an1 m ing2
j ie3 ： g en0 j ü0 er4 c i4 g en1 sh i0 iou0 i0 i0 d e0 t iao0 j ian0 k e3 d e2
j i4 s uan0 （ n eng0 j ian3 s uan4 d e0 iao0 j ian0 s uan0 ）
q ie0 t ou0 uan0 3 c i0 j iou0 zh ong0 zh i0 t ou0 zh i0 d e0 g ai0 l ü0 uei0 ，
t a0 m en0 sh i0 ： 、 、 、 、 、 。
in0 c i0 M 2 d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 s i n ， （ ） ，
【 t i0 sh i0 】 『 A E ü0 B 1 C 1 s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 j iou0 sh i0 A E ü0 『 B C 』 s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 . 』
（ 4 ） j i0 sh i0 d uei0 l i4 sh i4 j ian4 iou0 sh i0 h u0 ch i0 sh i0 j ian0 . zh i4 sh ao0 iou0 i0 g e4 b ai0 q iou2 h e2 d ou0 sh i0 h ong2 q iou0 b u0 n eng0 t ong2 sh i2 f a1 sh eng1 ， j i2 sh i0 h u0 ch i4 sh i4 j ian4 . zh i4 sh ao0 iou0 i0 g e0 b ai0 q iou0 j iou0 sh i4 iao0 m e0 h ong0 b ai0 iao4 m e0 b ai2 b ai0 ， j in0 j in0 sh eng4 x ia4 h ong0 h ong2 d e0 k e3 n eng0 x ing0 ， s uo0 i0 ch u2 l e0 zh i0 sh ao3 i0 g e4 b ai0 q iou0 ， j iou0 sh i0 l iang0 g e4 h ong0 q iou0 ， g u0 sh i0 d uei0 l i0 sh i4 j ian4 .
d uei4 ü0 C ， b ian0 x ing2 k e3 d e2 x 2 2 x 3 0 ， z e0 ( 2 ) 2 4 ( 3 ) 0 ， z e0 f ang1 ch eng0 iou0 l iang3 g e4 b u0 x iang1 d eng3 d e0 sh i2 sh u4 g en0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 1 0 0 i0 n ei4 sh u0 d e0 j in0 uei0 j ia0 f a0 h e0 t uei0 uei0 j ian0 f a0 』
n i4 x ü0 sh u0 uei0 1 d e0 p ai2 l ie0 zh i0 n eng0 sh i0 j iang1 p ai0 l ie0 1 2 … n zh ong1 d e0 r en4 i4 x iang0 l in2 l iang3 g e0 sh u0 z i4 d iao0 h uan0 uei0 zh i4 d e2 d ao4 d e0 p ai2 l ie4 ，
【 t i0 sh i0 】 『 l eng0 zh u0 d e0 g e0 c e0 l eng0 d ou0 『 p ing0 x ing0 』 . 』
i0 g e0 g ua0 zh ong0 d e0 sh i0 zh en0 zh ang0 5 c m ， i0 zh ou0 ie0 zh e0 g en0 sh i0 zh en0 d e0 j ian0 d uan0 z ou0 l e0 （ ） c m 。
（ 3 ） t ong0 sh i0 p ao0 zh i4 l iang0 m ei2 t ou0 z i0 ， q iou0 zh i0 sh ao0 iou0 i0 g e0 5 d ian0 h uo4 6 d ian3 d e0 g ai0 l ü0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan0 zh u4 d e0 t i0 j i0 』
m ing0 t i0 “ r uo0 i0 g e0 sh u0 sh i0 f u0 sh u0 ， z e0 t a0 d e0 p ing0 f ang0 sh i0 zh eng0 sh u0 ” d e0 n i0 m ing0 t i0 sh i4 （ ）
j ie3 ： g en0 j ü0 er4 c i4 g en1 sh i0 d e0 x ing0 zh i0 j in4 x ing0 j i0 s uan4 ， d e0 ：
D . j i0 b u0 sh i0 d eng3 ch a1 sh u4 l ie0 ie0 b u0 sh i0 d eng3 b i0 sh u0 l ie4
sh e0 sh uei0 m ian0 x ia0 j iang0 d e0 g ao0 d u0 uei0 x c m ，
i3 zh i0 p ： x 1 h uo0 x 3 ， q ： x a ， r uo4 q sh i0 p d e0 ch ong0 f en0 b u0 b i0 iao4 t iao0 j ian0 ， z e2 a d e0 q ü3 zh i0 f an0 uei2 sh i0 .
d uei4 ü0 D ， “ a b ” n eng0 t uei1 ch u1 “ a 3 b 3 ” ， q ie0 “ a 3 b 3 ” n eng0 t uei0 ch u1 “ a b ” ， g u0 sh i4 ch ong1 iao0 t iao2 j ian4 ， b u4 m an3 z u0 t i0 i4 .
d a2 ： zh e0 g e0 f ang2 j ian1 d e0 t u0 sh ang0 m ian0 j i0 h e2 sh i0 j i0 m ian4 j i1 d e0 b i3 1 : 1 0 0 0 0 。
b i3 j iao0 d a0 x iao0 （ iong4 “ ” h uo0 “ ” l ian0 j ie0 ） ：
n ai3 n ai0 d ai0 d e0 q ian2 m ai3 m ei3 q ian0 k e0 3 . 5 üan0 d e0 j ü0 z i0 zh eng4 h ao3 k e0 i3 m ai3 6 k g 。 r u2 g uo3 g ai0 m ai0 m ei3 q ian0 k e0 3 üan2 d e0 iou4 z i0 ， k e3 i0 m ai3 d uo1 sh ao3 q ian1 k e4 ？
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iang4 l iang4 j ia0 、 j ian0 f a0 f a3 z e0 j i0 j i3 h e2 i0 i4 』
（ 2 ） 2 0 2 0 4 0 0 ， 1 0 6 0 6 0 0 ， 2 0 2 0 b u0 d eng0 ü0 1 0 6 0 ， s uo3 i3 2 0 : 1 0 h e0 6 0 : 2 0 b u0 k e3 i0 z u0 ch eng2 b i3 l i0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ou1 t i4 üan0 l i0 ( ao0 sh u4 ) 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i1 uei4 x iao0 sh u0 d e0 j ia0 f a0 h e0 j ian0 f a3 』
g u4 üan0 h an0 sh u0 d e0 d ing4 i4 ü0 sh i0 [ 1 ， 0 ] .
d a2 an0 ： b h uo0 b .
c i0 sh i0 ， g ai0 l uen0 b i0 s ai0 j ie0 g uo0 d uei0 x ia0 l uen0 b i0 s ai0 sh i0 f ou0 t ing0 zh i0 m ei0 iou0 ing0 x iang0 ， c ong0 er0 iou0 ：
j ie3 ： h ua0 üan0 d e0 j i2 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 2 c o s ( ) uei4 zh i0 j iao0 z uo4 b iao1 f ang0 ch eng2 d e2 ( x ) 2 ( y ) 2 1 ，
h ua4 uei0 p u0 t ong0 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 ( y 2 ) 2 4 ，
【 t i0 sh i0 】 『 n an0 ing0 ch u1 sh eng0 p in0 l ü0 j i0 uei0 g ai0 n ian0 d u0 ch u0 sh eng0 『 n an2 ing0 』 sh u0 ü0 ing0 er2 sh u0 d e0 b i0 zh i2 . 』
g ai1 üan0 d e0 j ian0 k ai1 x ian4 c an1 sh u0 f ang0 ch eng0 sh i0 .
d ian3 P （ x ， y ） z ai0 zh i0 x ian4 x y 4 0 sh ang4 ， z e0 x 2 y 2 d e0 z uei4 x iao0 zh i0 sh i4 .
g u4 z uei0 x iao0 zh i0 uei4 2 .
g en0 j ü0 x ia0 t u0 t i0 g ong0 d e0 x in0 x i0 uan0 ch eng0 x ia0 m ian0 d e0 uen0 t i0 。
iou0 2 m 4 ü0 3 m 1 h u0 uei0 x iang0 f an0 sh u0 k e0 d e0
r u0 t u0 sh i0 i0 g e0 j i0 h e0 t i0 d e0 b iao0 m ian0 zh an0 k ai0 t u0 x ing0 ， z e0 zh e0 g e0 j i0 h e0 t i0 sh i0 .
i0 zh i0 q ü0 x ian0 d e0 c an0 sh u4 f ang0 ch eng0 sh i0 （ uei0 c an0 sh u0 ） ， r uo0 i0 c i0 q ü1 x ian0 s uo3 z ai0 d e0 zh i0 j iao3 z uo0 b iao0 x i0 d e0 üan0 d ian3 uei4 j i0 d ian3 ， x zh ou0 d e0 zh eng0 b an4 zh ou0 uei4 j i0 zh ou0 j ian0 l i0 j i0 z uo0 b iao0 x i0 ， z e0 q ü0 x ian0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang1 ch eng0 uei0 （ ）
z e0 k e0 j i0 x ü0 z ai0 d i0 er0 g e0 x iang0 z i0 zh ong0 m o0 q iou0 ，
j ie0 ： y ( x 2 ) 2 3 d e0 d ing0 d ian0 uei0 （ 2 ， 3 ） ， p ao0 u0 x ian0 y x 2 d e0 d ing0 d ian0 uei0 （ 0 ， 0 ） ， s uo0 i0 p ing0 i0 d e0 g uo0 ch eng0 sh i0 x ian0 x iang0 z uo0 p ing0 i0 2 g e0 d an0 uei0 ， z ai0 x iang0 x ia0 p ing0 i0 3 g e0 d an0 uei0 .
q i2 f ou0 d ing0 sh i0 i2 g e4 t e4 ch eng0 m ing0 t i0 ， s uo3 i0 “ ” g ai3 uei2 “ ” ， z ai4 f ou3 d ing0 j ie2 l uen4 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 m ing4 t i2 h e0 m ing0 t i0 d e0 zh en0 zh i0 』
r u0 g uo0 d ang0 s t sh i0 ，
d a0 an0 ： b i0 iao0 b u0 ch ong0 f en0 .
t u2 sh i0 i0 g e0 l iou4 l eng2 zh u4 zh ong0 ua0 q ü0 i0 g e4 üan0 zh u0 ；
B . 2 2 ， c uo0 u0 ， b u0 n eng0 j in0 x ing0 j ia0 j ian0 ün0 s uan0 ；
j ie3 ： r uo0 j iao0 sh i1 r en2 sh u4 uei0 4 ， z e0 n an0 sh eng0 r en0 sh u0 8 ， n ü0 sh eng0 r en0 sh u4 4 ， n an2 sh eng1 r en0 sh u0 n ü3 sh eng0 r en0 sh u0 ，
D . c e0 l eng0 ian0 ch ang0 h ou0 d ou0 j iao0 ü0 i0 d ian0
A ， M ， O s an0 d ian0 g ong0 x ian0 ， A ， M ， O ， A 1 s i0 d ian0 g ong0 m ian0 ， A ， O ， C ， M s i0 d ian0 g ong0 m ian0 .
z ai4 zh i0 j iao0 z uo0 b iao1 x i4 x O y zh ong0 ， q ü0 x ian0 C 1 ： （ t uei0 c an0 sh u4 ， t 0 ） ， q i0 zh ong0 0 . z ai0 i3 O uei0 j i0 d ian3 ， x zh ou0 zh eng0 b an4 zh ou2 uei4 j i2 zh ou0 d e0 j i0 z uo0 b iao1 x i4 zh ong1 ， q ü1 x ian0 C 2 ： 2 s i n ， C 3 ： 2 c o s .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iong0 k e1 x üe0 j i0 sh u0 f a0 b iao0 sh i0 j iao0 d a0 d e0 sh u0 』
j ie3 ： r u0 t u0 s uo3 sh i4 ， x ian0 z ai0 t u0 x ing0 zh ong1 zh ao0 d ao0 zh i2 x ian4 l ü3 j i2 zh ou0 j ia1 j iao3 （ iao0 zh u4 i0 j ia0 j iao0 sh i4 i2 g e4 r uei4 j iao3 ） .
j ie0 ： l eng0 t ai0 d e0 l iang0 d i3 m ian0 p ing0 x ing0 ， c e0 l eng0 ian0 ch ang0 h ou0 j iao0 ü0 i4 d ian0 d e0 d uo0 m ian0 t i0 .
zh ong0 ， n ei0 d e0 zh i2 x ian0 k e3 n eng0 ü0 l i0 m ian0 ， g u0 c uo0 u0 ；
C . p q uei0 j ia0 ， p q uei0 j ia0 ， p uei0 j ia0
j ie3 ： j iang0 h ua0 uei4 p u3 t ong1 f ang0 ch eng0 ， d e0 3 x 2 y 7 0 ，
j ie3 ： in0 uei0 x ， y R * ，
S O P Q 8 ( 1 ) 8 ， d ang0 q ie0 j in0 d ang0 k 0 sh i0 q ü0 d eng0 h ao0 ， j i0 d ang0 k 0 sh i0 ， S O P Q d e0 z uei0 x iao0 zh i0 uei0 8 ，
（ 1 ） q iou0 x ， y d e0 zh i2 ；
d a0 an0 ： . （ d a0 an0 b u0 uei0 i0 ）
（ 2 ） zh eng0 f ang0 t i0 i2 d ing4 sh i4 zh eng0 s i0 l eng0 zh u0 ， d an0 zh eng0 s i4 l eng2 zh u0 b u4 i2 d ing0 sh i4 zh eng4 f ang0 t i0 .
iou0 t u0 x iang0 zh i0 ， h an0 sh u4 d e0 d an0 d iao0 z eng0 q ü0 j ian0 uei0 [ 3 ， ） ， d an0 d iao0 j ian0 q ü1 j ian0 uei4 （ ， 3 ] .
b ian0 h ua0 h ou0 d e0 t u2 x ing0 ü3 üan0 l ai0 d e0 t u0 x ing0 x iang0 b i0 ， x ing0 zh uang0 x iang0 t ong2 ， d an4 sh i0 d a0 x iao0 b u4 t ong0 。
j ia3 、 i0 er0 r en2 iou3 4 zh ang0 p u0 k e0 p ai0 （ f en0 b ie0 sh i4 h ong2 t ao0 2 ， h ong2 t ao0 3 ， h ong2 t ao0 4 ， f ang1 p ian0 4 ） uan0 iou2 x i4 ， t a1 m en0 j iang1 p u0 k e4 p ai2 x i3 ün2 h ou4 ， b ei0 m ian0 ch ao0 sh ang0 f ang0 z ai0 zh uo0 m ian4 sh ang0 ， j ia0 x ian0 ch ou1 ， i3 h ou0 ch ou1 ， ch ou0 ch u1 d e0 p ai2 b u4 f ang4 h uei2 ， g e0 ch ou0 i0 zh ang0 .
j ie0 ： sh i0 j ian0 A ü0 B b u0 n eng0 t ong0 sh i0 f a0 sh eng0 ， d an0 iou0 b u0 i0 d ing0 iao0 f a0 sh eng0 q i0 zh ong0 i0 g e0 ， iou0 k e0 n eng0 d ou0 b u0 f a0 sh eng0 ， g u0 A ü0 B b u0 sh i0 h u0 uei0 d uei0 l i0 sh i0 j ian0 ， sh i0 h u0 ch i0 sh i0 j ian0 .
【 t i0 sh i0 】 『 zh i0 x ian0 a zh i0 x ian0 b ， b p ing0 m ian0 ， f en0 zh i0 x ian0 a p ing0 m ian0 h e0 zh i0 x ian0 a 『 』 p ing0 m ian0 . 』
j ie3 ： g uan0 ü0 x d e0 b u4 d eng0 sh i0 x 2 3 6 | x 3 6 x 2 | a x z ai0 [ 2 ， 1 0 ] sh ang0 h eng0 ch eng2 l i4 ，
B E A 1 E E ， B E p ing0 m ian0 A 1 B E ， A 1 E p ing0 m ian0 A 1 B E ，
C . i0 t iao0 zh i0 x ian4
j i0 z uo0 b iao0 x i0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 uei0 x iao0 sh u0 d e0 j ia0 f a0 h e0 j ian0 f a0 』
【 t i0 sh i0 】 『 d ing3 d ian3 P z ai0 p ing0 m ian0 A B C d e0 sh e0 ing0 sh i4 d ian0 H ， sh uo0 m ing2 P H 『 』 d i3 m ian4 A B C . 』
r u2 t u0 s uo0 sh i0 ch ang2 f ang1 t i3 A B C D A B C D ， d ang0 iong0 p ing0 m ian0 B C F E b a0 zh e4 g e0 ch ang0 f ang0 t i3 f en0 ch eng2 l iang3 b u0 f en0 h ou4 ， g e0 b u0 f en4 x ing2 ch eng2 d e0 d uo0 m ian4 t i0 h ai0 sh i4 l eng2 zh u4 m a0 ？ r u0 g uo0 b u0 sh i0 ， q ing0 sh uo0 m ing2 l i0 iou0 ； r u0 g uo3 sh i4 ， zh i0 ch u1 d i0 m ian0 j i2 c e4 l eng0 .
j ie3 ： x ie0 er0 c e4 zh i2 g uan1 t u0 x ing0 zh ong0 ， B C A D ，
j ie0 ： üan0 sh i0 ( 1 6 1 0 8 ) ( 2 5 1 0 4 )
【 t i0 sh i0 】 『 l ian0 j ie0 A D ， P D ， z e0 P A 『 』 P D z ai0 p ing0 m ian0 A B C n ei0 d e0 sh e0 ing0 A D . 』
h ua4 ch u0 d e0 sh i0 i1 t iao2 q ü1 x ian0 ， s uei0 zh e0 zh ang3 d e0 z eng0 d a4 ， k uan0 z ai4 j ian3 x iao0 ， q ie3 zh ang0 ü0 k uan1 d e0 ch eng0 j i0 sh i4 d ing4 zh i2 。
i0 zh i0 zh i0 x ian0 L d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） ， i0 z uo0 b iao0 üan0 d ian0 uei0 j i0 d ian0 ， x zh ou0 d e0 zh eng0 b an0 zh ou0 uei0 j i0 zh ou0 j ian4 l i0 j i0 z uo0 b iao0 x i0 ， q ü0 x ian0 C d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 c o s 2 4 （ 0 ， ） ， z e0 zh i0 x ian4 L ü0 q ü0 x ian0 C d e0 j iao1 d ian0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 uei0 .
i0 zh i0 üan0 C d e0 j i0 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 s i n ( ) 4 0 ， q iou0 üan0 C d e0 b an0 j ing0 .
k e3 d e0 n l ， g u0 m l ， iou2 x ian4 m ian0 p ing0 x ing0 d e0 p an4 d ing0 d ing0 l i3 k e3 d e0 m .
zh e4 s an0 g e0 sh u0 j ü4 n eng2 z u3 ch eng0 s an0 j iao0 x ing0 ，
p ing2 j ün0 m ei0 k uang0 d a4 üe1 zh uang1 6 0 g e0 。
iou2 ü0 4 c o s 3 s i n 5 ( s i n ) （ q i0 zh ong1 t a n ） ，
j ie0 （ 1 ） in0 uei0 A [ ] ， d e t ( A ) 2 2 1 3 1 0 ， s uo0 i0 A k e0 n i0 ， c ong0 er0 A 1 [ ] .
x iao0 l eng0 zh uei0 d e0 d i0 m ian0 zh i0 j ing0 ü0 üan0 l eng0 zh uei0 d e0 d i0 m ian0 b ian0 zh ang0 zh i0 b i0 uei0 1 : 2 ，
zh eng0 sh u0 x ， y m an0 z u0 1 ， z e0 x y ü0 3 6 d e0 d a0 x iao0 g uan0 x i0 uei0 （ ）
【 t i0 sh i0 】 『 b iao0 sh i0 ch u0 b n 1 ， ü0 i0 zh i0 d eng0 sh i0 z uo0 『 ch a0 』 d e0 d ao0 b n 1 、 b n d e0 g uan0 x i0 . 』
iou0 zh eng0 x ian0 d ing0 l i3 d e0 ，
iou2 t i0 i0 k e0 zh i1 X d e0 s uo0 iou0 k e0 n eng0 q ü3 zh i0 uei0 0 ， 1 ， 2 ，
B . b u0 t ong0 d e0 d ian0 i0 d ong0 d e0 j ü0 l i0 j i0 k e0 n eng0 x iang0 t ong0 ie0 k e0 n eng0 b u0 t ong0
【 t i0 sh i0 】 『 h ua4 zh i2 g uan1 t u0 sh i0 ， x zh ou0 d uei0 ing0 x zh ou2 、 y zh ou0 d uei0 ing4 y zh ou2 ， x O y 『 4 5 』 （ h uo0 1 3 5 ） 』
g uo0 d ian0 D z uo0 x ian4 d uan0 D C D C q ie0 D C D C ， l ian0 j ie0 B C ， A D ，
üan2 4 h ua0 uei0 x 2 y 2 1 6 ，
j ie0 d e0 t a n B 2 ， t a n C 2 ， t a n A 4 ， （ h uo0 t a n B ， t a n C h u0 h uan0 ） ， c i0 sh i0 A ， B ， C j ün0 uei0 r uei0 j iao0 .
【 t i0 sh i0 】 『 q ü3 B C d e0 zh ong0 d ian0 H ， iao0 zh eng0 m ing0 B C ü3 A D ch uei0 zh i0 ， k e0 zh eng4 m ing2 B C ch uei0 zh i2 ü0 p ing0 m ian0 『 A D H 』 . 』
g uan0 ü0 x d e0 f ang0 ch eng0 a x 2 b x c a iou0 l iang0 g e0 b u0 d eng0 d e0 sh i0 sh u0 g en0 ；
（ 2 ） r uo0 A B O 1 5 ， O B 1 ， q iou0 x ian0 A C d e0 zh ang0 .
h ua4 ch u0 b i0 t ong0 zh an3 k ai1 d e0 p ing0 m ian0 t u0 ， r u2 x ia0 ：
j ie0 ： in0 uei0 x 2 ， k e0 d e0 x 1 .
ü0 E F p ing0 x ing0 d e0 ch ang0 f ang1 t i0 d e0 m ian0 iou0 p ing0 m ian0 C D D 1 C 1 ， p ing0 m ian0 A B C D ， p ing0 m ian4 A 1 B 1 C 1 D 1 ， g ong4 iou0 3 g e0 .
j ie0 ： （ 1 ） i0 A uei4 üan0 d ian3 ， A B uei0 x zh ou0 ， A D uei0 y zh ou0 ， g uo0 A z uo4 p ing0 m ian4 A B C D d e0 ch uei0 x ian4 uei0 z zh ou0 ， j ian0 l i4 k ong1 j ian0 zh i2 j iao0 z uo0 b iao1 x i0 ， r u0 t u2 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 m ing4 t i2 h e0 m ing0 t i0 d e0 zh en0 zh i0 』
3 0 0 m i0 0 . 3 q ian0 m i0
j iang0 d ian0 （ 3 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ） d ai0 r u0 ， d e0 ，
（ 2 ） p an0 d uan0 b ing0 zh eng0 m ing0 f 1 ( x ) d e0 d an0 d iao0 x ing0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ang2 f ang1 x ing0 ü0 zh eng0 f ang0 x ing2 d e0 m ian0 j i1 』
s uo3 i0 zh i0 x ian0 l ü3 üan2 C x iang0 j iao0 .
d ang0 q ie0 j in0 d ang0 x 3 sh i0 ， b u0 d eng0 sh i0 （ * ） zh ong0 d e0 d eng0 h ao0 ch eng0 l i0 .
D . （ t uei0 c an0 sh u0 ）
j ie0 ： t uo0 üan0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ uei0 c an0 sh u0 ） ，
i0 zh i0 f ( x ) ， z e0 f { f [ f ( 5 ) ] } d eng0 ü0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iou0 l i3 sh u0 d e0 j ia0 f a0 』
j ie3 ： iou0 z uo0 b iao1 b ian4 h uan4 g ong0 sh i0 ， k e0 d e2 ， t a n 1 ，
sh i2 l i0 zh ong0 sh i0 zh ong1 x in1 t ou2 ing0 d e0 iou0 .
f en0 i0 f en0 。 （ t ian0 x ü0 h ao0 ）
（ 2 ） i0 zh i0 n ， r uei0 zh eng0 zh eng3 sh u0 ， q ie0 n r 3 . q iou0 zh eng0 ： r en0 h e0 s i0 g e0 x iang1 l in0 d e0 z u0 h e0 sh u0 ， ， ， b u0 n eng0 g ou0 ch eng2 d eng0 ch a1 sh u0 l ie0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ou0 t i4 üan0 l i0 ( ao0 sh u0 ) 』
h an2 sh u0 y ( ) d e0 zh i2 ü4 sh i4 .
A ， B ， D s an0 d ian0 g ong0 x ian0 ，
A 、 B 、 C 、 D sh i0 g ai0 üan0 d e0 s i0 d eng0 f en0 d ian0 . r uo0 d ian0 P ( x ，
f ( x ) sh i0 f ei0 q i0 f ei1 ou3 h an2 sh u0 .
z ai4 A O B h e0 C O D zh ong1 ， ，
【 t i0 sh i0 】 『 p ing0 m ian0 p ing0 m ian0 ， c ， c 『 』 . 』
iou2 s an0 sh i0 t u0 k e3 zh i1 ， x ie0 s an0 l eng0 zh u0 sh i4 d i0 m ian0 s an1 j iao3 x ing0 d e0 d i3 b ian0 zh ang3 uei4 2 ， g ao0 uei4 1 ， x ie0 s an0 l eng2 zh u4 d e0 g ao1 uei4 2 ，
iou0 g en0 h e0 x i0 sh u0 d e0 g uan1 x i0 d e0 t 1 t 2 4 ， t 1 t 2 9 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iang4 l iang4 d e0 sh u0 l iang0 j i0 p an0 d uan0 x iang0 l iang4 d e0 g ong0 x ian0 ü3 ch uei0 zh i2 』
i0 zh i0 b 0 ， l o g 5 b a ， l g b c ， 5 d 1 0 ， z e0 x ia4 l ie0 d eng3 sh i0 i0 d ing0 ch eng0 l i0 d e0 sh i0 （ ）
r uo0 a 、 b 、 c sh i0 ch ang0 sh u0 ， z e0 h an0 sh u0 y a x 2 b x c h eng0 d a0 ü0 0 d e0 ch ong0 iao0 t iao0 j ian0 sh i0 .
ch ang0 f ang0 t i0 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong0 ， E sh i0 A A 1 d e0 zh ong0 d ian0 ， F sh i0 B B 1 d e0 zh ong0 d ian0 ， z e0 ü0 E F p ing0 x ing0 d e0 ch ang0 f ang0 t i0 d e0 m ian0 iou0 g e0 .
【 t i0 sh i0 】 『 i0 zh i0 j iao0 b ian0 A B uei0 zh ou0 x üan0 zh uan0 d e0 d ao0 d e0 üan0 zh uei0 d e0 d i0 m ian0 üan0 d e0 b an0 j ing4 uei0 『 4 』 ， g ao0 uei0 『 1 0 』 。 』
（ 2 ） zh i0 x ian0 l ： （ t uei4 c an1 sh u4 ） h ua0 uei0 p u0 t ong1 f ang0 ch eng0 uei4 y x ， M （ 5 ， ） z ai0 zh i2 x ian4 l sh ang4 ，
f ou0 m ing0 t i0 ： r uo4 x 3 ， z e2 x 2 4 x 3 0 ；
j ie0 ： f ang0 ch eng0 x 2 n x 7 n d e0 i2 g e0 g en0 sh i0 2 ，
c ong0 z uo0 d ao0 iou0 i0 c i0 j i0 uei0 x 1 ，
sh i4 m ing0 t i0 ， q ie3 sh i4 zh en1 m ing0 t i0 ；
r uo4 zh i0 x ian0 y x b ü3 q ü1 x ian4 0 ， 2 ） iou0 l iang0 g e0 b u0 t ong0 d e0 g ong1 g ong0 d ian0 ， z e2 sh i0 sh u4 b d e0 q ü0 zh i2 f an0 uei0 sh i0 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ing0 g uo0 zh i0 x ian0 uai0 i0 d ian0 ， iou0 q ie0 zh i0 iou0 i0 t iao0 zh i0 x ian0 ü0 zh e0 t iao0 zh i2 x ian0 p ing0 x ing0 』
r u0 t u0 ， z ai0 A B C zh ong0 ， A B A C ， A B d e0 ch uei0 zh i0 p ing0 f en0 x ian0 j iao0 A C ü0 d ian0 E ， ch uei0 z u0 sh i0 d ian0 D ， r uo0 B C E d e0 zh ou0 ch ang0 uei0 7 ， A C B C 3 ， z e0 A B ， B C .
B 1 B d i0 m ian0 A B C ， A D d i0 m ian0 A B C ，
uang2 sh u0 sh u0 uei0 d an1 uei4 m ai3 l e0 x ia0 l ie0 sh ang0 p in3 zh ong0 d e0 i1 zh ong3 ， iong4 q ü4 1 1 2 üan2 。
s uo0 i0 2 x 1 0 h uo0 x 3 0 ，
x ia0 m ian0 sh i0 2 0 uei0 b a0 b a0 m a0 m a0 m ei0 t ian0 z uo0 j ia0 u0 h uo0 d e0 t ong0 j i0 b iao0 ， b a0 sh ang0 m ian0 d e0 sh u0 j ü0 t ian0 z ai0 x ia0 b iao0 zh ong0 。
sh i0 b an0 j ing0 uei0 3 d e0 üan0 zh ou0 ch ang0 ， ch ang0 d u0 uei0 ，
iou0 a 0 ， s uo0 i0 a ；
j ie0 ： b u0 d eng0 sh i0 x 2 ( x y ) d uei0 i0 q ie0 zh eng0 sh u0 x 、 y h eng0 ch eng0 l i0 ，
r en2 d e0 n ian0 l ing0 h e2 sh en1 g ao1
j ie3 ： A 、 C 、 D zh ong0 a d e0 f an4 uei2 b u0 f u0 h e0 iao0 q iou2 ， b u0 n eng2 ch ao1 g uo0 1 0 ， q ie3 j üe0 d uei4 zh i2 b u0 n eng0 x iao3 ü0 1 ， c uo0 u4 ；
d ang1 a 2 sh i0 ， üan2 sh i4 ( 8 ) 3 4 1 0 3 7 .
j ie3 ： in0 uei0 c d ， s uo3 i3 c d ， a b ，
【 t i0 sh i0 】 『 j iang0 0 . 9 6 d e0 x iao0 sh u0 d ian0 x iang0 iou0 i0 d ong0 『 2 』 uei0 h ou0 t ian0 sh ang4 “ ” ， k e3 j iang0 q i0 h ua0 ch eng2 b ai0 f en0 sh u0 。 』
d a0 ： q i0 ch e0 j iang0 z uei0 h ou0 i0 x iang0 h uo0 u0 zh uang0 sh ang0 ch e0 h ou0 ， h ai0 n eng0 g ou0 z ai0 zh uang0 0 . 7 d uen0 h uo0 u4 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ian3 d an1 d e0 x iang0 ü0 uen0 t i2 』
r u2 t u0 ， A B C h e0 D C E d ou1 sh i4 d eng0 b ian0 s an0 j iao0 x ing0 ， z e0 z ai4 c i0 t u0 zh ong0 ， A C E r ao0 zh e0 d ian3 an0 f ang0 x iang4 x üan0 zh uan0 d u0 k e3 d e2 d ao4 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ang0 f ang0 x ing0 ü0 zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 m ian0 j i0 』
r u2 t u0 ， z ai0 zh i2 s an1 l eng2 zh u0 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong0 ， d i0 m ian0 A B C sh i4 zh i0 j iao0 s an0 j iao3 x ing0 ， A B A C 1 ， A A 1 2 ， d ian3 P sh i0 l eng2 B B 1 sh ang0 i0 d ian3 ， m an3 z u2 （ 0 1 ） .
sh e0 x ， y R * ， q ie0 m an0 z u0 x 4 y 4 0 ， z e2 l g x l g y d e0 z uei0 d a0 zh i0 sh i0 （ ）
D . u0 f a0 q üe0 d ing0
sh e0 p ing0 m ian0 P B C d e0 f a0 x iang0 l iang0 （ x ， y ， z ） ，
【 t i0 sh i0 】 『 C M G ü3 A G M sh i4 zh i0 x ian0 A B 、 C D b ei0 C M s uo0 j ie0 x ing2 ch eng2 d e0 i1 z u3 『 t ong2 p ang2 n ei0 j iao0 』 . 』
j ie0 ： h an0 sh u0 y 3 c o s ( 2 x ) d e0 t u2 x iang0 g uan0 ü0 d ian0 （ ， 0 ） zh ong0 x in0 d uei0 ch en0 ，
（ 2 ） sh e0 D （ 1 c o s t ， s i n t ） ， iou0 （ 1 ） zh i0 C sh i0 i0 C （ 1 ， 0 ） uei0 üan0 x in0 ， 1 uei0 b an0 j ing0 d e0 sh ang0 b an0 üan0 .
d uei0 ü0 ， er0 m ian4 j iao0 d e0 d a0 x iao0 ü0 q i0 p ing0 m ian0 j iao0 d e0 d ing0 d ian0 z ai0 l eng2 sh ang0 d e0 uei0 zh i0 m ei0 iou3 g uan0 x i0 ， zh eng4 q üe0 .
l eng0 zh u0 d e0 c e0 m ian0 sh i0 p ing0 x ing0 s i0 b ian0 x ing0 ；
s uo3 i0 h an0 sh u0 y a x 3 3 （ a 0 q ie3 a 1 ） d e0 t u0 x iang0 b i0 j ing1 g uo0 d ian0 （ 3 ， 4 ） .
（ 2 ） r uo0 A 1 B 1 A 1 C 1 ， q iou0 zh eng0 ： p ing0 m ian0 A 1 B D p ing0 m ian0 B B 1 C 1 C .
s uo3 i0 g ai0 s an0 l eng2 zh uei1 uei4 zh eng0 f ang0 t i0 d e0 i2 g e0 j iao0 .
iou0 | a b | 0 ， zh i0 | a | | b | 0 ， j i0 | a | | b | ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iou0 l i0 sh u0 d ing0 i0 j i0 q i0 f en0 l ei0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 d e0 g ai0 n ian0 』
d uei4 ü0 x üan0 x iang0 B ， d ang1 c 0 sh i0 ， a b ， k e0 zh i0 B b u0 zh eng0 q üe4 ；
zh i2 x ian0 l z ong0 ü3 t uo3 üan2 C iou0 q ie0 zh i0 iou0 i0 g e0 g ong1 g ong0 d ian0 ，
i3 x ia0 s i0 g e0 m ing4 t i2 j i4 sh i0 t e0 ch eng0 m ing0 t i2 iou0 sh i0 zh en1 m ing4 t i0 d e0 sh i4 （ ）
üan2 j ie0 zh i0 x ian0 s uo3 d e0 x ian4 d uan0 d e0 zh ang0 sh i0 2 4 .
g u4 t a0 d e0 t i0 j i1 k uo4 d a4 uei0 üan0 l ai0 d e0 2 b ei0 .
A 、 B d e0 zh ong0 d ian0 sh i0 üan0 d ian0 O （ 0 ， 0 ） .
zh i0 x ian0 P C ü0 p ing0 m ian0 B D M s uo0 ch eng0 j iao0 d e0 zh eng0 x ian0 zh i0 uei0 .
g u4 p d e0 q ü0 zh i2 f an4 uei2 sh i0 （ 0 ， ） .
j ie3 x ia0 l ie0 f ang0 ch eng2 .
s uo0 i0 z ai0 4 s i n zh ong0 ， iou0 k e0 i0 d e0 d ao0 4 s i n 2 ， j i0 s uo0 j ie0 d e0 d e0 x ian0 zh ang0 uei0 2 .
（ 1 ） r en0 x üan0 1 m ing0 x ia0 g ang0 r en0 üan0 ， q iou0 g ai0 r en0 sh en0 j ia0 g uo0 p ei0 x ün0 d e0 g ai0 l ü0 ；
（ 2 ） j iang0 M d ao0 z uo4 b iao0 üan2 d ian0 d e0 j ü0 l i0 d b iao0 sh i0 uei0 d e0 h an0 sh u0 ， b ing0 p an4 d uan0 M d e0 g uei3 j i0 sh i0 f ou0 g uo4 z uo0 b iao1 üan2 d ian0 .
s uo0 i0 A B h uo0 2 A 2 B ，
5 6 ( 8 4 3 9 ) 6 0 ， d i0 i0 b u0 s uan0 （ ） ， d i0 er0 b u0 s uan0 （ ） ， d i0 s an0 b u0 s uan0 （ ） ， d e0 sh u0 sh i0 （ ） 。
j iang1 1 2 ， 1 d ai0 r u0 üan2 d e0 j i2 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 ， d e0 c o s ，
B C zh ong0 d ian0 uei0 （ 4 ， ） ， zh i0 x ian0 B C x ie0 l ü0 uei0 ，
j ie3 ： z ai0 A zh ong1 ， in1 uei0 [ x ] uei0 b u0 d a4 ü0 x d e0 z uei4 d a0 zh eng3 sh u4 ，
j i2 n 1 sh i0 ， m ing4 t i2 ch eng2 l i0 ，
h an2 sh u0 f ( x ) d e0 d a4 zh i4 t u2 x iang0 sh i0 （ ）
d eng3 sh i0 ： 4 ； ( ) 2 1 6 ； ( ) 2 4 ； 4 zh ong0 ， zh eng4 q üe4 d e0 iou0 （ ）
“ p h uo0 q ” uei0 zh en1 ， A c uo4 u0 ；
s uo3 i0 k e0 d e0 b ai3 x ian4 f ang1 ch eng0 sh i0 （ uei0 c an1 sh u0 ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 q iou0 i0 g e0 sh u0 d e0 b ai0 f en0 zh i0 j i0 』
j ie0 ： r u0 t u0 ， A C B sh i0 zh i0 j iao0 s an0 j iao0 x ing0 ， C 9 0 .
b a4 b a0 h e0 x iao0 m ing2 d e0 n ian2 l ing0 （ ） b i0 l i0 。
（ 1 ） q iou0 d ian0 A ， B ， C ， D d e0 zh i2 j iao3 z uo0 b iao0 ；
（ 2 ） zh eng0 m ing0 ： sh e4 1 x 1 x 2 ， z e2
j ie3 ： iou0 t i0 m u4 x in4 x i1 k e0 d e0 x 2 y 1 0 ，
j ie3 ： b a0 zh eng0 f ang1 t i3 d e0 p ing0 m ian0 zh an0 k ai0 t u0 h uan0 üan0 ch eng2 zh eng0 f ang0 t i0 A B C D E F M N ， r u0 t u2 s uo3 sh i0 .
g u0 d a0 an0 uei0 .
h u0 ch i0 sh i0 j ian0 d e0 g ai0 l ü0 j ia0 f a0 g ong0 sh i0
（ 1 ） r uo0 f ang0 ch eng0 iou0 l iang0 g e0 b u0 x iang0 d eng0 d e0 sh i0 sh u0 g en0 ， q iou0 sh i0 sh u0 m d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 b i0 l i4 ch i0 d e0 r en0 sh i0 』
【 t i0 sh i0 】 『 s an1 g e4 p ing2 m ian0 d e0 uei0 zh i0 b u4 q üe0 d ing0 ， k e3 i0 zh i3 iou3 l iang0 g e4 p ing2 m ian0 p ing0 x ing2 ， ie0 k e0 i3 l iang3 l iang3 p ing2 x ing2 、 l iang0 l iang3 『 x iang1 j iao1 』 . 』
m ou0 i0 üan0 zh i0 l iao0 i0 zh ong0 j i0 b ing0 d e0 zh i0 ü0 l ü0 uei0 1 0 ， n a0 m e0 ， q ian0 9 g e0 b ing0 r en0 d ou0 m ei0 iou0 zh i0 ü0 ， d i0 1 0 g e0 b ing0 r en0 j iou0 i0 d ing0 n eng0 zh i0 ü0 m a0 ？
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 g ou1 g u3 d ing0 l i0 』
d uei4 ü0 B ， 0 4 4 0 ， z e0 f ang1 ch eng2 u2 sh i0 sh u0 g en0 ；
z ong0 sh ang0 k e0 d e0 ， a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 （ ， ） .
（ 4 ） zh i0 sh ao0 iou0 1 m ing0 n an0 sh eng0 h e0 q üan0 sh i0 n ü0 sh eng0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 q iou0 i0 g e0 sh u0 d e0 b ai0 f en0 zh i0 j i0 』
C . l iang0 zh i0 x ian0 p ing0 x ing0 ， n ei0 c uo0 j iao0 x iang0 d eng0
r u2 t u0 ， z ai0 s an1 l eng2 zh uei1 P A B C zh ong0 ， p ing0 m ian4 A B C p ing0 m ian4 A P C ， A B B C A P P C ， A B C A P C 9 0 .
i3 zh i0 x ia0 l ie0 g e4 sh u4 ： 8 ， 2 . 0 1 ， ， 3 ， 0 ， 0 . 2 5 ， 5 0 ， 1 . q i0 zh ong0 f ei0 f u0 sh u0 d e0 g e0 sh u4 sh i0 （ ）
j ie0 ： r u0 t u0 s uo0 sh i0 .
（ 1 ） q iou0 7 C 4 C d e0 zh i2 ；
zh i0 x ian0 l ü0 üan0 o d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 f en0 b ie0 uei0 s i n ( ) m （ m uei0 f ei0 l ing0 ch ang0 sh u0 ） ü0 b . r uo4 zh i0 x ian0 l j ing0 g uo0 t uo0 üan0 C d e0 j iao0 d ian0 ，
j ie0 ： iou0 x ü0 y h u0 uei0 d ao0 sh u0 k e0 d e0 x y 1 ， z e0 .
i0 zh i0 s uei0 j i0 sh i0 j ian0 A f a0 sh eng0 d e0 p in0 l ü0 sh i0 0 . 0 1 ， sh i0 j ian0 A ch u0 x ian0 l e0 6 c i0 ， n a0 m e0 k e0 n eng0 g ong0 j in0 x ing0 l e0 c i0 sh i0 ian4 .
r u0 t u0 ， A B C zh ong0 ， C 9 0 ， A D sh i0 B A C d e0 p ing0 f en0 x ian0 ， D E A B ü0 d ian0 E ， d ian0 F z ai0 A C sh ang0 ， B D D F ， q iou0 zh eng0 ： C F E B .
j ie0 ： j iang0 x 1 d ai4 r u0 üan2 f ang0 ch eng0 k e0 d e0 ：
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j üe2 d uei4 zh i0 』
s uo3 i0 B E A B ， E p ing0 m ian4 A B C D ， F p ing2 m ian0 A B C D ， q ie0 zh i0 x ian4 E F ü0 C D x iang1 j iao0 ， sh e4 j iao0 d ian3 uei4 P .
j ie3 ： b u0 d uei0 ， in1 uei4 zh i0 iou0 m an0 z u0 g ou0 g u0 d ing0 l i3 d e0 n i0 d ing0 l i3 t iao0 j ian4 l iang3 b ian0 d e0 p ing2 f ang0 h e0 d eng0 ü2 d i4 s an1 b ian1 d e0 p ing2 f ang0 c ai0 sh i4 zh i2 j iao3 s an0 j iao3 x ing0 ， er0 b ing0 b u0 sh i0 d an0 ch uen2 d e0 s an0 g e0 l ian0 x ü4 d e0 zh eng4 zh eng0 sh u4 . r u0 ： 3 2 4 2 5 2 ， er2 1 2 2 2 3 2 .
j ie0 ： iou0 zh i0 x ian0 l d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 c an0 sh u0 ） ， d e0 zh i0 x ian0 f ang0 ch eng0 uei0 ；
A . p ing0 x ing0 s i0 b ian1 x ing0
n ei0 c uen0 z ai0 uei0 i0 d e0 zh i0 x ian0 ü0 a ch uei0 zh i0 ；
s uo3 i0 t uo0 üan0 d e0 c an1 sh u4 f ang0 ch eng0 uei0 ， （ 0 2 ） .
【 t i0 sh i0 】 『 üan0 zh u0 d e0 t i0 j i0 d i0 m ian0 j i0 『 』 g ao0 ， q iou0 üan0 zh u0 d e0 g ao0 h uo0 d i0 m ian0 j i0 sh i2 ， iong0 ch u0 f a0 。 』
d a2 ： p ing0 n ei0 x ian4 iou3 in3 l iao0 2 . 4 L 。
j ie3 ： sh e0 t uo0 üan2 C sh ang4 d e0 d ian0 （ x 1 ， y 1 ） z ai0 j ü3 zh en0 A d uei4 ing4 d e0 b ian4 h uan4 x ia0 d e2 d ao4 d ian0 （ x ， y ） ，
l ing0 2 k x 2 k ， q iou0 d e0 8 k 3 x 8 k 1 ，
A . ch ong0 f en0 b u0 b i0 iao0 t iao0 j ian0
s uo0 i0 iao0 x 0 sh i0 3 d e0 b ei0 sh u0 ， zh i0 iao0 x 1 x 2 x 1 0 x 1 1 sh i0 3 d e0 b ei0 sh u0 ， j i0 x 1 、 x 2 、 x 1 0 、 x 1 1 sh i0 3 d e0 b ei4 sh u0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 d uei4 d ing3 j iao0 』
iou2 z uo0 b iao0 b ian0 h uan4 g ong1 sh i4 ， k e0 d e0 2 ， t a n 0 ，
x ia0 l ie0 t u0 x ing0 sh i0 üan0 zh uei0 d e0 d a0 “ ” 。
q iou2 g uo0 （ 2 ， 3 ） d ian0 q ie3 x ie2 l ü4 uei0 2 d e0 zh i0 x ian0 d e0 j i0 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 .
sh e4 h an0 sh u0 g ( x ) 1 ， h an2 sh u4 h ( x ) ， x （ 3 ， a ] ， q i0 zh ong0 a uei0 ch ang2 sh u0 q ie0 a 0 ， l ing4 h an0 sh u4 f ( x ) g ( x ) h ( x ) .
2 d e0 j üe0 d uei0 zh i2 sh i4 ， t a0 d e0 d ao0 sh u0 sh i4 .
iou4 M z ai0 zh i0 x ian4 c o s 3 sh ang4 ，
g u0 üan0 d e0 f ang0 ch eng0 uei0 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 1 .
sh e4 m ， n sh i0 p ing0 m ian4 uai4 d e0 l iang0 t iao0 zh i0 x ian0 ， g ei0 ch u0 s an1 g e4 l uen0 d uan4 ： m n ； m ； n . i0 q i2 zh ong1 d e0 l iang0 g e4 uei0 t iao0 j ian0 ， ü2 x ia4 d e0 i2 g e4 uei0 j ie2 l uen4 ， g ou4 z ao4 s an1 g e0 m ing0 t i0 ， x ie0 ch u0 n i0 r en4 uei0 zh eng0 q üe0 d e0 i2 g e4 m ing4 t i0 ： . （ iong0 x ü0 h ao4 b iao3 sh i4 ）
n d e0 i0 g e0 p ai2 l ie4 i 1 i 2 … i n ，
g u4 üan0 C d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang0 ch eng0 uei0 2 c o s ( 1 ) .
D . d uen0 j iao0 s an0 j iao0 x ing0
r uo0 zh i0 x ian0 sh ang0 iou0 l iang0 g e0 d ian0 z ai0 p ing0 m ian0 uai0 ， z e0 （ ）
b u0 n an0 k an0 ch u0 r u0 g uo0 z ai0 m ei0 b ian0 sh ang0 f ang0 n p en0 h ua0 sh i0 x ü0 iao0 （ 3 n 3 ） p en0 h ua0 .
C . 1 6 d e0 p ing0 f ang0 g en0 sh i0 4
g u4 n eng0 b a0 b ei0 iong4 iou2 t ong3 zh ong0 d e0 q i0 iou0 q üan2 b u0 d ao0 r u4 iou2 x iang0 。
g u4 üan0 x 2 y 2 4 y 0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng0 uei0 .
m ing4 t i0 q uei0 j ia3 m ing4 t i2 .
c i0 zh i0 j iao0 s an0 j iao0 x ing0 d e0 m ian0 j i0 uei0 ： 1 2 1 6 9 6 c m 2 .
g u0 sh i0 sh u0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 （ 4 ， ） .
r u0 t u0 ， zh eng0 f ang0 x ing0 A B C D d e0 d uei0 j iao0 x ian0 x iang0 j iao0 ü0 d ian0 O ， d ian0 O ie0 sh i0 zh eng0 f ang0 x ing0 A B C O d e0 i0 g e0 d ing0 d ian0 ， r u0 g uo0 l iang0 g e4 zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 b ian0 zh ang0 d ou0 sh i0 2 c m . q iou0 l iang0 g e0 zh eng0 f ang0 x ing0 ch ong0 d ie0 b u0 f en0 d e0 m ian0 j i0 .
üan0 x in0 d ao0 zh i0 x ian0 3 x 4 y 9 0 d e0 j ü0 l i0 d r ，
z e2 j i0 üan0 d e0 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 y 2 3 6 ，
【 t i0 sh i0 】 『 n 2 sh i0 ， iou2 （ 1 ） d e0 j ie0 l uen0 b iao0 sh i0 ch u0 a n a n 1 ， f en0 x i0 『 a 1 』 sh i4 f ou0 m an3 z u0 d eng0 sh i0 d e2 d ao0 t ong0 x iang0 g ong1 sh i0 . 』
（ 2 ） p an0 d uan0 M ， N ， P s an0 d ian0 sh i0 f ou0 z ai0 i0 t iao0 zh i0 x ian0 sh ang0 .
m ing0 t i0 “ b u0 d eng0 sh i0 0 ü0 ( x 1 ) ( x 2 ) 0 t ong0 j ie0 ” sh i0 m ing0 t i0 （ t ian0 “ zh en0 ” “ j ia0 ” ） .
i0 zh i0 sh u0 l ie0 { a n } m an0 z u2 a 1 t ， a n 1 ， q i0 zh ong0 t 0 .
m ing0 t i0 “ r uo0 h an0 sh u0 f ( x ) l o g a x （ a 0 ， a 1 ） z ai0 q i0 d ing0 i0 ü0 n ei0 sh i0 j ian0 h an0 sh u0 ， z e0 l o g a 2 0 ” d e0 n i0 f ou0 m ing0 t i2 sh i0 （ ）
（ 1 ） sh i0 j i0 s uan0 n an2 ing1 ch u1 sh eng0 p in0 l ü0 （ j ing1 q üe0 d ao0 0 . 0 0 1 ） ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 d uo0 uei0 x iao0 sh u0 d e0 d a0 x iao0 b i0 j iao0 』
r uo0 d ian0 （ x ， y ） z ai0 üan0 （ uei0 c an0 sh u0 ） sh ang0 ， z e0 x 2 y 2 d e0 z uei0 x iao0 zh i0 sh i0 .
z e2 g uo0 P q ie0 q ing1 x ie2 j iao3 uei0 d e0 zh i0 x ian0 f ang0 ch eng0 uei0 ： y x 1 ，
（ 1 ） q iou0 g ai0 uang0 m in0 zh i0 sh ao0 g ou0 m ai0 2 zh ong0 sh ang0 p in0 d e0 g ai0 l ü0 ；
j ü0 z i0 d e0 zh i0 l iang0 : l i0 d e0 zh i0 l iang0 : p ing0 g uo0 d e0 zh i0 l iang0 5 : 4 : 6 ，
d a0 ： t a0 d e0 sh i0 j i0 m ian0 j i0 sh i0 3 2 0 0 0 0 m 2 。
g u4 zh i0 sh ao0 b a0 f ( x ) x iang4 z uo3 p ing0 i0 g e0 d an0 uei0 ch ang0 d u0 ， c ai0 n eng0 sh i0 d e0 d ao0 d e0 t u2 x iang0 d uei0 ing4 d e0 h an0 sh u0 uei4 ou3 h an2 sh u4 .
7 üe0 1 2 r i0 sh uei0 、 d ian4 、 m ei0 q i0 zh i0 ch u0 2 0 0 üan0
d a0 ： zh i0 z uo0 i0 d a0 zh e0 iang0 d e0 q ian0 b i0 x ü0 iao0 l ü0 p i0 3 6 . 1 7 c m 2 。
（ 1 ） q iou0 üan0 d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 ；
d i0 i0 c i0 ün0 x ing0 j ie0 g uo0 ： S ， n 4 ；
A . 1 ü0 3 sh i0 t ong0 uei0 j iao3
üan2 s an0 j iao0 x ing0 A B C d e0 g ao1 O C a ，
l ing0 2 x t ， z e0 iou0 （ 1 ） zh i0 t （ ， 1 ） ， z e0 N M k [ 3 ( 2 t ) ] k [ 1 0 ( 4 t ) ] ( 1 0 4 ) k .
D . 3 ü0 4 sh i0 t ong2 uei4 j iao3 ， zh eng0 q üe0 .
B . i0 g e0 üan0 t ai0 k e0 i0 iou0 l iang0 g e0 üan0 t ai0 p in0 h e0 er0 ch eng0
r u2 t u0 ， z ai0 zh eng4 f ang1 t i3 A B C D — A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong0 ， E sh i0 l eng0 D D 1 d e0 zh ong1 d ian0 .
j ie0 ： f ( x ) sh i0 ou0 h an0 sh u0 ， f ( 2 ) 0 ，
r uo4 f ( x ) sh i0 i0 c i4 h an2 sh u4 ， f [ f ( x ) ] 4 x 1 ， z e0 f ( x ) .
r u2 t u0 ， E F 9 0 ， B C ， A E A F ， g ei0 ch u1 x ia4 l ie4 j ie0 l uen0 ： 1 2 ； B E C F ； A C N A B M ； C D D N . q i0 zh ong0 zh eng0 q üe0 d e0 j ie0 l uen0 sh i0 . （ zh u0 ： j iang1 n i0 r en0 uei2 zh eng0 q üe0 d e0 j ie2 l uen4 x ü4 h ao4 t ian0 sh ang4 ）
d uei0 r en0 i0 m [ 1 ， 1 ] ， t 2 2 m t 2 m a x ( x ) 2 h eng0 ch eng0 l i0 ， j i0 d uei0 r en0 i0 d e0 m [ 1 ， 1 ] ， t 2 2 m t 0 h eng0 ch eng0 l i0 .
i1 g ong0 iou0 1 2 zh ong3 b u4 t ong2 d e0 p ai0 f a0 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan0 zh uei0 d e0 r en0 sh i0 』
iou0 2 d e0 C 2 d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 4 ，
1 7 sh i0 9 sh i0 8 （ x iao3 sh i2 ）
【 t i0 sh i0 】 『 d i0 i0 g e4 zh eng0 f ang0 x ing0 b ei0 p ing0 j ün0 f en0 ch eng0 1 0 f en0 ， t u2 s e0 b u4 f en0 zh an0 q i0 zh ong1 d e0 6 f en0 ， iong0 x iao3 sh u0 b iao0 sh i4 sh i0 『 0 . 6 』 。 』
D . j i0 b u0 ch ong0 f en0 ie0 b u0 b i0 iao0 t iao0 j ian0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 h ua0 ch eng0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 』
（ 1 ） g ai0 j i0 h e0 t i3 d e0 b iao3 m ian0 j i0 ； （ j ie0 g uo0 b ao0 l iou0 ）
d a0 ： zh e0 sh i0 sh uei0 c ao0 zh ong0 d a0 üe0 sh eng0 x ia0 4 5 2 . 1 6 c m 3 sh uei0 。
d ian0 （ 1 ， 3 ） z ai0 h an0 sh u0 t u0 x iang0 sh ang0 ，
in1 uei0 M uei0 x ian4 d uan4 P Q d e0 zh ong0 d ian0 ，
iao0 sh i0 zh i0 x ian0 ü0 O x iang0 j iao0 ü0 l iang0 d ian0 ， z e0 d 1 ，
4 g e0 uei0 4 4 4 4 1 6 （ g e0 ）
【 t i0 sh i0 】 『 x x sh i0 ， x 『 2 』 x ， d ai0 r u0 x y 2 0 j i0 s uan0 . 』
【 t i0 sh i0 】 『 l eng2 zh u4 d e0 c e0 m ian0 d ou0 sh i0 『 p ing0 x ing0 s i4 b ian1 』 x ing2 . 』
j ie3 ： d ang0 n 1 sh i2 ， 2 x 0 ， j ie3 d e0 x 2 1 6 .
j ie3 ： r en0 d e0 n ian2 l ing2 h e2 t a0 （ t a0 ） d e0 t i0 zh ong0 b u4 ch eng2 b i0 l i4 。
g u4 s uo0 q iou0 m d e0 q ü3 zh i2 f an0 uei0 sh i0 （ 0 ， 3 ] .
（ 2 ） q iou0 b o0 u0 g uan0 zh i0 f u0 z ong0 f ei0 iong0 d e0 z uei0 x iao0 zh i0 .
d a0 an0 ： p q ； zh en0 .
q iou0 d e0 t i0 j i0 h e0 b iao0 m ian0 j i0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iou0 s an1 sh i0 t u0 q iou0 m ian0 j i0 、 t i0 j i0 』
j ie3 ： （ 1 ） iou0 b an0 üan2 C d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 c o s ， [ 0 ， ] ， j i2 2 2 c o s ，
【 t i0 sh i0 】 『 j i4 s uan4 6 sh i0 ， t ong0 ch ang0 q ü0 l iang0 uei0 x iao3 sh u0 『 3 . 1 4 』 。 』
j ie0 ： sh e0 ， d e0 j ia0 j iao0 uei0 ，
s uo3 i0 zh i0 x ian0 ü3 üan2 x iang1 j iao0 ， j i0 zh i0 x ian4 ü0 üan0 d e0 g ong1 g ong0 d ian3 d e0 g e0 sh u4 uei4 2 .
z e2 iou0 A D 2 A B 2 B C 4 ， P A 4 k e0 d e2 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， B （ 2 ， 0 ， 0 ） ， C （ 2 ， 2 ， 0 ） ， D （ 0 ， 4 ， 0 ） ， P （ 0 ， 0 ， 4 ） ，
g u0 d ian0 P d e0 g uei0 j i0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 ： 9 c o s ( ) .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 p ing0 x ing0 d e0 p an0 d ing0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 er4 j ie1 j ü0 zh en0 ü0 p ing0 m ian0 x iang0 l iang0 d e0 ch eng0 f a0 』
s uo3 i0 d e0 s uan0 sh u4 p ing2 f ang1 g en0 uei0 ， j i0 ；
z ai4 q i0 x iang0 t ai0 A d e0 zh eng4 x i0 f ang0 x iang0 3 0 0 q ian1 m i0 ch u0 iou3 i1 t ai0 f eng1 zh ong1 x in0 ， t a1 i0 m ei0 x iao3 sh i0 4 0 q ian0 m i3 d e0 s u4 d u4 ian2 d ong1 b ei0 f ang1 x iang4 i2 d ong4 ， j ü4 t ai0 f eng0 zh ong0 x in0 2 5 0 q ian0 m i0 i3 n ei0 d e0 d i0 f ang0 d ou1 iao4 sh ou4 q i0 ing3 x iang0 ， uen4 ： c ong2 x ian4 z ai4 q i3 ， d a0 üe0 d uo0 zh ang0 sh i2 j ian1 h ou0 ， q i0 x iang4 t ai0 A d e0 s uo3 z ai0 d i4 j iang1 sh ou0 d ao0 t ai2 f eng1 ing0 x iang0 ， q ie3 ch i2 x ü0 d uo0 zh ang0 sh i2 j ian1 ？
j ie3 ： （ 1 ） sh e0 5 zh i3 q iou2 d e0 b ian0 h ao0 uei0 a 、 b 、 c 、 d 、 e ， q i2 zh ong0 3 g e4 b ai2 q iou0 f en1 b ie2 uei0 a 、 b 、 c ， 2 g e4 h ei0 q iou0 f en1 b ie0 uei0 d 、 e ， l ie4 b iao3 r u2 x ia4 ：
3 . s i0 r en0 i0 q i0 p ai0 d uei4 zh ao0 x iang0 ， d an0 z uei0 z uo0 b ian0 d e0 i0 uei0 b i0 x ü1 sh i0 h ao4 ， i0 g ong0 iou3 d uo0 sh ao0 p ai0 f a3 ？ b a3 m ei0 zh ong0 p ai2 f a0 x ie0 ch u1 l ai0 。
j ie0 ： A B C D . l i0 iou0 r u0 x ia0 ：
r u2 t u0 ， t ong0 zh i4 l iou4 j iao3 l uo0 m ao0 m ao0 p ei0 sh i4 iou0 i0 g e4 zh eng4 l iou0 l eng2 zh u4 ua0 q ü4 i2 g e0 üan0 zh u4 s uo0 g ou0 ch eng0 d e0 . i3 zh i1 zh eng4 l iou4 l eng0 zh u4 d e0 d i3 m ian4 b ian1 zh ang3 、 g ao0 d ou0 uei0 4 c m ， üan0 zh u0 d e0 d i0 m ian0 j i0 uei0 9 c m 2 . r uo4 j iang1 g ai0 l uo2 m ao0 r ong0 h ua4 h ou4 zh u4 ch eng2 i2 g e4 g ao0 uei0 6 c m d e0 zh eng0 s an1 l eng2 zh u0 l ing2 j ian0 ， z e0 g ai0 zh eng0 s an1 l eng0 zh u4 d e0 d i0 m ian0 b ian1 zh ang3 uei0 c m （ b u0 j i4 s uen3 h ao0 ）
D . d i0 s i0 x iang0 x ian0
üan0 zh u0 d e0 t i0 j i0 ： V S 1 h 1 ， üan0 zh uei0 d e0 t i0 j i0 ： V S 2 h 2 ，
q iou2 h an0 sh u0 y 3 s i n x 2 d e0 z uei4 d a4 zh i0 .
j ie3 ： A . c c 3 c 1 3 c 4 ， g u0 A zh eng4 q üe4 ；
4 3 1 2 （ p ing0 f ang0 m i0 ） 1 2 0 0 0 0 （ p ing2 f ang1 l i0 m i0 ）
q ü1 x ian0 ü0 x zh ou2 j iao1 d ian3 d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 sh i0 （ ）
i0 zh i0 p ao0 u0 x ian0 y a x 2 b x c （ a 0 ） z ai0 p ing0 m ian0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 x i0 zh ong0 d e0 uei0 zh i0 r u0 t u0 s uo0 sh i0 ， z e0 x ia0 l ie0 j ie0 l uen0 zh ong0 ， zh eng0 q üe0 d e0 sh i0 （ ）
i0 zh i0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 C 1 ： 1 0 ， C 2 ： s i n ( ) 6 .
in0 c i0 z uei0 d a0 d e0 i0 g e4 sh i0 c .
üan2 zh u0 d e0 t i0 j i1 ： 3 . 1 4 2 2 6 7 5 . 3 6 （ d m 3 ）
z ong0 sh ang0 s uo0 sh u0 ， z ai0 d ian0 P （ 3 ， 1 ） ch u0 x iou0 j ian0 uen0 h ua0 zh ong0 x in0 ， k e0 sh i0 g ai0 uen0 h ua0 zh ong0 x in0 d ao0 s an1 g e0 j ü0 m in0 q ü0 d e0 “ L l u0 j ing0 ” ch ang0 d u0 zh i0 h e0 z uei0 x iao0 .
sh e4 c 0 ， | x 1 | ， | y 1 | ， q iou0 zh eng0 ： | 2 x y 3 | c .
sh e0 x R ， z e0 “ | x | ” sh i0 “ x 3 1 ” d e0
z ai4 zh i0 j iao0 z uo0 b iao1 x i4 x O y zh ong0 ， zh i0 x ian0 l d e0 c an0 sh u4 f ang1 ch eng0 uei4 （ t uei0 c an1 sh u4 ） ， z ai0 j i2 z uo0 b iao0 x i0 （ ü3 zh i2 j iao3 z uo4 b iao1 x i0 x O y q ü3 x iang1 t ong2 ch ang2 d u4 d an0 uei0 ， q ie0 i0 üan0 d ian0 O uei0 j i0 d ian0 ， i3 x zh ou2 zh eng0 b an4 zh ou0 uei0 j i2 zh ou2 ） zh ong1 ， üan2 C d e0 f ang0 ch eng0 uei0 2 s i n .
d ian0 （ ， 1 ） h ua0 uei0 j i0 z uo0 b iao0 uei0 （ 2 ， ） .
s uo3 i0 p ing0 m ian0 A 1 B C d e0 f a3 x iang0 l iang0 （ 2 ， 2 ， 1 ） .
j ie3 ： l ing0 g ( x ) a x （ a 0 q ie3 a 1 ） ， h ( x ) x a ， f en1 0 a 1 ， a 1 l iang0 zh ong0 q ing0 k uang0 ， z ai0 t ong2 i0 z uo0 b iao0 x i4 n ei0 h ua4 ch u1 l iang0 g e0 h an2 sh u0 d e0 t u0 x iang4 ， r u2 t u2 s uo0 sh i4 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0 ü0 b i0 iao0 t iao0 j ian0 』
q i0 zh ong0 zh en0 m ing0 t i0 d e0 g e0 sh u0 uei0 （ ）
j iang1 d ian0 d e0 j i0 z uo4 b iao1 （ ， 2 ） h ua0 uei0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 uei0 （ ）
r u0 t u0 ， d ai0 in0 ing0 d e0 zh eng0 f ang0 x ing0 m ian0 j i0 sh i0 .
iong0 k e0 x üe0 j i0 sh u0 f a0 b iao0 sh i0 d e0 sh u0 zh eng0 q üe0 d e0 sh i0 （ ）
f en0 b ie0 h e0 l iang0 t iao0 i0 m ian0 zh i0 x ian0 d ou0 x iang0 j iao0 d e0 l iang0 t iao0 zh i0 x ian0 d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i0 sh i0 （ ）
j i0 0 s t 1 h uo0 3 s t ， z e2 f （ s ） s ， f ( t ) t ，
zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 b ian0 zh ang0 ü0 z ong0 m ian0 j i0 3 6 6 1 8 3 1 2 2 9 1 . 5 6 ， sh ang0 i0 d ing0 ， ch eng0 zh eng0 b i0 l i0 。
iou4 in0 uei0 A C B D q ie3 B D D D 1 D ，
j iang0 sh u0 4 7 9 0 0 0 0 iong0 k e0 x üe0 j i0 sh u0 f a0 b iao0 sh i0 uei0 .
r uo4 ( a 1 ) ( 3 2 a ) ， z e0 sh i0 sh u4 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 .
i3 zh i0 ： r u0 t u2 s uo3 sh i4 ， zh i0 x ian0 A B ， C D b ei0 zh i0 x ian0 E F s uo0 j ie0 ， f en1 b ie0 j iao1 A B ， C D ü0 d ian0 M ， N ， N H sh i0 i0 t iao0 sh e4 x ian4 ， t u2 zh ong0 g ong4 iou0 d uo0 sh ao3 d uei4 t ong2 uei0 j iao3 ？ d uo0 sh ao0 d uei0 n ei0 c uo0 j iao0 ？ d uo0 sh ao0 d uei0 t ong0 p ang2 n ei4 j iao3 ？ f en1 b ie0 zh i0 ch u1 zh e4 x ie0 j iao3 .
x ian1 p an0 d uan0 x h e2 y ch eng2 sh en0 m e0 b i0 l i0 ， z ai0 z ai0 k ong1 g e2 zh ong0 t ian2 sh ang4 zh eng0 q üe4 d e0 sh u0 。
iou0 k e0 n eng0 f a0 sh eng1 ie0 iou3 k e0 n eng0 b u0 f a0 sh eng0 ， s uo0 i0 sh i0 s uei0 j i0 sh i4 j ian0 .
j ie0 ： l ian0 j ie0 A P ， A P ， g uo0 d ian0 A z uo0 A D P P ü0 d ian0 D ， iou0 t i0 i0 k e0 d e0 ch u0 ： A P A P ， A P A P .
【 t i0 sh i0 】 『 l ing4 x 『 c o s 』 、 y 『 s i n 』 j iang1 zh i0 x ian0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng2 h ua0 uei0 zh i0 j iao3 z uo0 b iao1 f ang1 ch eng0 . 』
（ 2 ） d uei0 r en0 i0 x （ 1 ， 2 ） ， f ( x ) 1 h eng0 ch eng2 l i0 ， q iou0 sh i0 sh u0 k d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 .
d ang1 q ie0 j in0 d ang0 1 0 0 0 V ， j i2 V 4 l i0 f ang0 m i0 sh i0 ， b u0 d eng0 sh i4 q ü3 d eng0 h ao4 ，
iou2 N E m ian0 P A C k e3 d e2 ， ，
【 t i0 sh i0 】 『 m ai3 2 zh i1 g ang0 b i0 h ua0 [ 1 0 0 ( 1 8 『 』 4 4 ) ] üan2 q ian0 。 』
j ie0 ： m ing0 t i0 “ d uei0 r en0 i0 d e0 x R ， c o s x 1 ” sh i0 i0 g e0 q üan0 ch eng0 m ing0 t i0 ，
（ 4 ） l eng0 zh u0 iou0 ： ；
iou0 ü0 d ian0 A b iao0 sh i0 d e0 sh u0 uei0 1 ， j iang0 d ian0 A ian0 sh u0 zh ou0 i0 d ong0 3 g e0 d an0 uei0 ， d ian0 B b iao0 sh i0 d e0 sh u0 uei0 4 h uo0 2 .
zh ong0 x in0 t ou0 ing0 j i0 zh ong0 x in1 t ou0 ing0 z uo0 t u0 f a0
j i2 1 f ( x 1 ) 1 d e0 j ie0 j i2 uei4 { x | 1 x 2 } .
j i2 m ing0 t i0 q uei4 zh en1 sh i2 ， 1 m 3
j ie0 ： （ 1 ） z ai0 s i0 l eng0 zh uei0 P — A B C D zh ong0 ， d i0 m ian0 A B C D sh i0 zh eng0 f ang0 x ing0 ， c e0 l eng2 P D d i3 m ian0 A B C D ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng4 x ian2 h an0 sh u0 d e0 t u0 x iang0 h e0 x ing0 zh i4 』
（ 2 ） iou0 ü0 d ian0 P d e0 g uei3 j i0 f ang0 ch eng0 uei0 1 3 c o s 2 c o s ，
d ang1 a 1 sh i0 ， a 2 | a 2 | ， s uo3 i3 C c uo0 u0 ；
B . x iao0 f eng0 d e0 m a1 m a1 r en4 uei0 zh i0 d e0 sh i0 p ing0 m u0 d e0 k uan1 d u0
（ 1 ） q iou0 zh i0 x ian0 A B d e0 f ang1 ch eng0 ；
g u4 p ao0 u0 x ian0 d e0 j ie3 x i1 sh i0 uei0 y x 2 2 .
s uo3 i0 | f ( x ) | d uei0 r en4 i4 x （ 0 ， ） h eng0 ch eng0 l i0 .
A D sh i0 B A C d e0 p ing0 f en0 x ian0 ， D E A B ，
d uei0 ü0 B ， a b 0 sh i0 b u0 ch eng0 l i4 ；
A B C d e0 d ing0 d ian0 d e0 j i0 z uo4 b iao0 uei0 A （ 4 ， ） ， B （ 6 ， ） ， C （ 8 ， ） .
f ang1 ch eng0 3 x 2 5 x 4 d e0 er4 c i4 x iang4 x i0 sh u0 、 i0 c i0 x iang0 x i0 sh u4 j i0 ch ang0 sh u0 x iang4 zh i0 h e2 uei4 3 ( 5 ) ( 4 ) 6 .
i3 zh i0 a ， b ， c ， d sh i0 zh eng4 sh i2 sh u4 ， q ie0 a b c d 1 ， q iou0 zh eng0 ： a 5 b 5 c 5 d 5 a b c d .
x ia4 l ie0 m ing0 t i0 zh ong1 zh eng4 q üe4 d e0 iou0 g e0 .
l iang0 g e0 x iao0 q iou0 d e0 t i0 j i0 h e0 V 1 V 2 ( 1 3 2 3 ) 1 2 .
（ 2 ） j ian0 l i0 k ong0 j ian1 zh i2 j iao3 z uo0 b iao0 x i0 A x y z （ r u2 t u0 ） .
（ 1 ） C 1 ， O ， M s an0 d ian0 g ong0 x ian0 ；
d a0 an0 ： 1 5 ， 4 . j ie0 ： l ing0 x ia0 1 5 ， b iao0 sh i0 uei0 1 5 ， b i0 O d i0 4 d e0 uen0 d u0 sh i0 4 .
s i0 b ian0 x ing0 A M N O uei0 p ing0 x ing0 s i0 b ian0 x ing0 ，
d a0 an0 ： C ； n i0 sh i0 zh en0 ； 6 0 ； B C D .
in1 uei0 0 ， s uo0 i3 1 1 ，
z ai0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 x i0 d i0 i0 x iang0 x ian0 d e0 j iao0 d ian0 B d e0 z uo0 b iao0 uei0 （ a ， a ） ，
k e3 zh i0 üan0 d e0 j i2 z uo4 b iao1 f ang0 ch eng0 uei0 2 2 c o s 0 ， j i2 2 c o s .
m ou3 d i0 q ü0 j iao0 t ong1 zh i2 f a3 b u0 m en0 c ong0 m ou0 r i0 sh ang0 u0 9 sh i0 k ai0 sh i0 d uei4 j ing0 g uo4 d ang1 d i0 d e0 2 0 0 m ing0 ch e0 l iang0 j ia4 sh i3 r en2 üan2 j ia0 sh i3 d e0 ch e0 l iang4 j in4 x ing2 ch ao0 s u4 c e0 sh i0 b ing0 f en0 z u0 ， b ing0 g en1 j ü0 c e0 s u0 d e0 sh u4 j ü4 zh i4 z uo0 l e0 p in0 l ü0 f en1 b u4 t u0 :
（ 1 ） x ie0 ch u0 C d e0 p u3 t ong1 f ang0 ch eng0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i2 x ian4 ü0 p ing0 m ian0 s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 』
d ang0 b 0 sh i0 ， 1 ， g u0 r uo0 a b ， b u0 i0 d ing0 iou0 1 ；
j ie3 ： zh i0 x ian0 1 （ a 0 ， b 0 ） g uo4 d ian3 （ 1 ， 2 ） ，
z e0 x ian0 z ai0 t ai0 f eng0 zh ong0 x in1 B 1 d e0 z uo0 b iao0 uei0 （ 3 0 0 ， 0 ） .
iong4 2 4 c m zh ang0 d e0 sh eng2 z i0 z ai4 zh uo0 z i0 sh ang0 b ai0 zh eng0 f ang0 x ing0 ， x ian0 iong0 zh e0 g en1 sh eng0 z i0 b ai3 ch u0 i0 g e4 zh eng0 f ang0 x ing0 ， z ai4 iong4 zh e4 g en0 sh eng2 z i0 b ai0 ch u1 2 g e4 zh eng0 f ang1 x ing0 、 3 g e0 zh eng0 f ang0 x ing0 … …
z ong0 sh ang0 ， d ang0 n uei0 ou0 sh u0 sh i0 ， a n 0 ； d ang0 n uei0 j i0 sh u0 sh i0 ， a n t a n n .
iou0 t u0 ， k e0 zh i0 er0 m ian0 j iao0 S — B C — A uei0 r uei0 er0 m ian0 j iao0 ， s uo0 i0 er0 m ian0 j iao0 S — B C — A d e0 ü0 x ian0 zh i2 uei0 .
【 t i0 sh i0 】 『 q iou2 s an1 n ian2 j i0 （ 1 ） b an0 b i0 u3 n ian0 j i0 （ 3 ） b an1 uan0 ch eng2 z uo4 ie0 z ai4 6 0 f en0 zh ong0 i3 x ia0 d e0 x üe0 sh eng1 d uo1 d e0 r en2 sh u4 ， iong0 『 j ian3 』 f a3 。 』
z ai0 j i0 z uo0 b iao0 x i0 zh ong0 ， i0 zh i0 A ， B l iang0 d ian0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 f en0 b ie0 uei0 （ 4 ， ） ， B （ 4 ， ） ， z e0 x ian0 d uan0 A B d e0 ch ang0 d u0 | A B | （ ） .
2 x 2 ( x a ) 2 a 4 2 a ， d ang0 q ie0 j in0 d ang1 x a 1 sh i2 q ü0 d eng0 h ao0 .
i0 zh i0 p ： 5 x 1 a ， q ： x 1 ， sh i0 q üe0 d ing0 sh i0 sh u0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 ， sh i0 d e0 ： （ 1 ） “ r uo0 p ， z e0 q ” uei0 zh en0 m ing4 t i0 ； （ 2 ） “ r uo0 q ， z e0 p ” uei0 zh en0 m ing4 t i0 .
p ing0 m ian0 P B D d e0 i0 g e0 f a0 x iang0 l iang0 uei0 （ 1 ， 1 ， 0 ） ， q ie0 P （ 0 ， 0 ， 1 ） ， C （ 0 ， 2 ， 0 ） .
（ 2 ） d eng0 sh i0 ( x 2 2 x 2 ) 5 a 1 a 1 ( x 1 ) a 2 ( x 1 ) 2 … a 9 ( x 1 ) 9 a 1 0 ( x 1 ) 1 0 l iang3 b ian1 d uei4 x q iou0 d ao0 ，
i0 zh i0 j ü0 zh en0 A [ ] s uo0 d uei0 ing0 d e0 b ian0 h uan0 T b a0 q ü0 x ian0 C b ian0 ch eng0 q ü0 x ian0 C 1 ： ， q iou0 q ü0 x ian0 C d e0 f ang0 ch eng0 .
j ie0 ： in0 uei0 ， j ün0 uei0 d an0 uei0 x iang0 l iang0 ， | 3 | | 3 | ，
a d e0 p ing0 f ang0 g en1 sh i4 .
üan2 zh u0 、 üan0 zh uei1 、 üan2 t ai0 h e0 q iou0 d e0 g ai4 n ian0 j i0 j ian3 d an1 x ing0 zh i4
j ian3 d an0 k ong0 j ian0 t u2 x ing2 d e0 s an0 sh i0 t u0
x ian4 d uan0 F 1 P d e0 zh ong1 d ian3 z uo4 b iao0 uei0 （ x ， y ） ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ong1 f en4 t iao0 j ian0 ü0 b i0 iao0 t iao0 j ian0 』
p ing0 m ian0 m ei0 iou0 h ou0 d u0 ， g u0 üan0 sh uo0 f a0 c uo0 u0 ；
（ 2 ） j ie0 ： iou0 M N x j iao0 zh i0 x ian0 A B ü0 N ， d e0 N h e0 M d e0 h eng0 z uo0 b iao0 x iang0 t ong0 .
s uo0 i0 E （ 2 ， b ） ， z e0 （ 2 ， b ） ， （ 6 ， 0 ） ，
f en0 x i0 k e0 zh i0 zh ong0 s i0 d ian0 g ong0 m ian0 ， s i0 d ian0 j ün0 b u0 g ong0 m ian0 .
l eng0 zh uei0 d e0 g e0 c e0 l eng0 zh ang0 i0 d ing0 x iang0 d eng0 ；
sh e4 h an0 sh u0 ( x ) a 2 x a x （ a 0 ， a 1 ） .
2 d e0 d ao0 sh u0 sh i0 ， 2 . 5 d e0 d ao0 sh u0 sh i0 .
（ 1 ） zh eng0 m ing0 ： iou0 t i0 i0 zh i0 ， F G G A ， F H H D ，
sh e4 j i0 h e0 A { x | x ( x 1 ) 0 } ， B { x | 0 x 3 } ， n a4 m e0 “ m A ” sh i0 “ m B ” d e0 t iao0 j ian4 （ t ian0 “ ch ong1 f en0 b u4 b i4 iao0 ” “ b i4 iao0 b u0 ch ong1 f en0 ” “ ch ong0 iao4 ” h uo4 “ j i4 b u4 ch ong0 f en4 iou4 b u4 b i4 iao4 ” ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan2 s u4 ü0 j i0 h e0 、 j i2 h e0 zh i0 j ian1 d e0 g uan0 x i4 』
j ie3 ： zh i0 x ian0 c o s s i n 1 0 h ua4 uei4 y zh i0 x ian0 x y 1 0 .
j ie0 ： （ 1 ） r u0 t u0 ：
D . p sh i0 zh en0 m ing0 t i0 ， q sh i0 j ia0 m ing0 t i0
g u4 l iang0 d ian0 zh i0 j ian1 d e0 j ü4 l i0 sh i0 c m .
h ua4 uei0 zh i0 j iao0 z uo4 b iao1 x i4 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 8 y ，
b a0 m ing0 t i0 “ t ong0 j iao0 h uo0 d eng0 j iao0 d e0 ü0 j iao0 x iang0 d eng0 ” g ai0 x ie0 ch eng0 “ r u0 g uo0 … … n a0 m e0 … … ” d e0 x ing0 ch eng0 uei0 ： r u0 g uo0 ， n a4 m e0 .
r uo0 h an0 sh u0 f ( x ) z ai0 q ü0 j ian0 （ ） sh ang0 d an0 d iao0 d i0 z eng0 ， z e0 sh i0 sh u0 a d e0 zh i0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 （ ）
【 t i0 sh i0 】 『 8 4 ， z e2 8 『 』 4 。 』
【 t i0 sh i0 】 『 sh i0 zh en0 zh uan0 i0 q üan0 sh i0 『 1 2 』 x iao0 sh i0 ， z e0 f en0 zh en0 zh uan0 l e0 『 1 2 』 q üan0 。 』
（ 2 ） sh e0 t a0 b u0 ch eng2 f ei0 j i1 q ü0 d e0 g ai0 l ü0 uei0 P ，
2 5 sh i0 6 h uo0 5 d e0 b ei4 sh u0 ；
j ie3 ： （ 1 ） j ian0 l i0 i3 A d ian3 uei0 k ong0 j ian0 z uo0 b iao1 x i0 üan0 d ian3 ， A B ， A C ， A A 1 s uo0 z ai4 zh i2 x ian0 uei4 x zh ou0 ， y zh ou2 ， z zh ou0 ， A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， B （ 1 ， 0 ， 0 ） ， C （ 0 ， 1 ， 0 ） ， A 1 （ 0 ， 0 ， 1 ） ， B 1 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， C 1 （ 0 ， 1 ， 1 ） ，
【 t i0 sh i0 】 『 0 . 8 m i3 ü0 0 . 5 m i0 d e0 d an0 uei0 x iang0 t ong0 ， zh i0 x ü0 b i0 j iao0 0 . 8 ü0 『 0 . 5 』 d e0 d a0 x iao0 g uan1 x i0 。 』
l iang3 d ian0 j ian0 d e0 j ü4 l i2 g ong1 sh i0
in0 uei0 C 1 F 1 C F ， k e0 zh i0 C 1 F 1 ü3 B E s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 j i0 uei0 C F ü0 B E s uo0 ch eng2 d e0 j iao3 ， zh i0 x ian0 C F 、 B E g uo0 zh eng0 l iou0 b ian1 x ing0 A B C D E F d e0 zh ong0 x in1 ， s uo0 i3 C F ü3 B E s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 uei0 6 0 ， j i0 C 1 F 1 ü0 B E s uo0 ch eng0 d e0 j iao3 uei0 6 0 .
t ong2 l i0 d e0 ： m ( 1 ) … ，
in0 uei0 h an0 sh u0 f ( x ) z ai0 （ 0 ， ） sh ang0 uei0 j ian0 h an0 sh u0 ，
g u4 zh eng0 q üe0 d e0 m ing4 t i2 sh i4 .
j ie0 ： j iang0 h ua0 uei0 1 ，
p ing0 b ai0 x ian0 d e0 sh eng0 ch eng0 g uo0 ch eng0 j i0 q i0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0
f ( x ) d e0 t u0 x iang0 k ai0 k ou0 x iang0 x ia0 ， d uei0 ch en0 zh ou0 sh i0 y zh ou0 ， h an0 sh u0 z ai0 （ 0 ， ） sh ang0 sh i0 j ian0 h an0 sh u0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 m ai3 5 b en3 s ong0 i0 b en0 ， sh uo1 m ing0 sh i0 j i4 sh ang4 zh i0 x ü1 iao4 g ou0 m ai3 （ 1 2 0 『 』 ） b en0 。 』
j ie0 ： ( q ) r sh i0 zh en0 m ing4 t i0 ，
0 . 1 2 5 d e0 l i0 f ang0 g en1 sh i4 0 . 5 .
【 t i0 sh i0 】 『 j iao4 sh i4 d e0 m en0 m ian0 ü0 d i0 m ian4 ch uei0 zh i0 ， m en2 m ian0 d e0 sh ang4 l eng0 s uo3 d uei4 ing0 d e0 zh i2 x ian0 ü0 d i0 m ian4 『 p ing2 x ing2 』 . 』
D . u0 f a0 q üe0 d ing0
h ou0 l ai0 f a0 x ian0 zh e0 d uan0 t an0 h ua0 d e0 i0 b u0 f en0 b ei0 m ou0 g ong0 z uo0 r en0 üan0 c a0 d iao0 l e0 ，
x ia0 l ie0 sh uo0 f a0 ： sh u0 zh uo1 m ian0 sh i0 p ing0 m ian0 ； 8 g e0 p ing0 m ian0 ch ong0 d ie0 q i0 l ai2 ， iao4 b i0 6 g e0 p ing2 m ian0 ch ong0 d ie0 q i3 l ai0 h ou4 ； iou0 i2 g e0 p ing0 m ian4 d e0 zh ang3 sh i0 5 0 m ， k uan0 sh i0 2 0 m ； p ing0 m ian0 sh i0 j üe0 d uei0 d e0 p ing0 h ua0 、 u2 h ou0 d u0 、 k e3 i0 u0 x ian4 ian0 zh an0 d e0 ch ou1 x iang4 d e0 sh u0 x üe0 g ai0 n ian0 . q i2 zh ong0 ， zh eng0 q üe4 d e0 g e0 sh u0 uei0 （ ）
（ 3 ） t ong0 j i0 ch u0 sh i0 ian0 z ong0 sh u0 N h e0 l uo0 z ai0 in0 ing0 b u0 f en0 d e0 d ian0 sh u0 N 1 .
sh e4 zh eng0 f ang0 t i0 d e0 l eng2 zh ang3 uei0 a ， z e0 A 1 B 1 p ing0 m ian0 B C C 1 B 1 .
B . zh e0 g e0 s i0 b ian0 x ing0 d e0 d uei0 j iao0 x ian0 h u0 x iang0 ch uei0 zh i0
x ia0 l ie0 g e0 d ian0 z ai0 f ang0 ch eng0 （ uei0 c an0 sh u0 ） s uo0 b iao0 sh i0 d e0 q ü0 x ian0 sh ang0 d e0 uei0 （ ）
iong0 x 1 d ai0 t i0 x ， d ang0 x （ 0 ， 1 ） sh i0 ， f ( x 1 ) ( x 1 ) 3 x .
g u4 f ( x ) 1 d e0 j ie0 j i2 uei4 { x | 1 x 3 } ；
sh e4 p ing0 m ian0 A 1 C 1 D d e0 f a3 x iang4 l iang0 uei0 （ x ， y ， z ） ， z e0
s uo0 i0 üan0 C d e0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 uei0 ( x 1 ) 2 ( y ) 2 4 ，
b a0 t uo0 üan0 2 x 2 3 y 2 1 2 h ua0 uei0 b iao0 zh uen0 f ang0 ch eng0 uei0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 b a4 b a4 m a1 m a0 m ei0 t ian0 z uo0 j ia1 u0 d e0 sh i2 j ian1 d e0 d uo1 sh ao3 k e0 i3 f en1 uei0 『 4 』 l ei4 。 』
g u4 C sh ang0 d e0 d ian3 d ao4 l j ü0 l i0 d e0 z uei0 x iao3 zh i0 uei0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ün0 iong0 zh eng0 f an0 b i0 l i0 j ie0 x ing0 ch eng0 uen0 t i0 ( ao0 sh u0 ) 』
c ü0 d b i0 j iao4 ， d uei4 ch a0 d ian0 ， c uei0 h ao0 d ian0 ，
sh e0 p ing0 m ian0 A P C d e0 f a0 x iang0 l iang0 （ x ， y ， z ） ，
k e3 d e0 （ 2 ， 1 ， 1 ） uei0 p ing2 m ian4 P B D d e0 i0 g e0 f a0 x iang4 l iang0 ，
h ua0 j ian0 d e0 y x ，
d uei0 ü0 q ， d ang0 x 0 sh i0 ， b u0 d eng0 sh i0 1 h eng0 ch eng0 l i0 ，
j i0 zh e0 g e0 d i0 q ü0 d e0 n ian0 j iang0 sh uei0 l iang0 z ai0 1 0 0 ～ 1 5 0 ， 1 5 0 ～ 2 0 0 ， 2 0 0 ～ 2 5 0 ， 2 5 0 ～ 3 0 0 （ m m ） f an0 uei0 n ei0 f en0 b ie0 uei0 sh i0 j ian0 A 、 B 、 C 、 D .
j ie0 ： iou0 h u0 uei0 n i0 f ou0 m ing0 t i0 d e0 g uan0 x i0 k e0 zh i0 ， üan0 m ing0 t i0 d e0 n i0 f ou0 m ing0 t i0 uei0 “ r uo0 l o g a 2 0 ， z e0 h an0 sh u0 f ( x ) l o g a x （ a 0 ， a 1 ） z ai0 q i0 d ing0 i0 ü0 n ei0 b u0 sh i0 j ian0 h an0 sh u0 ” .
r u0 t u0 s uo0 sh i0 ， i0 zh i1 ： A B D E ， 1 2 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 f en0 sh u4 ch eng0 f a0 』
j ie3 ： l ian0 j ie0 B C ， z e2 p ing2 m ian0 A B C p ing0 m ian0 M N P ， s uo0 i0 A B p ing0 m ian0 M N P ， s uo3 i0 zh eng4 q üe4 .
iou2 ü0 2 x 2 x b u0 h eng2 d eng3 ü2 0 ， g u0 iou0 1 a 0 ， j i0 a 1 ，
1 ） d ian0 p ing0 i0 h ou4 uei4 （ 1 ，
z ong1 sh ang0 s uo0 sh u0 ， d uei4 n uei0 i0 q ie0 zh eng0 zh eng3 sh u0 ， f n ( x ) ( x n ) s i n ( x ) ( x n ) c o s ( x ) ch eng2 l i4 .
s uo0 i0 ， g u0 D b u0 ch eng0 l i0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing2 n ian2 r uen0 n ian0 d e0 p an0 d uan4 f ang0 f a0 』
i0 zh i0 i0 g e0 üan0 d e0 b ai0 x ian0 f ang0 ch eng0 sh i0 （ uei0 c an0 sh u0 ） ， q iou0 g ai0 üan0 d e0 m ian0 j i0 h e0 d uei0 ing4 d e0 üan0 d e0 j ian0 k ai0 x ian0 d e0 c an0 sh u4 f ang0 ch eng0 .
【 t i0 sh i0 】 『 1 2 5 1 7 8 1 2 5 8 1 7 ， j iao0 h uan0 l e0 1 7 h e0 『 8 』 d e0 uei0 zh i0 。 』
b u0 d eng0 sh i0 ( ( a 2 ) x 2 2 ( a 2 ) x 4 0 d uei0 x R h eng0 ch eng0 l i0 ， z e0 sh i0 sh u0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 uei0 .
d ang0 x 1 sh i0 ， y 3 ， d ang0 x 3 sh i0 ， y 1 .
j i0 sh u0 l ie0 { a n } uei0 d eng0 b i3 sh u0 l ie0 ，
m ou3 x in0 x i0 t ai0 m ei3 t ian1 d e0 m ou0 d uan0 sh i0 j ian0 sh ou0 d ao0 x in0 x i1 z i0 x ün0 d e0 q ing3 q iou0 c i4 sh u4 ch ao0 g uo0 1 0 c i0 ；
3 B （ d eng0 l iang0 d ai0 h uan4 ） ，
3 . k an0 l e0 zh e0 zh ang0 b iao0 ， n i0 x iang0 g ei0 b a0 b a0 m a0 m a0 z uo0 j ia0 u0 h uo0 t i0 d ian0 sh en0 m e0 j ian0 i0 ？
r u0 t u0 ， uo0 sh i4 sh i0 q ü1 iou0 g uo0 sh i0 zh ong0 x in0 O n an0 b ei0 z ou0 x iang0 d e0 j ie3 f ang0 l u4 ， uei0 l e0 j ie3 j üe0 n an0 x ü0 x in1 ch eng0 d e0 j iao1 t ong0 uen4 t i0 ， sh i4 zh eng0 f u3 j üe0 d ing4 x iou0 j ian0 l iang0 t iao0 g ong0 l u0 ： ian0 sh en0 c ong0 sh i0 zh ong0 x in1 O ch u0 f a0 b ei3 p ian0 x i0 6 0 f ang0 x iang0 d e0 j ian4 k ang1 l u0 zh i0 B d ian0 ； z ai4 sh i4 zh ong0 x in0 zh eng0 n an2 f ang0 x iang0 j ie0 f ang0 l u0 sh ang0 x üan3 q ü0 A d ian3 ， z ai0 A ， B j ian0 x iou0 j ian4 n an0 x ü0 x in0 l u4 .
c i0 sh i0 p ao0 u0 x ian0 d e0 j ie0 x i0 sh i0 uei0 ： y x 2 b x 3 .
j ie0 ： iou0 l i0 sh u0 f en0 uei0 zh eng0 sh u0 h e0 f en0 sh u0 ， ie0 k e0 f en0 uei0 zh eng0 iou0 l i0 sh u0 、 f u0 iou0 l i3 sh u0 h e0 l ing0 s an0 l ei0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j i0 h e0 d e0 j i0 b en0 ün0 s uan0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 m ing4 t i2 h e0 m ing0 t i0 d e0 zh en0 zh i0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 sh u0 h e0 f u0 sh u0 』
s uo0 i0 üan0 x in0 uei0 （ 2 ， ） ， b an0 j ing0 r 2 .
【 t i0 sh i0 】 『 iou2 ü2 B ， C t ong0 sh i0 f a0 x ian0 d ong4 u0 x in0 h ao4 ， z e0 | P B | 『 』 | P C | . 』
r uo4 q üan0 j i0 I uei4 sh i2 sh u4 j i0 R ， f ( x ) 、 g ( x ) j ün0 uei0 x d e0 er0 c i4 h an2 sh u0 ， P { x | f ( x ) 0 } ， Q { x | g ( x ) 0 } ， z e2 b u0 d eng3 sh i4 z u0 d e0 j ie3 j i0 k e0 iong0 P 、 Q b iao3 sh i4 uei4 .
s uo0 i0 üan0 C d e0 j i0 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 c o s .
（ 2 ） sh e0 sh u0 l ie0 { b n } m an3 z u2 b n ( 1 q ) T n q n a n ， q iou0 sh u0 l ie0 { b n } d e0 t ong0 x iang4 g ong1 sh i0 ； r uo4 sh u0 l ie4 { c n } m an0 z u0 c 1 1 ， q ie0 d ang0 n 2 sh i2 ， c n 1 ， sh i4 f ou3 c uen2 z ai4 zh eng0 zh eng3 sh u4 k ， t ， sh i3 c 1 ， c k c 1 ， c t c k ch eng2 d eng0 b i0 sh u0 l ie0 ？ r uo0 c uen0 z ai4 ， q iou0 ch u0 s uo0 iou3 k ， t d e0 zh i0 ； r uo0 b u0 c uen2 z ai4 ， sh uo1 m ing2 l i3 iou0 .
i0 g e0 üan0 zh uei0 h e2 i0 g e4 üan0 zh u0 d eng0 d i0 d eng0 g ao0 ， t a0 m en0 d e0 t i0 j i1 zh i0 h e2 sh i0 7 6 . 4 c m 3 ， üan0 zh u4 t i0 j i0 sh i0 （ ） c m 3 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 g uei0 j i0 f ang0 ch eng0 』
p an4 d uan0 x ia0 l ie0 g e4 t i2 j i4 s uan0 sh i0 f ou0 zh eng0 q üe0 ， r u0 iou3 c uo0 u0 q ing0 g ai3 zh eng0 .
【 t i0 sh i0 】 『 sh e0 d ian0 （ x ， y ， z ） d e0 q iou0 z uo0 b iao0 uei0 （ r ， ， ） ， c o s 『 』 ， y r s i n 『 s i n 』 ， t i0 zh ong0 x 0 ， y 1 ， z 1 . 』
q ing1 x ie0 j iao0 uei0 1 2 0 .
g u0 zh an0 k ai0 sh i0 zh ong0 d e0 ch ang0 sh u0 x iang0 ( 2 x ) 2 6 0 .
s uo3 i0 t a0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng0 uei0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） ， d e2 M （ ， ） .
j ie3 ： （ 1 ） q ü0 j i0 d ian3 uei4 zh i2 j iao0 z uo0 b iao0 x i0 d e0 üan0 d ian0 ， j i0 zh ou0 uei0 zh i2 j iao0 z uo4 b iao1 x i0 zh ong0 d e0 x zh ou0 ， q ü3 q i2 d an1 uei4 ch ang0 d u4 ， ü0 sh i4 ，
（ 2 ） j i0 h e0 t i0 d e0 t i0 j i1 uei0 V 2 3 1 3 （ 8 ） m 3 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan2 d e0 b iao0 zh uen0 f ang0 ch eng0 』
q ing3 j iang0 x ia0 l ie0 g e4 sh u4 f en1 b ie0 t ian0 r u0 x iang0 ing4 d e0 üan0 q üan1 l i3 ：
2 ü0 6 d e0 p ing0 j ün0 zh i0 sh i0 8 ； n eng0 b ei0 3 zh eng0 ch u0 d e0 sh u0 ， i0 d ing0 n eng0 b ei0 6 zh eng0 ch u0 ； s an0 j iao0 x ing0 d e0 n ei0 j iao0 h e0 uei0 1 8 0 ； d eng0 sh i0 l iang0 b ian0 j ia0 sh ang0 t ong0 i0 g e0 sh u0 r eng0 sh i0 d eng0 sh i0 ； 5 sh i0 f ang0 ch eng0 3 x 4 2 9 x 2 d e0 g en0 .
A . l iang0 d i0 m ian0 x iang1 sh i4
sh e0 j ü0 zh en0 A m an0 z u0 A [ ] [ ] ， q iou0 j ü0 zh en0 A d e0 n i0 j ü0 zh en0 A 1 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i2 x ian4 ü0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 d e0 x ing0 zh i4 』
c ong2 er0 g ai0 m ei0 k uang4 b u4 b ei4 g uan0 b i0 d e0 g ai0 l ü0 sh i0 0 . 9
z i0 l ai0 sh uei0 g ong0 s i0 uei0 l e0 g u0 l i0 j ü0 m in0 j ie0 üe0 iong0 sh uei0 g uei0 d ing0 r u0 x ia0 。
g en1 j ü0 l iang0 d ian0 q üe4 d ing4 i1 t iao0 zh i0 x ian0 h e0 p ing0 m ian0 j iao0 x ian4 d e0 zh i0 sh i0 ， k e0 i3 d e2 d ao0 A B ，
i0 zh i0 x ia0 l ie0 m ing4 t i0 ： sh ou0 j i0 p ing0 sh i0 p ing0 m ian0 ； 8 g e0 p ing0 m ian0 ch ong0 d ie2 q i0 l ai2 ， iao0 b i0 2 g e0 p ing0 m ian0 ch ong2 d ie0 q i3 l ai2 h ou0 ； c uen0 z ai0 i2 g e0 p ing2 m ian0 d e0 zh ang0 sh i0 2 0 m ， k uan0 sh i0 1 0 m ； p ing0 m ian0 sh i0 j üe0 d uei0 d e0 p ing2 、 u0 h ou0 d u4 d e0 ， k e3 i0 u0 x ian0 ian2 zh an3 d e0 ch ou0 x iang0 sh u0 x üe0 g ai4 n ian4 . q i0 zh ong0 zh eng4 q üe0 d e0 sh i0 （ t ian0 x ü0 h ao4 ） .
j ie3 d e0 j i0 M ，
b u0 d eng0 sh i0 0 d e0 j ie0 j i0 uei0 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i4 l iang4 d an0 uei0 d e0 r en0 sh i2 、 j in0 l ü4 j i2 h uan0 s uan4 』
j iang1 s i0 g e0 x üan0 x iang4 f en1 b ie2 h ua0 uei0 p u0 t ong0 f ang1 ch eng0 k e0 zh i1 ：
d a2 ： zh i0 sh ao0 r en4 i4 q ü3 ch u0 1 1 g e0 sh u0 ， c ai0 n eng0 b ao3 zh eng0 iou0 l iang0 g e4 sh u0 d e0 h e2 sh i0 4 0 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing0 j ün1 sh u0 d e0 sh i0 j i0 ing0 iong0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 m ing0 t i0 h e0 m ing0 t i0 d e0 zh en0 zh i0 』
g u0 d a0 an0 uei0 3 .
d a0 k ong0 h ou0 j i0 h e0 t i0 d e0 b iao0 m ian0 j i0 uei0 9 6 6 . 2 8 1 0 2 . 2 8 （ c m 2 ） .
j ie3 ： g uan0 ü0 x d e0 b u4 d eng0 sh i0 | a x 2 | 3 d e0 j ie3 j i0 uei0 { x | x } ，
ün0 iong0 l e0 ch eng0 f a0 j iao0 h uan0 l ü0 d e0 sh i0 ： 6 5 1 2 1 2 6 5 ； 2 0 4 8 4 8 2 0 ； 2 5 3 4 2 5 4 3 。
d ong0 d ong0 ： p ing0 sh u0 h e0 j ia0 q ian0 d e0 b i0 6 : 1 8 1 : 3 ，
üan0 C d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 ： x 2 y 2 r 2 .
j ie0 ： a 、 b 、 c 、 d j ün0 uei0 zh eng0 sh i0 sh u0 ， q ie0 a b ，
（ 2 ） sh e0 P （ x ， y ） ， z e0 [ ] [ ] [ ] ， s uo3 i3 [ ] A 1 [ ] [ ] ， in0 c i0 ， d ian0 P d e0 z uo4 b iao0 uei0 （ 3 ， 1 ） .
j ie3 ： in0 uei0 A B ，
j ie0 ： 3 x 2 2 y 2 6 x k e0 h ua0 uei0 ( x 1 ) 2 1 ，
j ie0 ： r u0 t u0 s uo0 sh i0 ， l ian0 j ie0 B D j iao0 A C ü0 d ian0 O ， l ian0 j ie0 D 1 O .
s i4 m ian0 t i0 A B C D d e0 f u3 sh i4 t u0 uei0 ，
d ang1 q ie0 j in0 d ang0 x 3 1 ， j i2 x 1 sh i0 q ü0 d eng0 h ao0 ，
iou2 j ü0 zh en0 d e0 n i4 j ü3 zh en4 g ong0 sh i0 d e0 B ，
（ 1 ） g uo0 d ian0 C z uo0 C M A B .
z e0 zh i0 x ian0 A B d e0 f ang0 ch eng0 uei0 y x 2 ，
j ie3 d e0 2 x h uo0 2 x ，
C . m ian0 j i0 x iang0 d eng0 d e0 s an0 j iao0 x ing0 q üan0 d eng0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t u0 x ing0 zh ong0 d e0 g uei0 l ü0 』
P A B m ian0 j i0 d e0 z uei4 x iao3 zh i2 uei0 2 .
j ie3 ： j iang0 sh u0 4 7 9 0 0 0 0 iong4 k e1 x üe0 j i0 sh u0 f a0 b iao3 sh i0 uei0 4 . 7 9 1 0 6 .
g u0 M d e0 g uei0 j i0 sh i0 j i0 j iao0 uei0 d e0 zh ong0 b ian0 sh i0 i0 t iao0 sh e0 x ian0 .
g en1 j ü0 t i0 i0 ， d e2 0 . 5 5 x 0 . 3 0 ( 9 5 x ) 0 . 5 2 9 5 5 . 9 ，
C . z ai0 t ong0 i0 p ing2 m ian4 n ei4 ， b u0 x iang0 j iao0 d e0 l iang0 t iao0 sh e4 x ian4 h u0 x iang1 p ing2 x ing0
6 6 0 0 0 （ l i0 m i0 ） 6 0 （ m i3 ）
t u0 i0 zh ong0 j i0 h e0 t i0 sh i0 l iang0 g e0 zh u0 t i0 d e0 z u0 h e0 t i0 ， zh u0 sh i0 t u0 h e0 f u0 sh i0 t u0 d ou0 ing1 h ua0 ch u0 zh u0 t i0 ü0 üan0 zh u0 d e0 j iao1 x ian0 ， in0 c i0 zh u0 sh i0 t u0 ü0 f u0 sh i0 t u0 d ou0 b u0 zh eng0 q üe0 ， zh eng0 q üe0 d e0 s an1 sh i0 t u0 r u0 t u0 s uo0 sh i0 .
d ong0 u0 zh an0 d uei0 。
iou0 ü0 zh eng0 sh i0 sh u0 a ， b ， c ， d m an0 z u0 a b c d 1 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 q iou2 b i3 zh i0 h e0 h ua0 j ian0 b i3 』
C . d e0 l i0 f ang0 g en1 sh i4
P （ x ， y ） z ai0 zh i0 x ian0 x y 1 0 sh ang0 ，
C . i0 g e0 üan0 zh uei1 k e3 i3 iou0 l iang0 g e0 üan0 zh uei1 p in0 h e0 er2 ch eng2
3 . sh u0 d ian0 h e0 h ua1 d ian4 d ou1 z ai0 l i0 f a0 d ian0 d e0 （ ） m ian0 ， iou0 j ü0 h e0 ch ao1 sh i0 d ou1 z ai4 iao0 d ian0 d e0 （ ） m ian0 。
9 d e0 p ing0 f ang0 g en1 uei0 3 .
d ang1 q ie0 j in0 d ang0 2 ， j i2 x sh i0 d eng0 h ao0 ch eng0 l i4 ，
r uo4 h an0 sh u0 g ( x 2 ) 2 x 3 ， z e2 g ( 3 ) d e0 zh i0 uei0 （ ）
zh eng4 m ing0 ： （ 1 ） A S B zh ong0 ， S A A B q ie3 A F S B ，
C . 1 ü0 4 sh i0 t ong2 p ang2 n ei4 j iao0
1 0 ， g u0 zh i0 x ü0 b i0 j iao0 l n ü0 0 d e0 d a0 x iao0 .
j ie3 ： q ü0 x ian0 2 c o s d e0 zh i2 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 2 x ， q i2 b iao0 zh uen0 f ang0 ch eng2 uei0 ( x 1 ) 2 y 2 1 ，
sh e0 Q （ x ， y ） ， z e0 P （ 2 x ， 2 y ） ， P z ai0 üan0 sh ang0 ，
z e0 1 d e0 s uan0 sh u0 p ing0 f ang1 g en0 uei0 1 .
— zh ang0 sh e0 j i0 t u2 d e0 b i3 l i0 ch i0 sh i0 2 0 : 1 ， b iao0 sh i0 t u0 sh ang4 j ü0 l i0 sh i0 sh i2 j i0 j ü4 l i2 d e0 2 0 b ei4 。 z ai0 zh e0 zh ang1 t u2 sh ang4 1 8 c m d e0 ch ang2 d u0 ， d ai4 b iao3 sh i2 j i0 ch ang2 d u0 0 . 9 c m 。
D . d i0 s i0 x iang0 x ian4
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 d e0 p an0 d ing0 』
sh e4 p ing0 m ian0 A 1 B C d e0 f a3 x iang4 l iang0 uei0 （ x ， y ， z ） ， z e0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ie0 b i0 l i0 』
g u4 zh eng0 q üe0 d e0 sh i4 .
j ie0 ： p ao0 u0 x ian0 y 2 x 2 2 ( k 1 ) x k （ k uei0 ch ang0 sh u0 ） ， l ing0 y 0 ， z e0 2 x 2 2 ( k 1 ) x k 0 ，
d i0 1 g e0 sh u0 ： 2 1 2 1 ，
a 2 h uo0 a （ sh e0 q ü0 ） ，
z ong0 sh ang0 ， sh i0 sh u0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 （ ， 3 ） （ 3 ， ） .
r u2 t u0 ， p ao0 u4 x ian4 y x 2 b x c ü0 zh i0 x ian0 y x 2 j iao0 ü0 C 、 D l iang3 d ian0 ， q i0 zh ong1 d ian0 C z ai4 y zh ou0 sh ang4 ， d ian0 D d e0 z uo4 b iao1 uei4 ( 3 ， ) d ian3 P sh i0 y zh ou2 iou4 c e0 d e0 p ao0 u0 x ian0 sh ang0 i0 d ong0 d ian0 ， g uo0 d ian0 P z uo0 P E x zh ou2 ü2 d ian0 E ， j iao0 C D ü2 d ian3 F
ü0 j ian0 k ai0 x ian0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 j in0 x ing0 d uei0 zh ao0 k e0 zh i0 ， r 3 ， j i0 j i0 üan0 b an0 j ing0 sh i0 3 ，
i3 zh i0 d ian0 M （ x ， y ） sh i4 üan2 x 2 y 2 2 x 0 sh ang0 d e0 d ong0 d ian0 ， r uo0 4 x 3 y a 0 h eng2 ch eng0 l i0 ， q iou2 sh i0 sh u4 a d e0 q ü0 zh i2 f an0 uei0 .
d a0 an0 ： f an0 。
j ie0 ： in0 uei0 d i0 1 0 g e0 b ing0 r en0 zh i0 ü0 ü0 f ou0 ， ü0 q i0 t a0 9 r en0 u0 r en0 h e0 g uan0 x i0 ，
d a0 an0 ： （ uei0 c an1 sh u0 ） .
（ 2 ） sh e0 c i0 zh i0 x ian4 ü3 q ü1 x ian0 C ： （ uei0 c an0 sh u4 ） j iao0 ü2 A 、 B l iang0 d ian3 ， q iou0 | P A | | P B | .
j ie0 ： sh e0 d ian0 P d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 uei0 （ x ， y ， z ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao3 sh u4 ch eng0 f a0 』
s uo3 i0 p uei0 zh en1 h uo4 q uei0 zh en0 ，
D . l iang0 t iao0 ch uei0 zh i2 d e0 zh i2 x ian0 d e0 zh i0 g uan0 t u0 r eng0 h u0 x iang1 ch uei0 zh i0
（ 2 ） m an0 z u0 A X A 1 er0 j ie0 j ü0 zh en0 X
r u2 t u0 ， z ai0 d eng3 iao1 zh i2 j iao0 s an0 j iao0 x ing0 A B C zh ong0 ， g uo4 zh i2 j iao0 d ing3 d ian3 C z ai4 A C B n ei0 b u0 z uo4 i0 t iao0 sh e0 x ian4 C M ， ü3 x ian4 d uan4 A B j iao0 ü2 d ian3 M . q iou2 A M A C d e0 g ai0 l ü0 .
t a1 d ao0 zh i0 x ian0 x y 6 0 d e0 j ü4 l i0 d 6 .
s uo3 i0 s uo0 q iou0 q ü1 x ian4 d e0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 1 .
C . d ian0 C ， d an0 b u0 g uo0 d ian0 D
（ 2 ） t ian0 x ie0 x ia0 b iao0 。
（ 3 ） l ian0 j ie0 B C ， D A ， s uo0 d e0 d e0 s i0 b ian0 x ing0 A B C D j iou0 sh i0 sh uei0 p ing0 f ang0 zh i0 d e0 d eng0 iao0 t i0 x ing0 A B C D d e0 zh i2 g uan0 t u0 ， r u0 t u0 s uo0 sh i0 .
B . b u0 c uen0 z ai0 sh i0 sh u0 m ， sh i0 f ang0 ch eng0 x 2 m x 1 0 u0 sh i0 g en0
B . üan0 m ing0 t i0 、 n i0 m ing0 t i0
z e0 k e0 zh i0 z ai0 x 1 ch u0 q ü3 d e0 z uei0 d a0 zh i0 ， y m a x 1 5 4 .
h an2 sh u0 y a x 1 （ a 0 ， q ie0 a 1 ） d e0 t u2 x iang0 h eng0 g uo0 d ian0 A ， r uo0 d ian0 A z ai4 zh i0 x ian4 m x n y 1 sh ang0 ， z e2 m n d e0 z uei4 d a0 zh i0 uei0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0 ü0 b i0 iao0 t iao0 j ian0 』
j ie0 ： sh e0 zh i0 x ian0 a ü0 s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 uei0 .
s uo3 i0 üan0 x in0 uei4 ü2 d i4 er0 x iang0 x ian0 .
（ 3 ） sh i0 m ing0 t i0 ， r u0 g uo0 l iang0 g e0 j iao0 x iang0 d eng0 ， n a0 m e0 zh e0 l iang0 g e0 j iao0 sh i0 d uei0 d ing0 j iao0 ， sh i4 j ia0 m ing0 t i0 ；
g u0 x iang0 d eng0 h an0 sh u0 d e0 x ü0 h ao0 sh i0 .
【 t i0 sh i0 】 『 x iang4 l iang4 ch uei2 zh i0 ， z e0 x iang0 l iang0 d e0 sh u0 l iang4 j i0 uei0 『 0 』 . 』
（ 2 ） ü0 B P ch uei0 zh i2 d e0 zh i2 x ian0 iou0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iong4 in1 sh i0 f en0 j ie0 f a0 j ie0 i0 üan0 er4 c i0 f ang0 ch eng0 』
in1 uei0 m n ( ) 2 ， d ang0 q ie3 j in3 d ang1 m n sh i0 d eng0 h ao0 ch eng2 l i0 ， g u4 m n d e0 z uei4 d a4 zh i0 uei4 .
d ai0 r u0 x 2 ( y 2 ) 2 4 ， d e0 ( a ) 2 ( a 2 ) 2 4 ，
( 8 ) 2 d e0 p ing0 f ang0 g en0 sh i0 8 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh e2 k ou4 uen0 t i0 ( ao0 sh u4 ) 』
（ 2 ） m ei0 d ai0 h ua0 f ei2 d e0 zh i4 l iang0 i0 d ing0 ， h ua0 f ei0 d e0 d ai4 sh u0 h e0 z ong0 zh i4 l iang0 。 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 sh u0 d e0 ch eng0 （ ch u0 ） j ia0 、 j ian0 d e0 l iang0 b u0 h uen0 h e0 ün0 s uan0 』
【 t i0 sh i0 】 『 t u2 zh ong1 j ian4 zh u0 u0 sh i0 sh ang0 、 x ia0 d i0 m ian4 uei0 s i0 b ian0 x ing2 ， iou3 『 4 』 t iao0 c e0 l eng2 d e0 j i0 h e0 t i3 . 』
d uei4 ü0 ， | a b | | a b | | ( a b ) ( a b ) | | 2 a | ， s uo0 i3 | a b | 2 | a | | a b | ， g u4 zh eng0 q üe0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 c an1 sh u4 f ang0 ch eng0 h ua0 ch eng0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng2 』
uang2 sh i0 f u0 zh uen0 b ei4 j iang1 i1 zh ang0 zh ang0 1 2 . 5 6 d m 、 k uan0 1 5 . 7 d m d e0 t ie0 p i2 j üan0 ch eng0 üan0 zh u4 x ing0 zh uang4 （ j ie0 f eng0 ch u4 b u0 s uan0 ） ， z ai4 p ei4 sh ang4 i2 g e0 h e2 sh i0 d e0 d i3 m ian4 z uo4 ch eng0 i2 g e0 sh uei0 t ong0 。 zh e0 g e0 sh uei0 t ong3 d e0 r ong0 j i0 sh i0 d uo1 sh ao3 sh eng1 ？ h ai2 k e0 n eng0 sh i4 d uo1 sh ao0 ？ （ j ie2 g uo3 j ing0 q üe0 d ao0 b ai0 f en0 uei4 ）
i0 zh i0 zh i0 x ian0 l 1 ： x 2 a y 1 0 ， l 2 ： ( a 1 ) x a y 0 ， r uo0 l 1 l 2 ， z e0 sh i0 sh u0 a d e0 zh i0 uei0 .
r uo0 sh i0 sh u0 x ， y m an0 z u0 x y 1 ， z e0 x 2 3 y 2 d e0 z uei0 x iao0 zh i0 uei0 .
i0 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) sh i0 d ing0 i0 z ai0 （ ， 0 ） （ 0 ， ） sh ang0 d e0 j i0 h an0 sh u0 ， z ai0 （ 0 ， ） sh ang0 d an0 d iao0 d i0 j ian0 ， q ie3 f ( 2 ) 0 ， r uo0 f ( x 1 ) 0 ， z e0 x d e0 q ü0 zh i0 f an4 uei0 uei0 .
in0 c i0 b ian0 h uan0 h ou0 d e0 q ü0 x ian0 d e0 f ang0 ch eng0 uei0 y 2 x .
（ 1 ） q iou0 üan0 C d e0 j i2 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 ；
z ai0 t uo0 üan0 1 zh ong0 iou0 i0 n ei0 j ie0 j ü0 x ing0 ， uen0 n ei0 j ie0 j ü0 x ing0 d e0 z uei0 d a0 m ian0 j i0 sh i0 d uo0 sh ao3 ？
p ing2 m ian0 P A B ü0 p ing2 m ian4 P C D s uo0 ch eng0 l iang0 m ian0 j iao3 d e0 ü0 x ian2 zh i2 uei0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ang2 f ang1 x ing0 ü0 zh eng0 f ang0 x ing2 d e0 m ian0 j i1 』
ün4 iong0 l e0 ch eng0 f a3 j ie2 h e2 l ü0 d e0 sh i0 ： 3 2 4 0 5 3 2 ( 4 0 5 ) ； 5 6 2 5 5 6 ( 2 5 ) ； 3 5 4 2 5 3 5 ( 4 2 5 ) ； 5 0 1 6 1 2 5 ( 5 0 2 ) ( 8 1 2 5 ) 。
iou0 h u0 h ua0 g ong0 sh i0 ，
b u0 d eng0 sh i0 h ua0 uei0 f ( x 2 t x ) f ( x 4 ) ，
t 4 b iao0 sh i0 M （ 3 ， 0 ） z ai0 d ing0 d ian0 （ ， 2 ） ian0 zh i0 x ian0 x iang0 x ia0 d e0 f ang0 x iang0 ， ü0 d ing0 d ian0 j ü0 l i0 uei0 4 .
s uo0 i0 sh u0 l ie0 { } sh i0 d eng3 ch a0 sh u0 l ie0 ， q ie0 sh ou0 x iang0 sh i0 1 ， g ong0 ch ai0 sh i4 1 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao3 sh u3 d ian0 i0 d ong0 in0 q i0 x iao0 sh u0 d a4 x iao0 b ian0 h ua0 d e0 g uei0 l ü4 』
【 t i0 sh i0 】 『 i2 g e0 in1 sh u0 j i0 『 』 l ing0 i0 g e0 in0 sh u0 ， z e0 k e0 i3 iong0 『 ch u0 』 f a0 ian4 s uan0 。 』
z ong1 sh ang0 ， zh eng0 q üe4 d e0 iou3 .
（ 2 ） 1 h e0 3 sh i0 zh i0 x ian0 b 、 c b ei0 zh i0 x ian0 a s uo0 j ie0 x ing0 ch eng0 d e0 n ei0 c uo0 j iao3 ， 3 h e2 4 sh i0 zh i0 x ian4 a 、 c b ei0 zh i0 x ian4 b s uo3 j ie0 x ing0 ch eng2 d e0 t ong0 p ang2 n ei0 j iao3 .
iou0 M N l ， s uo0 i0 2 ， d e0 y 0 1 ， iou0 Q z ai0 zh i0 x ian0 y 2 ( x 1 ) sh ang0 ， d e0 x 0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 zh eng0 m ing0 B D p ing0 m ian0 C B 1 D 1 ， zh i0 x ü0 zh eng0 m ing0 B D ü0 p ing0 m ian0 C B 1 D 1 n ei0 d e0 i0 t iao0 zh i0 x ian4 『 p ing0 x ing0 』 . 』
z ai0 l i0 t ian0 sh ang0 “ ” “ ” h uo0 “ ” 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ian3 d an1 d e0 g ong0 ch eng0 uen0 t i2 』
g uo4 d ian0 P iou0 q ie3 j in3 iou3 i0 t iao0 zh i0 x ian0 ü0 l ， m d ou0 ch uei2 zh i0 ；
zh e0 iang0 p ing0 j ün0 m ei0 j ian0 d e0 sh eng0 ch an0 zh uen0 b ei0 f ei0 iong0 ü0 c ang0 ch u0 f ei0 iong0 zh i0 h e0 uei0 f ( x ) （ x uei0 zh eng0 zh eng3 sh u0 ） .
z ai4 p ing0 x ing0 s i0 b ian1 x ing2 A B C D zh ong0 ， A C ü0 B D j iao1 ü0 d ian0 O ， E sh i4 x ian0 d uan4 O D d e0 zh ong1 d ian3 ， A E d e0 ian2 ch ang0 x ian0 ü0 C D j iao1 ü2 d ian3 F . r uo4 ， ， z e2 （ iong4 ， b iao3 sh i4 ） .
【 t i0 sh i0 】 『 r uo4 “ ” n eng2 t uei0 ch u0 “ ” ， z e0 d e0 d ao0 q i0 『 b i0 iao0 』 x ing4 . 』
【 t i0 sh i0 】 『 8 8 8 1 1 ， 1 2 5 8 1 0 0 0 ， iong4 ch eng2 f a3 『 j ie0 h e0 』 l ü0 j ian0 s uan0 。 』
s uo0 i0 y g uan0 ü0 r i0 x ü0 q iou0 l iang0 n d e0 h an0 sh u0 g uan0 x i0 sh i0 uei0 y
zh i3 x ü0 zh eng0 ，
d uei0 ü0 zh i0 x ian0 l ： ，
f ( ) z ai0 （ ， ） sh ang0 d an0 d iao0 d i0 j ian0 ， z ai0 （ ， ） sh ang0 d an0 d iao0 d i0 z eng0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 z i0 m u0 b iao0 sh i0 sh u0 』
g u0 c i0 sh i0 h an0 sh u0 j ie0 x i0 sh i0 uei0 y x 1 ，
x üe2 x iao0 j iao0 d ao0 ch u4 iao4 g ou4 m ai0 1 2 0 b en0 l ian0 x i0 b en0 ， q ü4 n a0 j ia0 sh ang0 d ian4 g ou0 m ai3 b i3 j iao0 h e0 s uan4 ？ uei0 sh en0 m e0 ？ （ t ong1 g uo4 j i0 s uan4 sh uo0 m ing0 l i3 iou2 ）
j ia0 sh u0 b i0 i0 sh u0 d uo0 ， i0 sh u0 ü0 j ia0 sh u0 d e0 b i0 sh i0 （ ） 。
j ie3 ： iou0 t i0 i4 k e3 zh i1 ， | x 1 | 、 | x a | z ai0 sh u0 zh ou0 sh ang0 b iao0 sh i0 d ian3 x d ao0 d ian0 1 、 a d e0 j ü4 l i2 ，
C . i0 g e0 üan0 h e2 i1 t iao2 sh e0 x ian0
C . r uo0 x y b u0 sh i4 ou3 sh u4 ， z e0 x ü0 y b u0 d ou0 sh i4 ou3 sh u0
| t ( 1 t ) | d e0 z uei0 x iao0 zh i0 uei0 .
iou3 i0 i0 sh i0 ， ，
iou0 iou0 f ( x ) | x 1 | | x 2 | ， d e0 x 0 . 5 ， 2 . 5 sh i0 ， f ( x ) 2 ，
iou2 zh i0 x ian0 g uo0 üan2 x in1 （ 1 ， 2 ） ， j iang0 üan0 x in0 z uo0 b iao1 d ai0 r u0 zh i2 x ian4 f ang0 ch eng2 k e3 d e0 3 2 a 1 1 0 ，
s uo0 i0 ， g ai0 x ia0 g ang0 r en0 üan0 m ei0 iou0 c an0 j ia0 g uo0 p ei0 x ün0 d e0 g ai0 l ü0 uei0 P ( ) P ( ) P ( ) ( 1 0 . 6 ) ( 1 0 . 7 5 ) 0 . 1 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing2 m ian4 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 x i0 ü0 q ü0 x ian4 f ang0 ch eng0 』
A . i0 t iao0 zh i0 x ian4
c ong0 s an0 g e0 z i0 m u0 zh ong0 r en0 q ü0 ch u0 l iang0 g e0 z i0 m u0 d e0 s uo0 iou0 d eng0 k e0 n eng0 j ie0 g uo0 j i0 j i0 b en0 sh i0 j ian0 sh u0 uei0 3 g e0 ，
iong0 f an0 zh eng0 f a0 zh eng0 m ing0 ： z ai0 i0 g e0 t u0 d uo0 b ian0 x ing0 （ n 4 ） d e0 n ei0 j iao0 zh ong0 ， b u0 k e0 n eng0 d uo0 ü0 3 g e0 r uei0 j iao0 .
r uo4 j i0 h e0 M { x | | x | 2 } ， N { x | x 2 3 x 0 } ， z e2 M N （ ）
r u0 t u0 ， z ai0 s i0 l eng0 zh uei0 P A B C D zh ong0 ， i0 zh i0 l eng0 A B ， A D ， A P l iang0 l iang0 ch uei0 zh i0 ， ch ang0 d u0 f en0 b ie0 uei0 1 ， 2 ， 2 . r uo0 ， q ie0 x iang0 l iang0 ü0 j ia0 j iao0 d e0 ü0 x ian0 zh i0 uei0 .
q i0 zh ong0 O E M F sh i0 i0 O uei0 üan0 x in0 、 E O F 1 2 0 d e0 sh an0 x ing0 ，
zh eng0 sh u0 iou0 ： 2 . 5 ， ， 1 2 0 ， 0 . 5 7
6 4 0 . 9 （ j ing0 q üe0 d ao0 g e0 uei0 ） .
A B zh e0 i0 sh i0 j ian4 b ao1 k uo4 s i0 zh ong0 j ie0 g uo0 ， j i0 ch ao0 sh ang4 i2 m ian0 d e0 d ian3 sh u0 sh i4 1 ， 2 ， 3 ， 5 g ong0 s i0 zh ong3 q ing0 k uang0 ，
iou0 zh eng0 s an0 j iao0 x ing2 A B C d e0 g ao0 uei0 2 ， c ong0 er0 | B C | 4 ，
【 t i0 sh i0 】 『 A ， B ， C i1 c i4 z ai4 zh i0 x ian0 l sh ang0 ， i0 A ， B ， C s uo3 z ai0 zh i0 x ian0 uei4 『 x 』 zh ou2 j ian4 l i0 z uo0 b iao1 x i0 k e0 sh i0 t i2 m u4 j ie3 d a2 j ian0 d an1 . 』
g uo0 P ch uei0 zh i0 ü0 l d e0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 ü0 ；
j ie3 ： g en0 j ü0 i3 zh i1 t iao2 j ian0 k e0 d e0 zh i0 x ian0 l j ing0 g uo4 d ian0 （ 2 ， 1 ） ， q ing0 x ie2 j iao0 uei4 ，
j ie0 ： s i0 b ian0 x ing2 A B C D sh i4 p ing0 x ing0 s i0 b ian0 x ing0 ， A C 、 B D uei0 p ing0 x ing0 s i0 b ian0 x ing2 d e0 d uei4 j iao0 x ian0 ，
j ie0 ： g en0 j ü0 d ian3 d e0 j i2 z uo0 b iao0 h ua0 uei0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 d i0 g ong0 sh i0 x c o s ， y s i n j i0 s uan4 ，
zh ong0 r uo0 a 1 ， b 2 sh i0 ， z e0 ， g u0 b u0 zh eng0 q üe0 ；
（ 2 ） j iang0 zh i0 x ian0 l d e0 c an1 sh u0 f ang0 ch eng0 d ai0 r u4 t uo0 üan0 C d e0 p u0 t ong1 f ang1 ch eng0 zh ong1 zh eng3 l i0 ，
j ie0 d e0 h uo0 （ sh e3 q ü0 ） .
（ 1 ） p ： t i0 x ing0 iou0 i1 z u3 d uei4 b ian0 p ing0 x ing0 ， q ： t i1 x ing0 iou0 i1 z u3 d uei0 b ian1 x iang1 d eng0 .
d a0 an0 ： x R ， sh i0 d e0 f ( x ) m .
j i0 ü0 ， ü0 d e0 j ia0 j iao0 d ou0 uei0 9 0 ，
（ 4 ） zh i0 sh ao0 iou0 1 g e4 b ai2 q iou0 ， d ou0 sh i0 h ong0 q iou0 .
j i0 “ x y 3 ” sh i0 “ x 1 q ie0 y 2 ” d e0 b i0 iao0 b u0 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 k ong0 j ian0 zh ong0 zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 zh i0 j ian0 d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i0 』
iou0 t i0 i0 d e0 ： | a 1 | 4 ， j ie0 d e0 3 a 5 .
C . d e0 l i0 f ang0 g en0 sh i0
d ang0 F uei0 A C zh ong0 d ian0 sh i0 ， D 1 F p ing0 m ian0 A B 1 C ；
“ r uo0 x 2 4 ， z e0 2 x 2 ” d e0 n i0 f ou0 m ing0 t i0 .
A . x iao0 h ao0 1 sh eng0 q i0 iou0 ， i0 ch e0 z uei0 d uo0 k e0 x ing0 sh i0 5 q ian0 m i0
j ie3 ： g en0 j ü0 p ing2 i2 d e0 x ing0 zh i0 k e0 zh i0 ：
m ing4 t i0 ： r uo0 a 0 ， z e2 er4 üan0 i0 c i0 b u0 d eng3 sh i0 x a y 1 0 b iao3 sh i4 zh i0 x ian4 x a y 1 0 d e0 iou4 sh ang4 f ang0 q ü0 ü4 （ b ao0 k uo0 b ian1 j ie4 ） ， t iao2 j ian4 p ： ， j ie0 l uen4 q ： ， sh i4 m ing4 t i2 . （ t ian0 “ zh en0 ” h uo0 “ j ia0 ” ） .
t a0 d e0 l iang0 t iao0 j ian4 j in0 x ian4 d e0 f ang0 ch eng0 uei0 ： b x a y 0 ， b x a y 0 .
s i4 b ian0 x ing0 O A P B uei4 p ing2 x ing2 s i0 b ian0 x ing0 d ang0 q ie3 j in0 d ang0 x ian4 d uan4 A B ü3 x ian4 d uan0 O P h u4 x iang0 p ing0 f en1 ， j i0 x P 2 x M ，
m ou0 x üe0 x iao0 ch eng0 l i4 l e0 sh u4 x üe0 、 ing0 ü0 、 in0 üe0 s an0 g e0 k e0 uai0 x ing4 q ü0 x iao3 z u0 ， s an0 g e4 x iao0 z u0 f en0 b ie2 iou0 3 9 ， 3 2 ， 3 3 g e4 ch eng0 üan2 ， q i0 zh ong1 i0 x ie1 ch eng0 üan2 c an0 j ia0 l e0 b u0 zh i0 i0 g e0 x iao0 z u0 ， j ü0 t i0 q ing2 k uang0 r u0 t u0 s uo3 sh i0 ：
s uo0 i0 t uo0 üan0 E d e0 f ang0 ch eng0 uei0 y 2 1 ；
j ie3 d e0 a b 2 2 h uo0 a b 2 2 （ sh e3 ） ，
d a2 ： x iao0 m ing0 zh i4 sh ao3 iao4 zh i0 1 2 c i0 ， c ai2 n eng0 b ao0 zh eng4 s uo3 zh i0 t ou2 z i0 ch ao0 sh ang4 d e0 l iang0 g e0 sh u4 d e0 h e0 iou0 l iang3 c i4 sh i4 i1 iang4 d e0 。
h an0 sh u0 d e0 zh i0
sh e0 （ x ， y ， z ） sh i0 p ing0 m ian0 A E C d e0 i0 g e0 f a0 x iang0 l iang0 ，
i3 zh i0 x iang0 l iang0 z ai4 x iang4 l iang4 f ang0 x iang0 sh ang0 d e0 t ou0 ing0 uei0 1 ， x iang0 l iang0 z ai0 x iang4 l iang0 f ang1 x iang4 sh ang0 d e0 t ou2 ing0 uei0 ， q ie3 | | 1 ， z e2 | 2 | uei0 （ ）
j ie0 ： d uei0 ü0 x üan0 x iang0 A ， d ang0 c 0 sh i0 ， a c 2 b c 2 ， k e0 zh i0 A b u0 zh eng0 q üe0 ；
A （ 0 ， 7 ） ， B （ 1 ， 7 a ） z ai0 j ü0 zh en0 A d u3 ing2 d e0 b ian0 h uan0 z uo0 iong4 x ia0 f en0 b ie2 d e2 d ao0 d ian3 A （ 0 ， 7 b ） ， B （ 3 ， b ( 7 a ) 1 ） ，
j ie3 ： g en0 j ü0 t i2 i4 ， k e0 zh i0 üan0 C sh i4 i0 （ 1 ， 1 ） uei4 üan2 x in0 ， 2 uei4 b an0 j ing4 d e0 üan0 ，
d ong0 d ian0 s uo0 uei0 ch eng2 d e0 t u2 x ing0 uei0 i0 d i0 m ian0 b an0 j ing0 r 1 ， h 2 d e0 üan0 zh u0 t i3 ，
g u4 D d e0 zh i0 j iao3 z uo4 b iao1 uei0 （ 1 c o s ， s i n ） ， j i0 （ ， ） .
üan0 zh u0 、 üan0 zh uei0 、 üan0 t ai0 h e0 q iou0 d e0 g ai0 n ian0 j i0 j ian0 d an0 x ing0 zh i0
j ie3 ： d uei0 ü0 A ， C A B E b u4 n eng2 p an0 d uan0 ch u0 E B A C ， g u4 A x üan0 x iang4 b u4 f u0 h e2 t i2 i0 ；
j ie0 ： （ 1 ） in0 uei0 sh eng0 z i0 z ong0 zh ang0 2 4 l i0 m i0 ，
j ie3 ： g en0 j ü0 t i2 i4 h ua4 ch u0 t u0 x ing0 .
【 t i0 sh i0 】 『 p ing0 i0 h ou0 x ing0 ch eng0 d e0 j i0 h e0 t i0 d e0 sh ang0 x ia0 d i0 m ian0 d ou0 sh i0 『 l ing0 』 x ing0 . 』
iou0 2 m 2 n 2 2 ， x iao0 q ü0 m ， n ， d e0 y 2 1 .
sh e4 f ( x ) sh i0 d ing0 i4 z ai4 R sh ang0 q ie0 zh ou0 q i0 uei4 2 d e0 h an2 sh u4 ， z ai4 q ü1 j ian0 [ 1 ， 1 ] sh ang4 ， f ( x ) q i0 zh ong1 a R . r uo0 f ( ) f ( ) ， z e2 f ( 5 a ) d e0 zh i2 sh i4 .
r u0 t u0 ， z uo0 b ian0 zh e0 g uan4 in0 l iao0 d e0 b ao0 zh uang0 zh i0 d a0 k ai0 h ou0 sh i0 iou0 b ian1 d e0 （ ） 。
【 t i0 sh i0 】 『 üan0 d e0 j ian0 k ai0 x ian0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ uei0 c an0 sh u0 ） ， b an0 j ing0 sh i0 『 a 』 ， t i0 m u0 zh ong0 a 3 . 』
a b ， g u0 zh eng0 q üe0 .
j ie0 ： iou0 x 2 8 x 2 0 0 ， d e0 2 x 1 0 ，
i0 zh i0 g uan0 ü0 x d e0 b u0 d eng0 sh i0 2 x 7 z ai0 x （ a ， ） sh ang0 h eng0 ch eng0 l i0 ， z e0 sh i0 sh u0 a d e0 z uei0 x iao0 zh i2 uei0 .
9 7 3 0 3 0 9 7 ün0 iong0 l e0 ch eng2 f a3 j iao1 h uan0 l ü0 。
d i4 u0 c i0 j ie0 q ü4 sh eng4 x ia4 d e0 i0 b an0 h ou0 sh eng0 x ia0 l e0 m .
j ie0 ： （ 1 ） B d e0 t ong0 uei0 j iao0 iou0 E A D h e0 E A C ；
j ie3 ： sh e0 P （ x ， y ） sh i4 d ai4 q iou2 q ü0 x ian0 sh ang0 r en0 i0 i0 d ian0 .
d a0 an0 ： g uo0 d ian0 P z uo0 C 1 D 1 d e0 p ing0 x ing0 x ian0 .
j i4 zh e0 5 j ian0 d ian4 q i4 f en1 b ie0 uei0 a ， b ， c ， d ， e ， q i0 zh ong0 “ A ” x ing0 uei4 a ， b .
i2 g e0 sh i0 sh u0 d e0 j üe2 d uei4 zh i0 sh i0 t a0 d e0 x iang0 f an0 sh u0 ， zh e0 g e0 sh i0 sh u4 sh i0 （ ）
【 t i0 sh i0 】 『 | | | | l iang0 b ian0 p ing0 f ang0 ， d e0 d ao0 『 0 』 . 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ie3 s an1 j iao0 x ing0 』
m ou3 zh ong0 x i0 j ün0 z ai4 p ei2 iang3 g uo0 ch eng0 zh ong0 ， m ei0 b an0 x iao0 sh i2 f en0 l ie0 i0 c i4 （ iou2 i2 g e0 f en0 l ie4 ch eng0 l iang0 g e0 ） ， r uo4 zh e4 zh ong3 x i0 j ün1 iou0 1 g e4 f en1 l ie4 uei0 1 6 g e0 ， z e0 zh e0 g e0 g uo0 ch eng0 iao4 j ing0 g uo0 d uo0 zh ang0 sh i2 j ian1 ？
iou2 （ 1 ） k e0 zh i0 m a x ( x ) ( 2 ) ( ) 4 ( ) 2 4 2 2 ，
d uei0 ü0 ， ( x n 1 ) 2 ( x n ) x 2 1 ， g u0 zh eng0 q üe0 .
（ 1 ） x ie0 ch u0 B d e0 t ong2 uei4 j iao0 .
z ai4 t ong0 i0 p ing0 m ian4 zh i2 j iao3 z uo0 b iao0 x i0 zh ong0 ， j iang0 q ü0 x ian4 y c o s 2 x an0 sh en1 s uo1 b ian0 h uan4 h ou4 uei0 （ ）
p ing0 m ian0 M B D p ing0 m ian4 P C D .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iou0 s an0 sh i0 t u0 q iou0 m ian0 j i0 、 t i0 j i0 』
iou2 ( b 3 ) 2 0 ， k e0 d e0
j ia0 p an0 1 g e0 ， i0 、 b ing0 l iang0 p an0 g e0 2 g e0 ；
l iang0 t iao0 zh i0 x ian0 k e0 n eng0 x iang0 j iao0 ， k e0 n eng0 p ing0 x ing0 ， h ai0 k e0 n eng0 i0 m ian0 ， g u0 c uo0 u0 ， zh eng0 q üe0 ；
B 、 D 、 P s an0 d ian0 g ong0 x ian4 .
（ 1 ） q iou0 zh eng0 ： n N * ， d ou0 iou0 0 a n ；
r u2 t u0 ， z ai0 s i4 l eng2 zh uei1 P A B C D zh ong0 ， P A p ing0 m ian4 A B C D ， A B C B A D 9 0 ， A D A P 4 ， A B B C 2 ， M uei0 P C d e0 zh ong0 d ian3 .
d i4 2 g e0 sh u0 ： 5 2 2 1 ，
j ie0 ： iou0 4 | | 3 | | ， k e0 sh e0 | | 3 k ， | | 4 k （ k 0 ） ，
z ong1 sh ang0 k e0 zh i0 zh eng4 q üe4 d e0 m ing0 t i0 iou0 2 g e4 .
D . 2 a ( a 2 ) ， zh eng0 q üe0 ， f u2 h e2 er4 c i0 g en0 sh i0 d e0 j ia0 j ian0 ün0 s uan4 .
【 t i0 sh i0 】 『 t u2 zh ong1 l iang3 g e0 zh ang0 uei0 x iao0 zh eng0 f ang0 x ing0 b ian1 zh ang0 、 k uan0 uei4 4 l i2 m i3 d e0 ch ang0 f ang1 x ing0 d e0 m ian0 j i1 『 』 b ian1 zh ang3 uei0 4 l i0 m i0 d e0 zh eng4 f ang1 x ing0 m ian4 j i0 9 6 p ing0 f ang0 l i0 m i0 。 』
| P A | | P B | 5 （ d ang0 q ie0 j in0 d ang0 | P A | | P B | sh i0 ， d eng0 h ao0 ch eng0 l i0 ） ，
D . zh e0 sh i0 i0 k e1 d a4 sh u4
g en1 j ü0 l iang0 d ian0 zh i1 j ian1 d e0 j ü0 l i0 g ong0 sh i0 k e3 d e0 A 、 B l iang3 d ian3 d e0 j ü4 l i2 uei0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i0 j i0 』
l i0 iong0 g ou0 g u0 d ing0 l i0 k e0 d e0 A C 1 d e0 zh ang0 f en0 b ie0 uei0 、 、 .
i0 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) sh i0 R sh ang0 d e0 z eng0 h an0 sh u0 ， z e0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 .
j iang0 （ 2 ， 0 ） z uo0 b iao0 d ai4 r u0 y x 2 b x 3 zh ong0 d e0 ： 0 4 2 b 3 ， s uo0 i0 b .
【 t i0 sh i0 】 『 d ian3 P （ x ， 0 ） uei4 『 x 』 zh ou0 sh ang0 i0 d ong0 d e0 d ian0 . 』
j ie0 ： sh e0 zh i0 x ian0 l ： x y 1 sh ang0 r en0 i0 i0 d ian0 M （ x ， y ） z ai0 j ü0 zh en0 A d e0 b ian0 h uan0 z uo0 iong0 x ia0 ， b ian0 h uan4 uei0 d ian0 M （ x ， y ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 h an0 sh u4 d e0 d an0 d iao0 x ing0 j i0 d an0 d iao0 q ü0 j ian0 』
（ 1 ） zh eng0 m ing0 ： A 、 B 、 D s an0 d ian0 g ong0 x ian0 ；
z ai4 r u0 t u0 zh ong0 ， p ing2 x ing2 s i0 b ian0 x ing0 d e0 m ian4 j i0 sh i0 2 0 c m 2 。 t u2 zh ong0 j ia3 、 i0 、 b ing3 s an0 g e0 s an1 j iao0 x ing0 m ian0 j i1 d e0 b i3 sh i4 （ ） ， t u2 x ing0 i3 d e0 m ian4 j i1 sh i4 （ ） c m 2 。
s uo3 i0 üan0 O d e0 b iao1 zh uen3 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 4 .
A ， B l iang0 d ian0 d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f en0 b ie0 uei0 A （ 2 ， 2 ） ， B （ 0 ， 4 ） ，
z ai4 p ing0 m ian0 zh i0 j iao3 z uo4 b iao1 x i0 x O y zh ong0 ， r uo4 zh i0 x ian0 l ： （ t uei4 c an0 sh u4 ） g uo0 t uo3 üan2 C ： （ uei0 c an1 sh u0 ） d e0 iou4 d ing3 d ian3 ， z e2 ch ang2 sh u0 a d e0 zh i2 uei4 .
zh i0 sh uo0 m ing0 l iang0 t iao0 zh i0 x ian0 b u0 t ong0 z ai0 i0 g e0 p ing0 m ian0 n ei0 ， m ei0 iou0 sh uo0 m ing0 p ing0 m ian0 d e0 r en0 i0 x ing0 ， g u0 c uo0 u0 ；
( k 3 ) x | k | 1 x 2 0 sh i0 g uan0 ü0 x d e0 i0 üan0 er0 c i0 f ang0 ch eng0 ， q iou0 b u0 d eng0 sh i0 k x 2 k 6 0 d e0 j ie0 .
j ie0 ： （ 1 ） r uo0 zh i0 x ian0 a 、 b m ei0 iou0 g ong0 g ong0 d ian0 ， z e0 zh i0 x ian0 a 、 b d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i0 sh i0 p ing0 x ing0 ；
【 t i0 sh i0 】 『 üan2 zh u0 、 üan0 zh uei0 、 üan0 t ai0 d e0 d i0 m ian0 d ou0 b u0 sh i0 üan2 ， er2 sh i0 『 üan0 m ian4 』 . 』
sh e4 M ， N ， sh i0 q iou0 q ü1 x ian4 y s i n x z ai0 j ü0 zh en0 M N b ian4 h uan0 x ia0 d e0 q ü1 x ian0 f ang1 ch eng2 .
h an2 sh u0 d e0 t u0 x iang4 j i2 q i2 z uo0 f a0
h an2 sh u0 f ( x ) ， g ( x ) x 3 ， z e0 f ( x ) g ( x ) .
d ang0 x 1 sh i0 ， 1 x 2 x 2 ， j ie0 d e0 x 1 ，
（ 2 ） l d e0 c an0 sh u0 f ang1 ch eng2 uei4 （ t uei0 c an0 sh u0 ， ） .
【 t i0 sh i0 】 『 üan2 zh uei1 d e0 t i0 j i0 d i0 m ian0 b an4 j ing0 d e0 p ing2 f ang1 『 』 。 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 h an0 sh u0 d e0 zh i0 ü0 j i0 q iou0 f a0 』
（ 2 ） iou0 b iao0 sh i0 k e0 zh i0 ， E ( X ) 2 4 6 .
（ 1 ） sh e0 “ q ü0 ch u1 i1 q iou2 sh i0 h ong0 q iou0 h uo0 h ei1 q iou0 ” uei4 sh i4 j ian0 E ， z e2 E A B ，
h ua4 uei0 p u0 t ong0 f ang1 ch eng2 uei4 x 2 ( y 2 ) 2 4 ，
j ie0 ： （ 1 ） 1 ü0 4 sh i0 t ong0 uei4 j iao0 ， sh i0 zh i0 x ian0 a 、 b b ei0 zh i0 x ian0 c s uo0 j ie2 x ing0 ch eng2 d e0 .
z e2 p q uei0 j ia0 m ing4 t i2 ； p q uei0 zh en0 m ing0 t i0 ； p ( q ) uei0 zh en0 m ing4 t i0 ； ( p ) q uei0 j ia3 m ing0 t i2 .
【 t i0 sh i0 】 『 z ai4 p ing0 m ian4 A 1 B 1 C 1 D 1 sh ang0 d e0 s i0 t iao0 l eng0 zh ong0 A 1 B 1 、 『 B 1 C 1 』 ü0 B D 1 i0 m ian4 . 』
i3 zh i0 zh i0 x ian0 a ü3 p ing2 m ian0 b u0 ch uei0 zh i0 ， z e0 x ia0 l ie4 j ie0 l uen0 ch eng0 l i4 d e0 sh i4 （ t ian0 x ü0 h ao4 ） .
j ie3 b i0 l i0 。
d ian0 P d e0 g uei0 j i0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 ， （ uei0 c an0 sh u0 ， q ie0 0 2 ） ，
j i2 z uo0 b iao0 x i0
g u0 zh eng0 q üe0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 üan0 i0 c i0 f ang0 ch eng0 d e0 d ing0 i0 』
z e0 p q uei0 zh en0 ， p q uei0 j ia0 ， p uei0 j ia0
（ 2 ） uang0 sh u0 sh u0 d ai4 l e0 2 1 üan0 ， l iang0 iang0 uan0 j ü0 g e0 m ai3 i0 g e0 ， q ian2 g ou0 b u4 g ou4 ？
（ ） g ai0 sh ang0 ch ang0 j i4 l u4 l e0 q ü0 n ian0 x ia0 t ian0 （ g ong0 1 0 zh ou1 ） k ong0 t iao0 q i4 x ü0 q iou2 l iang4 n （ d an0 uei4 ： t ai0 ） ， zh eng3 l i3 d e2 x ia4 b iao0 ：
j iang0 2 m 2 d ai0 r u0 c o s 2 m 2 s i n k e0 d e2
【 t i0 sh i0 】 『 1 sh i2 ， | a b | ü3 | a | | b | d e0 f u0 h ao0 『 x iang0 t ong0 』 . 』
j ie0 ： （ 1 ） iou0 i0 zh i0 üan0 d e0 b iao0 zh uen0 f ang0 ch eng0 uei0 ： ( x a c o s ) 2 ( y a s i n ) 2 a 2 （ a 0 ） .
A . ch ong0 f en0 b u0 b i4 iao4 t iao2 j ian0
iou0 ü0 g ai0 zh i0 x ian0 ü0 q ü1 x ian0 C 2 iou0 q ie0 j in0 iou0 s an0 g e0 g ong0 g ong0 d ian0
zh eng3 l i0 d e0 ： 1 . 1 x 1 . 5 2 3 5 ，
j ie0 ： iou0 d ing0 i0 k e0 zh i0 üan0 m ing0 t i0 d e0 n i0 f ou0 m ing0 t i0 uei0 ： “ r uo0 m x 2 2 x 1 0 iou0 sh i0 g en0 ， z e0 m 1 ” .
x ia0 m ian0 g e0 z u0 h an2 sh u0 zh ong1 uei0 x iang0 t ong0 h an0 sh u0 d e0 sh i0 （ ）
zh eng0 l i0 k e0 d e0 2 5 x 2 9 y 2 1 .
r uo0 d ian0 P （ 2 0 1 3 ， 2 0 1 4 ） j ing0 sh en0 s uo0 b ian0 h uan0 h ou0 s uo0 d e0 d e0 d ian0 z ai0 q ü0 x ian0 y sh ang0 ， z e0 k d e0 zh i0 uei0 （ ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x ian0 d uan4 d e0 h e0 ch a0 』
d a0 ： k e0 i0 zh an0 1 0 x ing0 。
a 2 b 2 4 （ d ang0 q ie0 j in0 d ang0 a 2 b 2 sh i2 q ü0 “ ” ）
i3 zh i0 f ( x ) 3 x 2 ， z e0 f 1 [ f ( x ) ] ； f [ f 1 ( x ) ] .
B . zh eng0 d e0 f ei0 uan0 q üan0 p ing0 f ang0 sh u0
s uo3 i0 sh u0 ü0 t e4 zh eng1 zh i2 2 3 d e0 t e0 zh eng0 x iang4 l iang0 uei0 .
g u0 h an0 sh u0 d e0 z eng0 q ü0 j ian0 uei0 [ 8 k 3 ， 8 k 1 ] ， k Z
g u4 s uo0 q iou0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng0 uei0 （ k 0 ） h e0 .
i3 zh i0 a 0 ， b 0 ， q ie0 a b 1 ， q iou2 zh eng4 ：
A . A h e0 3 sh i0 t ong0 uei0 j iao3
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i1 üan2 n c i0 f ang0 ch eng0 g en1 ü0 x i0 sh u4 d e0 g uan0 x i4 』
i3 zh i0 O uei0 üan2 d ian3 ， c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 （ uei0 c an0 sh u4 ） sh ang0 d e0 r en4 i0 i4 d ian3 uei0 A ， z e2 O A （ ）
g ei3 ch u0 x ia0 l ie0 f ang1 ch eng2 ： 3 x 2 2 7 x ， 2 x 2 3 y 6 0 ， 2 x 2 0 ， x 2 5 0 ， 3 y 2 2 ， 2 x x 2 . q i0 zh ong0 sh i0 i0 üan2 er0 c i0 f ang1 ch eng2 d e0 iou3 （ ）
z e2 zh e0 g e0 ch ang0 f ang1 x ing2 d e0 zh ang0 h e0 k uan0 b u0 ch eng2 b i0 l i0 。
d i0 m ian0 b ian0 zh ang0 uei0 2 ， g ao0 uei0 1 d e0 zh eng0 s an0 l eng0 zh uei0 d e0 b iao0 m ian0 j i0 uei0 .
j i2 g ai0 uang0 m in0 zh i4 sh ao3 g ou4 m ai0 2 zh ong0 sh ang0 p in0 d e0 g ai0 l ü4 uei0 .
i0 zh i0 、 sh i0 l iang0 g e0 b u0 t ong0 d e0 p ing0 m ian0 ， m 、 n sh i0 p ing0 m ian0 ， uai0 l iang0 t iao0 b u0 t ong0 d e0 zh i0 x ian0 ， g ei0 ch u0 s i0 g e0 l uen0 d uan0 ：
z ai0 p ing0 m ian0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 x i0 x O y zh ong0 ， sh e0 P （ x ， y ） sh i0 t uo0 üan0 y 2 1 sh ang0 d e0 i0 g e0 d ong0 d ian0 ， q iou2 S x y d e0 z uei0 d a0 zh i0 h e0 z uei0 x iao0 zh i2 .
iou0 S A p ing0 m ian0 S A B ，
m ou0 zh ong0 l iang0 d a0 h u0 l i0 sh u0 sh u0 j ia0 q ü0 n ian0 sh ou0 sh uei0 d ao0 2 5 0 0 0 k g ， j in0 n ian0 d e0 sh uei0 d ao0 b i0 q ü0 n ian0 d uo0 sh ou0 l e0 i0 ch eng0 u0 ， j in0 n ian0 sh ou0 sh uei0 d ao0 d uo0 sh ao0 q ian0 k e0 ？
i0 zh i0 i0 g e0 üan0 d e0 b ai0 x ian0 g uo0 d ian0 （ 1 ， 0 ） ， z e0 b ai0 x ian0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ ）
i0 g e0 ch ang0 f ang0 x ing0 d e0 m ian0 j i0 uei0 1 2 m 2 ， t a0 d e0 zh ang0 ü0 k uan0 d e0 g uan0 x i0 r u0 x ia0 b iao0 。
z ai0 zh eng0 f ang0 t i0 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong0 ， B B 1 ü0 p ing0 m ian0 A C D 1 s uo0 ch eng0 j iao0 d e0 ü0 x ian0 zh i0 uei4 .
B . z uei0 x iao0 d e0 sh u4
j ie0 ： g uan0 ü0 x d e0 b u0 d eng0 sh i0 x 2 a x b 0 d e0 j ie0 j i0 uei0 （ 1 ， 2 ） ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 uei0 sh u0 ch u0 l iang0 、 s an0 uei0 sh u0 』
A B C d e0 zh ou0 ch ang0 uei0 2 0 c m ， A C 8 c m ，
j i0 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ， s uo0 i0 f ( x ) z ai0 R sh ang0 sh i0 z eng0 h an0 sh u0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i1 uei4 sh u0 ch u0 l iang0 、 s an0 uei0 sh u0 d e0 iou0 ü0 sh u0 ch u2 f a0 』
j ie0 ： 6 4 0 . 9 j ing0 q üe0 d ao0 g e0 uei0 uei0 6 4 1 .
d ian3 P z ai0 x ian0 d uan4 O M sh ang4 ， q ie0 A P O M ，
r u2 t u0 ， i0 zh i1 s an1 j iao3 x ing0 A B C ， d ian0 A sh i0 s an0 j iao0 x ing2 A B C p ing0 i0 h ou4 d ian0 A d e0 d uei0 ing0 d ian3 ， z uo0 ch u0 p ing2 i2 h ou4 d e0 s an0 j iao3 x ing0 A B C .
d a0 an0 ： ch ong0 f en0 b u0 b i0 iao0 .
j ie3 ： （ 1 ） üan0 f ang0 ch eng2 k e3 h ua4 uei0 ： 2 4 ( c o s c o s s i n s i n ) 6 0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 q iou2 8 5 0 uan4 üan0 d e0 5 sh i0 d uo1 sh ao0 ， iong4 『 ch eng0 』 f a3 j i0 s uan4 。 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 2 4 sh i0 j i4 sh i0 f a0 』
iou2 m n ， n k e0 d e0 m ， iou4 ， s uo0 i0 m ， g u0 zh eng0 q üe0 .
（ 3 ） l u0 g uan0 z ai0 b ao0 g uan0 d e0 （ ） m ian0 ， b ao0 g uan0 z ai0 l u0 g uan0 d e0 （ ） m ian0 ； h ou0 sh an0 z ai0 x ing0 x ing0 g uan0 d e0 （ ） f ang0 x iang0 ， x ing0 x ing0 g uan0 z ai0 h ou0 sh an0 d e0 （ ） f ang0 x iang0 。
l ing4 f ( ) 0 ， j ie0 d e0 5 h uo4 3 ， j i0 j ü0 zh en0 A d e0 t e0 zh eng0 zh i2 uei4 5 h e2 3 .
6 0 0 3 8 2 5 （ q ian0 ua0 sh i0 ）
x üan0 x iang0 C ， c o s 4 d e0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 uei0 x 4 ，
z ai4 j i0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong1 ， i0 zh i0 O d ian0 uei0 j i0 d ian0 ， d ian0 A （ 4 ， ） ， B （ 5 ， ） ， [ 0 ， 2 ） . q iou0 O A B d e0 z uei4 d a4 m ian0 j i0 ， b ing0 q iou0 ch u0 c i3 sh i2 d e0 zh i2 .
g u0 zh i0 ü0 l ü0 r eng0 uei0 1 0 ， g u0 iou0 k e0 n eng0 zh i0 ü0 ， ie0 iou0 k e0 n eng0 m ei2 iou0 zh i4 ü0 .
g u4 s an0 j iao0 x ing0 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i0 1 0 c m .
q ü1 x ian0 C sh i0 i3 （ ， 3 ） uei4 üan0 x in0 ， b an0 j ing4 uei0 d e0 üan2 .
（ 2 ） b a0 B D E r ao0 d ian3 D sh uen4 sh i0 zh en0 x üan0 zh uan0 1 6 0 h ou0 n eng0 f ou3 ü0 C D F ch ong0 h e2 ？
zh eng4 m ing0 ： r uo0 a 2 b 2 2 a 4 b 3 0 ， z e2 a b 1 .
r uo4 x 2 ， h ua0 j ian0 | 3 x | d e0 zh eng4 q üe0 j ie0 g uo0 sh i0 （ ）
d uei4 ü0 ， iou0 t i2 i4 zh i1 m ， l sh i0 l iang0 t iao0 i4 m ian0 zh i0 x ian4 ， m ， l .
（ 2 ） zh e0 g e0 sh i0 ian4 i1 g ong4 iou0 3 6 zh ong0 b u0 t ong0 d e0 j ie0 g uo3 .
（ 2 ） p ： 1 sh i0 f ang0 ch eng0 x 2 4 x 3 0 d e0 j ie3 ， q ： 3 sh i0 f ang0 ch eng0 x 2 4 x 3 0 d e0 j ie0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 x ian0 d ing0 l i0 』
j ie3 ： m ing0 t i0 d e0 f ou3 d ing4 sh i0 “ c uen0 z ai0 i0 g e0 n eng0 b ei4 2 zh eng0 ch u0 d e0 zh eng0 sh u4 b u2 sh i0 ou0 sh u4 ” .
iou4 iou0 t i0 i0 zh i1 （ 0 ， 1 ） ，
z ai0 j i0 z uo0 b iao0 x i0 zh ong0 ， i0 zh i0 üan0 C d e0 üan0 x in0 C （ 3 ， ） ， b an0 j ing0 r 1 . d ian0 Q z ai0 üan0 C sh ang0 ün4 d ong0 ， O uei0 j i0 d ian0 .
q ü0 p ing0 m ian0 A B P d e0 f a0 x iang0 l iang0 （ 0 ， 1 ， 0 ） ，
B . z ai0 t ong0 i0 p ing2 m ian4 n ei4 ， b u0 x iang0 j iao0 d e0 l iang0 t iao0 zh i2 x ian4 h u0 x iang1 p ing2 x ing0
g u4 b u0 d eng0 sh i0 | x 1 | | x 2 | 2 d e0 j ie3 j i0 sh i0 { x | x } .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan2 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t e4 zh eng1 x iang0 l iang0 d e0 d ing0 i4 j i0 x ing0 zh i4 』
【 t i0 sh i0 】 『 m ei3 『 2 』 x iao3 sh i0 f ang0 i0 ch ang0 d ian0 ing0 。 』
s uo0 i0 h an0 sh u0 z ai0 [ a ， 0 ] sh ang0 d an0 d iao0 d i0 j ian0 ， z ai0 [ 0 ， b ] sh ang0 d an0 d iao0 d i0 z eng0 ，
s uo3 i0 0 ， z e0 ü3 t ong2 x iang4 .
iou0 M uei0 x ian0 d uan0 A B d e0 zh ong0 d ian0 ， g en0 j ü0 t d e0 j i0 h e0 i0 i0 ， d e0 | P M | | | .
m ou0 g ao0 x iao0 z ai0 z i0 zh u0 zh ao0 sh eng0 k ao0 sh i0 ch eng0 j i0 zh ong0 s uei0 j i0 ch ou0 q ü0 1 0 0 m ing0 x üe0 sh eng0 d e0 b i0 sh i0 ch eng0 j i0 ，
üan2 x in0 （ 0 ， 4 ） d ao0 zh i2 x ian4 x y 0 d e0 j ü0 l i0 uei0 d 2 .
【 t i0 sh i0 】 『 ch ang2 f ang1 x ing2 d e0 zh ou0 ch ang0 （ zh ang3 k uan0 ） 『 2 』 。 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 l iang0 zh i0 x ian0 p ing0 x ing0 ， n ei0 c uo0 j iao0 x iang0 d eng0 』
x iao0 c an0 sh u0 d e0 üan0 x in0 d e0 g uei0 j i0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 a 2 .
p in2 l ü0 f an0 ing0 sh i4 j ian4 f a1 sh eng0 d e0 p in0 f an0 ch eng0 d u0 ， g ai4 l ü0 f an0 ing0 sh i4 j ian0 f a1 sh eng1 d e0 k e0 n eng2 x ing0 d a0 x iao0 ；
r u0 t u0 ， z ai0 zh eng0 f ang0 t i0 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong0 .
d a2 an0 ： h u0 n i4 .
d a0 ： x ian0 z ai0 iao0 iong0 m ian0 j i0 sh i0 5 p ing0 f ang0 f en0 m i0 d e0 f ang0 zh uan0 p u0 d i0 ， x ü0 iao0 3 0 0 0 k uai0 。
er0 x üan0 x iang0 C ： O B O C ， u2 f a0 d e2 d ao0 .
（ 2 ） r u0 t u0 ， l ian2 j ie1 B 1 C .
iao4 j ian0 i0 p i0 ch uang1 h ua1 ， x iao0 m ing0 h e0 x iao0 l an2 d e0 g ong0 z uo4 x iao4 l ü0 b i3 sh i4 5 : 4 。
r u2 t u0 s uo0 sh i0 ， O A O C ， O B O D ， q ie3 A O D 1 5 0 ， z e0 B O C .
（ 2 ） sh e0 d ian0 M d e0 zh i2 j iao3 z uo0 b iao0 uei0 （ 5 ， ） ， zh i2 x ian0 l ü3 q ü1 x ian0 C d e0 j iao0 d ian3 uei4 A ， B ， q iou0 | M A | | M B | d e0 zh i0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 uei4 x iao0 sh u0 d e0 d a0 x iao0 b i0 j iao0 （ j ie0 zh u0 üan0 j iao3 f en0 b ei4 j ing0 ） 』
j ie3 : d uei0 | a 1 | 0 q ü4 j üe2 d uei4 zh i0 ， d e0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch eng2 f a3 ü0 ch u0 f a0 d e0 h u0 n i0 g uan0 x i4 』
sh e4 er0 m ian0 j iao0 A P C D d e0 p ing2 m ian0 j iao0 uei0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 h an0 sh u0 d e0 z uei0 zh i0 』
【 t i0 sh i0 】 『 “ a x 2 2 a x 3 0 b u0 ch eng0 l i0 ” sh i0 zh en0 m ing0 t i0 ， j i0 “ a x 2 2 a x 3 『 』 0 ch eng0 l i0 ” sh i0 zh en0 m ing0 t i0 . 』
A . “ r uo0 i0 g e0 sh u4 sh i4 f u4 sh u0 ， z e0 t a0 d e0 p ing0 f ang0 b u2 sh i0 zh eng0 sh u0 ”
ü3 b u0 i0 d ing0 f an3 x iang4 ，
g u4 zh eng0 q üe0 .
z uei0 d a0 zh i0 y m a x 4 ， u0 z uei0 d a0 zh i0 .
g u4 s an0 j iao0 x ing0 A B C d e0 n ei4 q ie0 üan0 b an0 j ing0 r 2 ，
z ai4 j i0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong1 ， i0 zh i0 d ian0 A （ 2 ， ） ， d ian3 B z ai0 zh i2 x ian4 l ： c o s s i n 0 （ 0 2 ） sh ang4 ， d ang0 x ian4 d uan4 A B z uei0 d uan3 sh i0 ， q iou0 d ian3 B d e0 j i2 z uo4 b iao1 .
zh eng0 m ing0 ： （ 1 ） A ， B ， C ， D s i0 d ian0 z ai0 t ong0 i0 üan0 sh ang0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 uei0 ch eng0 d e0 zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 b ian0 zh ang0 t ie0 s i0 d e0 ch ang0 d u0 『 4 』 。 』
d a2 an0 ： h uo0 .
j i0 m ian0 j i0 j ian0 sh ao0 l e0 （ 2 m n n 2 ） .
p ing2 x ing0 s i0 b ian0 x ing2 A B C D zh ong1 b ian0 A B s uo0 z ai0 zh i2 x ian0 ü0 p ing2 m ian4 p ing0 x ing2 ， z e0 zh i2 x ian4 C D ü0 d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i4 sh i4 .
d ang0 m 2 sh i0 ， sh ang0 sh i0 z uo0 b ian0 uei0 j i0 sh u0 ， iou0 b ian0 uei0 ou0 sh u0 ， x ian0 r an0 b u0 ch eng0 l i0 .
j ie0 ： j iang0 t uo0 üan2 f ang0 ch eng2 1 h ua0 uei0 4 ，
i0 zh i0 m i0 h an0 sh u0 f ( x ) d e0 t u0 x iang0 j ing0 g uo0 d ian0 （ ， 8 ） ， z e0 f ( 3 ) .
r uo0 | x a | h ， | y a | k ， z e0 x ia0 l ie0 b u0 d eng0 sh i0 i0 d ing0 ch eng0 l i0 d e0 sh i0 （ ）
1 9 6 4 n ian0 1 0 üe0 1 6 r i0 ， uo0 g uo0 d i0 i0 k e0 üan0 z i0 d an0 sh i0 b ao0 ch eng0 g ong0 ， zh e0 i0 n ian0 q üan0 n ian2 iou0 （ ） t ian0 ， d ao0 2 0 1 8 n ian0 1 0 üe4 1 6 r i0 sh i0 （ ） zh ou0 n ian0 。
2 0 1 2 n ian0 d e0 2 üe4 iou3 （ ） t ian0 ， q üan0 n ian0 iou3 （ ） t ian0 。
j ie0 ： üan0 C d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 8 s i n ( ) 1 3 0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 d ian3 d e0 j i0 z uo0 b iao0 h e0 zh i2 j iao0 z uo0 b iao1 d i4 h u0 h ua4 』
（ 2 ） iou0 （ 1 ） k e0 zh i1 x y 2 c o s 2 s i n
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 uei0 sh u0 ch u0 l iang0 、 s an0 uei0 sh u0 d e0 iou0 ü0 sh u0 ch u0 f a0 』
2 x 2 0 sh i0 i0 üan0 er0 c i0 f ang0 ch eng0 ；
z ai4 üan0 x in0 j iao0 uei4 9 0 d e0 sh an0 x ing0 O A B zh ong0 ， i0 üan0 x in1 O uei0 q i3 d ian3 z uo0 sh e4 x ian4 O C ， q iou0 sh i3 d e0 A O C h e0 B O C d ou1 b u4 x iao3 ü2 3 0 d e0 g ai4 l ü4 .
j ie0 ： üan0 sh i0 8 x y 2 ( 2 x ) 6 x 2 y ( 2 x )
zh i0 x ü0 zh eng0 ( ) 2 ( ) 2 ，
“ r uo0 x iang0 l iang0 ， m an0 z u0 0 ， z e0 h uo0 ” d e0 n i0 m ing0 t i0 sh i0 “ r uo0 h uo0 ， z e0 0 ” s uo0 i0 sh i0 zh en0 m ing0 t i0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t i0 j i0 、 r ong0 j i0 d an0 uei0 d e0 r en0 sh i0 、 j in0 l ü0 j i0 h uan0 s uan0 』
üan0 zh u0 、 üan0 zh uei1 、 üan2 t ai0 h e0 q iou0 d e0 g ai0 n ian0 j i0 j ian0 d an0 x ing0 zh i0
（ 2 ） r uo0 f ( 3 ) 5 ， q iou0 a d e0 q ü3 zh i0 f an0 uei0 .
（ 2 ） r u0 t u0 ， d ian0 E sh i0 p ao0 u0 x ian0 sh ang0 i0 ü0 üan0 d ian0 d e0 d ian0 ， p ao0 u0 x ian0 z ai0 d ian0 E ch u4 d e0 q ie0 x ian0 ü0 x zh ou0 x iang0 j iao0 ü2 d ian0 P ， zh i0 x ian0 P F ü0 p ao0 u0 x ian0 x iang0 j iao0 ü0 A ， B l iang0 d ian0 ， q iou0 E A B m ian0 j i1 d e0 z uei0 x iao0 zh i0 .
d ian0 M d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao1 uei0 （ ， ， ） .
i3 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) a x 3 2 x 2 c x z ai4 R sh ang0 d an0 d iao0 d i0 z eng1 ， q ie0 a c 4 ， z e2 d e0 z uei4 x iao3 zh i0 uei4 .
d ai0 r u0 x a ( t s i n t ) ， d e0 x a ( 2 k s i n 2 k ) .
in0 uei0 p ao0 u0 x ian0 d e0 d uei0 ch en0 zh ou0 sh i0 x 1 ， p ao0 u0 x ian0 ü0 x zh ou0 d e0 i0 g e0 j iao0 d ian0 sh i0 （ 1 ， 0 ） ，
g u0 üan0 C d e0 zh i2 j iao0 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 2 x 2 y 4 0 ， j i0 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 6 .
d ai0 r u0 x 2 y 2 4 ， d e0 4 ， zh eng0 l i0 d e0 1 ，
d a2 an0 ： i0 zh i1 ； l iang3 zh i0 x ian0 p ing0 x ing0 ， t ong0 uei0 j iao3 x iang1 d eng0 ； d uei4 d ing0 j iao3 x iang1 d eng0 ； ch uei2 zh i0 d e0 d ing0 i4 ； i4 zh i2 x ian4 ü3 l iang0 p ing2 x ing2 x ian4 zh ong1 d e0 i1 t iao0 ch uei0 zh i0 ， z e0 ch uei0 zh i0 ü2 l ing0 i0 t iao0 zh i0 x ian4 .
zh eng0 m ing0 ： j ia0 sh e0 A 、 B 、 C zh e0 s an0 g e0 j iao0 d ou0 x iao0 ü0 6 0 ， z e0 A B C 1 8 0 ， zh e0 ü0 s an0 j iao0 x ing0 n ei0 j iao0 h e0 d ing4 l i0 m ao0 d uen0 ，
z ong0 sh ang0 s uo0 sh u0 ， k e0 zh i0 zh eng0 q üe0
j i2 f ( x 2 ) d e0 d ing0 i4 ü4 uei4 [ 4 ， 1 ] .
sh u0 l ie0 { a n } d an0 d iao0 d i0 z eng1 .
r u0 g uo0 uen0 d u0 sh ang0 sh eng0 3 j i0 z uo0 3 ， n a0 m e0 x ia0 j iang0 5 j i0 z uo0 （ ） 。
d a2 ： h uo0 ch e0 üe1 1 1 : 3 0 d ao4 d a0 i0 ch eng0 。
in0 uei0 üan0 C j ing0 g uo0 d ian0 P （ ， ） ， üan0 C d e0 üan0 x in0 z uo0 b iao0 uei0 （ 1 ， 0 ） ，
j ie0 ： g uan0 ü0 x d e0 er0 c i0 b u0 d eng0 sh i0 x 2 m x 1 0 d e0 j ie0 j i0 uei0 R ， z e0 x 2 m x 1 0 z ai0 R sh ang0 h eng0 ch eng0 l i4 ，
b an4 q iou0 d e0 b an0 j ing4 R 3 ，
g u0 m ing0 t i0 “ a M ” b u0 k e0 i0 t uei0 ch u0 m ing0 t i0 “ a N ” ，
l iang3 t iao0 i0 m ian0 zh i2 x ian4 zh i3 d e0 sh i0 f en0 b ie0 z ai4 m ou0 l iang0 g e4 p ing2 m ian0 n ei4 d e0 l iang0 t iao2 zh i2 x ian0 ；
z ong0 sh ang0 ， m an0 z u2 “ d ao4 f u0 ” b ian0 h uan0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh ong1 d ian3 z uo0 b iao0 g ong0 sh i0 』
j ie3 ： j iang0 （ uei4 c an1 sh u4 ） h ua0 uei0 ， l iang3 sh i0 p ing0 f ang1 x iang1 j ia0 ， d e2 1 .
（ 1 ） h an0 sh u0 f ( x ) 3 x （ x R ） sh i4 zh i3 sh u4 h an0 sh u0 ；
p ing2 m ian0 A B D p ing0 m ian4 A B C ；
d ang0 q ie0 j in0 d ang0 t ， j i0 sh i0 ， | c o s ， | d e0 z uei0 d a0 zh i0 uei0 .
q ü0 x ian0 C d e0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 uei0 y 2 4 x .
【 t i0 sh i0 】 『 j i4 s uan4 1 2 . 8 8 . 6 sh i0 ， x iao0 sh u0 d ian0 iao0 『 d uei4 q i0 』 。 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 b i0 l i0 』
iong4 sh u0 x üe0 g uei0 n a4 f a3 zh eng4 m ing0 ：
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 g uei3 j i4 f ang0 ch eng0 』
z ong1 sh ang0 s uo0 sh u0 ， a 2 h uo4 8 .
l l ü0 x iang0 j iao0 ；
s uo0 q iou0 a d e0 j i0 h e0 uei0 { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 } .
x ian0 zh ang0 l 2 a （ d ing0 zh i0 ） .
（ 4 ） x iao0 m ing0 c ong0 d a0 m en0 j in0 r u0 x ian0 d ao0 h ou0 sh an0 ， z ai0 ian0 h ou0 sh an0 d e0 x i0 b ei0 f ang0 x iang0 d ao0 sh i0 g uan3 ， r an0 h ou0 d ao0 l ao0 h u0 g uan0 。 q ing3 n i0 iong0 j ian0 t ou0 z ai0 t u0 zh ong0 b iao0 ch u0 x iao0 m ing0 d e0 x ing0 z ou0 l u0 x ian0 。
h an2 sh u0 f ( x ) d e0 d an1 d iao4 d i4 z eng0 q ü0 j ian0 uei0 .
x ia4 l ie0 m ing0 t i0 zh eng4 q üe4 d e0 sh i0 （ t ian0 x ü0 h ao4 ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j i1 b en3 b u0 d eng0 sh i0 』
iou0 sh en0 s uo0 b ian0 h uan0 g ong0 sh i0 k e0 zh i0 f 2 ( x ) c o s 3 x ，
r uo4 a 1 ， b 0 ， a b a b 2 ， z e0 a b a b d eng3 ü2 （ ）
（ 1 ） q iou0 zh i0 x ian0 P A ü3 p ing2 m ian0 P B C s uo0 ch eng0 j iao3 d e0 zh eng0 x ian2 zh i2 ；
i0 üan0 zh ou0 sh ang0 d e0 m ou0 i0 d ing0 d ian0 uei0 üan0 d ian0 ， i0 g ei0 d ing0 d ing0 zh i0 x ian0 s uo0 z ai0 d e0 zh i0 x ian0 uei4 x zh ou0 ， j ian0 l i0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao1 x i0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iong0 f ang0 ch eng0 j ie0 j üe0 uen0 t i0 』
zh eng4 m ing0 ： ch ong0 f en4 x ing4 ： a b c 0 ，
C . ch ong0 iao0 t iao0 j ian4
d ang0 x 1 sh i0 ， h an0 sh u0 d an0 d iao0 d i0 z eng0 ，
j ie0 ： p ao0 u0 x ian0 y 2 ( x h ) 2 k d e0 d ing0 d ian0 z uo0 b iao0 uei0 （ h ， k ） ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i2 x ian4 ü0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 d e0 x ing0 zh i4 』
【 t i0 sh i0 】 『 üan2 zh uei1 sh i4 i0 g e0 zh i0 j iao0 s an0 j iao0 x ing0 r ao4 i0 『 zh i0 j iao3 』 b ian1 x üan2 zh uan0 d e0 d ao4 d e0 j i0 h e0 t i3 。 』
D . sh i0 zh i0 x ian0 ， sh i4 üan2
s uo3 i0 t u0 sh ang0 1 c m b iao3 sh i4 sh i0 j i0 j ü0 l i0 5 0 k m ；
k b ei0 d e0 j iang0 l i4 （ k N ） ，
j ian0 k ai0 x ian0 d e0 sh eng0 ch eng0 g uo0 ch eng0 j i0 q i0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0
1 2 1 2 1 4 4 （ p ing0 f ang0 f en0 m i0 ） ， 1 2 6 7 2 （ p ing0 f ang0 f en0 m i0 ）
B D （ l iang0 zh i0 x ian0 p ing0 x ing0 ， n ei0 c uo0 j iao0 x iang0 d eng0 ） .
B d ian0 d e0 j i0 z uo4 b iao1 uei4 （ 6 ， ） ，
z ai0 5 1 2 0 2 6 0 1 3 zh ong0 ， k e0 i0 t ong2 sh i0 s uan0 ch eng0 f a0 h e0 ch u0 f a0 ， z ai0 s uan0 j ian0 f a3 ， j ie2 g uo0 sh i0 5 8 0 。
（ 4 ） 0 . 6 0 . 3 ， 0 . 8 0 . 3 ， 0 . 6 0 . 8 0 . 3 ， s uo0 i0 0 . 6 : 0 . 8 h e2 : k e3 i0 z u0 ch eng0 b i0 l i0 。
t ong2 l i0 ， | O M | | M N | | N O | 3 1 2 ， d ang0 D ， O ch ong2 h e2 ， j i0 M N x zh ou0 sh i0 ， d eng0 h ao4 ch eng0 l i0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 b iao0 n ei0 iou0 ü0 sh u0 ch u0 f a0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i4 m ian4 zh i0 x ian0 j i0 q i0 s uo0 ch eng0 d e0 j iao3 』
D . j i0 b u0 ch ong0 f en4 ie3 b u4 b i0 iao0 t iao0 j ian0
【 t i0 sh i0 】 『 2 1 . 3 ， x iao0 sh u0 d ian0 『 d uei0 q i0 』 h ou0 ， c ong0 d i0 uei0 j ian0 q i0 。 』
iou2 c i0 k e0 d e0 S 1 5 1 5 a 1 d 1 5 ( a 1 1 4 ) 0 、 S 1 6 1 6 a 1 d 1 6 ( a 1 1 5 ) 0 ，
j ie0 ： （ 1 ） in0 uei0 zh i0 x ian0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 d e0 d ing0 i0 uei0 ： ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan0 zh uei0 d e0 t i0 j i0 』
s uo0 i0 P d ian0 d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 uei0 （ 1 ， ） ，
4 ， g u0 c uo0 u0 .
“ x 0 ” sh i0 “ 0 ” ch eng0 l i0 d e0 （ ）
【 t i0 sh i0 】 『 x 2 x 1 0 zh i2 j ie1 iong4 『 g ong0 sh i0 』 f a3 q iou0 j ie0 . 』
i0 zh i0 ： | a | c ， | b | c ， q iou0 zh eng0 ： | | .
l i0 üan0 d ian0 j iao0 j in0 d e0 d ian0 sh i0 d ian0 A .
【 t i0 sh i0 】 『 7 üe4 8 r i4 ， b a0 b a0 g ong0 z i0 sh ou0 r u0 4 5 0 0 üan0 ， j i0 l u4 sh i0 ， “ ” h ou4 x ie0 『 4 5 0 0 』 。 』
d ang0 0 y 1 sh i0 ， iou2 ü0 “ L l u0 j ing0 ” b u0 n eng0 j in0 r u0 b ao0 h u0 q ü0 ，
t ong2 iang0 q iou0 d e0 | O E | 2 | O G | 3 0 0 m ，
iou0 t i0 i0 k e0 zh i0 ： ，
i0 c i0 g uei0 l ü0 ，
j ie0 d e0 a 1 h uo0 a 4 ，
（ 2 ） i0 x iang0 d e0 ： ( 2 x 3 ) 2 3 ( 2 x 3 ) 0 ，
x 2 4 d e0 b i0 iao0 b u0 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0 sh i0 （ ）
g u0 h an0 sh u0 y （ 0 x ） d e0 z uei0 x iao0 zh i0 uei0 1 .
zh i3 sh u0 h an0 sh u0 y f ( x ) d e0 t u2 x iang0 g uo0 d ian0 （ 2 ， 4 ） ， n a0 m e0 f ( 2 ) f ( 4 ) .
D . k e0 n eng0 sh i0 1 . 5 8 c m
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao0 sh u0 d e0 j ia0 f a0 h e0 j ian0 f a0 』
j ie0 ： in0 uei0 5 2 zh ang0 p ai0 zh ong0 zh i0 iou0 1 3 zh ang0 h ong0 t ao0 ， s uo0 i0 zh i0 sh ao0 q ü0 ch u0 1 3 3 2 4 1 （ zh ang0 ） sh i0 ， b ao0 zh eng0 iou0 2 zh ang0 h ong0 t ao0 。
s uo0 i0 “ a b ” sh i0 “ a c 2 b c 2 ” d e0 b i4 iao0 b u0 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0 .
x ia0 l ie0 t ou0 ing0 sh i0 p ing0 x ing0 t ou0 ing0 d e0 sh i0 （ ）
p ing2 d i0 j iang0 ü0 l iang4 uei4 3 （ c uen0 ） .
i3 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) l o g a sh i4 j i1 h an0 sh u0 （ a 0 ， a 1 ） .
d a2 ： zh e0 b i0 q ian2 l ian2 b en3 d ai0 x i0 iou0 5 6 9 7 . 5 üan0 ， m ai0 zh e4 t ai0 d ian0 sh i0 j i1 g ou0 l e0 。
r u0 t u0 ， z ai0 s an1 l eng0 zh u4 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong0 ， E ， D f en0 b ie0 sh i0 B 1 C 1 ü0 B C d e0 zh ong0 d ian3 . q iou2 zh eng0 ： p ing0 m ian4 A 1 B E p ing0 m ian0 A C 1 D .
【 t i0 sh i0 】 『 z ai0 er0 c i0 g en0 sh i0 zh ong0 ， b ei0 k ai0 f ang0 sh u0 x 2 sh i0 『 f ei0 f u0 』 sh u0 . 』
c an1 sh u0 f ang0 ch eng0 h ua4 ch eng2 p u3 t ong0 f ang0 ch eng0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng3 sh u4 d e0 s i0 z e0 h uen0 h e0 ün0 s uan0 』
ch u0 d i0 u0 j ü0 j ia0 d uei0 h uo0 sh eng0 d e0 g ai0 l ü0 sh i0 uai0 ， q i0 ü0 m ei0 j ü0 b i0 s ai0 j ia0 d uei0 h uo0 sh eng0 d e0 g ai0 l ü0 d ou0 sh i0 . j ia0 sh e0 g e0 j ü2 b i0 s ai0 j ie0 g uo0 x iang0 h u0 d u0 l i0 .
2 B ， j i0 x 2 sh i0 f ang1 ch eng0 x 2 2 ( a 1 ) x a 2 5 0 d e0 j ie0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 f u4 sh u4 d e0 r en0 sh i0 』
j ie0 ： （ 1 ） q ü0 x ian0 C d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 1 .
x iang0 l iang0 ， d e0 j ia0 j iao0 uei0 6 0 .
j ie0 ： d uei0 ü0 ， l ian0 j ie2 G M ， x ian0 r an0 s i0 b ian0 x ing0 G M N H sh i0 p ing0 x ing0 s i0 b ian1 x ing0 ，
z e0 iou0 ü0 x 0 sh i0 ， ( x a ) 2 0 .
iou0 a uei0 ch ang0 sh u0 ， d eng0 sh i0 l iang0 d uan0 uei0 2 ， g u0 a 1 .
c ao0 p i0 m ian0 j i0 ： 6 0 6 0 3 0 0 3 3 0 0 （ p ing0 f ang0 m i0 ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ang2 d u4 d e0 c e0 l iang0 』
j ie0 ： （ 1 ） iao0 sh i0 h an0 sh u0 iou0 i0 i0 ， x ü0 | x | 2 0 ，
j ie3 ： p uei0 zh en0 sh i2 ， 2 a 1 0 ， j i2 a ，
【 t i0 sh i0 】 『 d ian0 M 、 N z ai4 p ing0 m ian0 n ei0 ， z e0 zh i0 x ian0 l z ai0 p ing0 m ian0 『 n ei0 』 . 』
x ia0 m ian0 s i0 g e0 t iao0 j ian0 zh ong0 ， sh i0 a b ch eng0 l i0 d e0 ch ong0 f en0 b u0 b i0 iao0 t iao0 j ian0 sh i0 （ ）
（ 3 ） l u0 g uan0 z ai0 b ao4 g uan0 d e0 b ei0 m ian0 ， b ao0 g uan0 z ai0 l u0 g uan0 d e0 n an0 m ian0 ； h ou0 sh an1 z ai0 x ing0 x ing0 g uan3 d e0 d ong0 b ei0 f ang1 x iang0 ， x ing1 x ing0 g uan3 z ai0 h ou0 sh an1 d e0 x i1 n an0 f ang1 x iang0 。
z ai0 A B C zh ong0 ， j iao3 A ， B ， C s uo3 d uei0 d e0 b ian0 f en0 b ie0 uei0 a ， b ， c ， r uo0 A B C uei0 r uei0 j iao3 s an0 j iao3 x ing0 ， q ie0 m an3 z u0 b 2 a 2 a c ， z e0 d e0 q ü0 zh i2 f an4 uei0 sh i4 .
j ie0 ： （ 1 ） x ia0 u0 5 sh i0 sh i0 2 4 j i0 sh i0 f a0 d e0 1 7 sh i0 。
（ 1 ） d ang0 2 r 4 ， l 2 sh i0 ， r ， h l 2 ， r u0 t u0 s uo0 sh i0 ：
z ai4 t ong0 i0 p ing0 m ian4 n ei4 ， h u0 x iang0 ch uei0 zh i0 d e0 l iang0 t iao0 zh i2 x ian0 i0 d ing0 x iang1 j iao0 ， zh eng4 q üe0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iang0 l iang4 j ia0 、 j ian0 f a0 f a0 z e0 j i0 j i0 h e0 i0 i0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 m ing4 t i2 h e0 m ing0 t i0 d e0 zh en1 zh i0 』
g u0 k e0 i0 f en0 x i0 d ao0 y f ( x ) d e0 t u0 x iang0 g uo0 d ian0 （ 0 ， 1 ） h e0 d ian0 （ 3 ， 1 ） .
n a4 m e0 j iang0 h ua0 j ian3 d e2 y t a n x ， z e0 l d e0 x ie0 l ü0 uei0 t a n ，
A O B sh i0 d eng0 b ian0 s an0 j iao0 x ing0 ，
iou0 s an0 sh i0 t u0 k e0 zh i0 ， g ai0 j i0 h e0 t i0 sh i0 s i0 l eng0 zh uei0 .
2 g e0 uei0 4 4 8 （ g e4 ）
z uo0 n c i0 s uei0 j i0 sh i0 ian0 ， sh i0 j ian0 A f a0 sh eng0 m c i0 ， z e0 sh i0 j ian0 A f a0 sh eng0 d e0 p in0 l ü4 j iou0 sh i0 sh i0 j ian0 A d e0 g ai0 l ü0 ；
“ r uo0 x 2 1 0 ， z e0 x 1 ” uei0 j ia3 m ing0 t i0 ，
in1 uei0 zh e0 l iang0 d ian3 j ian1 d e0 j ü0 l i0 uei0 2 ， j i0 2 ，
h an2 sh u0 f ( x ) d an0 d iao4 d i4 z eng1 q ü0 j ian0 uei0 [ 2 ， 2 ] .
j iang0 q ü0 x ian0 C h e0 zh i0 x ian0 l d e0 f ang0 ch eng0 l ian0 l i0 ， x iao0 q ü0 x k e0 d e0 ( 3 4 y ) 2 9 y 2 9 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i1 uei4 sh u0 ch eng0 l iang0 、 s an0 uei0 sh u0 』
（ 3 ） h an0 sh u0 f ( x ) d e0 d ing0 i0 ü0 uei0 { 1 ， 1 } g uan0 ü0 üan0 d ian0 d uei0 ch en0 ， q ie0 f ( x ) 0 ，
j in4 s i0 sh u0 3 . 5 0 s uo3 b iao3 sh i4 d e0 zh uen0 q üe0 sh u0 a d e0 f an0 uei2 sh i4 （ ）
【 t i0 sh i0 】 『 A B S d e0 uai0 j iao0 S A B 『 』 A S B . 』
m ing0 t i0 “ r uo0 sh i0 sh u0 a ， b m an0 z u0 a 4 h uo0 b 3 ， z e0 a b 7 ” d e0 f ou0 m ing0 t i0 sh i4 .
i3 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) r uo4 f ang1 ch eng0 f ( x ) a iou0 s i0 g e0 b u0 t ong0 d e0 j ie0 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， q ie0 x 1 x 2 x 3 x 4 ， z e0 x 3 ( x 1 x 2 ) d e0 q ü0 zh i0 f an4 uei0 sh i0 （ ）
5 ） r uo0 k 1 6 t 4 ， z e0 k 6 t 3 ， c i0 sh i2 iou0 f ( k 1 ) f ( k ) 2 k 2 2 ( k 1 ) 2 ， j ie0 l uen0 ch eng0 l i0 ；
i0 zh i0 q ü0 x ian0 C d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 sh i0 （ uei0 c an0 sh u0 ， 0 2 ） ， sh i0 p an0 d uan0 d ian0 A （ 1 ， 3 ） ， B （ 0 ， ） sh i0 f ou0 z ai0 q ü0 x ian0 C sh ang0 .
s uo0 i0 D E A 1 B 1 ， z e0 D E A B .
s uo0 i0 j ü0 zh en0 A d e0 n i0 j ü0 zh en0 A 1 .
h e2 sh i0 l iang0 g e0 b u4 ch ong2 h e2 d e0 p ing0 m ian0 ， z ai0 x ia0 l ie0 t iao2 j ian0 zh ong0 ， k e3 p an0 d ing4 d e0 sh i0 ( t ian2 x ü0 h ao0 )
i0 zh i0 h an0 sh u0 f 0 ( x ) （ x 0 ） ， sh e0 f n ( x ) uei0 f n 1 ( x ) d e0 d ao0 sh u0 ， n N * .
c ong2 1 、 3 、 5 、 7 、 … 、 3 7 、 3 9 zh e0 2 0 g e4 j i1 sh u4 zh ong0 zh i0 sh ao0 iao0 q ü0 d uo0 sh ao0 g e4 sh u0 ， c ai0 n eng2 b ao0 zh eng4 iou3 i0 d uei0 sh u4 x iang0 j ia0 d e0 h e2 sh i4 4 0 ？
er0 iou0 b ian0 ( 1 x ) n ( 1 x ) n ( C C x C x n ) ( C C x C x n ) ，
s i0 r en0 zh ao0 x iang0 。
r u0 t u0 ， zh i0 x ian0 a ， b b ei0 zh i0 x ian0 c s uo0 j ie0 ， 1 ü0 2 d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i0 sh i0 （ ）
t ong0 x in0 t a0 C D d e0 g ao0 uei4 6 0 m .
j ie0 ： z ai0 p ing0 x ing0 s i0 b ian1 x ing0 A B C D zh ong0 ， ，
【 t i0 sh i0 】 『 d ian0 B d e0 j i0 z uo0 b iao0 uei0 （ ， ） ， zh uan0 h ua0 uei0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 （ x ， y ） k e0 d e0 x 『 』 c o s ， y s i n . 』
j ie3 ： d ian0 A z ai4 zh i2 x ian4 l sh ang0 ， zh i0 x ian0 l z ai0 p ing2 m ian0 uai0 k e0 j i4 uei0 A l ， l .
F uei0 S B d e0 zh ong0 d ian0 .
（ 5 ） j iang0 i0 k uai0 üan2 zh u4 x ing2 t ie0 k uai0 zh u0 z ao0 ch eng2 i0 g e0 üan2 zh uei1 ， t a1 d e0 t i0 j i1 h e2 zh i0 l iang0 d ou1 b u0 b ian0 。 （ ）
l ing0 y 0 ， k e0 d e0 t 1 ，
üan0 x in0 d ao0 zh i0 x ian0 d e0 j ü0 l i0 d 2 .
z ong1 sh ang0 ， l ： x 2 h uo0 4 x 3 y 2 6 0 .
i0 zh i0 f ( x ) l g ， q i0 zh ong0 a R ， r uo0 x （ ， 1 ] sh i0 ， f ( x ) iou0 i0 i0 ， z e0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j i2 z uo4 b iao0 x i0 』
【 t i0 sh i0 】 『 l iang3 g e4 p ing2 m ian0 p ing0 x ing0 ， z ai0 i0 g e0 p ing2 m ian0 n ei0 d e0 r en4 i0 i1 t iao2 zh i0 x ian0 『 p ing0 x ing0 』 ü2 l ing4 uai4 i2 g e0 p ing2 m ian0 . 』
D . ( 3 2 ) 2 3 6 ， 3 2 2 1 2 ， ( 3 2 ) 2 3 2 2 ， g u0 c uo0 u0 .
j ie0 ： iou0 t i0 i0 zh i0 b en0 t i0 sh i0 i0 g e0 g u0 d ian0 g ai0 x ing0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en0 p ei0 l ü0 』
iou2 x 0 ， k e0 d e0 x 1 ， z e2 y 1 .
2 ü0 6 d e0 p ing2 j ün1 zh i2 sh i0 4 ， g u0 c i0 m ing4 t i0 sh i0 j ia3 m ing4 t i0 ， b u2 sh i0 d ing4 l i3 ；
zh i2 x ian0 P O d e0 q ing1 x ie2 j iao3 uei0 ，
j i2 h e0 A B sh i0 A d e0 z i0 j i0 ， q ie0 sh i0 A B d e0 z i0 j i2 .
A . iou0 l iang0 b ian0 h e2 q i2 zh ong1 i0 b ian0 d e0 d uei0 j iao0 d uei0 ing0 x iang1 d eng0 d e0 l iang0 g e4 s an0 j iao3 x ing2 q üan0 d eng0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing0 m ian4 ü0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 d e0 p an0 d ing0 』
【 t i0 sh i0 】 『 m ei3 j ian4 sh ang4 i0 d ou0 k e0 i0 ü0 『 3 』 g e0 sh ou3 t i0 b ao0 j in0 x ing2 d a0 p ei4 。 』
g uan0 ü0 j i0 z uo0 b iao1 x i0 d e0 x ia0 l ie0 x ü0 sh u0 ：
üan2 d e0 j ian0 k ai0 x ian4 （ uei4 c an0 sh u0 ） sh ang0 ü3 d uei0 ing0 d ian3 d e0 zh i0 j iao3 z uo4 b iao0 uei4 （ ）
j ie0 ： g en0 j ü0 t i2 i0 ， b a0 9 8 k an0 ch eng0 ch u0 q in0 d e0 r en0 sh u0 sh i0 9 8 f en4 ， z ong3 r en0 sh u0 sh i0 1 0 0 f en0 。
d ang1 x [ 2 ， ） sh i0 ， t u2 x iang4 sh i4 f an0 b i0 l i0 h an0 sh u4 y d e0 i1 b u4 f en0 ， g uan1 ch a0 t u2 x iang4 k e0 zh i0 q i2 zh i0 ü0 uei0 （ 0 ， 1 ] .
j iang0 üan0 m ing0 t i0 d e0 j ie0 l uen0 h e0 t iao0 j ian0 d e0 f ou0 d ing0 f en0 b ie0 z uo0 uei0 m ing0 t i0 d e0 t iao0 j ian0 h e0 j ie0 l uen4 ， j i0 uei0 q i0 n i0 f ou0 m ing0 t i0 ，
iou0 zh i0 x ian0 l ü0 üan0 O x iang0 q ie0 ， s uo0 i0 b ， in0 c i0 c b ， j i0 c 2 2 ( a 2 c 2 ) .
sh i4 i0 g e0 ü0 x zh ou2 d e0 zh eng0 b an0 zh ou0 、 y zh ou2 d e0 zh eng0 b an4 zh ou2 f en0 b ie2 x iang1 q ie0 ü2 d ian3 C 、 D d e0 d ing4 üan0 s uo0 uei0 ch eng2 d e0 q ü1 ü4 （ h an2 b ian0 j ie4 ） ，
üan0 x in0 z uo0 b iao0 uei0 （ 1 ， 3 ） ， b an0 j ing0 r 2 .
g u4 A C p ing0 m ian0 B 1 B D D 1 ，
【 t i0 sh i0 】 『 s an0 j iao0 x ing0 u0 x in0 sh i0 zh i0 s an0 j iao0 x ing0 d e0 zh ong0 x in0 、 uai0 x in0 、 n ei0 x in0 、 『 ch uei0 』 x in0 、 p ang0 x in0 . 』
b a0 i0 m ei0 zh i0 d i0 j ün0 ün0 d e0 ing0 b i0 l ian0 x ü0 zh i0 1 0 0 0 c i0 ， q i0 zh ong0 iou0 4 9 8 c i0 zh eng0 m ian0 ch ao0 sh ang0 ， 5 0 2 c i0 f an0 m ian0 ch ao0 sh ang0 ， q iou0 zh i0 i0 c i0 ing0 b i0 zh eng0 m ian0 ch ao0 sh ang0 d e0 g ai0 l ü0 .
x ia4 d i0 m ian0 j i0 S 2 6 4 2 2 4 ，
M ， N ， G f en0 b ie0 uei0 A B C ， A B D ， B C D d e0 zh ong0 x in0 ， z e0 iou0 2 ，
zh ong1 ， f ang0 ch eng0 x 2 2 x 4 0 ， 4 4 1 ( 4 ) 2 0 0 ， z e2 uei4 zh en0 m ing0 t i0 ；
g ei0 ch u0 x ia0 l ie0 m ing0 t i0 ：
j ie3 ： （ 1 ） zh eng0 m ing0 ： sh e4 A （ x 1 ， y 1 ） ， B （ x 2 ， y 2 ） ， iou0 p ao0 u0 x ian0 d e0 d ing0 i0 zh i1 ，
【 t i0 sh i0 】 『 x ian1 g en1 j ü4 “ t i0 x ing0 d e0 m ian0 j i0 ( sh ang4 d i0 x ia0 d i0 ) g ao0 『 2 』 ” q iou2 ch u0 h eng0 j ie2 m ian0 d e0 m ian0 j i1 ， r an2 h ou4 iong0 h eng2 j ie0 m ian0 d e0 m ian4 j i1 ch eng0 zh ang3 j i0 k e0 。 』
j ie3 ： t u0 j ia0 sh i4 iou2 l iang3 g e0 ch ang0 f ang0 t i0 z u3 h e0 er0 ch eng2 d e0 ， zh u3 sh i4 t u0 zh eng4 q üe4 ， f u0 sh i4 t u0 c uo0 u0 ；
g ei0 ch u0 m ing0 t i0 p ： h an0 sh u0 y x 2 x 1 iou0 l iang0 g e0 b u0 t ong0 d e0 l ing0 d ian0 ； q ： r uo0 1 ， z e0 x 1 . n a0 m e0 z ai0 x ia4 l ie0 s i0 g e0 m ing0 t i0 zh ong0 ， zh en0 m ing4 t i0 sh i0 （ ）
q i0 zh ong0 zh eng0 q üe0 d e0 m ing0 t i0 iou0 g e0 .
【 t i0 sh i0 】 『 b a3 l iang3 c i4 ch eng0 d e0 d e0 j i0 x iang0 『 j ia0 』 ， j ie0 g uo0 z uo0 uei2 6 8 1 4 d e0 ch eng2 j i0 。 』
m ing0 t i0 p ： “ c uen0 z ai4 sh i0 sh u4 m ， sh i0 f ang0 ch eng0 x 2 m x 1 0 iou0 sh i0 sh u0 g en0 ” ， z e0 “ p ” x ing0 sh i4 d e0 m ing0 t i0 sh i4 （ ）
d ang1 1 2 sh i0 ， d e2 ；
üan0 f ang0 ch eng0 iou0 4 g e0 j ie0 d eng0 j ia0 ü0 f ang0 ch eng0 g ( t ) a 0 z ai0 （ ， 1 ） iou0 l iang0 g e0 sh i0 sh u0 g en0 ，
x ia0 l ie0 m ing0 t i0 zh ong1 k e0 i3 z uo0 uei0 d ing0 l i0 d e0 iou0 n a0 j i0 g e0 ？
l iang0 sh i0 x iang0 j ian0 d e0 n 2 r 3 ，
i0 zh i0 i0 g e0 üan0 t ai0 d e0 sh ang0 、 x ia0 d i0 m ian0 b an0 j ing0 f en0 b ie0 sh i0 1 0 c m h e0 2 0 c m ， r u0 g uo0 t a0 d e0 c e4 m ian0 zh an0 k ai0 t u0 d e0 sh an0 h uan0 d e0 üan2 x in0 j iao0 sh i0 1 8 0 ， n a0 m e0 üan0 t ai0 d e0 b iao0 m ian0 j i0 h e0 t i0 j i0 f en0 b ie0 sh i0 d uo0 sh ao3 ？ （ j ie0 g uo0 b ao0 l iou0 ）
k e0 d e0 O A E m ian0 j i0 uei0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 k e3 i3 p an4 d uan0 zh en0 j ia0 d e0 『 ch en0 sh u0 』 j ü4 sh i0 m ing4 t i2 . 』
iao4 t u0 iou0 q i0 d e0 m ian4 j i1 5 0 . 2 4 8 4 . 7 8 1 3 5 . 0 2 （ p ing0 f ang0 f en0 m i0 ）
q ü1 x ian0 C 2 ： a ， j i0 x 2 y 2 a 2 .
（ 2 ） q iou0 A B d e0 zh ong0 d ian0 M d e0 g uei0 j i0 f ang0 ch eng0 .
s uo3 i0 zh e0 i0 t ian1 d e0 uen1 ch a0 sh i0 1 5 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 f en1 sh u4 ch u0 f a0 』
j ie3 ： iou0 zh eng0 x ian2 d ing4 l i3 2 R ， d e0 b 2 R s i n B ， a 2 R s i n A .
j ie3 ： （ 1 ） z ai0 p ing0 m ian4 zh i2 j iao3 z uo0 b iao0 x i0 x O y zh ong0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 d a1 p ei4 zh ong0 d e0 x üe0 uen0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia0 f a0 h e0 j ian3 f a0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 m ian0 zh i0 x ian0 d e0 p an0 d ing0 』
（ 3 ） d i0 er0 、 s i4 x iang4 x ian4 j iao0 p ing0 f en0 x ian0 sh ang0 d e0 d ian0 ü3 f ang0 ch eng0 x y 0 zh i1 j ian0 d e0 g uan1 x i0 .
r uo0 h an0 sh u0 f ( x ) d e0 d ing0 i4 ü0 uei0 R ， z e0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 （ ）
l iang3 sh i0 p ing0 f ang0 z uo4 ch a4 d e2 ： y 2 x 2 4 .
【 t i0 sh i0 】 『 j iang0 d ai0 r u4 y 3 s i n ( 2 x ) d e0 『 』 y 3 s i n ( 2 x ) . 』
s uo3 i0 q ü0 x ian0 C 1 sh i4 i1 t iao0 zh i0 x ian0 ， q ü0 x ian0 C 2 sh i4 üan0 ， q i0 üan2 x in0 uei4 （ 1 ， 1 ） ， b an0 j ing0 r .
（ 1 ） p an0 d uan0 d ian0 P （ 1 ， 2 ） ， Q （ ， 3 ） sh i0 f ou3 z ai0 c i0 f ang0 ch eng0 b iao0 sh i0 d e0 q ü0 x ian0 sh ang0 ；
d a2 ： d i0 er0 x iang4 ing1 g ai1 g ai0 uei0 3 0 b i0 l i4 sh i0 r eng0 r an2 ch eng2 l i0 。
（ 1 ） x ie0 ch u0 zh i0 x ian4 l d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 ， b ing0 j iang0 q ü1 x ian4 C d e0 f ang1 ch eng0 h ua4 uei4 zh i0 j iao0 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 ；
B . s uo0 iou0 n eng0 b ei0 2 zh eng0 ch u0 d e0 sh u0 d ou0 b u0 sh i0 ou0 sh u0
【 t i0 sh i0 】 『 3 5 ( 2 4 0 2 2 8 ) zh ong0 ch u0 x ian0 l e0 k uo0 h ao0 ， iou0 x ian0 j i0 s uan0 k uo0 h ao0 l i0 d e0 『 j ian0 』 f a0 。 』
d a0 an0 ： 1 h uo0 4 h uo0 5 h uo0 8 .
g u4 zh e0 s an0 z u0 n ei4 d e0 n an2 sh eng0 zh ong0 ch ou0 q ü0 d e0 r en0 sh u0 f en1 b ie2 uei0 6 3 ， 6 2 ， 6 1 ，
（ 2 ） d ang0 n 1 sh i0 ， iou2 （ 1 ） d e0 S 2 a 1 a 2 t a n ，
d a2 an0 ： ch ong0 f en4 f ei1 b i4 iao0 .
j ie3 zh i0 d e0 2 x 3 ，
j ü0 zh en0 M d e0 l ing0 i0 g e0 t e0 zh eng0 zh i0 uei0 2 .
t a1 m en0 sh i0 ： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 。
D . i0 sh ang0 sh uo0 f a0 d ou0 b u0 zh eng0 q üe0
s uo3 i0 2 d e0 x iang1 f an3 sh u4 sh i0 2 .
z ai4 j i0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong1 ， g uo0 d ian0 A （ 6 ， ） z uo0 üan2 4 c o s d e0 q ie4 x ian4 ， z e2 q ie4 x ian0 zh ang3 uei4 （ ）
sh u4 zh ou0 sh ang0 iou0 A 、 B l iang3 d ian3 ， iong0 f en0 sh u0 b iao0 sh i0 ： A （ ） 、 B （ ） 。
i0 zh i0 a ， b uei0 sh i0 sh u0 ， q ie0 a b 0 ， z e0 x ia0 l ie0 m ing0 t i0 sh i0 zh en0 m ing0 t i0 d e0 sh i0 （ t ian0 x ü0 h ao0 ） .
C . l iang0 t iao0 x iang0 j iao1 zh i0 x ian4 d e0 zh i0 g uan0 t u0 k e0 n eng0 sh i0 p ing0 x ing0 zh i0 x ian0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 c an1 sh u4 f ang0 ch eng0 h ua0 ch eng0 p u3 t ong0 f ang0 ch eng2 』
j ia3 sh e0 d ang0 n k sh i2 m ing4 t i2 ch eng0 l i0 ， j i0 f ( k ) 3 k 7 k 2 sh i0 8 d e0 b ei0 sh u0 ， n a4 m e0 d ang1 n k 1 sh i0 ， f ( k 1 ) 3 k 1 7 k 1 2 3 ( 3 k 7 k 2 ) 4 ( 7 k 1 ) ，
i0 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) | x 1 | | 2 x 3 | .
6 0 1 0 6 0 0 （ p ing0 f ang0 m i0 ）
iou0 t uo0 üan0 d e0 d uei0 ch en0 x ing0 ， zh i0 n ei0 j ie0 j ü0 x ing0 d e0 m ian0 j i0 S 4 x y 4 5 c o s t 4 s i n t 4 0 s i n 2 t .
r u0 g uo0 g ai0 iong0 b ian0 zh ang0 uei0 5 0 c m d e0 f ang0 zh uan0 ， x ü0 iao0 d uo0 sh ao0 k uai0 ?
s uo3 i0 h ua0 uei0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 2 x 0 ， j i0 ( x 1 ) 2 y 2 1 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 f en0 sh u0 ch eng0 f a0 』
（ 1 ） p an0 d uan0 f 1 ( x ) | x 1 | | x 2 | ， f 2 ( x ) x | x 2 | sh i4 f ou3 sh i4 “ p ing0 d i0 x ing0 ” h an0 sh u0 ？ j ian0 iao0 sh uo0 m ing2 l i0 iou2 ；
【 t i0 sh i0 】 『 p ing2 x ing0 l iou4 m ian0 t i0 x iang0 d uei0 d e0 m ian0 h u0 x iang0 『 p ing0 x ing0 』 . 』
z ai4 [ 1 ， ] sh ang0 d i0 z eng1 ， j i2 c i0 sh i0 f ( x ) d e0 zh i2 ü0 uei0 [ ， ] ，
j ie0 ： r u0 t u0 ， z uo0 j ü0 x ing0 ， sh e0 sh i0 j ian0 A uei0 “ s uei0 j i0 x iang0 j ü0 x ing0 n ei0 t ou0 d ian0 ， s uo3 t ou0 d e0 d ian0 l uo0 z ai0 in0 ing0 b u0 f en4 ” .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 h an0 sh u0 y A s i n （ x ） d e0 t u0 x iang0 b ian0 h uan0 』
j ie0 ： q ü0 x ian0 d e0 f ang0 ch eng0 k e0 h ua0 uei0 ( x 2 ) 2 y 2 1 ，
j ie0 d e0 1 h uo0 1 （ b u0 h e0 t i0 i0 ， sh e0 q ü0 ） ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 er4 c i4 h an0 sh u0 ü0 i0 üan0 er0 c i0 f ang1 ch eng0 d e0 g uan0 x i4 』
iou2 ü0 x ian0 d ing0 l i3 d e2 c o s B .
（ 2 ） sh e0 “ z ai0 i1 c i4 iou2 x i0 zh ong0 h uo0 j iang0 ” uei0 sh i0 j ian4 B ， z e0 B A 2 A 3 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao3 sh u4 ch eng0 f a0 』
q ü1 x ian0 E d e0 f ang1 ch eng2 uei4 y 2 4 x .
j ie0 ： sh e0 k e0 i0 m ai0 x q ian0 k e0 。
d ian3 P （ 2 ， ） d ao0 üan0 2 c o s d e0 üan2 x in0 d e0 j ü0 l i0 d .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i0 f a0 』
（ 2 ） sh e0 b iao0 sh i0 b i3 s ai4 j ie2 sh u0 h ou0 j ia0 、 i0 l iang0 r en0 j in4 q iou0 sh u0 d e0 ch a4 d e0 j üe2 d uei4 zh i0 ， q iou2 d e0 g ai0 l ü0 f en1 b u4 h e2 sh u4 x üe0 q i1 uang0 E ( ) .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 s an0 j iao0 x ing0 d e0 f en0 l ei0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing2 m ian4 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 zh ou2 zh ong0 d e0 sh en1 s uo1 b ian0 h uan4 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 g uei3 j i4 f ang0 ch eng0 』
【 t i0 sh i0 】 『 t a n P D A P D A d e0 d uei4 b ian1 : 『 l in0 』 b ian0 . 』
（ 2 ） b u0 d eng0 sh i0 h eng2 ch eng2 l i4 ，
iou0 zh eng0 x ian0 d ing0 l i0 d e0 ，
（ 1 ） 3 . 1 2 ， 9 . 7 4 d e0 p ing0 f ang0 g en1 sh i4 3 . 1 2 ；
sh e4 A B O d e0 n ei0 q ie1 üan2 b an4 j ing0 uei0 r ， z e0 ( O B O A A B ) r A B d .
j ie3 ： i0 j ü0 t i2 i4 ， h ua0 ch u0 t u0 x ing0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i2 x ian4 h e0 üan0 d e0 f ang0 ch eng2 d e0 ing0 iong4 』
j ie3 ： z ai0 sh u0 zh ou2 sh ang4 b iao3 sh i0 5 d e0 d ian0 z ai0 5 ü0 6 zh i0 j ian0 .
r uo4 i0 x i0 l ie0 h an2 sh u4 d e0 j ie0 x i0 sh i0 x iang0 t ong2 ， zh i0 ü4 x iang1 t ong0 ， d an4 d ing0 i4 ü4 b u0 t ong0 ， z e0 ch eng0 zh e0 x ie1 h an2 sh u4 uei4 “ l uan2 sh eng0 h an2 sh u4 ” ， n a4 m e0 h an2 sh u0 j ie0 x i0 sh i0 uei0 y 2 x 2 1 ， zh i0 ü4 uei0 { 5 ， 1 9 } d e0 “ l uan2 sh eng1 h an2 sh u0 ” g ong0 iou0 （ ）
（ 1 ） q iou0 sh i0 sh u0 d e0 zh i0 ；
z ai4 j i0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong1 ， q iou0 j ing0 g uo0 s an0 d ian3 O （ 0 ， 0 ） ， A （ 2 ， ） ， B （ 2 ， ） d e0 üan2 d e0 j i0 z uo4 b iao1 f ang0 ch eng2 .
x iao0 d ong0 z ai0 x üe0 x i2 g ou0 g u3 d ing0 l i0 zh i0 sh i0 sh i0 ， k an0 d ao0 uo0 g uo0 g u0 d ai4 sh u0 x üe2 j ia0 iou0 “ g ou1 s an0 g u0 s i0 x ian2 u0 ” d e0 sh uo0 f a3 ， t a0 b ian4 r en0 uei2 zh i0 j iao3 s an0 j iao0 x ing0 d e0 s an0 b ian0 zh ang0 sh i0 s an0 g e0 l ian0 x ü0 d e0 zh eng0 zh eng0 sh u0 ， n i0 r en0 uei2 x iao0 d ong0 d e0 x iang3 f a3 d uei0 m a0 ， uei0 sh en0 m e0 ？
z ai0 A B C zh ong0 ， j iao3 A ， B ， C s uo3 d uei0 d e0 b ian0 f en0 b ie0 sh i0 a ， b ， c ， i0 zh i0 s i n ( B A ) s i n ( B A ) 3 s i n 2 A ， q ie0 c ， C ， z e0 A B C d e0 m ian0 j i0 uei4 .
z ai4 p ing0 m ian0 zh i0 j iao3 z uo4 b iao1 x i0 zh ong0 ， i0 zh i1 d ian0 A （ 3 ， 0 ） ， P sh i4 üan2 x 2 y 2 1 sh ang4 i2 g e0 d ong4 d ian3 ， q ie0 A O P d e0 p ing0 f en0 x ian4 j iao1 P A ü2 Q d ian3 ， q iou2 Q d ian3 d e0 g uei3 j i4 d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 .
| a | | b | ， g u0 c uo0 u0 ；
d a0 an0 ： s i0 l eng0 zh u0 .
j ie3 ： t iao0 j ian0 h e2 j ie2 l uen4 d ou0 f ou0 d ing0 q ie0 h u4 h uan0 uei0 ： r uo4 x 2 h uo4 x 2 ， z e0 x 2 4 .
【 t i0 sh i0 】 『 zh i0 x ian0 C D h e0 zh i0 x ian0 E F d ou0 f en0 b ie0 ü0 zh i0 x ian0 『 A B 』 p ing0 x ing0 . 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ian0 d an0 x ian0 x ing0 g uei0 h ua0 d e0 ing0 iong0 』
ch ang0 f ang0 x ing0
j ie3 ： g en0 j ü0 zh eng4 f ang1 x ing2 d e0 m ian0 j i0 g ong0 sh i0 k e0 zh i0 ， t u0 zh ong0 m ian0 j i1 uei0 6 4 h e2 4 0 0 d e0 zh eng4 f ang0 x ing0 d e0 b ian1 zh ang3 f en1 b ie2 sh i0 8 h e0 2 0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh u0 t i0 、 zh uei0 t i0 、 t ai0 t i0 d e0 t i0 j i0 』
b i0 iou0 ， s uo0 i0 ch eng0 l i0 .
sh uei0 d e0 x ing0 zh uang0 k e0 i0 sh i4 l eng0 zh uei0 ， l eng0 zh u0 ， d an0 b u0 k e0 n eng0 sh i0 l eng2 t ai0 .
d ang0 d ian0 D z ai0 d ian0 C d e0 z uo0 c e0 sh i0 ，
sh e0 1 5 0 ， z e0 1 h e0 2 ， 1 h e0 3 l iang0 d uei0 j iao0 f u0 h e0 t iao0 j ian0
h ua0 zh i0 x ian0 l d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） uei0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 ， b ing0 q iou0 q ing0 x ie0 j iao3 ， sh uo0 m ing0 t d e0 j i0 h e0 i0 i4 .
j ie0 d e0 a 1 ， a 3 ， a 1 ， a 1 . z ong0 sh ang0 ， a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 a 3 h uo0 3 a 1 h uo0 1 a 1 h uo0 1 a 1 h uo0 a 1 .
j ie0 ： （ 1 ） sh e0 er0 j ie0 j ü0 zh en0 M [ ] ，
s uo0 i0 y m a x （ q ian0 l iang0 sh i0 ） ，
q ü1 x ian0 C d e0 f ang1 ch eng2 uei4 1 .
zh i0 x ian0 P A ü0 p ing0 m ian0 P B C s uo0 ch eng0 j iao0 d e0 zh eng0 x ian0 zh i0 uei0 .
（ 2 ） üan0 zh u0 d e0 d i3 m ian4 sh i4 üan0 ， c e0 m ian0 sh i0 i0 g e0 q ü3 m ian0 。 （ ）
g u0 s uo0 q iou0 zh i0 x ian0 f ang0 ch eng0 uei0 y ( x 4 ) j i0 x 2 y 4 0 .
r u0 t u0 ， s i0 b ian0 x ing0 A B C D sh i0 j ü0 x ing0 ， P p ing0 m ian0 A B C D ， g uo0 B C z uo0 p ing0 m ian0 B C F E j iao0 A P ü0 d ian0 E ， j iao0 D P ü0 d ian0 F ， z e0 s i0 b ian0 x ing2 B C F E d e0 x ing0 zh uang0 i0 d ing0 sh i0 .
d eng3 iao0 s an0 j iao0 x ing2 A B C d i3 b ian0 l iang0 d uan0 d ian0 sh i0 A （ ， 0 ） ， B （ ， 0 ） ， d ing0 d ian3 C d e0 g uei0 j i4 sh i0 （ ）
h ua0 ch u0 f ( x ) s i n 2 x d e0 t u0 x iang0 ， x iang0 iou0 p ing0 i0 g e0 d an0 uei0 h ou0 g ( x ) s i n ( 2 x 2 ) ， f ( x ) 、 g ( x ) d e0 z uei0 x iao0 zh eng0 zh ou0 q i0 T ， h ua0 ch u0 t u0 x ing0 r u0 x ia0 ：
（ 2 ） r uo0 x [ 0 ， ] sh i0 ， f ( x ) d e0 z uei4 d a0 zh i0 uei0 4 ， q iou2 a d e0 zh i2 ；
h an2 sh u0 f ( x ) 6 c o s 2 c o s x 3 （ 0 ） z ai0 i2 g e4 zh ou1 q i0 n ei0 d e0 t u0 x iang0 r u0 t u0 s uo3 sh i0 ， A uei0 t u2 x iang0 d e0 z uei4 g ao0 d ian0 ， B 、 C uei0 t u0 x iang0 ü3 x zh ou2 d e0 j iao0 d ian3 ， q ie0 A B C uei4 zh eng4 s an0 j iao3 x ing0 .
s ai0 d ao0 d e0 zh ong0 j ian1 b u0 f en4 uei0 zh i0 x ian0 p ao0 d ao0 C D ，
d ang1 x 2 sh i0 ， y s uei2 x d e0 z eng0 d a0 er0 j ian0 x iao0 ； d ang0 x 2 sh i0 ， y s uei0 x d e0 z eng1 d a4 er0 z eng0 d a4 ，
l ü0 p ing0 m ian0 n ei4 d e0 l iang3 t iao0 zh i0 x ian0 ch uei0 zh i2 ；
d ang1 0 x 1 sh i0 ， [ x ] 0 ， x 1 ， c i3 sh i2 y [ x ] x 0 1 1 ；
9 9 8 1 （ p ing0 f ang0 f en0 m i3 ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 b i0 l i0 』
【 t i0 sh i0 】 『 z ai4 A M D zh ong1 ， 『 A D 』 sh i0 x ie0 b ian0 . 』
【 t i0 sh i0 】 『 l ian2 j ie1 A A ， z uo0 B B A A q ie0 sh i0 B B 『 』 A A ， z uo0 C C A A q ie3 sh i3 C C 『 』 A A ， l ian2 j ie1 A C ， B C ， A B j i2 k e3 . 』
zh i2 x ian0 l ： 3 x 4 y 1 2 0 ü0 üan2 C ： （ uei4 c an0 sh u0 ） d e0 g ong0 g ong0 d ian0 g e4 sh u0 uei0 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 q iao3 s uan4 zh ou0 ch ang0 ( ao0 sh u4 ) 』
iou2 sh ang0 m ian0 d e0 f en1 x i1 k e3 zh i0 ： h e0 zh eng0 q üe0 .
j ie3 ： iou0 i0 üan2 er4 c i4 f ang0 ch eng0 g en0 ü0 x i0 sh u0 d e0 g uan1 x i0 k e0 d e0 l g a l g b 2 ， l g a l g b ，
j i2 z uo0 b iao0 x i0
j ie0 ： （ 1 ） sh e0 P （ x ， y ） uei0 zh i0 x ian0 x y 4 0 sh ang0 r en0 i0 i0 d ian0 ，
i0 zh i0 zh i0 x ian0 l j ing0 g uo0 d ian0 P （ 3 ， 4 ） ， q ie0 t a0 d e0 q ing0 x ie0 j iao0 1 2 0 .
üan2 x in0 d ao0 zh i0 x ian4 d e0 j ü4 l i0 uei0 ：
g u4 d a0 an0 uei0 [ 0 ， 4 ] .
【 t i0 sh i0 】 『 zh eng0 sh u0 0 『 』 f u0 sh u0 。 』
j i2 iou0 2 t iao0 ü3 p ing2 m ian4 E F G p ing0 x ing0 d e0 x ian0 d uan0 .
zh eng0 m ing0 ： （ 1 ） d ang0 n uei0 ou0 sh u0 sh i0 ， sh e0 n 2 k （ k N * ） ， z e0 a n a 2 k s i n t a n 2 k s i n k t a n 2 k 0 .
（ 1 ） i0 z uo0 b iao0 üan0 d ian0 uei0 j i0 d ian0 ， x zh ou0 zh eng0 b an0 zh ou0 uei0 j i0 zh ou0 j ian0 l i0 j i0 z uo0 b iao0 x i0 ， q iou0 C d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 ；
j ie0 ： iou0 2 c o s 1 d e0 zh i0 x ian4 f ang0 ch eng0 uei0 2 x 1 ， üan0 d e0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 2 x 0 ， üan0 x in1 uei0 （ 1 , 0 ） ， b an0 j ing0 r 1 ，
z ai0 j i0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong0 ， i0 zh i0 üan0 C d e0 üan0 x in0 z ai0 j i0 zh ou0 sh ang0 ， q ie0 g uo4 j i0 d ian0 h e0 d ian3 （ 3 ， ） ， q iou0 üan0 C d e0 j i2 z uo4 b iao0 f ang1 ch eng0 .
2 . g en0 j ü0 b iao0 zh ong0 x in0 x i0 t ian0 k ong0 。
（ 1 ） ü0 B C ch uei0 zh i2 d e0 zh i2 x ian0 iou0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ang2 f ang1 x ing0 ü0 zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 m ian0 j i1 』
s uo3 i0 zh i0 j iao0 z uo4 b iao1 uei4 （ 1 ， ） ，
（ 3 ） zh i0 sh ao0 g uan0 b i0 i0 j ia1 m ei0 k uang0 d e0 g ai0 l ü0 .
A . q iou0 d e0 s an0 sh i4 t u2 z ong3 sh i0 s an0 g e0 q üan0 d eng0 d e0 üan0
【 t i0 sh i0 】 『 p ing0 g uo0 iou0 5 g e0 ， p an0 z i0 zh i0 iou0 3 g e0 ， r u0 j ia0 p an0 z uei0 sh ao0 k e0 i0 f ang0 1 g e0 ， z uei0 d uo0 k e0 i0 f ang0 『 3 』 g e0 。 』
B . 2 3 8 sh i0 m ing0 t i0 ， q ie0 sh i0 j ia0 m ing0 t i0 ， g ai0 x üan0 x iang0 m an0 z u0 t i0 i0 ；
d a2 an0 ： 1 5 ， 1 7 ， 1 9 h uo0 3 ， 1 ， 1 .
d a0 ： t ai0 iang0 ü0 d i0 q iou0 zh i0 j ian0 d e0 j ü0 l i0 d a0 üe0 sh i0 1 . 5 1 0 8 q ian0 m i0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i3 zh i1 i0 g e0 sh u0 d e0 b ai3 f en0 zh i0 j i3 sh i4 d uo0 sh ao3 ， q iou0 zh e4 g e4 sh u0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 k ong0 j ian1 d ian0 、 x ian0 、 m ian0 d e0 j ü0 l i0 』
zh i2 x ian0 l d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 x y 1 1 0 .
d i4 i0 x ing0 d i0 er4 x ing2 ( ) ，
sh e4 ü0 zh i0 x ian0 l p ing2 x ing2 d e0 zh i0 x ian0 m ： y x k ü3 p ao0 u0 x ian4 x iang1 q ie0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 f en1 sh u4 ch u0 f a0 』
m ou3 ch eng0 x ü0 k uang0 t u2 r u2 t u2 s uo0 sh i0 ， z e0 g ai0 ch eng0 x ü0 ün4 x ing0 h ou0 sh u0 ch u1 d e0 k zh i2 sh i0 （ ）
z ai0 zh u0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong0 ， q iou0 m an0 z u0 d e0 d ong0 d ian0 M （ ， ， z ） uei0 ch eng0 d e0 j i0 h e2 t i0 d e0 t i0 j i0 .
t uo0 üan0 C d e0 c an1 sh u0 f ang1 ch eng0 uei0 （ uei0 c an0 sh u0 ，
g u0 q ie0 x ian0 zh ang0 A B 2 .
s an0 sh i0 x iang0 j ia0 d e0 b c a 2 a 2 b 2 c ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 m ing0 t i0 h e0 m ing0 t i0 d e0 zh en0 zh i0 』
q ü0 x ian0 C d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 2 x 2 y 0 .
p ao1 u0 x ian0 y 2 x 2 2 ( k 1 ) x k （ k uei4 ch ang2 sh u4 ） ü0 x zh ou0 j iao1 d ian0 d e0 g e4 sh u4 sh i0 .
1 5 sh i0 sh i0 x ia0 u3 （ ） sh i2 ； sh ang0 u0 1 0 sh i2 iong0 2 4 sh i2 j i4 sh i0 f a3 b iao3 sh i0 sh i4 （ ） ； uan0 sh ang0 1 2 sh i0 iong0 2 4 sh i2 j i4 sh i2 f a3 b iao3 sh i4 sh i0 （ ） h uo4 （ ） 。
j ia0 sh e0 b u0 ch eng0 l i4 ， A O O E （ g u4 c uo0 u0 ） .
j ian3 d an0 k ong0 j ian0 t u2 x ing2 d e0 s an0 sh i0 t u0
r u2 t u0 ， i0 zh i1 P sh i4 A B C D s uo0 z ai0 p ing0 m ian0 uai0 i0 d ian3 ， d ian0 M 、 N f en1 b ie0 uei4 A B ， P C d e0 zh ong0 d ian3 ， p ing0 m ian0 P A D p ing2 m ian4 P B C l .
l iang0 d ian0 j ian0 d e0 j ü0 l i0 g ong0 sh i0
j i0 “ j ia0 、 i0 、 b ing3 s an0 r en0 x üan0 z e0 d e0 k e0 ch eng0 h u0 b u0 x iang0 t ong0 ” uei0 sh i4 j ian0 M ， sh i0 j ian4 M g ong0 b ao0 h an2 2 4 g e4 j i0 b en0 sh i4 j ian0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 er0 c i0 h an0 sh u0 ü0 i0 üan0 er0 c i0 f ang0 ch eng0 d e0 g uan0 x i0 』
s uo3 i0 q ie0 d ian0 uei4 （ 1 ， 4 ） .
（ 1 ） q iou0 g ong0 q iao0 s uo0 z ai0 p ao0 u0 x ian0 d e0 j ie0 x i0 sh i0 ；
s uo0 i0 A B C sh i0 d eng0 b ian0 s an0 j iao0 x ing0 ；
P A P B ， P A P C ， q ie0 P B P C P ， P B 、 P C p ing0 m ian4 P B C ，
i0 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) ， l ing0 g ( x ) f ( ) .
ü2 sh i0 2 k 2 2 k 1 2 m 1 ， j i0 2 ( k 2 k ) 1 2 m 1 ，
j i0 sh i0 sh u0 a d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 sh i0 { a | 3 a 5 } .
zh u0 b an0 f ang0 zh uen0 b ei0 l e0 j ia0 、 i0 l iang0 g e0 x iang0 z i0 ，
n i0 m ing0 t i0 uei0 j ia0 ， C x iang0 b u0 zh eng0 q üe0 .
j ie0 ： sh e0 x 0 ， z e0 x 0 .
m ing0 t i0 q ： g uan0 ü0 x d e0 b u0 d eng0 sh i0 a x 2 a x 1 0 d e0 j ie0 j i0 uei0 R ，
q iou2 d e0 zh i0 j ing0 d eng3 ü2 zh eng4 f ang0 t i0 d e0 t i0 d uei0 j iao0 x ian0 zh ang3 ，
A . ch ong0 f en0 b u0 b i4 iao4 t iao2 j ian0
z ai0 A B C zh ong0 ， n ei0 j iao0 A ， B ， C s uo0 z ai0 d e0 b ian0 f en0 b ie0 uei0 a ， b ， c ， r u0 g uo0 A B C d e0 m ian0 j i1 d eng0 ü0 8 ， a 5 ， t a n B ， n a4 m e0 .
ü2 sh i0 d e0 | B C | | t 1 t 2 | .
M uei0 E C d e0 zh ong0 d ian0 .
3 . t i0 i0 g e0 sh u4 x üe2 uen4 t i0 b ing0 j ie0 d a0 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j i3 h e2 g ai0 x ing0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i2 x ian4 ü0 üan0 d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i0 』
r u0 t u0 sh i0 j ie0 q ü0 i0 j iao0 d e0 ch ang0 f ang0 t i0 ， h ua0 ch u0 t a0 d e0 s an0 sh i0 t u0 .
j ie3 ： iou0 s i n 2 c o s k e3 d e2 2 s i n 2 c o s ，
（ 2 ） sh e0 x iang0 l iang0 ， q iou2 A 5 .
z ai4 i0 c i0 sh u0 x üe2 j ing4 s ai4 zh ong0 ， uang0 g ang0 、 l i0 m ing0 、 ch en2 p ing0 、 zh ang1 ing0 、 x ü2 l in0 f en0 b ie2 h uo0 d e0 q ian0 u3 m ing2 。 q i2 zh ong1 x ü2 l in0 b u2 sh i4 d i4 i4 m ing2 ie3 b u0 sh i0 d i0 u0 m ing0 ； zh ang0 ing1 d e0 m ing0 c i0 p ai0 z ai4 ch en2 p ing2 h e0 l ing4 i0 uei0 t ong2 x üe2 d e0 h ou4 m ian4 ； ch en0 p ing0 b u0 sh i0 d i0 er4 m ing2 ； l i3 m ing0 b i3 uang0 g ang0 d i0 i2 g e0 m ing2 c i4 ； uang0 g ang1 m ei2 iou0 n a0 d ao0 d i4 i4 m ing0 。 t a0 m en0 f en1 b ie2 h uo4 d e0 d i4 j i3 m ing2 ？
{ x 3 } b iao0 sh i0 d e0 s uei0 j i0 sh i0 j ian0 sh i0 “ q ü0 d ao0 d e0 4 g e0 q iou0 sh i0 3 g e0 h ong0 q iou0 h e0 1 g e0 q i0 t a0 ian0 s e0 d e0 q iou0 ， h uo0 3 g e0 h uang0 q iou0 h e0 1 g e0 q i0 t a0 ian0 s e0 d e0 q iou0 ” ，
D . sh i0 r d e0 d a4 x iao3 er2 d ing0
iou0 ü0 f ( x ) c o s x ， x （ ， ） ， s uo0 i0 c o s ，
b u0 f ang0 l ing0 a 2 ， b 3 ， c 4 ，
j ie0 ： r u0 t u0 s uo0 sh i0 ， sh e0 üan0 t ai0 d e0 sh ang0 d i0 m ian0 zh ou0 ch ang0 uei0 c ， in0 uei0 sh an0 h uan0 d e0 üan0 x in0 j iao0 sh i0 1 8 0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 sh u4 ch eng0 ch u0 f a0 d e0 h uen0 h e0 ün0 s uan0 』
iou2 d eng0 iao0 t i0 x ing2 d e0 x ing4 zh i0 ， k e0 d e0 x ie0 g ao0 h 1 2 （ c m ） ，
【 t i0 sh i0 】 『 d ian0 P z ai0 d i0 s an0 x iang0 x ian0 ， q ie0 d ao0 z ong0 zh ou0 d e0 j ü0 l i0 uei0 『 2 』 . 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 h ua0 ch eng0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan2 zh u4 d e0 t i0 j i0 』
iong0 b u0 d eng0 h ao0 h uo0 d eng0 h ao0 l ian0 j ie0 x ia0 l ie0 g e0 sh i0 ：
j ie0 ： zh i0 x ian0 d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 y 3 2 ( x 2 ) ， j i0 2 x y 7 0 .
（ 2 ） d ang0 a sh i0 ， q iou0 h an0 sh u0 f ( x ) d e0 zh i0 ü0 ；
zh i2 x ian0 ü0 üan0 x iang1 j iao1 s uo3 d e0 d e0 x ian0 zh ang0 uei0 2 2 .
B . x 、 y h u0 uei0 x iang0 f an3 sh u4
（ 2 ） d ang0 d ian0 F uei0 C 1 D 1 zh ong0 d ian0 sh i0 ， k e0 sh i0 B 1 F p ing0 m ian0 A 1 B E . l i0 iou0 r u0 x ia0 ：
k e0 d e0 ch u0 l iang0 t iao0 zh i0 x ian0 d e0 j iao0 d ian0 z uo0 b iao0 uei0 （ 3 ， 4 ） .
j ie0 ： üan0 d e0 b iao0 zh uen0 f ang0 ch eng0 uei0 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 5 ，
sh e4 d ong0 u0 x in0 h ao4 f a1 ch u1 d ian0 j i0 p ao0 d an0 l uo0 d ian0 uei0 P ，
B E G D G Q 6 3 （ l iang0 zh i0 x ian0 p ing0 x ing0 ， t ong0 uei0 j iao0 x iang0 d eng0 ） .
s uo3 i0 M 、 N d e0 zh i2 j iao3 z uo4 b iao0 f en0 b ie0 uei0 （ 2 ， 0 ） ， （ 0 ， ） .
g en1 j ü0 ü0 x ian0 d ing4 l i3 ， d e0 1 2 9 2 3 c o s | | ，
s uo3 i0 ü0 j iao0 d ian3 d e0 j i2 z uo0 b iao0 uei0 ， .
A M D uei0 zh i0 j iao0 s an0 j iao0 x ing0 ， A M M D a ，
g ei0 ch u0 x ia0 l ie0 sh uo0 f a0 ： r uo0 i0 g e0 p ing0 m ian0 n ei0 d e0 l iang0 t iao0 zh i0 x ian0 ü3 l ing0 i2 g e0 p ing0 m ian0 d ou1 p ing0 x ing0 ，
r uo0 a 0 ， z e0 a d e0 p ing0 f ang1 g en0 sh i0 .
s uo3 i0 A C C D ， A C D uei0 zh i2 j iao3 s an1 j iao0 x ing0 ，
D zh ong0 ， g en0 j ü4 A ， A l ， l k e3 zh i0 l ü0 x iang0 j iao0 ， q ie0 l A ，
j ie0 ： iou0 2 c o s 1 d e0 zh i0 x ian0 f ang0 ch eng0 uei0 2 x 1 ， üan0 d e0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 2 x 0 ， üan0 x in0 uei0 （ 1 , 0 ） ， b an0 j ing0 r 1 ，
zh eng0 m ing0 ： （ 1 ） a 2 b 2 2 a b ， b 2 c 2 2 b c ， c 2 a 2 2 c a ， d e0 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 a b 2 b c 2 c a ，
j ie0 d e0 n 6 0 0 . （ j ing0 j ian0 ian0 ， f u0 h e0 t i0 i0 ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j i2 z uo4 b iao0 x i0 』
z ai4 p ing0 m ian0 P A D zh ong1 j ing1 g uo4 G d ian0 d e0 r en0 i0 i0 t iao0 zh i2 x ian0 d ou0 ü0 P M ch uei0 zh i2 .
j ie0 ： j ie0 h e0 t i2 m u0 zh ong1 j in0 s i0 sh u0 j ing0 q üe0 d ao0 0 . 0 0 1 ， sh uo0 m ing0 j ing0 q üe0 d ao4 q ian0 f en1 uei0 sh ang0 ， zh i3 iou0 0 . 2 0 7 m an0 z u2 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iou2 s an1 sh i0 t u0 h uan0 üan0 sh i2 u0 t u0 』
g u0 k e0 sh e0 t 1 ， t 2 sh i0 sh ang0 sh u0 f ang0 ch eng0 d e0 l iang0 g e0 sh i0 sh u0 g en0 ，
z ai4 p ing0 m ian0 zh i0 j iao3 z uo4 b iao1 x i0 zh ong0 ， q iou0 f ang0 ch eng0 x y 2 0 s uo3 d uei0 ing0 d e0 t u2 x ing0 j ing1 g uo4 sh en0 s uo0 b ian4 h uan0 h ou0 d e0 t u2 x ing2 d uei4 ing4 d e0 f ang1 ch eng0 .
i0 zh i0 l o g 2 a l o g 2 b 1 ， z e0 3 a 9 b d e0 z uei0 x iao0 zh i0 uei0 .
【 t i0 sh i0 】 『 m ei0 t ian0 x ün0 l uo0 d e0 c i0 sh u0 b i0 1 5 l i0 m ian0 3 d e0 g e0 sh u0 d uo0 『 1 』 。 』
j ie0 ： j iang0 üan0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 （ uei0 c an0 sh u0 ） b ian0 x ing0 h ou0 k e0 d e0 ：
i1 zh ang0 m ao0 j in0 d e0 m ian4 j i1 sh i0 3 0 （ ）
d ian3 C z ai0 d i0 i1 x iang4 x ian4 d e0 g uei0 j i0 f ang0 ch eng2 d e0 c an0 sh u4 f ang1 ch eng0 uei4 （ 0 t a ） .
z uei4 x iao0 x iang0 j iao0 d e0 iou3 x ü4 s an0 üan0 z u0 （ A ， B ， C ） d e0 g e0 sh u0 N 6 5 4 4 3 7 6 8 0 .
iou0 i0 zh ong0 u0 t ai0 d eng0 ， uai0 x ing0 sh i0 zh eng0 l iou0 l eng0 zh u0 ， z ai0 q i0 m ei0 i0 g e0 c e0 m ian0 （ b ian0 h ao4 uei0 ） sh ang0 an0 zh uang0 5 zh i0 ian0 s e4 g e0 i0 d e0 d eng0 ， j ia0 sh e0 m ei0 zh i0 d eng0 zh eng0 ch ang0 f a0 g uang0 d e0 g ai0 l ü0 uei0 . r uo4 i0 g e0 c e0 m ian0 sh ang0 zh i0 sh ao3 iou0 3 zh i0 d eng0 f a0 g uang0 ， z e0 b u0 x ü0 iao4 g eng0 h uan0 zh e0 g e0 m ian4 ， f ou0 z e0 x ü0 iao0 g eng0 h uan0 zh e0 g e0 m ian4 ， j ia0 d ing0 g eng0 h uan0 i0 g e0 m ian0 x ü0 iao4 1 0 0 üan2 ， iong0 b iao0 sh i0 g eng0 h uan0 d e0 m ian0 sh u0 ， iong4 b iao0 sh i0 g eng0 h uan0 f ei4 iong0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing0 m ian0 x iang0 l iang0 d e0 g ong0 x ian0 （ p ing0 x ing0 ） d e0 z uo0 b iao0 b iao0 sh i0 』
x iao0 q ü0 t d e0 ： x y m 0 .
g u0 üan0 zh uei0 d e0 m u0 x ian0 l m an0 z u0 ： 2 1
c i3 sh i0 ， üan0 b u4 d eng3 sh i4 d e0 j ie0 j i0 b u0 sh i0 k ong0 j i0 ， g u0 sh e0 q ü0 .
j ie3 ： ( p ) q sh i0 j ia0 m ing4 t i2 ，
g u4 sh i0 sh u0 t d e0 q ü3 zh i2 f an0 uei0 sh i0 （ 3 ， ） .
j ie0 ： j iang0 zh i0 x ian0 l d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） d ai0 r u0 p ao0 u0 x ian0 f ang0 ch eng0 y 2 4 x ，
in0 uei0 d n 1 d n [ 2 n 1 ( n 1 ) 1 ] ( 2 n n 1 ) 2 n 1 0 , c ong0 er2 sh u0 l ie4 { d n } uei0 d i0 z eng0 sh u0 l ie0 ，
B . b i0 iao0 er0 b u0 ch ong0 f en0 t iao0 j ian0
j ie3 ： g en0 j ü0 t i2 i4 ， d e0
j ie0 ： d uei0 ü0 x üan0 x iang0 A ， iou0 ü0 x 0 [ 0 ， ] ， s i n x 0 c o s x 0 s i n ( x 0 ) ， s uo0 i0 c i0 m ing0 t i0 b u0 ch eng0 l i0 ， g u0 A c uo0 u0 .
C . l ing0 f ( x ) x [ x ] ， d uei0 r en4 i0 sh i2 sh u0 x ， f ( x l ) f ( x ) h eng0 ch eng0 l i0
s uo3 i0 zh e0 k uai0 üan2 x ing2 g uang3 ch ang0 d e0 z uei0 d a0 m ian4 j i0 S r 2 （ 6 4 ） （ b ai3 m i3 2 ） .
d a0 ： x iang0 c i0 zh uan0 d e0 m ian0 j i0 sh i0 5 0 . 8 6 8 p ing0 f ang0 m i0 。
iou0 ü0 d uei0 ch en0 x ing0 ， z e0 f ang0 ch eng0 y 1 a x 2 b x c d e0 l iang0 g e0 j ie0 x 1 ， x 2 g uan0 ü0 zh i0 x ian0 x d uei0 ch en0 ，
5 0 3 0 8 0 （ m ） ， c i0 sh i0 j ia0 、 i3 l iang3 r en0 x iang0 j ü0 8 0 m 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 er0 c i0 g en0 sh i0 d e0 d ing0 i0 』
i3 x zh ou0 zh eng0 b an4 zh ou2 uei4 j i0 zh ou0 ） zh ong0 ，
j ü3 zh en0 M 1 d e0 t e4 zh eng1 zh i2 uei0 h uo0 1 .
r uo4 zh i0 x ian0 a ， b g ong4 m ian4 ， zh i0 x ian0 a ， c g ong0 m ian0 ， z e0 zh i2 x ian0 b ， c g ong0 m ian4 ；
E M p ing0 m ian0 A E C ， P D p ing2 m ian4 A E C ，
zh eng4 m ing0 ： z ong0 j ü2 sh u4 üe4 d uo0 ， j ia0 h uo0 sh eng4 d e0 k e0 n eng2 x ing4 üe0 d a4 （ j i0 j ia3 h uo4 sh eng0 d e0 g ai4 l ü0 üe0 d a0 ） .
in0 c i0 “ d ian0 sh u0 zh i0 h e0 uei0 ou0 sh u0 ” ü0 “ d ian0 sh u0 zh i0 h e0 uei0 j i0 sh u0 ” z uo0 l ei0 b i0 ， k e0 d e0 “ d ian0 sh u0 zh i0 h e0 uei0 ou3 sh u0 ” d e0 g ai0 l ü0 uei0 P .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 er4 b ei4 j iao0 d e0 zh eng0 x ian0 、 ü0 x ian0 、 zh eng4 q ie0 』
ch ao1 g uo0 b u0 f en0 i1 g ong4 ： 2 0 5 4 （ m 3 ） ，
s uo3 i0 c ong0 d ing0 d ian3 A ian2 b iao0 m ian0 d ao0 d ing0 d ian3 C 1 d e0 z uei4 d uan3 j ü0 l i2 uei4 .
s uo3 i0 d ing0 d ian0 C d e0 g uei3 j i0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 a 2 （ y 0 ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan2 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 』
b i3 j iao0 d a0 x iao0 （ iong4 “ ” h uo0 “ ” l ian0 j ie0 ） ：
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing2 f ang1 g en0 』
（ 2 ） 1 5 0 ( 1 1 5 ) t iao0 j ian0 ： 1 üe4 f en4 x iao1 sh ou0 d e0 c ai0 d ian0 b i3 b ing0 x iang0 sh ao3 1 5 。
j ie3 ： h uang0 h e0 zh ang3 üe1 5 4 6 4 q ian0 m i0 。
zh i2 x ian0 l ü0 üan2 O d e0 g ong0 g ong0 d ian0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 uei4 （ 1 ， ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i4 b an1 x ing0 sh i0 d e0 k e0 x i0 b u0 d eng0 sh i4 』
P d ian0 d e0 zh u0 z uo4 b iao1 uei4 （ ， ， 3 ） .
j ie0 ： （ 1 ） h an0 sh u0 d e0 d ing0 i4 ü0 uei0 x 0 ，
s uo3 i0 j ü0 zh en0 M d e0 t e4 zh eng0 d uo0 x iang0 sh i0 uei0 f ( ) | | 2 5 6 .
z e2 i0 zh i0 A B ， B C ， C A j ün1 sh i4 g ai1 zh eng0 f ang0 t i0 h e0 z i0 d e0 m ian0 d uei4 j iao0 x ian0 ， j i2 A B B C C A ，
r uo4 x ， y m an0 z u0 x 2 y 2 1 ， z e2 x y d e0 z uei0 d a0 zh i0 uei0 （ ）
iou3 i0 j ü0 x ing0 ing4 zh i3 b an3 c ai0 l iao0 （ h ou0 d u0 h u0 l üe0 b u4 j i0 ） ，
x ia0 m ian0 j ie0 l uen0 zh eng0 q üe0 d e0 sh i0 （ ）
s uo3 i0 1 2 2 ( a 1 ) 1 a 2 5 0 q ie0 2 2 2 ( a 1 ) 2 a 2 5 0 ，
（ 3 ） （ m ， n uei0 c an0 sh u0 ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 』
j ie0 ： g en0 j ü0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） ，
b u0 d eng0 sh i0 | x 1 | 2 d e0 j ie0 j i0 uei0 （ ）
d a2 ： i0 n ian0 ing1 j iao1 b ao3 x ian0 f ei0 2 1 0 0 üan0 。
j i2 z ong0 j ü0 sh u0 üe4 d uo1 ， j ia0 h uo0 sh eng0 d e0 k e3 n eng0 x ing0 üe4 d a4 （ j i2 j ia3 h uo0 sh eng4 d e0 g ai0 l ü0 üe4 d a0 ）
j ie3 ： sh e0 （ uei4 c an1 sh u4 ） ，
r uo0 a ， b h u0 uei0 x iang0 f an0 sh u4 ， c ， d h u0 uei0 d ao0 sh u0 ， m d e0 j üe0 d uei0 zh i0 sh i0 1 ， q iou0 ( a b ) c d 2 0 1 6 m d e0 zh i0 .
z ai0 k ong0 j ian0 zh ong0 ， x ia0 l ie4 m ing0 t i0 zh eng0 q üe0 d e0 uei0 （ t ian0 x ü0 h ao0 ） .
i3 zh i0 x ， y d ou0 sh i4 f ei1 l ing2 sh i0 sh u0 ， q ie0 x y ， q iou0 zh eng0 d e0 ch ong1 iao0 t iao2 j ian4 sh i0 x y 0 .
x ia0 l ie0 g uan0 ü0 iong0 x ie0 er0 c e0 h ua0 f a0 h ua0 zh i0 g uan0 t u0 d e0 sh uo0 f a0 zh ong0 ， zh eng0 q üe0 d e0 sh i0 （ ）
d uei0 ü0 A ， iou0 j i1 b en0 b u4 d eng0 sh i0 k e0 d e0 （ d ang0 q ie0 j in0 d ang0 a b sh i0 ， d eng0 h ao4 ch eng0 l i0 ） ， g u4 A zh eng0 q üe0 .
2 d e0 p ing0 f ang0 g en0 sh i0 ， s uan0 sh u0 p ing0 f ang0 g en0 sh i0 ， l i0 f ang0 g en0 sh i0 .
in1 uei0 B M b u0 z ai4 p ing2 m ian4 D E n ei0 ， A N p ing0 m ian4 D E ， B M A N ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i2 x ian4 ü0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 d e0 p an0 d ing4 』
d a2 an0 ： p ing0 x ing2 .
l ian0 l i0 f ang0 ch eng0 z u0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 sh i0 、 f en0 、 m iao0 d e0 r en0 sh i0 、 j in0 l ü0 j i0 h uan0 s uan0 』
ch uang2 d ian0 c e0 m ian0 d uei4 j iao3 x ian4 zh ang0 2 6 1 . 7 2 5 0 4 .
j ie3 ： j iang0 2 4 s i n 5 0 h ua4 uei4 zh i2 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng2 sh i0 x 2 y 2 4 y 5 0 ，
s uo0 i0 d ian0 Q b u0 z ai0 f ang0 ch eng0 x 2 ( y 1 ) 2 1 0 b iao0 sh i0 d e0 q ü0 x ian0 sh ang0 .
（ 2 ） g uo0 zh eng0 s an0 j iao3 x ing2 d e0 zh ong0 x in0 O j ian0 l i0 z zh ou0 ， h ua0 ch u0 zh eng0 s an1 l eng0 zh uei1 d e0 d ing0 d ian0 V ， sh i0 V O 3 c m ， l ian0 j ie1 V A ， V B ， V C ， r u2 t u2 s uo0 sh i4 ；
j ie0 ： g en0 j ü0 t i0 i0 z uo0 ch u0 z ai0 q ü0 j ian0 [ 0 ， ] sh ang0 d e0 j ian0 t u0 ，
i0 zh i0 zh i0 x ian0 l d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） ， q ü0 x ian0 C d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei4 （ uei0 c an0 sh u0 ） .
j ie3 ： c e0 l eng0 iou3 1 0 g e4 d ing0 d ian0 ，
j ie3 zh i0 d e0 h uo0 ，
C . ch eng0 f an0 b i0 l i0 g uan0 x i0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t ong2 p ang2 n ei0 j iao0 h u0 b u0 ， l iang0 zh i0 x ian4 p ing2 x ing0 』
（ 3 ） 2 . 2 3 （ j ing0 q üe0 d ao0 0 . 0 1 ） ；
d ai0 r u0 j i0 k e0 d e0 üan0 d e0 b ai0 x ian0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0
j ie0 ： b a0 d ai0 r u0 ( x 5 ) 2 ( y 4 ) 2 d e0
z ai4 j i0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong1 ， üan0 8 s i n sh ang0 d e0 d ian3 d ao0 zh i0 x ian4 （ R ） j ü0 l i2 d e0 z uei0 d a4 zh i2 sh i0 .
sh e0 p ： m n Z ， q ： m Z h uo0 n Z ， z e2 p sh i4 q d e0 （ ）
i3 zh i0 q ü0 x ian0 C d e0 c an1 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ t uei0 c an0 sh u4 ） ， C z ai0 d ian0 （ 1 ， 1 ） ch u0 d e0 q ie4 x ian0 uei0 l ， i0 z uo0 b iao0 üan2 d ian3 uei4 j i2 d ian0 ， x zh ou0 d e0 zh eng4 b an4 zh ou2 uei0 j i2 zh ou0 j ian0 l i0 j i0 z uo0 b iao0 x i0 ， z e0 l d e0 j i0 z uo4 b iao1 f ang1 ch eng0 uei4 .
（ 1 ） q iou0 l d e0 p u0 t ong0 f ang1 ch eng0 h e0 üan0 C d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 ；
3 . 2 0 m i0 j iou0 sh i0 b iao3 sh i4 x iang4 d ong0 z ou0 2 0 m i0 . （ ）
p an4 d uan0 b ing0 sh uo0 m ing2 l i3 iou2 。
d ing0 d ian0 B d ao0 x zh ou0 d e0 j ü0 l i0 uei0 1 s i n 4 5 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t ong0 j iao0 s an0 j iao0 h an0 sh u0 j ian0 d e0 j i0 b en0 g uan0 x i0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch eng2 f a3 d e0 j iao0 h uan0 l ü0 h e2 j ie0 h e0 l ü4 』
i3 zh i0 a ， b ， c uei0 sh i2 sh u4 ， h an0 sh u0 f ( x ) a x 2 b x c ， g ( x ) a x b . d ang0 1 x 1 sh i0 ， | f ( x ) | 1 . sh i4 zh eng0 m ing0 ： d ang1 1 x 1 sh i2 ， | g ( x ) | 2 .
er0 l o g a 3 l o g b 3 b u0 n eng0 t uei1 ch u0 3 a 3 b 1 ， l i0 r u0 a ， b 3 .
【 t i0 sh i0 】 『 ch uei2 zh i2 t ong2 i0 zh i0 x ian0 M N d e0 l iang0 t iao0 zh i2 x ian0 C D ü0 E F 『 p ing0 x ing2 』 . 』
zh e0 ü0 1 m ao0 d uen4 .
d ang0 1 x 2 sh i0 ， h an0 sh u0 g uo0 （ 1 ， ） 、 （ 2 ， 0 ） ， c i0 sh i0 f ( x ) x 3 .
l iang0 üan0 f ang0 ch eng0 x iang0 j ian0 d e0 ( t 6 ) x ( t 2 ) y 2 2 t 0 ，
z ong0 sh ang0 k e0 zh i0 ， x d e0 q ü3 zh i0 f an0 uei0 uei0 （ ， 1 ] [ ， 3 ] .
【 t i0 sh i0 】 『 x üe1 ch eng2 i2 g e0 z uei0 d a0 d e0 üan2 zh uei0 ， üan2 zh uei1 d e0 t i3 j i1 sh i0 üan2 zh u4 t i0 j i0 d e0 『 』 。 』
【 t i0 sh i0 】 『 2 0 1 6 n eng2 b ei4 4 zh eng0 ch u0 ， 2 0 1 6 n ian0 sh i4 『 r uen0 』 n ian2 。 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ang0 f ang0 x ing0 ü0 zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 m ian0 j i0 』
d uei4 ü0 ， i0 zh i2 j iao3 t i1 x ing0 ch uei0 zh i0 ü0 l iang0 d i0 d e0 iao1 uei0 zh ou0 x üan0 zh uan3 i0 zh ou1 s uo3 d e0 d e0 x üan2 zh uan0 t i0 sh i0 üan2 t ai2 ， g u4 c uo0 u4 ；
i0 zh i0 z ai0 zh eng0 f ang0 t i0 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 zh ong0 ， E ， F f en0 b ie0 sh i0 m ian0 A B C D h e0 A 1 B 1 C 1 D 1 d e0 zh ong0 x in0 ， z e0 z ai0 zh eng0 f ang0 t i3 d e0 l iou0 g e0 m ian0 zh ong0 ， ü0 zh i0 x ian4 E F p ing0 x ing0 d e0 m ian0 iou0 g e0 .
zh eng3 l i0 k e0 d e0 ： x 2 y 2 0 ， h uo4 x 1 .
x R ， x 2 sh i0 m ing0 t i0 ；
j i0 ü0 d ian0 （ 3 ， ） g uan0 ü0 j i0 zh ou0 s uo0 z ai0 zh i0 x ian0 d uei0 ch en0 d e0 d ian0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 sh i0 （ 3 ， ） .
z uo0 ch u0 x ia0 l ie0 h an2 sh u0 d e0 t u0 x iang0 ：
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t e4 zh eng1 zh i0 ü0 t e0 zh eng0 x iang0 l iang0 d e0 j i4 s uan0 』
d a0 ： x iao0 ch ong0 i0 g ong0 d e0 d ao0 5 4 l i0 zh i0 m a0 .
j ia3 p an0 i0 p an0 b ing3 p an2
Q d ian0 d e0 z uo0 b iao0 uei0 （ 2 ， 4 ） .
r u2 g uo0 zh i0 x ian0 a b ， q ie3 a p ing0 m ian0 ， n a0 m e0 b ü0 p ing2 m ian4 d e0 uei4 zh i4 g uan0 x i4 sh i4
iao0 sh i0 j in0 l iang0 sh ao3 l ang0 f ei4 c ai0 l iao0 ， z e0 zh e0 g e0 üan0 zh uei0 d e0 d i0 m ian0 zh i2 j ing0 h e2 g ao0 f en0 b ie0 sh i4 4 d m h e0 6 d m 。
j iang0 zh i0 x ian0 d e0 c an1 sh u0 f ang1 ch eng0 d ai0 r u0 sh ang0 sh i0 ， d e0 s 2 6 s 1 0 0 ， sh e0 A ， B d uei0 ing4 d e0 c an1 sh u0 f en0 b ie0 uei4 s 1 ， s 2 ，
iou3 l iang0 g e0 m ian0 p ing2 x ing2 ， q i0 ü0 g e0 g e0 m ian4 d ou0 sh i0 s i4 b ian1 x ing0 ， b ing4 q ie0 m ei3 x iang1 l in0 l iang0 g e4 s i0 b ian0 x ing0 d e0 g ong1 g ong4 b ian1 d ou1 h u4 x iang0 p ing2 x ing2 d e0 j i3 h e2 t i3 j iao0 l eng0 zh u0 ；
j ie3 ： A . 3 2 9 ， 2 3 8 ， s uo0 i0 3 2 2 3 ， g u4 c uo4 u0 ；
【 t i0 sh i0 】 『 j i2 uei4 ü3 x iang0 l iang0 f ang0 x iang0 『 x iang0 t ong0 』 d e0 d an0 uei4 x iang4 l iang0 . 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing0 m ian0 ü0 p ing0 m ian0 p ing0 x ing0 d e0 p an0 d ing0 』
s uo3 i0 b 2 a ， g u0 c uo4 u4 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh ao3 in1 sh u0 』
r u2 t u0 ， i0 x iang4 l iang4 ， uei0 l in0 b ian0 z uo0 O A D B ， ， ， q ie0 ， b iao3 sh i4 ， ， .
iou0 2 m 4 ü0 3 m 1 x iang0 d eng0 ， d e0
（ 2 ） r uo0 j ü0 zh en0 A d e0 n i4 j ü0 zh en0 uei0 B ， q iou0 B 2 .
【 t i0 sh i0 】 『 d ian3 P ， d ian3 Q z uo0 b iao0 b u0 i0 q iou0 ch u0 ， x ü0 l ian0 l i0 zh i2 x ian0 l ü3 t uo0 üan0 f ang1 ch eng0 d e0 ch u0 x 1 『 』 x 2 h e2 x 1 『 』 x 2 d e0 zh i0 . 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 b i0 d e0 x ing0 zh i0 』
zh i2 x ian0 ， j i0 t a n ，
d uei0 ü0 h e0 ，
i0 zh i0 d ian0 M d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 uei0 （ 1 ， 1 ， ） ， q iou0 t a0 d e0 q iou0 z uo0 b iao0 .
d a2 an0 ： 4 h uo0 2 .
s uo0 i0 üan0 x in0 C （ 2 ， ） d ao0 zh i0 x ian0 l d e0 j ü0 l i0 d 2 ，
B . iou0 zh i0 sh ao0 i2 g e4 d ian3 ü0 t a0 d uei0 ing0
【 t i0 sh i0 】 『 h ua0 uei0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 sh i0 ， c o s 『 x 』 ， s i n 『 y 』 . 』
j ie3 ： （ 1 ） iou0 i0 zh i1 k e3 d e2 ， f ( x ) 6 c o s 2 c o s x 3 3 c o s x s i n x 2 s i n ( x ) ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao0 sh u4 ch u0 f a0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan2 d e0 b iao0 zh uen0 f ang0 ch eng0 』
（ 1 ） l iang0 g e0 d uei0 g ong4 t ong2 x iou1 l e0 1 5 t ian0 c ai0 x iou1 uan0 zh e0 t iao2 l u4 。 l iang3 d uei4 g ong0 t ong2 g ong1 z uo0 zh ong0 ， i0 g ong0 x iou0 l e0 d uo1 sh ao3 m i3 ？
r u0 t u0 ， sh i0 er0 c i0 h an2 sh u0 y a x 2 b x c （ a 0 ） d e0 t u0 x iang0 d e0 i0 b u0 f en0 ， g ei0 ch u1 x ia0 l ie4 m ing0 t i0 ： a b c 0 ； b 2 a ； a x 2 b x c 0 d e0 l iang0 g en0 f en0 b ie2 uei0 3 h e0 1 ； a 2 b c 0 . q i2 zh ong0 zh eng0 q üe4 d e0 m ing4 t i0 sh i0 . （ zh i0 iao0 q iou0 t ian0 x ie0 zh eng0 q üe0 m ing0 t i0 d e0 x ü0 h ao4 ）
z e0 | P A | | 5 s i n ( ) 6 | ， q i0 zh ong0 uei0 r uei0 j iao0 ， q ie0 t a n .
j ie3 ： iou0 ü0 h an2 sh u4 y f ( 4 x ) d e0 t u0 x iang0 k e0 i0 k an0 z uo0 y f ( x ) d e0 t u0 x iang0 x ian1 g uan0 ü2 y zh ou0 d uei0 ch en4 ， z ai0 x iang0 iou4 p ing2 i2 4 g e0 d an1 uei0 d e0 d ao4 .
q i0 zh ong0 t a n ， q ie0 d e0 zh ong0 b ian1 g uo0 d ian0 （ 4 ， 3 ） .
（ 2 ） zh e0 g e0 q iou0 sh i4 h ong2 q iou2 h uo0 h ei0 q iou0 h uo0 b ai0 q iou0 d e0 g ai4 l ü0
D . ü0 sh i0 t ong0 l ei4 er4 c i4 g en0 sh i0 ， z e0 a i0 d ing0 sh i4 3
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch eng2 f a3 d e0 f en0 p ei0 l ü0 』
in1 uei0 ( 3 ) 2 9 ， s uo0 i3 B c uo4 u0 ；
【 t i0 sh i0 】 『 d i4 i1 t u2 x ing0 d e0 m ian0 j i0 j i2 『 7 』 g e0 d e0 m ian4 j i0 h e2 。 』
g u4 zh eng0 q üe0 d e0 sh i4 .
j ie0 ： i0 g e0 sh u0 j i0 b u0 sh i0 zh eng0 sh u0 ， ie0 b u0 sh i0 f u0 sh u0 ， z e0 zh e0 g e0 sh u0 sh i0 0 .
j ie3 ： A . a 2 2 a 2 3 a 2 ， g u0 c uo0 u4 ；
M d ian0 z uo0 b iao0 uei0 ， j i0 M （ ， ） .
g u0 B 、 D zh eng0 q üe0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing0 m ian0 d e0 j i0 b en0 x ing0 zh i0 ü0 t uei0 l uen0 』
1 d e0 j iao0 d ian0 z uo4 b iao1 uei4 （ 4 ， 0 ） h e0 （ 4 ， 0 ） .
g u4 üan0 t u0 zh ong0 A B C 9 0 ， j i2 A C uei0 zh i0 j iao0 s an0 j iao0 x ing0 d e0 x ie2 b ian0 ，
q ü0 x ian0 C 1 d e0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 uei0 ( x 2 ) 2 y 2 1 0 .
【 t i0 sh i0 】 『 p ing2 x ing2 x ian4 B B 1 、 D D 1 ü0 p ing0 m ian0 A C D 1 s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 『 x iang0 d eng3 』 . 』
D . i0 f ang0 ch eng0 f （ x ， y ） 0 d e0 j ie3 uei0 z uo0 b iao0 d i0 d ian0 d ou0 z ai0 q ü1 x ian0 C sh ang0
B 、 r u0 a 3 ， b 2 ， | a | | b | ， a b ， g u0 x üan3 x iang4 c uo4 u0 ；
iou2 sh ang0 sh u0 g uei0 l ü4 k e3 zh i1 ，
j ie0 ： b a0 üan0 2 2 c o s 4 s i n 4 0 h ua0 ch eng2 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 2 2 x 4 y 4 0 ， j i0 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 ，
j ie0 ： in0 uei0 m ing0 t i0 p ： x R ， x 2 ( a 1 ) x 1 0 sh i0 j ia0 m ing0 t i0 ，
2 2 1 8 3 9 6 （ m i0 ） ， h e0 h u1 t i2 i4 ；
B . l iang0 g e0 üan0 zh uei0
l ing0 uai0 f ( x ) ü0 x zh ou0 m ei0 iou0 j iao0 d ian0 ，
m ing0 t i0 “ r uo0 m 1 ， z e0 m x 2 2 x 1 0 u0 sh i0 g en0 ” d e0 d eng0 j ia0 m ing0 t i0 sh i0 .
i2 g e0 l eng0 zh u0 zh i4 sh ao3 iou3 g e0 m ian0 ， m ian0 sh u4 z uei0 sh ao0 d e0 l eng2 zh uei0 iou3 g e4 d ing0 d ian3 ， d ing0 d ian0 z uei4 sh ao0 d e0 l eng0 t ai2 iou3 t iao2 c e4 l eng2
d uei0 ü0 C ， h an0 sh u0 f ( x ) ü3 h an0 sh u0 g ( x ) d e0 d ing0 i0 ü0 h e0 zh i0 ü0 d ou0 x iang1 t ong0 ， g u0 b iao0 sh i0 t ong2 i0 h an0 sh u0 ；
r u0 g uo0 4 x 5 3 5 ， n a0 m e0 5 x 4 （ ） 。
g u0 z uei0 x iao0 zh eng0 sh u0 x 0 .
（ 4 ） sh i0 i0 uen0 j ü0 ， b u0 sh i0 m ing0 t i0
b a3 4 . 6 9 8 2 j ing0 q üe0 d ao4 0 . 0 1 üe1 d eng0 ü0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 f ang1 ch eng2 d e0 j ie0 h e0 j ie0 f ang0 ch eng0 』
n i0 f ou0 m ing0 t i0 “ a 6 ， z e0 a 3 ” sh i0 zh en0 m ing0 t i0 .
（ ） q ü0 x ian0 C 2 d e0 j i2 z uo4 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 2 s i n h ua0 uei0 zh i2 j iao3 z uo0 b iao1 f ang1 ch eng0 uei4 ： x 2 y 2 2 y 0 ，
j ie0 ： （ 1 ） b u0 d uei0 .
j ie0 ： （ 1 ） iou0 t i0 i0 （ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， … … ， n ） j ing0 g uo0 1 c i0 b ian0 h uan0 uei0 （ 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 1 1 ， 1 3 ， … … ， n 1 ） ，
in0 uei0 üan0 x in0 d ao0 zh i0 x ian0 3 x 4 y 2 0 d e0 j ü0 l i0 d 1 r ，
er4 m ian0 j iao0 B V C D d e0 p ing2 m ian4 j iao0 uei0 d uen0 j iao0 ，
ch eng2 ch eng0 ： 4 8 4 5 3 （ k g ） ， j i0 z uo4 3 k g
iou0 l iang0 g e0 m ian0 p ing0 x ing0 d e0 d uo0 m ian0 t i0 b u0 k e0 n eng0 sh i0 （ ）
zh ong0 j ie0 g ong0 s i0 b ang0 g u0 k e0 ch u0 sh ou0 f ang0 u0 iao0 sh ou0 q ü0 2 d e0 zh ong0 j ie0 f ei0 。 l iou0 x ian0 sh eng0 t ong0 g uo4 zh ong0 j ie0 g ong0 s i0 ch u0 sh ou0 l e0 i0 t ao4 f ang0 u0 ， j iao0 l e0 1 0 0 0 0 üan0 d e0 zh ong0 j ie0 f ei0 。 c i0 uai0 ， l iou0 x ian0 sh eng0 m ai0 f ang2 h ai0 iao0 j iao0 n a0 1 . 5 d e0 q i4 sh uei0 ， n a0 m e0 l iou0 x ian0 sh eng0 ing0 j iao0 n a0 d uo1 sh ao0 üan0 q i0 sh uei0 ？
（ 7 ） üan0 zh uei0 iou0 ： .
i0 zh i0 p ： g uan0 ü0 x d e0 f ang0 ch eng0 x 2 m x 1 0 iou0 l iang0 g e0 b u0 x iang0 d eng0 d e0 f u0 g en0 ， q ： g uan0 ü0 x d e0 f ang0 ch eng0 4 x 2 4 ( m 2 ) x 1 0 u0 sh i0 g en0 . sh i0 f en0 b ie0 q iou0 p q ü0 p q uei0 zh en0 m ing0 t i0 sh i0 m d e0 q ü0 zh i0 f an0 uei0 .
（ 2 ） sh e0 D （ x ， y ， z ） sh i0 B C 1 sh ang0 i4 d ian0 ， q ie0 ，
zh i0 x ian0 d e0 i0 b an0 sh i0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 y 3 0 ，
d uei4 r en0 i0 d e0 x R d ou1 iou3 f ( x ) | f ( x ) | 0 b u0 ch eng0 l i0 ， g u0 c uo0 u4 ；
h ua4 x ia0 l ie0 c an0 sh u4 f ang1 ch eng2 uei0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i4 m ian4 zh i0 x ian0 j i0 q i0 s uo0 ch eng0 d e0 j iao3 』
d a2 ： d ang0 B E zh ang3 uei4 1 f en0 m i0 sh i0 ， zh e0 j üan0 ch eng0 d e0 b ao0 zh uang0 h e0 d e0 r ong0 j i1 uei4 （ 4 ） l i0 f ang1 f en0 m i0
x ia4 l ie0 g e0 sh u0 zh ong1 ， u2 l i0 sh u0 iou0 （ ）
z e0 üan0 C d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ uei0 c an0 sh u0 ） .
sh i0 j ian0 i0 d ing0 ， l u0 ch eng0 h e0 s u0 d u0 ch eng0 （ ） b i0 l i0 。
x iang0 n an0 z ou0 5 0 m ， j i0 uei0 5 0 m ， z e0 i0 x iang0 b ei0 z ou0 3 0 m j i0 uei0 3 0 m ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 l i2 s an4 x ing0 s uei0 j i0 b ian0 l iang0 d e0 q i0 uang4 ü0 f ang0 ch a0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iang4 l iang4 j ia0 、 j ian0 f a0 f a3 z e0 j i0 j i3 h e2 i0 i4 』
j ie3 ： in0 uei0 a | b | 0 ， s uo3 i3 a 2 b 2 ， g u0 zh eng0 q üe0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x ie2 er4 c e0 f a0 h ua0 sh uei0 p ing2 f ang0 zh i0 d e0 p ing2 m ian0 t u2 x ing2 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 uan4 i3 sh ang0 sh u0 d e0 r en0 sh i0 』
j ie3 ： sh e0 Q ( x ， y ) ， P ( x 0 ， y 0 ） ， r uo4 A ( r ， r ) ，
C 、 sh i0 i0 üan0 er0 c i0 f ang0 ch eng0 ， g u0 b en0 x üan0 x iang0 zh eng0 q üe0 ；
（ 1 ） q iou0 k d e0 zh i2 ；
r uo0 sh i0 sh u0 a ü0 b h u0 uei0 d ao0 sh u0 ， z e0 a b .
d a2 ： l i0 sh i0 f u4 sh i4 c ong2 1 2 : 3 0 k ai0 sh i0 j ia0 g ong0 d e0 。
j ing0 g uo0 j i0 d ian0 h e0 üan0 x in0 s uo0 z ai0 zh i0 x ian0 uei0 c i0 üan0 d e0 i0 t iao0 d uei0 ch en0 zh ou0 ， q i0 f ang0 ch eng0 uei0 .
j ie3 ： iou0 t i0 k e3 d e2 ， m ing0 t i0 p uei0 zh en1 m ing0 t i0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 t uo0 üan0 zh ong0 ， a 2 c 2 『 b 2 』 . 』
d ang0 k 1 sh i0 ， b u0 d eng0 sh i4 d e0 j ie0 j i0 uei0 （ k ， 1 ） ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x ian4 d uan4 、 zh i0 x ian0 ü0 sh e4 x ian0 d e0 r en4 sh i2 』
j ie0 ： x 0 [ 1 ， 2 ] ， sh i0 x 0 2 2 x 0 a 0 uei0 zh en0 m ing0 t i0 ，
in1 uei0 P sh i0 üan2 C ü3 x zh ou0 zh eng0 b an0 zh ou2 d e0 j iao0 d ian3 ，
j ie3 ： （ 1 ） d ang0 0 sh i2 ， s i n ( ) s i n s i n ， g u4 m ing0 t i0 uei0 j ia0 m ing0 t i0 .
g ai0 üan0 g uan0 ü0 x zh ou0 ， y zh ou0 、 üan0 d ian0 d uei0 ch en0 ， b u0 f ang0 sh e0 üan0 x in0 j iao0 uei0 d i0 i0 x iang0 x ian0 j iao0 ，
（ 4 ） 2 0 0 8 n ian0 b ei0 j ing0 ao4 ün4 h uei4 d e0 b i0 s ai0 x iang0 m u4 sh i0 （ ） g e4 d a4 x iang0 m u4 ， （ ） g e0 x iao3 x iang4 m u0 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 x ian2 h an0 sh u0 d e0 t u0 x iang0 h e0 x ing0 zh i0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 h an2 sh u4 m o0 x ing0 d e0 x üan0 z e0 ü0 ing0 iong4 』
i3 zh i0 a 、 b 、 c 、 d uei0 sh i2 sh u4 ， q ie0 c d ， z e0 “ a b ” sh i0 “ a c b d ” d e0 （ ）
【 t i0 sh i0 】 『 b a0 2 4 sh i0 j i0 sh i0 f a0 “ 1 5 sh i0 ” h ua0 ch eng0 1 2 sh i0 j i0 sh i0 f a0 ， 『 j ian0 』 q ü0 1 2 sh i0 h ou0 t ian0 sh ang0 z i0 ian0 “ x ia0 u3 ” b ian0 k e0 。 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 k ong0 j ian1 zh ong0 zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 zh i0 j ian0 d e0 uei0 zh i0 g uan1 x i0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 d an0 f eng0 h an0 sh u0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing2 m ian4 x iang0 l iang0 d e0 g ong0 x ian0 （ p ing0 x ing2 ） d e0 z uo0 b iao1 b iao0 sh i4 』
（ 1 ） q iou0 f 3 ( 2 ) ， f 4 ( 2 ) d e0 zh i2 ；
iou0 x ia0 l ie0 m ing0 t i0 ： d uei0 ü0 b u0 ch ong0 h e0 d e0 s an0 t iao0 zh i0 x ian0 a ， b ， c ， r uo0 a b ， b c ， z e0 a ， c k e0 q üe0 d ing0 i2 g e0 p ing0 m ian0 ； k ong0 j ian0 zh ong0 ， g uo4 zh i0 x ian0 uai0 i0 d ian0 k e0 z uo0 d uo0 t iao0 zh i0 x ian0 ü0 zh e0 t iao0 zh i0 x ian0 p ing0 x ing0 ； ch uei2 zh i0 ü0 t ong0 i0 t iao0 zh i0 x ian4 d e0 l iang0 t iao0 zh i0 x ian0 p ing0 x ing0 ； s i0 t iao0 b ian1 j ün0 x iang0 d eng0 d e0 s i4 b ian0 x ing0 sh i0 p ing0 m ian0 t u0 x ing0 . q i0 zh ong1 zh eng0 q üe0 d e0 sh i0 （ t ian0 x ü0 h ao0 ） .
d uei0 ü0 C ， “ a b ” n eng0 t uei0 ch u0 “ a 2 b 2 ” ， m an0 z u0 b i0 iao0 t iao0 j ian0 ， b u0 m an0 z u0 t i0 i4 ；
【 t i0 sh i0 】 『 r uo4 m ei3 t ian1 x iou0 l u0 2 1 m i0 ， z e0 1 8 t ian1 x iou0 l u0 d e0 z ong3 zh ang0 m ei3 t ian1 x iou0 l u0 d e0 ch ang0 d u0 『 』 x iou1 l u4 d e0 t ian1 sh u0 。 』
“ r uo0 x y h uo0 x y ， z e0 | x | | y | ” d e0 n i0 f ou0 m ing0 t i0 ： “ r uo0 | x | | y | ， z e0 x y q ie0 x y ” ， j ia0 m ing4 t i0 .
z ong1 h e0 k e0 d e0 S i ( 2 i 1 ) i ( 2 i 1 ) ， ü2 sh i4
x iao3 zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 m ian4 j i1 ： 1 0 1 0 1 0 0 （ p ing0 f ang0 l i0 m i3 ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 2 4 sh i2 j i4 sh i0 f a0 』
j ing1 g uo0 d ian0 M （ 1 ， 5 ） q ie3 q ing1 x ie2 j iao0 uei0 d e0 zh i0 x ian0 ， i0 d ing4 d ian0 M d ao0 d ong4 d ian0 P d e0 uei0 i0 t uei0 c an0 sh u0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng0 sh i4 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch eng0 f a0 d e0 j iao0 h uan0 l ü0 h e0 j ie0 h e0 l ü0 』
k ong1 j ian0 zh ong0 zh i0 x ian4 ü3 zh i2 x ian0 zh i0 j ian0 d e0 uei0 zh i0 g uan0 x i4
（ 2 ） sh e0 p ing0 m ian0 B 1 A 1 D d e0 f a0 x iang0 l iang0 （ a ， b ， c ） ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i4 m ian4 zh i0 x ian0 d e0 p an0 d ing0 』
d ian3 B （ ， ） z ai0 q ü0 x ian4 C sh ang4 ， d uei0 ing0 c an0 sh u0 .
（ 4 ） b u0 k e0 n eng0 sh i4 j ian4 . z ai0 b iao0 zh uen0 d a0 q i0 ia0 x ia0 ， uen0 d u0 d i0 ü2 0 sh i2 ， b ing0 i0 d ing4 b u0 h uei0 r ong0 h ua4 .
i1 üan0 er0 c i0 f ang1 ch eng2 d e0 i0 b an0 x ing0 sh i0 sh i4 zh i0 （ ）
j ie0 ： iao0 sh i0 h an0 sh u0 iou0 i0 i0 ， z e0 iou0 x 2 0 q ie0 x 3 0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j i0 h e0 d e0 j i0 b en0 ün0 s uan0 』
d ang1 sh i0 ， d q ü0 d e0 z uei4 d a4 zh i0 ， z uei0 d a0 zh i0 uei0 2 ，
r uo0 ， z e0 ； r uo0 ， z e0 a b ； r uo0 a b ， z e0 a 2 c b 2 c .
t uo3 üan0 d e0 iou0 j iao1 d ian3 uei4 （ 4 ， 0 ） .
d a0 ： uan0 j ü0 q i0 ch e0 b i3 uan0 j ü0 ua0 j üe0 j i0 g uei0 4 . 2 üan0 。
z ong1 sh ang0 s uo0 sh u0 ， zh i2 x ian4 x y 0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei4 （ 0 ） h e0 （ 0 ） h uo4 （ R ） h uo4 （ R ） .
【 t i0 sh i0 】 『 ch uei2 zh i0 sh i4 『 x iang0 j iao0 』 d e0 i0 zh ong0 t e0 sh u0 q ing0 k uang0 . 』
zh eng3 l i0 k e0 d e0 1 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 p ing0 m ian0 ü0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 d e0 x ing0 zh i0 』
l iang3 t iao0 x iang0 j iao0 zh i2 x ian4 q üe4 d ing0 i0 g e0 p ing0 m ian0 ， g u0 zh eng4 q üe0 .
z ong0 sh ang0 s uo0 sh u0 ， j ie0 l uen0 d uei0 m an0 z u0 n 6 d e0 z i0 r an0 sh u0 n j ün0 ch eng0 l i0 .
B . b u0 d eng0 b ian0 b u2 d uei4 d eng3 j iao0
j ie0 ： iou0 t i0 i0 k e0 d e2 g ai0 s i0 m ian0 t i0 d e0 zh i0 g uan0 t u0 r u0 x ia0 t u0 s uo3 sh i0 .
p ing0 m ian0 A 1 B D p ing0 m ian0 B B 1 C 1 C .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iang0 l iang0 j ia0 、 j ian0 f a0 f a0 z e0 j i0 j i0 h e0 i0 i0 』
2 sh i0 4 d e0 i2 g e4 p ing2 f ang0 g en0 ，
d a2 an0 ： d ian0 A .
h ua0 j i0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 2 c o s 0 uei0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 f ang0 ch eng0 uei0 （ ）
f ( x ) a x 3 b x ， q i0 uei0 j i0 h an2 sh u4 ，
D . sh uei0 p ing0 f ang0 zh i4 d e0 üan2 t ai0 sh i0 f u0 sh i0 t u2 sh i0 i0 g e4 üan2
j ie3 ： x üan0 zh uan0 t i3 sh i4 iou2 i0 g e0 üan0 zh uei0 h e0 i0 g e0 üan2 t ai0 z u0 ch eng0 d e0 ， z e2 k e3 zh i0 x üan0 zh uan3 d e0 p ing0 m ian0 t u2 x ing2 sh ang4 m ian4 sh i0 zh i2 j iao0 s an0 j iao3 x ing2 ， x ia0 m ian4 sh i0 d ao0 f ang0 d e0 zh i0 j iao0 t i0 x ing2 z u0 ch eng0 d e0 .
m ing0 t i0 “ x R ， 0 ” d e0 f ou0 d ing0 sh i0 x 0 R ， 0 .
d a0 an0 ： （ uei0 c an0 sh u0 ） .
g ( t ) ( t 2 t ) z ai0 [ ， ） sh ang0 uei4 j ian3 h an2 sh u0 ，
r uo4 j i0 h e0 A { x | x 1 } ， B { x | x a } ， m an3 z u2 A B { 1 } ， z e0 sh i0 sh u0 a .
i0 t iao0 zh i0 x ian0 b ei0 b an0 j ing0 uei0 5 d e0 q iou0 j ie0 d e0 d e0 x ian0 d uan0 zh ang0 uei0 6 ， z e0 q iou0 x in0 d ao0 g ai0 zh i2 x ian0 j ü0 l i0 uei0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 b i3 l i4 ch i0 d e0 ing0 iong0 』
iou4 A B C sh i0 zh i0 j iao3 s an1 j iao3 x ing0 ，
r uo4 P sh i0 l iang0 t iao2 i4 m ian4 zh i0 x ian0 l ， m uai0 d e0 r en0 i0 i4 d ian3 ， z e2 x ia4 l ie0 sh uo1 f a3 zh eng0 q üe0 d e0 sh i0 （ t ian0 x ü4 h ao4 ） .
C D E G sh i0 p ing0 x ing0 s i0 b ian0 x ing0 ，
b a0 d ian0 P （ 1 ， 1 ） d e0 zh i0 j iao0 z uo4 b iao0 h ua0 uei0 j i0 z uo0 b iao0 P ， z e0 P uei0 .
j ie3 ： （ 1 ） h an0 sh u0 f ( x ) d e0 d ing4 i0 ü0 uei0 R ， q ie3 f ( x ) sh i0 j i1 h an2 sh u0 ，
B . r en0 h e0 d ing0 l i3 d ou1 iou3 n i0 d ing0 l i0
（ 2 ） j ie0 ： in0 uei4 A C 1 p ing2 m ian0 A 1 B C ， sh e0 A C 1 ü0 A 1 C x iang0 j iao1 ü0 d ian0 D ，
d ian3 P z ai0 d i0 s an1 x iang4 x ian4 j iao0 d e0 p ing0 f en0 x ian4 sh ang0 ， q ie3 d ao4 h eng0 zh ou2 d e0 j ü0 l i2 uei4 2 ，
B . i0 t iao0 zh i0 x ian4 q ü4 d iao4 i0 d ian0
r uo4 d ian0 A ， B ， C ， D g ong0 m ian4 ， d ian3 A ， B ， C ， E g ong0 m ian0 ， z e2 A ， B ， C ， D ， E g ong0 m ian4 ；
g u4 üan0 x in0 d ao0 zh i2 x ian4 l d e0 j ü0 l i0 d 2 .
r u0 t u0 ， z ai0 p ing0 m ian0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 x i0 x O y zh ong0 ， i0 zh i0 zh i0 x ian0 l ： x y 2 0 ， p ao0 u0 x ian0 C ： y 2 2 p x （ p 0 ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i1 uei4 sh u0 ch u0 l iang0 、 s an0 uei0 sh u0 d e0 iou0 ü0 sh u0 ch u2 f a0 』
【 t i0 sh i0 】 『 k ao0 l ü0 f en0 b ie0 q üe0 d ing0 E F ü0 D C d e0 j iao0 d ian0 h e0 D C ü0 G H d e0 j iao0 d ian0 ， z ai0 zh eng0 m ing0 zh e0 l iang0 g e0 j iao0 d ian0 『 ch ong0 h e0 』 . 』
j iang0 y x 2 d ai0 r u0 1 ， d e0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j üe0 d uei0 zh i0 』
s uo3 i0 j iao0 d ian0 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 ， 0 ） h e0 （ ， ） .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia0 、 j ian0 、 ch eng0 h uen0 h e2 ün0 s uan0 』
d ang1 t 0 sh i0 ， b iao3 sh i4 i1 t iao0 sh e0 x ian0 ； d ang1 t 0 sh i0 ， ie3 b iao0 sh i4 i1 t iao0 sh e4 x ian4 ；
iou2 f ( x ) d e0 zh i0 ü4 q ia4 uei4 [ ， ] ， iou0 ， j ie0 d e0 ： t 1 h uo0 t 4 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j i0 zh ong0 t e0 sh u0 d e0 j ü0 zh en0 b ian0 h uan0 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 x ian0 d ing0 l i0 』
（ 1 ） d ang0 t uei0 c an1 sh u4 ， uei0 ch ang0 sh u0 sh i0 ， f ang0 ch eng0 b iao3 sh i0 h e0 zh ong0 q ü1 x ian0 ？
【 t i0 sh i0 】 『 A B D zh ong0 ， E H sh i0 zh ong0 uei0 x ian0 ， 『 B D 』 sh i0 d i0 s an0 b ian0 . 』
zh eng4 m ing0 ： 0 x 1 ， 0 y 1 ， sh e0 P （ x ， y ） ， A （ 1 ， 0 ） ， B （ 1 ， 1 ） ， C （ 0 ， 1 ） ， r u2 t u2 ：
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t e0 sh u1 j iao0 d e0 s an0 j iao0 h an0 sh u0 zh i0 』
j ie0 ： d uei0 ü0 ， ( 7 a 3 b 3 a b ) ( 3 a b ) a 2 1 ， g u0 c uo0 u0 ；
iou2 f ang0 ch eng0 z u0 4 x 2 2 ( 1 k ) x 5 2 b 0 ，
sh i0 A zh ong0 iou0 uei0 i0 q üe0 d ing0 d e0 üan0 s u0 c ü0 zh i0 d uei0 ing0 ，
iou0 p ing0 m ian0 A B C D p ing0 m ian0 A 1 A D D 1 A D ，
E F sh i0 A B C d e0 zh ong1 uei4 x ian4 ，
【 t i0 sh i0 】 『 z ai0 p ing0 m ian4 A B C D sh ang0 d e0 s i0 t iao0 l eng0 zh ong0 A D 、 『 C D 』 ü0 B D 1 i0 m ian4 . 』
iou2 t u0 x ing0 i0 d e2 b ， g u4 b u0 zh eng0 q üe0 .
（ 2 ） zh eng0 m ing0 ： d ang0 n m sh i0 ， j ie0 l uen0 x ian0 r an0 ch eng0 l i0 . d ang0 n m sh i0 ，
r uo4 d ian0 （ 1 ， 3 ） z ai0 j i1 h an2 sh u4 y f ( x ) d e0 t u0 x iang0 sh ang4 ， z e0 f ( 1 ) d eng3 ü0 .
s an1 j iao0 x ing0 A D E d e0 m ian4 j i1 sh i0 s an0 j iao0 x ing0 A B C m ian0 j i0 d e0 。
j ie3 ： iou0 t i0 i4 k e3 zh i1 zh i0 x ian0 （ R ） d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao1 f ang0 ch eng0 uei0 ： x y 0 ，
g u4 z ai0 zh eng0 sh u0 1 1 ü3 1 2 zh i0 j ian0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iao3 sh u4 d e0 j ia0 f a0 h e0 j ian0 f a0 』
（ 1 ） q iou0 a ， b d e0 zh i0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x iang0 l iang0 d e0 g ai0 n ian0 j i0 x iang0 l iang0 d e0 j i0 h e0 b iao0 sh i0 』
d ian3 P d e0 g uei0 j i4 sh i4 i3 （ 2 ， 0 ） uei0 üan0 x in0 ， 2 uei0 b an0 j ing4 d e0 üan0 ，
h ei1 s e0 b u0 f en0 j i4 uei4 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 q iou2 m ian4 s an0 j iao0 x ing0 d e0 q üan2 d eng0 d ing0 l i3 s s s ， s a s ， a s a 』
f ou3 m ing0 t i0 “ a 3 ， z e2 a 6 ” sh i4 j ia0 m ing0 t i0 .
d ai0 r u0 ( a n 1 4 ) n 2 S n ， k e0 d e0 ( 5 n d ) n 2 n n ( n 1 ) d ， j ie0 d e0 d 3 ，
ü2 sh i0 iou0 zh eng0 x ian2 d ing4 l i3 d e0 ，
in1 c i0 iou0 3 g e4 d ian3 ü3 d ian0 P ch ong0 h e0 .
s uo3 i0 j i0 z uo0 b iao1 f ang1 ch eng2 uei0 c o s .
（ 2 ） t u0 x iang0 ü0 y zh ou2 d e0 j iao0 d ian0 z ai0 1 d e0 x ia0 f ang0 ， s uo3 i0 c 1 ， c uo4 u0 ；
i0 zh i0 a 1 ， a 2 （ 0 ， 1 ） ， j i0 M a 1 a 2 ， N a 1 a 2 1 ， z e0 M ü0 N d e0 d a0 x iao0 g uan0 x i0 sh i0 （ ）
z ai4 t ong0 i0 z uo0 b iao1 x i4 zh ong1 ， j iang0 q ü0 x ian0 y 3 s i n 2 x b ian0 uei0 q ü1 x ian0 y s i n x d e0 sh en1 s uo0 b ian4 h uan4 sh i0 （ ）
j ie0 m ian0 A D C 1 h e0 j ie2 m ian0 A D 1 C .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng4 sh u4 h e0 f u0 sh u0 』
j ie0 ： in0 uei0 h an0 sh u0 f ( x ) ( x 2 ) 0 ，
d ang1 a N ， iou0 ü0 N d e0 f an4 uei0 x iao0 ， z e0 a i0 d ing0 sh u3 ü2 M ，
sh uei0 p ing0 f ang0 zh i0 d e0 üan0 d e0 zh i0 g uan0 t u0 sh i0 t uo0 üan0 .
j ie0 ： sh uang0 q ü0 x ian0 d e0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 uei0 1 ，
q iou2 x ia0 l ie0 üan0 zh u4 d e0 t i3 j i0 。
d ian3 P （ 3 ， m ） z ai0 i0 d ian3 F uei4 j iao0 d ian0 d e0 p ao0 u4 x ian0 （ t uei4 c an1 sh u0 ） sh ang4 ，
r uo4 c uen0 z ai0 sh i0 sh u4 a ， sh i3 d e0 h an0 sh u0 f ( x ) z ai0 （ 0 ， ） sh ang0 uei4 j ian0 h an0 sh u0 ， z e0 sh i2 sh u4 a d e0 q ü3 zh i0 f an0 uei0 sh i4 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iong4 j i4 s uan0 q i0 k ai0 f ang0 』
g uo4 j i0 d ian0 O z uo4 üan2 C ： 8 c o s d e0 x ian0 O N ， q iou0 x ian2 O N d e0 zh ong1 d ian3 M d e0 g uei3 j i0 f ang1 ch eng2 .
s uo3 i0 ian0 zh eng0 f ang1 t i3 b iao3 m ian0 c ong0 d ian0 A d ao0 d ian0 M d e0 z uei0 d uan0 l u0 ch eng2 sh i0 c m .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 m ing0 t i0 h e0 m ing0 t i0 d e0 zh en0 zh i0 』
【 t i0 sh i0 】 『 z ai0 k ong0 j ian0 zh ong0 ， iou0 『 u0 sh u0 』 t iao0 zh i0 x ian0 ü0 i0 zh i0 zh i0 x ian0 ch uei0 zh i0 . 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch eng0 f a3 d e0 f en0 p ei0 l ü0 』
i3 zh i0 m ing0 t i0 “ r uo4 a b 0 ， z e0 a 0 h uo0 b 0 ” ， z e2 x ia0 l ie0 j ie2 l uen4 zh eng0 q üe4 d e0 sh i0 （ ）
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 n ian0 、 üe0 、 r i0 d e0 r en0 sh i0 、 j in0 l ü0 j i0 h uan0 s uan0 』
i3 zh i0 i0 g e0 üan2 d e0 b ai3 x ian0 g uo0 i0 d ing0 d ian0 （ 2 ， 0 ） ， q ing0 x ie3 ch u0 g ai0 üan0 d e0 b an0 j ing4 z uei4 d a0 sh i0 g ai1 b ai0 x ian0 d e0 c an1 sh u4 f ang1 ch eng2 i0 j i2 d uei0 ing0 d e0 üan2 d e0 j ian0 k ai1 x ian0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 .
i0 g e0 d eng0 iao0 s an0 j iao0 x ing0 ， i0 g e0 d i0 j iao0 ü0 d ing0 j iao0 d u0 sh u0 d e0 b i0 sh i0 1 : 4 ， t a0 d e0 d ing0 j iao0 sh i0 （ ） d u0 。
j ie0 ： in0 uei0 a 2 ( a ) 2 ， s uo0 i0 A zh eng0 q üe0 ；
O uei0 A B C d e0 ch uei0 x in0 .
【 t i0 sh i0 】 『 d uei4 l i4 sh i4 j ian0 b i0 r an0 sh i0 h u4 ch i0 sh i0 j ian4 ， h u0 ch i4 sh i4 j ian0 『 b u4 i0 d ing0 』 sh i0 d uei0 l i0 sh i4 j ian4 . 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 l iang0 j iao0 h e0 ü0 ch a0 d e0 zh eng0 x ian0 g ong0 sh i0 』
z ai4 A B C zh ong0 ， n ei4 j iao3 A ， B ， C s uo0 d uei0 d e0 b ian0 f en0 b ie0 uei0 a ， b ， c . i0 zh i0 s i n A s i n B s i n C ， 3 b 2 a ， 2 a 2 a c 1 8 ， sh e4 A B C d e0 m ian4 j i0 uei0 S ， p a S ， z e0 P d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i4 .
【 t i0 sh i0 】 『 g ai0 x ie0 ch eng2 d e0 z ong0 h e0 s uan0 sh i0 zh ong0 iou0 x ian0 j i0 s uan0 j ia0 f a3 h e0 『 j ian0 』 f a0 ， z e0 3 4 4 6 、 1 0 8 3 4 d ou0 x ü1 t ian0 sh ang4 k uo0 h ao0 。 』
j ie0 ： üan0 d ian0 d ao0 zh i0 x ian4 x y 4 0 d e0 j ü0 l i0 d .
d ang1 a 0 sh i0 ， iou2 ( 2 a ) 2 1 2 a 0 ， s uo3 i0 a 3 ；
（ 1 ） x ie0 ch u0 f ou0 m ing4 t i2 ， p an0 d uan0 q i0 zh en0 j ia3 ， b ing0 zh eng4 m ing2 n i0 d e0 j ie2 l uen0 .
z ai0 p ing0 m ian0 s i0 b ian0 x ing0 A C B D （ t u0 ） zh ong0 ， A B C ü0 A B D j ün0 uei0 zh i0 j iao0 s an0 j iao0 x ing0 q ie0 iou0 g ong0 g ong0 x ie0 b ian0 A B ， sh e0 A B 2 ， B A D 3 0 ， B A C 4 5 ， j iang0 A B C ian0 A B zh e0 q i0 ， g ou0 ch eng0 r u0 t u0 s uo0 sh i0 d e0 s an0 l ing0 zh uei0 C A B D .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 er0 b ei4 j iao0 d e0 zh eng0 x ian0 、 ü0 x ian0 、 zh eng0 q ie0 』
z ai4 j i0 z uo0 b iao0 x i4 （ ， ） （ 0 2 ） zh ong1 ， q ü0 x ian0 2 s i n ü3 c o s 1 d e0 j iao1 d ian3 d e0 j i2 z uo4 b iao0 uei4 .
j iao0 d ian0 z uo0 b iao0 uei4 F 1 （ 1 ， 0 ） ， F 2 （ 1 ， 0 ） .
B . 3 4 x 3 sh i0 3 c i0 d an0 x iang0 sh i0 ， g u0 sh uo0 f a0 c uo0 u0 ；
r uo0 j i0 h e0 A { x | a x 2 2 x 1 0 ， a R ， x R } zh ong0 zh i0 iou0 i0 g e0 üan0 s u0 ， z e0 a d e0 zh i0 uei0 .
s uo3 i0 f ang0 ch eng0 ， （ uei4 c an1 sh u0 ） s uo0 b iao0 sh i4 d e0 q ü0 x ian4 uei4 x 2 ( 1 y ) ，
d a0 ： g ou0 m ai0 2 6 zh i0 ch a0 b ei0 sh i0 ， l iang0 zh ong0 f ang0 sh i0 d e0 f u0 k uan0 j in0 e0 x iang0 t ong0 。
g u0 üan0 d e0 b an0 j ing4 r .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 x ian0 d uan0 d e0 h e0 ch a0 』
i0 zh i0 j i0 h e0 A { x | 1 x 1 } ， B { x | x 2 2 x 0 } ， z e0 A B （ ）
x ing2 sh i0 zh ong0 d e0 q i4 ch e1 z ai4 sh a0 ch e0 sh i0 iou0 ü2 g uan0 x ing0 z uo4 iong4 ，
C . zh i0 j iao0 s an0 j iao0 x ing0
【 t i0 sh i0 】 『 2 . 3 d e0 zh eng0 sh u0 b u0 f en0 b i0 1 . 8 d e0 zh eng0 sh u0 b u0 f en0 d a0 ， z e0 2 . 3 b i0 1 . 8 『 d a0 』 。 』
g ai0 f ang0 ch eng0 b iao0 sh i4 i0 （ ， 1 ） uei0 üan0 x in0 ， i0 2 uei0 b an0 j ing0 d e0 üan0 ，
D . q üan0 t i0 sh i0 sh u4
i0 zh i0 ， r u0 t u0 ， d ian0 E 、 F z ai0 B C sh ang0 ， B E C F ， A B D C ， B C . q iou0 zh eng0 ： A F D E .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 d eng0 ch a0 sh u0 l ie0 d e0 t ong0 x iang0 g ong0 sh i0 』
（ 2 ） iou0 ü0 üan0 x in0 （ 0 ， 0 ） d ao0 zh i0 x ian0 x y 1 2 0 d e0 j ü0 l i0 uei0 d ，
j ie0 ： zh i0 x ian0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） ，
k e3 i0 d e0 d ao0 h en3 d uo1 iou3 q ü0 d e0 z u0 h e0 h eng2 d eng0 sh i0 . l i4 r u0 ： k ao3 ch a0 h eng2 d eng3 sh i0 ( 1 x ) 2 n ( 1 x ) n ( 1 x ) n （ n N * ） ，
d uei0 r en0 i0 d e0 x R d ou0 iou3 f ( x ) | f ( x ) | 0 ；
j ie0 ： zh i0 x ian0 d e0 p u0 t ong1 f ang0 ch eng0 uei0 x y 1 0 ，
j ie0 ： （ 1 ） A B C D — A 1 B 1 C 1 D 1 uei0 zh eng0 f ang0 t i0 ，
f ( x ) z ai0 （ 1 ， ） sh ang0 d an1 d iao4 d i4 z eng0 .
（ 2 ） （ m ， n uei0 c an0 sh u0 ）
j ie0 h e0 t i0 zh ong0 s i0 g e0 t u0 x ing0 ， k e0 zh i0 x üan0 C .
j i2 f 1 ( x ) ， f 1 ( x ) d e0 d ing0 i4 ü4 uei4 [ 0 ， 1 ） .
i0 zh i0 er0 j ie0 j ü0 zh en0 M iou0 t e0 zh eng0 zh i0 3 j i0 d uei0 ing0 d e0 i0 g e0 t e4 zh eng0 x iang4 l iang0 ， b ing0 q ie3 M d uei0 ing0 d e0 b ian0 h uan4 j iang0 d ian0 （ 1 ， 2 ） b ian0 h uan0 ch eng2 （ 9 ， 1 5 ） ， q iou2 j ü0 zh en0 M .
l ian2 j ie0 P G b ing0 ian2 ch ang2 ü3 A D x iang0 j iao0 ü0 d ian0 N ，
d ang1 q ie0 j in0 d ang0 x ， j i2 x 1 sh i0 ， d eng0 h ao0 ch eng0 l i0 ）
d e0 d ian0 A d e0 zh i0 j iao0 z uo0 b iao0 uei0 ： x c o s 2 c o s ( ) 2 ， y 2 s i n ( ) 2 ，
h an2 sh u0 y d e0 z uei4 d a4 zh i2 sh i0 .
r u2 t u0 ， i0 zh i1 A B C D E F ， A 3 0 ， B 5 0 ， B F 2 ， q iou2 D F E d e0 d u0 sh u0 h e2 E C d e0 zh ang3 .
q ing2 k uang0 x ia0 ， f ( x ) sh i4 “ p ing2 d i0 x ing0 ” h an0 sh u0 ，
（ 1 ） iong0 t a0 m en0 p in1 ch eng2 i2 g e0 ch ang0 f ang0 x ing0 ， zh ang0 sh i0 1 8 f en0 m i0 ， k uan1 sh i0 2 f en1 m i0 ， zh ou1 ch ang0 sh i0 ( 1 8 2 ) 2 4 0 （ f en1 m i3 ） 。
sh u0 x üe0 q i0 uang0 E ( X ) 1 2 3 4 .
j i0 h e0 A { x | a x 1 0 } ， B { x | x 2 3 x 2 0 } ， q ie0 A B B ， z e0 a d e0 zh i0 sh i0 .
j ie0 ： z ai0 p ing0 m ian0 A 1 B 1 C 1 D 1 n ei0 g uo0 P z uo0 zh i0 x ian0 l ， sh i0 l C 1 D 1 ， z e0 l j i0 uei0 s uo0 q iou0 z uo0 d e0 zh i0 x ian4 .
i2 g e0 ün0 s u0 x üan2 zh uan3 d e0 m o0 t ian0 l uen0 m ei0 1 2 f en0 zh ong0 x üan2 zh uan3 i0 zh ou1 ， z uei0 d i1 d ian3 j ü0 d i0 m ian4 2 m i0 ， z uei4 g ao1 d ian3 j ü4 d i4 m ian4 1 8 m i3 ， P sh i4 m o2 t ian1 l uen2 l uen0 zh ou0 sh ang0 d e0 d ing0 d ian0 ， d ian3 P z ai0 m o0 t ian0 l uen2 z uei4 d i1 d ian0 k ai1 sh i0 j i0 sh i2 ， z e2 1 6 f en1 zh ong1 h ou0 d ian0 P j ü0 d i0 m ian4 d e0 g ao0 d u4 sh i0 m i3 .
1 . x iao0 q iang0 x iang0 c ong2 zh ong0 r en4 x üan0 l iang0 iang0 uan0 j ü0 ， g ong0 iou0 d uo0 sh ao0 zh ong0 x üan3 f a0 ？
uei0 j i0 s uan0 f n 1 ( 2 ) ， d ang0 1 ， 2 ， … ， n d e0 p ai0 l ie0 j i0 q i0 n i0 x ü0 sh u0 q üe0 d ing0 h ou0 ， j iang0 n 1 t ian0 j ia0 j in0 üan0 p ai0 l ie0 ， n 1 z ai0 x in0 p ai0 l ie0 zh ong0 d e0 uei0 zh i0 zh i0 n eng0 sh i0 z uei0 h ou0 s an0 g e0 uei0 zh i0 ，
B . 3 x 2 d e0 x i0 sh u0 sh i4 3 ， c i4 sh u0 sh i0 2 ， b u0 f u0 h e0 t i0 i4 ；
d a2 ： h ei0 t u0 iou3 1 6 zh i3 ， b ai0 t u0 iou0 2 0 zh i0 。
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 iong0 k ong0 j ian0 x iang0 l iang0 q iou0 p ing0 m ian0 j ian0 d e0 j ia0 j iao0 』
iou2 p ing0 x ing0 s i0 b ian1 x ing2 f a3 z e0 i0 j i0 | | | | | | ， k e3 zh i0 h e0 d e0 j ia1 j iao0 uei4 6 0 ， z ai0 g en1 j ü4 p ing0 x ing0 s i4 b ian0 x ing0 f a0 z e2 z ai4 x iang4 l iang4 j ia1 f a3 zh ong0 d e0 ing4 iong4 ， k e3 zh i1 | | ü0 | | d e0 j ia0 j iao0 uei0 3 0 ， j i0 sh i0 j ia0 m ing0 t i2 .
g uo0 d ian0 P （ 3 ， 0 ） q ie0 q ing0 x ie0 j iao0 uei0 3 0 d e0 zh i0 x ian0 h e0 q ü0 x ian0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） x iang0 j iao0 ü0 A ， B l iang3 d ian0 ， z e0 x ian0 d uan0 A B zh ang0 uei0 .
（ 1 ） z ai0 g ai0 sh i0 d uan0 n ei0 ， d ang0 q i0 ch e0 d e0 p ing0 j ün0 s u0 d u0 v uei0 d uo0 sh ao3 sh i0 ， ch e0 l iou0 l iang0 z uei4 d a0 ？ z uei0 d a4 ch e0 l iou2 l iang0 uei0 d uo1 sh ao0 ？ （ b ao3 l iou0 f en1 sh u0 x ing0 sh i0 ）
g ei0 ch u0 x ia0 l ie0 sh uo1 f a0 ： üan0 d e0 j ian0 k ai0 x ian0 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 b u0 n eng2 zh uan0 h ua4 uei0 p u0 t ong0 f ang1 ch eng0 ； üan0 d e0 j ian0 k ai1 x ian4 d e0 c an1 sh u0 f ang0 ch eng2 k e0 i3 zh uan0 h ua4 uei0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 uei4 sh u0 ch u0 l iang0 、 s an0 uei0 sh u0 』
（ 2 ） d ian0 M （ ， m ） z ai0 f ang0 ch eng0 x 2 ( y 1 ) 2 1 0 b iao0 sh i0 d e0 q ü0 x ian0 sh ang0 ，
【 t i0 sh i0 】 『 sh i0 j ian0 A ü0 sh i0 j ian0 B h u0 ch i0 ， z e0 P ( A B ) P ( A ) 『 』 P ( B ) . 』
d ai4 r u0 x 1 t 2 ， d e0 x 2 ，
A B E uei0 d eng0 b ian0 s an0 j iao0 x ing0 ，
j iang0 d ian0 A （ 2 ， 0 ） d ai0 r u0 ， d e2
d e0 m ian0 j i0 ： r 3 2 2 r 1 r 2 r 3 2 2 r 1 r 2 ；
z uo0 b ian0 d e0 m ian0 j i0 sh i0 ( 4 4 2 ) 1 6 （ p ing0 f ang0 l i0 m i0 ） 。
i3 m ei0 d e0 d i0 er4 m ing2 .
sh e4 ü0 zh i0 x ian0 x y 4 0 d e0 p ing2 x ing0 d e0 zh i0 x ian0 f ang1 ch eng0 uei0 x y t 0 ，
i0 t iao0 zh i0 x ian0 j i0 zh i0 x ian0 uai0 i0 d ian0 q üe0 d ing0 i0 g e0 p ing0 m ian0 ， g u0 b u0 zh eng0 q üe0 ；
j ie0 ： d ang0 a 1 sh i2 ， f ( x ) ，
j ie0 ： r u0 t u0 ， d uei0 t u0 zh ong0 j iao0 h e0 zh i0 x ian0 j in0 x ing0 b iao0 zh u0 .
1 . 7 8 ( 3 2 0 2 8 0 ) 1 5 d e0 ün0 s uan0 sh uen0 x ü0 sh i0 x ian0 s uan0 j ia0 f a0 ， z ai0 s uan0 ch u0 f a0 ， z uei0 h ou0 s uan0 j ian0 f a0 。 （ ）
g u4 d a0 an0 uei0 .
sh e0 d ian0 A ， B z ai0 zh i0 x ian0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 zh ong0 d uei0 ing0 d e0 c an0 sh u0 f en0 b ie0 uei0 t 1 ， t 2 ，
j i2 q ü0 x ian0 C 1 d e0 p u3 t ong1 f ang0 ch eng0 uei0 y 2 1 ，
z ai0 A B C h e0 A B C zh ong0 ， g ei0 ch u0 i0 x ia0 l iou0 g e0 t iao0 j ian0 ： A B A B ； B C B C ； A C A C ； A A ； B B ； C C ， z e0 x ia0 l ie0 t iao0 j ian0 zh ong0 b u0 n eng0 b ao0 zh eng4 A B C A B C d e0 sh i0 （ ）
【 t i0 sh i0 】 『 iao0 b i0 j iao0 0 . 8 üan0 h e0 9 j iao0 d e0 d a0 x iao0 ， x ian0 j iang0 t a0 m en0 h ua0 ch eng0 d an0 uei0 『 x iang0 』 t ong0 d e0 m ing0 sh u0 。 』
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 uei0 sh u0 ch u0 l iang0 、 s an0 uei0 sh u0 』
C . b u0 ch eng0 b i0 l i0
p sh i0 q d e0 ch ong0 f en0 b u0 b i0 iao0 t iao0 j ian0 ，
ie3 j iou0 sh i0 [ ] [ ] ， [ ] [ ] ，
zh i0 x ian0 a zh i0 x ian0 b ， b p ing0 m ian0 ，
d a2 an0 ： zh eng0 l iou4 b ian1 x ing2 .
j ie0 ： r uo0 g uan0 ü0 x d e0 b u0 d eng0 sh i0 0 d e0 j ie0 j i0 uei0 （ 1 ， ） （ ， 1 ） ，
s uo3 i0 sh i0 zh en0 m ing4 t i2 .
b i3 l i0 x i0 sh u0 uei4 4 k ，
d uei0 ü0 B ， d ang0 a b 0 sh i0 ， m an0 z u0 b 2 a c ， d an0 a ， b ， c b u0 sh i0 d eng0 b i0 sh u0 l ie0 ， g u0 B sh i0 j ia0 m ing0 t i2 ；
d ang1 x （ 0 ， 3 ] sh i0 ， iou2 t i2 i4 k e0 zh i0 f ang0 ch eng0 1 k | x | zh i0 iou0 i1 j ie3 ，
（ 1 ） x iang0 s i0 s an0 j iao0 x ing0 d uei0 ing0 d e0 j iao0 x iang0 d eng0 ；
B A A D D C B C a ， E sh i0 B C d e0 zh ong1 d ian3 ，
i3 zh i0 f ( x ) 2 s i n x ( c o s x s i n x ) d e0 t u2 x iang4 z ai4 x [ 0 ， 1 ] sh ang0 q ia0 iou0 i2 g e0 d uei0 ch en4 zh ou2 h e0 i2 g e4 d uei0 ch en4 zh ong1 x in0 ， z e2 sh i0 sh u0 d e0 q ü3 zh i2 f an4 uei2 uei4 .
d ang0 a 3 sh i0 ， b u0 d eng0 sh i4 j i0 a 5 ， j i0 a 2 5 a 1 0 ， j ie0 d e0 3 a .
r u0 t u0 ， z ai0 A B C zh ong0 ， A C B 9 0 ， A B C 3 0 ， B C ， z ai0 s an0 j iao0 x ing0 n ei0 ua0 q ü0 i0 g e0 b an0 üan0 （ üan0 x in0 O z ai0 b ian0 B C sh ang0 ， b an0 üan0 ü0 A C ， A B f en0 b ie0 x iang0 q ie0 ü0 d ian0 C ， M ， ü0 B C j iao0 ü0 d ian0 C ， N ） ， j iang0 A B C r ao0 B C b ian0 s uo0 z ai0 zh i0 x ian0 x üan0 zh uan0 i0 zh ou0 d e0 d ao0 i0 g e0 x üan0 zh uan0 t i0 . q iou0 ：
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh ou1 ch ang2 d e0 r en0 sh i0 』
t ong0 g uo0 g uan0 ch a0 k e0 zh i0 ， g ai0 z u0 h e0 t i0 sh i0 iou0 i0 g e0 üan0 zh u0 ， l iang0 g e0 üan0 t ai0 p in0 j ie0 er2 ch eng0 d e0 .
zh i0 x ian0 d e0 p u0 t ong1 f ang0 ch eng2 uei0 x y 1 0 ，
zh eng4 m ing0 ： r u0 t u2 ， l ian2 j ie0 C 1 E ， b ing0 ian0 ch ang2 j iao0 B 1 B d e0 ian2 ch ang0 x ian4 ü2 G ， l ian2 j ie1 D 1 G .
j ie3 ： in0 uei0 P A p ing2 m ian4 A B C D ， s uo0 i0 p ing0 m ian0 P D A p ing0 m ian4 A B C D ， p ing0 m ian0 P A B p ing0 m ian4 A B C D ，
j ie0 ： üan0 sh i0 l o g 5 ( 5 7 ) 2 ( l o g 5 7 l o g 5 3 ) l o g 5 7 l o g 5
2 d e0 d ao0 sh u0 sh i0 2 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 s an0 uei0 sh u0 ch u0 i0 l iang0 uei0 sh u0 』
【 t i0 sh i0 】 『 3 8 4 0 ， sh uo0 m ing0 3 8 6 『 』 4 0 6 。 』
D x üan0 x iang0 zh ong0 ， 4 2 sh i4 ou3 sh u0 ， d an0 4 2 b u2 sh i0 8 d e0 zh eng3 sh u0 b ei4 .
l ao3 h u0 ， d a0 x iang4 ， b an1 m a0 ， sh i0 z i0
j ie0 ： r u0 t u0 ， z ai0 R t A B M zh ong0 ， A M 2 0 m .
iou2 ü0 sh uang0 q ü0 x ian4 d e0 j ian4 j in0 x ian0 f ang0 ch eng0 uei4 y x ，
j ie3 ： （ 1 ） d ang0 m 1 sh i2 ， zh i2 x ian0 A B d e0 f ang0 ch eng0 uei0 x 1 ，
【 t i0 sh i0 】 『 （ ， 1 ） （ 1 ， 2 ） j iou0 sh i0 iong0 h eng0 z uo0 b iao0 d e0 j i0 『 j ia0 sh ang0 』 z ong0 z ong0 z uo0 b iao0 d i0 j i0 . 』
c i3 sh i0 ü0 x iang0 j iao1 .
【 t i0 sh i0 】 『 l u0 g uan0 z ai0 b ao0 g uan0 d e0 sh ang0 m ian0 ， ie0 j iou0 sh i0 『 b ei0 』 m ian0 ， z e0 b ao0 g uan0 z ai4 l u0 g uan0 d e0 『 n an0 』 m ian0 。 』
s an0 t iao0 zh i0 x ian0 g ong0 d ian0 ；
（ 2 ） j ie0 ： C ， D ， F ， E s i0 d ian3 g ong4 m ian4 . l i0 iou0 r u0 x ia4 ：
A . z uei0 d a0 d e0 sh u4
i0 zh i0 A ， B d e0 j i0 z uo0 b iao0 f en0 b ie0 uei0 （ 8 ， ） ， （ 6 ， ） ， q iou0 x ian0 d uan0 A B d e0 zh ong0 d ian0 d e0 j i0 z uo0 b iao0 .
r uo4 üan0 zh u0 d e0 g ao1 uei4 6 ， z e0 2 r 8 ，
【 t i0 sh i0 】 『 1 0 f en1 b ie2 ü3 2 0 、 3 0 、 4 0 x iang0 j ia0 ， j ie2 g uo0 iou0 『 s an1 』 zh ong3 q ing2 k uang0 。 』
j ie0 ： iou0 x iao0 q ü0 t ，
zh eng0 l i0 d e0 q ü0 x ian0 C d e0 f ang0 ch eng0 uei0 y 2 1 .
【 t i0 sh i0 】 『 l ian0 j ie0 B D 1 ， B D ， B D 1 z ai0 p ing0 m ian0 A C n ei0 d e0 sh e0 ing0 sh i0 『 B D 』 . 』
j ie0 ： 4 s i n d e0 p u0 t ong0 f ang0 ch eng0 uei0 x 2 ( y 2 ) 2 4 ， üan0 x in0 uei0 （ 0 ， 2 ） ， b an0 j ing0 r 2 .
g u4 zh i0 x ian0 ü0 üan2 x iang1 j iao1 ， iou0 2 g e0 j iao0 d ian0 .
（ 2 ） x ian0 d uan0 M A 、 M B d e0 ch ang0 d u0 f en0 b ie0 j i0 uei0 | M A | 、 | M B | ， q iou0 | M A | | M B | d e0 zh i0 .
m ing0 t i0 p ： x 0 R ， x 0 2 2 x 0 5 0 sh i0 （ t ian0 ” q üan0 ch eng0 m ing0 t i0 “ h uo0 ” t e0 ch eng0 m ing0 t i0 “ ） ， t a0 sh i0 m ing0 t i0 （ t ian2 ” zh en0 “ h uo0 ” j ia0 “ ） ， t a0 d e0 f ou0 d ing0 uei0 p ： .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 ch ang0 f ang1 x ing0 ü0 zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 m ian0 j i0 』
z ai4 j i0 z uo0 b iao0 x i4 zh ong1 ， üan0 2 s i n d e0 üan0 x in0 d e0 j i0 z uo4 b iao0 sh i0 （ ）
（ 3 ） zh eng0 f ang0 x ing0 d e0 d uei4 j iao3 x ian0 h u0 x iang0 p ing0 f en1 .
（ 2 ） i0 1 2 . 5 6 d m uei0 g ao1 ， 1 5 . 7 d m uei4 d i0 m ian0 zh ou0 ch ang0 ， r ong0 j i0 uei4 ：
p ing2 m ian0 A B C p ing0 m ian4 A P C ， p ing2 m ian0 A B C p ing0 m ian0 A P C A C ，
C . iou0 q ie0 zh i0 iou3 i2 g e4 d ian0 ü0 t a0 d uei0 ing4
üan2 C d e0 p u0 t ong1 f ang1 ch eng2 uei0 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 9 ，
h an2 sh u0 f ( x ) A s i n ( x ) （ A 0 ， 0 ， | | ） d e0 b u4 f en4 t u2 x iang0 r u0 t u0 s uo0 sh i4 ， r uo0 x 1 ， x 2 （ ， ） ， q ie3 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ， z e2 f ( x 1 x 2 ) .
s uo3 i0 c uen0 z ai0 d ian3 Q （ 1 ， ） ， sh i3 d e0 zh i0 x ian0 M N l .
c i0 sh i0 h an0 sh u0 y f ( x ) d e0 t u0 x iang0 ü0 zh i0 x ian0 x 2 iou0 i0 g e0 j iao0 d ian0 （ r u0 t u0 s uo0 sh i0 ） ；
i3 zh i0 h an0 sh u0 f ( x ) d e0 t u2 x iang0 r u0 t u0 s uo0 sh i0 ， q iou0 h an2 sh u0 f ( x ) d e0 j ie3 x i0 sh i4 .
j i0 5 f en0 zh ong0 d a4 üe0 l ang4 f ei0 sh uei0 9 . 4 2 sh eng0 。
c ong2 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 zh e0 6 g e4 sh u4 z i4 zh ong0 ， b u0 f ang0 h uei2 d i0 r en0 q ü3 l iang3 sh u0 ， l iang3 sh u0 d ou1 sh i4 ou0 sh u0 d e0 g ai0 l ü0 sh i0 （ ）
j i0 p ao0 u0 x ian0 z ai0 d ian0 N ch u0 d e0 q ie0 x ian0 d e0 x ie0 l ü0 uei0 k ，
d a2 ： d ing0 d ing0 h e2 d ong1 d ong1 m ei0 t ian0 s uo0 z ou0 l u0 ch eng0 b i0 uei4 2 9 : 2 1 。
g u3 d ian0 g ai0 x ing0 j i2 q i2 g ai4 l ü0 j i0 s uan0 g ong0 sh i0
d a2 ： er0 t ong0 b o2 u4 g uan3 q üan0 t ian0 k ai0 g uan0 sh i2 j ian0 sh i0 8 x iao3 sh i0 。
i2 g e0 l iang0 uei0 sh u4 d eng3 ü2 t a0 g e0 uei0 sh ang0 d e0 sh u0 d e0 p ing2 f ang1 ， g e4 uei4 sh ang0 d e0 sh u4 b i0 sh i0 uei4 sh ang0 d e0 sh u0 d a4 3 ， z e2 zh e4 g e4 l iang3 uei0 sh u4 uei4 （ ）
O 1 h e0 O 2 d e0 j i2 z uo0 b iao1 f ang0 ch eng0 f en0 b ie0 uei0 4 c o s ， 4 s i n .
V V b an0 q iou0 V üan2 zh uei1 3 0 .
j ie3 ： 4 0 . 7 5 6 ， z e0 h ou0 x iang4 sh i4 6 。
（ 1 ） q iou0 z ai0 i0 c i4 iou2 x i4 zh ong0 m o0 ch u0 3 g e4 b ai0 q iou0 d e0 g ai4 l ü0 ；
（ 2 ） r uo0 zh i0 x ian0 a 、 b iou3 q ie3 zh i0 iou0 i0 g e0 g ong1 g ong0 d ian0 ， z e2 zh i0 x ian4 a 、 b d e0 uei4 zh i4 g uan0 x i0 sh i4 ；
4 ） r uo0 k 1 6 t 3 ， z e0 k 6 t 2 ， c i3 sh i2 iou0 f ( k 1 ) f ( k ) 2 k 2 2 ( k 1 ) 2 ， j ie0 l uen0 ch eng2 l i0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 üan0 d e0 b iao0 zh uen0 f ang0 ch eng0 』
d a2 ： zh e0 zh ang0 g uei1 h ua4 t u2 d e0 b i0 l i0 ch i0 sh i4 1 : 3 0 0 0 0 。
j ie3 ： d uei0 ü0 m i4 h an2 sh u4 y ， f ( x ) f ( x ) ， s uo0 i0 h an0 sh u0 sh i0 ou0 h an2 sh u0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i0 x ian0 ü0 p ing0 m ian0 ch uei0 zh i0 d e0 p an0 d ing0 』
j ie3 d e0 k ， j i0 t a n 0 .
zh eng0 l i0 d e0 x 2 ( y 4 ) 2 1 6 ， z e0 üan0 x in0 uei0 （ 0 ， 4 ） ， b an0 j ing0 uei0 4 .
z e2 s uei0 j i0 b ian0 l iang4 X d e0 f en0 b u0 l ie0 uei0 ：
s uo3 i0 zh i0 iou0 （ 3 ， ） b u2 sh i4 h e0 .
s uo3 i0 B D 1 p ing0 m ian4 A B 1 C .
j ie0 ： 1 4 x 0 3 ， x 0 ， zh e0 iang0 d e0 zh eng0 sh u0 x 0 b u0 c uen0 z ai0 ， g u0 A uei0 j ia0 m ing0 t i0 ；
sh eng1 h uo0 zh ong0 n ei0 x ie1 x ian4 x iang4 sh i0 b a0 u0 t i0 f ang4 d a0 ， n ei3 x ie1 x ian0 x iang4 sh i4 b a0 u4 t i3 s uo0 x iao0 ？ b a0 zh e0 x ie0 x ian4 x iang4 x ie3 z ai4 x ia4 m ian4 。
s uo0 i0 （ ， ） h uo0 （ ， ） .
c ong0 t u0 x iang0 k e0 i0 k an0 ch u0 ， d ang0 t j i0 t 1 sh i0 ， h an0 sh u0 q ü0 z uei0 zh i0 ，
（ 1 ） j ia0 sh e0 üan0 m ing4 t i2 j ie2 l uen0 d e0 f an0 m ian0 sh i0 zh eng0 q üe0 d e0 ；
iou3 1 3 6 b en0 sh u0 ， m ei3 9 b en0 k uen0 i0 k uen0 ， k e0 i0 k uen3 ch eng0 （ ） k uen0 ， h ai0 sh eng4 （ ） b en0 。
iou0 l 1 l 2 ， k e0 d e0 ( 2 ) 1 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh eng0 sh u0 d e0 s i0 z e0 h uen0 h e0 ün0 s uan0 』
z uei0 x iao0 d e0 f ei0 f u0 sh u0 sh i0 ； z uei0 x iao0 d e0 f ei0 f u0 zh eng0 sh u0 sh i0 ； z uei0 d a0 d e0 f ei0 zh eng0 sh u0 sh i0 ； z uei0 d a0 d e0 f ei0 zh eng0 zh eng0 sh u0 sh i0 ； z uei0 x iao0 d e0 zh eng0 zh eng0 sh u0 sh i0 ； z uei0 d a0 d e0 f u0 zh eng0 sh u0 sh i0 .
zh eng0 m ing0 ： r u0 t u2 s uo0 sh i4 ， l ian0 j ie0 A B 1 ， B 1 C ， B D ， B 1 D 1 .
p q ： t i0 x ing0 iou0 i0 z u0 d uei0 b ian0 p ing0 x ing0 h uo0 iou0 i0 z u0 d uei0 b ian0 x iang0 d eng0 .
h an2 sh u0 y x 2 2 x 5 d e0 zh i2 ü4 uei4 .
zh i0 x ian0 ü0 üan0 x iang0 j iao0 d an4 b u0 g uo0 üan0 x in0 .
s uo3 i0 f ( x ) uei0 j i1 h an2 sh u4 ，
l i0 iou0 ： üan0 sh i0 2 a | a 1 | ，
（ 2 ） q iou0 s i n ( B ) d e0 zh i0 .
（ 2 ） iou0 （ 1 ） k e0 zh i0 ， d ang0 1 a 2 h uo0 a 1 0 sh i0 ， f ang0 ch eng0 iou0 l iang0 g e0 zh eng0 g en0 .
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 t u2 x ing2 d e0 f ang0 d a0 ü0 s uo0 x iao0 』
C . zh ong0 x in0 d uei0 ch en0 t u0 x ing0 d ou0 sh i0 zh ou0 d uei0 ch en0 t u0 x ing0
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 j ü0 x ing0 j ü0 iou0 i0 b an0 p ing0 x ing0 s i0 b ian0 x ing0 d e0 s uo0 iou0 x ing0 zh i0 』
j ie0 ： iou0 t i0 i4 ， zh i1 a 4 ， b 3 ，
in0 uei0 n N * ， d ou0 iou0 T n n S n a , j i2 ( n 1 ) 2 n 1 n ( 2 n 1 ) a h eng0 ch eng0 l i0 ，
s uo3 i0 z uei0 d a0 d e0 sh u4 sh i4 ， z uei0 x iao0 d e0 sh u4 sh i0 2 7 ， z uei4 j ie1 j in0 d e0 sh u4 sh i0 。
r u0 t u0 ， z ai0 zh i0 s an0 l eng0 zh u0 A B C A 1 B 1 C 1 zh ong0 ， A C B C ， A C B C C C 1 ， M ， N f en0 b ie0 sh i0 A 1 B ， B 1 C 1 d e0 zh ong0 d ian0 .
q ü1 x ian0 C d e0 p u3 t ong1 f ang1 ch eng0 uei0 y 2 4 x .
B zh ong0 ， l o g 2 ( 3 x 0 1 ) 0 d eng0 j ia4 ü2 0 3 x 0 1 1 ， j ie0 d e0 x 0 ， s uo0 i0 B sh i0 j ia3 m ing0 t i0 ；
x ie2 l ü0 b u0 c uen0 z ai4 sh i2 ， l ： x 2 b ei0 üan0 j ie0 d e0 x ian2 zh ang0 uei0 4 ， s uo3 i0 l ： x 2 sh i4 h e0 ；
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 i0 uei0 x iao0 sh u0 d e0 d a0 x iao0 b i0 j iao0 （ j ie0 zh u0 üan0 j iao0 f en0 b ei0 j ing0 ） 』
i3 zh i0 üan0 d e0 j ian4 k ai1 x ian4 d e0 c an0 sh u0 f ang0 ch eng0 sh i0 （ uei4 c an0 sh u0 ） z e2 c i0 j ian4 k ai1 x ian0 d uei0 ing4 d e0 j i0 üan0 d e0 zh ou1 ch ang2 sh i4 （ ）
j ie0 ： （ 1 ） zh i0 x ian0 l 1 d e0 c an1 sh u0 f ang0 ch eng0 uei0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） ， zh i0 x ian0 l 2 d e0 c an1 sh u0 f ang0 ch eng0 uei4 （ m uei0 c an0 sh u4 ） ，
sh e4 P d ian0 d e0 z uo4 b iao1 uei4 （ 3 t ， t ） ，
z e0 d ang0 n k 1 sh i0 ， f ( t 1 ) f ( t ) g ( t 1 ) ，
G O A 1 uei0 i0 m ian0 zh i0 x ian0 D B 1 ü0 E F s uo0 ch eng0 d e0 j iao0 h uo0 q i0 b u0 j iao0 .
j ie3 ： g en0 j ü0 t i2 i4 ， d e0
s uo0 i0 zh i0 x ian0 l d e0 c an1 sh u0 f ang0 ch eng0 sh i0 （ t uei0 c an0 sh u0 ） .
d a2 ： zh ao0 zh e0 iang4 j i4 s uan4 ， sh eng0 x ia0 d e0 h ai0 iao0 8 t ian1 c ai0 n eng0 x iou0 uan2 。
f ang1 ch eng0 z u0 zh i0 iou3 i1 j ie3 ，
【 zh i0 sh i0 d ian0 】 『 zh i0 x ian4 d e0 q ing0 x ie0 j iao0 ü0 x ie0 l ü0 』
z uei0 d uo0 d e0 f en0 sh i0 1 0 t i0 q üan0 d uei0 ， d e0 f en0 uei0 1 0 2 1 0 3 0 （ f en0 ）